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La enseñanza de las matemáticas un reto para el profesor de educación básica en el tercer grado de la escuela primaria “Guadalupe Martínez de Córdova”

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Villahermosa, tabasco. Diciembre de 2005.

INDICE

INTRODUCCIÓN

CAPITULO 1

Antecedentes de las matemáticas

1.1 0rigenes de las matemáticas

1.2 Evolución de las matemáticas

CAPITULO II

Alrededor de las matemáticas

2.1 Matemáticas en la educación

2.2 Para que enseñar en matemática en la escuela primaria

2.3. ¿Qué enseñar en matemática?

2.3.1 Criterios para seleccionar, ordenar y jerarquizar los

contenidos de un modelo instruccional.

2.3.2 Criterios para secuenciar, integrar y organizar los

contenidos

2.3.3 Jerarquía de aprendizaje y análisis de tarea

2.4 El concepto de número y su representación

2.4.1 La representación del concepto de número: El numeral

CAPITULO III

Análisis del programa de estudio matemáticas a nivel primaria

de tercer grado.

3.1 Enfoque

3.2 Propósitos

3.3 Descripción de los componentes

3.4 Descripción de los contenidos

1

2

4

14

15

24

26

29

30

33

44

46

47

48

54

CAPITULO IV

Investigación de campo.

4.1 Delimitacion del objeto de estudio.

4.2 Diseño de los instrumentos para la obtención de información

4.3 Formula y Metodología de aplicación de instrumentos

4.4 Presentación de análisis de resultados

4.5 Analisis general de la encuesta aplicada a los maestros de los

Teceros grados

Conclusiónes

Bibliografía

Anexo

61

62

62

65

77

82

84

87

1

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo ha sido elaborado colectivamente bajo la modalidad de

tesis, por dos estudiantes de la Licenciatura en Ciencias de la Educación,

Representa un esfuerzo de equipo en el cual el objetivo es analizar las estrategias

para el aprendizaje de las matemáticas a través de las observaciones directas en

el aula de clases de acuerdo al plan de estudios y así como también el como se

desarrolla el profesor el en aula. El estudio de las matemáticas ayuda al buen

desarrollo del razonamiento lógico en el niño a partir de sus primeros años de

vida; según el Plan y Programa de estudio vigente esta asignatura ocupa el

segundo lugar en la tabla de distribución de tiempo de trabajo en el tercer grado

de educación básica, con un total de seis horas semanales, haciendo un total de

240 horas anuales.

Nuestro interés se centro en analizar la forma en que se enseñan las

matemáticas, en el tercer grado de la escuela primaria, conocer que problemas

se presentan en la enseñanza de esta materia, así como conocer sus causas.

Esta investigación fue llevada a cabo en la escuela primaria Guadalupe Martínez

de Córdova en el 3° grado ubicada en la calle: paseo de la Ceiba S/N en la col.

Atasta

Consideramos y estamos consientes de que para el niño de tercer grado,

es importante la enseñanza de las matemáticas, por lo tanto es necesaria la

participación en este proceso, no solo de los maestros sino también de los padres

de familia, para así obtener mejores resultados.

Actualmente se han hecho muchas investigaciones en relación a este tema

en diferentes niveles escolares. Sin embargo han quedado temas por abordar a

cerca de la problemática en el estudio de esta materia, esta es la razón por la cual

nos hemos inclinado por abordar este tema; tomando como referencia las

aportaciones que hacen autores como J. Piaget, T. Nunes C. y Santiago Valiente,

entre otros, con la finalidad de tener un sustento teórico en nuestra

investigación.

2

CAPITULO 1

Antecedentes De Las Matemáticas

1.1 0rigenes De Las Matemáticas

Comenzar con una definición de lo que son las matemáticas, seria lo más

correcto, sin embargo esto resulta algo difícil, pues no existe una definición exacta

de estas, y basamos en su etimología, no seria de mucha ayuda, pues según.

esta, la matemática es "la ciencia por excelencia".

Tal vez podría tomarse, la definición dada por uno de los grandes sabios

.griegos, Aristóteles- Según él, "la matemática es la ciencia de la cantidad, o el

estudio abstracto del aspecto cuantitativo de las cosas materiales, esta definición

ha dejado de ser valida en nuestros tiempos. La mas aceptada en la actualidad es

la que dice que "Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades,

magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir

cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas".FP

1

La razón por la que es difícil dar una definición de lo que es la matemática,

se debe a que esta ciencia ha cambiado y evolucionado a lo largo de la historia,

se le han agregado nuevas ramas se le han quitado algunas, en fin que todo esto

es lo que hace difícil precisar una definición exacta de lo que es.

Ya que se ha mencionado lo de sus cambios a través de la historia, seria

bueno conocer un poco más, como y donde es que surge, de quien o quienes fue

la idea, y quiénes han sido sus grandes aportadores.

Aquí existe otra dificultad, pues no se sabe ciencia cierta., quienes son los

verdaderos creadores por así decirlo, de las matemáticas, en los libros de historia

se menciona que fueron los griegos, los grandes iniciadores de esta ciencia, y

ciertamente ellos fueron los grandes maestros que la dieron a conocer a las

demás culturas, sin embargo se tiene conocimiento que el principio de la

P

1PMatematicas Enciclopedia ® Microsoft Encarta 2004

3

matemática, tuvo su origen en la culturas Egipcia, Babilónica he Hindú, quienes

ya hacían uso de algunos conocimientos matemáticos, pero sin llegar a

desarrollarlos, es hasta después, que algunos sabios griegos, en sus viajes por

Fenicia y Babilonia, toman los conocimientos y comienzan a desarrollarlos para

transformarlos en lo que seria las ciencias matemáticas. Como se sabe, los

griegos han sido los grandes de la historia, a ellos se les debe el surgimiento de la

Filosofía y la mayoría de las Ciencias, y las matemáticas no son la excepción.

Anteriormente los primeros viajes de los sabios griegos a Fenicia y

Babilonia, encontraron que en esas culturas hacían uso de algunos conocimientos

matemáticos prácticos, los cuales, aprendieron y los llevaron a Grecia, donde

otros sabios, comenzaron a estudiarlos y desarrollarlos.

El primer gran personaje al que van ligados los primeros estudios

matemáticos, es Tales de Mileto, mas tarde aparecería otro grande como fue

Pitágoras de Samos, estos dos fueron los responsables de que la Matemática se

convirtiera en ciencia. Tiempo después la matemática seria considerada una base

fundamental en la formación de todo sabio, esto gracias a otro grande, Aristóteles

de Estagira; quien en sus jardines enseñaba la geometría, otro griego importante

fue Platón, al que se le debe el surgimiento de lo que hoy conocemos como

"Academia” la cual fue fundada en las afueras de Atenas y que debe su nombre

al héroe mitológico Academo. Muy pronto las Matemáticas alcanzaron un gran

nivel. Cuando se habla de que las matemáticas en un principio eran prácticas, se

refiere a que carecían de un sentido teórico, solo era empírica y se basaba en

observaciones.

Después de los descubrimientos y aportaciones realizados por los griegos,

y que se mantuvieron dentro de su cultura, viene una especie de receso en las

matemáticas, y es hasta la edad media que se comienza a difundir dichos

conocimientos y hacen su aparición los romanos, con su sistema de numeración;

es en este momento cuando comienza la utilización del Ábaco.

4

Así como el surgimiento de la aritmética y la Geometría mas tarde, en el

Renacimiento, por fin se logra una superación en las matemáticas enseñadas por

los griegos, esto gracias, a las valiosas aportaciones que hicieran grandes

científicos, como Descartes y Fermant, quienes introdujeron la Geometría

Analítica, o Newton y Leibniz, a quienes se les debe la aparición del calculo,

Infinitesimal.

Es hasta el siglo XVIII cuando la matemática comienza su aplicación al

servicio de otras ciencias, debido a que destacados matemáticos comenzaron a

emplear sus conocimientos dentro de otros campos científicos. Ya para el siglo

XIX viene un mayor impulso para las matemáticas, se analiza toda la ciencia

matemática, y se agregan nuevas teorías sobre la Geometría y el Análisis.

1.2 Evolución De Las Matemáticas

La matemática es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos

ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para

la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotamios.

Se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente

humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos. Fue

utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el

Medieval. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del

universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del

pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos

contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un

campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.FP

2

Por otra parte la matemática misma es una ciencia intensamente dinámica

y cambiante. De manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y

aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello

sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de

abordaje sencillo.

P

2P Pardo de Sande Irma, Didáctica de las Matemáticas para la Escuela Primaria.

5

El otro miembro del binomio educación-matemática, no es tampoco nada

simple. La educación ha de hacer necesariamente referencia a lo más profundo

de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en evolución en la

que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se

desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento

se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación

se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas.

En la educación matemática a nivel internacional apenas se habrían

producido cambios de consideración desde principios de siglo hasta los años 60.

A comienzos de siglo había tenido lugar un movimiento de renovación en

educación matemática, gracias al interés inicialmente despertado por la

prestigiosa figura del gran matemático alemán Félix Klein, con sus proyectos de

renovación de la enseñanza media y con sus famosas lecciones sobre

Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908). En nuestro país

ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de Rey Pastor, quien

publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al castellano. En los años 60

surgió un fuerte movimiento de innovación. Se puede afirmar con razón que el

empuje de renovación de aquel movimiento, a pesar de todos los desperfectos

que ha traído consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido, con

todo, la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta constante

sobre la evolución del sistema educativo en matemáticas a todos los niveles. Los

cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y contramareas a lo

largo de la etapa intermedia. Hoy día, podemos afirmar con toda justificación que

seguimos estando en una etapa de profundos cambios.

Situación actual de cambio en la didáctica de la matemática

Los últimos treinta años han sido escenario de cambios muy profundos en

la enseñanza de las matemáticas. Por los esfuerzos que la comunidad

internacional de expertos en didáctica sigue realizando por encontrar moldes

adecuados está claro que vivimos aún actualmente una situación de

experimentación y cambio.

6

“El movimiento de renovación de los años 60 y 70 hacia la "matemática

moderna" trajo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en su

talante profundo como en los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las

principales características del movimiento y los efectos por él producidos se

pueden contar los siguientes”: FP

3

-Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas,

especialmente en álgebra.

-Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión,

contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos.

- Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a

través de las nociones iniciales de la teoría de conjuntos y en el cultivo del

álgebra, donde el rigor es fácilmente alcanzable.

- La geometría elemental y la intuición espacial sufrió un gran detrimento.

La geometría es, en efecto, mucho más difícil de fundamentar rigurosamente.

- Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el

vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometría elemental tanto

abunda, y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautología y

reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el álgebra puede

ofrecer a este nivel elemental.

En los años 70 se empezó a percibir que muchos de los cambios

introducidos no habían resultado muy acertados. Con la sustitución de la

geometría por el álgebra la matemática elemental se vació rápidamente de

contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuición espacial

fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometría de

nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las

personas que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los

P

3P Balbuena Correa Hugo, La Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela.

7

inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada "matemática moderna"

superaron con mucho las cuestionables ventajas que se había pensado conseguir

como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las estructuras

matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática contemporánea.

Los años 70 y 80 han presentado una discusión, en muchos casos

vehementes y apasionados, sobre los valores y contravalores de las tendencias

presentes, y luego una búsqueda intensa de formas más adecuadas de afrontar

los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte de la comunidad

matemática internacional.

0BLos impactos de la nueva tecnología.

La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el

ordenador actuales está comenzando a influir fuertemente en los intentos por

orientar nuestra educación matemática primaria y secundaria adecuadamente, de

forma que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Es claro que, por

diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, in preparación de

profesores, hostilidad de algunos,... aún no se ha logrado encontrar moldes

plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes del momento

presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza y

sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. El acento

habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los procesos

matemáticos más bien que en la ejecución de ciertas rutinas que en nuestra

situación actual, ocupan todavía gran parte de la energía de nuestros alumnos,

con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo

verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para el diálogo

inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y

otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.

8

- Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en

cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas

1BSobre la utilización de la historia en la educación matemática.

El valor del conocimiento histórico no consiste en tener una batería de

historietas y anécdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de

hacer un alto en el camino.

La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer

comprender una idea difícil del modo más adecuado. Quien no tenga la más

mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha

recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada

del número complejo, se sentirá tal vez justificado para introducir en su

enseñanza los números complejos como “el conjunto de los pares de números

reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones." Quien sepa que

ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los números

complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas

con ellos, se preguntará muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de

introducir los complejos en la estructura cristalizada antinatural y difícil de tragar,

que sólo después de varios siglos de trabajo llegaron a tener.

Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la

inducción, el pensamiento algebraico, la geometría analítica, el cálculo

infinitesimal, la topología, la probabilidad, han surgido en circunstancias históricas

muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores

muy singulares, cuyos méritos, no ay por justicia, sino por ejemplaridad, es muy

útil resaltar. La historia debería ser un potente auxiliar para objetivos tales como:

- Hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas.

- En marcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas,

junto con su motivación, precedentes.

- Señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en

la que se encuentran actualmente.

9

importantes.

2BLa importancia de las matemáticas en la vida diaria.

Es evidente la importancia del conocimiento matemático en la vida diaria.

Las matemáticas permiten resolver problemas en diferentes ámbitos, tales como

el técnico, el científico, el artístico y la vida cotidiana, si bien todas las personas

construyen conocimientos fuera de la/escuela que les permitan enfrentar dichos

problemas, esos conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la vida

diaria.

"No existe alguna que ni necesite ayuda por parte de las matemáticas, no

obstante esta ayuda, como las propias matemáticas, hay gente que se le

imagina de modo distinto, no se da una relación entre la utilización de las

matemáticas y su punto de vista” FP

4

Las matemáticas son necesarias en nuestra existencia porque son el

producto de nosotros mismos, es decir, del que hacer humano, muchos

desarrollos importantes de esta disciplina han partido de la necesidad de resolver

problemas concretos propios de los grupos sociales, es por esto que las

matemáticas no se deben aislar de la vida diaria, no se debe considerar rutinaria

y sin importancia, ya que en ocasiones se considera que sumar, restar,

multiplicar y dividir, es lo único importante por aprender.

Los individuos al encontrar significado y funcionalidad' en las matemáticas,

comenzarán a valorarla y hacer de ella un instrumento que los ayude a

reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos contextos de

su interés.

Por lo tanto, el ser humano al apropiarse de todos los conocimientos

matemáticos estará dando un paso importante, ya que a través de ellos podrá

integrarse y desenvolverse satisfactoriamente en la sociedad a la cual pertenece.

P

4P Y. Jurgin ¿ Que son las matematicas?

