Doc. 067/94

JOSE LUIS GARCIA LAPRESTA Ma VICTORIA RODRIGUEZ URIA

Coherencia en preferencias difusas

COHERENCIA EN PREFERENCIAS DIFUSAS

J o s é L u is G a r c í a L a p r e s t a 1 M a V i c t o r i a R o d r íg u e z U r í a 2

RESUMEN

En los problemas convencionales de la teoría de la preferencia se considera que la intensidad con la que unas opciones son preferidas a otras es binaria: nula o total. En el mundo real no parece ocurrir así, dado que los agentes suelen expresar su mayor o menor nivel de preferencia de forma graduable.En el presente trabajo, versión preliminar de uno más amplio que se encuentra en fase de elaboración, se propone un marco para la modelización del comportamiento racional, en el cual las relaciones binarias difusas se utilizan para captar las prefe­rencias no taxativas de los agentes, desde una perspectiva estática. En un itinerario crítico se analizan axiomas, cada vez más plausibles para el objetivo propuesto, de forma que al final se apunta hacia un posible modelo de coherencia interna.

1. A SPEC TO S M ETODOLÓGICOS

El concepto de subconjunto difuso3, propuesto por Zadeh en [18], es una generalización del concepto ordinario que simplifica el estudio de algunos de los problemas derivados de la aplicación de la matemática a diversos campos de la Ciencia y de la Técnica. La introducción de un punto de vista difuso permite:

1. Construir una lógica flexible y mejor adaptada al pensamiento humano (subjetividad diferencial) que la clásica,

2. Implementar aplicaciones que contemplen aquellas situaciones de subjetividad, in­certidumbre y racionalidad limitada, que son propias de la actividad humana.

U niversidad de Valladolid. Depto. de Economía Aplicada (Matemáticas). Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Avda. Valle de Esgueva, 6 - 47011 Valladolid. E-mail: lapresta@cpd.uva.es.

2Universidad de Oviedo. Depto. de Matemáticas. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales - Escuela Universitaria de Empresariales “Jovellanos” . C / Ramiro de Maeztu, 1 - 33271 Gijón (Asturias).

3Dado un conjunto no vacío X , llamado universo, en la teoría ordinaria de conjuntos cualquiera que sea el subconjunto A de X , todo elemento de X o bien es de A o, por el contrario, no lo es; no existen situaciones intermedias. Su función característica, : X — *• {0,1}, definida por

/ \ f 1, si x e A~ ( 0, si X £ A,

m arca de forma abrupta la transición entre pertenencia y no pertenencia. Sin embargo, en la teoría de subconjuntos difusos esta transición es gradual. La función característica o función de pertenencia de un subconjunto difuso A del universo X es una aplicación : X — ► [0,1], donde dado x G X , Ha (x ) es el grado de pertenencia de x a A.

1

Dado que, habitualmente, agentes y decisores expresan sus metas y preferencias en términos imprecisos, vagos o inciertos, la lógica difusa se convierte en una herramienta idónea para el análisis, tanto en la programación multiobjetivo4, como en la teoría de la preferencia. De esta forma, el modelizador matemático tiene a su alcance formas de representar la imprecisión que le permiten reflejarla cuantitativamente como tal5.

En ocasiones hay problemas de toma de decisiones en los que las soluciones no son difusas, a pesar de que las preferencias sí lo sean. En todo caso, utilizando preferencias difusas, se obtienen soluciones que reflejan las situaciones reales de forma más adecuada que cuando los expertos han de suministrar juicios certeros sobre situaciones de las que no poseen un conocimiento suficientemente preciso.

2. COM PORTAM IENTO RACIONAL

Gran parte del análisis económico está basado en el supuesto de que los agentes se comportan “racionalmente” cuando muestran sus preferencias sobre pares de opciones. Para modelizar esta conducta se han utilizado las relaciones binarias, las cuales han sido sometidas a diversos axiomas, con la intención de capturar algún tipo de comportamiento racional.

La tradición más extendida, difundida por von Neumann - Morgenstern y Arrow en sus célebres trabajos, consiste en modelizar la coherencia interna de los agentes a través de preórdenes completos. En otras palabras, las preferencias no estrictas de los agentes se representan mediante relaciones binarias R, sobre un universo de opciones X , que verifican las propiedades6 de:

1. Reflexividad [A * C R ]: x R x Va? G X,

2. Transitividad [ R o R C i? ]: (x R y y y R z ) =$■ x R z Vx , y , z G X ,

3. Completitud7 [R U i ?-1 = X x X]: (x R y o y Rx ) \ / x , y £ X ,

4Friedman advierte en [10] que los problemas económicos tienen un carácter multiobjetivo, ya que considera como económicos sólo los problemas en los que subyace la existencia de criterios múltiples. Añade que cuando el problema de decisión se establece en función de un solo criterio, estamos ante un problema tecnológico, en el que no existen problemas de elección propiamente dichos.

