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UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE SEVILLA

Ingeniería Aeronáutica

PROYECTO FIN DE CARRERA

DISEÑO CONCEPTUAL Y ESTUDIO DE LAS ACTUACIONES Y ESTABILIDAD DE UN HELICÓPTERO LIGERO

Ana María Huerta Rivera

Sep/2007

Diseño conceptual y estudio de las actuaciones y estabilidad de un helicóptero ligero. Ana María Huerta Rivera.

2

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

SEVILLA

Ingeniería Aeronáutica

PROYECTO FIN DE CARRERA

DISEÑO CONCEPTUAL Y ESTUDIO DE LAS ACTUACIONES Y ESTABILIDAD DE UN HELICÓPTERO LIGERO

Director: Oscar López García

Autor: Ana María Huerta Rivera

Sep/2007


3

Índice Índice de figuras……………………………………………………………………...5 Índice de tablas……………………………..………………………………………10 Nomenclatura………………………………………………………………………..11

Introducción…………………………………………………………………………15

1. Modelado del helicóptero…………………………………………………… 16 1.1 ROTOR PRINCIPAL 16 1.2 ROTOR ANTIPAR 18 1.3 MOTOR 18 1.4 ESTRUCTURA 20

2. Actuaciones……………………………………………………………………. 23 2.1 VUELO A PUNTO FIJO 26 2.2 VUELO AXIAL ASCENDENTE 34 2.3 VUELO AXIAL DESCENDENTE 42 2.4 VUELO DE AVANCE 46 2.5 VUELO DE AVANCE ASCENSIONAL 58 2.6 VUELO DE AVANCE DESCENSIONAL 70 2.7 AUTORROTACIÓN 77 2.8 ENVOLVENTE DE VUELO 90

3. Estabilidad……………………………………………………………………..91 3.1 EQUILIBRADO 94 3.2 ESTABILIDAD LONGITUDINAL 118 3.2.1 Velocidad generalizada de un elemento de pala 119 3.2.2 Ecuación de batimiento generalizada y cálculo de sus coeficientes 123 3.2.3 Fuerzas aerodinámicas 128 3.2.4 Planteamiento del sistema y cálculo de las derivadas de estabilidad 131 3.2.5 Obtención de los modos y análisis 139


4

3.3 ANÁLISIS PARAMÉTRICO 147 4. Anexos………………………………………………………………………172 4.1 ANEXO 1. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD 172 4.2 ANEXO 2. CÁLCULO DEL MOMENTO AERODINÁMICO 175 4.3 ANEXO 3. CÁLCULO DE LAS FUERZAS AERODINÁMICAS 177

4.4 ANEXO 4. CÁLCULO DE LAS FUERZAS, MOMENTO Y DERIVADAS DE ESTABILIDAD 189

5. Conclusiones………………………………………………………………199

Bibliografía…………………………………………………………………………200


5

Índice de figuras

Gráfica 1.1.a –Skylark. Gráfica 1.3.a – ROTAX 582. Gráfica 1.3.b –Curva de potencia del motor ROTAX 582. Gráfica 1.3.c –Curva de consumo de combustible del motor ROTAX 582. Gráfica 1.4.a – Estructura primaria del helicóptero Furia. Gráfica 1.4.b –Definición de las distancias Xcg y hcg. Gráfica 2.1.a – Vuelo a punto fijo. Equilibrio de fuerzas. Gráfica 2.1.b –Vuelo a punto fijo. Determinación del techo. Gráfica 2.1.c –Vuelo a punto fijo. Variación del techo en función del peso. Gráfica 2.1.d – Vuelo a punto fijo. Variación de la potencia necesaria considerando o no efecto suelo. Gráfica 2.1.e –Vuelo a punto fijo. Variación de la carga de potencia con la altura. Gráfica 2.1.f – Vuelo a punto fijo. Variación de la figura de mérito con la altura. Gráfica 2.2.a – Vuelo axial ascendente. Aportación de las distintas potencias. Gráfica 2.2.b – Vuelo axial ascendente. Análisis de sensibilidad de la potencia necesaria ante variaciones en la altura. Gráfica 2.2.c – Vuelo axial ascendente. Análisis de sensibilidad de la potencia necesaria ante variaciones en el peso a una altura de 1000 metros. Gráfica 2.2.d – Vuelo axial ascendente. Cálculo de la máxima velocidad de ascenso a una altura de 1000 metros. Gráfica 2.2.e – Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con la altura. Gráfica 2.2.f – Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con el peso a una altura de 1000 metros. Gráfica 2.3.a – Vuelo axial descendente. Distintos regímenes de funcionamiento a una altura de 1000 metros. Gráfica 2.3.b – Vuelo axial descendente. Distintas aproximaciones en los casos de estela turbulenta y anillos de vórtices a una altura de 1000 metros. Gráfica 2.3.c – Vuelo axial descendente. Potencia necesaria para descender desde una altura de 1000 metros. Gráfica 2.3.d – Vuelo axial descendente. Potencia adimensional requerida para los distintos casos de vuelo axial a una altura de 1000 metros. Gráfica 2.4.a – Vuelo de avance. Equilibrio de fuerzas. Gráfica 2.4.b – Vuelo de avance. Variación del ángulo de ataque con la altura y la velocidad. Gráfica 2.4.c – Vuelo de avance. Compensación del par del rotor principal. Gráfica 2.4.d – Vuelo de avance. Potencia necesaria para realizar un vuelo de avance a 1000 metros. Gráfica 2.4.e – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de la potencia requerida ante variaciones de peso. Gráfica 2.4.f – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de la potencia requerida ante variaciones de altura. Gráfica 2.4.g – Vuelo de avance. Eficiencia del helicóptero completo. Gráfica 2.4.h – Vuelo de avance. Eficiencia del rotor del helicóptero. Gráfica 2.4.i – Vuelo de avance. Velocidades de optimización para vuelo de avance a 1000 metros. Gráfica 2.4.j – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura. Gráfica 2.4.k – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso. Gráfica 2.5.a –Vuelo de avance ascensional. Equilibrio de fuerzas.


6

Gráfica 2.5.b –Vuelo de avance ascensional. Ángulo de ataque del rotor en función de la velocidad y altura para una subida de 1º. Gráfica 2.5.c – Vuelo de avance ascensional. Potencia necesaria para distintos ángulos de ascenso. Gráfica 2.5.d – Vuelo de avance ascensional. Contribución de las distintas potencias para ascenso de 1º. Gráfica 2.5.e – Vuelo de avance ascensional. Análisis de sensibilidad ante variación del peso para ascenso de 1º. Gráfica 2.5.f– Vuelo de avance ascensional. Análisis de sensibilidad ante variación de la altura para ascenso de 1º. Gráfica 2.5.g– Vuelo de avance ascensional. Velocidades de optimización para ángulo de ascenso de 1º. Gráfica 2.5.h– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura. Gráfica 2.5.i– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura. Gráfica 2.5.j– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura. Gráfica 2.5.k– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso. Gráfica 2.5.l– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso. Gráfica 2.5.m– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso. Gráfica 2.5.n– Vuelo de avance ascensional. Máxima velocidad de ascenso para una subida de 1º. Gráfica 2.5.o– Vuelo de avance ascensional. Variación de la máxima velocidad de ascenso ante la altura para un ascenso de 1º. Gráfica 2.5.p– Vuelo de avance ascensional. Variación de la máxima velocidad de ascenso, ante el peso, para un ascenso de 1º. Gráfica 2.6.a –Vuelo de avance descensional. Equilibrio de fuerzas. Gráfica 2.6.b – Vuelo de avance descensional. Ángulo de ataque del rotor en función de la velocidad y altura para un descenso de 1º. Gráfica 2.6.c – Vuelo de avance descensional. Potencia necesaria para distintos ángulos de descenso. Gráfica 2.6.d – Vuelo de avance descensional. Contribución de las distintas potencias para descenso de 1º. Gráfica 2.6.e – Vuelo de avance descensional. Análisis de sensibilidad ante variación del peso para descenso de 1º. Gráfica 2.6.f – Vuelo de avance descensional. Análisis de sensibilidad ante variación de la altura para descenso de 1º. Gráfica 2.6.g – Vuelo de avance descensional. Velocidades de optimización para ángulo de descenso de 1º. Gráfica 2.6.h– Comparación de las velocidades de optimización en vuelo horizontal, ascendente y descendente, ante variaciones en la altura. Gráfica 2.6.i– Comparación de las velocidades de optimización en vuelo horizontal, ascendente y descendente, ante variaciones en el peso. Gráfica 2.6.j– Variación de la velocidad de máximo alcance con el ángulo de trayectoria. Gráfica 2.7.a– Autorrotación. Zonas consumidoras y productoras de potencia en el rotor. Gráfica 2.7.b– Autorrotación. Secciones de pala en la autorrotación. Gráfica 2.7.c– Autorrotación. Diagrama de autorrotación. Gráfica 2.7.d– Autorrotación. Velocidad de autorrotación adimensionalizada en función de la figura de mérito. Gráfica 2.7.e– Autorrotación. Velocidad de autorrotación en función de la altura. Gráfica 2.7.f– Autorrotación. Comparación de resultados de Leishman con la TEP. Gráfica 2.7.g– Autorrotación. Ángulo de paso colectivo frente a la velocidad de descenso. Gráfica 2.7.h– Autorrotación. Ángulo de paso colectivo frente al ángulo de ataque de la sección de autorrotación.


7

Gráfica 2.7.i– Autorrotación. Ángulo de paso colectivo frente a la velocidad de autorrotación del rotor. Gráfica 2.7.j– Autorrotación. Zonas consumidoras y productoras de potencia en situación de avance. Gráfica 2.7.k– Autorrotación. Diagrama de descenso. Gráfica 2.7.l– Autorrotación. Análisis de sensibilidad de las velocidades de descenso ante variaciones de la altura. Gráfica 2.7.m– Autorrotación. Análisis de sensibilidad de las velocidades de descenso ante variaciones del peso. Gráfica 2.7.n– Autorrotación. Disminución de la velocidad de descenso con la velocidad de avance. Gráfica 2.8.a– Envolvente de vuelo. Gráfica 3.a– Esquema de trabajo. Gráfica 3.b– Subsistemas modelados en el helicóptero. Gráfica 3.c– Sistema de ejes cuerpo. Gráfica 3.1.a– Relaciones entre los planos del rotor. Gráfica 3.1.b– Fuerzas aerodinámicas del rotor. Gráfica 3.1.c– Fuerzas y ángulos en una condición de vuelo genérica. Gráfica 3.1d– Equilibrado. Evolución de CT y CH con la velocidad de avance para un ángulo de asiento nulo y a nivel del mar. Gráfica 3.1.e– Equilibrado. Evolución de vi con la velocidad de avance para un ángulo de asiento nulo y a nivel del mar.

Gráfica 3.1.f– Equilibrado. Evolución de a1, B1, rα y 0θ con la velocidad de avance para un

ángulo de asiento nulo y a nivel del mar.

Gráfica 3.1.g– Equilibrado. Evolución de µ y λ con la velocidad de avance para un ángulo de

asiento nulo y a nivel del mar. Gráfica 3.1.h– Equilibrado. Velocidad de avance frente a µ ante variaciones en la altura. Gráfica 3.1.i– Equilibrado. Análisis parámetrico de CT ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo. Gráfica 3.1.j– Equilibrado. Análisis parámetrico de CH ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo. Gráfica 3.1.k– Equilibrado. Análisis parámetrico de vi ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

Gráfica 3.1.l– Equilibrado. Análisis parámetrico de rα ante variaciones de altura para peso

constante y ángulo de asiento nulo. Gráfica 3.1.m– Equilibrado. Análisis parámetrico de a1 ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo. Gráfica 3.1.n– Equilibrado. Análisis parámetrico de B1 ante variaciones de altura para peso constante y qngulo de asiento nulo.

Gráfica 3.1.o– Equilibrado. Análisis parámetrico de 0θ ante variaciones de altura para peso

constante y ángulo de asiento nulo. Gráfica 3.1.p– Equilibrado. Análisis parámetrico de λ ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo. Gráfica 3.1.q– Equilibrado. Velocidad de avance frente a µ ante variaciones en el ángulo de

asiento. Gráfica 3.1.r– Equilibrado. Análisis parámetrico de CT ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.1.s– Equilibrado. Análisis parámetrico de CH ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.1.t– Equilibrado. Análisis parámetrico de vi ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.


