Introducción

Este trabajo explica cómo las diversas fuerzas aplicadas a una viga llegan a producir

fuerza cortante y momento flexionante internos.

Además de los conceptos básico que hemos de conocer para mayor compresión del estudio

del los temas a tratar en este trabajo; también veremos el desarrollo de algunos ejemplos

para cada uno de estos temas.

Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas representadas por un vector con su

módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación.

Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino que están

distribuidas a lo largo de una línea o sobre una superficie. Son cargas cuya distribución

puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su

dirección y sentido. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables

frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada.

ContenidoVigas.................................................................................................................1

Tipos de vigas................................................................................................1

Conceptos básicos............................................................................................1

Convención de signos.......................................................................................3

Fuerza Cortante................................................................................................6

Momento de flexión.........................................................................................6

Variación de la fuerza cortante....................................................................19

Pendiente del Diagrama de momentos.......................................................19

Variación del Momento...............................................................................20

Centroides de áreas planas y sólidos de revolución.......................................20

Teorema de Pappus........................................................................................25

Primer teorema de Pappus..........................................................................25

Centroide de un arco...................................................................................26

Segundo teorema de Pappus.......................................................................26

- Momentos de inercia de un arco...............................................................26

- Centroides de una superficie de revolución.......................................26

- Momentos de inercia de una superficie de revolución......................26

Longitud de arco y superficies de revolución.................................................27

- Longitud de un arco..............................................................................27

- Área de una superficie de revolución..................................................29

Los ejes de paralelos o de Steiner...................................................................33

Conclusiones...................................................................................................37

Bibliografía......................................................................................................38

VigasUna viga es un elemento que tiene una longitud considerablemente mayor que las otras

dimensiones de su sección transversal y que soporta cargas perpendiculares al eje de la viga

(por tanto, las cargas forman ángulo recto con la longitud). Las cargas pueden estar

distribuidas sobre unas distancias muy pequeñas a lo largo de la viga, en cuyo caso se

llaman concentradas, o pueden estar distribuidas sobre una distancia medible, en cuyo caso

se llaman distribuidas o repartidas.

Tipos de vigas- Sencilla: Los apoyos están en los extremos.

- En voladizo: Un extremo está empotrado en una pared y el otro extremo libre.

- Mixta: Por lo menos uno de los apoyos no está en un extremo.

Conceptos básicosEn la primera escena se muestra una viga; Subsiguientemente se aplican fuerzas

a ella (Figura 4.1) y, debido a estas cargas, la viga sufre una deformación. Para

explicarle al usuario los que ocurre internamente en la viga es necesario realizar un

corte en una secciónC (Figura .2).

C

figura 4.1 Viga sometida a cargas

1

C

Figura 4.2 Flexión de la viga debido a cargas

Antes de pasar al corte se le indica al usuario que es necesario realizar el diagrama

de cuerpo libre y encontrar las reacciones.

Hecho esto, la viga se divide en dos partes para estudiar lo que ocurre en el corte

(Figura4.3). Se realiza un cambio de perspectiva para favorecer la visión de las

acciones internas (Figura 4.4 a) que equilibran al cuerpo con las fuerzas

externas aplicadas y, entonces, visualmente acciones las fuerzas V y M.

Posteriormente se dibujan los esfuerzos que causa la flexión en la viga (Figura 4.4 b)

y cuya obtención se estudiará en el capítulo siguiente.

C

F igura 4.3 Corte en la

viga

2

Figur a 4.4 (a ) Surgen las fuerzas que equilibran al

elemento

F igu r a 4.4 (b) Esfuerzos producidos por momento

flexionante.

También se le proporciona información al usuario de la utilidad y necesidad de

saber dónde se ubican los momentos flexionantes y cortantes máximos. Esto último

se explica en escenas más adelante en la secuela de cálculo.

Convención de signosPara analizar vigas sometidas a cargas se ha adoptado una convención de signos para

que los cortantes y momentos estudiados tengan significado. En el paquete

3

didáctico se dan los ejemplos y circunstancias en los que un momento se considera

positivo o negativo.

Se empieza con una escena donde se observan dos vigas sin carga alguna

(Figura 4.5).

Figura 4.5 Vigas libre de

cargas

Posteriormente a cada una se le aplican acciones externas diferentes, una fuerza

vertical a la primera viga y a la segunda momentos. Con esto se observa una

deformación “cóncava” de las vigas como se muestra en las figura 4.6.