5La imprecisión de los datos con los que trabaja el modelizador puede ser debida a la naturaleza cualitativa, en lugar de cuantitativa, de la información, o bien que ésta sea incompleta, así como ala ignorancia parcial del fenómeno en estudio. En estas situaciones se utilizan datos aproximados odescripciones lingüísticas, fácilmente manejables dentro de la teoría de subconjuntos difusos.

6Se utilizará la siguiente notación conjuntista:

A x = {(a?, a:) | x G X } ,R o S = { (z ,z) G X x X | (k ,y) G R y (y, z) G S, para algún y G X} ,

R ~ l = { ( x , y ) e X x X \ ( y , x ) e R } ¡

cuando R y S sean relaciones binarias ordinarias sobre X ^ 0.7Si bien los preórdenes se definen como relaciones binarias reflexivas y transitivas, cuando estos son

completos la reflexividad se deduce de la completitud.

2

donde la notación predicativa “ x R y ” sustituye a la conjuntista “ (x,y) G R ” y se inter­preta como ux es preferida o indiferente a y”.

Aunque la hipótesis convencional de comportamiento racional ha sido modificada o relajada a lo largo del tiempo, como respuesta a numerosos experimentos efectuados y a los análisis teóricos correspondientes, por lo general se ha seguido suponiendo que los agentes manifiestan sus preferencias de manera taxativa.

A un agente se le puede pedir que, ante cada par de opciones de un cierto universo finito, se decida por una de ellas o bien se muestre indiferente. Es de esperar que este agente sopese los pros y los contras de cada una de estas opciones antes de pronunciarse, y coexistan en su fuero interno diferentes niveles de intensidad en las preferencias. Este aspecto esencial, implícito en las inclinaciones humanas, no ha sido estudiado suficien­temente, ni en el análisis económico ni en aquellas teorías normativas que suponen una conducta coherente de los agentes. Ya que los individuos sienten y prefieren con diferentes niveles de intensidad, parece lógico desear conservar todo ese caudal de información, así como que sea de referencia obligada en el establecimiento de los criterios de coherencia interna. Está claro que las relaciones binarias ordinarias no pueden recoger esos matices, ya que tan sólo muestran si una opción es preferida a otra pero no cómo es preferida.

A continuación se propone un marco en el cual es posible modelizar el comportamiento racional de los agentes que muestran la intensidad con la que prefieren unas opciones a otras, mediante el uso de relaciones binarias difusas.

3. M ARCO TEÓRICO

Se restringirá el estudio a un universo finito X = { x i,. . . , xn} y se representarán las preferencias no taxativas de un agente arbitrario, en un instante determinado, mediante una relación binaria difusa8 R sobre X , de función de pertenencia ¡j,r : X x X — > [0,1]. Con rij = fiFi(xi, Xj) se indicará el nivel de intensidad con el que x¡ es preferida a Xj, tanto mayor cuanto más cercano esté a 1.

3.1 R elaciones binarias ordinarias asociadas a una relación binaria difusa

Según la terminología de la teoría de subconjuntos difusos, dado a £ [0,1], se define la relación binaria ordinaria de nivel a (o a-corte) asociada a R como:

R a (¿r ([^> 1 ]) — € X X X | ^ o :}.

Así mismo, la relación binaria ordinaria de nivel estricto a viene definida por:

Ra = € X x X \ ry > a}.

8En concordancia con la noción de subconjunto difuso puede definirse la de relación binaria difusa. En la teoría ordinaria de conjuntos una relación binaria R sobre X es un subconjunto del producto cartesianoX X X \ análogamente, una relación binaria difusa sobre X es un subconjunto difuso de X x X] así, fxji : X x X — ► [0,1] será la función de pertenencia de la relación binaria difusa R y HB.(x,y) la intensidad con la que x está relacionado con y.

