distribuciones discretas y poison

FRBA-UTN-Dto. Ing. Química 1er Cuatrimestre del 2007Curso Diseño Estadístico de Experiencias

1.- Probabilidad y Frecuencia RelativaProceso aleatorio:

Cualquier fenómeno que puede tener diferentes resultados finales cuando se repiten las condiciones en que se realiza u observa dicho fenómeno. No necesariamente se deben repetir exactamente las mismas condiciones, justamente los diferentes resultados pueden ser producidos por pequeñas variaciones de las condiciones.

Evento: Cada uno de los posibles resultados finales.Sin embargo, diferentes eventos finales se pueden reunir en un nuevo evento.

Ejemplo 1.: Tiro de un dado Proceso aleatorio : Tiro del dado Evento: cada uno de los posibles 6 valores del dado,

Evento A : sale el 1 , Evento B : sale el 2,...Otros Eventos : cualquier otra combinación de resultados ,:

Evento G: sale un valor par; Evento H sale un numero impares, oEvento I : sale un múltiplos de 3, etc.

Frecuencia de observación de un Evento (o Frecuencia Absoluta)Es el número de veces N(xi) que se observa o aparece un cierto Evento xi cuando el Proceso Aleatorio se repite N veces. Obviamente N es mayor o igual a N(xi).En general si hay m diferentes Eventos, se debe cumplir que

N = m N(xi) (1.1)sumado sobre los m posibles eventos

Frecuencia Relativa F(xi) de observación de un Evento F(xi) = N(xi) / N (1.2)

Probabilidad P(xi) de un Evento : Límite al cual tiende F(xi) cuando el número N de repeticiones del Proceso Aleatorio tiende a infinito.

P(xi) = lim F(xi) para N tendiendo a infinito (1.3)

El valor de P(xi) varía entre cero (0) (no ocurrencia del Evento x i) hasta el valor uno (1), que indica certeza de que el Evento xi se producirá.

Probabilidad Porcentual P%(xi)Es la probabilidad P(xi) multiplicada por 100.

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Propiedades1) La suma de las probabilidades de todos los eventos de un cierto proceso aleatorio vale 1(uno) pues la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al numero N de repeticiones del proceso aleatorio ( demostrar).

2) Si se considera como evento la aparición de un cierto xi o de otro xj la probabilidad de observar xi o xj si xi y xj son mutuamente excluyentes es

P(xi o xj) = P(xi) + P(xj) (1.4)

3) Si todos los eventos de un proceso aleatorio tienen igual probabilidad, la probabilidad de cada uno de los eventos es igual a (1/m), siendo m el número de eventos. Por ejemplo, para el proceso de “tirar un dado” la aparición de un valor excluye la de todos los otros y como todas las probabilidades P(xi) son iguales

P(x1 =1) = P(x2 =2) = P(x3 =3) = P(x4 = 4) = P(x5 = 5) = P(x6= 6)

resulta que la probabilidad de cada evento es P(xi) = 1/6 = 0,16666..

4) Si se requiere conocer la probabilidad P(xi; xj) de que los eventos xi y xj

de diferentes procesos aleatorios, o de un proceso aleatorio repetido dos veces, se presenten simultáneamente, el valor de P(xi, xj) será el producto de las probabilidades P(xi) y P(xj) de cada uno de los eventos.

P(xi; xj) = P(xi) * P(xj) (1.5)

Esta expresión vale si el evento xi es independiente del evento xj

Por ejemplo, si en el proceso aleatorio “tirar dos dados” se requiere que el valor xi

de un dado sea par y el xj del otro dado sea impar para calcular P(xi; xj) para un par de dados en base a las probabilidades de los valores de xi y xj .se debe multiplicar la probabilidad de ser par con la de ser impar. Como alternativa se pueden calcular todos los posibles conjuntos de un valor par con otro impar y dividir por el número total de conjuntos.