10

"Cabe hacer mención que la habilidad del hombre para formular conceptos

matemáticos con la experiencia física en proposiciones abstractas, breves y

concisas de este tipo; han sido la base para el desarrollo de una civilización

fundada en la comprensión de su medio ambiente” No podemos aislarlos de las

matemáticas debido a que esta es necesaria a cada momento, los números están

presenten en cualquier actividad que realizamos, como por ejemplo: En la

construcción de una cosa, compras en el supermercado, medir un terreno, etc.,

pero no es que estén presentes en determinada situación, es básico recalcar que

las, matemáticas son la base de los nuevos programas de estudio de las

primarias, un alumno puede ser excelente en todas las demás áreas, ya sea

español, ciencias sociales, etc" pero si todavía no ha podido evolucionar en

pensamiento, el conocimiento matemático, no puede evolucionar en su

educación, debido a que no podrá utilizarla como instrumento para resolver

determinada cuestión o problema en la que se requieran por lo menos los

conocimientos mínimos de matemáticas (restar, multiplicar, dividir) y por lo tanto,

no podrá darle solución al conflicto y desenvolverse correctamente dentro de la

sociedad en que habita.

Desde esta perspectiva, las matemáticas son para las personas una

herramienta que ellos recrean y que evoluciona frente a la necesidad de resolver

problemas. "Las matemáticas al igual" que el arte, advierten los fenómenos de la

vida real, integran los acontecimientos de la vida real, procesos; y hechos

análogos y los generaliza"FP

5

Al hacer matemáticas, las personas aprenden a enfrentar numerosas

situaciones que les pueden presentar un problema, reto, generando sus propios

recursos, para resolverlos a partir de los conocimientos que ya, tienen.

En este sentido y como ya se ha expresado, los conocimientos

matemáticos son vitales en nuestra vida diaria, porque nos sirven como

herramientas que nos permiten resolver cualquier conflicto de una forma mas

económica, más rápida de que debido a su lenguaje con el que se expresan,

P

5P Ibidem Pág. 38

11

podemos comunicar a los demás con claridad y precisión los métodos que

utilizamos.

Dentro de la utilización de las matemáticas, nos damos cuenta que cada

uno de nosotros aprende primero las operaciones más elementales como la

adicción, sustracción y la multiplicación, puesto que tenemos la necesidad de

utilizarlas en nuestro contexto social de esta forma logramos ampliar nuestro

conocimiento sobre los números, es decir, a mayor empleo, mayor comprensión y

esto nos ayudará a enfrentar y darle solución a las dificultades y traerá consigo un

mejoramiento en nuestro nivel de vida, Por lo tanto, no podemos dejar de

mencionar que los métodos matemáticos pueden utilizarse con éxito en todas las

ciencias, siempre que su aplicación sea adecuada y correcta.

Por otra parte, es necesario recalcar que todas las personas se deben

familiarizar con la teoría matemática, esta nos facilitará poder escoger mejor

nuestros instrumentos, los que necesitamos o por lo menos, que tengamos noción

sobre la existencia de dichos instrumentos, así como también, donde es

conveniente emplearlo, ya que si no se tiene ni siquiera un conocimiento previo,

no se sabrá la dimensi6n de su influencia en su vida personal y más generalizada,

en la sociedad.

En otro sentido, existe un fenómeno que ha llamado nuestra atención es el

hecho de que siempre ha estado presente la relación existente entre el

conocimiento matemático y la demanda de la misma por parte de la sociedad,

aquí es donde se observa con claridad la necesidad de las matemáticas para los

individuos, desde siglos atrás fue necesaria su presencia, encontramos por

ejemplo: Para que las sociedades pudieran desarrollarse en el comercio y la

industria, hubo necesidad de utilizar las ecuaciones, las cuales comenzaban a

perfeccionarse, aquí se ve con claridad la falta que nos hace día con día el

conocimiento matemático, surgen nuevos retos, el hombre debe buscar nuevas

opciones para darles solución y una de ellas son las matemáticas.

12

"El análisis matemático ayudó a la física, a la mecánica, a la química y

otras asignaturas contiguas, a ellas a conquistar tantas victorias, esto abarca

todo, el movimiento de las maquinas y los mecanismos de los proyectiles y los

automóviles, de los aviones y los cohetes, la electricidad y la radio, en una

palabra, todo lo que nos rodea se debe a los éxitos del análisis matemático”FP

6

Por otra parte no solo debemos conocer los conocimientos matemáticos,

sino también aplicarlos a nuestra realidad, hay personas que tenemos

conocimiento de las matemáticas, lo que muchas veces nos ocurre es que no

sabemos cómo o dónde aplicarlas.

Es claro que la matemática es útil, ya que es un "objeto de enseñanza",

este puede transmitirse. Quien posee el conocimiento puede ofrecerlo a quien no

lo posee, es aquí donde está el punto clave, las generaciones evolucionan a

medida en que se transmiten los conocimientos matemáticos, se da una

interacción, los individuos nos relacionamos y colaboramos a que las demás

personas desarrollen el pensamiento matemático, ya que todos debemos y

podemos enseñamos unos a otros, de esta forma las matemáticas serán más

consideradas por la humanidad como algo muy cotidiano, algo que siempre está

presente en nuestras vidas.

Encontramos también, que la llamada ciencia de los números tiene gran

relevancia en nuestro paso por la vida, encontramos que se han reconocido que

su fin práctico, es culturizar de forma general al hombre, no importando su

posición social. El ser humano al tener noción de este conocimiento (las

matemáticas), elevará su nivel cultural, su intelecto será reconocido por los otros

miembros de la sociedad, esto le permitirá alejarse de la ignorancia y de las

dificultades que le acarrearían el no saber siquiera las operaciones matemáticas

más elementales (sumar, restar, dividir).

"La dificultad de las .matemáticas como proveedora de instrumentos

intelectuales para la resolución de problemas, ha justificado la cantidad de

recursos y la extensión de sus programas, por encima de otras asignaturas, pese

P

6P Ibidem Pág.42

13

a que los hechos muestran que muy pocos estudiantes las aprenden y menos

aún, llegan a aplicarlas a situaciones reales".

Es por esto que sabemos que, es en nuestro acontecer diario donde más

falta nos hacen las matemáticas, esta además de todo lo ya mencionado, nos

ayuda a pensar en forma lógica y ordenada, cultiva nuestra mente, prepara a los

individuos para analizar y deducir, fijar con claridad y exactitud posibles

soluciones o hechos conocidos para tratar de llegar al final que es la conclusión y

resolver el conflicto que se presente

Por ultimo queremos mencionar que las matemáticas son indispensables,

ya que no serviría de nada si nosotros no nos interesamos en ellas, cosa que lo

tenemos que hacer tarde o temprano, obligado por las circunstancias, es decir,

por el rápido desarrollo de nuestra sociedad que día con día, exige más

conocimientos por parte de los miembros que la conforman.

14

CAPITULO II

Alrededor De Las Matemáticas

2.1 Matemáticas En La Educación

Las matemáticas ha llegado a constituir uno de los grandes logros de la

inteligencia humana, conformado un aspecto medular de la cultura

contemporánea, un poderoso sistema teórico de alto nivel de abstracción,

potencialmente muy útil. Su importancia en otros niveles del sistema escolar, ha

aumentado desde la década de los años cincuenta, a partir de los que se

denomino la revolución científica técnica. Ella ha desempeñado un papel central y

protagónico en estos avances del conocimiento. En este contexto, el desarrollar

en el alumno un sistema estructurado de conocimiento y habilidades matemáticas,

es hoy un elemento básico en el proceso educativo.

Habitualmente, la idea de “matemática” que tiene cualquier persona es la

que recuerda de su paso por la escuela: es una “matemática herramienta”; para lo

menos, fruto de sus estudios profesionales en el área, es una “matemática

filosófica”, que descubre y relaciona ideas, conceptos, formas y estructuras,

construyendo edificios lógicos. (Son dos aspectos de una misma ciencia.)

La matemática es un lenguaje con su propio conjunto de signos, cuyas

relaciones no están elaboradas en esos signos. A estas relaciones, formadas por

la mente humana, posteriormente lo imposible; se espera que los alumnos

comprendan, a una edad demasiado temprana, lo que en la evolución histórica de

sus disciplina apareció en épocas muy avanzadas de su desarrollo. El sujeto que

hoy aprende matemáticas en nuestras escuelas tiene que procesar no solo datos

brutos empíricos, si no valga la redundancia, sistemas de procesos de datos de

matemáticas ya existentes, logrado por generaciones sucesivas de individuos

parcialmente inteligentes, cada uno de los cuales ha abstraído y generalizado

desde conceptos construidos por generaciones anteriores.

15

Por este motivo, la matemática difícilmente podría aprenderse hoy en forma

directa del entorno cotidiano, si no a través del acompañamiento de otros

matemáticos o de los profesores; por ello una deficiente metodología de

enseñanza puede hacer al alumno dependiente y exponerlo a adquirir inseguridad

y temor frente a la asignatura.

El comunicador de ideas o nociones matemáticas necesita conocer muy

profundamente los conceptos que desea transmitir pues, aunque ellos

aparentemente sean muy simples en si mismos, sus aplicaciones suponen mucha

reflexión.

Sin embargo por desgracia, lo que generalmente se impone a los niños y

estudiantes en su aprendizaje es una manipulación de signos con poca o ninguna

significación, relacionados según reglas memorizadas mecánicamente. Así se

minimiza la posibilidad del alumno de obtener de la disciplina su utilidad real como

sistema integrado de conocimientos aplicables.

El doctor Luis Santaló, el porque y para que enseñar matemáticas en la

escuela, sostiene “posiblemente lo mas importante y primordial es la elección de

los temas a tratar”. Y a esta elección, podemos añadir y destacar otro problema

fundamental: el del desglose, ordenación y jerarquizacion de esos temas, ya que

la naturaleza jerárquica de la matemática hace muy importante para el que

aprende que quien enseña lo haga en la secuencia adecuada. FP

7

2.2 Para Que Enseñar En Matemática En La Escuela Primaria

Esta pregunta nos pareció un poco sorprendente porque podría

entenderse que detrás de ella está el cuestionamiento: ¿Hay que enseñar

matemática en la escuela? Casi todos responderían afirmativamente a esto

último. Algunos habrán olvidado para qué, otros quizás nunca lo supieron. Por lo

tanto, la pregunta original tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la respuesta en

serio. O sea, no responder únicamente: porque a los 10 años el niño tiene que

P

7P M. del C. Rencoret.

16

saber sumar y multiplicar. Ésta es una respuesta operativa, pragmática. Soy de

los que cree que el niño debe saber operar bien, que no hay computadora que

elimine la necesidad de manipular los números, adquirir una imagen cuantitativa

de los objetos de este mundo. Pero no basta.

Estas notas estarán carentes de ejemplificaciones detalladas, de la

experiencia de tratar con niños de cerca de 10 años, pero pueden tener la

validez de quien trata y le gusta tratar con jóvenes en quienes las dificultades de

aprendizaje de dos lustros antes se reflejan en dolorosos traumas de estudio. Y

de quien ha hecho de la enseñanza y de la investigación matemática su

profesión.

1. Contar

El niño pequeño aprende rápidamente a contar. Luego a distinguir. De

individualizar los objetos que le rodean pasa a ‘saber’ sus nombres y a distinguir

que algunas cosas pueden clasificarse en las mismas categorías. El ejemplo

mejor estudiado es el de los pares, quizás porque tenemos varias partes del

cuerpo que vienen de a dos. Después de distinguir que mis dos manos y las

suyas tienen algo en común, reconoce que la misma propiedad es común a sus

dos pies y, después, cuando pide un juguete y luego otro, el niño dice dos

juguetes. Y ha empezado a contar.FP

8

Los sucesivos números naturalesP

1P hasta alrededor de diez vienen

después, y en general antes que el uno. Para un adulto esto puede resultar

extraño, pero parece ser que inicialmente es tan evidente la individualización de

los objetos aislados que es innecesario ‘contarlos’, y por tanto darle un número

(el uno) a su cantidad. La creación de un nombre y un símbolo para expresar la

inexistencia de objetos es un asunto definitivamente más complicado. Los niños

no adquieren rápidamente la idea del cero, que es la negación de la existencia.

La misma humanidad necesitó del símbolo muy tardíamente en su desarrollo y

P

8P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 70

17

su introducción en nuestro mundo occidental significó un inmenso avance en el

desarrollo de la matemática.

Los niños más interesados pronto se preguntan cuál es el número más

grande, los mejores alumnos llegan a una idea puramente matemática de

infinito. Estos niños habrán dado un gran salto en el aprendizaje de la

matemática y en desmitificar la disciplina.

He comentado, de esta manera un tanto atípica, para responder a la

pregunta por dos razones: Que la aplicación de las leyes formales de las

operaciones con los números naturales es uno de los mejores ejemplos del

proceso matemático de generalización. Que creo —con muchos otros— que el

buen conocimiento de los sistemas numéricos (no sólo de los números

naturales) es parte necesaria del bagaje básico de quien se dedique a la

enseñanza de la disciplina.

2. Aprovechar todas las facetas

Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado del papel que la

matemática ha jugado y juega en la sociedad en que vivimos. Tratamos de

reivindicar el contenido cultural de la matemática y la presentación de la

matemática como la profunda historia y creación humana que en realidad es.

Los profesores deberían saber cómo se han formado las ideas

matemáticas para:

•comprender las dificultades que la humanidad tuvo para elaborarlas;

•relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen

oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual;

•utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar.FP

9

Por otra parte, los profesores de todos los niveles deberían saber

aprovechar las muchas facetas de la disciplina, no sólo para entusiasmar a

P

9P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 73

18

4. Por último, relacionados directamente con el primer aspecto tratado en

esta enumeración, están los temas vinculados con la investigación matemática.

En la enseñanza primaria y secundaria esto lleva a destacar los aspectos

lúdicos, a ver los objetos matemáticos en juegos, que son tan importantes en la

formación general de los individuos y su intelecto. En la enseñanza más

avanzada se trata de explicar los desafíos abiertos en algunas ramas o de sacar

partido de cuestiones relacionadas con los grandes problemas y conjeturas y

nuestros alumnos sino para darle sus auténticas dimensiones. Recapitularemos

a continuación algunas de esas facetas que se agregan y complementan con

los aspectos históricos y culturales antes anotados.

1. Es como un arte en que el enlace entre sus distintas partes y teorías,

o entre proposiciones aparentemente desligadas, así como la elegancia y

limpidez de sus razonamientos, la brevedad y elocuencia y, a veces, la sorpresa

de sus resultados, son gratos al espíritu, a nuestro modo de pensar. Incluso

estos aspectos muchas veces satisfacen nuestro sentido estético.

2. Es un lenguaje preciso y eficaz. En realidad una de las razones

principales para la existencia y uso de la matemática es la elaboración de un

lenguaje que permita resumir la presentación de otras ciencias y disciplinas.

Más aún, el análisis sistemático u ordenado de muchos problemas técnicos o

prácticos es frecuentemente imposible sin una buena presentación matemática,

sin hacer un modelo formal.

3. Es un eficaz instrumento para resolver cuestiones de la vida cotidiana

o de la más sofisticada tecnología. Debidamente formalizado un problema es

resoluble utilizando herramientas matemáticas que HvanH de la simple suma, si se

trata de saber las deudas que tenemos, hasta difíciles procesos del cálculo

numérico si se quiere saber cuán cerca pasará un cometa (hacemos referencia

a estos asuntos de cálculo por no poder explicar aquí cuestiones relacionadas

con consecuencias derivadas directamente de teorías matemáticas: mecánica

cuántica, teoría de la relatividad, etcétera).