3

De acuerdo con esta notación, se considerarán, en el marco propuesto, las siguientes rela­ciones binarias ordinarias asociadas a R :

1. Preferencia relativa

P = R t — {(*.)xj) e x x x | > |} .2

2. Indiferencia

/ = R,_ n Ri1 = r f ( { ; } ) = <¡XxX\ r,j = 1}.

3. Preferencia no estricta

P U / = R i = {(íc¿, xj) £ X X X | r¿¿ > |} .

4. Preferencia absoluta

Ri = {(xi ,xj ) £ X x X \ r¡j = 1}.

3.2 A xiom a de reciprocidad

Supuesto que los agentes distribuyen toda su capacidad de preferir, que es cuantificadacomo unitaria, entre cada par de opciones y que cuanto mayor sea la intensidad conla que es preferida a x¿, tanto menor será la intensidad con la que Xj es preferida ax¡, surge de forma natural el axioma de reciprocidad:

rij + rji = 1 V¿,;' <E {1 ,... n},

que en adelante se exigirá a toda relación binaria difusa que modelice las preferencias individuales o colectivas.

Del axioma de reciprocidad se siguen las siguientes propiedades:

1. P es asimétrica [P fl P ~ l = 0] (jamás dos opciones son mutuamente preferidas):

(xi,Xj) £ P =>■ ry > | =>• Tji < - =r> (xj,tVi) (¡í P .

2 . / es reflexiva [Ax C I] (toda opción es indiferente a sí misma):

T'ii 4* f'ii — 1 ^ f'ii — 2 ^ G I'

3. I es simétrica [I = I -1] (cuando hay indiferencia entre dos opciones se da en ambos sentidos):

(x¿ , X j ) £ / =>■ Ti j = 2 f j i = 2 ^ ^

4. Preferencia e indiferencia son incompatibles [P f l / = 0]:

(Xi,Xj) £ P =r" rij > 2 f'ii 7̂ 2 ^ iXi l Xi) í

5. Completitud [(P U I )~x U (P U I) = P U P -1 U I = X x A")] (dadas dos opciones obien una de ellas es preferida a la otra o bien son indiferentes entre sí):

4

(a) Tij > | =>• [x{,Xj) G P.

(b) rij < 2 > 5 ^ (xh xi) ^ •f’(c) ry = 2 ^ {xí i xj) G /.

4. CRITERIOS D E COHERENCIA

A continuación se analizarán críticamente varios criterios de comportamiento racional, dentro del ámbito de las preferencias no taxativas. Algunos de ellos han aparecido en diversos campos de la literatura y otros han sido introducidos aquí con la finalidad de modelizar la coherencia interna de los agentes, cuando estos muestran sus preferencias con diferentes niveles de intensidad.

4.1 Transitividad clásica

La hipótesis clásica de comportamiento racional, mencionada en la segunda sección de este trabajo, ha sido transferida en varias ocasiones al caso difuso, aun a costa de identificar todas las situaciones en las que hay preferencia relativa, sin distinción de niveles de intensidad. Dentro del marco propuesto, el criterio resultante consiste en imponer que la relación de preferencia no estricta asociada a i? , P U / , sea transitiva:

(rij > \ y rjk > | ) =► rik > \ Vi , j , k G { 1 ,.. . , n},

ya que la reflexividad y la completitud están garantizadas por el axioma de reciprocidad.

Ahora bien, este criterio, además de olvidar la información que dan los niveles de in­tensidad, tiene otros inconvenientes que lo hacen desaconsejable. Puede comprobarse que, cuando se supone el axioma de reciprocidad, la transitividad de P U / entraña la de las relaciones de preferencia relativa P e indiferencia I. La transitividad de P, hipótesis de coherencia muy utilizada en la literatura9, se reconocerá aquí como una condición nece­saria, pero no suficiente, en la modelización del comportamiento racional. Sin embargo,la transitividad de la relación de indiferencia ha sido altamente criticada, por ir contra la probada existencia de umbrales en la capacidad humana de percepción. Por ello, en este trabajo se permitirán intransitividades en las indiferencias y se desecharán, por tanto, aquellos criterios que obliguen a que I sea transitiva.

Por otra parte, el criterio es demasiado tolerante, ya que permite que haya caídas en el nivel de intensidad. Por ejemplo, este criterio calificaría de coherente a un estudiante que prefiriera absolutamente estudiar tanto Economía a Filosofía, como Filosofía a Fisioterapia y, a su vez, prefiriera tan solo de forma muy ligera (con nivel de intensidad 0 .6 ) estudiar Economía a Fisioterapia (ri2 = r 23 = 1 y r 13 = 0.6).