8

Gráfica 3.1.u– Equilibrado. Análisis parámetrico de rα ante variaciones del ángulo de asiento para

peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.1.v– Equilibrado. Análisis parámetrico de a1 ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.1.w– Equilibrado. Análisis parámetrico de B1 ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.1.x– Equilibrado. Análisis parámetrico de 0θ ante variaciones del ángulo de asiento para

peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.1.y– Equilibrado. Análisis parámetrico de λ ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m. Gráfica 3.2.1.a– Sistema de ejes 1. Gráfica 3.2.1.b– Sistema de ejes del buje y de la articulación. Gráfica 3.2.1.c– Criterio de signos del triángulo de velocidades. Gráfica 3.2.2.a– Criterio de ejes en la pala. Gráfica 3.2.4.a– Derivada Xu frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.b– Derivada Xw frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.c– Derivada Xq frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.d– Derivada Zu frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.e– Derivada Zw frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.f– Derivada Zq frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.g– Derivada Mu frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.h– Derivada Mw frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.4.i– Derivada Mq frente a la velocidad de avance de la aeronave. Gráfica 3.2.5.a– Autovalores de la matriz de estabilidad. Gráfica 3.2.5.b– Evolución del modo fugoide. Gráfica 3.2.5.c– Evolución del modo de corto periodo. Gráfica 3.2.5.d– Evolución del modo fugoide tras un incremento en Mu. Gráfica 3.2.5.e– Evolución del modo de corto periodo tras un incremento en Zw. Gráfica 3.3.a– Análisis paramétrico. Efecto de la variación longitudinal del centro de gravedad en el modo fugoide. Gráfica 3.3.b– Análisis paramétrico. Efecto de la variación longitudinal del centro de gravedad en el modo de corto periodo. Gráfica 3.3.c– Análisis paramétrico. Efecto de la variación del decalaje de la articulación de batimiento en el modo fugoide. Gráfica 3.3.d– Análisis paramétrico. Efecto de la variación del decalaje de la articulación de batimiento en el modo de corto periodo. Gráfica 3.3.e– Análisis paramétrico. Factor f en función del alargamiento de estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.f– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de CT, CH y CTtail* frente al parámetro µ .

Gráfica 3.3.g– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de vi frente al parámetro µ .

Gráfica 3.3.h– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de 0θ , B1, rα , ε y

a1 frente al parámetro µ .

Gráfica 3.3.i– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de λ frente al parámetro µ .

Gráfica 3.3.j– Ángulos de incidencia del estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.k– Derivada de estabilidad Xu con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.l– Derivada de estabilidad Xw con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.m– Derivada de estabilidad Xq con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.n– Derivada de estabilidad Zu con el estabilizador horizontal.


9

Gráfica 3.3.o– Derivada de estabilidad Zw con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.p– Derivada de estabilidad Zq con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.q– Derivada de estabilidad Mu con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.r– Derivada de estabilidad Mw con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.s– Derivada de estabilidad Mq con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.t– Modos longitudinales con el estabilizador horizontal. Gráfica 3.3.u– Análisis paramétrico. Efecto de ltail en el modo fugoide. Gráfica 3.3.v– Análisis paramétrico. Efecto de ltail en el modo de corto periodo.

Gráfica 3.3.w– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.4 m2 en el modo fugoide.

Gráfica 3.3.x– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.4 m2.

Gráfica 3.3.y– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.2 m2 en el modo fugoide.

Gráfica 3.3.z– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.2 m2.

Gráfica 3.3.aa– Análisis paramétrico. Comparación comportamiento con y sin estabilizador en el modo fugoide. Gráfica 3.3.ab– Análisis paramétrico. Comparación comportamiento con y sin estabilizador.


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Índice de tablas

Tabla 1.1.a –Parámetros rotor principal. Tabla 1.2.a –Parámetros rotor antipar. Tabla 1.4.a –Parámetros de la estructura. Tabla 2.1.a –Vuelo a punto fijo. Variación de los parámetros más importantes con la altura. Tabla 2.1.b –Vuelo a punto fijo. Variación de los parámetros más importantes con el peso. Tabla 2.2.a –Vuelo axial ascendente. Variación de la potencia necesaria con la altura. Tabla 2.2.b –Vuelo axial ascendente. Variación de la potencia necesaria con el peso. Tabla 2.2.c –Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con la altura. Tabla 2.2.d –Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con el peso. Tabla 2.4.a –Vuelo de avance. Variación de las velocidades de optimización con la altura. Tabla 2.4.b –Vuelo de avance. Variación de las velocidades de optimización con el peso. Tabla 2.7.a –Autorrotación. Variación de las velocidades de descenso con la altura. Tabla 2.7.b –Autorrotación. Variación de las velocidades de descenso con el peso. Tabla 3.1.a –Definición de las distancias críticas para la ecuación de momentos. Tabla 3.2.5.a –Variación de los modos propios longitudinales con las derivadas de X. Tabla 3.2.5.b –Variación de los modos propios longitudinales con las derivadas de Z. Tabla 3.2.5.c –Variación de los modos propios longitudinales con las derivadas de M. Tabla 3.2.5.d –Periodo y amortiguación de los modos. Tabla 3.3.a– Análisis paramétrico. Definición de los nuevos parámetros del estabilizador al variar el área del mismo a 0.4 m2. Tabla 3.3.b– Análisis paramétrico. Definición de los nuevos parámetros del estabilizador al variar el área del mismo a 0.2 m2.


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Nomenclatura

A Matriz de estabilidad lineal longitudinal. A Área del rotor. A= 2Rπ ARht Alargamiento del estabilizador horizontal. A1 Ángulo de paso cíclico lateral. ae Pendiente efectiva de la curva de sustentación. a0 Coeficiente del desarrollo del ángulo de batimiento.

)2sin()2cos(sincos 22110 ψψψψβ babaa −−−−=

También llamado ángulo de conicidad. a0t Pendiente de la curva de sustentación de los perfiles del estabilizador. a1 Coeficiente del desarrollo del ángulo de batimiento. Mirar a0. a2 Coeficiente del desarrollo del ángulo de batimiento. Mirar a0. at Pendiente de la curva de sustentación del estabilizador horizontal. B Matriz de control longitudinal. B1 Ángulo de paso cíclico longitudinal. BET Teoría del elemento de pala. bh Envergadura del estabilizador horizontal. b1 Coeficiente del desarrollo del ángulo de batimiento. Mirar a0. b2 Coeficiente del desarrollo del ángulo de batimiento. Mirar a0. CD Coeficiente de resistencia del helicóptero completo.

0dC Coeficiente de resistencia de forma.

CH* Resistencia adimensional del rotor. Definida como ( )22*RR

HCH

Ω=

ρσπ

Ch Coeficiente de volumen del estabilizador horizontal. CL Coeficiente de sustentación del helicóptero completo.

αLC Pendiente de la curva de sustentación de los perfiles.

CMf Momento adimensional de cabeceo del fuselaje. CMs* Momento adimensional del rotor debido a la fuerza centrífuga. CPc Potencia adimensional de ascenso. CPf Coeficiente de potencia parásita del fuselaje adimensional. CPi Coeficiente de potencia inducida del rotor adimensional. CP0 Coeficiente de potencia parásita del rotor adimensional CQ Coeficiente de par del rotor.

CT Tracción adimensional del rotor. Definida como ( )22 RR

TCT

Ω=

ρπ.

CT* Tracción adimensional del rotor. Definida como ( )22*RR

TCT

Ω=

ρσπ.

CTtail* Tracción adimensional del estabilizador horizontal.

( )22*RR

TC tail

TtailΩ

=ρσπ

CW* Coeficiente adimensional del peso de la aeronave. ( )22*RR

WCW

Ω=

ρσπ

c Cuerda de la pala del rotor principal. ch Cuerda del estabilizador horizontal.


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ct Cuerda de la pala del rotor antipar. D Resistencia aerodinámica de la aeronave. Df Resistencia aerodinámica del fuselaje. E Factor de velocidad de Jones. e Decalaje adimensional de la articulación de batimiento. f Área equivalente mojada. g Aceleración de la gravedad. H Resultante de las fuerzas aerodinámicas del rotor en dirección paralela al

plano de puntas de pala. Es equivalente a una resistencia del rotor. h Altura de vuelo. h Distancia vertical de la línea de referencia del fuselaje a la cabeza del

rotor, adimensionalizada con el radio del rotor. hcg Distancia vertical de la línea de referencia del fuselaje a la cabeza del

rotor, adimensionalizada con el radio del rotor. Ib Momento de inercia de la pala del rotor en torno a la articulación de

batimiento. Iyy Momento de inercia de la aeronave completa respecto del eje Y.

µK Coeficiente corrector de la potencia parásita del rotor en vuelo de avance.

kg Factor para considerar efecto suelo en el cálculo de la potencia. L Sustentación del helicóptero completo. lt Distancia entre los ejes del rotor principal y el rotor antipar. ltail Distancia entre el punto de aplicación de Ttail y el eje del rotor principal

adimensionalizada con el radio del rotor. M Resultante de momentos en el punto de referencia del fuselaje. MA Momento aerodinámico alrededor de la articulación de batimiento. Mf Momento de cabeceo del fuselaje. Ms Momento centrífugo del rotor debido a la inclinación de las palas. MTOW Máximo peso de la aeronave completa al despegue. mb Masa de la pala del rotor. N Número de palas del rotor principal. Nt Número de palas del rotor antipar. P Potencia desarrollada por el motor/ Necesaria para el vuelo. Pc Potencia ascensional / descensional. Pd Potencia disponible. Pf Potencia parásita del fuselaje. Pi Potencia inducida. P0 Potencia parásita del rotor. PS Máxima potencia que proporciona el motor para realizar una subida. PSL Potencia suministrada por el motor a nivel del mar. Ptr Potencia del rotor antipar. p Velocidad angular de alabeo. Q Par aerodinámico del rotor. q Velocidad angular de cabeceo. R Radio de la pala del rotor principal. Rt Radio de la pala del rotor antipar. ROC Rate of climb. rartic Vector de posición de la articulación de batimiento. relemento Vector de posición radial de un elemento de pala genérico. R Velocidad angular de guiñada.


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Sh Superficie del estabilizador horizontal. T Resultante de las fuerzas aerodinámicas del rotor en dirección

perpendicular al plano de puntas de pala. Es la tracción del rotor principal.

T Periodo de los modos propios del sistema medido en segundos. Ttail Sustentación del estabilizador horizontal. Ttr Tracción generada por el rotor antipar. t1/2 Tiempo en el que la amplitud de la oscilación del modo longitudinal se

reduce a la mitad. tdouble Tiempo en el que la amplitud de la oscilación del modo longitudinal se

duplica. TCM Teoría de cantidad de movimiento. TEP Teoría del elemento de pala. Up Velocidad perpendicular. UR Velocidad radial. UT Velocidad tangencial. u Componente de la velocidad de vuelo según el eje X. V Vector velocidad de la aeronave aplicada en su punto de referencia. Vartic Vector velocidad de la articulación de batimiento. Vbuje Vector velocidad de la cabeza del rotor. Vbuje,gir Vector velocidad de la cabeza del rotor en ejes giratorios. V Velocidad de vuelo. Vc Velocidad de ascenso / descenso. Vc Velocidad de avance de la aeronave. Vtail Velocidad incidente sobre el estabilizador horizontal.

∞V Velocidad incidente. v Componente de la velocidad de vuelo según el eje Y. vi Velocidad inducida por el rotor. vi0 Velocidad inducida por el rotor en vuelo a punto fijo. W Peso de la aeronave en vuelo. Xcg Distancia longitudinal del centro de gravedad al eje del rotor

adimensionalizada con el radio del rotor y positiva cuando el CDG está situado delante del eje del rotor.

x Vector de estado. x=u, w, q, θ , v, p, φ , r, ψ x Posición adimensional del elemento de pala a lo largo de la envergadura. xg Posición del centro de gravedad de la pala a lo largo de su envergadura.

α Ángulo de ataque del perfil de la pala.

aα Ángulo de ataque del rotor en autorrotación.

rα Ángulo de ataque del rotor principal del helicóptero.

tailα Ángulo de ataque del estabilizador horizontal. Utilizado en el apartado

del equilibrado.

tail'α Ángulo de ataque del estabilizador horizontal. Utilizado en el apartado

de estabilidad.