Interpretación de la Probabilidad como cociente entre áreas. Si una superficie de área total At se divide en áreas iguales Ao y mucho más pequeñas que el área total, se pueden aplicar los conceptos de probabilidad ya mencionados. Estas pequeñas áreas se denominan áreas unitarias. Si se asume que todas las áreas unitarias tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas, la probabilidad de elegir un cierto área A , generalmente mayor a la unitaria, es igual al cociente entre el número de áreas unitarias dentro del área A y el número total de áreas unitarias Ao en la superficie At.



Ejemplo 1.1 : Calcular el número PI (3,14159) en base al cociente entre el área de un cuadrado de lado unitario L = 1 y un círculo de diámetro D = 1

Ejemplo 1.2 : Como la frecuencia relativa de cada evento tiende a la probabilidad cuando el numero de repeticiones N tiende a infinito en la tabla siguiente se detallan los valores observados de la frecuencia absoluto N(xi) de los valores de un dado cuando aumenta el número de repeticiones. Se usó generación de números al azar con el programa XL para calcular los N(x) El número de repeticiones es N = 26, N = 260 y N = 2600 . N(1) = 5 en la segunda columna indica que el valor xi = 1 se observó 5 veces al tirar un dado 26 veces. N(2) = 4 indica que el valor xi = 2 se observó 4 veces al tirar un dado 26 veces, etc. Estos valores aumentan a 48 y 42, respectivamente para N = 260 y a 428 y 418 para N = 2600

N = 26 N = 260 N = 2600

Xi

Frecuen.Absol.de Xi

.FrecunciTeorica.

Frecu. Relat

Frecu Abs.de

Xi

.FrecuTeoric

Frecu. Relat.

FrecuenAbs. de

Xi

.FrecuencTeoric.

Frecue. Relat..

1 5 4,33 0,192 48 43,33 0,185 428 433,33 0,16462 4 4,33 0,154 42 43,33 0,162 418 433,33 0,16083 2 4,33 0,077 42 43,33 0,162 449 433,33 0,17274 4 4,33 0,154 44 43,33 0,169 446 433,33 0,17155 1 4,33 0,038 41 43,33 0,158 443 433,33 0,17046 10 4,33 0,385 43 43,33 0,165 416 433,33 0,1600

SUMA 26 1 260 1 2600 1

Ejercicio 1.1: Calcular la diferencia entre la Frecuencia relativa y la Probabilidad P(xi) para cada valor de xi para N = 26, N = 260 y N= 2600. Expresar el resultado como error relativo.

Distribuciones de Variables DiscretasA continuación se considerarán procesos aleatorios para los cuales el resultado puede ser descrito cuantitativamente por una variable x. Esta variable se denomina Variable Discreta (V.D) y para cada uno de los m eventos del proceso aleatorio la V.D. toma un valor numérico específico xi. Los valores de la V.D. pueden ser ordenado en forma creciente y para cada valor de V.D. le corresponderá un valor de probabilidad P(xi ). De esta forma se generan m valores de P(xi ), los cuales constituyen una Distribución de Probabilidades. Como antes se debe cumplir que

P(xi) = 1 (1.6)cuando se suma sobre los m valores de la V.D.



Ejercicio1.2: : Dibujar la Distribución de Probabilidades del proceso “tirar dos dados” tomando como variable discreta el valor de la suma de los valores de cada dado. Ayuda: listar todos los casos posibles, tipo 1-1, 1-2, ......,6-5, 6-6 , donde el primer valor corresponde a un dado y el segundo al otro dado y definir una variable discreta x que se extiende desde 2 hasta 12. Calcular la frecuencia para cada valor xi .Tener en cuenta que diferentes combinaciones de valores de cada dado dan el mismo valor de la suma, por ejemplo 3+4 = 2+5 = 6+1= 7.