9No obstante, algunos autores han desechado esta hipótesis, por ir contra algunos experimentos rea­lizados, o bien la han sustituido por alguna condición más débil, como la de aciclicidad, con el fin de obtener resultados menos pesimistas en el ámbito de la teoría de la elección social (véanse, por ejemplo,[13] y [8]).

5

Otra hipótesis clásica en la modelización del comportamiento racional, más débil que la anterior, es la basada en el axioma de cuasitransitividad. Transferida al marco de este trabajo, consiste en imponer la transitividad a la relación de preferencia relativa P, en lugar de hacerlo sobre P U I:

[ra > \ y rjk > | ) => rik > | V¿, j , k G {1 ,... ,n}.

Aunque, de esta forma, la relación de indiferencia / no es necesariamente transitiva, existen prácticamente los mismos inconvenientes que antes, pues también se permitirían caídas en el nivel de intensidad.

4.2 Transitividad máx-mín

En este apartado se presenta el criterio de comportamiento racional de transitividad máx-mín, que viene caracterizado por el hecho de que todos los cortes de la relación binaria difusa que representan las intensidades de preferencia son transitivos. En la siguiente proposición se demuestra la equivalencia de las cuatro formas en las que aquí se enuncia; la última de ellas -que sólo coincide con las restantes en presencia del axioma de reciprocidad- descubre un cariz negativo para la modelización de la coherencia interna, que no ha de pasar desapercibido.

P r o p o s ic i ó n 1

Son equivalentes:

1. R a es transitiva para cualquier a G [0,1],

2. rik máx { mín {ri j , r jk} | j G {1 ,... ,^}} para cualesquiera k G {1 ,... , n},

3. rik > mín {ri j , r jk} para cualesquiera i , j , k G { l , . . . ,n } ,

4. mín {ri j , rjk} < ra, < máx {ri j , r jk} para cualesquiera j , k G {1 ,... , n}.

Demostración: Es obvio que 2 y 3 son equivalentes.

1 =>■ 3: Si se toma a = mín {ri j , rjk}, se tiene ri j , rjk > a o, lo que es lo mismo, (x{,xj) € Ra y (%j,Xk) G Ra', entonces, de la hipótesis se sigue (xi , xk) G R a , es decir, ri k > a = mín {r i j , r jk}.

3 =£> 4: Bastará probar la segunda desigualdad. La hipótesis asegura que se verifica rki ^ { rkji para cualesquiera i , j , k G { 1 ,. . . , n}. Cambiando de signo se obtiene:

- r ki < - mín {rw,rjj} = máx { - r k j, - r j{} V í,;, k G {1 ,... ,n}.

Sumando 1 a ambos términos de la desigualdad se tiene:

rik = 1 - rki < 1 + máx { - r kj , -r¿¿} = máx {1 - rkj, 1 - rji} = máx {r jk,rij}

6

para cualesquiera i , j , k £ {1 , . . . , n}, es decir,

rik < máx {ri j , rjk} Vi, j , k G { 1 ,... ,n}.

4 =>• 1: Si (Xi,Xj) G R a y (xj , x(.) G Ra , se tiene r¡j,rjk > a; entonces, por hipótesis, ra, > mín > a; es decir, (xi ,xk) G jRa .

El criterio de transitividad máx-mín ha sido utilizado frecuentemente en la literatura, en ausencia del axioma de reciprocidad, bajo cada una de las tres primeras formas equi­valentes, tanto dentro como fuera del ámbito de la teoría de sub conjuntos difusos 10.

Como aspectos positivos de este criterio cabe destacar el hecho de que P es nece­sariamente transitiva, así como la prohibición de que haya caídas de intensidad: si X\ es preferido a x2, con nivel de intensidad r 12 > \ y, a su vez, x2 es preferido a £3, con nivel de intensidad r 23 > entonces a?! será preferido a x3 con intensidad no menor que el másbajo de los niveles r 12, r 23.

Sin embargo, de este criterio también se deduce la transitividad de Ri = P U I y, en consecuencia, la de I. Además, la cuarta caracterización impide que se acumule la intensidad de las preferencias. Por ejemplo, este criterio tacharía de incoherente a una joven pareja que prefiriera “bastante” (con nivel de intensidad 0 .8), tanto comprar una vivienda a alquilar un apartamento, como alquilar un apartamento a vivir con su familia y, a su vez, prefiriera de forma absoluta comprar una vivienda a vivir con su familia.

