ESTADISTICA ESPANOLAVol. 37, Núm. 139, 1995, págs. 287 a 304

Distinción entre caos y azar en seriesruidosas mediante predicciones locales

baricéntricas ( *)

porFERNANDO FERNANDEZ RODRIGUEZ

Departamento de Econornía Aplicada

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

JUAN MARTIN GONZALEZ

Departamento de Física

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

RESUMEN

En este trabajo los autores contrastan la presencia de caos de-terminista en diversas series económicas ruidosas analizando lasposibilidades de predicción a corto plazo por medio de prediccioneslocales baricéntricas. Se desarrollan algunos estadístícos con el finde separar, en una serie «ruidosa», las observaciones de comporta-miento determinista de las que muestran comportamiento indepen-diente de las anteriores.

Palabras c/ave: caos determinista, predicción, ocurrencias an^logas.

Clasificación AMS: 62P20, 90A20, 62M 10.

(*) Los autores agradecen su soporte econórnico al Ministerio de Educación español a travésdel Proyecto DGICYT PB94-0425.

?KK

1. INTRODUCCION

f^:;^"T AI)Iti TI( > f•tiF' ^N^ ^I ^1

La teoría del caos determinista ha posibilitado la modelización y prediccibnde muchas series temporales cansideradas tradicionalmente como ruidos decomportamiento puramente aleatorio.

Las ciencias aplicadas han prestado recientemente gran interés por el caosdeterminista porque las trayectorias generadas por determinadas ecuaciones endiferencias no lineales tienen apariencia puramente aleatoria. Dichas trayecto-rias caóticas resultan indistinguibtes por los métodos lineales clásicos (análisisespectral y funciones de autocovarianza}, de un genuino ruido blanco de natura-leza aleatoria. Tal ocurre, por ejemplo, con la serie temporal generada por laecuación logística X^ + 1= 4X^ (1 -- Xl), para ^c'o E(0, ^).

No obstante, la detección empírica de dinámicas caóticas es un problemaextremadamente sutil debido a que la reconstrucción del atractor extraño queorigina la dinámica determinista es sumamente sensible a los parámetros usa-dos en los tests no lineales [Chen ( 1992)].

La Economía presenta actualmente mucho interés por las dinámicas caóti-

cas [Medio ( 1992} y Lorenz ( 1993)]. No obstante, el debate entre la existenciade comportarniento aleatorio o caótico es más agudo, si cabe, debido a que lalongitud de las seríes disponibles es, por lo general, demasiado pequeña paragarantizar la fiabilidad estadística de los tests que suelen usarse para detectar

el caos.

En Ramsey, Sayers y Rothman (1990), los autores concluyen que los méto-dos más usuales de detección experimental del caos, tales como la Dimensiónde Gorrelación, los exponentes de Lyapunov y la entropía de Kolmogorov, no

pueden aplicarse de modo fiable a pequeños grupos de datos tales como los

que se utilizan en la Economía.

En el presente trabajo desarrollamos un test para contrastar la existencia decomportamiento caótico determinista en una serie temporat y distinguirlo del ge-

nuino ruido blanco. Para ello nos basaremos en la siguiente idea: en una serietemporal caótica es posible realizar predicciones a corto plazo a base del estu-

dio de patrones de comportamiento, análogos al presente, ocurridos en el pasa-

do; en el ruido blanco esto es imposible.

Gomo aplicación práctica del test tratamos diversas series, de apariencia rui-

dosa, analizadas ya en la literatura económica por las técnicas más usuales de

detección del caos: la serie de parados de Sayers (1986), la de rentabilidades

bursátiles de Scheinkman y LeBaron (1989) y la del índice Divisia de Barnet y

Chen (1988). Todos los autores nos han ofrecido amablemente sus datos.

[)I:^T1N('I()N fNTRF^ C'A()S Y.A"I.AR EN tiF^.RIF^-ti Rl't1N)tiA^ ?K^

2. DETECCION DEL CAOS DETERMINISTA Y PREDICCIONPOR OCURRENCIAS ANALOGAS

Seá {x,, ..., x„} una serie finita de observaciones escalares que supondre-mos estacionaria. EI concepto de Espacio de Fases asociado a la serie temporal[Schuster (1988) para una panorámica general] es la base de todo el desarrollaposterior, porque permitirá examinar la evolución de los patrones de comporta-miento dentro de la serie.