F igu r a 4.6 Flexión

positiva

4

Siguiendo, se cambia el sentido de las acciones externas y la deformación de las

vigas se es ahora “convexa” (Figura 4.7). Cada deformación va acompañada de su

texto indicando si el momento es positivo o negativo.

Figur a 4.7 Flexión

negativa

Al pasar a la siguiente escena se presenta la convención de signos usada para la

fuerza cortante. Aquí se presenta la animación de una viga libre de cargas y se le

hace un corte por la mitad.

Se le aplican cargas a la viga, de ambos lados del corte, y la viga se corta.

Dependiendo del sentido de las cargas aplicadas, la viga se corta de dos diferentes

maneras. Al usuario se le indica qué cargas logran el corte positivo y de igual

forma cuáles el corte negativo (Figura4.8).

5

Positivo

Negativo

Figura 4.8 Convención de signos para

cortante

Fuerza Cortante Se pude considerar la fuerza cortante V como la suma de todas la fuerzas verticales situadas

a la izquierda de la sección en la que una fuerza hacia arriba produce fuerza cortante

positiva (si se emplea la suma de fuerzas situadas a la derecha, una fuerza hacia abajo

produce una fuerza cortante positiva).

Momento de flexiónEl momento de flexión M en una sección puede calcularse como la suma de los momento

respecto a la sección de todas las fuerzas verticales a la izquierda; una fuerza hacia arriba

en la parte situada a la izquierda de la sección un momento positivo en la sección.

6

Ejemplo 1

Para el primer ejemplo se presenta un viga simplemente apoyada en los extremos,

sometida una carga puntual y una distribuida parcial (Figura 4.9).

Figura 4.9 Viga sometida a cargas

7

Se le indica al usuario que el primer paso es la determinación de las reacciones.

Con una animación, los apoyos son transformados en flechas indicando el sentido de

la reacción. Este diagrama de cuerpo libre se mantiene a lo largo de toda la escena.

Se continúa estableciendo un eje de referencia y posteriormente se efectúa un corte

para analizar las acciones internas a una distancia x del origen del eje de referencia

(Figura 4.10).

Figura 4.10 Primer corte a una distancia x del extremo izquierdo de

la viga

Se obtiene el diagrama del cuerpo libre del lado izquierdo del corte y se analizará

todas las fuerzas que se encuentran en ese lado; por equilibrio se obtienen las

ecuaciones para la fuerza cortante V y el momento flexionante M (Figura 4.11).

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Figura 4.11 Ecuaciones para V y M obtenidas para el primer

corte

Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localización del

corte) se mueve hacia la derecha hasta pasar la carga de los 10 kN. Aquí se le

explica al usuario que el diagrama de cuerpo libre del lado izquierdo de la viga ha

cambiado debido a la presencia de la nueva carga y, en consecuencia, habrá nuevas

ecuaciones para V y M (Figura 4.12).

Figu ra 4.12 Ecuaciones para V y M obtenidas en el segundo corte

Realizado esto, la placa se mueve nuevamente ahora más allá de los 3.5 m. Aquí

aparecen nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior.

Entonces nuevas ecuaciones para V y M son obtenidas. Para explicar de manera

visual cómo se consideran las cargas distribuidas, mediante una animación ésta se

transforma en una carga puntual y se acota su distancia al corte (Figura 4.13).

9

Figur a 4.13 Ecuaciones para V y M obtenidas en el tercer

corte

Se le explica al usuario que no es estrictamente necesario estudiar la viga de

izquierda a derecha, y que, en el caso del último corte, resulta más conveniente

analizar el diagrama de cuerpo libre del lado derecho del corte. Se cambia el eje

de referencia y se consiguen las ecuaciones para V y M. Éstas se comparan con

las obtenidas inicialmente para el mismo corte, notando una disminución

considerable de elementos en las expresiones (Figura 4.14).

Figura 4.14 Diagrama de cuerpo libre del lado derecho del tercer

10

corte

De esta manera se le explica al usuario las consideraciones que debe de tomar en

cuenta al momento de definir el número de cortes necesarios para analizar una viga. A

continuación se muestran gráficamente los cortes que fueron necesarios para obtener

las variaciones de fuerza cortante y momento flexionante de esta viga en particular

(Figura 4.15).

Figur a 4.15 Cortes necesarios para en análisis de la

viga.

Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V y M para todas las

secciones, se procede a obtener los diagramas de fuerza cortante y momento

flexionante.