19

hasta con la vida personal de los matemáticos (¿sabe usted por qué el señor

Nóbel no estableció uno de sus premios para la matemática?).

Los profesores debemos impregnar la didáctica de la matemática de

estos contenidos culturales, destacar la influencia de la matemática en la

formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter

histórico y evolutivo. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la

enseñanza, su aprendizaje se verá facilitado.

La matemática es difícil (y prestigiosa)

La enseñanza de la matemática en todos los niveles se presenta como

un problema no resuelto. El número de estudiantes que no avanza en el ciclo

escolar debido a sus fracasos con la matemática y el número de reprobados en

la disciplina en los demás ciclos de aprendizaje son las manifestaciones

inmediatas de esa situación. Ella está tan extendida que los profesores de

matemática son vistos como los grandes verdugos del sistema educativo, como

la verdadera traba para el avance en los estudios secundarios o universitarios.

Muchas veces el estudiante opta por ciclos o carreras que no tienen la

disciplina, aunque no tengan particular vocación por el resultado final de ellos.FP

10

El problema tiene causas y manifestaciones diferenciadas en distintas

épocas y países con diversos grados de desarrollo económico y cultural. No me

referiré aquí a estos aspectos.

El objeto de la matemática es un tanto imperceptible. La abstracción de

las propiedades cuantitativas o geométricas que caracterizan a las primeras

nociones estudiadas en los cursos de matemática constituye un proceso de

complicada asimilación. Pequeños errores en este proceso hacen muy difícil la

asimilación de nuevos conceptos y procedimientos, lo que genera grandes

P

10P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 65

2

La segunda al conjunto de las cuatro artes matemáticas: aritmética,

geometría, astronomía (¿astrología?) y música. De trivium, que era la parte fácil

de los estudios, procede la expresión ‘trivial’, que los matemáticos gustamos

tanto de usar y algunos dicen que es ¡lo que no recordamos cómo probar!

Incluso, hace unos cien años se creía que en el receptáculo de la inteligencia

(digamos el cerebro) había una ‘bolsa de la matemática’, ¡de cuyo desarrollo

dependía la facilidad para la disciplina! Las dificultades anotadas, que son

socialmente percibidas y reconocidas, provocan una grave consecuencia en los 0

traumas futuros. Por otra parte la memorización de una nomenclatura diferente

y muy precisa introduce componentes que no son usuales en la vida diaria.

Sin embargo, esas mismas dificultades hacen que los que tienen

‘facilidad’ para su aprendizaje gocen de un respeto un tanto extraño y

contradictorio. Se les (nos) ve como seres con algún privilegio sobre los demás,

y a la vez como ‘bichos raros’. Esto lleva algunas veces a situaciones

desagradables o dolorosas del siguiente tipo: tener que responder con los

hombros levantados a la pregunta: ¿por qué si tu inteligencia te da para ser

matemático no te dedicas a algo que dé más dinero?

Las dificultades para la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina no

son de hoy. Desde los primeros documentos escritos que se refieren a la

enseñanza se destaca la de la matemática como un modelo a imitar. En el

pórtico de la Academia de Platón estaba escrito: “No entre quien no sepa

geometría”.

Durante la Edad Media diversos teoremas de la misma rama eran

denominados ‘puente de burros’ (pons asinorum), como una muestra de que

eran pocos los que, habiéndose iniciado en la disciplina, lograban salir adelante.

La propia organización del conocimiento y sus estudios durante la Edad Media

rendía culto a la importancia de la matemática. Se dividían en trivium y

quadrivium, tres y cuatro vías. La primera incluía las tres artes liberales relativas

a la elocuencia: gramática, retórica y dialéctica.

21

alumnos de los ciclos iniciales. El buen desempeño en matemática es

considerado, en general, como una muestra de sabiduría e inteligencia. Se ve a

quienes tienen facilidad para la matemática como gente especial, con alguna

dote extraordinaria: el saber matemático goza de prestigio. Esto se debe, por

una parte, a que las dificultades de la disciplina hacen que quien la sabe o la

aprende con facilidad sea visto distinto, especialmente dotado; por otra parte,

los muchachos con particular facilidad para la matemática también tienen, por lo

general, facilidad para conceptualizar en otras disciplinas, para continuar la

concatenación lógica de razonamientos, hasta para encontrar similitudes en

geografía, física.

Este ‘prestigio’ a su vez genera en quienes tienen dificultades un rechazo

a la matemática. Se sienten apabullados, pasan a ignorar la belleza, la

coherencia y el ordenamiento de la disciplina, y a rechazar todo tipo de

formalización por su semejanza con la formalización matemática.

No es infrecuente que estos estudiantes con dificultades sean más

retraídos, sientan que no podrán ocupar sitios importantes en su actividad u

obtener ocupaciones destacadas y modernas. Se considerarán humillados ante

sus profesores de matemática y, más adelante, muchos de ellos serán

incapaces de tener el sustento mínimo para incorporar conocimientos

matemáticos o meramente cuantitativos que les permitan avanzar normalmente

en sus estudios.

Los profesores universitarios tienen experiencias variadas que muestran

que la dificultad natural de los conocimientos tratados en nuestros cursos son

frecuentemente un detalle en relación con las barreras psicológicas y el

desinterés de nuestros alumnos. Elementos estos que tienen su origen en las

observaciones anteriores sobre el prestigio y los temores por el saber

matemático.

22

Ingredientes básicos

Querría insistir un poco más en los aspectos de categorizar y generalizar,

porque nos parecen los fundamentales desde el punto de vista de la

maduración y avance intelectual del niño.

Lo que estoy llamando ‘categorización’ es una de las maneras en que se

forman los conceptos. Éste es un paso claramente posterior a la percepción de

los objetos. Por esa razón se debe hacer del aprendizaje de la matemática una

actividad constructiva y de razonamiento, de modo que el alumno reconozca

objetos concretos, y logre luego que los objetos matemáticos adquieran su

significado. Esto contradice la idea de que los niños simplemente absorben.

En estos procesos de elaboración de conceptos (matemáticos) el niño

debe abstraer (sacar de, retirar, separar lo particular), debe discriminar (separar,

distinguir), priorizar (determinar lo que es primero o más importante) y, como

consecuencia, generalizar. Sin esta generalización no habrá formación de

conceptos. La abstracción (discriminación, priorización) y generalización que

forman parte de estas etapas iniciales (en realidad de todas las etapas de

aprendizaje matemático) son esencialmente procesos psíquicos, por lo que el

niño debe pasar por sí mismo de la percepción a la conceptualización.FP

11PF

Todos estos procesos no son exclusivos de la matemática, pero se dan

particularmente puros, diáfanos, en esta disciplina. Por lo mismo es que

adquieren particular relevancia en la buena educación general. Por ello mucho

de lo que sigue se puede leer sustituyendo la palabra matemática por la

denominación de otra disciplina o concepto.

El aprendizaje se da en el momento en que la matemática informal del

niño (basada en nociones intuitivas y procedimientos inventados para operar

con y procedimientos inventados para operar con aquellas nociones) se

transforma en algunas reglas formales que el maestro debe captar y resumir.

Estos cambios se dan, en general, de modo súbito y crean discontinuidades en

P

11P Roberto Markarian, Correo del Maestro Num. 73

23

el proceso de aprendizaje. Estas discontinuidades son naturales e inevitables;

los profesores deben estar preparados para ellas pues constituyen el

aprendizaje mismo de la disciplina. Pero, además, para conseguir reales

avances, los alumnos deben disponer de herramientas que les permitan dar el

salto, o sea, establecer vínculos entre la matemática informal y formal. Se

propenderá a crear modelos de situaciones o fenómenos conocidos que

permitan simultáneamente analizar lo intuitivo y experimentar con el correlativo

formal.

Deben abrirse etapas de reflexión sobre asuntos que los alumnos hayan

pensado por sí mismos. El niño debe hacer una confrantación activa de los

puntos de semejanza entre los datos y las ideas, entre lo intuitivo y lo formal. En

esa confrontación podrá discriminar qué es lo esencial y qué es lo accesorio del

concepto sobre el que está avanzando: las concordancias se harán compatibles

con las diferencias. Esas similitudes serán integradas a un sistema y podrán ser

reconocidas en cualquier otro ejemplo.

Los conocimientos matemáticos disponibles para el niño están sujetos a

constantes mejoras. Hay asimilación de nuevos conocimientos y

acomodamiento de los existentes. Por ello se debe aprender como un todo

coherente y no como partes separadas. Esta capacidad de conexión funciona

en dos sentidos: cubriendo tanto relaciones entre ideas matemáticas como la

relación entre matemática y mundo real. Hay que dar estructura a lo que se está

aprendiendo. Se ha llamado a esto ‘entretejer los hilos del aprendizaje’. Pero

este entretejido no puede llevar a la dispersión de los distintos componentes y la

mezcla de conocimientos que responden a necesidades diversas. Por ejemplo,

considero equivocado fraccionar en unidades demasiado pequeñas la

exposición y discusión de aspectos de la geometría. Si se quiere estudiar el

triángulo no deberían darse un día la definición, varias semanas después las

relaciones entre sus ángulos, luego los distintos tipos, la importancia del

concepto de altura o de baricentro.

24

Creo mucho más productivo y superior desde el punto de vista de la

disciplina (donde la memorización de conceptos abstractos no es fácil) tratar los

temas en bloques, aunque las experiencias del niño circunstancialmente no los

motiven directamente.

Como corolario de la observación inmediatamente anterior, surge que las

ideas matemáticas mismas pueden y deben a cierta altura constituir tema de

estudio, aun en la escuela. No sé por qué a esto se le llama ‘matematización

vertical’. La disciplina debe pasar a tener su vida propia. Además del ejemplo

geométrico ya dado, anoto la posibilidad de hacer el estudio de las proporciones

en forma de fracciones cuando se introduce la idea de porcentajes.

Sé que me he ido por diversas ramas de la respuesta a la pregunta

original. He preferido no cortarlas. Me ha parecido mejor responder no sólo para

qué enseñar matemática en la escuela. Escribí también algo sobre qué enseñar

y cómo enseñar. Me parece fundamental que los niños se impregnen de

matemática en la escuela, que se interioricen con sus aspectos formales y

abstractos. Ésta es la única manera que les será útil, en el sentido más aplicado

de la palabra. Y los profesores debemos asumir el desafío y el compromiso de

colaborar para que esa impregnación se haga bien.FP

12

2.3. ¿Qué Enseñar En Matemática?

La sociedad a través de los programas de estudio, selecciona

explícitamente del “saber docto” algunos “objetos de saber” para llevarlos a ser

"objetos de enseñar", Se configura así el problema principal, que domina todos los

demás problemas de la enseñanza de la matemática, el del contenido de los

estudios: saber cuál es la matemática que debe enseñarse hoy a Ciertos

alumnos determinado desde un punto de vista social, es importante pero muy

difícil conseguir programas de matemática en los que esta ciencia sea

considerada como un elemento de la cultura general del hombre moderno,

independientemente de su posición en la sociedad y de su profesión.

P

12P Roberto Markarian, Correo Del Maestro Num. 73

25

La solución de este problema fundamental supone no sólo un análisis

detallado y una valoración de la matemática de hoy, de sus perspectivas de

desarrollo, de su situación con respecto a las demás ciencias y de su papel en las

distintas actividades humanas. Supone también un estudio de los efectos de las

ideas y los métodos matemáticos sobre la personalidad del alumno, su mente, su

voluntad, su carácter, su capacidad de realizar un trabajo organizado y orientado

hacia una finalidad precisa estos problemas no son nuevos. Fueron ya.

planteados en la segunda mitad del siglo pasado, en la polémica entre los

partidarios de los estudios “clásicos" y de los llamados “científicos modernos”.

Pero en el mundo de hoy, la matemática ocupa un puesto más importante que en

cualquier etapa anterior de la historia debido a las siguientes razones: FP

13

- El crecimiento sin precedentes de ideas y métodos matemáticos, el

desarrollo de teorías, y la aparición de nuevas disciplinas relacionadas con

nuevas aplicaciones de la matemática.

- La importancia asignada a los principios y concepciones generales que

permiten sistematizar los conocimientos matemáticos acumulados.

Todo ello hace evidente y necesario la búsqueda y trazado de un nuevo

camino que conduzca a los niños hacia el pensamiento matemático. Para

preguntas fundamentales, como cuáles deben ser los contenidos abordados en

clases, cómo deben situarse dentro de la estructura del curso, cuál es el grado de

profundidad y de generalidad con que deben estudiarse y cuál es el punto de vista

desde el que deben presentarse a los alumnos, no existen respuestas únicas.

Además, estas preguntas siempre estarían influidas por la orientación general de

la educación en el país de que se trate y por la forma de concebir la educación.

A modo de ejemplo, basta decir que es evidente la diferencia fundamental

entre un punto de vista matemático que cree que su ciencia no tiene, nada que

ver con la realidad (a decir de Bronwer: "Las matemáticas puras son una creación

P

13P Roberto Markarian, Correo Del Maestro Num. 64

26

libre del espíritu y no están ligadas a la experiencia"), y la concepción de la

matemática como ciencia de las relaciones cuantitativas más generales del

mundo real (como afirma Engels). Al respecto, parece interesante destacar uno

de los puntos propuestos en el manifiesto publicado en American, Mathematical

Monthly and the Mathcmatics teacher, que dice: "Saber es hacer". "En

matemática, un conocimiento valioso no supone ninguna posesión de información,

sino 'saber hacer'. Saber matemática significa poder hacer matemática; usar el

lenguaje matemático con alguna fluidez, resolver problemas, criticar argumentos,

buscar demostraciones, y, lo que puede ser más importante, reconocer un

concepto matemático en una situación concreta o extraerlo de ella". (On the

mathematics currículum for the school 1962.)

Por tanto, introducir nuevos conceptos sin un fondo suficiente de hechos

concretos; o conceptos unificadores, cuando no hay experiencia que unificar; o

insistir constantemente en los conceptos ya introducidos sin aplicaciones

concretas que estimulen a los estudiantes, es trabajo inútil y la formalización

prematura puede llevar a la esterilidad. La introducción prematura de

abstracciones encuentra resistencia especialmente en las mentes críticas, porque

éstas, antes de aceptar una abstracción, quieren saber por qué es importante y

cómo podría usarse, Se debe enseñar matemática no para obtener aprendizajes

mecánicos, sino para llevar a una persona a pensar como un matemático, a

enjuiciar. y a tomar parte en el proceso creativo de acrecentar el conocimiento.

2.3.1 criterios para seleccionar, ordenar y jerarquizar los contenidos de un

modelo instruccional

Consideramos los contenidos como un descripción de las capacidades

esperadas de los niños en un dominio específico de la actividad humana. Este

enfoque permite concebir el contenido como proceso, es decir, como un conjunto

de diferentes operaciones que lleva a la adquisición y utilización del conocimiento

y que lo emplea no sólo como cantidad de información, sino como un sistema

para aprender.