En este esquema, los segmentos formados por d términos consecutivos dela serie temporal se consideran puntos de un espacio vectorial real cuya dimen-sión es denominada Dimensión de Inmersión (DI = d). Tales puntos se denota-rán, a partir de ahora, por:

x;d = ( x; , x; _ , , X; _ ^,^ _ ^ ^ }

y se flaman, a menudo, d-historias. EI conjunto de todas las d-historias es con-siderado como e1 espacio de fases de un sistema dinámico d-dimensional, defi-nido por la serie temporal, y reflejará sus propiedades. EI espacio d-dimensionalII^d se denomina entonces Espacio de Fases de la serie temporal.

EI paradigma caótico establece que, pese a la apariencia ruidosa de la serieoriginal, un ajuste correcto de la dimensión de inmersión d daría lugar a unacornpleja configuración en el espacio de fases canocida como un atractor extra-ño. Estos atractores, lejos de estar forrnados por puntos distribuidos a! azar, tie-nen características geométricas y dinámicas deterministas [Schuster (1988)].

La presencia de caos determinista en una serie temporal suele contrastarsepor dos procedimientos: el test de Grassberger y Procaccia (1983}, y el testBDS de Brock, Dechet y Scheinkrnan (1987) . Ambos tests se basan en el con-cepto de Correlación Entera Cd (^), que se define como la probabilidad de quedos puntos del espacio reconstruido se encuentren a una distancia menor que ^:

Cd(^)=#{(i,Í)lII Xd-X^dll <£,d<_í,j<_n,i^j}l(na--nd)

donde nd = n-(d - 1) es el número de d-historias que pueden considerarse enla muestra de tamaño n y# representa el número de elementos de un conjunto.

En el test de Grassberger y Procaccia se define la Dimensión de Correlacióncomo:

Dd = lim lim [log Cd (^) / log {^}]e--^0 n--^^

Si al aumentar ^a dimensión de inmersión, la Dimensión de Carrelación seestabiliia en torno a un valor D, para d>_ do, tal comportamiento sería síntarna

E^.S"1AUIST^I('A t^.tiNANOE.A

de una explícacíón determinista de la serie temporal por medio de un atractorextraño do-dimensional con una dimensión fractal D[Schuster (1988)]. Para unruido blanco, fa Dimensión de Correlación Dd crecería ilimitadamente al aumen-tar d sin Ilegar a saturarse.

EI test BDS, por otra parte, contrasta la existencia de estructuras potencial-mente predecibles dentro de la serie temporal.

Si dicha serie es un ruido blanco, la proximidad de dos patrones en una de-terminada dimensión no condiciona la proximidad de dichos patrones en una di-mensión superior; ocurrirá entonces que:

lím Ca (E) = C, (E)d con probabilidad 1n-^^

Brock, Dechet y Scheinkman (1988) demuestran que, bajo la hipótesis nulade ruido blanco para la serie temporal, (Cd (E) - C, (^)d ) n 12 tiene media cero yestá normalmente distribuida. Llamando sd (E) a la desviación típica de las co-rrelaciones enteras, el estadíst+co BDS, w, tendró una distribución N(0,1):

wd (E) ' (,^d (£1 _ ^1 (E)d 1 n 1/2 ^Sd (£) ^2]

Cuando ^ w^ > 2, podemos rechazar con un 95% de confianza la hipótesisnula de ruido blanco [Brock, Hsieh y Lebaron (1992) para una amplia visión desus aplicaciones].

Provenzale et al. (1992} han sugerido que la distinción entre caos determi-nista de baja dimensión y el auténtico ruido blanco no debería basarse solamen-te en estimaciones de la Dimensión de Correlación o el test BDS y deberíanaplicarse otros métodos para analizar series temporales con el fin de extraertanta información dinámica como sea posible.