0tα Ángulo de ataque inicial del estabilizador. Es el ángulo formado por el

estabilizador con la línea de referencia del fuselaje. β Ángulo de batimiento.


14

γ Ángulo de ascenso de la trayectoria. γ Número de Lock.

dγ Ángulo de descenso de la trayectoria.

δ Coeficiente de resistencia de los perfiles. ε Ángulo de deflexión de la corriente que ve el estabilizador horizontal. θ Ángulo de paso de la pala.

aθ Ángulo de paso colectivo en autorrotación.

0θ Ángulo de paso colectivo.

κ Coeficiente corrector de la potencia inducida. λ Coeficiente de velocidad normal. λ Autovalores de la matriz de estabilidad lineal longitudinal.

cλ Cociente entre velocidad de ascenso (descenso) y la velocidad de punta

de pala.

iλ Cociente entre velocidad inducida y la velocidad de punta de pala.

µ Velocidad de avance adimensional. ρ Densidad del aire a una altura de vuelo determinada.

SLρ Densidad del aire a nivel del mar.

σ Solidez.

0σ Solidez considerando distribución de cuerdas constante.

τ Ángulo de asiento que forma el vector velocidad con la horizontal. ϕ Ángulo acimutal. φ Ángulo de entrada de corriente. ω Parte imaginaria de los autovalores de la matriz de estabilidad lineal

longitudinal. Ω Velocidad de giro del rotor principal.

tΩ Velocidad de giro del rotor antipar.


15

Introducción

Los objetivos principales de este proyecto son, el estudio de las actuaciones del

helicóptero ultraligero Horus, el análisis de su estabilidad longitudinal, y por último, un pequeño estudio de distintas configuraciones de la citada aeronave con el fin de mejorar su comportamiento estable.

Para el estudio de las actuaciones y de la estabilidad se han desarrollado dos

módulos en Matlab que realizan los cálculos de una forma rápida y sencilla. Estos paquetes de trabajo desarrollados tienen la ventaja de que son genéricos, ya que valen para cualquier otro tipo de aeronave con solo caracterizarla.

La idea de funcionamiento del paquete es sencilla, seleccionar el helicóptero

deseado y la actuación o el análisis de estabilidad a realizar. La aeronave objeto de análisis pertenece al proyecto Horus, el cual es un trabajo

docente y tecnológico cuya finalidad es la construcción, en un marco fundamentalmente académico, de un pequeño helicóptero de demostración tecnológica. Horus es desarrollado por alumnos de la Universidad de Sevilla y de la Universidad Politécnica de Madrid.

Los requisitos de diseño del helicóptero fueron impuestos, en gran medida, por el

entorno de trabajo, y así, debido a su carácter formativo, se decidió que Horus fuera un helicóptero extremadamente sencillo en su concepción, pero a la vez reflejo del estado tecnológico actual. Es importante señalar que un objetivo del proyecto Horus es la certificación de la aeronave cumpliendo las normas BCAR Section VLH (Very Light Helicopters) y JAR-27 (Small Rotorcraft). Apuntar que uno de los requisitos de diseño más estrictos es el financiero, pues el objetivo es mantener el coste total dentro de unos límites que permitan en el futuro abordar otros proyectos educativos semejantes.


16

1. Modelado del helicóptero

Para poder simular las actuaciones y estabilidad del helicóptero Horus se lleva a

cabo una caracterización de sus parámetros principales. En la realización del modelo los datos se han tomado, principalmente, de distintos

informes realizados por el grupo Horus ([HOR05]). Además se ha hecho un estudio de los helicópteros semejantes existentes en el mercado para poder comparar valores y completar la posible falta de información de valores no conocidos.

Se pasa a mostrar y explicar los diferentes datos.

1.1. ROTOR PRINCIPAL

Los valores utilizados en el modelado del rotor principal del helicóptero Horus se muestran en la tabla 1.1.a junto a los correspondientes al helicóptero Skylark que es el más parecido. Tabla 1.1.a –Parámetros rotor principal.

PARÁMETRO Horus Skylark Radio del rotor ‘R’ 2.9 m 2.896 m Número de palas ‘N’ 2 2 Velocidad de giro ‘Ω’ 62 rad/s 62 rad/s

Cuerda ‘c’ 0.15 m 0.145 m Coeficiente corrector de la potencia inducida ‘κ ’

1.15

Coeficiente corrector de la potencia parásita del rotor en

vuelo de avance ‘ µK ’

4.6

Coeficiente de resistencia de forma ‘

0dC ’

0.008

Coeficiente de sustentación α

αLLL CCC +=0

73.5

00

=

=

αL

L

C

C

Coeficiente de resistencia 2

210αα DDDD CCCC ++=

0085.00=DC

01=DC

263.02=DC

Decalaje adimensional de la articulación de batimiento ‘e’

0.12


17

Los datos del radio del rotor, número de palas y la cuerda se han tomado de los

informes del grupo Horus ([HOR05]), comentado anteriormente. En [HOR05] se fija la velocidad de punta de pala RΩ en 180 metros por segundo

de acuerdo con los helicópteros semejantes, en este caso el Skylark. A partir de aquí y habiendo fijado el radio previamente se obtiene una velocidad de

giro Ω de 62 rad/s (592 rpm). El valor habitual del coeficiente corrector de la potencia inducida es 1.15 tal y como

se encuentra en diversas publicaciones, entre ellas citar [LEI00], [LOP93], [SED90], [COO02] o [JOH80]. En [LEI00] se muestra además, una expresión más exacta considerando la no uniformidad de la corriente, pero no se utilizará dicho método por no disponer de una buena aproximación de los parámetros requeridos.

El coeficiente corrector de la potencia parásita del rotor en vuelo de avance se

aproxima a 4.6. En libros como [LEI00] o [SED90] aconsejan tomar un valor comprendido entre 4.5 y 4.7 para hacer cálculos básicos de aproximaciones y en la mayoría de los casos se toma un valor medio de 4.6.

El coeficiente de resistencia de forma, en [LEI00] y [SED90] nuevamente, se

aproxima entorno a 0.008. Los valores de los coeficientes de sustentación y resistencia pertenecen a un perfil NACA 0012, los datos están tomados de [LOP93]. Se supone que la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles de las palas es constante.

En cuanto al dato del decalaje de la articulación éste ha sido tomado de [LAF03]. En el gráfico 1.1.a se muestra el helicóptero de referencia Skylark del cual se han

tomado muchos valores para el modelo del Horus dada la evidente semejanza entre ambos. Gráfica 1.1.a –Skylark.


18

1.2. ROTOR ANTIPAR

Los parámetros utilizados en el modelado del rotor antipar son:

Tabla 1.2.a –Parámetros rotor antipar.

PARÁMETRO Horus Skylark Radio del rotor ‘Rt’ 0.53 m 0.54864 m Número de palas ‘Nt’ 2 2 Velocidad de giro ‘Ωt’ 339.2 rad/s 339.2 rad/s Distancia entre ejes ‘lt’ 3.2 m 3.2 m

Cuerda ‘ct’ 0.1 m 0.1 m Coeficiente corrector de la potencia inducida ‘κ ’

1.15

Coeficiente de corrección de potencia parásita del rotor en

vuelo de avance ‘ µK ’

4.6

Coeficiente de resistencia de forma‘

0dC ’

0.008

Los datos del radio del rotor, número de palas, la cuerda y la distancia entre los ejes

de rotación se han tomado de los informes del grupo Horus ([HOR05]). La manera de calcular la velocidad de rotación del rotor antipar es la misma que en

el caso anterior, se vuelve a fijar la velocidad de punta de pala y conocido el radio del rotor se obtiene la incógnita. En el caso del rotor antipar, al tener un radio de la pala inferior al radio del rotor principal se conseguirán velocidades de giro superiores suponiendo que la velocidad de punta de pala es la misma para ambos rotores tal y como se aconseja en [BRA01].

El resto de parámetros ( κ , µK y

0dC ) se estiman empleando las mismas

consideraciones que en el apartado del rotor principal. 1.3. MOTOR

Se consideran las propiedades del motor ROTAX 582 correspondiente al helicóptero Skylark. Es un motor de dos cilindros en línea con válvula rotativa, con un ciclo de dos tiempos que proporciona una potencia a nivel del mar de 48 KW (65 HP). La información anterior ha sido obtenida de la página Web del motor (http://www.aviasport.com/ROTAX/Rotax_582/ROTAX_582.htm).


19

Gráfica 1.3.a –ROTAX 582.

Se muestran, a continuación, las curvas de potencia y de consumo de combustible

del motor utilizado.

Gráfica 1.3.b –Curva de potencia del motor ROTAX 582.


20

Gráfica 1.3.c –Curva de consumo de combustible del motor ROTAX 582.

1.4. ESTRUCTURA

El helicóptero Horus posee una estructura muy simple formada con barras. Se muestra, como ejemplo, la estructura primaria del helicóptero Furia, muy

parecido al Horus. Gráfica 1.4.a –Estructura primaria del helicóptero Furia.


21

Los datos aplicados en el modelo se detallan a continuación:

Tabla 1.4.a –Parámetros de la estructura.

PARÁMETRO Horus Skylark Máximo peso al despegue ‘MTOW’ 2940 N 2940 N Momento de inercia longitudinal de la

aeronave ‘Iyy’ 403.755 Kg m2

Área equivalente mojada ‘f’ 0.9 Distancia longitudinal del centro de

gravedad al eje del rotor adimensionalizada ‘Xcg’

0.01

Distancia vertical de la línea de referencia del fuselaje a la cabeza del rotor

adimensionalizada ‘hcg’

0.45

El dato de la masa máxima al despegue se encuentra en [HOR05] y como se aprecia es idéntico al valor que tiene el Skylark.

La inercia ha sido tomada de [LAF03]. El valor mostrado corresponde con un

sistema de ejes centrado en el centro de gravedad de la aeronave, el eje X dirigido hacia el morro y contenido en el plano de simetría, el eje Z igualmente contenido en el plano de simetría y apuntando hacia abajo de forma que esté paralelo al mástil del rotor principal, por último el eje Y formando un triedro a derechas con los dos ejes anteriores.

En el cálculo del área equivalente mojada existe menor consenso en la bibliografía. En libros como [SED90] o [JOH80] estiman que la relación f/A, siendo A el área del rotor, está entorno a 0.016 o 0.015. [LEI00] aproxima ‘f’ para helicópteros pequeños alrededor de 10 ft2 (0.93 m2). En una cuarta fuente, [LOP93], se dan valores de ‘f’ para

muchos helicópteros y ajustan el parámetro como nWK

f1

= donde K y n son datos y

W es el peso de la aeronave. El valor de n es 0.562 y el de K depende del peso del helicóptero. En este trabajo se ha hecho un ajuste de la ‘f’ a partir del valor correspondiente del helicóptero Skeeter, el menos pesado de todos y más parecido al Horus. Se obtiene un valor del área equivalente mojada de 1.3 m2 y un valor de K de 19.917.

Finalmente se toma la decisión de fijar f en 0.9 m2, esto es debido a que aunque los

valores de [LOP93] sean más exactos el helicóptero del que se parte es bastante más pesado que nuestro modelo por lo que la bondad del resultado es cuestionada.

Los dos últimos parámetros que se especifican son utilizados en el estudio de la

estabilidad de la aeronave. Por una parte Xcg es la distancia longitudinal del centro de gravedad del helicóptero al eje del rotor adimensionalizada con el radio del rotor. Este dato ha sido tomado de [LAF03] y su valor corresponde con el del helicóptero Horus. El segundo parámetro es hcg que es la distancia vertical de la línea de referencia del fuselaje a la cabeza del rotor, adimensionalizada igualmente con el radio del rotor


22

principal. Este dato, al igual que el anterior, se encuentra en [LAF03]. En la gráfica 1.4.b se han representado ambas distancias para aclarar los conceptos.

Gráfica 1.4.b –Definición de las distancias Xcg y hcg.


23

2. Actuaciones El cálculo de las actuaciones de un helicóptero conlleva la determinación de la

potencia necesaria y la disponible para distintas condiciones de vuelo. Una vez conocidas estas se podrá obtener la potencia disponible para ascender, el techo de la aeronave, el alcance, la autonomía o la máxima velocidad de avance. Estas variables definirán las capacidades operacionales del helicóptero.