27

Esta perspectiva visualiza el contenido en una doble dimensión:

Como compendio de información dada por conceptos, principios, leyes,

teoremas, generalizaciones, hechos. Como operaciones lógicas, capacidades,

destrezas y habilidades con que se utiliza la información. Sí no se toma en cuenta

la estructura del conocimiento que se desea enseñar, se corre el riesgo de tener

problemas de contenido y secuencia, los que se revelan en omisiones tanto de

contenidos como de requisitos en las primeras fases del aprendizaje.

Es importante, entonces, visualizar la asignatura como un sistema en

efecto, ver un conjunto de elementos como un sistema es reconocer que está

constituido por partes interactuantes e interdependientes; por otra parte, para

crear o mejorar un sistema es necesario conocer y comprender sus componentes

y cómo ellos interactúan, así como el contexto dentro del cual se encuentra. No se

puede actuar sobre un componente de un sistema sin hacer cambios en él mismo.

La matemática forma un sistema unificado de conceptos y de operaciones

que explican algunos patrones y relaciones existentes en el universo. Además de

conceptos y operaciones hay declaraciones más o menos abstractas de patrones

y relaciones, expresadas en forma de axiomas o de reglas en fórmulas

matemáticas, que dan significado a dichos patrones en relación con los Otros. FP

14

También, existe un cuerpo de procedimientos que permiten manipular

conceptos y patrones en forma ordenada y precisa. Estos patrones y

procedimientos se descubren a veces en forma "accidental", o primero se intuyen

y luego se busca la forma de demostrarlos lógicamente, lo que constituye el

método. Presentación formal, sean actividades reconocidas y validadas en el

ámbito de esta disciplina.

Por estas razones, el contenido seleccionado en un programa debe:

- Representar la estructura conceptual. Esto es, el ordenamiento de las

ideas más importantes de la disciplina, considerando que ella es siempre

P

14P Sola Mendoza Juan, Pedagogía en Píldoras.

28

dinámica y, por lo tanto, que está en permanente evolución; porque aprender una

estructura es aprender cómo los entes se relacionan, es hacer un contenido más

comprensible, es lograr retenerlo por más tiempo, es facilitar la transferencia y

permitir el acceso desde el conocimiento básico al más avanzado, posibilitando

acrecentar el pensamiento intuitivo y progresar en el aprendizaje.

- Representar la estructura sintáctica, esto es, el modo en que la disciplina

comprueba la validez de sus conocimientos.

- Tener validez desde el punto de vista científico, recordando que la selección

nunca será definitiva, porque la ciencia está en permanente revisión de sus

conclusiones, y el programa debe permanecer actualizado; además, debido al

ritmo vertiginoso de aumento del conocimiento los programas requieren de

constantes ajustes.

- Posibilitar la elaboración o manejo intelectual por los .estudiantes, quienes

deben organizarlo y aprender a aplicarlo.

- Posibilitar la internalización de valores y ser formativos, proporcionando al

alumno instancias para que desarrolle actitudes e intereses que le permitan

situarse y actuar en la vida con dignidad, respetando y solidarizando con las

personas y naciones en una convivencia armónica.

- Ser significativo, despertando el interés del niño al estar relacionado con sus

necesidades motivaciones e intereses.

- Tener el nivel adecuado al desarrollo del niño, tanto cognitivo como afectivo y

psicomotor, y darle la posibilidad de reelaborarlo.

- Ser útil, entregándole la oportunidad de aplicar el conocimiento adquirido en la

escuela a situaciones nuevas.

- Promover la imaginación, excitando su fantasía y estimulando su creatividad.

- Tener conexión con la realidad, siendo significativo y útil.

-Se complementan. Las consideraciones precedentes con el hecho que, en

matemática, hay unanimidad para reconocer el número como su elemento

fundamental, lo que conlleva la necesidad de constituirlo como el centro

organizador de un programa de iniciación matemática.

29

Es importante tener presente que la noción numérica no es sólo reductible

a la disciplina de la matemática; en su conquista contribuyen también la

lingüística, la música, la educación física y los trabajos manuales, entre otras,

comprobándose con ello la unidad interdisciplinaria.

2.3.2 Criterios Para. Secuenciar, Integrar Y Organizar Los Contenidos

Secuencia

La secuencia, eje longitudinal del currículo, se refiere al orden en que se

desarrollan los contenidos y a la continuidad de los " aprendizajes. En la

secuencia se deben considerar dos tipos de factores:

Lógicos, propios del contenido, que deben respetar las relaciones lógicas

entre los conceptos unificadores de la disciplina y que ayudan al entregar

posibilidades de relacionar y explicar.

Psicológicos del aprendizaje, que deben cumplir, por una parte, requisitos

de continuidad, lo cual significa que los aprendizajes deben llegar a constituir una"

cadena en que cada eslabón se construye sobre su anterior; y, por otra, requisitos

de respeto a las etapas del desarrollo cognitivo, afectivo y psicomotor del alumno.

Integración

La integración se refiere a la relación horizontal de varias áreas del

currículo, la cual debe permitir a la vez la interrelación entre diversos campos,

posibilitando la construcción del conocimiento, pero respetando el pluralismo en

esa unidad. Es necesario utilizar en cada disciplina conceptos que tengan la

mayor importancia, y al mismo tiempo permitan relacionar, explicar y generalizar.

Si bien es cierto que, podría decirse, cada disciplina tiene su mundo propio,

su modo de pensar y sentir, y una particular forma de expresar, se deben buscar

relaciones naturales no forzadas, o "hilos integradores" como los llamó Bloom.

30

Organización

En la organización de los contenidos es necesario considerar un equilibrio,

esto es, una relación armoniosa entre: FP

15

- Las materias que se estudian por sí mismas, como los casos de castellano y

matemática que aportan lenguaje semántico o simbólico para manejarse en las

otras.

- Las materias formativas y las informativas.

- Los contenidos teóricos y los prácticos.

- El marco o extensión de un contenido y la profundidad con que se aboque el

tema.

Este equilibrio debe darse en forma dinámica, jamás en forma fija y

definitiva.

A continuación. Se propondrán algunas consideraciones puntuales sobre

secuencia y organización de un contenido a través del análisis de tarea para

elaborar una jerarquía de aprendizaje, objetivo específico de este libro.

2.3.3 Jerarquía de aprendizaje y análisis de tarea

Cada nuevo aprendizaje depende, en cierto grado, de conocer algo

previamente. El conocimiento se organiza como una estructura coherente en que

ningún concepto existe aislado; por el contrario, él se basa y está construido

sobre una red completa de otros conceptos anteriores. Estos conocimientos

anteriores capacitan al niño para interpretar los siguientes. El aprendizaje correcto

depende, así, de la capacidad y habilidad para relacionar lo lluevo con los

conocimientos previos en su particular nivel de desarrollo. El análisis de tarea

para elaborar una jerarquía permite construir un conocimiento sistemático, a la

vez que dinámico, en el cual cada conducta y concepto sirve de base al siguiente.

La descripción de la tarea o meta y los objetivos conductualmente

expresados contienen importantes indicios que ayudan al diseñador a identificar

P

15P Alves de Mattos, Compendio de Didácticas General

31

los conceptos, principios y habilidades intelectuales y perceptivomotoras

relacionados con esta tarea que debe dominar el alumno para lograr un buen

desempeño. Usando los objetivos y descripción de la tarea para hacer el análisis

de la misma, se está en mejores condiciones para especificar el contenido y

secuencia del curso.

En matemática, los conceptos de orden más bajo deben estar presentes

antes de la próxima etapa de abstracción. Ello implica que, antes de intentar

enseñar un nuevo concepto se deben encontrar, para cada uno de ellos, sus

conceptos contributarios sucesivos, hasta alcanzar los conceptos primarios o

experiencias que se suponen dadas. Si en cierto nivel de la construcción mental

de una estructura de abstracciones sucesivas se produce una comprensión

defectuosa, cualquier conocimiento posterior derivado de ella se encuentra en

peligro, porque los conceptos requisitos requieren estar disponibles en las nuevas

etapas de abstracciones posteriores. Así al presentar un plan idóneo de

enseñanza, el que aprende se encontrará con una tarea posible y gratificante de

realizar. Basta recordar que uno de los principios generales del aprendizaje

establece que es más probable que un alumno aprenda algo si cumple todos los

requisitos para ello.

De este modo se genera una jerarquía considerando la tarea objetivo

preguntando: ¿qué tendría que saber hacer el niño para realizar esta tarea? La

respuesta a esta pregunta serían las subtareas que se identifican y que se

interconectan con flechas que apunte la direccionalidad, desde el requisito previo

hacia la tarea final, reconociendo el origen corno componente de la tarea, de tal

forma que sería imposible realizarla sin saber ejecutar previamente la anterior.

Cada una de las habilidades y subhabilidades que se identifican es una

capacidad de realización, es decir, es algo que una persona sabe hacer en otras

palabras, las habilidades quedan definidas como conductas, sean ellas

"habilidades intelectuales", para el caso del concepto de número o "habilidades

psicomotoras", para la estructura del numeral asociado a ese concepto.

32

El hecho que una tarea ocupe un lugar más alto dentro de la jerarquía no

siempre significa que sea más difícil de realizar ni que requiera más tiempo y

esfuerzo que las anteriores. Las tareas de mayor nivel son más complejas

Dado entonces que las jerarquías se definen de forma conductual se

supone que sus componentes de procedimientos guardan ciertas relaciones entre

sí, reconociendo una organización del conocimiento general que subyace en este

procedimiento, y que la naturaleza de jerarquía de aprendizaje es tal que las

tareas subordinadas quedan incluidas en la tarea de mayor nivel.

Aun cuando las jerarquías no explican todos los tipos de transferencias del

aprendizaje, resultan sin embargo útiles para explicarlo en muchos campos

especialmente en matemática. Un análisis conceptual así elaborado implica

mucho más trabajo que dar una definición. Hay temas considerados elementales

por los legos y, sin embargo, quien los analiza se encuentra con que, conllevan

conceptos que muchas veces, incluso aquellos que los enseñan jamás habían

observado. En el aprendizaje de la matemática cada uno, en su propia mente,

debe crear de nuevo todos los conceptos, desde los más simples. Y podemos

lograr esto mediante el empleo de los múltiples conceptos desarrollados por

matemáticos anteriores.

De aquí se deriva que su aprendizaje, especialmente en el inicio, sea muy

dependiente de una muy buena enseñanza. De allí, también, la necesidad de

combinar una óptima calidad y variedad de medios, una mayor comprensión, por

parte del profesor, de los procesos mentales y de las relaciones subyacentes en

el aprendizaje de cada concepto. La teoría del aprendizaje acumulativo supone

como lo expresa su enunciado- que el aprendizaje del contenido consiste en una

acumulación de elementos cada vez más complejos. En otras palabras, parten de

conexiones sencillas y pasan por conceptos y reglas para llegar a la resolución de

problemas de orden superior. Basadas en esta teoría, las tareas matemáticas

pueden dividirse en jerarquías de habilidades componentes, que muestran una

transferencia positiva a las habilidades de mayor nivel jerárquico. Se sugiere así

un orden para la enseñanza de las habilidades componentes.

3

Se estima que la "capacidad de ver" estos objetos invisibles es uno de los

componentes de la habilidad matemática. El número es la propiedad común de

los conjuntos coordinables, esto es, equivalentes en cantidad de elementos. Cada

número es el representante de una familia de conjuntos equipolentes, y no tiene

una existencia como los objetos que vemos a nuestro alrededor. Son propiedad 3

porque están compuestas de las habilidades subordinadas identificadas, además

de otras que pueden haberse obviado en el análisis. Sin embargo, las de menor

nivel pueden ser, en realidad, las más difíciles de aprender, en términos de tiempo

empleado para lograrlas y de la forma en que se debió organizar el pensamiento

para aceptarlas. La habilidad de mayor nivel en la jerarquía puede llegar a ser

fácil de adquirir si se conocen todos sus componentes.

2.4 El Concepto De Número Y Su Representación

El número

Se puede considerar que la noción de cantidad ha sido utilizada

espontáneamente desde siempre por el hombre; sin embargo, el concepto de

número como objeto de enseñar ha sido propuesto sólo en los últimos años. Por

eso es que para llevarlo de objeto de enseñar a objeto de enseñanza se lo debe

estudiar en sus más profundas redes conceptuales, pues no se aprenden los

conceptos a partir de repetir sus definiciones.

Aun cuando algunos animales son capaces a veces de reconocer hasta

cuatro elementos, parece que una de las prerrogativas del entendimiento humano

es la de llegar a obtener un conocimiento real de los números. Desde una

perspectiva más sencilla se pueden considerar los conceptos como regularidades.

Sin embargo es necesario tener presente que el concepto de número es un

concepto matemático y como tal es un constructor teórico que forma parte del

universo formal del conocimiento ideal; como ente matemático es inaccesible a

nuestros sentidos, sólo se ve con los ojos de la mente, pudiendo representarse

únicamente a través de signos.

34

de los conjuntos, desprendidos de la percepción de lo, cuantitativo como

"cualidades numéricas". Sólo los conjuntos tienen la propiedad numérica: un

objeto puede ser rojo, grande, bonito, largo, pero ningún objeto tiene la propiedad

de ser tres. El número no es una cualidad del objeto físico mismo, sino que se

logra cuando se lo trasciende y se lo considera un elemento.FP

16PF

El concepto de número emerge así como característica de! conjunto de

objetos, como una clase. Esta clase se conforma por un elemento que ocupa un

lugar determinado, único en la sucesión de clases numéricas. En definitiva, al

distinguir la clase se conoce el número cardinal. Por ende, e! construir la noción

de número como clase es una actividad operatoria que, partiendo de la realidad

concreta, alcanza lo formal. Por ejemplo, si se tiene un conjunto con seis llaves,

un conjunto con seis mesas, un conjunto con seis autos, se dice que son

equivalentes en cantidad de elementos. Todos ellos pertenecen a una clase, la

clase o familia del seis, ya que la propiedad común de esos conjuntos

coordinables es la de tener seis elementos. Todos ellos tienen cardinal 6. El

cardinal es "la cantidad de elementos que tiene un conjunto", en este caso, seis.

Surge entonces que el número seis es el concepto que representa a los

infinitos conjuntos que tienen seis elementos. Hay datos teóricos y empíricos que

muestran que las raíces del número son muy generales en su naturaleza. La

manera exacta en que el niño construye el número, sigue siendo un misterio.

Desde la perspectiva de Piaget, cada niño construye el número a partir de todos

los tipos de relaciones que crea entre los objetos de allí la necesidad de

estimularlo a establecer todo tipo de relaciones entre toda clase de objetos,

acontecimientos y acciones. El niño interioriza y construye el conocimiento al

crear y coordinar relaciones, aprestándose así al número que es una relación

creada mentalmente por cada sujeto. Al desarrollar el niño la capacidad de

agrupar por las semejanzas y ordenar por las diferencias, adquiere la posibilidad

de clasificar y seriar simultáneamente. Allí, según Piaget, se origina el concepto

de número como síntesis de similitudes y diferencias cuantitativas.FP

17

P

P

17P Pardo De Sande, Irma. Didáctica De Las Matemáticas Para La Escuela Primaria

16P Pardo De Sande, Irma. Didáctica De Las Matemáticas Para La Escuela Primaria

35

La etapa prenumérica es un tiempo de "tránsito" hacia el número; en ella

se elaboran los conceptos y nociones lógicas constitutivas del concepto. En la

etapa de iniciación o prenumérica, el niño considera el número como "adjetivo

numeral"; él dice: "dos porotos", "dos manzanas". En los años posteriores en la

etapa numérica, ya concibe al número como sustantivo, dice "dos" como nombre.