EI método que usaremos en este trabajo para detectar el determinismo en unaserie consiste en analizar, para cada una de las observaciones finales de la serie(en nuestras simulaciones hemos considerado las cien últimas), !as posibilidadesde predicción a corto plazo. Con ella pretendemos estudiar si los puntos del espa-cio de fases reconstruido se comportan de acuerdo al principio de predicción porocurrencias anólogas. Es decir, tratamos de ver si puntos próximos evolucionan,a corto plazo, con trayectorias simílares dentro del espacio de fases.

Nuestro test puede ser considerado, entonces, como un caso particular deltest BDS, porque permite analizar separadamente las posibilidades de predicciónde los diferentes patrones de comportamienta dentro de una serie temporal.

Seguimos igualmente la idea central de Farrner y Sidorowich (1987) o Su-gihara y May (1990) al considerar que la posibilidad de hacer predicciones a

[)ISTINt'1()N F^N"TitE t'AO.^ Y AI..AR NN Sf^RI^^.S RUI[X)^A:4 291

corto piazo es crucial para detectar la presencia de caos. En esta misma línea,en Bajo, Fernández y Sosvilla ( i 992a, b) se realizaron este tipo de prediccionessobre series de tipos de cambio que mejoran las del camino aleatorio.

Con ei fin de separar el comportarníento aleatorio del determinístico no ii-neal, usaremos varias técnicas no paramétricas de predicción por ocurrenciasanáiogas, introducidas ya por Farmer y Sidorowich (1987), y que describimos acontinuación:

Dada una serie temporal {x^, ..., x„}, un predictor es simplemente una reglapara obtener una estimación Xn +^ para la observación siguiente a la última de laserie.

La predicción por ocurrencias anáfogas es una técnica de predicción dondelos segmentos de abservaciones sucesivas con un comportamiento dinámico si-milar son empleados para predecir, por extrapolación, el término siguiente alque ocupa el final de la serie. Este término se calcula como algún tipo de pro-medio de las observaciones siguientes a los segmentos que se utilizan. Comoejemplo más simpie pueden citarse los predictores lineaies autorregresivos,ajustados localmente, del tipó:

xn+ 1 = a0 (n) xn + a, (n) xn_, + ... + ad_ 1 (n) Xn_ ^d_ ^^ + b (n)

introducidos por Farmer y Sidorowich en (1987). En Gershenfed y Weigend(1994) se encuentra una exposición amplía de este tipo de predicciones.

La ocurrencia análoga en un comportamiento dinámico se mide en térrninosde algún concepto métrico dei espacio vectorial real d-dimensional: puntos pró-ximos corresponden a segmentos similares en la serie temporal. La forma rnáscomún de buscar la ocurrencia análoga a x a consiste en encontrar un determi-nado número k de puntos x;d del espacio de fases que minimicen la función:

Il x;°'--xdll [3]

Alternativamente, podemos minimizar cualquiera de las siguientes funciones:

^-- P (x;°', x d) 0 1-- cos (x;d, x d i [4l

En Fernández (1992) se establece la equivafencia enire las ocurrencias aná-logas que se obtienen al utilizar las tres funciones para una serie caótica.

Con el fin de medir la calidad de las predicciones, podemos predec'rr sucesi-vos datos de la serie generando con ello una serie paralela de predicciones quepuede ser comparada con la serie original. La calidad predictiva puede ser esta-blecida por medio del estadístico:

^g, E=.STAf)1ST1('A WtiPAN()l.A

^

^ Xn+ 1^ xn+ 1 ^E(n+ 1) _

a

donde cs es la desviación típica de la serie temporal.

Si E(n + 1) > 1, nuestra predicción es peor que la predicción constante dadapor la media de la serie. Si E(n + 1) ^ 1, nuestra prediccián es más precisa quela proporcionada por la media.

Tales errores permiten la obtención de diversas medidas de volatilidad paraseries #inancieras [Bajo, Fernández y Sosvilla (1992b); Bajo, Fernández, Mora ySosvilla (1994)].

3. PREDICTORES SIMPLICIALES Y BARICENTRICt^S

Dada una serie temporal {x^, ..., x„}, vamos a introducir un tipo especial depredictores, por ocurrencias análogas, que nos permitirán realizar nuestro con-traste. Los Predictores Simpliciales se construyen de la siguiente forma: tome-mos el conjunto de las k d-historias del espacio de fases (vease [1 ]):

xd , ..., xdl^ lw

[s]

que minimizan su distancia con la d-historia final de la serie x d.