Valor Medio Si se realizan N repeticiones del proceso aleatorio y se obtienen N valores xi, se define como valor medio de x , representado por <x>

<x> = (1/N ) * xi (1.7

sumados sobre los N valores de xi obtenidos. Sin embargo, si cada xi se repite N(xi) veces la suma sobre N se agrupa en m sumas del producto [N(xi) * xi] ,dando

<x> = (1/N ) * [N(xi) * xi] (1.8)

Esta expresión se transforma en <x> = [N(xi)/N ] * xi] = F(xi) * xi] (1.9)

sumando sobre los m valores de xi . donde F(xi) es la frecuencia relativa ya definida. Si el número de repeticiones tiende a infinito la expresión (1.9) se transforma en

P(xi) * xi] = (1.10)

siendo el valor verdadero medio cuando N tiende a infinito. Se debe aclarar desde ahora que aunque la expresión () parece que permite calcular este valor es en realidad desconocido y solo puede ser estimado por <x>.

Dispersión Standart y Varianza

En forma similar a la expresión (1.10) se calcula una característica importante de la Distribución de Probabilidades que mide el grado de dispersión de los valores de xi. La varianza 2 se define mediante

2 = P(xi) * (xi - ] (1.11)

sumados sobre los m valores de xi Por otra parte se define la dispersión standard como la raíz cuadrada de 2 , presentada por



Ejercicio 1.3. En base a los valores xi de la Tabla siguiente y de las dos series de N = 120 tiros cada una se debe calcular el valor medio <x> para cada serie mediante las frecuencias absolutas N(xi). Calcular el valor medio de los dos resultados y elegirlo como parámetro para calcular y

1ra Serie 2da SerieXi N(xi). N(xi).1 22 272 21 193 20 134 26 205 17 216 14 20

Distribución de Poisson La Distribución de Probabilidades de Poisson tiene la forma:

P( xi) = [x] * [exp(-)] /xi!

Donde se define como n* p , xi es el numero de veces que se observa el evento A que tiene probabilidad p de aparecer y n es el número de repeticiones. Cuando el número de repeticiones n es muy grande y la probabilidad p es pequeña, se dice que la Distribución Binomial se aproxima por la Distribución de Poisson, ver grafico 1.1, donde se representa la probabilidad de observar x i = 0,1, 2, …5, o 6 veces una cara dada de un dado cuando se repite 6 veces el tiro del dado - Como cada cara tiene una probabilidad p = 1/6, si se elige realizar 6 repeticiones será n = 6. En consecuencia

= n *p = 6 * (1/6) =1

Grafico 1.1 Distribución Binomial y de Poisson correspondiente a observar un valor fijo de un dado en 6 repeticiones..



Se observa en el gráfico 1.1 la gran coincidencia entre ambas distribuciones si se elige = 1. Por otra parte, se demuestra que para la distribución Binomial la varianza se expresa como p*q*n, donde q es la probabilidad de no observar el evento A. Como la probabilidad p se asume muy pequeña, será q = 1-p prácticamente igual a 1 (uno). Por esta razón p*q*n = n* p = , por lo tanto raiz( En resumen con el único parámetro se calcula la distribución de probabilidad de Poisson, la varianza y la dispersión estándar.

Aplicaciones de la Distribución de Poisson Esta distribución se aplica para los casos caracterizados por un gran número de procesos aleatorios idénticos cuando la probabilidad de un evento es muy pequeña. Por ejemplo, la cantidad de personas de una ciudad que pueden tener un accidente, o contraer una enfermedad, la cantidad de unidades con defectos de una producción masiva, las emisiones radioactivas de átomos excitados, todos estos pueden ser descriptas por el mismo tipo de Distribución de Poison. El método es el siguiente:

a Se determina en base a datos existentes un valor medio de la cantidad de personas, unidades, decaimientos radioactivos que se observan en un período de tiempo dado, o en una unidad conveniente de longitud, área, lote, etc, y se toma dicho valor como parámetro

b) Se calcula la Distribución de Poison para dicho parámetro eligiendo un conjunto de valores de xi situados en un intervalo ± k , con k = 3 o mayor

c) Se representa gráficamente los valores de Pn(xi) en el eje vertical (la ordenada) y los valores de xi en el eje horizontal (la abcisa)

