distribucion de modos transversales

7/25/2019 Distribucion de Modos Transversales

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Ingenieras, Julio-Septiembre 2015, Vol. XVIII, No. 68 15

Distribucin de modostransversales e hbridos en la

direccin de propagacin enuna fbra pticaVidal Alfredo Trejo Rocha, Maripaz Moreno Daz,Norma Patricia Puente RamrezPosgrado en Ingeniera Elctrica, [email protected]

RESUMEN

Las fibras pticas son utilizadas en las telecomunicaciones como un medio de

transmisin de informacin, en los ltimos aos se han investigado nuevos mtodospara aprovechar los modos electromagnticos en fibras pticas multimodo, como

una opcin para mejorar los sistemas de comunicaciones basados en fibra ptica.

Con el fin de mejorar la compresin de los modos electromagnticos, este trabajo

expone los principios de propagacin y distribucin de modos transversales

e hbridos en fibras pticas con perfil de ndice escalonado. Se presenta el

proceso de solucin directa de la ecuacin caracterstica de la fibra ptica. Por

medio de un programa computacional realizado en MATLAB, se soluciona un

caso particular en el cual es excitado al menos un modo transversal elctrico

(TE), transversal magntico (TM), e hbridos (EH) y (HE). En los resultados se

presentan los perfiles de campo electromagntico de dichos modos y se discute

sobre los parmetros que rigen las caractersticas de los perfiles de campo

electromagntico.

PALABRAS CLAVE

Fibra ptica perfil de ndice escalonado, Anlisis Modal, EcuacinCaracterstica, Modos Hbridos.

ABSTRACT

Optical fibers are used in telecommunications as a medium to transmit

information, recently have been studied new methods to exploit the

electromagnetic modes in multimode optical fibers as an option to improve

communication systems based on optical fiber. To achieve a better

understanding of the electromagnetic modes, this work exposes principles ofthe propagation and distribution of transversal and hybrid modes propagating

through step-index fibers. For that, it is presented the process of direct solution

of the optical fiber characteristic equation. A MATLAB computer program

gives solution to a particular case in which at least one of the transverse-

electric (TE), transversal-magnetic (TM), and hybrid (HE) and (EH) modes

are solved. In the results, we show the electromagnetic field profiles of

these modes are presented and discussed the parameters witch impose the

characteristics of the electromagnetic field.


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16 Ingenieras, Julio-Septiembre 2015, Vol. XVIII, No. 68

KEYWORDS

Step-Index Optical Fiber, Modal Analysis,Characteristic Equation, Hybrid Modes.

INTRODUCCINDesde la aparicin comercial en 1980 de la

primera generacin de sistemas de comunicacinpor luz guiada, la fibra ptica ha sido usada comoun medio de transmisin de datos. A mediados dela misma dcada en la transicin entre la primeray la segunda generacin se opt por el uso de lasfibras monomodo (SMF, Single-Mode Fiber) sobrelas multimodo (MMF, Multi-Mode Fiber) con lamotivacin de superar la limitacin en la velocidadde transmisin causada por dispersin modal presenteen la fibra MMF.1Posteriormente, cambios en lafrecuencia de operacin y en los mtodos de deteccinpermitieron mayores incrementos en la capacidad deinformacin y en las distancias mximas permisiblessin repetidores para los enlaces pticos.

Actualmente, una nueva limitante impuestapor efectos no lineales presentes en la fibra pticaha sido encontrada.2,3 Para superar esta nuevarestriccin y en la bsqueda de satisfacer la siemprecreciente demanda de velocidades transmisin hansido investigados mtodos para el aprovechamientode los modos electromagnticos disponibles en las

fibras MMF.4Entre algunas de estas propuestas seencuentran tcnicas de diversidad basadas en laredundancia de informacin en cada modo excitado5y esquemas de acceso mltiple por divisin de modos(MMD,Mode Division Multiplexing),6,7en el que atravs de un grupo de modos se transmite distintainformacin agregando un nuevo grado de libertaden el diseo de sistemas de comunicacin basadosen fibras pticas MMF. Adems, las velocidades defase asociadas a cada modo ofrecen la concepcin deuna gama de dispositivos intrnsecos a la fibra pticacomo compensadores de dispersin sintonizables,controladores de polarizacin, entre otros.8

Estas investigaciones abren la posibilidad deemplear los modos electromagnticos en fibrasMMF como una opcin para mejorar los sistemasde comunicaciones basados en fibra ptica y en eldiseo de otros dispositivos pticos. Es por esto que,con el fin de una mejor comprensin de los modoselectromagnticos, se presentan en este trabajo

principios bsicos de la propagacin y distribucinde campo de los modos transversales e hbridos queson soportados en las fibras pticas con perfil dendice escalonado.