La predicción zn +^ de x^ +^ se realiza considerando alguna combiriación li-neal convexa de las observaciones:

t ^^ ..., x^k+ 1 [/]

de la serie que siguen a las k d-historias elegidas, es decir:

xn+ 1! a, (n) x^^ + 1 + a2 (n) x;2+ ,+... + ak (n^ x^^+ 1

donde se supone que:

[8]

k

^a;(n)-1 [9]^_ ^

Los parámetros a; (n ) pueden ser elegidos de muchas formas. La más sim-ple es considerar a; (n) = 1 / k, y en tal caso, por razones geométricas, tal pre-dictor simplicial se Ilama Predictor Baricéntrico xba^, :

X^ar1-1/kx^+^+1/kx^+^+...+1/kx^+^ [10]1 2 k

L)IST1N('IUN ENTRF C'AOti Y.A"!_AR FN SF^RIF-^ ftl!ICN)SAti 293

La predicción de los datos está condicionada por dos parémetros que debenser elegidos a priori, la dimensión de inmersión (DI) y el número de puntos pró-ximos (NPP): z„ + ^ = xn + ^ (DI, NPP).

Suelen establecerse cotas superiores e inferiores en el número de puntospráximos (NPP) a la hora de construir predictores locales [Farmer y Sidorowich(1988)].

Debido al carácter loca! de los predictores, la elección de la dimensión de in-mersión no debe afectar, en teoria, de forma crucial, a la calidad de las predic-ciones: en efecto, para series caóticas, el teorema de Takens [Takens (1981)]asegura que si de un sistema dinámico m-dimensional extraemos como obser-vable una única serie temporal, de modo genérico, la dinámica reconstruida porrnedio del espacio de fases I^^d de la serie es equivalente, para d> 2m, a 1a di-námica del sistema original.

En la práctica, existe un criterio simpie para determinar tanto una DI comoun NPP óptimos. Tal criterio consiste en realizar diversas predicciones de las úl-timas observaciones de la serie temporal y elegir una DI y un NPP que minirni-cen la suma cuadr^tíca de los errores de predicción:

m

^, (x^,+ ^ (DI, NPP} -- xn+ i)2

Con el fin de contrastar la hipótesis nula de que la serie temporal es un ruidoblanco será necesario demostrar que las observaciones x!^ +^, ..., x1k+ ^ (véase[7]), que se utilizan en el predictor bar^centrico, pueden ser consideradas comorealizaciones de variables aleatorias independientes en un proceso estocástico.

Consideremos, para ello, un proceso estocóstico discreto dado por una co-lección de variables aleatorias {X, ,.. ., X„ , .. .} IID, N (o, a), en un espacio deprobabilidad (5^2, F, P} tomando valores en el conjunto II^. Sea {^f'^ (w}, ...,X^ (w), ...}, X; (w) = x; E II^^ una realización muestral del proceso. Sea S={xd,d<_ i s n} c I^d, donde x^d representa la d-historia ( x;, x; _ 1, ..., x; _^d_,^), segúnla notación introducida en [1 ].

Para cada dimensión de inmersión DI = d, definimos una nueva variablealeatoria X^ +, d de !a forma:,

X^^ +, d(w) - X^ +,(w) = x^ + ^, donde j minimiza {^^ x d-- xf°' ^^ en S ^ I^d}

Las observaciones x^ +,,..., x^ +^ de [7] también pueden ser consideradas2 h

como realizaciones de variables aleatorias X^2 + ^, d,..., X^k+ ^ d, donde d repre-

senta la dimensión de inmersión. Para ello, definiremos, de forma análoga:

?94 ES"T.A[)1ST1C'A t^SF'ANOE A

^X^2 +, d( w) = X^ ^,( w) = x^ t ,, donde j mini miza ^ ^ x d- x1d ^( en S -{x d} ^ I^^°',

y asi sucesivamente.

Praposición 1

Las variables aleatorias X^ ^, d , donde i= 1, ,.., k son N(0, cs).

