DIVISIBILIDAD

es una

TERMINAR

RELACIÓN ENTRE NÚMEROS

en la que distinguimos

DIVISORMÚLTIPLO

para calcular para calcular

m.c.d.m.c.m.

útiles para clasificar los números en

PRIMOS COMPUESTOS

que se comprueba fácilmente mediante

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

que se usan en la

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

y realizar su

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

que se usa para la

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD más usuales

• Un número es divisible por 2 si acaba en 0 ó en cifra par.

Ejemplos

Son divisibles por 2: 12, 34, 48, 122, 332, 100, …

NO son divisibles por 2: 3, 11, 35, 47, 199 …• Un número es divisible por 5

si acaba en 0 ó en 5.

Ejemplos

Son divisibles por 5: 15, 30, 45, 120, 335, 100, …

NO son divisibles por 5: 3, 11, 38, 47, 199 …

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplos

Son divisibles por 3: 12, 33, 48, 222, 333, 1203, …

NO son divisibles por 3: 7, 11, 35, 47, 199 …

seguir

Número PRIMO es el que sólo tiene dos divisores: 1 y él mismo.

Ejemplos de números primos: 2, 7, 13, 23, … porque sólo …

2 : 1 = 2 7 : 1 = 7 13 : 1 = 13 23 : 1 = 23 2 : 2 = 1 7 : 7 = 1 13 : 13 = 1 23 : 23 = 1

C

R

I

B

A

D

E

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

E

R

A

T

Ó

S

T

E

N

E

S

x xxxx

xx

xxxx

xxx

xx

xxxx

xxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

xx

xx

x x xx x x

x x x

x

x x x

xx

xx

x

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

xx x

xx

x xseguir

xx

x

x

Números PRIMOS hasta el 100

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29

31 37

41 43 47

53 59

61 67

71 73 79

83 89

97seguir

El 1 no es primo ni compuesto, pues sólo tiene 1 divisor

Ejemplo

100 es compuesto porque 100 : 1 = 100100 : 100 = 1100 : 2 = 50100 : 4 = 25100 : 5 = 20100 : 10 = 10100 : 20 = 5100 : 25 = 4100 : 50 = 2

Número COMPUESTO si tiene más divisores que 1 y él mismo.

Ejemplo

35 es compuesto porque 35 : 1 = 35

35 : 35 = 135 : 5 = 735 : 7 = 5

Ejemplo

9 es compuesto porque 9 : 1 = 99 : 9 = 19 : 3 = 3

seguir

La DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL de un número es expresar dicho número como producto de números primos.

120

Ejemplos:

260 2

23015

535

1

120 = 2.2.2.3.5 = 23 . 3 . 5

84 242 221

73

1

84 = 2.2.3.7= 22 . 3 . 7

7

seguir

El máximo común divisor de varios números (m.c.d.) es el mayor de sus divisores comunes

Se puede obtener por dos métodos:

Ejemplo:

Buscando todos los divisores Haciendo la descomposición factorial

Ejemplo:

Hallar el m.c.d. de 18 y 24

Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9 y 18}

Divisores de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Divisores comunes de 18 y 24 = {1, 2, 3 y 6}

Mayor Divisor Común de 18 y 24 = 6

m. c. d. (18, 24) = 6

Hallar el m.c.d. de 120 y 84

120 2

60 2

230

15

5

3

5

1

84 2

42 2

21

7

3

1

7

120 = 23 . 3 . 584 = 22 . 3 . 7

Se cogen los factores comunes con menor exponente

m. c. d. (120, 84) = 22 . 3 = 12seguir

El mínimo común múltiplo de varios números (m.c.m.) es el menor de sus múltiplos comunes

Se puede obtener por dos métodos:

Ejemplo:

Buscando todos los múltiplos Haciendo la descomposición factorial

Ejemplo:

Hallar el m.c.m. de 8 y 12

Múltiplos de 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 …}

Múltiplos de 12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …}

Múltiplos comunes de 8 y 12 = {24, 48, 72, …}

Menor Múltiplo Común de 8 y 12 = 24

m. c. m. (8, 12) = 24

Hallar el m.c.m. de 120 y 84

120 2

60 2

230

15

5

3

5

1

84 2

42 2

21

7

3

1

7

120 = 23 . 3 . 584 = 22 . 3 . 7

Se cogen los factores comunes y

no comunes con mayor exponente

m. c. m. (120, 84) = 23 . 3 . 5 . 7 = 840seguir

Múltiplo o dividendo: resultado de una multiplicación.

