INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO.

INGENIERIA BIOQUIMICA.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.

EQUIPO 3:

FRAGOSO JIMENEZ JAVIER CUAUHTEMOC.

NAVARRETE LEYVA LUIS ENRIQUE.

PASTRANA DIAZ YURIDIANA.

JAIMES MORALES RAFAEL.

PEREZ CHACON ROSA ISELA.

DISTRIBUCION GEOMETRICA O DE PASCAL

La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características

· El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A· La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q siendo (p + q = 1).

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .

· (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.                                                                                          

    De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el número de pruebas necesarias para la consecución del primer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ; ( 1,2,………)

La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A en la prueba número X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades.

Consideramos una sucesión de v.a. (variable aleatoria) independientes de Bernouilli,

Una v.a. X sigue posee una distribución geométrica, , si esta es la suma del número de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito en la sucesión .

Modelo matemático.

De este modo tenemos que la ley de probabilidad de X es

Observación Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de probabilidad, es decir, . Para ello basta observar que la sucesión es una progresión geométrica de razón q, a la que podemos aplicar su fórmula de sumación:

En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores que puede tomar la variable () es infinito numerable, mientras que en la de Bernouilli y en la binomial, estos eran en número finito. La función característica se calcula teniendo en cuenta que de nuevo aparece la sumación de los términos de una progresión geométrica, pero esta vez de razón eit q:

Ejemplo 1: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila. Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación: S S S S S S S A Sí denotamos; x = el número de repeticiones del experimento necesarias para queocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos

p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3

q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3

Entonces la probabilidad buscada sería;

P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) = =q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p

Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería; p(X)=qx-1p

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila

p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila

q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048

Ejemplo 2: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.

Solución: a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva p(x = 6) = (0.95)6–1(0.05)= 0.03869 b) x = 7 que el séptimo dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva p(x = 7) = (0.05)7–1(0.95)= 0.0000000148

Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad representa el numero de repeticiones necesarias de un experimento de Bernoulli para obtener el primer éxito, entonces tiene por función de densidad: X-1P (x=x) = función de densidad, de la variable aleatoria con distribución geométrica. X Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito. p probabilidad de éxito q probabilidad de fracaso (1 - p)

Ejemplo 3: Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado. Definir éxito: sale No. 5 x = 3 p = 1/6 = 0. 1666 q = (1 - 0.16660) = 0.8333 P(X=3) = (0.8333)2(0.1666) =0.1156

Ejemplo 4:Calcular la probabilidad de que salga águila la 6ta ocasión que lanzamos una moneda. Definir éxito: salga águila. x = 6 p = 1/2= 0.5 q = 0.5 P(X=6) = (0.5)5(0.5)= 0.0156

Ejemplo 5:

En el salón hay 8 alumnos de ojos cafés, 9 de ojos azules, 7 de ojos negros, y 10 de ojos verdes; si extraemos 6 alumnos, calcular la probabilidad de que este ultimo tenga los ojos claros. Definir éxito: tenga ojos claros. X = 6 p = 0.5588 q = 1- 0.5588 = 0.4412 P(X=6) = (0.4412)5(0.5588) = 0.0093 = 9.3418 x 10

Ejemplo 6:

Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección. Definir éxito: salga defectuoso el producto. X = 8 p = 0.05 q = 1 - 0.05 = 0.95 P(X=8) = (0.95)7(0.05) = 0.0349