La potencia necesaria tiene cuatro aportaciones, la potencia inducida debida a la

generación de la tracción, la potencia de forma o parásita del rotor que es la necesaria para mantener el giro del rotor y para vencer la resistencia aerodinámica del mismo, la potencia parásita que es la necesaria para poder mover el helicóptero en el aire y la potencia ascensional debida al cambio de energía potencial por unidad de tiempo.

La potencia disponible dependerá de la planta propulsora que se posea. Además es

sabido que esta potencia disponible disminuye con la altura de vuelo debido a la reducción de la densidad de la atmósfera.

En este estudio se analizan las actuaciones siguientes:

• Vuelo a punto fijo • Vuelo axial ascendente • Vuelo axial descendente • Vuelo de avance • Vuelo de avance ascensional • Vuelo de avance descensional • Autorrotación • Envolvente de vuelo

Existen dos métodos, principalmente, para resolver el problema de las actuaciones;

el método del equilibrio de fuerzas y el de la conservación de la energía. El método del equilibrio de fuerzas implica la determinación de las mismas en cada

sección y su integración para poder conocer los valores globales de los coeficientes de fuerza, potencia y par. Para hacer una resolución con este método se requiere conocer la distribución de velocidades inducidas en el plano del rotor, el movimiento de las palas, así como la distribución del ángulo de ataque en el plano del rotor. La forma de llevar a la práctica la resolución es mediante métodos numéricos en los que, normalmente, se introducirán modelos avanzados del comportamiento del rotor y su aerodinámica. Añadir que incluso en lo casos más simples el método del equilibrio de fuerzas es complejo de resolver.

El segundo método es el de la conservación de la energía, que está basado en

expresar la potencia necesaria en términos claros de consumo de ella. Este método es más potente para uso rutinario o para estimaciones iniciales de las actuaciones por diferentes razones:


24

1. El equilibrio longitudinal de fuerzas del helicóptero ya ha sido

considerado, no hace falta estudiar el equilibrado de la aeronave. 2. Las potencias de ascenso y parásita se calculan de manera exacta

mientras que las potencias inducida y parásita del rotor se estiman mediante una formulación sencilla.

3. Con los modelos más simples de potencia inducida y potencia parásita del rotor el método de conservación de la energía da unos resultados rápidos y con una precisión aceptable.

Por los motivos expuestos anteriormente se decide desarrollar las actuaciones

siguiendo el método de la conservación de la energía. Es conveniente aclarar que la conservación de la energía se puede derivar a partir

del equilibrio de fuerzas, por lo que ambos métodos serán equivalentes. A la hora de calcular las distintas potencias se puede aplicar la teoría de cantidad de

movimiento (TCM), la teoría del elemento de pala (TEP) o una combinación de ambas. La TCM permite una determinación muy simple de las fuerzas que actúan sobre el

rotor por medio de un análisis de la variación de la cantidad de movimiento de una masa de aire afectada por el mismo. Esta masa de aire está en movimiento relativo respecto del rotor que lo suponemos como un disco capaz de comunicar energía al aire. La acción de este disco afecta a todo el aire pero, desde un punto de vista práctico, la hipótesis de Glauert establece que la única masa de aire afectada es la que circula por un tubo de corriente cuya sección recta en la zona del disco es un círculo de radio igual al del rotor. Esta hipótesis es análoga a la establecida por Prandtl en el ala de envergadura finita para el cálculo de las velocidades inducidas.

La TCM lleva a cabo un análisis global donde no se necesitan detalles sobre las cargas que actúan en el rotor o sobre la corriente. A pesar de la gran simplificación que supone de la situación física real, proporciona una rápida y buena estimación de la tracción del rotor y de la potencia ideal que es necesaria para producirla.

Esta teoría fue desarrollada para las hélices de los barcos por W. J. M. Rankine en

1865 y por R. E. Froude en 1885, posteriormente, en 1920 A. Betz incluyó el efecto de la rotación de la estela.

La TEP proporciona las fuerzas sobre la pala debidas al movimiento relativo de la

misma respecto al aire. Es la aplicación de la teoría de la línea sustentadora a alas rotatorias. Toma como hipótesis que cada sección se comporta como un perfil bidimensional y una elevada relación de esbeltez para poder aplicar la teoría de la línea sustentadora. El inconveniente principal de la TEP es que falla en las zonas donde aparecen elevados gradientes de velocidades inducidas como puede ser en la zona de la punta de las palas o intersecciones con otros vórtices provenientes de otra pala que hagan que la esbeltez en esta zona ya no sea tan elevada.

En esta segunda teoría para calcular las potencias se realiza un análisis local donde es necesario disponer de datos de la corriente y de las cargas que actúan sobre el perfil, además de datos relacionados con la geometría de la pala.


25

La idea de la teoría del elemento de pala fue sugerida por primera vez por E.

Drzwiecki en 1892 para el análisis de las hélices de las aeronaves y fue él mismo el que la desarrolló en los años sucesivos.

La combinación de la teoría de cantidad de movimiento con la teoría del elemento

de pala se realiza para definir una distribución de velocidades inducidas o de ángulos de ataques inducidos no uniforme. La manera de operar es aplicando la teoría de cantidad de movimiento a un diferencial del tubo de corriente.

Aunque los resultados considerando la distribución de velocidades inducidas no

uniforme son más exactos que los obtenidos con la distribución uniforme, la combinación de las dos teorías sigue siendo un modelo aproximado del rotor.

La combinación de las teorías fue realizada por Reissner, Bothezat y Glauert. Las actuaciones de un helicóptero suelen representarse en gráficos o tablas. Su

objeto es facilitar al usuario el planteamiento de las misiones a realizar, de forma que pueda obtener el mayor rendimiento posible sin violar la seguridad de vuelo. Los datos suministrados deben ser fiables y estar comprobados por ensayos de vuelo, teniendo debidamente en cuenta las dispersiones producidas por diferencias en la fabricación del helicóptero, así como por el estado del grupo motor, aunque siempre dentro de unos límites tolerados.

Los datos de actuaciones de un helicóptero se incluyen en su Manual de Vuelo o en

el Manual de Operaciones y las actuaciones límites figuran específicamente dentro de las “Limitaciones de operación”.

Así pues, desde esta perspectiva, los resultados aquí presentados deben considerarse

como una primera aproximación y deberán ser extendidos y mejorados con el empleo de modelos más precisos y ensayos.


26

2.1. VUELO A PUNTO FIJO

En este apartado se calculará la potencia necesaria y disponible en vuelo a punto fijo

así como las capacidades operacionales en esta condición. El vuelo a punto a fijo es el régimen más sencillo de analizar ya que las velocidades

vertical y de avance del rotor son nulas y por lo tanto existe simetría respecto de la posición acimutal.

En la figura 2.1.a se muestra el equilibrio de fuerzas en vuelo a punto fijo. Este

equilibrio se expresa como T-W-Df =0 donde T es la tracción generada por el rotor, W es el peso del helicóptero y Df la resistencia que presenta la aeronave. En la citada gráfica se considera el helicóptero como un punto, su centro de gravedad está situado en el centro del rotor.

Gráfica 2.1.a –Vuelo a punto fijo. Equilibrio de fuerzas.

Normalmente la resistencia del fuselaje se considera despreciable frente al peso

debido a que el helicóptero está a punto fijo en el aire, ver por ejemplo [LEI00]. Se tomará pues la aproximación WT ≈ .

La potencia necesaria P para este tipo de vuelo es:

P = P0+Pi

donde P0 es la potencia parásita del rotor y Pi la potencia inducida.


27

En el cálculo de la potencia parásita del rotor se ha utilizado la teoría del elemento

de pala por su precisión, obteniéndose la siguiente expresión:

( ) ( )∫=1

0

3

2

10

dxxCxC dP ασ

Para simplificar el problema se suele tomar un coeficiente de resistencia constante

para todos los ángulos de ataque. En este caso se aproximará como el coeficiente de resistencia real en la sección x=0.7. La variable x es la distancia de la sección de la pala considerada a la cabeza del rotor, adimensionalizada con el radio del rotor.

Además de esta simplificación se suele tomar también un valor de solidez constante,

lo que es lo mismo, una distribución de cuerdas constante, el valor típico de referencia vuelve a ser x=0.7. En el caso del helicóptero Horus esto no es una simplificación ya que su distribución de cuerdas es constante.

Teniendo en cuenta estas consideraciones el coeficiente de potencia parásita se

escribe:

80

0

0 D

P

CC

σ=

donde

0DC es el coeficiente de resistencia constante para todos los ángulos de

ataque y 0σ es la solidez.

Para obtener la potencia dimensional a partir del coeficiente de potencia

adimensional se considera ( )0

30 PCRAP Ω= ρ .

En cuanto al coeficiente de potencia inducida en vuelo a punto fijo se obtiene a

partir de la TCM ya que como se ha explicado en la introducción de la sección el resultado es una buena estimación y es sencillo de obtener.

2

2/3T

P

CC

i

κ=

En la expresión anterior κ es el coeficiente corrector de potencia inducida y CT es

el coeficiente de tracción.

El coeficiente corrector de potencia inducida se introduce para tener en cuenta los efectos de la no uniformidad de la distribución de la velocidad inducida, el número finito de palas, las pérdidas producidas en las puntas y la rotación de la estela.

El coeficiente de tracción está definido como:

( ) ( )22RA

W

RA

TCT

Ω≈

Ω=

ρρ


28

Para poder calcular el techo del helicóptero es necesario un modelo de la potencia

proporcionada por el motor Pd. La fórmula general del comportamiento del motor ante variaciones de la altura es:

n

SL

SLd PP

=

ρρ

En la resolución de este proyecto se ha tomado n=1, valor empleado en la literatura

[LEI00]. El techo de la aeronave se alcanza cuando la potencia necesaria para el vuelo toma

el mismo valor que la potencia que genera el motor.

n

SL

SLi PPP

=+

ρρ

0

Esta ecuación se satisface para un valor de densidad que corresponde con una altura,

el techo del helicóptero. Esta altura será la máxima a la que podrá ascender la aeronave ya que para cotas superiores la potencia necesaria será mayor que la potencia disponible.

Gráfica 2.1.b –Vuelo a punto fijo. Determinación del techo.

0 1000 2000 3000 4000 5000 600025

30

35

40

45

50

h [m]

P [kw]

Techo para vuelo a punto fijo:4090 [m]

Potencia necesaria

Potencia instalada


29

En la gráfica 2.1.b se muestra el cálculo del techo del helicóptero. Se alcanza

cuando la potencia proporcionada por el motor es igual a la necesaria para mantener el vuelo a punto fijo.

El techo del helicóptero Horus está a 4090 m, valor acorde con el de los helicópteros

semejantes, el techo del Skylark, por ejemplo, es de 3810 m.

En la gráfica 2.1.c se hace un análisis de sensibilidad de la variación del techo ante variaciones en el peso del helicóptero. Como ya era de esperar, a menor peso mayor techo se podrá tener. Gráfica 2.1.c –Vuelo a punto fijo. Variación del techo en función del peso.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 30004000

4200

4400

4600

4800

5000

5200

5400

5600

5800

6000

MTOW

W [N]

h c [m]

A continuación se estudia la influencia del efecto suelo en la potencia necesaria. El

modelo seguido se encuentra en [CHE55]. En el artículo se realiza primero un desarrollo teórico y posteriormente se comprueban los resultados experimentalmente. En este caso se toma el modelo de efecto suelo para velocidad de avance nula. El análisis está basado en el método de las imágenes. Hechas estas observaciones se procede a mostrar el modelo.

2

41

−=h

Rk g

( ) giTi kACRP ⋅⋅Ω= κλρ 3


30

donde R es el radio del rotor, h es la altura a la que se encuentra el rotor, ρ es la

densidad en la altura h, A es el área del rotor, CT el coeficiente de tracción, iλ es el

cociente entre la velocidad inducida y la velocidad de punta de pala, κ es el coeficiente corrector de potencia inducida y kg es el factor que considera el efecto suelo.

Gráfica 2.1.d – Vuelo a punto fijo. Variación de la potencia necesaria considerando o no efecto suelo.

0 50 100 15028.5

28.6

28.7

28.8

28.9

29

29.1

29.2

h [m]

P [kw]

Potencia necesaria para vuelo a punto fijo

Sin efecto suelo

Con efecto suelo

En la gráfica 2.1.d se pone claramente de manifiesto cómo a bajas alturas la potencia

necesaria es muy inferior, debido al efecto suelo. En este caso se aprecia como la influencia del efecto suelo es considerable hasta un altura de unos 20 metros, a partir de ahí será despreciable.