En este trabajo, se expone el proceso de solucin

directa de la ecuacin caracterstica de la fibraptica. Posteriormente, por medio de un programacomputacional realizado en MATLAB, se solucionaun caso particular en el cual es excitado al menos unmodo transversal elctrico (TE), transversal magntico(TM), e hbridos (HE) y (HE). Los resultadosmuestran los perfiles de campo electromagntico paraestos modos en su componente en direccin de lapropagacin. Adems, se destacan los parmetros quedefinen las caractersticas de los perfiles de campoelectromagntico de los modos excitados, dichas

caractersticas sern fciles de apreciar en los grficosobtenidos. Tambin son expuestas aplicacionesrecientes en fibras MMF y finalmente, se presentanlas conclusiones.

Propagacin de luz en fbras pticas con perflde ndice escalonado

De manera ms precisa, una fibra ptica es unagua de onda cilndrica conformada por un ncleo deradio acon un ndice de refraccin n1, por donde laluz es guiada, y de un revestimiento de radio bcon

un ndice de refraccin n2ligeramente menor al delncleo. En la figura 1 a) se ilustra la estructura de lafibra ptica. Cuando existe un cambio abrupto delndice de refraccin en la frontera entre el ncleoy el revestimiento r = a, se dice que la fibra es deperfil de ndice escalonado, lo cual es presentadoen la figura 1 b).

Distribucin de modos transversales e hbridos en la direccin de propagacin... / Vidal Alfredo Trejo Rocha, et al.

Fig. 1. a) Estructura de bra ptica, b) Perl de ndice derefraccin de bra ptica de ndice escalonado


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El mecanismo de la propagacin de la luz enfibras pticas, se presenta a continuacin bajo laperspectiva de dos tcnicas de estudio:

1) Trazo de rayos: Se basa en la aproximacinde las ondas de luz como ondas planas cuyas rutas

pueden ser trazadas en forma de rayos.9,10Esta tcnicaanaliza el mecanismo bsico de propagacin de laluz en la fibra ptica por medio de la ley de Snell.Para ilustrar dicha ley, en la figura 2 se muestra laseccin transversal de una fibra ptica con perfil dendice escalonado. Un rayo incide en la cara de lafibra ptica con un ngulo iy debido a la interaccindel rayo en la interfaz fibra-aire, este es refractadocon un ngulo ral interior de la fibra ptica.

Cuando el rayo refractado llega a la frontera entreel ncleo y el revestimiento se pueden presentar los

siguientes fenmenos:

de ondas electromagnticas viajeras de configuracinsencilla que mantienen un patrn de onda estacionariaa lo largo de la direccin de propagacin.12

Los modos pueden clasificarse por su campoelctrico y magntico en la direccin de propagacinEz y Hz. Se identifica como modo TransversalElctrico (TE) a aquellos modos que preservan lacondicin de que la componente del campo elctricoen el eje de propagacin es cero i.e.Ez=0, mientras enlos que la componente del campo magntico es ceroi.e. Hz=0 son conocidos como modos TransversalMagntico (TM). Por otro lado los modos en losque se presentan componentes axiales tanto decampo elctrico como magnticos i.eEz0 yHz0son conocidos como modos hbridos.13Se designacomo modo hbrido EHen los que la contribucin del

campo elctrico es mayor al del magntico e hbridoHEen caso contrario.14

Cons iderando l a na tu ra leza de ondaelectromagntica de la luz, un estudio ms detalladode sus mecanismos de propagacin en la fibra pticainvolucra el planteamiento de las ecuaciones deMaxwell.


Fig. 2. Descripcin del mecanismo de propagacin de laluz en seccin transversal de bra ptica con perl de

ndice escalonado por anlisis de trazo de rayos.

Si el ngulo complementario de incidencia

cumple con la condicin: sen n2/n1, el rayoes refractado al revestimiento.