Demostración:

Haremos la demostración para i= 1; en los casos restantes la situación esanáioga. Tenemos que:

P({w: X^^ + , d(w) ^ x}) - P({w: X^ +, (w) <_ x l ^^ x d- x^d ^^ es mínimo})

= P ({w: X^ + , (w) < x}) [12)

donde la primera igualdad se sigue por definición de X^, +,, d y la segunda por-que las variables aleatorias {X, ,.. ., X,,, ...} son IID. X ^, +,, d y X^ +, tienen, portanto, la misma función de distribución y entonces X Ĵ^ ♦ ^ d es N(o, a).

Proposición 2

Cada una de las variables aleatorias X^ +^, d con r=. 1, ..., k es independien-te de la X^ +,, para toda dimens^ón de ^nmers^ón d.

Demostración:

La construccíón de cada varíable aleatoría X^ + , d se realiza por medio deuna restricción métrica relativa a los valores de las variables X1 ( w) = x^ ,...,X^ _ d+^( w) = x^ _ d+ ^, donde siempre ocurre que j< n+ 1. Por lo tanto, comolas variables aleatorias {X,, ..., X^ +^, ...} son tID, concluiremos entonces quelos eventos {w: ao ^ X^,+ ,, d(w) <_ bo} y{w: a, <_ X^ +^(w) <_ b,} son indepen-dientes para toda r y para cada ao, bo, a,, b, . Entonces tendremos para la fun-ción de distribución que:

F(X ^,+ ^, d^ X^ Xn + 1^ Y Ĵ = Fx• (X ^,+ 1, d^ x) Fxn+, (x^ +^^ Y) I^ 3}

de donde se concluye la independencia.

DISTIN(_'ION Et^iRE C:AOS Y A"I.AR I:N SF:RIE:S RUI[X)SAS

Proposición 3

295

Las variables aleatorias X^ +^ d, donde r= 1, ..., k, son independientes en-tre si.

Demostración:

Demostraremos la independencia de X^^ ♦, d y X^2 ♦, d; para cualquier otropar de variables, la demostrac^ón es análoga.

Teniendo en cuenta que según hemos definido previamente:

X^^ ♦, d(w) = x^ +,, donde j minirniza {^^ x°- x!d ^^ en s}

X^2+,, d(w) = xl +,, donde j minimiza {^^ xd- x^d () en S- {xd^}}

siendo S el conjunto de d-historias de la serie temporal en el espacio de fases.

Se sigue, entonces, que las variables aleatorias X^^+,, d y X^2+, d nunca po-drán coincidir en ninguna realizac^ón muestral del proceso.

Por tanto, de la independencia de las variables X^,..., X„ se concluye la in-

dependencia de los sucesos {w: ao <_ X*+, d( w) <_ bo} y{w: a, s X*+, d( w} <_

b} para todo a , b, a, b ; por tanto, laŝ 'variables X' y X'. ^ŝerán inde-1 0 0 1 1 /^+1,d ^2+1,dpendientes.

Los predictores baricéntricos se caracterizan por la siguiente propiedad demínimo:

Proposición 4

Considerando una serie temporal generada a partir de una fiamilia de varia-bles aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, el pred'rctor baricén-trico es el predictor local simplicial que minirniza el error cuadrático medio depredicción.

Demostracián:

Sea x^a+ ^, según [10], la predicción simplicial de la observación x„ ♦ ^, sea{X ^,..., X„ ♦ ^ } la familia de variables aleatorias I I D, con varianza a2, que gene-ran la serie temporal.

^y(j F.S`TA[)ISTIC'A F^aPANOt,A

Definimos la variable aleatoria:

^

xn. 1, d ^ a1 (^) x^^+ t, d ♦ ^2 (n) x^^+ 1, d+... + ak (n) X^^+ 1, d

Teniendo en cuenta la independencia de las variables en las proposiciones 2y 3, las siguientes cálculos son inmediatos:

^ k

Vaf (Xn + 1 Xn+ t, d) - Var (.ñn + t- j-+ ar ^n) x^ + 1, d) ...r= 1

k k

=\/ar(Xn+1)+^OC?(n)Vaf(X^+1 d)=CS2+Q2^a?(n)=r= 1 r= 1

k

=62(1 +^^r (n))-aŝ im [^4]r= 1

k

Si ^ a? (n) está acotada por números m y M, la desviación típica de losr

errores crs,m está trivialmente acotada:

a^ (1 + /?7^1^2 ^ (Ssim ^ Cf (Í + M)t^2 [15]k

Como tenernos que ar ( n )>_ 0, los valores extremos de la función 1 +^ a? ( n),r- 1

su^eta a la condición ^ a(n) = 1, son ^2 y 1+ 1 (máximo absoluto y mínimo, r- t r k k

relativo, respectivamente). Por la convexidad de la función 1+^ a? (n), el míni-r= 1

mo local es global y por tanto:

Q 1+ ^ ^a. _<a11^k sim

Por otro lado, para predictores baricéntricos es inmediato que:

^ k

^ bar = Var (%'^n + 1 - x *ba+ 1 d ) = Var (Xn + 1 - ^ ^ / k i^ ^ + 1, d ) _r_ 1 ^

k k

=Var(Xn+t}+^1 /k2Var(X^+t,d)=a2+cs2^,1 /k2=r- 1 ^ r= 1

k

= a2 (1 + 1 / k) [17j

DESTIN('1(_)N E;NTRE i'A()S Y AlAR t^N St:RIt:.S RI^tU()SA^ 297

que coincide con ei mínimo absoiuto que toma aS,m, con lo que concluye la de-mostración.

4. UN TEST DE HIPOTESIS PARA SEPARAR EL COMPORTAMIENTOCAOTICO DEL AZAR

EI test de hipótesis que describiremos a continuación permitirá contrastar !ahipótesis nula de ruido bianco frente a la hipótesis alternativa de comportamien-to caótico. Mientras qu® el caos será predecible a corto plazo, un genuino ruidoblanco deberá ser impredecible.

Nuestro método permite contrastar por separado la predecibilidad de cadaObserVaciÓn Xn + y de !a serie formulando varias predicciones baricéntricas conun número fijo k de puntos práximos y con dimensiones de inmersión variandoentre d, y dm, verificando que la varianza de los errores baricéntricos de predic-ción es «pequeña». Esto es, admitiremos que !a observación xn +^ es predeciblecu^ndo seamos capaces de predecirla de forma «robusta» en toda una gama dedirnensianes de inmersión.

Para establecer nuestro contraste de predecibilidad introduciremos una nue-va variable aleatoria: e! error baricéntrico de predicción

n£ bart (d, k} _ X bart (d► k) -- xn + t [18]

donde d representa la dimensión de inmersión y k el número de puntas próxi-mos empleados en el predictor baricéntrico.

Busquemos la distribución de E ba^t .

Proposición 5

La variable aleatoria e ba^t tiene una distribución N(0, a(1 / k+ 1)t^2}.

Demastración:

n k

Dado que E*^^„ + t= ^barn + t (d, f^ - X^ + t =^ 1 / k X*^ + t d-- Xn + 1+ siguiendo lasr= 1 r '

proposiciones 1, 2 y 3, las variables aleatorias 1 / k X^, + t, d, para r= 1, ..., k, y

Xn + t serán independientes entre sí y tendrán distribuciones N(0, a/ k) yN {0, a}, respectivamente.

^^8 F^STAUI^;TI('.A F.SPAÑ()LA

^ bar ^ tendrá entonces una distribución normal de media cero y su varianzaserá:

cs2 / k 2+.. k. ,+ Q2 / k 2+ a2 = a2 / k+ Q2 ^ Q2 (1 + 1/ k)

con lo que concluye la demostración.

Vamos a contrastar la hipótesis nula de que la familia de variables aleatoriasque generan el proceso es IID, con lo que la varianza de los errores baricéntri-cos de predicción es a bar = a2 (1 + 1/ k). La hipótesis alternativa será la de rela-cíón determinista entre las variables, lo que implica errores de predicción móspequeños y, por tanto, que la varianza de dichos errores sea significativamentemás pequeña.