Del signo que representa la propiedad común de todos los conjuntos coordínables

a los cuales pertenece una y otra unidad, independiente de la clase de unidades

que intervienen. Cada número también tiene un nombre que se escribe promedio

de signos y que existe por sí mismo, tomando un carácter sustantivo. El nombre

del número seis no sólo hace referencia a la clase (6) que representa, sino que

expresa un lugar determinado en la sucesión numérica, tiene un rango y es en

este sentido de cardinal-ordinal que un numero es una cantidad extensiva.

De esta manera, el "seis" ya no es 6 pinos, o 6 niños, sino el 6. También

allí surge el concepto de número como medida de una cantidad continua. Se

construye la noción de número cuando se trasciende las notas físicas de la

realidad de los seis elementos pertenecientes al conjunto y se lo considera como

elemento o unidad, con el cual es posible operar y conformar conjuntos.

El número, así concebido, es un esfuerzo de razón, una actividad de la

mente, una categoría que aprehende la realidad bajo el aspecto de la cantidad.

Pero si bien es cierto que todas las categorías son aspectos formales o nociones

bajo las cuales se abarca la realidad, toda la categoría número, conjuntamente

con la de clase, son las más formales, ya que dependen del funcionamiento de

asimilación que realiza la mente.

Los números intuitivos o perceptivos son los números del 1 al 4 y a veces

hasta el 5. Se llaman así, porque cada uno de ellos es percibido como una

cualidad o propiedad peculiar de los conjuntos de pocos elementos, de la misma

forma que se percibe global mente el color o el tamaño, es decir, como una

cualidad numérica desprendida de la propiedad de los conjuntos. En este ámbito

numérico no es necesario contar uno a uno los elementos de cada agrupamiento

para determinar el cardinal asociado y colgarle su numeral.

36

Por eso Piaget no considera la habilidad para retener hasta cinco objetos

como concepto de número, dado que ello es posible perceptualmente sin el uso

de la lógica. Es decir, los números pueden distinguirse con facilidad de un vistazo,

perceptivamente. Sin embargo, si bien es cierto que se puede tener un

conocimiento intuitivo o perceptivo de 3, ello no es válido para números mayores

o muy grandes, como, por ejemplo, 97.623, de los cuales se puede tener sólo un

conocimiento simbólico.

Los grandes números naturales son más abstractos que los cuatro o cinco

primeros de la sucesión numérica.

Que el concepto de número es algo que se desarrolla, se demuestra por el

hecho de que un niño va ampliando el ámbito numérico en el cual se maneja y

entiende relaciones, a partir de los números perceptivos, lentamente al principio:

de 5 a l0, y luego de 10 a 15, antes de que pueda hacerlo con números más altos.

Luego que el niño ha comenzado a comprender la noción de orden en su

mundo físico, puede empezar a observar el orden de números abstractos. Se

debe tener presente que el concepto de numero es independiente en su origen de

los términos y signos usados para su representación, aun cuando posteriormen-

te, fruto de un conocimiento social, ellos se relacionen y lleguen a constituirse en

sinónimo. Se da así cuenta de que, al contar, cada elemento de la sucesión es

uno más que el precedente y uno menos que el siguiente; está operando en el

conjunto de los números naturales.

Los números naturales son los números 1,2,3,4,5,... etc., que se usan

frecuentemente en la vida diaria. Se acepta que tiene en un sentido filosófico, una

existencia natural independiente del ser humano. Aun cuando el concepto de

número natural es más asequible que el de los otros números, no deja de ser un

concepto abstracto. Kronecker dijo: "Dios creó los números naturales, todos los

demás son obra del hombre"FP

18PF. Es decir, los otros conjuntos numéricos:

cardinales, enteros racionales, complejos y reales se consideran producto de la

mente humana.

P

18P Pardo De Sande, Irma. Didáctica De Las Matemáticas Para La Escuela Primaria

El conjunto de los números naturales se construye a partir del concepto

intuitivo de uno (1) por abstracción reflexionante, a través de la operación +1.

Esto significa:

1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 1 = 4, etc.

El número no es sólo un nombre, sino representa también una relación de

inclusión. El cinco implica una relación de uno más que cuatro, que a su vez es

uno más que tres, el cual también es uno más que dos, etc. Por eso los números

no deben presentarse como forma y valor aislado. Ellos deben presentarse con

una existencia con rostro, la forma del signo o numeral, v. gr., 5; con nombre

(cinco); con ordenamiento: después del 4 Y antes del 6; con lugar en la recta

numérica:

1 2 3 4 5

Cada numero así consumido es único y se define por su origen a partir del

que le precede inmediatamente, destacando el lugar que ocupa en la sucesión

numérica entre su antecesor y su sucesor. De esta forma adquieren sentido la

numeración y el cálculo.

La categoría número, al igual que las otras categorías, alcanza el nivel de

noción abstracta a través de un largo proceso evolutivo, que se desarrolla desde

el nacimiento hasta que el sujeto se mueve con plasticidad y solidez en el terreno

reflexivo. El número se constituye así como una de las formas de aprehender la

realidad, o sea, es una categoría. La noción de número, en cuanta categoría

formal, se obtiene por un proceso de abstracción de las acciones realizadas sobre

la realidad; este proceso de abstracción tiene secuencias de trabajo didáctico:

37

Trabajo del aprendiente con materiales concretos en una determinada

situación que permita intuir, a través de relaciones. El manejo del concepto, las

experiencias comprometen la observación. La observación, como actividad del

38

pensamiento. Detecta relaciones entre conjuntos y estas relaciones a su vez

suministran lo necesario para las operaciones futuras.

Expresar la actividad, lo que implica verbalizar el concepto. Nominando y

graficando las situaciones resultantes de las acciones sobre el medio. Por ello es

importante estimular en la enseñanza la "visualización", esto es, el proceso que

permite a los alumnos construir gráficamente diversos modelos visuales que

describan parte de las estructuras matemáticas subyacentes al concepto. Este

proceso de formación de imágenes mentales o materiales puede producirse como

una habilidad para traducir a imágenes visuales una información recibida en forma

simbólica o una interpretación y comprensión de modelos visuales.

La "visualización" permite al aprendiente construir mejor su propio

esquema o trama conceptual; esto es, la estructura personal asociada al concepto

en estudio que incluye imágenes mentales y propiedades con procesos asociados

a los conceptos o. lo que es lo mismo, el conjunto de todas las imágenes

mentales asociadas al concepto, producto de su experiencia con ejemplos y

contraejemplos del concepto; ello permitirá trabajar en situaciones futuras

aplicando el concepto.

Luego de abstraer el concepto, usar el símbolo que lo represente, es decir,

simbolizar el concepto usando el signo correspondiente.

En la construcción de este concepto de número, se pasa por diferentes

niveles antes de llegar al formal. Se pueden distinguir tres períodos' en el proceso

evolutivo del concepto de número, en el niño:

- El primero es sensomotor: en él sólo hay acciones realiza das sobre los

objetos.

- El segundo, simbólico: en él hay cantidad intensiva y se distinguen los

niveles que van desde la forma cuántica mas global, en la que casi no se puede

hablar de número, a un nivel .en que comienza la discriminación en cuanto la

percepción da paso a la intuición.

39

-Un tercer período: el de la cantidad extensiva o del número propiamente

tal, en cuanto el sujeto trasciende lo intuitivo y alcanza lo formal. En este nivel de

pensamiento las acciones se interiorizan pues se trasciende el límite de lo

espacial y sensible, estableciéndose la reversibilidad, es decir, la cualidad de la

menta que permite la realización simultánea de una operación y su inversa.

Sin embargo, el número se constituye no como una operación sino como

un sistema de cinco operaciones, que se pueden enunciar de la siguiente forma:

1) De composición aditiva, pero que también puede ser multiplicativa

Ejemplo:

4 + 2 = 6; 3 x 2 = 6 (3 veces 2 como sumando; 2+2+2).

La adición es una función matemática asociada a la unión de conjuntos

disjuntos. El resultado de esta operación (suma o total) es la cardinalidad del

conjunto resultante. Relaciona las partes con el todo: (4 + 2 = 6) síntesis; mientras

renombra el todo en función de sus partes: (6 = 4 + 2) análisis. Los niños muchas

veces memorizan los resultados de la adición sin un concepto real de número,

desconectado en general con situaciones de la vida real.

Es el peligro que tiene observar sólo el resultado.

2) De reversibilidad de la composición: sustracción o división.

Ejemplo: 6- 2 = 4; 6: 2 = 3 (resta iterada del 2; 6-2-2-2)

La reversibilidad, noción que permite invertir mentalmente las operaciones

físicas, da acceso a la sustracción, como la inversa de la adición; y a la división,

como la inversa de la multiplicación.

3) De asociatividad de la composición.

Ejemplo: 4 + 2 = 6

40

3 + 3 = 6

5 + 1 = 6

4) De identidad: toda operación de adición o multiplicación combinada con

su inversa queda anulada y el número se conserva idéntico.

Ejemplo: 4 + 2 = 6 4 2 = 8

6 - 2 = 4 8 : 2 = 4

5) De iteración: una unidad agregada a sí misma o a un número de

unidades, da lugar a un número por aplicación de la composición aditiva.

1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6

El concepto de número como síntesis de clase y serie.

El concepto de número comprende la habilidad para clasificar y seriar y

conjuntamente, de unir estas operaciones para expresar relaciones. Por ejemplo,

el número 8 expresa al representante de una clase de equivalencia compuesta de

ocho unidades, también expresa a esa clase como mayor que la del 7, es decir,

que la clase del 7 está incluida en la del 8, y ésta a su vez en la del 9, lo que hace

que la clase del 8 sea menor que la del 9. Es decir, se deben entender tanto las

relaciones entre los objetos de una clase, como la posición relativa de esa clase

hacia las otras. Para una clase de 8 unidades, el número cardinal ocho (signo 8)

representa la clase, pero para llegar a este número hay que contar uno a uno en

sucesión los objetos, y en este sentido difieren; la ordenación, es decir, el

relacionarlos entre sí como primero, segundo, tercero, hasta octavo es necesario

para el desarrollo del concepto. Por lo tanto, el "cardinal" se refiere a clase y la

"ordenación" a las relaciones u ordinal.

Estas dos operaciones deben fundirse antes de que se forme el concepto

de número.

41

FP

“Piaget insiste en que, para tener el concepto de número, se debe ser

capaz de clasificar y seriar, y entender la cardinalidad y la ordenación”. En

definitiva, desarrollar la habilidad para seriar y luego establecer correspondencia

entre dos series19PF. Formar clases es realizar la separación de los elementos de

un conjunto, organizando colecciones de acuerdo con un mismo criterio: el de la

cualidad o cualidades que representan en común los objetos por la que se los

agrupa, sin tomar en cuenta en ese instante otras cualidades que los puedan

diferenciar por ejemplo: juntar todos los elementos verdes, sin considerar diver-

sas formas que ellos tengan. Una clase no se configura solamente por la unión de

entes que tienen una misma característica o propiedad, sino por las subclases

que se incluyen en otra más extensa y que les da pertenencia por la cualidad que

tienen en común.

Se define así la clase, por la propiedad en común o la similitud que

posibilita la pertenencia a ella de los elementos que la poseen. Estas subclases

se relacionan por las similitudes que comparten, dejando de lado las diferencias

que las separan. Emerge, entonces, la noción de clase como el atributo en común

que hace posible la pertenencia a ella de los elementos que la poseen. Esos

elementos o subclases se reúnen por las propiedades que comparten, es decir,

por las similitudes, dejando de lado las diferencias que entre sus elementos

puedan darse. Independiente de las diferencias, se agrupa por la característica en

común que presentan.

Al tener clara la noción de clase es posible, trascendiendo del plano

concreto, descubrir las unidades de cada conjunto y percibir en el medio que se

utiliza una nueva clase, la que agrupa a todos los infinitos conjuntos que tienen la

misma cardinalidad o cantidad de elementos. Pasa así cada conjunto en particular

a ser una expresión de la clase de su cardinal asociado. Todos los conjuntos que

pertenecen a una misma clase, por estar formados por la misma cantidad de

elementos, tienen una cualidad en común, algo igual .entre ellos: es esa

composición o propiedad que ya no es del objeto sino del conjunto de objetos. Al

P

19P Karnii, Constante, El Numero En La Educación Preescolar Visor España 1985

42

modificar el orden entre los conjuntos, no se altera la composición de las clases,

pues ellos son equivalentes y se puede sustituir uno por otro. Cualquiera sea el

conjunto de seis unidades que se considere, siempre ocupará el sexto lugar, y

cualquiera sea la distribución espacial en que se presente una serie de conjuntos,

el que pertenece a la clase del 6, por estar conformado por seis elementos,

ocupará el sexto lugar o rango y se ubicará delante del 5 y detrás del 7. Su rango

siempre estará entre estos números y se construirá mentalmente esa clase

agregando una unidad él la clase del cinco. Es decir, cada número natural tiene

su orden fijo y único entre uno que lo precede y otro que lo sucede.

Ese orden fijo de las clases de equivalencia o números en la sucesión

numérica proviene del mismo proceso de construcción del número: cada uno de

ellos se obtiene agregando una unidad mas al anterior, determinando una nueva

unión de elementos que pasan a ocupar un lugar fijo, permanente y único en la

sucesión, aparece así el número, a la vez como clase y serie. Agrupa elementos o

unidades y esa clase ocupa un lugar específico y único en la sucesión numérica.

Emerge como producto de la síntesis, de la clase y la serie, independiente de la

clasificación y la seriación, aun cuando coexiste con estas nociones, como

estructuras simultáneas y paralelas. Ninguno es causa del otro, se construyen

por un mismo proceso evolutivo; atraviesan los mismos niveles desde un punto de

vista genético, son sincrónicos y solidarios. Si bien entonces el número implica la

clase y la serie, existe tener de ella, por sí mismo, de tal forma que es posible

afirmar que las clases son números no seriados, y las series son clases

numeradas. Si se entiende el número como clase y serie, desde la perspectiva de

la clase, se tienen los números cardinales, y desde la serie, los ordinales. Por eso

es que el número es a la vez cardinal y ordinal. Los números cardinales expresan

la cantidad de elementos o unidades que componen su clase. Los números

ordinales sé originan al atender al orden o lugar que el cardinal ocupa en la

sucesión numérica. En resumen, el número es la coordinación de clase y serie.