Los rayos que sean incididos con un ngulo en lafrontera ncleo-revestimiento tal quesen n2/n1,presentarn reflexin total interna. Dichos rayossern guiados en el ncleo de la fibra ptica.11

2) Anlisis modal:Se basa en el tratamientode la luz como una onda electromagntica sujeta

a satisfacer las ecuaciones de Maxwell, libres defuentes y condiciones de frontera impuestas porel medio de propagacin.9,10 Mediante el anlisismodal, la onda electromagntica que es guiadapor la fibra ptica puede ser representada comouna superposicin de ondas llamadas modos oeigenfunciones. Los modos son soluciones vlidasal planteamiento de las ecuaciones de Maxwell y alas condiciones de frontera. Consisten en un conjunto

Fig. 3. Fibra ptica en sistema de coordenadascilndricas. Lnea azul: Posicin de un punto arbitrarioP con coordenadas r0,0,z0. Lnea naranja: direccinde los vectores unitarios en la interface Ncleo-

Revestimiento.

Solucin de la ecuacin de onda encoordenadas cilndricas

Una condicin necesaria para que los camposEyHsatisfagan las ecuaciones de Maxwell es que cadauna de sus componentes satisfaga la ecuacin de onday equivalentemente a la ecuacin de Helmholtz:

(1)


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Tomando en cuenta la geometra de la fibraptica, se selecciona el sistema de coordenadascilndricas orientando el eje z a lo largo del ejede la fibra ptica, como se muestra en la figura 3.Entonces, la ecuacin 1 se expresa con coordenadas

(r, ,z) en la siguiente ecuacin

(2)

donde n es el ndice de refraccin del medio depropagacin, k=2/ el nmero de onda y lalongitud de onda del campo incidente. Debido aque la componente en la ecuacin 2, contienenicamente trminos enEz, se procede a solucionarla ecuacin para esta componente. Un procedimiento

similar se sigue con el campoHy sus componentes.Con las expresiones paraEzyHz, los trminosEr, E,Hr,H, pueden ser obtenidos utilizando las siguientesecuaciones de Maxwell, las cuales se refieren a la leyde Faraday y Ley de Ampere-Maxwell asumiendouna dependencia temporal ejwt:15

(3) (4)

Las soluciones de la ecuacin 2 para la componenteEzyHzson expuestas en la tabla I.

Es de especial inters analizar la frontera entrelas regiones de ncleo y revestimiento, para ello sedesignan los siguientes parmetros, donde a es elradio del ncleo de la fibra:

P=pa, (8)

Q=qa, (9)

adems se expone su dependencia con el parmetro defrecuencia normalizada en la siguiente expresin:

V2=P2+Q2. (10)

Condiciones de frontera y funcincaracterstica

Las condiciones de frontera para la interface entredos materiales dielctricos distintos establece quelas componentes tangenciales a la interface, es decir

Ez, E, Hz, H, deben de ser continuas. Aplicandola condicin de continuidad a las componentes endireccin azde las expresiones en tabla I, se tieneque:

(11)

Al aplicar la misma condicin a las componentesen resultan un conjunto de ecuaciones, para lascuales se obtienen soluciones no triviales para A, B, Cy D nicamente si se satisface la siguiente ecuacin:

(12)

La ecuacin 12 es conocida como la ecuacincaracterstica de la fibra ptica de ndice

escalonado.15 Solo los pares de valores (P, Q)que satisfacen la ecuacin caracterstica cumplensimultneamente con las ecuaciones de Maxwelly con las condiciones de frontera entre el ncleo yrevestimiento, por lo tanto, dichos pares (P, Q) estnasociados a un modo electromagntico.

Despus de una serie de simplificaciones a la

ecuacin 12, las soluciones pueden ser separadasen un conjunto de 4 ecuaciones caractersticas,mostradas en la tabla II, asociadas a los modosTE, TM, EH y EH. Las ecuaciones de los modostransversales resultan de la condicin cuando m= 0y las de los hbridos, de propiedades de recursividadde las derivadas de las funciones de Bessel y lasuposicin de que el factorn1k, llamada condicinde guiado dbil.16


Tabla I. Perfiles de campo Ez, Hz para ncleo y

revestimiento enz = 0.15

Ncleo Revestimiento

Jm(r) y Km(r) son las funciones de Bessel deprimera clase y modificada de segunda clase delorden mrespectivamente,A, B, C, Dconstantes porser determinadas y mun nmero entero. Tambinse tiene que:

(5)

(6)

(7)

dondees la constante de fase y el parmetro Vesconocido como frecuencia normalizada. Se deberecalcar la dependencia y periodicidad angular quedefine el ndice m en los perfiles de campo de latabla I.