Seguidamente se definen varios parámetros de uso muy extendido y cuya finalidad es medir la efectividad del rotor.

La carga discal se define como la relación entre la tracción conseguida por el rotor

y el área del mismo. En el caso de vuelo a punto fijo, despreciando la resistencia del fuselaje, se tiene la siguiente simplificación:

A

W

A

TDL ≈=

Otro parámetro utilizado con frecuencia es la carga de potencia definida como la

relación entre la tracción del rotor y la potencia necesaria ideal.


31

0iP

T

P

TPL ==

El subíndice 0 indica la condición de vuelo a punto fijo.

Los dos parámetros descritos se pueden relacionar mediante la ecuación:

DLPL

ρ2=

La conclusión que se obtiene de esta expresión es que rotores con una carga discal

baja tendrán una carga de potencia alta y por lo tanto serán más eficientes ya que generan la misma tracción necesitando una potencia menor.

La figura de mérito relaciona la potencia ideal necesaria para vuelo a punto fijo con

la potencia real.

022/3

2/3

PT

T

real

ideal

CC

C

P

PFM

+==

κ

Existen muchas dificultades en definir un factor de eficiencia del rotor debido al

gran número de parámetros que están involucrados. La carga de potencia es una manera de medir la eficiencia, pero es un parámetro dimensional y lo que normalmente se busca es uno adimensional, por esto se suele tomar la figura de mérito como medida de la eficiencia del rotor en vuelo a punto fijo.

La carga discal para el helicóptero Horus toma el valor 111,3 N/m2. Valores

normales de operación de este parámetro son 250-500 N/m2. El valor del parámetro en el helicóptero está por debajo del rango normal de funcionamiento, debido a que el helicóptero Horus es un helicóptero ultraligero, el peso que posee está muy por debajo del peso de los helicópteros convencionales y debido a esto la carga discal disminuye tanto.

En la gráfica 2.1.e se muestra la variación de la carga de potencia respecto a la

altura. La carga de potencia depende de la potencia ideal y ésta, a su vez, depende de la densidad que es variable con la altura; de tal manera que cuanta mayor altura haya, menor será la densidad y mayor será la potencia ideal, reduciéndose así la carga de potencia.


32

Gráfica 2.1.e –Vuelo a punto fijo. Variación de la carga de potencia con la altura.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

0.125

0.13

0.135

h [m]

PL

En la gráfica 2.1.f se aprecia la variación de la figura de mérito con la altura.

Nuevamente vuelve a aparecer la densidad en la formulación en los términos del coeficiente de tracción y de potencia parásita.

Gráfica 2.1.f –Vuelo a punto fijo. Variación de la figura de mérito con la altura.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000.68

0.7

0.72

0.74

0.76

0.78

0.8

h [m]

FM


33

Por último y con el objetivo de aclarar y fijar conceptos se mostrarán unas tablas

con la variación de los parámetros aquí mostrados ante las variaciones de altura y peso. Los incrementos de altura se han tomado considerando tres cotas entre el nivel del mar y el techo de la aeronave. Los tres pesos considerados son menores que el MTOW, corresponderían con los pesos que se tendrían en la etapa de crucero, como ya se ha comentado lo que se pretende es mostrar la tendencia explicada anteriormente en gráficos con números. Tabla 2.1.a –Vuelo a punto fijo. Variación de los parámetros más importantes con la altura.

Altura h PL FM Potencia Necesaria [KW]

1000 0.123 0.704 29.5

2000 0.117 0.724 30.2

3000 0.111 0.74 31

Tabla 2.1.b –Vuelo a punto fijo. Variación de los parámetros más importantes con el peso.

Peso W Techo [m]

2500 5600

2600 5218

2700 4894

Como ya se comentó, para el peso máximo en despegue el techo del helicóptero Horus está a 4090 m, valor acorde con el techo del Skylark que es de 3810 m.


34

2.2. VUELO AXIAL ASCENDENTE

En este apartado se realizará un desarrollo similar al del apartado correspondiente a vuelo a punto fijo. Se calcularán las distintas potencias y las capacidades operacionales.

El equilibrio de fuerzas en la dirección del vuelo proporciona la ecuación:

T-W-Df =0

La resistencia del fuselaje es despreciable frente al peso, debido a que el helicóptero

suele realizar la maniobra de ascenso a bajas velocidades. Se tomará la aproximación WT ≈ . Las potencias necesarias son:

trci PPPPP +++= 0

Representan respectivamente la potencia parásita del rotor principal P0, la potencia

inducida Pi, la potencia ascensional Pc y la potencia del rotor antipar Ptr. La expresión de la potencia parásita del rotor es la misma que la desarrollada en el

apartado anterior. En cuanto a la potencia inducida, aplicando la teoría de cantidad de movimiento se

obtiene que:

ii TvP κ=

donde vi es la velocidad inducida del rotor. Adimensionalizando esta ecuación queda de la siguiente forma:

El parámetro cλ es el cociente entre la velocidad de ascenso Vc y la velocidad de

punta de pala, mientras que iλ es el cociente entre la velocidad inducida y la velocidad

de punta de pala.

La potencia ascensional es la que se consume para que el helicóptero pueda ascender. Viene expresada como:

cc TvP =

iT

cTc

TP CC

CCi

λκλλ

κ =

++−=

422

2


35

De manera análoga a como se ha trabajado con la potencia inducida se puede

denotar la potencia adimensional de ascenso como cTP CCc

λ= .

La potencia del rotor antipar tiene poca influencia en la potencia necesaria final en

esta configuración de vuelo. En este apartado se ha calculado su aportación escalando a partir de la potencia del rotor principal, suponiendo que ambos rotores tienen velocidades de punta de pala similares, tal y como se hace en [BRA01].

( )cittrtr

tr PPPNcR

NcRP ++

⋅⋅

⋅⋅= 0

En la siguiente gráfica se muestra la potencia total necesaria para realizar un vuelo

de ascenso, a diferentes velocidades, partiendo de una altura de referencia de 1000 metros. Gráfica 2.2.a – Vuelo axial ascendente. Aportación de las distintas potencias.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

Vc [m/s]

P[kW]

Potencia necesaria

Potencia parásita rotor

potencia inducida rotorpotencia de ascenso

Potencia total rotor de cola

Como se puede apreciar, dependiendo de la velocidad de ascenso que se quiera alcanzar, la aportación de las distintas potencias variará. Por ejemplo, para bajas velocidades de ascenso, la potencia con mayor aportación a la potencia necesaria final es la inducida del rotor, sin embargo para un rango de velocidades superior ésta disminuye, siendo la más influyente en este caso la potencia de ascenso. También se observa como la potencia parásita del rotor permanece constante para todo el rango de velocidades representado, teniendo relativamente poca influencia, junto con la potencia del rotor antipar, en la potencia total necesaria.


36

Lo siguiente que se estudiará será el efecto de la altura y el peso en el problema. Para no crear confusión con muchas gráficas lo que se representa es la potencia total

necesaria. En la gráfica 2.2.b se aprecia cómo para hacer un vuelo de ascenso a mayor altura se

necesitará mayor potencia, por ello habrá un punto en el que el motor proporcione justamente la potencia que requerimos y se hallará el techo de la aeronave.

En la gráfica 2.2.c se realiza el mismo estudio variando el peso del helicóptero. Como la lógica indica, se necesitará más potencia para mover una aeronave más pesada. Gráfica 2.2.b – Vuelo axial ascendente. Análisis de sensibilidad de la potencia necesaria ante variaciones en la altura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1030

35

40

45

50

55

Vc [m/s]

P[kW]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m


37

Gráfica 2.2.c – Vuelo axial ascendente. Análisis de sensibilidad de la potencia necesaria ante variaciones en el peso a una altura de 1000 metros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1025

30

35

40

45

50

55

Vc [m/s]

P[kW]

W=2400 N

W=2535 N

W=2670 NW=2805 N

W=2940 N

A continuación se calcula la máxima velocidad de ascenso del helicóptero. El incremento de potencia necesaria es la diferencia entre la potencia necesaria de

ascenso para la máxima velocidad y la potencia necesaria para vuelo a punto fijo. Conocido el incremento de potencia disponible para vuelo de ascenso, la altura y el

peso, la máxima velocidad de ascenso se obtiene de la ecuación:

( ) ( ) ( )

−++Ω=∆

2422

2/323 TcT

TcT

d

CCC

CRAhP

λλκρ

Esta ecuación se resuelve de forma iterativa para obtener Vc=ROC. Es muy habitual el uso de aproximaciones tanto para altas como para bajas

velocidades de ascenso. Con estas simplificaciones se facilita la obtención de una primera estimación para el cálculo, sin embargo se pierde precisión.

- Aproximación para altas velocidades Vc>>vio

( )T

PROC d

κ∆

=


38

- Aproximación para bajas velocidades Vc<<vio

( )T

PROC d

κ∆

=2

Como se puede apreciar el considerar alta o baja velocidad de ascenso es respecto a la velocidad inducida en vuelo a punto fijo vio. Esta velocidad tiene la expresión siguiente:

A

W

A

Tvi ρρ 220 ==

En el caso del helicóptero que se está desarrollando la velocidad inducida en vuelo a

punto fijo tiene un valor de 7.075 m/s. En el gráfico 2.2.d se muestra el cálculo exacto de la máxima velocidad de ascenso

así como las dos aproximaciones. Se puede ver como la que mejor se ajusta al valor real es la simplificación para bajas velocidades obteniendo un error de un 6%. Si se hubiera tomado la hipótesis de altas velocidades el error cometido hubiera sido de un 47%, error que es inaceptable. Este ejemplo da una idea del cuidado que se ha de tener a la hora de aplicar simplificaciones de los modelos reales ya que podemos incrementar los errores de cálculo. A posteriori, una vez conocida la máxima velocidad de ascenso exacta se puede ver como es del mismo orden de magnitud que la velocidad inducida en vuelo a punto fijo por lo que ninguna de las dos simplificaciones convence al no cumplirse las hipótesis que generan la simplificación. Gráfica 2.2.d – Vuelo axial ascendente. Cálculo de la máxima velocidad de ascenso a una altura de 1000 metros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1030

35

40

45

50

55

Vc [m/s]

P [kw]

ROC=6.06 m/s

(ROCa)* ≈3.21 m/s

(ROCb)* ≈6.41 m/s Potencia necesaria

Potencia disponible


39

A continuación, en las gráficas 2.2.e y 2.2.f se lleva a cabo un análisis de

sensibilidad de la máxima velocidad de ascenso ante variaciones en la altura y en el peso de la aeronave.

Al aumentar la altura de vuelo el incremento de potencia disponible para ascender

disminuye al disminuir la densidad del aire, esto implica que la máxima velocidad a la que podemos ascender disminuye.

Gráfica 2.2.e – Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

h [m]

ROC [m/s]

En cuanto a las variaciones de peso, la conclusión de la disminución de la velocidad

de ascenso máxima con el aumento del peso es razonable. Para un incremento de potencia disponible para el vuelo de ascenso dado el aumento de peso implica un mayor CT y por lo tanto una disminución de cλ .


40

Gráfica 2.2.f – Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con el peso a una altura de 1000 metros.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 30006

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

W [N]

ROC [m/s]

MTOW

Por último y al igual que se hizo en el apartado de vuelo a punto fijo se muestran

tablas con valores representativos de los parámetros más importantes y su variación con altura y peso.

Tabla 2.2.a –Vuelo axial ascendente. Variación de la potencia necesaria con la altura.

Altura h [m] Potencia Necesaria

en [KW] para Vc=3m/s

Potencia Necesaria en [KW] para Vc=6m/s


750 37.7 43.7 50.6

1500 38.3 44.2 51

3000 39.4 45.4 52

Se aprecia como a mayor altura y mayor velocidad de ascenso mayor es la potencia

necesaria.


41

Tabla 2.2.b –Vuelo axial ascendente. Variación de la potencia necesaria con el peso.

Peso W [N] Potencia Necesaria en [KW] para Vc=3m/s



2400 30.2 35 40.8

2940 (MTOW) 38.1

43.9 50.6

En la variación en el peso se considera el peso máximo al despegue y una reducción

del mismo de un 20% aproximadamente. Como ya se sabía cuanto más pese la aeronave mayor es la potencia necesaria para el vuelo axial ascendente. Además conforme aumenta la velocidad de ascenso más aumenta esta potencia necesaria.