El primer diagrama a graficar es el de fuerza cortante. Para ello aparece debajo del

diagrama de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el

diagrama, con x como abscisas y V en unidades de kN como ordenadas. Antes

de que aparezca la gráfica de cortante, en el diagrama de cuerpo libre de la viga,

aparece una placa transparente (Figura4.16).

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Figura 4.16 Eje de coordenadas para el diagrama de fuerza cortante

En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas

a cada rango, además de texto explicativo de cómo se obtiene la gráfica. Después,

con ayuda de una animación, se consigue el diagrama: la placa transparente avanza

por la viga (que representa la posición x, el corte donde se estudia la viga) y en el

eje de referencia se van graficando los valores para V a medida que avanza la placa

(Figura 4.17).

12

Figur a 4.16 Diagrama de

cortantes

Una vez que se consigue el diagrama de cortante, se resalta alguna cualidad del

diagrama; para este ejemplo, que el cortante más grande se encuentra en los poyos.

Finalizada la obtención del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama

de momentos. Se vuelve a empezar con los mismos elementos con que comenzó el

diagrama de cortante.

De igual forma, a la izquierda aparecen las ecuaciones (ahora de momento flexionante)

para los rangos ya conocidos. Lo que sigue tiene la misma base de animación que el

diagrama anterior, pero aquí aparece graficado el diagrama de momentos.

Posterior a la obtención del diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de

la gráfica. En este ejemplo, se hace ver que en los apoyos de una viga simplemente

apoyada el momento será nulo.

También se le explica al usuario que el diagrama de momentos ayuda a entender la

manera en que la viga se flexiona. Para esto, el diagrama de cuerpo libre de la viga se

flexiona con una animación hasta el punto en que puede verse la relación entre la

deflexión y el diagramade momentos (Figura 4.17).

13

Figu r a 4.17 Deflexión de la viga y Diagrama de momentos

Ejemplo 2

En el siguiente ejemplo se tiene una viga de diferente longitud, con una carga

concentrada y una distribuida, un apoyo simple en el extremo izquierdo y otro fijo a

2 metros del extremo derecho (Figura 4.19).

Figu ra 4.19 Viga sometida a

cargas

14

Para este ejercicio se empieza por obtener las reacciones, establecer el eje de

referencia y, posteriormente, a determinar el número de cortes necesarios (Figura

4.20).

Figu r a 4.20 Son necesarios 4 cortes para este

ejemplo

La secuencia de cálculos sigue siendo la misma; sin embargo, hay un cambio en la

secuencia de animaciones. En este ejemplo, las animaciones no se enfocan en obtener los

diagramas de cuerpo libre, sino en trabajar con los intervalos para cada corte.

El conseguir las ecuaciones para cortante y momento se basa en el mismo

procedimiento analítico explicado en el ejemplo anterior y, de igual manera, se explica

en éste.

Cuando se obtienen los diagramas de cortante (Figura 4.21) y de momento, se observa

que ellos son muy diferentes a los del otro ejemplo pues la posición de los apoyos

influye mucho en los diagramas. También se presenta una animación al final donde la

viga se deforma dejando ver así la relación con el diagrama de momentos (Figura 4.21).

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Figura 4.21 Diagrama de Cortantes

Figu ra 4.22 Deflexión de la viga y Diagrama de

momentos

Ejemplo 3

En este ejemplo se presenta otro caso, donde la viga está sometida a una carga

uniforme trapezoidal y una puntual (Figura 4.23).

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Figura (4.23) Viga sujeta a cargas

Puesto que la carga trapezoidal se encuentra en el extremo izquierdo y el análisis de la

viga se realiza de izquierda a derecha, en el primer corte es dónde se observan cambios.

La carga trapezoidal fue tratada de tal manera que se le dio al usuario la herramienta

de lidiar con un carga rectangular y una triangular, lo que sucede al descomponer el

trapecio en un rectángulo (una carga distribuida) y un triángulo (carga triangular) (Figura

4.24).

Figura (4.24) Descomposición de carga trapezoidal en una triangular y

distribuida

En el primer corte aparecen las ecuaciones obtenidas para V y M. Después de esto,

17

aparece el texto explicando cómo es que debe estudiarse una carga triangular, que es

donde radica el cambio en este ejemplo. Se indica que para concentrar la carga es

necesario utilizar la fórmula de b*h/2 y debe dejarse expresado b en función de

x, mediante triángulos semejantes y expresar h en función de y . El brazo de palanca

queda expresado en x, que indica la distancia del corte al centroide de un triángulo (1/3

de la base respecto al vértice). Se hace hincapié en que en la ecuación de cortante

resulta en una ecuación de segundo grado, mientras que en la de momento se obtendrá

una ecuación de tercer grado con este tipo de cargas.