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a=9 m e ndices de refraccin n1=1.45, n2=1.4442.As mismo, se supuso una fuente emisora de luzcon longitud de onda de operacin de=1.5 m. Laseleccin fue realizada para producir una frecuencianormalizada de V=4.8843, cuya relacin con losparmetros usados est dada por la ec. 5, y la

cual excita los modos transversales: TE0,1, TM0,1ehbridos:HE1,1,HE1,2,HE2,1,HE3,1,EH1,1. En la figura4, se ilustra la cantidad y tipos de modos excitadospara una frecuencia normalizada dada.

Posteriormente, se obtuvieron los valores (P,Q) que cumplen con la ecuacin 10 y que ademsson soluciones para cada una de las ecuacionescaractersticas de la tabla II. Se utilizaron losintervalos de solucin mostrados en la tabla IIIpara la bsqueda de las races de las ecuacionescaractersticas y con fin de evitar los valores en loscuales las mismas se indefinen.

Las constantesA, Bde las amplitudes modales deEzyHzen la regin del ncleo son supuestas unitarias.Por otro lado, las amplitudes del revestimiento C, Dson evaluadas con la ecuacin 11 y con la informacinde la solucin (P, Q) del modo analizado. Finalmente,a partir de las expresiones en la tabla I los perfiles decampo elctrico y magntico son obtenidos.


Tipo de modo

TE0, n, TM0, n HEm, n EHm, n

Inicio de

intervaloQ0

J0(P)=0 m=1, J0(P)=0

incluyendoP=0m2Jm-2(P)=0Excepto P=0

Jm(P)=0

ExceptoP=0

Fin deintervalo

Q

J1(P)=0 Jm-1(P)=0 Jm+1(P)=0

El trmino a la izquierda de la igualdad de cadaecuacin de la tabla II puede ser visto, para los modostransversales, como una funcin de 2 variables (P,Q) y para los modos hbridos, como una secuenciade funciones indexadas con mevaluadas tambin conel mismo par de variables. Visto de esta manera, lasolucin del modo son las coordenadas (P, Q) delos cruces por cero para dichas funciones.

Intervalos de solucin de la ecuacincaracterstica

Un anlisis de las ecuaciones caractersticas esrealizado observando su comportamiento cuandoQ=0 y Q=. El significado fsico de que Q seaproxime a cero, es que la luz ya no es guiada en elncleo y por lo tanto, el campo ya no decae a medidaque se aleja del centro del ncleo. Esto se debe a losvalores que toma la funcin de Bessel modificadade segunda clase y cmo este valor afecta a las

ecuaciones de la tabla I. Por otro lado, cuando Qseaproxima a ya no se presenta propagacin por elrevestimiento, y se tiene que la mayor parte de la luzes guiada por el ncleo.

En ambos casos se requiere que el parmetro Ptome un valor de un conjunto de posibles valores parasatisfacer la igualdad impuesta por las ecuacionescaractersticas. Tales valores para P definen unconjunto de intervalos disjuntos donde la solucinde la ecuacin caracterstica existe. Lo valores Presultado de la condicin en la que Qse aproximaa 0 son el inicio de los intervalos, mientras que losvaloresPcuando Qse aproxima a infinito definenel final de cada intervalo. En la tabla III se muestranlos intervalos de solucin para cada modo.

Metodologa

Se examin el caso en el que por lo menos unmodo hibridoHEm,ny EHm,nes excitado. Para ello,se propuso una fibra ptica con un radio del ncleo

Tabla III. Intervalos de solucin de las ecuacionescaractersticas.15

Fig. 4. Nmero de modos posibles en una bra pticade ndice escalonado como funcin del parmetro defrecuencia normalizada V.15

Tabla II. Ecuacin caracterstica para los modosTransversales [TM, TE] e hbridos [HE, EH].

TE0, n TM0, n


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RESULTADOS Y DISCUSIN

En la figura 5 se presenta: 1) La evaluacin dellado izquierdo de las ecuaciones caractersticas dela tabla II para los modos hbridosHEm=1,nyHEm=2,nen un rango de valores (P, Q), 2) la evaluacin paraun conjunto de valores que pertenecen a los crculosdefinidos por V=4.8843, la frecuencia normalizadade la fibra ptica propuesta, y un parmetro V=9

Luego, es evidente que un incremento en elparmetro V puede generar ms soluciones y portanto excitar ms modos. Se observa tambin, quecon el incremento del ndice mlas discontinuidadesy las soluciones se desplazan a valoresPmayores.

Una consecuencia de esta ltima observacin, es quesiempre habr una menor cantidad de soluciones paralos modos hbridos con ndices mmayores. Estosresultados pueden ser observados con la figura 4 ycon los intervalos de inicio en la tabla III.