Constituye un elite independiente a la vez que paralelo y simultaneo de ellos. Se

apoyan recíprocamente:

43

CONTAR

Aun cuando Aristóteles creía que el hombre es un animal racional porque

puede contar, hoy parece un argumento poco convincente., sin embargo, hay que

considerar que la aritmética es ahora más fácil de lo que era en tiempos antiguos.

El sistema de numeración ha progresado y se han inventado mejores

métodos de cálculo.

Contar debe implicar algo más que recitar nombres, debería significar

hacer pares de nombres, de números con objetos. Recitar los nombres de los

números en ausencia de objetos reales es una actividad que carece de sentido,

tan inútil a la matemática como repetir las letras del alfabeto para aprender a leer.

El conocer el nombre de los números rara vez significa comprender su significado.

Que los niños puedan contar no significa que poseen el concepto de número. Sólo

hacen una enumeración verbal, apoyada en la percepción, ocupando los dedos

de la mano o los elementos de conjuntos de baja cardinalidad que estén a su

alcance. Es una memorización apoyada en el objeto concreto.

Un número es algo más que un nombre. Un número expresa una relación.

Sin embargo, no se debe olvidar que las relaciones no existen en los objetos

reales, son abstracciones, un escalón sacado de la realidad física, son

construcciones de la mente impuestas sobre los objetos para Piaget, el número es

la síntesis de dos tipos de relaciones que se establecen sobre los objetos a través

de la abstracción reflexiva. Ellas son el orden y la inclusión jerárquica. Para que el

niño, al contar los elementos de un conjunto, asocie realmente el concepto de

número correspondiente y no sea sólo una recitación mecánica, debe discriminar

con claridad en la ordenación de los elementos del conjunto en referencia. Esta

ordenación implica clasificar en forma permanente los elementos ya contados y

los que quedan por contar. La clasificación asegura que no se salte ningún

elemento y que no se cuente más de uno a la vez.

44

Pero concurrentemente se debe cuidar que al enumerar los elementos de

un conjunto (esto es, decir el nombre de los números ordenada y sucesivamente,

asignando el último nombre pronunciado al último elemento), en el proceso de

contar, el número verbalizado al final no esté representando la nominación de un

elemento puntual, sino a la clase incluida jerárquicamente. Esto es: el uno se

incluye en el dos, el dos en el tres, el tres en el cuatro, el cuatro en el cinco, etc.

Al contar objetos disímiles, se hace abstracción de sus diferencias de

tamaño, color; textura, uso, etc. Se incluye cada objeto en una "clase común" y se

le asigna la unidad. Así pasa a constituirse que la única diferencia entre estos

entes es su posición en una sucesión contable. Al contar para determinar la

cardinalidad o número de objetos de un conjunto, el niño debe colocarlos

mentalmente en una relación de inclusión de clase. De aquí se deduce la

conveniencia de trabajar simultáneamente la cardinalidad con la ordinalidad de los

números. La ordinalidad surge del reconocimiento del lugar en que está el

elemento dentro de la serie. Es una noción que asocia cada elemento con el lugar

que ocupa: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, etc.

2.4.1 La Representación Del Concepto De Número: El Numeral

Un concepto es un ente puramente mental, es inaudible e invisible, porque

no hay aún medios para observar directamente el contenido de la mente de otras

personas, ni para permitir acceso de otros a la propia. Para representar un

concepto se requiere de la utilización de medios audibles o visibles como palabras

habladas o escritas, u otras marcas sobre papel.FP

20

Piaget hace una interesante discriminación entre símbolo y signo. Para él,

un símbolo es un significado que tiene una semejanza figurativa con el objeto

representado y que puede ser inventada por el niño. Por lo tanto, los símbolos no

necesitan enseñarse.

P

20P Balbuena Correa Hugo, La Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela.

45

(00000000); IIIIII

IIIIII

Un signo es un significante convencional. Los signos no tienen semejanza

alguna con el objeto representado y forman parte de sistemas ideados para

comunicar mensajes a otras personas. La palabra "ocho" y el grafismo "S" son

signos que requieren transmisión social ya que han sido creados por convención.

Un signo es algo visible, asociado a un sonido y conectado mel1lalmente a una

idea, que es su significado.

Sin una idea ligada, un signo es vacío, carente de significado. Si un signo

está conectado al mismo concepto en la mente de diversas personas, entonces,

al expresarlo se puede evocar el concepto desde la memoria de uno al otro; es

decir, uno consigue que el otro "piense" en ese concepto. Una vez establecida la

conexión, su significado se proyecta sobre él y ambos se perciben como una

unidad.

Si se acepta que un signo y el concepto asociado son dos entes diferentes,

y que esta distinción no es trivial, sino, por el contrario, es la que existe entre un

objeto y su denominación, a tal punto que si un objeto es llamado por otro nombre

no cambia el objeto en sí, esto es válido incluso para un concepto abstracto,

objeto de pensamiento. En nuestro caso es válido para una idea matemática

como es el concepto dé número y su signo.

46

CAPITULO III

Análisis Del Programa De Estudio Matemáticas A Nivel Primaria De

Tercer Grado.

3.1 Enfoque

Las matemáticas son un producto del quehacer humano y su proceso de

construcción está sustentado en abstracciones sucesivas. Muchos desarrollos

importantes de esta disciplina han partido de la necesidad de resolver problemas

concretos, propios de los grupos sociales. Por ejemplo, los números, tan

familiares para todos, surgieron de la necesidad de contar y son también una

abstracción de la realidad que se fue desarrollando durante largo tiempo. Este

desarrollo está además estrechamente ligado a las particularidades culturales de

los pueblos: todas las culturas tienen un sistema para contar, aunque no todas

cuenten de la misma manera.FP

21PF

En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también

parten de experiencias concretas. Paulatinamente, y a medida que van haciendo

abstracciones, pueden prescindir de los objetos físicos. Él diálogo, la interacción y

la confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de

conocimientos; así, tal proceso es reforzado por la interacción con los

compañeros y con el maestro. El éxito en el aprendizaje de esta, disciplina

depende en buena medida del diseño de actividades que promuevan la

construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en la interacción

con los otros. En esas actividades, las matemáticas serán para el niño

herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las situaciones

problemáticas que se le planteen.

Las matemáticas permiten resolver problemas en diversos ámbitos, tales

como el científico, el técnico, el artístico y la vida cotidiana: Si bien todas las

personas construyen conocimientos fuera de la escuela que les permiten

enfrentar dichos problemas, esos conocimientos no bastan para actuar

P

21P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas

47

eficazmente en la práctica diaria los procedimientos generados en la vida coti-

diana para resolver situaciones problemáticas, muchas veces son largos,

complicados y poco eficientes, si se les compara con los procedimientos

convencionales que permiten resolver las mismas situaciones con más facilidad y

rapidez.

Contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la

escuela proporciona, permite la comunicación comprensión de la información

matemática presentada a través de medios de distinta índole.

Se considera que una de las funciones de la escuela es brindar

situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya tienen para

resolver ciertos problemas y que, a partir de sus soluciones iniciales, comparen

sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los

procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas.FP

22

3.2 Propósitos

Con fundamento en este enfoque se espera que, a lo largo del tercer grado

de la enseñanza primaria, el alumno logre obtener experiencias significativas que

le permitan:

. Comprender el significado de los números, hasta 9 999.y su representa-

ción simbólica, ordenar la serie numérica correspondiente y utilizar los números

para resolver problemas sencillos.

. Resolver problemas que impliquen el uso de unidades de medida no

convencionales, aproximándose a la noción de unidad de medida convencional al

utilizar el metro, el kilogramo, el centímetro cuadrado y el litro para medir

longitudes, pesos, superficies y capacidades.

. Resolver problemas con diversos significados de suma (agregar, unir,

P

22P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas Pág. 51

48

igualar), restar (quitar, buscar un faltante), multiplicación (arreglos rectangulares,

suma iterada) y división (reparto y tasativos, es decir, ver cuántas veces cabe una

cantidad en otra).

. Usar significativamente y con eficiencia en la resolución de problemas los

algoritmos de suma y resta con transformaciones, de la multiplicación con

números hasta de dos cifras y de la división con divisor de una cifra.

. Desarrollar la intuición geométrica y la imaginación espacial a través del

análisis del espacio físico, de los objetos y figuras del entorno, y de su ubicación y

representación en el plano.

. Desarrollar la habilidad para realizar trazos y mediciones, utilizando

instrumentos como la regla y la escuadra.

. Advertir que la organización de la información, así como su repre-

sentación a través de diagramas, tablas y gráficas son medios para descubrir

características y relaciones entre los datos y para hacer sencillas inferencias.

. Utilizar y recabar información contenida en documentos, ilustraciones y

gráficas para resolver o plantear problemas.

. Acercarse a la noción de evento azaroso a través de la realización de

juegos, del análisis de sus resultados y de las estrategias seguidas para llevados

a cabo.FP

23

3.3 Descripción De Los Componentes

Propósitos generales

Los alumnos en la escuela primaria deberán adquirir conocimientos

básicos de las matemáticas y desarrollar:

- La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para

P

23P Libro del Maestro, Matemáticas Tercer Grado Pág.14

49

reconocer, plantear y resolver problemas

- La capacidad de anticipar y verificar resultados

- La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.

- La imaginación espacial

- La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones :

- La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y

cálculo.

- El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de

razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de

procedimientos y estrategias

En resumen, para elevar la calidad del aprendizaje es indispensable que

los alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el

conocimiento matemático, que lo valoren y hagan de él un instrumento que les

ayude a reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos

contextos de su interés.FP

24

Organización general de los contenidos

La selección de contenidos de esta propuesta descansa en el conocimiento

que actualmente se tiene sobre el desarrollo cognoscitivo del niño y sobre los

procesos que sigue en la adquisición y la construcción de conceptos matemáticos

específicos. Los contenidos incorporados al currículum se han articulado con base

en seis ejes, a saber:

Los números, sus relaciones y sus operaciones

Medición

Geometría

Procesos de cambio

Tratamiento de la información

Predicción y azar

P

24P Ibidem. Pág.15

50

La organización por ejes permite que la enseñanza incorpore de manera

estructurada, no sólo contenidos matemáticos, sino el desarrollo de ciertas

habilidades y destrezas, fundamentales para una buena formación básica en

matemáticas.

Los números, sus relaciones y sus operaciones

Los contenidos de esta línea se trabajan desde el primer grado con el fin

de proporcionar experiencias que pongan en juego los significados que los

números adquieren en diversos contextos y las diferentes relaciones que pueden

establecerse entre ellos. El objetivo es que los alumnos, a partir de los

conocimientos con que llegan a la escuela, comprendan más cabalmente el

significado de los números y de los símbolos que los .representan y puedan

utilizados como herramientas para solucionar diversas situaciones problemáticas.

Dichas situaciones se plantean con el fin de promover en los niños el desarrollo

de una serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones, que les

permitan la construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda. De la solución

a partir de los conocimientos que ya poseen.FP

25

Las operaciones son concebidas como instrumentos que permiten resolver

problemas; el significado y sentido que los niños puedan darles, deriva

precisamente de las situaciones que resuelven con ellas.

La resolución de problemas es entonces, a lo largo de la primaria, el

sustento de los nuevos programas. A partir de las acciones realizadas al resolver

un problema (agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar

repetidamente, repartir, medir, etcétera) el niño construye los significados de las

operaciones.

El grado de dificultad de los problemas que se plantean va aumentando a

lo largo de los seis grados. El aumento en la dificultad no radica solamente en el

uso de números de mayor valor, sino también en la variedad de problemas que se

P

25P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas

51

resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que se establecen

entre los datos.

Medición

El interés central a lo largo de la primaria en relación con la medición es

que los conceptos ligados a ella se construyan a través de acciones directas

sobre los objetos, mediante la reflexión sobre esas acciones y la comunicación de

sus resultados.

Con base en la idea anterior, los contenidos de este eje integran tres

aspectos fundamentales:

. El estudio de las magnitudes

. La noción de unidad de medida

. La cuantificación, como resultado de la medición de dichas magnitudes

Geometría

A lo largo de la primaria, se presentan contenidos y situaciones que

favorecen la ubicación del alumno en relación con su entorno. Asimismo se

proponen actividades de manipulación, observación, dibujo y análisis de formas

diversa. A través de la formalización paulatina de las relaciones que el niño

percibe y de su representación en el plano, se pretende que estructure y

enriquezca su manejo e interpretación del espacio y de las formas.FP

26

Procesos de cambio

El desarrollo de este eje se inicia con situaciones sencillas en el cuarto

grado y se profundiza en los dos últimos grados de la educación primaria. En él se

abordan fenómenos de variación proporcional y no proporcional. El eje conductor

está conformado por la lectura, elaboración y análisis de tablas y gráficas donde

P

26P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas

52

se registran y analizan procesos de variación. Se culmina con las nociones de

razón y proporción, las cuales son fundaméntales para la comprensión de varios

tópicos matemáticos y para la resolución de muchos problemas que se presentan

en la vida diaria de las personas.

Tratamiento de la información

Analizar y seleccionar información planteada a través de textos, imágenes

u otros medios es la primera tarea que realiza quien intenta resolver un problema

matemático. Ofrecer situaciones que promuevan este trabajo es propiciar en los

alumnos el desarrollo de la capacidad para resolver problemas. Por ello, alo largo

de la primaria, se proponen contenidos que tienden a desarrollar en los alumnos

la capacidad para tratar la información.FP

27

Por otro lado, en la actualidad se recibe constantemente información

cuantitativa en estadísticas, gráficas y tablas. Es necesario que los alumnos

desde la primaria se inicien en el análisis de la información de estadística simple,

presentada en forma de gráficas o tablas y también en el contexto de

documentos, propagandas, imágenes u otros textos particulares.

La predicción y el azar

En este eje se pretende que, a partir del tercer grado, los alumnos exploren

situaciones donde el azar interviene y que desarrollen gradualmente la noción de

lo que es probable o no es probable que ocurra en dichas situaciones.

Cambios principales al programa anterior

Los cambios principales, como se ha descrito arriba, se refieren

fundamentalmente al enfoque didáctico. Este enfoque coloca en primer término el

planteamiento y resolución de problemas como forma de construcción de los

conocimientos matemáticos.

P

27P Plan Y Programa De Estudios De Primaria, Tercer Grado De Matemáticas

53

En relación con los contenidos se han hecho los siguientes cambios:

Se eliminaron los temas de "Lógica y conjuntos", ya que esta temática

mostró en los hechos, en México y en el mundo, su ineficacia como contenido de

la educación primaria. Existe reconocimiento de que los niños no asimilaron

significativamente esta temática y que, en cambio, su presencia disminuyó el

espacio para trabajar otros contenidos fundamentales. Se sabe, por otra parte,

que la enseñanza de la lógica como contenido aislado no es un elemento central

para la formación del pensamiento lógico.

Los números negativos, como, objeto de estudio formal, se transfirieron a

la escuela secundaria.

Se aplazo la introducción de las fracciones hasta el tercer grado y la

multiplicación y división con-fracciones pasó a "la secundaria. Lo anterior se basa

en la dificultad qué tienen los niños para comprender las fracciones y sus

operaciones en los grados en los que se proponían anteriormente. A cambio de

ello, se propone un trabajo más intenso sobre los diferentes significados de la

fracción en situaciones de reparto y medición y en el significado de las fracciones

como razón y división.