Las ecuaciones para los cortes subsecuentes son obtenidas de igual manera que en los

otros ejemplos, y de forma afín se proporciona la información y las animaciones

necesarias para entender cómo se obtuvieron las ecuaciones respectivas.

Pasando a la elaboración de los diagramas de cortante y momento, se colocan las

ecuaciones, ya sean de cortante o momento, en la izquierda y, con base en la misma

animación usada en ejemplos anteriores, se grafican los diagramas (Figura 4.25).

Figura 4.25 Diagrama de cortante

Al terminar con la obtención del diagrama de momentos, continúa la animación de la

viga flexionándose de acuerdo a éste (Figura 4.26).

18

Figura 4.26 Deflexión de la viga y Diagrama de momentos

Variación de la fuerza cortanteLa variación de la fuerza cortante entre dos secciones de una viga que soporta una carga

distribuida es igual al valor del área del diagrama de carga entre ambas secciones

cambiando de signo.

Demostración el dV = -wdx obtenido en la demostración anteriormente

∫v2

v1

dV=∫x1

x2

−wdx oV 2−V 1=−∫x1

x2

wdx

En donde −∫x₁

x₂

wdx es el área del diagrama de cargas entra las dos secciones.

Pendiente del Diagrama de momentosLa pendiente o coeficiente angular del diagrama de momentos en una sección cualquiera a

lo largo de la viga es el valor de la fuerza cortante en dicha sección.

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Demostración: igualando a cero la suma de los momentos respecto al extremo derecho,

obteniéndose:

-M - dx + wdx(dx/2) + M + dM = 0

Variación del MomentoLa variación del momento entre dos secciones de una viga es igual al área del diagrama de

fuerzas cortantes entre dos secciones.

Demostración: Tomemos dM = Vdx

∫M₁

M₂

dM=∫x₁

x₂

Vdx o M2−M ₁∫x ₁

x ₂

Vdx

Centroides de áreas planas y sólidos de revoluciónLa masa de un cuerpo físico es una medida de la cantidad de materia en él, mientras que su

volumen mide el espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo

él, se dice que el cuerpo es homogéneo o de densidad constante.

Es muy conveniente en la Física y Mecánica considerar la masa de un cuerpo como

concentrada en un punto, llamado su centro de masa (o centro de gravedad). Para un cuerpo

homogéneo, ese punto coincide con su centro geométrico o centroide. Por ejemplo, el

centro de masa de una bola homogénea coincide con el centroide (su centro) de la bola

como sólido geométrico (una esfera).

El centroide de una hoja rectangular de papel está a medio camino entre sus dos superficies

y en la intersección de sus diagonales. EL centro de masa de una lámina muy delgada

coincide con su centroide considerada como área plana.

El enfoque dado al estudio del centroide es ejemplificar cómo se obtiene el centroide de

una sección compuesta por diferentes áreas geométricas. Puesto que el concepto básico no

necesita gran atención por su simplicidad, se empieza por resolver un ejemplo de una

sección compuesta.

20

El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área

por la distancia dirigida de su centroide a esa recta. El momento de un área compuesta con

respecto a una recta es la suma de los momentos de las áreas individuales.

El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas se calcula de la

siguiente manera:

1. Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante.

2. Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para

todos los rectángulos.

3. Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema

fundamental.

Para fines prácticos, el paquete estudia una sección transversal que se obtiene de una viga

cargada mediante una animación (Figura 3.1 y 3.2). Esto para captar la atención del usuario

y vea alguna de las aplicaciones inmediatas del concepto.

Figura 3.1 Viga

21

Figura 3.2 Sección transversal de viga

Obtenida la sección, se divide en áreas sencillas, manejando diferentes colores para cada

una y así poder distinguirlas fácilmente. A continuación se presentan las dimensiones de

cada área, cada dato de un color diferente, lo cual será de ayuda posteriormente (Figura

3.3).

Figura 3.3 División de la sección

22

Se le da la opción al usuario de elegir qué respecto a que eje desea obtener el centroide.

Una vez que este selecciona una opción aparece el eje de referencia necesario. También se

presentan la distancia de los centroides de cada área individual hacia el eje (Figura 3.4).

Punto de decisión

Aparece la demostración de la fórmula de centroides de áreas compuestas:

Los momentos estáticos del área total del eje x/y deberán ser igual a la sumatoria de

momentos estáticos de las áreas parciales respecto al mismo eje. Seguido de esto se

visualiza la expresión necesaria para obtener el centroide deseado.