Tabla 2.2.c –Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con la altura.

Altura h [m] ROC [m/s]

750 6.6

1500 4.8

3000 0.8

Tabla 2.2.d –Vuelo axial ascendente. Variación de la máxima velocidad de ascenso con el peso.

Peso W [N] ROC [m/s]

2400 10.4

2940 (MTOW) 6


42

2.3. VUELO AXIAL DESCENDENTE

En el vuelo axial descendente se tienen las mismas necesidades de potencia que en el caso ascendente.

Se deberá tener cuidado con la velocidad de descenso del helicóptero ya que podrá

estar en distintos regímenes de funcionamiento. Si la mencionada velocidad de descenso es moderada, la corriente en el rotor puede tener dos sentidos del flujo; hacia arriba y hacia abajo; esto provocará que el flujo tenga complejas recirculaciones y sea altamente turbulento. En cambio si la velocidad de descenso es elevada la estela del rotor se sitúa por encima del rotor y se tendrá un flujo perfectamente definido siendo aplicable en esta situación la teoría de cantidad de movimiento.

Los regímenes que se definen son el régimen de anillos de vórtices, estela turbulenta

y molinete frenante; es en este último donde ya el flujo tiene una dirección definida. En el gráfico 2.3.a se muestran los distintos casos en función de la velocidad de descenso que se tenga. Gráfica 2.3.a – Vuelo axial descendente. Distintos regímenes de funcionamiento a una altura de 1000 metros.

-5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

Vc/Vio

Vi/Vio

Funcionamiento normal

Anillos devórtices

Estelaturbulenta

Molinetefrenante

Se aplican las ecuaciones de la teoría de cantidad de movimiento en caso de estar en

funcionamiento normal o en molinete frenante. La única diferencia entre ambas situaciones es en un signo.

14

1

2

12

−

−−=

io

c

io

c

io

i

v

v

v

v

v

v Vuelo axial descendente


43

+

+−= 1

4

1

2

12

io

c

io

c

io

i

v

v

v

v

v

vκ Vuelo axial ascendente

Si por el contrario nos encontrásemos en el rango donde el tubo de corriente no está

bien definido se usarían aproximaciones empíricas. La mostrada en el gráfico corresponde a una aproximación polinómica de cuarto

orden recomendada en [LEI00].

432

655.0718.1372.1125.1

−

−

−

−=

io

c

io

c

io

c

io

c

io

i

v

v

v

v

v

v

v

v

v

vκ

En la región de anillos de vórtices y estela turbulenta existen otras aproximaciones,

lineales y por tanto más simples. Estos modelos más sencillos vienen recomendados igualmente en [LEI00].

io

c

io

i

v

v

v

v−= κ si 05.1 ≤≤−

io

c

v

v

+=

io

c

io

i

v

v

v

v37κ si 5.12 −≤≤−

io

c

v

v

La bondad de estas aproximaciones lineales frente a la de cuarto orden se muestra en

la siguiente imagen. Gráfica 2.3.b – Vuelo axial descendente. Distintas aproximaciones en los casos de estela turbulenta y anillos de vórtices a una altura de 1000 metros.

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 01

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Vc/Vio

Vi/Vio

Ajuste polinomio orden 4

Ajuste lineal

Ajuste lineal


44

Ya se ha comentado anteriormente que la descripción de las diferentes potencias es

la misma que en la situación de vuelo axial ascendente, no obstante se quiere recalcar el signo contrario de la potencia descensional. En el caso de querer ascender es una potencia consumida mientras que en el vuelo de descenso es una potencia aportada, el helicóptero tiene energía por el hecho de estar a una determinada altura, modificará energía potencial en energía cinética.

Se muestra a continuación en el gráfico 2.3.c las distintas aportaciones a la potencia

final requerida para la maniobra a una altura de 1000 metros. El rango de velocidades representado corresponde con el rango de velocidades en el régimen de molinete

frenante, lo que es lo mismo 20

−≤i

c

V

V.

Gráfica 2.3.c – Vuelo axial descendente. Potencia necesaria para descender desde una altura de 1000 metros.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10-150

-100

-50

0

50

100

150

Vc [m/s]

P[kW]

Potencia necesaria

Potencia forma rotor

potencia inducida rotor

potencia de descenso

Potencia del rotor antipar

En la figura 2.3.d se muestra la potencia adimensional requerida para los cuatro

regímenes explicados en el apartado.


45

Gráfica 2.3.d – Vuelo axial descendente. Potencia adimensional requerida para los distintos casos de vuelo axial a una altura de 1000 metros.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Vc/Vio

P/Pio


46

2.4. VUELO DE AVANCE

Durante el vuelo de avance del helicóptero, cuando el rotor está prácticamente en posición horizontal, los perfiles de las palas ven una componente de velocidad debido al avance y una componente de velocidad debido a la rotación de las palas. En esta condición de vuelo ya no existe la axilsimetría del vuelo axial.

Nuevamente en el gráfico 2.4.a se toma la hipótesis de considerar el helicóptero

como un punto situado en el centro del disco del rotor. En esta figura se distinguen las distintas fuerzas que actúan sobre el helicóptero y que habrá que considerar a la hora de hacer el equilibrio. Estas fuerzas son la tracción del rotor T que es aproximadamente perpendicular al plano de puntas de pala, la resistencia del rotor H que esta contenida en el plano de puntas, el peso de la aeronave W y por último, la resistencia de la aeronave que actúa en la misma dirección que la velocidad incidente.

Gráfica 2.4.a –Vuelo de avance. Equilibrio de fuerzas.

El equilibrio en la dirección de vuelo y en su perpendicular proporciona el siguiente sistema de ecuaciones:

0sin =−− fr DHT α

0sincos =−+ WHT rr αα

Se toman las hipótesis de ángulo de ataque del rotor pequeño 1pprα y además que

WTDH f ,pppp .


47

Las ecuaciones se simplifican pues de la siguiente manera:

0=− fr DTα

0=−WT

De la primera ecuación, y utilizando la segunda, se obtiene una estimación del ángulo de ataque que ve el rotor principal, se expresa como:

W

fVh

T

Dcf

r 2

)( 2⋅==

ρα

donde Vc ahora es la velocidad de avance de la aeronave.

Como se puede observar el ángulo de ataque del rotor depende de la altura y de la

velocidad de avance. Se muestra esta variación en la gráfica 2.4.b. Se aprecia cómo para una velocidad fija, a mayor altura menor ángulo de ataque, debido a que la densidad disminuye con la altura. Por otra parte el ángulo de ataque varía con el cuadrado de la velocidad, puntualización visiblemente clara en la gráfica. Gráfica 2.4.b – Vuelo de avance. Variación del ángulo de ataque con la altura y la velocidad.

0 50 100 1500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Vc [Km/h]

αr [grad]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Se observa también como a mayor velocidad de avance mayor es el ángulo de

ataque, esto es lógico ya que cuanto más se incline el plano del rotor más se inclina la tracción y mayor será su componente horizontal que es la que permite el movimiento de avance.


48

Siguiendo el planteamiento realizado en los apartados anteriores se calculan las

distintas aportaciones a la potencia necesaria para el vuelo de avance.

trfi PPPPP +++= 0

Se consideran en este caso la potencia inducida Pi, la potencia parásita del rotor P0,

la potencia parásita del fuselaje Pf y la potencia del rotor antipar Ptr. El cálculo de la potencia inducida se lleva a cabo utilizando la teoría de cantidad de

movimiento. Como ya se vio ésta tiene la siguiente expresión:

Lo primero que habrá que hacer será calcular λ de la ecuación:

02

tan22

=+

−−λµ

αµλ Tr

C

El parámetro µ es una velocidad adimensional, es el cociente entre la velocidad de

avance rcV αcos y la velocidad de punta de pala. Una vez se tenga λ se calcula iλ

como:

ri αµλλ tan−= .

La potencia parásita del rotor se calcula aplicando la teoría del elemento de pala. En

este caso se considera la no axilsimetría del movimiento al estar en vuelo de avance.

( ) ( )( )∫ ∫ +=π

ϕαϕµσ

π

2

0

1

0

3sin2

)(

2

10

dxdxCxx

C DP

Para simplificar los cálculos se supone un coeficiente de resistencia constante

particularizado en la sección x=0.7 así como una pala rectangular lo cual implica que la solidez es constante. Con todo esto la expresión final del coeficiente de resistencia parásita queda:

( )2031

80

0µ

σ+= D

P

CC

Con esta fórmula no se consideran dos efectos; ni la componente de la resistencia a

lo largo de la envergadura, ni la zona de flujo inverso en el lado de retroceso; por este motivo se realiza una corrección, de manera que los resultados experimentales concuerden con los teóricos. Se define el coeficiente corrector de potencia parásita del rotor en vuelo de avance µK cuyo valor aparece en la tabla 1.1.a.

( )201

80

0µ

σµK

CC

D

P +=

iTP CCi

λκ=


49

La potencia parásita del fuselaje aparece debido a la resistencia que el mismo

presenta. Se expresa como fDfcf CSVP

3

2

1ρ= y para evitar confusiones a la hora de

definir y tomar la superficie de referencia, se define el parámetro de área equivalente de placa plana o área equivalente mojada

fDfCSf = cuyo valor se encuentra en la tabla

1.4.a. Este parámetro contabiliza no sólo el fuselaje, tiene también en cuenta el buje y los patines de aterrizaje.

Adimensionalizando esta potencia se obtiene:

3

2

1µ

=A

fC

fP

Por último la potencia del rotor antipar se calcula de manera que contrarreste el par

del rotor principal. Imponiendo dicho equilibrio de momentos se obtiene una expresión para la tracción generada por el rotor antipar.

Gráfica 2.4.c – Vuelo de avance. Compensación del par del rotor principal.

Igualando los dos pares se llega a la expresión siguiente:

Ω

++== fi

trtrtr

PPPQLT

0

donde la distancia Ltr es la existente entre los ejes de rotación de ambos rotores que

está definida en la tabla 1.2.a. Las potencias de forma e inducida del rotor antipar se calculan entonces, de igual

forma a como se calcularon las correspondientes al rotor principal, pero considerando en este caso la tracción generada por el antipar y un ángulo de ataque del rotor nulo.

Sumando todas estas aportaciones se obtiene la potencia necesaria para realizar un

vuelo de avance.


50

Gráfica 2.4.d – Vuelo de avance. Potencia necesaria para realizar un vuelo de avance a 1000 metros.

0 50 100 1500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Vc [Km/h]

Potencia necesaria [KW]

h=1000 m

Potencia parásita del rotorPotencia inducida del rotor

Potencia del fuselaje

Potencia parásita del antipar

Potencia inducida del antipar

Potencia necesaria

En esta gráfica se observan las mismas tendencias comentadas para la gráfica 2.2.a

pero con las siguientes salvedades. La primera es que la potencia dominante en el rango de altas velocidades, ahora es la potencia consumida en vencer la resistencia del fuselaje, y la segunda puntualización es que la potencia parásita del rotor no es constante puesto que depende del parámetro de avance y aumentará con la velocidad de la aeronave.

Igual que en apartados anteriores, se realiza un análisis de sensibilidad de la

potencia requerida ante variaciones de peso y altura.


51

Gráfica 2.4.e – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de la potencia requerida ante variaciones de peso.

0 50 100 15015

20

25

30

35

40

45

Vc [Km/h]

P[kW]

h=1000 m

W=2400 NW=2535 N

W=2670 N

W=2805 N

W=2940 N

Potencia disponible

Gráfica 2.4.f – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de la potencia requerida ante variaciones de altura.

0 50 100 15015

20

25

30

35

40

45

50

Vc [Km/h]

P[kW]

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m


52

En el gráfico 2.4.e se ha mostrado cómo, a mayor peso del helicóptero, mayor

potencia se necesita para realizar un vuelo de avance. En la variación con la altura se debe indicar que existe una velocidad de transición a

partir de la cual se cambia la tendencia, a mayor altura se necesita menos potencia para conseguir el vuelo de avance, esto ocurre para altas velocidades de avance.