Las propiedades de las operaciones (asociativa, conmutativa y distributiva)

no se introducen de manera formal, se utilizan sólo como herramientas para

realizar, facilitar o explicar cálculos.

Las nociones de peso, capacidad, superficie y tiempo, además de la noción

de longitud de objetos y distancias, se introducen desde primer grado.

En relación con el cálculo del volumen de cuerpos geométricos, se trabaja

el volumen de cubos y prismas; el volumen de cilindros y pirámides se transfirió a

la escuela secundaria.

54

La noción de temperatura y el uso de los grados centígrados y Fahrenheit

se introducen en sexto grado.

Se utilizan únicamente las fórmulas del área del cuadrado, rectángulo Y

triángulo para el cálculo de áreas; el área de otras figuras se calcula a partir de su

descomposición en triángulos, cuadrados y rectángulos.

Se favorece el uso de los instrumentos geométricos (regla, compás,

escuadra y transportador) para dibujar y trazar figuras, frisos y patrones de

cuerpos geométricos.

Los contenidos de "Estadística" se incluyen en el eje "Tratamiento de la

información"; en este eje se incluye también un trabajo de análisis de información

contenida en imágenes y se analiza e interpreta la información presentada en

gráficas y en documentos tales como el periódico, revistas y enciclopedias.

El tema de "Probabilidad", presente en los programas anteriores de todos

los grados, se incluye bajo el nombre de "La predicción y el azar" y se introduce a

partir de tercer grado. Un cambio fundamental es que se disminuye el énfasis en

la cuantificación de las probabilidades. El interés central está en que los alumnos

exploren las situaciones donde interviene el azar y que desarrollen gradualmente

la noción de lo que es probable o no es probable esperar que ocurra en dichas

situaciones.

3.4 Descripción De Los Contenidos

Tercer grado

Los números, sus relaciones y sus operaciones:FP

28

Números naturales

. Los números de cuatro cifras

- Conteos

- Agrupamientos y desagrupamientos en millares, centenas, decenas y

P

28P Plan y Programas de Estudios para la Escuela Primaria de tercer grado

55

unidades

- Lectura y escritura

- El orden de la serie numérica

- Antecesor y sucesor de un número

- Valor posicional

. Lectura y escritura de números ordinales

. Planteamiento y resolución de problemas más complejos de suma y resta

con números hasta de tres cifras, utilizando diversos procedimientos (por ejemplo,

problemas de búsqueda de faltantes o problemas que requieran dos operaciones

para su solución).

. Planteamiento y resolución de problemas diversos de multiplicación con

números hasta de dos cifras, mediante distintos procedimientos.

. Algoritmo convencional de la multiplicación.

. Multiplicación de números terminados en ceros.

. Planteamiento y resolución de diversos problemas de división, con

números hasta de tres cifras mediante procedimientos no convencionales (por

ejemplo, soluciones con apoyo de dibujos, suma iterada, resta o multiplicación).

. Algoritmo de la división con números de dos cifras entre una cifra.

Números fraccionarios

. Introducción de la noción de fracción en casos sencillos (por ejemplo,

medios, cuartos y octavos) mediante actividades de reparto y medición de

longitudes.

. Comparación de fracciones sencillas representadas con material

concreto, para observar la equivalencia entre fracciones.

. Representación convencional de las fracciones.

. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen suma de

fracciones sencillas, mediante manipulación de material.

56

Medición

Longitudes y áreas

. Medición y comparación de áreas utilizando unidades de medida

arbitrarias y retículas.

. Resolución de problemas sencillos que impliquen el uso de unidades de

medida convencionales: el metro, el centímetro y el centímetro cuadrado.

. Comparación y ordenamiento de longitudes y áreas utilizando medidas

convencionales

. Resolución de problemas sencillos que impliquen la medición de

longitudes utilizando el medio metro y el cuarto de metro.

. Resolución de problemas sencillos que impliquen el uso de instrumentos

de medición: el metro sin graduar y la regla graduada en centímetrosFP

29

Capacidad, peso y tiempo

. Medición del peso y la capacidad utilizando el kilo, el medio kilo, el cuarto

de kilo, el litro, el medio litro y el cuarto de litro .

. El año, los meses, las semanas y los días

. Uso del calendario para programar actividades e identificar fechas

. Lectura del reloj de manecillas: horas y minutos. Uso de expresiones:

"media hora" y "un cuarto de hora"

. Uso de instrumentos de medición: la balanza y el reloj

Geometría

Ubicación espacial.

. Representación en el plano de la ubicación de seres y objetos del entorno

inmediato.

. Representación de desplazamientos sobre el plano: trayectos tomando en

cuenta puntos de referencia.

P

29P Planes Y Programas De Estudio De Primaria , Tercer Grado De Matemáticas Pág. 60-62

57

. Diseño, lectura e interpretación de croquis.

. Observación y representación de objetos desde diversas perspectivas.

Cuerpos geométricos.

. Características de los cuerpos (por ejemplo, número de caras, forma de

las caras.

. Introducción a la construcción de cubos utilizando diversos

procedimientos.

. Representación gráfica de cuerpos y objetos.

Figuras geométricas

. Clasificación de cuadriláteros y triángulos a partir de sus características:

igualdad de sus lados, paralelismo, perpendicularidad y simetría.

. Construcción y transformación de figuras a partir de otras figuras básicas.

. Simetría

. Ejes de simetría de una figura (identificación y trazo).

. Construcción y reproducción de figuras mediante diversos

procedimientos.

. Trazo de líneas paralelas y perpendiculares median. Te doblado de papel

. Uso de la regla para trazar líneas y figuras.FP

30

Tratamiento de la información

. Planteamiento y resolución de problemas sencillos en los que se requiera

recolectar y registrar información periódicamente.

. Invención y redacción de preguntas a partir de enunciados que contienen

datos numéricos.

. Resolución e invención de preguntas y problemas sencillos que puedan

resolverse con los datos que contiene una ilustración

P

30P Planes Y Programas De Estudio De Primaria , Tercer Grado De Matemáticas Pág. 60-62

58

Predicción y azar

. Predicción de hechos y sucesos en situaciones sencillas en las que no

interviene el azar.

. Identificación y realización de juegos en los que interviene o no interviene

el azarFP

31

Organización de los contenidos

Los contenidos de Matemáticas, a lo largo de la educación primaria, se han

organizado alrededor de seis ejes:

. Los números, sus relaciones y sus operaciones

. Geometría

. Medición

. Tratamiento de la información.

Procesos de cambio

. La predicción y el azar

En el tercer grado se trabajan cinco, ejes, ya que el trabajo en el eje

"procesó de cambio" se inicia hasta el cuarto grado.

La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno deba

tratarse de manera aislada e independiente. Ha de buscarse de manera

permanente la interrelación entre los contenidos que corresponden a los

diferentes ejes. Cabe señalar, por otra parte, que tal interrelación en muchos

casos es sumamente natural. Por ejemplo, en actividades como "Trazar un

cuadrado que tenga 81 centímetros cuadrados de área" se trabajan varios

contenidos: la medición con el centímetro cuadrado, la multiplicación y el trazo y

manejo de formas geométricas, entre otros.

Recomendaciones didácticas generales

P

31P Planes Y Programas De Estudio De Primaria , Tercer Grado De Matemáticas Pág. 60-62

5

De este modo, el mar tendrá el material suficiente para desarrollar su

curso. Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres familia cuando la

tarea de recorta sea difícil para los niños. También conveniente guardar el

material en un sobre o bolsa con el nombre de alumno. La intención es que se 9

El uso del texto y las fichas didácticas en la clase.

Los materiales complementarios de este libro, con los cuales cuenta el

maestro, son el libro de texto y un fichero de actividades didácticas.

El libro del alumno ayuda al profesor a organizar la clase porque contiene

los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada uno de los

conceptos. Es decir, en cada lección se presenta una situación problemática a

partir de la cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y

ejercicios de aplicación que, en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema

en cuestión. Además, las actividades propuestas en las fichas didácticas apoyan y

enriquecen la propuesta contenida en el texto.

Para integrar las actividades de ambos materiales, el maestro debe tomar

en cuenta que hay algunas lecciones que introducen al tema y otras que

requieren de actividades antecedentes señaladas corno tales en las fichas

didácticas.

En cualquiera de los dos casos, el texto contiene los puntos clave del

proceso de aprendizaje. Al maestro le corresponde iniciar, adaptar o ampliar la

secuencia propuesta en el libro utilizando las actividades y problemas propuestos

en las fichas.

El material recortable

El material concreto necesario trabajar se ha incorporado como, material

recortable en el libro del alumno. Dicho material está compuesto por 16

recortables y puede completarse con corcholatas pintadas de colores y frijoles.

60

conserve todo el año y pueda utilizarse" tas veces sea necesario.

Uso de periódicos, revistas y libros infantiles

Una recomendación para el maestro es que utilice periódicos, revistas

infantiles, los Libros del Rincón u otros libros con que se cuente en la escuela

corno fuentes de situaciones para el trabajo matemático.

El uso de estos materiales ayudará a que los problemas sean más

interesantes, reales y atractivos para los niños, permitirá relacionar la matemática

con otras áreas del plan de estudios (por ejemplo, con Geografía, a través de la

lectura y elaboración de croquis y mapas; con Historia, mediante el cálculo de los

años que han transcurrido desde determinado acontecimiento; con Ciencias

Naturales, a partir de situaciones basadas en datos sobre los hábitos, la

alimentación o el peso de algunos animales) y apoyará la lectura, actividad

siempre fundamental en el aprendizaje de las matemáticas escolares.FP

32

P

32P Libro del Maestro, Matemáticas Tercer Grado Pág. 17,18

61

CAPITULO IV:

Investigación De Campo

4.1 Delimitación del objeto de estudio

La presente investigación se realiza en la Escuela primaria “Guadalupe

Martinez de Cordova” con clave 27DPR1128P, Zona 004, Sector 7,, del estado de

Tabasco. La cual fue seleccionada por reunir los elementos necesarios para

atraer y mantener la atención de quienes estemos interesados en los problemas

de aprendiza de las matematicas . La Institución cuenta con:

850 alumnos

22 docentes

1 director

1 subdirector

4 conserges

Su infraestructura esta compuesta por:

21 salones

4 sanitarios

1 cancha deportiva

1 plaza cívica

1 biblioteca

1 dirección

62

Infraestructura que en su conjunto permite a la institución atender las

necesidades de la población y/o de la sociedad en su conjunto.

4.2. Diseño de los instrumentos para la obtención de información

Considerando los aspectos o variables de la investigación, y tomando en

cuenta los diferentes instrumentos que se pueden emplear para atender y lograr

información válida para la argumentación y la emisión de juicios sustentados en

los procesos indagatorios acerca de la realidad, se expresa que además por su

naturaleza, en el presente trabajo se ha electo el cuestionario como instrumento

adecuado para la obtención de la información para esta investigación ,el

cuestionario esta constituido por 11 preguntas que tiene como finalidad la

obtención de información para probar la hipótesis.

4.3. Metodología

El presente tema de investigación la enseñanza de las matemáticas un reto

para el maestro de educación básica en el tercer grado de la escuela primaria

Guadalupe Martínez de Córdova, estará basado en el método cuali- cuantitativo

que trata de describir las cualidades del infante a través de la observación de su

comportamiento en el aula de clases, para con ello tener una mayor ventaja en

cuanto ala capacidad de cada uno de los alumnos y el cuantitativo este nos

ayudara a saber cuanto pueden realizar los alumnos en dicha enseñanza, todo

basado en los programas actuales en la enseñanza de las matemáticas del nivel

básico, aquí nos daremos también ala tarea de que métodos utiliza el docente,

materiales didácticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Este tipo de estudio nos permite tener una mejor información del fenómeno

a investigar ya que nos permite recolectar y analizar de manera mas detallada el

tema de investigación y de esta forma conocer mejor el tipo de enseñanza

aprendizaje.

63

4.4 Objetivo

Analizar las estrategias implementadas para el aprendizaje de las

matemáticas en la escuela primaria Guadalupe Martínez de Córdova,

específicamente en el tercer grado grupo A de primaria, con la finalidad de

obtener un mayor aprovechamiento por parte del alumnado.

4.5 Hipótesis

El método didáctico empleado por los docentes del tercer grado de la

primaria Guadalupe Martínez de córdoba, influye en el aprovechamiento de los

alumnos.

4.6 Procedimiento.

Para la realización de este trabajo acudimos a la Escuela primaria

“Guadalupe Martines de Córdova” del Municipio del centro, la cual se encuentra

ubicada en la calle paseo de la Ceiba s/n de la colonia mayito con la finalidad de

hacer la investigación de campo acerca de las estrategias que utilizan los

maestros del 3er grado en la enseñanza de las matemáticas en dicha institución,

ya que toda información requerida será de utilidad para el trabajo de tesis. Como

primer paso que realizamos nos apoyamos con una encuesta que primero sirve

como un piloteo de entrada a los alumnos para saber que preguntas de las que

se le plantearon nos iban a dar la información que nosotros buscamos, esta

encuesta se la realizamos a solo 40 alumnos del 3er grado, grupo A

Para la aplicación de las encuestas solo se ubico al 3° grado, grupo A en

este cuestionario se observo que algunos de los niños no saben cual era el

significado de las estrategias que utilizan el maestro en la enseñanza de las

matemáticas, por lo que los autores tuvieron quedarles un breve ejemplo para

que pudieran respondernos.

64

4.7 Presentación de análisis de resultados

La población total es de 850 alumnos, mientras que el tamaño de la muestra

será de un 19%, de los alumnos contando con un total de 18 mujeres y 22

hombres tomando en cuenta el grupo A 3er grado con una edad aproximada de

8 a 10 años de edad.

65

PRESENTACIÒN Y ANALISIS DE LA INFORMACION COMPILADA

UNIVERSIDA JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO DIVISION ACADEMICA DE EDUCACIÓN Y ARTES

LIC. EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

La presente encuesta se realiza con el fin de recabar datos que puedan dar un mayor soporte a nuestro trabajo de investigación. Agradecemos de antemano el apoyo brindado en la contestación, de las siguientes preguntas

1. ¿El aprendizaje que obtienen los niños en relación a las matemáticas es el mismo que obtienen, en las demás asignaturas?

VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES

a) Si 7 32% b) No 14 68% Totales: 21 100%

Si32%

No68%

Esta pregunta fue elaborada con la finalidad de saber si el aprendizaje que obtienen los niños relación a las matemáticas es el mismo que obtienen, en las demás asignaturas

66

2.- ¿Las técnicas implementadas son adecuadas para obtener un buen aprovechamiento?

VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES a) Si 10 45% b) No 11 55% Totales: 21 100%

Si45%

No55%

El 45% de los maestros opinan que las tecnicas que utilizan son las adecuadas en cambio el 55% opina lo contrario que no les dan resultado las tecnicas que utilizan.