Según se verá a continuación, cuando se restrinja la aplicación de este criterio a los casos en los que hay preferencia no estricta o preferencia relativa entre las opciones, irán desapareciendo los aspectos indeseables recién mencionados.

4.3 Transitividad m áx-m ín moderada no estricta

En la siguiente proposición, que se demuestra de forma análoga a la anterior, se exponen tres formas equivalentes del criterio de transitividad máx-mín moderada no estricta.

P r o p o s ic ió n 2

Son equivalentes:

1. R a es transitiva para cualquier a G [ |, 1],

2. rik > máx { mín | j G {1 ,... ,n}, r{j > | , rjk > |}para cualesquiera i, k G { 1 ,. . . , n},

3. (rij > | y rjk > !)= > ■ rik — min Para cualesquiera i , j , k G { l , . . . ,n } .

10La primera forma equivalente del criterio da pie a nombrarlo de transitividad, puesto que refleja la propiedad de transitividad difusa propuesta por Zadeh en [19], mientras que la segunda lo califica de máx-mín, por aparecer explícitamente en su enunciado.

7

El criterio de transitividad máx-mín moderada no estricta ha sido considerado, junto al axioma de reciprocidad, entre otros por Luce y Suppes11 en [12] y, más tarde, por Tanino12 en [16].

Bajo el criterio de transitividad máx-mín moderada no estricta se hace posible la acumulación de intensidad en las preferencias, ya que con la moderación impuesta no es posible caracterizar este criterio de manera análoga a la realizada en el apartado 4 de la proposición 1 para la transitividad máx-mín. Así mismo, la relación de preferencia relativa asociada, P, resulta transitiva. Sin embargo, resulta demasiado restrictivo, puesto que de él se deduce la transitividad de la relación de indiferencia.

4.4 Transitividad máx-m ín m oderada estricta

En este apartado se introduce un nuevo criterio, el de transitividad máx-mín moderada estricta, expuesto también a través de tres formas distintas, cuya equivalencia se demuestra de forma análoga a la de las anteriores proposiciones; conserva todos los aspectos positivos mencionados hasta ahora y, además, no obliga a que / sea transitiva.

P r o p o s ic ió n 3

Son equivalentes:

1. R a es transitiva para cualquier a G ( | , 1],

2. rik > máx { mín {rti, rjk} \ j G {1 ,... ,n}, r{j > rjk > \ }para cualesquiera i , k G { 1 ,. . . , n},

3. (rij > \ y rjk > | ) =>■ rik > mín {ri j , rjk} para cualesquiera i, j , k G { 1 , . . . , n}.

Cabe afirmar que con este criterio se modeliza un comportamiento racional básico. Po­dría objetarse, sin embargo, que no exige que se acumulen las intensidades de preferencia. Por ejemplo, si la opción x\ es preferida a x2, con nivel de intensidad r \ 2 = 0.6 y, a su vez, cc2 es preferida a x3> con nivel de intensidad r23 = 0.9, el criterio de transitividad máx-mín moderada estricta sólo obliga a que x\ sea preferida a X3 con nivel de intensidad r 13 no menor, pero tampoco mayor, a 0.6. Parece razonable que el mayor nivel de intensidad r 23 = 0.9 pueda influir en el nivel r13, de forma que, al ponderarlo, sea mayor que 0.6 y, en cierta medida, se acumule la intensidad de preferencia.

En los dos próximos apartados se proponen diversos criterios, los cuales mantienen aquellos aspectos calificados aquí como positivos en la modelización del comportamiento racional -propios del criterio de transitividad máx-mín moderada estricta- y que ademásobligan, en diferente medida, a que se acumulen las intensidades de preferencia, en elsentido mencionado anteriormente.

11 Fuera del alcance de la teoría de sub conjuntos difusos, en el marco de la teoría de la elección proba- bilística, bajo el nombre de transitividad estocástica moderada,

12Con los mismos fines que los expuestos en este trabajo, bajo el nombre de orden preferencial difuso.

8

En los tres últimos criterios de coherencia presentados aparece, implícitamente, la ope­ración binaria conmutativa de mínimo, definida por a*b = mín {a, b}. Una forma natural de introducir criterios de coherencia, en los que se imponga una cierta acumulación en las intensidades de preferencia, consiste en sustituir, en la segunda forma equivalente del criterio de transitividad máx-mín moderada estricta, la operación de mínimo por otras cuyos resultados no sean menores que los obtenidos por dicha operación.