Sería muy interesante definir la eficiencia de la aeronave completa o la de su rotor,

con el fin de poder comparar distintas aeronaves. Para el rotor se define:

Sustentación rTL αcos=

Resistencia c

i

V

PPD 0+

=

Sin embargo para el helicóptero completo se tiene:

Sustentación rTL αcos=

Resistencia c

trfi

V

PPPPD

+++= 0

Considerando la eficiencia E como la relación entre la sustentación obtenida y la resistencia vencida, se procede a su representación, tanto para el helicóptero como para el rotor. A la misma vez se muestra la variación de la eficiencia con la altura, observando como para el rotor no es muy decisiva, sí en cambio para el helicóptero completo, donde habrá más diferencias con las mayores velocidades


53

Gráfica 2.4.g – Vuelo de avance. Eficiencia del helicóptero completo.

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Vc [Km/h]

EEficiencia del helicóptero

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Gráfica 2.4.h – Vuelo de avance. Eficiencia del rotor del helicóptero.

0 50 100 1500

2

4

6

8

10

12

Vc [Km/h]

E

Eficiencia del rotor principal

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m


54

En base a la forma de la curva de potencia necesaria existen determinadas

velocidades de vuelo de avance que caracterizan las actuaciones del vuelo horizontal. En concreto:

• Máxima velocidad para potencia dada • Velocidad para mínima potencia • Velocidad para máximo alcance • Velocidad para máxima autonomía

Se muestran estas velocidades de optimización en el gráfico 2.4.i. La velocidad que proporciona la mínima potencia también corresponde con la

velocidad que genera la máxima autonomía. Gráfica 2.4.i – Vuelo de avance. Velocidades de optimización para vuelo de avance a 1000 metros.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18015

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Vc [Km/h]


h=1000 m

Potencia necesaria

Potencia disponible

Máxima autonomía

Máximo alcance

Máx. velocidad para potencia dada

La condición de máxima autonomía se obtiene de encontrar un mínimo en la representación de la potencia necesaria, esto se consigue igualando a cero la derivada de la potencia necesaria respecto al parámetro de avance.

Para obtener el máximo alcance se maximiza el parámetro rcV

P

αcos.


55

Por último, para obtener la máxima velocidad para potencia dada, lo único que hay

que hacer es calcular la velocidad a la cual la potencia necesaria y la disponible se igualan.

Las velocidades de optimización también se verán sometidas a un análisis de sensibilidad mostrándose a continuación los resultados. Gráfica 2.4.j – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350060

70

80

90

100

110

120

130

140

150

altura m

Vmax autonomía Km/h

Vmax alcance Km/hVmax potencia Km/h


56

Gráfica 2.4.k – Vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 300060

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Peso


Vmax alcance Km/hVmax potencia Km/h

Para ver la tendencia mostrada en las gráficas anteriores numéricamente se completa

con las siguientes tablas.

Tabla 2.4.a –Vuelo de avance. Variación de las velocidades de optimización con la altura.

Altura h [m] Velocidad de máxima autonomía

[Km/h]

Velocidad de máximo alcance

[Km/h]

Velocidad de máxima potencia

[Km/h] 1000 64.33 94.92 143.13

2000 67.66 98.52 141.63

3000 71.26 102.5 139.66


57

Tabla 2.4.b –Vuelo de avance. Variación de las velocidades de optimización con el peso.

Peso W [N] Velocidad de máxima autonomía

[Km/h]


[Km/h]

Velocidad de máxima potencia

[Km/h] 2500 67.36 98.19 141.77

2600 68.72 99.68 141.09

2700 70.06 101.15 140.37


58

2.5. VUELO DE AVANCE ASCENSIONAL

En este caso el helicóptero sigue un vuelo en avance pero además gana altura.

Debido a la componente de velocidad de avance y a la de rotación de la pala, en esta situación tampoco se tendrá axilsimetría.

La figura 2.5.a se diferencia de la 2.4.a, correspondiente al caso de vuelo de avance

simple, en la definición del ángulo de ascenso de la trayectoria γ . Las fuerzas que actúan son las mismas que en el caso de avance y el desarrollo será muy similar.

Gráfica 2.5.a –Vuelo de avance ascensional. Equilibrio de fuerzas.

El sistema de ecuaciones que resulta de imponer el equilibrio en las direcciones

horizontal y vertical es:

0cos)cos()sin( =−−−− γγαγα frr DHT

0sin)sin()cos( =−−−+− γγαγα frr DWHT

Asumiendo ángulos pequeños y que WTDH f ,pppp las ecuaciones se

simplifican:

0

0)(

=−

=−−

WT

DT fr γα


59

Como en el apartado anterior, a partir de la primera ecuación se obtiene el ángulo de

ataque del rotor. Este ángulo de ataque depende de tres factores: el peso de la aeronave, la resistencia del fuselaje del mismo y el ángulo de ascenso de la trayectoria. A su vez la resistencia del fuselaje depende de la altura y la velocidad de avance, tal y como se ha visto ya. En la gráfica 2.5.b se muestran estas dos dependencias.

Como se puede apreciar en la gráfica 2.5.b, para velocidades altas se conseguiría un

ángulo de ataque elevado.

Gráfica 2.5.b –Vuelo de avance ascensional. Ángulo de ataque del rotor en función de la velocidad y altura para una subida de 1º.

0 50 100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

60

70

Vc [Km/h]

αr [grad]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

En función del ángulo de ascenso que se desee alcanzar la potencia necesaria será

mayor o menor. Los términos que participan en la potencia requerida son los mismos que en caso de

vuelo de avance, salvo que en este caso se añade la potencia de ascenso.

trfics PPPPPP ++++= 0

La potencia de ascenso la expresamos como:

γsin∞== WVWVP cc

donde ∞V es la velocidad incidente tal y como se muestra en el gráfico 2.5.a.


60

A mayor ángulo de ascenso de la trayectoria mayor será la potencia de ascenso y por

lo tanto la potencia que le exigimos al motor. Esta idea se muestra en el gráfico 2.5.c.

Gráfica 2.5.c – Vuelo de avance ascensional. Potencia necesaria para distintos ángulos de ascenso.

0 50 100 15015

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Vc Km/h

Potencia necesaria KW

h=1000 m

γ = 0 grados

γ = 3 grados

γ = 6 grados

γ = 9 gradosPotencia Disponible

Para un determinado ángulo de ascenso, en este caso de 1º para considerar una

subida poco pronunciada, la contribución de las distintas potencias en función de la velocidad de avance es la que se muestra en el gráfico 2.5.d.

Una ascenso de 1º implica, que si el helicóptero lleva una velocidad de avance de

113 Km/h, velocidad de crucero del helicóptero Skylark, al cabo de una hora el ascenso realizado es de 1972 metros. Como se ha comentado anteriormente es una subida muy suave.


61

Gráfica 2.5.d – Vuelo de avance ascensional. Contribución de las distintas potencias para ascenso de 1º.

0 50 100 1500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Vc [Km/h]


h=1000 m

Potencia parásita del rotor

Potencia inducida del rotor


Potencia de ascensoPotencia parásita del antipar


Potencia necesaria

La aportación de las potencias es la misma que en el gráfico 2.4.d correspondiente al

vuelo de avance pero añadiendo, en este caso, la potencia ascensional. El análisis de sensibilidad de la potencia necesaria ante variaciones de peso y altura

proporciona los siguientes resultados. Gráfica 2.5.e – Vuelo de avance ascensional. Análisis de sensibilidad ante variación del peso para ascenso de 1º.

0 50 100 15015

20

25

30

35

40

45

50

Vc [Km/h]

P[kW]

h=1000 m

2400 2600 2800 3000140

140.5

141

141.5

142

142.5

143

Peso

Vmax potencia Km/h

W=2400 N

W=2535 N

W=2670 N

W=2805 N

W=2940 N

P.disponible


62

Gráfica 2.5.f– Vuelo de avance ascensional. Análisis de sensibilidad ante variación de la altura para ascenso de 1º.

0 50 100 15015

20

25

30

35

40

45

50

55

Vc [Km/h]

P[kW]

2400 2600 2800 3000135

136

137

138

139

140

141

142

Altura

Vmax potencia Km/h

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Cuanto mayor sea el helicóptero y más pese, mayor potencia se requerirá para hacer un vuelo ascensional en avance y menor será la máxima velocidad que podrá desarrollar la aeronave.

En cuanto a la variación con la altura se observan dos comportamientos distintos,

separados a partir de una velocidad de avance crítica. Por debajo de esta velocidad, a mayor altura se necesita mayor potencia; sin embargo, a velocidades superiores a la crítica, a mayor altura se requiere menor potencia. En cuanto a la máxima velocidad desarrollada por la aeronave, ésta disminuye con el aumento de altura.

Se calculan las velocidades de optimización, explicadas en el apartado anterior, del

problema original (h=1000m y γ =1º). Los resultados obtenidos son los que se muestran en las siguientes gráficas.


63

Gráfica 2.5.g– Vuelo de avance ascensional. Velocidades de optimización para ángulo de ascenso de 1º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18015

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Vc [Km/h]


h=1000 m

Potencia necesaria

Potencia disponible

Máxima autonomía

Máximo alcance


La evolución de estas velocidades de optimización con la altura y el peso es la

misma que en el caso del vuelo de avance. Se representarán las velocidades de optimización en vuelo de avance ascendente junto con las de vuelo de avance para ver las diferencias. Gráfica 2.5.h– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350058

60

62

64

66

68

70

72

74

altura m


Subida

Horizontal


64

Gráfica 2.5.i– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350090

95

100

105

altura m

Vmax alcance Km/h

Subida

Horizontal

Gráfica 2.5.j– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500134

136

138

140

142

144

146

altura m

Vmax potencia Km/h

Subida

Horizontal


65

Gráfica 2.5.k– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 300064

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

Peso


Subida

Horizontal

Gráfica 2.5.l– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 300096

97

98

99

100

101

102

103

104

105

Peso

Vmax alcance Km/h

Subida

Horizontal


66

Gráfica 2.5.m– Vuelo de avance ascensional y vuelo de avance. Análisis de sensibilidad de las velocidades de optimización ante el peso.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

Peso

Vmax potencia Km/h

Subida

Horizontal

En las gráficas anteriores se ve como las velocidades de optimización son menores

en el caso de vuelo de avance en ascenso, con la peculiaridad de que la velocidad de máximo alcance apenas se ve afectada.

Una de las cuestiones más interesantes es el cálculo de la máxima velocidad de

ascenso (ROC). Para este cálculo se supone que la potencia parásita del rotor, la potencia del fuselaje

y la potencia del antipar tienen el mismo valor que en vuelo horizontal. Esta hipótesis es muy razonable puesto que se está trabajando con ángulos pequeños.

Las ecuaciones de partida son pues:

htrhfhhihhorizontal

htrhfhicSSubida

PPPPPP

PPPPPPP

,,,0,

,,,0

+++==

++++==

Se despejan las tres potencias aproximadas de la primera ecuación y se sustituyen en

la segunda ecuación quedando la expresión:

iCShiicShih PWVPPPPPPP −−+=−−+= ,,

W

PPPPV

hiShi

C

−−+= ,


67

PS corresponde con la máxima potencia que proporciona el motor para realizar la

subida. Esta ecuación se resuelve de forma iterativa, aunque hay una simplificación que da

muy buenos resultados cuando se trabaja a altas velocidades. La simplificación consiste en suponer la potencia inducida en vuelo de avance ascendente la misma que la potencia inducida en vuelo de avance horizontal.

Comparando los dos métodos, el iterativo y el simplificado, se ve la bondad de la

aproximación en el rango de velocidades explicado. Ya se vio que para bajas velocidades la potencia dominante era la inducida del rotor y la hipótesis realizada afecta a este término influyente dando lugar a resultados poco exactos y precisos.

Gráfica 2.5.n– Vuelo de avance ascensional. Máxima velocidad de ascenso para una subida de 1º.

0 50 100 150-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Vc Km/h

ROC m/s

h=1000 m

Estimación

Iterativo

La variación de esta velocidad máxima con el peso y la altura es la siguiente.


68

Gráfica 2.5.o– Vuelo de avance ascensional. Variación de la máxima velocidad de ascenso ante la altura para un ascenso de 1º.

0 50 100 150-2

0

2

4

6

8

10

12

Vc Km/h

ROC m/s

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Gráfica 2.5.p– Vuelo de avance ascensional. Variación de la máxima velocidad de ascenso, ante el peso, para un ascenso de 1º.

0 50 100 150-2

0

2

4

6

8

10

12

Vc Km/h

ROC m/s

h=1000 m

W=2400 N

W=2535 N

W=2670 NW=2805 N

W=2940 N


69

De estas gráficas se saca la conclusión de que cuanto más alto se esté y cuanto más

pesada sea la aeronave menor será la velocidad de ascenso que se disponga.