Ejemplo:

3 465 45

315 77

00

Ejemplo:

35 5

0 7

Ejemplo:

4 2

0 2

Ejemplo:

36 9

0 4

3 465 : 77 = 45 35 : 7 = 5 4 : 2 = 2 36 : 4 = 9

3 456 es múltiplo de 45 35 es múltiplo de 5 4 es múltiplo de 2 36 es múltiplo de 9

3 456 es múltiplo de 77 35 es múltiplo de 7 4 es múltiplo de 2 36 es múltiplo de 4

77 x 45 = 3 456

45 x 77 = 3 456

7 x 5 = 35

5 x 7 = 35

2 x 2 = 4

2 x 2 = 4

4 x 9 = 36

9 x 4 = 36

PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS

Divisor: número entre el que dividimos.

Ejemplo:

3 465 45

315 77

00

Ejemplo:

35 5

0 7

Ejemplo:

4 2

0 2

Ejemplo:

36 9

0 4

3 465 : 77 = 45 35 : 7 = 5 4 : 2 = 2 36 : 4 = 9

45 es divisor de 3 465

77 es divisor de 3 465

5 es divisor de 35

7 es divisor de 35

2 es divisor de 4

2 es divisor de 4

9 es divisor de 36

4 es divisor de 36

77 x 45 = 3 456 7 x 5 = 35 4 x 9 = 362 x 2 = 4

45 x 77 = 3 456 5 x 7 = 35 9 x 4 = 362 x 2 = 4

PROPIEDADES DE LOS DIVISORES

• Todo número tiene infinitos múltiplos.

Ejemplo

Los múltiplos de 9 son: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, …

PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS

• Todo numero es múltiplo de sí mismo.

Ejemplo

8 . 1 = 8 2 . 1 = 2 25 . 1 = 25

• Todo número es múltiplo de 1.

Ejemplo

7 . 1 = 7 5 . 1 = 5 25 . 1 = 25

• El 0 es múltiplo de cualquier número.

Ejemplo

8 . 0 = 0 2 . 0 = 0 25 . 0 = 0

seguir

PROPIEDADES DE LOS DIVISORES

seguir

• Todo numero es divisor de sí mismo.

Ejemplo

8 : 8 = 1 2 : 2 = 125 :25 = 1

• 1 es divisor de cualquier número.

Ejemplo

7 : 1 = 7 5 : 1 = 5 25 : 1 = 25

• El 0 NO es divisor de ningún número.

Ejemplo

8 : 0 = ? 2 : 0 = ? 25 : 0 = ?

• Podemos calcular todos los divisores de un número.

EjemploLos divisores de 9 son: 1, 3 y 9Los divisores de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60

Criterios de calificación

1.1. Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro.

1.2. Obtiene los divisores de un número.

1.3. Inicia la serie de múltiplos de un número.

1.4. Identifica los números primos menores que 30 y justifica por qué lo son.

2.1. Identifica mentalmente en un conjunto de números los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 10.

2.2. Descompone números en factores primos.

3.1. Obtiene el máx.c.d. o el mín.c.m. de dos números en casos muy sencillos, mediante el cálculo mental.

3.2. Obtiene el máx.c.d. y el mín.c.m. de dos o más números mediante su descomposición en factores primos.

4.1. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar los conceptos de múltiplo y divisor.

4.2. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de máximo común divisor.

4.3. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de mínimo común múltiplo.