En la siguiente proposición se considera una clase de operaciones binarias, apta para el fin recién mencionado, mediante la cual se definen, a través de tres formas equivalentes, los criterios de coherencia de transitividad máx-* moderada estricta.

P r o p o s ic ió n 4

Si * es una operación binaria conmutativa en ( | , 1] que verifica:

1. (a1 > a y b' > b) =>• a ' * b ' > a * b V a,a ',6, b' G ( | , 1],

2. a * a > a Va G ( | , 1],

entonces son equivalentes:

1. Rce o Rp C R a*p para cualesquiera a, ¡3 E ( |,1 ],

2. rik > máx {ry * rjk \ j G {1 ,. . . ,n}, ry > J, rjk > §} para cualesquiera i, k G { 1 ,. . . , n},

3- (rü > 2 y rjk > 2) ^ r¿* — * rik Para cualesquiera i , j , k G {1, . . . , n}.

Demostración: Es obvio que 2 y 3 son equivalentes.

1 =$■ 3: Si se toma a = > ~ y /? = r¡k > | , se tiene (x¡,xj ) G Ra y (x j , xk) G Rpo, lo que es lo mismo, (x¿,xk) G R a oRp ; entonces, de la hipótesis se sigue (xi ,xk) 6 R a*p, es decir, r¿j. > a * (3 = ry * r¿k.

3 => 1: Si a, (3 G ( |,1 ] y (x{ ,xk) G Ra 0 Rp, entonces (x¡,Xj) G Ra y (xj , xk) G Rp, para algún j G { l , . . . ,n } ; es decir, ry > a > | y rjk > ¡3 > luego, por hipótesis, rik > rij * rjk > a * ¡3] es decir, (xi , xk) G Ra*p.

Resulta inmediato comprobar que toda operación binaria conmutativa * en ( | , 1] que cumpla las dos propiedades introducidas en la proposición anterior, también verifica:

a * b > mín {a, b} V a,& G (|,l].Debido a esto, cualquiera de estos nuevos criterios impide que haya caídas en el nivel de intensidad de las preferencias y, según sea la operación * considerada, obliga a que se acumulen, en mayor o en menor medida, las intensidades de preferencia. Además, resulta fácil comprobar que los nuevos criterios satisfacen todos los aspectos que aquí han sido destacados como deseables para la modelización del comportamiento racional, propios del criterio de transitividad máx-mín moderada estricta.

4.5 Transitividad máx-* m oderada estricta

9

Ahora bien, la elección de la operación * es ciertamente delicada, toda vez que las teorías normativa y positiva pueden llegar a ser irreconciliables en la modelización del comportamiento racional. Cabría plantearse aquí la realización de experimentos que orien­taran sobre la determinación de una o varias operaciones que hicieran del criterio resultante un medio eficaz para la captación de la coherencia interna de los agentes, cuando estos muestran la intensidad con la que prefieren unas opciones a otras.

4.6 Otros posibles criterios

A la vista de los análisis efectuados, se ha de señalar que, en el marco propuesto, es posible modelizar la coherencia de las preferencias no taxativas. No obstante, podrían echarse en falta vínculos entre preferencia e indiferencia, toda vez que estos han sido eliminados en 4.4 y 4.5 con el fin de impedir que la relación de indiferencia sea transitiva.

En la siguiente proposición se sustituye el criterio de transitividad máx-* moderada estricta por otro más general, en el cual se involucran indiferencia y preferencia. Viene definido a través de tres formas equivalentes.

P r o p o s ic ió n 5

Si * es una operación binaria conmutativa en ( |,1 ] que verifica:

1. (a' > a y b' > b) =>• a ' * b ' > a * b Va, a', 6, b' £ ( | , 1],

2 . a * a > a Va £ ( | , 1],

entonces son equivalentes:

1. R a o I o Rp C Va,/? £ ( | , 1],

2 . ru > máx {ry * rkt \ j , k e {1 ,... ,n}, ry > §, rjk = §, rkl > §} V«, l £ {1, . . . ,n},

3- (rH > 2> = 2 y rkl > D ^ Vil - rij*rkl para cualesquiera i , j , k , l £ {1, . . . ,n}.

La demostración es análoga a la de la proposición 4.

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DOCUMENTOS DE TRABAJO

FACULTAD DE CC. ECONOMICAS Y

EMPRESARIALES

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006/1989 JOSE MANUEL PRADO LORENZO.- El principio de gestión continuada: Evolución e implicaciones.