Al aplicar la expresión del centroide en el paquete se observa cómo los datos son

arrastrados desde la figura de la sección transversal hasta la fórmula. Con ayuda de los

colores el usuario puede ubicar de dónde proviene cada dato y así comprenderá más rápido

cómo debe usarse la expresión.

23

Obtención la coordenada y del centroide.

Terminada la obtención de un centroide, el usuario vuelve a encontrar la opción para

decidir si desea ver el ejemplo del centroide respecto al otro eje o seguir a otro tema.

El (primer) momento de un sólido de volumen V, generado al girar un área plana en torno a

un eje de coordenadas, con respecto al plano que pasa por el origen y es perpendicular al

eje, puede calcularse como sigue:

1. Dibujar el área mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante.

2. Multiplicar el volumen, disco o capa generado al girar el rectángulo en torno al eje por la

distancia del centroide del rectángulo al plano y sumar para todos los rectángulos.

3. Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema

fundamental.

Cuando el área se gira en torno al eje x, el centroide está en el eje x. Si My z denota

el momento del sólido con respecto al plano por el origen y es perpendicular al eje x,

entonces:

24

Análogamente, cuando el área se hace girar en torno al eje y, el centroide ( ) está en

el eje y. Si Mx z es el momento del sólido con respecto al plano por el origen perpendicular

al eje y, entonces:

Teorema de Pappus

Primer teorema de PappusSi un área plana se hace girar en torno a un eje en su plano que no cruce a esa área, el

volumen del sólido de revolución generado es igual al producto del área por la longitud de

la trayectoria descrita por el centroide del área.

Ejemplo

Hallar el volumen del toro generado al girar el círculo x2 + y2=4 en torno a la recta x=3.

- Centroides y momentos de inercia de arcos y superficies de revolución

25

Centroide de un arco

Segundo teorema de PappusSi un arco de curva se hace girar en torno a un eje situado en un su plano pero que no cruce

al arco, el área de la superficie generada es igual al producto de la longitud del arco por la

longitud de la trayectoria descrita por el centroide del arco.

- Momentos de inercia de un arco

Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de un arco AB de una curva (un

fragmento de hilo fino homogéneo, por ejemplo) vienen dados por:

- Centroides de una superficie de revolución

La coordenada del centroide de una superficie de revolución generada al girar un arco

AB de una curva en torno al eje x satisface la relación:

- Momentos de inercia de una superficie de revolución

El momento de inercia con respecto al eje de rotación de la superficie generada al girar el

arco AB de una curva en torno al eje x viene dado por:

26

Ejemplo 6.3

Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar el rectángulo de

dimensiones a, b en torno a un eje que está a c unidades del centroide (c>, b).

El perímetro del rectángulo es 2(a + b) y el centroide describe un círculo de radio c.

Entonces S = 2(a + b)(2 c)=4 (a + b)c por el segundo teorema de Pappus.

Longitud de arco y superficies de revolución

- Longitud de un arco

La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las

longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1, P2…., P n-1 B, que unos

puntos del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la

longitud de cada cuerda tiende a cero.

27

Si A (u = u1) y B (u = u2) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las

ecuaciones x = f (u), y = f (u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del

arco AB viene dada por:

Ejemplo

28

- Área de una superficie de revolución

El área de la superficie generada al girar el arco AB de una curva continua en torno a una

recta de su plano es por definición el límite de la suma de las áreas generadas por las n

cuerdas consecutivas AP1, P1, P2…, P n -1 B que unen los puntos del arco, al girar en

torno a dicha recta, cuando el número de cuerdas crece indefinidamente de manera tal que

la longitud de cada una de ellas tiende a cero.

Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva y = f(x), donde f(x) y f’(x) son continuas y

f(x) no cambia de signo en el intervalo a x b, el área de la superficie generada al girar el

arco AB en torno al eje x viene dada por:

29

Cuando, además, f’(x) 0 en el intervalo, una forma alternativa es:

Si, A(a, c) y B (b, d) son dos puntos de la curva x = g(y), donde g(y) y su derivada respecto

de y satisfacen propiedades similares a las citadas en el párrafo anterior, el área de la

superficie generada al girar el arco AB en torno al eje y viene dada por:

30

Si a(U = u1) y B(u=u2) son dos puntos de la curva definida por las ecuaciones paramétricas

x = f(u), y = g(u) si se cumplen condiciones de continuidad, el área de la superficie

generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por :

Y el área generada al girar el arco AB en torno al eje y por:

Ejemplo

Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y

2 + 4x = 2 ln y entre y = 1 e y = 3.

