CALCULO VECTORIAL

EN EL PLANO

𝐹(𝑥, y)= 2xy 𝑖 + sen(4xy2) 𝑗

EN EL ESPACIO

𝐹(𝑥, y, z)=

𝑒2𝑥−ln 𝑥𝑧 𝑖 + ctg(y2 − 9𝑧𝑥−8) 𝑗 − 3 cos 𝑧 𝑘

𝜕

𝜕𝑥𝑓 𝑥, y = 𝑓𝑥 𝑥, y 𝑂

𝜕

𝜕𝑥𝑓 𝑥, y, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, y, 𝑧 ⇒ 𝑀

𝛻 =𝜕

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑗

𝛻 =𝜕

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘

EN EL PLANO

𝐹 𝑥, y = 𝑀 𝑖 + 𝑁 𝑗

div 𝐹 𝑥, y = 𝛻 ∙ 𝐹 𝑥, y

EN EL ESPACIO

𝐹 𝑥, y = 𝑥 cos 𝑦 𝑖 + 2𝑥𝑦 𝑗

SOLUCION

div 𝐹 𝑥, y = 𝛻 ∙ 𝐹 𝑥, y

=𝜕

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑗 ∙ 𝑥 cos 𝑦 𝑖 + 2𝑥𝑦 𝑗

=𝜕

𝜕𝑥𝑥 cos 𝑦 +

𝜕

𝜕𝑦2𝑥𝑦

div 𝐹 𝑥, y = cos 𝑦 + 2𝑥

𝐹 𝑥, y,z = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑖 + 2 cos 𝑦 𝑗 + 𝑥 ln 𝑧 𝑘

SOLUCION:

div 𝐹 𝑥, y, 𝑧 = 𝛻 ∙ 𝐹 𝑥, y,z

=𝜕

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘 ∙ 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑖 + 2 cos 𝑦 𝑗 + 𝑥 ln 𝑧 𝑘

=𝜕

𝜕𝑥𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 +

𝜕

𝜕𝑦2 cos 𝑦 𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑥 ln 𝑧

div 𝐹 𝑥, y, 𝑧 = 1 − 2 sen𝑦 +𝑥

𝑧

𝒓𝒐𝒕 𝐹 𝑥, y,z = 𝛻 × 𝐹 𝑥, y,z

=

𝒊 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑀 𝑁 𝑃

=𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑁 𝑃

𝑖 −𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑧𝑀 𝑃

𝑗 +𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦𝑀 𝑁

𝑧

𝐹 𝑥, y, z = 34𝑥y − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑖 + 𝑥𝑧 𝑗 + (4y−8x)𝑘

SOLUCION:

𝒓𝒐𝒕 𝐹 𝑥, y,z = 𝛻 × 𝐹 𝑥, y,z =

𝒊 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

34𝑥y − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥𝑧 4y − 8𝑥

=

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝑥𝑧 4y − 8𝑥

𝑖 −

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑧34𝑥y − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 4y − 8𝑥

𝑗 +

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

34𝑥y − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥𝑧

𝑧

=𝜕

𝜕𝑦4𝑦 − 8𝑥 −

𝜕

𝜕𝑧𝑥𝑧 𝑖 −

𝜕

𝜕𝑥4y − 8𝑥 −

𝜕

𝜕𝑧34𝑥y − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑗

+𝜕

𝜕𝑥𝑥𝑧 −

𝜕

𝜕𝑦34𝑥y − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑘

𝒓𝒐𝒕 𝐹 𝑥, y,z = 4 − 𝑥 𝑖 − −8𝑥 𝑗 + 𝑧 − 34𝑥 𝑘 = 4 − 𝑥 𝑖 + 8𝑥 𝑗 + 𝑧 − 34𝑥 𝑘

𝐹 𝑥, y, z = 16𝑥y𝑧 𝑖 + y2 − 𝑥2 𝑗 + (3xz)𝑘

SOLUCION:

𝒓𝒐𝒕 𝐹 𝑥, y,z = 𝛻 × 𝐹 𝑥, y,z =

𝒊 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

16𝑥y𝑧 y2 − 𝑥2 3𝑥𝑧

=

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

y2 − 𝑥2 3𝑥𝑧

𝑖 −

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑧16𝑥y𝑧 3𝑥𝑧

𝑗 +

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

16𝑥y𝑧 y2 − 𝑥2

𝑧

=𝜕

𝜕𝑦3𝑥𝑧 −

𝜕

𝜕𝑧y2 − 𝑥2 𝑖 −

𝜕

𝜕𝑥3𝑥𝑧 −

𝜕

𝜕𝑧16𝑥yz 𝑗 +

𝜕

𝜕𝑥y2 − 𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑦16𝑥yz 𝑘

𝒓𝒐𝒕 𝐹 𝑥, y,z = 0 𝑖 − 3𝑧 − 16𝑥y 𝑗 + −2𝑥 − 16𝑥𝑧 𝑘

= 0 𝑖 + 16𝑥y − 3𝑧 𝑗 + −2𝑥 − 16𝑥𝑧 𝑘