007/1989 JAVIER SUAREZ PANDIELLO.- El gasto público del Ayuntamiento de Oviedo (1982-88).

008/1989 FELIX LOBO ALEU.- El gasto público en productos industriales para la salud.

009/1989 FELIX LOBO ALEU.- La evolución de las patentes sobre medicamentos en los países desarrollados.

010/1990 RODOLFO VAZQUEZ CASIELLES.- Investigación de las preferencias del cosnumidor mediante análisis de conjunto.

011/1990 ANTONIO APARICIO PEREZ. - Infracciones y sanciones en materia tributaria.

012/1990 MONTSERRAT DIAZ FERNANDEZ; CONCEPCION GONZALEZ VEIGA.- Una aproximación metodológica al estudio de las matemáticas aplicadas a la economía.

013/1990 EQUIPO MECO.- Medidas de desigualdad: un estudio analítico

014/1990 JAVIER SUAREZ PANDIELLO.- Una estimación de las necesidades de gastos para los municipios de menor dimensión.

015/1990 ANTONIO MARTINEZ ARIAS.- Auditoría de la información financiera.

016/1990 MONTSERRAT DIAZ FERNANDEZ.- La población como variable endógena

017/1990 JAVIER SUAREZ PANDIELLO.- La redistribución local en los países de nuestro entorno.

018/1990 RODOLFO GUTIERREZ PALACIOS; JOSE MARIA GARCIA BLANCO.- "Los aspectos invisibles" del declive económico: el caso de Asturias.

019/1990 RODOLFO VAZQUEZ CASIELLES; JUAN TRESPALACIOS GUTIERREZ.- La política de precios en los establecimientos detallistas.

020/1990 CANDIDO PAÑEDA FERNANDEZ.- La demarcación de la economía (seguida de un apéndice sobre su relación con la Estructura Económica).

021/1990 JOAQUIN LORENCES.- Margen precio-coste variable medio y poder de monopolio.

022/1990 MANUEL LAFUENTE ROBLEDO; ISIDRO SANCHEZ ALVAREZ.- El T.A.E. de las operaciones bancarias.

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023/1990 ISIDRO SANCHEZ ALVAREZ.- Amortización y coste de préstamos con hojas de cálculo.

024/1990 LUIS JULIO TASCON FERNANDEZ; JEAN-MARC BUIGUES.- Un ejemplo de política municipal: precios ysalarios en la ciudad de León (1613-1813).

025/1990 MYRIAM GARCIA OLALLA.- Utilidad de la teorías de las opciones para la administración financiera de la empresa.

026/1991 JOAQUIN GARCIA MURCIA.- Novedades de lalegislación laboral (octubre 1990 - enero 1991)

027/1991 CANDIDO PAÑEDA.- Agricultura familiar y mantenimiento del empleo: el caso de Asturias.

028/1991 PILAR SAENZ DE JUBERA.- La fiscalidad de planes y fondos de pensiones.

029/1991 ESTEBAN FERNANDEZ SANCHEZ.- La cooperación empresarial: concepto y tipología (*)

030/1991 JOAQUIN LORENCES.- Características de lapoblación parada en el mercado de trabajo asturiano.

031/1991 JOAQUIN LORENCES.- Características de lapoblación activa en Asturias.

032/1991 CARMEN BENAVIDES GONZALEZ.- Política económica regional

033/1991 BENITO ARRUÑADA SANCHEZ.- La conversión coactiva de acciones comunes en acciones sin voto para lograr el control de las sociedades anónimas: De cómo la ingenuidad legal prefigura el fraude.

034/1991 BENITO ARRUÑADA SANCHEZ.- Restriccionesinstitucionales y posibilidades estratégicas.

035/1991 NURIA BOSCH; JAVIER SUAREZ PANDIELLO.- Seven Hypotheses About Public Chjoice and Local Spending. (A test for Spanish municipalities).

036/1991 CARMEN FERNANDEZ CUERVO; LUIS JULIO TASCON FERNANDEZ.- De una olvidada revisión crítica sobre algunas fuentes histórico-económicas: las ordenanzas de la gobernación de la cabrera.

037/1991 ANA JESUS LOPEZ; RIGOBERTO PEREZ SUAREZ.- Indicadores de desigualdad y pobreza. Nuevas alternativas.