31

32

Los ejes de paralelos o de Steiner

Como se sabe, si se conoce el momento de inercia de un área respecto al eje de inercia

centroidal, su momento de inercia puede determinarse respecto a un eje paralelo usando el

teorema de los ejes paralelos o de Steiner.

La primera escena se enfoca en la demostración del teorema de Steiner y cómo se utiliza el

concepto de los ejes paralelos. Para ello se presenta una sección con su área, su eje

centroidal, y al lado la fórmula de Ix (Figura 3.14).

Figur a 3.14 Momento de inercia respecto al eje centroidal

A continuación se le explica al usuario que se obtendrá ese mismo momento de inercia pero

ahora desde otro eje paralelo al original (el centroidal) (Figura 3.15). Una vez presentado el

nuevo eje, aparecen las cotas desde éste hasta los puntos necesarios de la fórmula de Ix

(distancia desde el eje al centroide y desde el centroide del área hasta dA) (Figura 3.16).

33

Figura 3.15 Nuevo eje sobre el cual se obtendrá el momento de inercia

Figura 3.16 Elementos necesarios para el teorema de Steiner

Partiendo de la integral original de momento de inercia, se guía al usuario paso a paso en la

sustitución de los nuevos valores hasta llegar a la nueva expresión del "Teorema de ejes

paralelos".

Ix´= Ix + Ad2

Terminando la explicación de la determinación de la fórmula, el usuario puede continuar a

un ejemplo de áreas compuestas para que se comprenda la aplicación de la expresión.

La sección empleada en el ejemplo es la misma utilizada para el concepto de centroide, ya

que el usuario está familiarizado con esta sección y conoce su centroides (Figura 3.17). De

igual manera que en el ejemplo anterior, se le da al usuario la opción de elegir el Momento

de Inercia respecto al eje que él decida (Figura 3.18). Puesto que la sección es una viga T

simétrica respecto al eje y, los cálculos de Ix son mucho más extensos que los de Iy.

34

Figura 3.17 Sección transversal con la ubicación de sus centroide

Figura 3.18 Punto de decisión

Al elegir "momento de inercia en x" , se traza un nuevo eje x en el centroide de la sección

total, así como las distancias de éste hasta el centroide de las figuras individuales (Figura

3.19).

35

Figura 3.19 Distancias desde el eje centroidal x hasta el centroide de cada área

Aparece la fórmula del teorema de Steiner y se calculan los Ix de cada área individual con

ayuda de la expresión de bh3/12, ya que las secciones son rectangulares. Con una

animación se llevan los datos desde la figura hasta la fórmula, para que el usuario pueda

entender de dónde surge cada valor.

Para el Iy es más sencillo pues el eje centroidal de toda la figura coincide con todos los

centroides de las figuras individuales (Figura 3.20). Entonces se explica que se debe

cancelar el término de Ad2 de la expresión, quedando la sumatoria de los momentos de

inercia de las secciones individuales (Figura 3.21).

Figura 3.20 Eje centroidal en y

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Conclusiones

Este trabajo nos sirvió para entender un poco las aplicaciones que tienen las

integrales para el uso matemático en la ingeniería primordialmente. Es una

herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los

métodos convencionales.

Esto no quiere decir que sólo con la realización de este trabajo, sea entendible el

amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que sólo se lograría esto

mediante la práctica constante y minuciosa de cada caso.

La implementación de todos esto análisis, más que todos de la fuerzas distribuidas

sobre una viga, son de mucho interés en al ámbito de la ingeniería, específicamente

en el área civil.

Lo cual no indica la importancia que la misma tiene sobre diversas aplicaciones, de

este mismo modo; hacemos referencia al tema de centroides que sus aplicaciones o

métodos de soluciones son diversas, pero se obtienen los mismo resultados.

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Bibliografía

Mclean, W.G., Nelson E.W., Mecánica para ingenieros Estática y dinámica,

2ªEdición.

Hibbeler, R.C., Mecánica para ingenieros Estática, Editorial Continental, México.

Larson, Roland E., Hostetler, Robert P., Matemáticas 6, McGraw Hill, 1989.

Rivera, Juan. “Diagrama de momento flector y fuerza cortante” (30-04-2012).

http://www.youtube.com/watch?v=gz8rDcgnfbQ&feature=player_detailpage.

38