67

3.- ¿Considera que requieren de algún tipo de modificación?

VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES a) Si 10 52% b) No 11 48% Totales: 21 100%

Si52%

No48%

En esta grafica tratamos de saber si se requiere modficar las tecnicas o los metodos de enseñanza para el alumno y que con eso se le facilitara al profesor.

68

4. ¿Qué reacciones muestra los niños al estudiar esta asignatura?

VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES a) Miedo 46 47% b) Cansancio 29 32% c) Entusiasmo 20 24 % Totales: 95 100%

Entusiasmo21%

Cansancio32%

Miedo47%

De acuerdo al programa decidimos cuestionara al maestro que tipo de reacciones muestra el alumno al momento de estar en la clase de matematicas tanto negativas como positivas.

69

5. ¿Los niños presentan algún tipo de dificultad al estudiar esta materia? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES

Si 14 57% No 7 43% Totales: 21 100%

Si57%

No43%

Se pretendio conocer si los niños tenian algun problema para poder aprender la matematicas,. Auditivo, visual etc. Por o cual 57% de los maestros opino que si el resto que no.

70

6. ¿En caso de presentarse alguna dificultad se le informa de esta a los padres? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES

Si 14 57% No 7 43% Totales: 21 100%

Si57%

No43%

Aquí podemos notar que el 57% de los maestros responden a las inquietudes que los padres a veces muestran ante sus hijos con respecto asu educación.

71

7. ¿Que tipo de reacción o respuesta presentan los padres? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES

Negativa 17 81% Positiva 4 19% Totales: 21 100%

Positiva

19%

Negativa81%

Podermos apreciar que el 81% de los maestros opino que los padres muestran reacciones negativas en cuanro al aprendizaje de sus hijos ya que por lo regulara de le recrimina la maestro.

72

8.¿Se le da a conocer al niño que el estudio de esta asignatura contribuye a su desarrollo en la vida diaria? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES

No 0 0% Si 21 100% Totales: 21 100%

Si100%

No0%

Cabe mensionar que los maestros entrevistados todos dicen que hacen conciencia sus alumnos en que las matematicas contribuye asu desarrollo social, personal etc.

73

9. ¿Se le enseña al niño que el estudio de las matemáticas es algo divertido y sencillo? VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES

No 18 14% Si 3 86% Totales: 21 100%

Si86%

No14%

Aquí podemos notar que le 86% les dice a los alumnos que la clase es divertida y sencilla. Y el otro 14% mensiona que no le dice nada a los alumnos.

74

10. ¿Cómo maestro, maneja algún tipo de estimulo para la enseñanza de esta materia?

VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES Si 20 95% No 1 5% Totales: 21 100%

Si95%

No5%

En esta grafica se realzo la idea del maestro ya que un 95% maneja algun tipo de estimulo para que el alumno aprenda mas facil y no de forma mecanica las matematicas.

75

11.- cree que es un reto enseñar matemáticas en este nivel

VARIABLES FRECUENCIA PORCENTAJES Si 19 90% No 2 10% Totales: 21 100%

Si90%

No10%

Podemos apreciar que un 90% menciona que es un verdadero reto enseñar las matematicas a los alumnos de 3er grado y el 10% menciona que no

7

Así como también se debe actuar de manera responsable, además, debe

de tomar en cuenta no solo estas consideraciones didácticas, si no también otros

factores de los que depende la calidad de la enseñanza. A lo cual el profesor

decide cuáles son los medios didácticos que le permitirán presentar con mayor 6

Análisis general de la encuesta aplicada a los maestros de los

terceros grados

Cuando se habla de las experiencias del docente, se puede diversificar el

significado del concepto, sin embargo en el presente capítulo, se tratará lo

referente a la experiencia del maestro, en lo que se refiere al manejo de grupos y

su familiarización con los programas de estudio; como es fácil entender, se

incluirá también los métodos, y las técnicas mas usuales entre otras cosas para la

conducción del aprendizaje.

Comenzaremos por mencionar las tareas fundamentales del docente: de

acuerdo a las observaciones realizadas en la escuela primaria Guadalupe

Martínez de Córdova en el tercer año de educación básica en primer término, el

objetivo y la misión del Educador responsable, en el profesor ayudar al estudiante

a adquirir una capacitación cada vez mayor en una serie de aspectos.

De acuerdo a lo anterior el docente organiza a el grupo de una manera

homogénea para ello utiliza a primera vista, un carácter superficial aunque

después integra al grupo aplicando criterios mas minuciosos así como también

aplica una evaluación diagnostica para conocer el nivel en el que están sus

alumnos esto le ayudara a planear sus clases y para ello el profesor hace uso de

su guía de plan de estudios correspondiente al ciclo escolar, y al programa del

área que esta impartiendo. De igual forma menciona que para que la enseñanza

sea eficaz, es preciso realizar una constante evaluación del programa, de las

características individuales de los alumnos y del resultado de las diversas

estrategias educativas. Los datos obtenidos de ésta forma proporcionan la

información necesaria para corregir las técnicas de enseñanza.

77

claridad el tema a tratar.

De igual forma menciona el profesor Asunción Arias Zarao que para

realizar sus objetivos de cada sesión, o clase pero antes de mencionar,

definiremos que son los objetivos: “prácticamente es lo que se pretende

propiamente realizar en le salón de clases”. Si contestáremos esta pregunta con

simpleza, diríamos. El maestro enseña y el alumno aprende.

Retomado lo anterior del profesor como realiza su objetivos menciona que

el los toma directamente del programa de estudios que se le fue otorgado y con el

que el esta bastantemente familiarizado pues el sabe que estos objetivos son

flexibles según su experiencia el los modifica de acuerdo a su criterio, incluir en el

curso .escolar los que considera que son aplicables en la vida diaria del alumno, o

aquellos que más se adatan al medio sociocultural y familiar del alumno.

Cabe mencionar que el autor del libro la introducción a la didáctica Raúl

Gutiérrez Sáenz menciona." Saber formular los objetivos de una asignatura es

uno de los problemas concretos que se le presentan a un profesor”.DP

i

Después que el profesor nos menciono esto entraremos de lleno a como el

planea la clase.

El planeamiento didáctico como el menciona que en cualquier actividad

humana, la rutina y la improvisación han sido y serán los principales enemigos de

la eficiencia y de la perfección. En la educación, en la que esta en juego la

formacion y la habilitación de las nuevas generaciones, el planeamiento no es

solo una necesidad, sino también una obligación que se le debe imponer a la

conciencia de todo educador. Así como también el maestro que presuma de ser

un educador un guía de los alumnos que le son confiados, debe planear

cuidadosamente su trabajo escolar para proporcionarles una orientación segura y

que lleve a través de una labor bien dosificada, con ritmo adecuado, una

progresi6n, ( avance) metódica y constructiva en su educación.

78

FP

Menciona que el plan y la elaboración son personales, y lo hace después

de observar la acción que va realizar. Y toma en cuenta los siguientes aspectos.

a) los resultados que debe alcanzar, b) la materia que se impartirá en este

caso matemáticas, c) el método a utilizar, d) los medies que empleará, e) las

etapas para llegar a los resultados. A los el hace alusión que no cae en el error de

aceptar mecánicamente el programa para aplicarlo.

Así como menciona Alves de mattos que “El plan de clases no es mas que

un instrumento de referencia y control”33PF. El hecho de haber elaborado un plan

de clases no significa que el éxito está asegurado pues falta la dinamicidad del

uno mismo, para hacer de este un instrumento dinámico. De igual forma la

plantación del trabajo escolar es permanente, y por lo general el plan se hace

por unidades, tomando en cuenta las actividades propuestas por el libro de texto o

en el programa mismo que le servirán al alumno para futuras tareas, en el plan de

clases también se deben indicar la realización y evaluación el aprendizaje.

De igual manera menciona que como las planeaciones son permanentes y

flexibles los objetivos, el planea de forma bimestral, semanal y de acuerdo al

avance del aprendizaje de los alumnos pero apegado de una cierta manera al

programa ya que se supervisa periódicamente la utilización del mismo por el

personal encargado de la secretaria de educación.

Durante el desarrollo de su clase logramos observar y constatar por sus

propias palabras el manejo de los recursos didácticos. El menciona que estos

recursos didácticos han sido y siguen siendo los medios más útiles de que el

maestro se vale para desarrollar con eficacia su labor escolar. Juan Sola

Mendoza, los define como “Los medios o instrumentos que debe utilizar el

maestro para alcanzar los objetivos planeados anticipadamente” FP

34

Es necesario pues que lo explicado con palabras se haga concreto, visual

P

P

34P Sola Mendoza Juan, Pedagogía En Píldoras Pág. 45

33P Alves de Mattos, Compendio De Didáctica General Pág. 51

7

El método deductivo. Que se aplica cuando se quiere partir de lo general a

lo particular. En su desarrollo se presentan conceptos o principios, definiciones o

afirmaciones para sacar conclusiones. La técnica expositiva es muy útil, para

aplicar éste método. Una de las áreas donde se emplea con mayor frecuencia 9

e intuitivo de acuerdo a la realidad de nuestras escuelas por lo menos el pizarrón,

el gis y el borrador no deben de faltar en nuestras aulas de clases puesto que

estos son elementos indispensables y básicos así como también cabe destacar

que aparte de los que ya mencionamos también se vale de materiales recortables,

manuables, juegos de geometría mapas graficas rota folios y los libros del

alumno.

Se hace también necesario aclarar que en la actualidad el material

didáctico no está restringido al alumno, pues ahora tiene como finalidad ya no el

esclarecimiento de lo explicado sino, se pretende con él que el alumno trabaje,

investigue, descubra y construya; adquiriendo así un aspecto funcional y

dinámico, enriqueciendo la experiencia del alumno y ofreciéndole la ocasión para

actuar y dejar la actitud pasiva.

Así como también otra finalidad particular del material didáctico nos

menciono que lo utiliza 1. Para aproximar al alumno a la realidad de lo que le esta

enseñando, 2. Para motivarlo en la clase y así comprenda y participe de alguna

manera, 3. Facilitarles a ellos la comprensión y percepción del tema a tratar, 4.

Ilustrar y concretar lo' que se expone verbalmente, 5. Economizar esfuerzos, 6.

Contribuir a la fijación del aprendizaje, y por ultimo 7. Dar oportunidad al alumno

de manejar instrumentos o aparatos.

De igual manera el profesor menciono que los métodos y técnicas a utilizar

están en función al tema, de echo habrá que seleccionar entre la gran variedad

los métodos, así como también la técnica de acuerdo a su criterio, conocimientos

y sus experiencias y desde luego que toma en cuenta las metas (la conducta que

se quiere lograr en cada objetivo). Así como también logramos observar e

identificar los dos métodos mas usados por el profesor los cuales son:

80

éste método es la matemáticas. Sin embargo la educación existe solo si el alumno

adquiere el razonamiento y es capaz de criticar. Esto es, aceptar o rechazar lo

expuesto.

El método inductivo. Se aplica cuando queremos estudiar, un todo o algo

general y tenemos solo una parte de ese todo. Se dice que un método es

inductivo cuando el asunto estudiado se presenta por medio de casos

particulares, sugiriéndose que se descubra el principio general que lo rige. Para el

profesor aceptación de este método esta en que se va descubriendo, a través de

la observación, demostración hasta la generalización de los conocimientos.

Y para finalizar la observación de la clase se tomo en cuenta la forma de

realizar la evaluación del profesor hacia sus alumnos es tipo de evaluación, la

realiza de combinado dos formas cuantitativa y cualitativa que a su vez lo realiza

diariamente como a través de trabajos, tareas, ejercicios e investigaciones del

mismo material y en base al programa, otra forma lo hace bimestral pero ya mas

concretamente mediante un examen para tratar de medir el conocimiento que el

alumno adquirió individualmente.

Así como también cabe mencionar que los programas de estudios que

están siendo aplicados en esta región no van de acuerdo a la misma, ya que aquí

es una región la mayoría pesquera y lo programas van mas apegados a zonas

industriales.

8

A si como también es parte fundamental e importante que los maestros

utilicen métodos para la enseñanza de las matemáticas, no deben inclinarse

nada mas por uno, sino deben de manejar los diversos métodos existentes

(inductivo-deductivo, deductivo-inductivo,) para poder aplicar el mas conveniente

según sea el caso. De igual manera la enseñanza de los niños no es un trabajo

que corresponda solo a los maestros, debe existir un trabajó de apoyo por parte

de los padres, y para esto es necesaria una buena comunicación entre padres y

maestros, esto puede lograrse realizando reuniones donde los maestros les den 1

CONCLUSIONES

Es indiscutible que la educación recibida en los primeros años es de suma

importancia para cualquier niño, sobre todo la, de las matemáticas, pues en torno

a esta, gira gran parte de la vida de los niños. Como se pudo observar en el

trabajo, es importante la utilización de los métodos adecuados en la enseñanza

de las matemáticas métodos que dejen de lado el conductismo y permitan al

alumno convertirse en una persona reflexiva y critica, con la preparación y los

conocimientos necesarios para satisfacer a futuro las necesidades del mercado

laboral; así como la aplicación de las técnicas apropiadas durante la explicación

de los temas, sin dejar de lado la propia creatividad del maestro, al transformar los

contenidos explícitos en los programas, y aprovechando al máximo la motivación

con la que el niño llega a la escuela, en su tercer año de estudio.

Las conclusiones obtenidas. En los cuestionarios aplicados también nos

hacen observar que para obtener mejor resultado en la enseñanza de las

matemáticas es necesaria la participación de maestros y padres de familia. Es

por ello que en el proceso de enseñanza-aprendizaje la formación del maestro es

algo importante porque en gran parte de la intervención del profesor, de los bueno

métodos de enseñanza y de la forma en que estos sean aplicados, dependerán

los logros que obtengan los niños en su aprendizaje, ya que un profesor sin la

preparación para realizar su labor y sin la preocupación porque sus alumnos

aprendan solo aseguran al niño su fracaso en el aula.

82

a conocer a los padres, la importancia de las matemáticas en la vida de sus hijos,

así como reuniones periódicas en las que maestro y padres, analicen el

desempeño de los alumnos dentro y fuera de aula, y juntos busquen soluciones a

los diferentes problemas que presenten los niños.

Y para concluir podríamos mencionar que los maestros no deben de

basarse solamente en el programa de trabajo que se les brinda, deben de tener

un programa anexo, realizado por ellos y basado en las necesidades y demandas

del grupo con el que va a trabajar. Esto debido a que los programas son creados

de manera general para todos, sin tomarse en cuenta las necesidades

particulares de cada lugar. Para finalizar hemos de concluir que el objetivo

planteada al principio de nuestra investigación, la mayoría de los maestros

aplican técnicas de enseñanzas para el estudio de las matemáticas, técnicas que

como pudimos palpar en las observaciones requieren de modificación puesto que

el nivel de aprendizaje de los niño es bastante bajo en comparación con lo que

plantea el programas a si como también el libro del maestro.

83

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Junio del 2002

TSola Mendoza Juan, Pedagogía En Píldoras

Publicación 1989, Edit. Trillas Edic. 1