038/1991 JUAN A. VAZQUEZ GARCIA; MANUEL HERNANDEZ MUÑIZ.-La industria asturiana: ¿Podemos pasar la página del declive?.

039/1992 INES RUBIN FERNANDEZ.- La Contabilidad de la Empresa y la Contabilidad Nacional.

040/1992 ESTEBAN GARCIA CANAL.- La Cooperación interempresarial en España: Características de los acuerdos de cooperación suscritos entre 1986 y 1989.

041/1992 ESTEBAN GARCIA CANAL.- Tendencias empíricas en la conclusión de acuerdos de cooperación.

042/1992 JOAQUIN GARCIA MURCIA.- Novedades en la Legislación Laboral.

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D o c .

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043/1992 RODOLFO VAZQUEZ CASIELLES. - El comportamiento del consumidor y la estrategia de distribución comercial: Una aplicación empírica al mercado de Asturias.

044/1992 CAMILO JOSE VAZQUEZ ORDAS.- Un marco teórico para el estudio de las fusiones empresariales.

045/1992 CAMILO JOSE VAZQUEZ ORDAS.- Creación de valor en las fusiones empresariales a través de un mayor poder de mercado.

046/1992 ISIDRO SANCHEZ ALVAREZ.- Influencia relativa de la evolución demográfica en le futuro aumento del gasto en pensiones de jubilación.

047/1992 ISIDRO SANCHEZ ALVAREZ.- Aspectos demográficos del sistema de pensiones de jubilación español.

048/1992 SUSANA LOPEZ ARES.- Marketing telefónico:concepto y aplicaciones.

049/1992 CESAR RODRIGUEZ GUTIERREZ.- Las influenciasfamiliares en el desempleo juvenil.

050/1992 CESAR RODRIGUEZ GUTIERREZ.- La adquisición decapital humano: un modelo teórico y sucontrastación.

051/1992 MARTA IBAÑEZ PASCUAL.- El origen social y lainserción laboral.

052/1992 JUAN TRESPALACIOS GUTIERREZ.- Estudio del sector comercial en la ciudad de Oviedo.

053/1992 JULITA GARCIA DIEZ.- Auditoría de cuentas: suregulación en la CEE y en España. Una evidencia de su importancia.

054/1992 SUSANA MENENDEZ REQUEJO.- El riesgo de lossectores empresariales españoles: rendimientorequerido por los inversores.

055/1992 CARMEN BENAVIDES GONZALEZ.- Una valoración económica de la obtención de productos derivados del petroleo a partir del carbón

056/1992 IGNACIO ALFREDO RODRIGUEZ-DEL BOSQUE RODRIGUEZ.- Consecuencias sobre el consumidor de las actuaciones bancarias ante el nuevo entorno competitivo.

057/1992 LAURA CABIEDES MIRAGAYA.- Relación entre la teoría del comercio internacional y los estudios de organización industrial.

058/1992 JOSE LUIS GARCIA SUAREZ.- Los principios contables en un entorno de regulación.

059/1992 M* JESUS RIO FERNANDEZ; RIGOBERTO PEREZ SUAREZ.- Cuantificación de la concentración industrial: un enfoque analítico.

060/94 M * JOSE FERNANDEZ ANTUÑA.- Regulación y política comunitaria en materia de transportes.

061/94 CESAR RODRIGUEZ G U T I E R R E Z F a c t o r e s determinantes de la afiliación sindical en España.

062/94 VICTOR FERNANDEZ BLANCO.- Determinantes de la localización de las empresas industriales en España: nuevos resultados.

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Doc. 063/94 ESTEBAN GARCIA CANAL.- La crisis de la estructuramultidivisional.

064/94 MONTSERRAT DIAZ FERNANDEZ; EMILIO COSTA REPARAZ.-Metodologia de la investigación econométrica.

065/94 MONTSERRAT DIAZ FERNANDEZ; EMILIO COSTA REPARAZ.-Análisis Cualitativo de la fecundidad y participación femenina en el mercado de trabajo.

066/94 JOAQUIN GARCIA MURCIA.- La supervisión colectivade los actos de contratación: la Ley 2/1991 de información a los representantes de los trabajadores.

067/94 JOSE UJIS GARCIA LAPRESTA; M a VICTORIA RODRIGUEZURIA.- Coherencia en preferencias difusas.

068/94 VICTOR FERNANDEZ; JOAQUIN LORENCES; CESARRODRIGUEZ.- Diferencias interterritoriales de salarios y negociación colectiva en España.