Para ello consideraremos el estimador muestral de a bar definido por:

$2 _

m --

dm

^ [^ bar ,_ ^ ba r 2n+ 1 n+ 1^

d ^ d,

donde Eba+ 1=^ba+ 1(d, k) = X ^a+ , (d, k) - x„ +, es, según [10], el error de pre-dicción baricéntrico de la observación x„ +^ en la serie temporal {x,, ..., x„ ♦ 1}utilizando una dimensión de inmersibn d y un número k de puntos próximos;

E ^a^ ^ representa la media aritmética de dichos errores de predicción para dimen-

siones de inmersión d^ , ..., dm.

Como estadístico de prueba uti lizaremos la conocida transformación de s 2que viene dada por la expresión:

(m - 1) s2 2^,2 i xm-t

bar

que es una ji-cuadrado con m- 1 grados de libertad; obsérvese que rn es el nú-mero de predicciones baricéntricas realizadas sobre xn + 1 al hacer variar la di-mensión de inmersión.

Sí elegímos un nivel de sígnificación a, podemos obtener una región críticaR = [a, b], donde:

f^ a^ (m 1) s2 < b= a[ ^2 ]bar

[19]

Teniendo en cuenta la expresión [17] para la desviación típica abar, se pre-sentan las siguíentes hipótesis alternativas:

UlST1N('IC)N FNTRE C'AC)S Y A"LAR f:N Sf:RIES RIPIIX)SAS ?99

Hipótesis 0:

En la serie temporal {x,, x2, ..., x„ + ,} generada por una fami{ía de variablesaleatarias flD, hi (0, a), la observación x„ ♦, es 1a realización de una variablealeatoria independiente de !as restantes:

a cs2 (1 + 1/ k) ^ 2^ b a2 (1 + 1/ k)20s [ ]

m--1 m-1

Nipótesis 1:

Existe una relación determinista entre la observación x„ +, y sus preceden-tes porque puede ser predicha, en sucesivas dimensiones de inrnersión, conerrores de predicción pequeños que tendrán, por tanto, varianza significativa-mente pequeña:

S2 ^ aa2 (1 + t/ k)

m -- 1

5. ALGUNOS EJEMPLOS

[21]

A continuación analizaremos con nuestro test tres series económicas deapariencia ruidosa: la serie de parados de Sayers (1986), la serie de rentabilida-des bursátiles de Scheinkman y LeBaron (1989) y la serie del índice Divisia deagregados monetarios de Barnet y Chen (1988). Sobre las dos primeras series,ni Sayers (1986) ni Scheinkman y LeBaron (1989) pudieron contrastar de formaconcluyente la existencia de caos. Sobre !a última, Barnet y Chen sí.

Nuestros resultados pueden describirse en ia siguiente forma: debido a sucarácter no estacionario, hemos tomado primeras diferencias a la serie de agre-gados monetarios. La serie de parados y de rentabilidades bursátiles mostrabancomportamiento estacionario en media.

En las dos primeras series, el estadístico BDS toma valores muy cercanos acero. En !a de agregados monetarios toma un valor en torno a diez, señalandoef reconocimiento de patrones.

Hemos realizado 6 predicciones baricéntricas en cada una de las ú[timas100 observaciones de cada una de las series haciendo variar la dirnensión deinmersión entre 3 y 8, manteniendo inalterado el número de puntos próximos en

^aa t=srA[^i:^r^c_•A t:^;NAN()L.A

k= 10. Esto proporcionó un total de 5 grados de libertad con el fin de contrastarel determinismo de cada observación.

En !os gráficos 1, 2 y 3 mostramos la desviavión típica de los errores bari-céntricos de predicción en todas las series. Nuestro contraste de hipótesis con-siste en io siguiente: cuando dicha desviación típica está por debajo de 0.412(1 + 1I10) a2 / 5, señalado por la línea horizontal, no rechazamos la hipótesis dedeterminismo con un 99,5% de probabilidad; cuando dicha desviación típicaestá comprendida entre 0.412 (1 +^/10) a 2/ 5 y 15.086 (1 + 1/10) a 2/ 5, acep-tamos la hipótesis de variables aleatorias IID N(0, cs) con un 99,5% de probabi(i-dad (a representa la desviacián típica de las series y en el eje de abscisas serepresentan las unidades de tiempo).