Los perfiles de campo electromagntico enla direccin de propagacin de todos los modosexcitados en la fibra ptica propuesta para la longitudde onda seleccionada son ilustrados en la figura6. Una caracterstica comn a todos los perfiles,es su decaimiento exponencial para valores de r

mayores al radio del ncleo . Esta cada debe ser losuficientemente grande para considerar que no existealguna interaccin con el lmite de la fibra ptica.

Por otro lado, es visible que la amplitud mximadel perfil no es la misma para todos los modos.En un modo con ndice m, este valor de amplitudcorresponde al mximo de la funcin Bessel deprimera clase Jm (r). Dado que los mximos de lafuncin Jm (r) son decrecientes con el incrementode m, el mximo del perfil de campo tambin decaecon el aumento del ndice m.

Los modos transversales, mostrados en la figura6 a-b), son radialmente simtricos y no tienendependencia angular. Los campos Ez del modoTE0,nHzdel modo TM0,1no han sido incluidos dadoque por definicin son nulos. A diferencia de losmodos hbridos en la figura 6 c-g), en los modostransversales gran parte de la intensidad de loscampos est concentrada en el interior del ncleo.

En los modos hbridos, figura 6 c - g), se observaque los campos elctricos y magnticos son similaresy solo difieren por un giro de 90. Los modosHE1,1y HE1,2, presentados en las figuras 6 c-d) difieren

solo por una oscilacin con el incremento de ladistancia radial que luego es amortiguada en laregin del revestimiento. Los modosHE1,1,HE2,1yHE3,1se diferencian por el nmero de oscilacionescon el incremento angular, siendo m el nmero deoscilaciones completas. Estas observaciones resaltanla dependencia radial con el orden ny angular con mde los perfiles de campo de todos los modos.


Fig. 5. Funcin caracterstica para los modos a) HE1,nyb) HE2,n. Lnea punteada: V=4.8843; Lnea solida: V=9; ypuntos: races de la funcin para V constante.

de referencia y 3) las soluciones de las ecuacionescaractersticas para los modos y parmetros V yamencionados. De las grficas se observa primero que

las soluciones se encuentran confinadas en intervalosen el eje P limitados por valores en los que la funcines indefinida, reflejando los resultados de la tablaIII. Estos valores corresponden con las races de lafuncin BesselJm(r) en el denominador del primertrmino de las ecuaciones caractersticas de ambosmodos. As, la designacin ndel modo correspondecon la solucin producida en el n-simo intervalo.


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Aplicaciones y perspectivas

Gracias su distribucin espacial de potencia, losmodos de alto orden (m>0, n>0) han sido usadosen aplicaciones con lseres de alta potencia depulsos ultra cortos.17Adems se ha probado su altaestabilidad bajo influencia de las interacciones nolineales en la fibra ptica.18

Se ha demostrado la posibilidad de la realizacindel proceso de translacin frecuencial por medio delmezclado no lineal de modos debido a no linealidadesinducidas en la fibra ptica.19,20

Como fue mostrado en la derivacin de la

ecuacin caracterstica, la composicin modales producto de las condiciones de frontera. Estadependencia hace al contenido modal sensible aperturbaciones en la geometra de la fibra ptica quepueden ser provocados por esfuerzos mecnicos.Bajo este principio han sido propuestos sensoresde flexin y deformacin,21,22,23adems de sensoresbiomdicos no invasivos para el monitoreo de lafrecuencia cardiaca y respiratoria.24

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se discutieron los conceptosbsicos para la comprensin de la propagacin deondas electromagnticas en la fibra ptica de ndiceescalonado. Fue dada una introduccin al conceptode modo electromagntico.

Se realiz un programa computacional basadoen el comportamiento de la ecuacin caractersticade la fibra ptica para obtener sus modos excitados.Se demuestra la dependencia de la cantidad demodos soportados con el parmetro de frecuencianormalizada V y de manera particular se trabaj elcaso de 7 modos excitados.

En los perfiles de campo elctrico y magntico seobserv la dependencia radial impuesta por el ndiceny angular del ndice m. Donde mdefine el nmerode lneas rectas con amplitud cero atravesando elcentro del perfil y las solucionesPpara cada ndicen, un factor de compresin radial.24


Fig. 6. Perles de campo i) Ezy ii) Hzen z=0 para modos transversales: a) TM0,1, b) TE0,1. Hbridos: c) HE1,1, d) HE1,2,e) HE2,1, f) HE3,1y g) EH1,1. Lnea punteada: radio del ncleo a.


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