Ejercicio 1.5: La tabla 1.3 lista los valores del número de personas que se enfermaron por año de una cierta enfermedad en una ciudad de 1000 habitantes. Calcular a) el valor medio, b) la dispersión, c) la probabilidad de contraer la enfermedad. d) Cual es probabilidad de que haya más de 10 personas enfermas, e) o menos de 3. Tabla 1.3. Número de enfermos por año en una ciudad de 1000 habitantes

AÑO 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 <x> SIGMANúm. de enfermos 7 5 3 2 6 7 10 9 9



ComentariosLa Distribución de Poisson es asimétrica para bajos valores de . En este caso todavía se observa que la cola derecha esta extendida hacia altos valores de xiAún cuando el valor medio es una cifra con decimales ( = 6,5) la máxima probabilidad se observa para xi= 6. Desde xi = = 6,5 - 2,5 = 4 hasta xi = = 6,5 + 2,5 = 9 se acumula el 65,3% de la probabilidad. Esto significa que hay una probabilidad del 65,3% de tener entre 4 y 9 enfermos. Desde xi = * = 6,5 - 5 = 1,5 hasta xi = * = 6,5 + 5 = 11,5 se acumula el 93,5 % de la probabilidad, o sea que normalmente se tendrá entre 1 y 12 enfermos por año . Más de 12 casos tiene una probabilidad

P( xi 12) = 1- P( xi <12) = 1- 0,984 = 0,016,

Este resultado indica que la probabilidad de tener 12 o más enfermos por año en una población de 1000 habitantes es inferior al 2%. Por lo tanto solo 2 veces cada 100 repeticiones se tendrá más de 11 enfermos por fluctuaciones estadísticas que mantienen constante el valor medio = 6,5 enfermos por cada 1000 habitantes. Por lo tanto, si se detecta un número de enfermos superior a 11 implica con gran seguridad que se ha intensificado la incidencia de la enfermedad, es decir el valor medio tuvo que haber aumentado.

Planilla de Cálculo de la Distribución de Poison del Ejercicio 1.5

= n*p = 6,5 Distribución Poison

= raiz()= Pn(xi)= xi * [exp(-)] /xi! Probabilid

xi xi [exp(-)] xi! Pn(xi) Acumulada

0 1 0,001503439 1 0,001503439 0,001503439

1 6,5 0,001503439 1 0,009772355 0,011275794 0,0112 42,25 0,001503439 2 0,031760153 0,043035947

3 274,625 0,001503439 6 0,068813665 0,111849612

4 1785,0625 0,001503439 24 0,111822205 0,223671817 0,2245 11602,90625 0,001503439 120 0,145368867 0,369040684

6 75418,89063 0,001503439 720 0,157482939 0,526523623

7 490222,7891 0,001503439 5040 0,146234158 0,67275778

8 3186448,129 0,001503439 40320 0,118815253 0,791573033

9 20711912,84 0,001503439 362880 0,085811016 0,877384049 0,877 0,65310 134627433,4 0,001503439 3628800 0,05577716 0,93316121

11 875078317,4 0,001503439 39916800 0,032959231 0,966120441 0,966 0,95512 5688009063 0,001503439 479001600 0,017852917 0,983973358



Este tipo de análisis vale para cualquier otro caso estadísticamente similar, por ejemplo en producción. Si el número medio de piezas defectuosas que se detecta en una fábrica que elabora 1000 unidades por semana es 6,5 la observación en una semana de 12 piezas defectuosas implica que se ha deteriorado la calidad de producción.

Ejercicio 1.6: En una experiencia de detección radioactiva se observó en una medición que el número de cuentas en 10 segundos era de 3580 . a) Estimar el valor medio por segundo, b) la desviación standart,, c) Estimar un intervalo alrededor del valor medido en dos veces sigma y determinar el área comprendida mediante el uso de la función POISSON del XL.


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