En las gráficas podemos ver tambián que hay algunos segmentos de la seriede parados (gráf'rco 1) y de las rentabilidades bursátiles (gráfico 2) en !os que esposible hacer predicciones a corto plazo con alguna precisián. Tales segmentoscoexisten con la presencia de Zonas turbulentas donde las predicciones son im-posibles, ya que cualquier obediencia con comportamiento análogo en el pasa-do se rompe. Los últimos cien datos de la serie de agregados monetarios Divisia(gráfico 3) son predecibles con la excepción de tres pequeñas zonas turbulen-

tas.

Gráf^co 1

SERIE DE PARAD4S

0.^6

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0s2o600540 560 580 640 660

UltiTtNC'!(.)N l:NTKt- (.'A()ti ^" AI.AR 4^N SI:F21^^^ RUf1x;1SAS

Gráfico 2

SERIE DE RENTABILIDADES BURSATILES

9

1

. 1

0^ ^ t 1 ^ ^ 1 ^- ' 1 I

1280 1300 1320 1340 1360 13$0 1400

Gráfico 3

SERIE DE AGREGADOS MONETARIOS

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

x 10_5

x 10-g

r ^0.5

0700 720 740 760 780 800 820

^^n2

fi. CiJNCLUSI^JNES

FSTAC)tSTlt'A t^:`+PANf)l.,A

Los tests de Grassberger y Procaccia (1983} y de 8rock, Dechet y Scheink-man contrastan, en una serie temporal en su conjunto, la hipótesis de ruidoblanco frente a la hipótesis alternativa de caos determinista. En el test que he-mas descrito en este trabajo se contrasta la existencia de estructuras patencial-mente predecibles, observacián por observación. La impredecibilidad de una ab-servacián de la serie a partir de las restantes reveia independencia de la varia-ble aleatoria que la genera respecto a las restantes y, por tanto, ruido blanca; lapredecibilidad revela determinismo no lineal y, por tanto, caos.

En este sentido, nuestros tests aplicados sobre las tres series arrojan las si-guientes conclusiones:

Con el tamaño muestral disponible, no puede establecerse que la serie deparados de Sayers (gráfico 1) ni la de rentabilidades bursátiles de Scheinkman yLeBaron {gráfica 2} sean predecibles por ocurrencias análogas: en este sentidano puede afirmarse de ninguna de ellas que sean caóticas y que sus observa-cianes estén generadas por un proceso determinista no lineal.

Según muestra el gr^fico 3, la serie del índice monetario Divisia DM2 es pre-decible por ocurrencias análogas excepto en tres pequeños segmentos. En estesentido, el objetivo inicíal de contrastar que dicha serie está generada por unproceso determinista caótico sólo se alcanza parcialmente.

Siguiendo los gráficos 1 y 2, la hipótesis de compartamíento deterministadebe ser rechazada para tas series de parados y rentabilidades bursátiles. Noobstante, el gráfico 1 muestra zonas de observaciones consecutivas de la seriede parados que resultan predecibles alternadas con otras zonas de naturalezaturbulenta e impredecible.

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DISTINGUISHING BETWEEN CHAOS VERSUS RANDOMNESSIN NOISY SERIES BY LOCAL BARYCENTRIC PREDICTIONS

SUMMARY

In this paper ihe authors test for the presence of deterministicchaos in séveral noisy econornic time series, by analyzing theirshort-term forecasting possibilities based on lacal barycentric predic-tions. Some statistics are developed in order t0 separate zones ofdeterministic and random behavior.

Key words: deterrninistic chaos, predictions.

AMS C/assification: 62P20, 90A20, 62M 10.

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REVISTA ESTADISTICA ESPANCILA

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a) Libros: Weisberg, S. (1985}. Applied Linear Regression, New YorK: V^/iley.b) Artícu/os: Mahalanobis, P. c. (1950). Why Statistics? Sankhya, 10, 195-228.c) Trabajos en obras colectívas: Box, G. E. P. (1983). An Apology for Ecurnenism in

Statistics. Scieniific Inference, Data Analysis and Robutsness, Ed. C. E. P., Leonard, T. y Wu,C. F., pp. 51-84. New York: Academic-Press.

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