70

2.6. VUELO DE AVANCE DESCENSIONAL

Una vez se ha estudiado el vuelo de avance y el vuelo de avance ascensional queda por analizar el vuelo de avance descensional. Es una actuación análoga a la vista en la sección anterior, cambiarán los ángulos a considerar.

Las fuerzas que actúan en el helicóptero se muestran en el gráfico 2.6.a el cual

cumple las mismas hipótesis que en los apartados anteriores.

Gráfica 2.6.a –Vuelo de avance descensional. Equilibrio de fuerzas.

En el vuelo de avance descensional el equilibrio de fuerzas en el plano horizontal y

vertical origina el sistema de ecuaciones siguiente:

0sin)sin()cos(

0cos)cos()sin(

=−−+++

=−+−+

dfdrdr

dfdrdr

DWHT

DHT

γγαγα

γγαγα

Aplicando la hipótesis de ángulos pequeños y que WTDH f ,pppp las ecuaciones

se quedan de la forma:

0

0)(

=−

=−+

WT

DT fdr γα

Se representa seguidamente el ángulo de ataque del rotor en función de la velocidad

de avance y la altura para un ángulo de descenso de la trayectoria dγ de 1º.


71

Gráfica 2.6.b – Vuelo de avance descensional. Ángulo de ataque del rotor en función de la velocidad y altura para un descenso de 1º.

0 50 100 150 200 250 300-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Vc [Km/h]

αr [grad]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Lo siguiente será definir la potencia necesaria para tener vuelo de descenso. Los consumos de potencia serán los mismos que en el caso de avance con ascenso, la diferencia está en que anteriormente consideraba la potencia ascensional y ahora se trabaja con la potencia descensional que tiene signo contrario.

trficg PPPPPP ++++= 0

La potencia descensional Pc se define como dcc senWVWVP γ∞−==

En el gráfico 2.6.c se muestra la potencia necesaria para distintos valores del ángulo

de descenso de la trayectoria, entre ellos el que proporciona la condición de autorrotación. La condición de autorrotación se da cuando la potencia necesaria es nula. Para un peso dado de la aeronave y una altura, existe un ángulo de descenso de la trayectoria en el que no se requerirá potencia del motor. El conocimiento de este ángulo es de extrema importancia en situaciones de fallo del motor para poder realizar un vuelo de descenso sin consecuencias catastróficas. La actuación de autorrotación se verá con detalle en el apartado 2.7. Concluir haciendo notar que cuanto mayor es el ángulo de descenso de la trayectoria menor es la potencia requerida, es lógico puesto que es la fuerza de la gravedad la que realiza el trabajo, no se necesitarán muchos requerimientos del motor.


72

Gráfica 2.6.c – Vuelo de avance descensional. Potencia necesaria para distintos ángulos de descenso.

0 50 100 150-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Vc Km/h


h=1000 m

Situación de autorrotación: γ=-17.1 grados

γ = 0 grados

γ = -3 grados

γ = -6 grados

γ = -9 gradosPotencia Disponible

Autorrotación

Se representan ahora las distintas contribuciones a la potencia necesaria para realizar

un vuelo de avance en descenso a 1000 metros de altura y descendiendo 1º la trayectoria. Gráfica 2.6.d – Vuelo de avance descensional. Contribución de las distintas potencias para descenso de 1º.

0 50 100 150-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Vc [Km/h]


h=1000 m

Potencia parásita del rotor

Potencia inducida del rotor


Potencia de descenso

Potencia parásita del antipar


Potencia necesaria


73

La diferencia de esta gráfica respecto a la 2.5.d. es que la potencia descensional tiene signo negativo por lo que la potencia necesaria para desarrollar esta maniobra será menor que para el vuelo en avance ascensional.

El análisis de sensibilidad de la potencia, ante los parámetros de peso y altura, da los

siguientes resultados. Gráfica 2.6.e – Vuelo de avance descensional. Análisis de sensibilidad ante variación del peso para descenso de 1º.

0 50 100 150 20010

20

30

40

50

60

70

80

Vc [Km/h]

P[kW]

h=1000 m

2400 2600 2800 3000146

146.2

146.4

146.6

146.8

147

147.2

147.4

147.6

147.8

148

Peso

Vmax potencia Km/h

W=2400 NW=2535 N

W=2670 N

W=2805 N

W=2940 NPotencia disponible

Gráfica 2.6.f – Vuelo de avance descensional. Análisis de sensibilidad ante variación de la altura para descenso de 1º.

0 50 100 150 20010

20

30

40

50

60

70

80

90

Vc [Km/h]

P[kW]

0 1000 2000 3000143.5

144

144.5

145

145.5

146

146.5

147

147.5

Altura

Vmax potencia Km/h

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m


74

La interpretación que se puede hacer de estos resultados es análoga a la realizada en

el caso de vuelo de avance ascendente. Las velocidades de optimización se muestran en la gráfica 2.6.g.

Gráfica 2.6.g – Vuelo de avance descensional. Velocidades de optimización para ángulo de descenso de 1º.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010

20

30

40

50

60

70

80

Vc [Km/h]


h=1000 m

Potencia necesaria

Potencia disponible

Máxima autonomía

Máximo alcance


La evolución de estas velocidades óptimas se muestra en esta colección de gráficas.

A la vez, y para poder comparar, se representan las velocidades de optimización en el caso de vuelo horizontal y de vuelo de avance con un ascenso de 1º.


75

Gráfica 2.6.h– Comparación de las velocidades de optimización en vuelo horizontal, ascendente y descendente, ante variaciones en la altura.

0 2000 400058

60

62

64

66

68

70

72

74

76

altura m


Descenso

Horizontal

Ascenso

0 2000 400090

95

100

105

altura m

Vmax alcance Km/h

Descenso

Horizontal

Ascenso

0 2000 4000134

136

138

140

142

144

146

148

altura m

Vmax potencia Km/h

Descenso

HorizontalAscenso

Gráfica 2.6.i– Comparación de las velocidades de optimización en vuelo horizontal, ascendente y descendente, ante variaciones en el peso.

2000 2500 300064

66

68

70

72

74

76

Peso


Descenso

Horizontal

Ascenso

2000 2500 300096

97

98

99

100

101

102

103

104

105

Peso

Vmax alcance Km/h

Descenso

HorizontalAscenso

2000 2500 3000134

136

138

140

142

144

146

Peso

Vmax potencia Km/h

Descenso

HorizontalAscenso


76

Las velocidades de optimización tienen la misma tendencia, siendo de mayor valor

en el caso de descenso, seguidas del caso horizontal, y las de menor valor son las velocidades en la situación de subida. Nuevamente se comprueba como para la velocidad de máximo alcance apenas le influye el ángulo de trayectoria de la aeronave.

Esta última conclusión se aprecia en el siguiente gráfico, donde se calcula la

velocidad de máximo alcance para distintos ángulos de trayectoria, a una altura de 1000 metros. Se aprecia la escasa influencia del ángulo ya que la velocidad apenas se modifica.

Gráfica 2.6.j– Variación de la velocidad de máximo alcance con el ángulo de trayectoria.

90 92 94 96 98 100

19

20

21

22

23

24

25

Vc Km/h


h=1000 m

γ=-10º

γ=-5º

γ=0º

γ=5º

γ=10º


77

2.7. AUTORROTACIÓN

La maniobra de autorrotación es un fenómeno peculiar de los aerodinos de alas

rotatorias, asegura a estos aparatos la capacidad de aterrizar con seguridad en caso de fallo del motor.

Durante el vuelo normal, el rotor de un helicóptero gira gracias al motor. Cuando el

motor falla, o es deliberadamente desenganchado, otras fuerzas deben ser usadas para mantener las revoluciones del rotor y así lograr un aterrizaje sin problemas.

El flujo de aire durante el descenso del helicóptero provee la energía para vencer la

resistencia de la pala y girar el rotor. Cuando el helicóptero está descendiendo de esta forma, se dice que está en autorrotación. En efecto, el piloto entrega altitud, en un rango controlado, a cambio de mantener las revoluciones del rotor. Al comenzar el descenso, la energía potencial se transforma en energía cinética, almacenada en el giro del rotor. El piloto utiliza esa energía cinética para amortiguar el aterrizaje cuando está cerca del suelo.

En este apartado se comenzará obteniendo el diagrama de autorrotación de la

aeronave, a continuación se desarrollará y analizará la autorrotación axial del helicóptero, y por último se estudiará la autorrotación en avance que es un poco más compleja que la primera pero más utilizada en la práctica. La autorrotación axial se resolverá por dos caminos, el modelo mostrado en [LEI00] y con la teoría del elemento de pala, estudiando las ventajas y los inconvenientes de cada uno.

La autorrotación axial ideal está caracterizada, por tanto, porque la potencia es nula.

0=+=io

i

io

c

io V

V

V

V

P

P

En el caso de considerar autorrotación real, la expresión es la siguiente:

00 =++=ioio

i

io

c

io P

P

V

V

V

V

P

P.

En esta situación la energía potencial de descenso también vence la potencia de

forma del rotor. El que este balance de potencias sea nulo implica que habrá zonas de la pala productoras de potencia y zonas consumidoras de potencia. En el gráfico 2.7.a se muestran estas zonas del rotor. La región roja se denomina zona autorrotativa y es la generadora de potencia, en ella existen ángulos de ataque grandes y la sustentación se orienta en la misma dirección que la velocidad de rotación, por este motivo generará potencia. Al sector verde se le denomina región de resistencia y es donde se consume la potencia generada anteriormente. Aquí, por el contrario, los ángulos de ataque son pequeños y la sustentación se orienta en la dirección opuesta a la velocidad de rotación, por lo que la región consumirá potencia.


78

Gráfica 2.7.a– Autorrotación. Zonas consumidoras y productoras de potencia en el rotor.

Existirá una sección en el rotor que ni consume ni genera potencia, esta es la sección característica en autorrotación. En esta sección la resultante de las fuerzas tangenciales es nula, debido a la configuración aerodinámica local. En la imagen 2.7.b, la sección A corresponde con la característica en autorrotación, la B con una sección generadora de potencia y la C con una consumidora. Gráfica 2.7.b– Autorrotación. Secciones de pala en la autorrotación.

En la sección característica en autorrotación se cumple entonces que:

0=−= dDdLdF aT φ


79

De esta relación de fuerzas se obtiene la conclusión de que L

Da

C

C

dL

dD==φ .

Por tanto el paso colectivo a poner para conseguir la autorrotación vendrá dado por:

aaa φθα +=

Seguidamente se calcula el diagrama de autorrotación de la aeronave. En esta

representación dadas las características aerodinámicas de los perfiles del rotor, se representa la relación Cd/Cl en función del ángulo de ataque.

Gráfica 2.7.c– Autorrotación. Diagrama de autorrotación.

0 5 10 15 20 25 300.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

α grados

Cd/Cl

La segunda cuestión a analizar es la autorrotación axial de la aeronave. Si se supone

que el helicóptero está en régimen de estela turbulenta, donde se dan la mayoría de los casos de autorrotación, la velocidad inducida según [LEI00] se puede expresar de la siguiente manera.

+=

io

c

io

i

v

v

v

v37κ

De esta forma, y sustituyendo en la ecuación de la autorrotación axial real, se

obtiene la ecuación:

κ

κ

κκ

31

1

31

7

+

−−

+−= FM

V

V

io

c .


80

En la ecuación anterior, [LEI00] considera que la figura de mérito es constante y

tiene un valor igual al que tenía en vuelo a punto fijo. Para comprobar lo realista que es esta hipótesis se compararán más adelante los resultados que proporciona Leishman frente a los que se pueden obtener aplicando la teoría del elemento de pala.

Se representa, a continuación, la velocidad de autorrotación adimensionalizada con

la velocidad inducida en vuelo a punto fijo frente a la figura de mérito. El valor de la figura de mérito depende de la altura, se toma un rango de hasta 4000 metros. Gráfica 2.7.d– Autorrotación. Velocidad de autorrotación adimensionalizada en función de la figura de mérito.

0.68 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76-1.88

-1.875

-1.87

-1.865

-1.86

-1.855

-1.85

-1.845

FM

Vc/Vio

Se representa ahora la misma grafica pero mostrando la velocidad de descenso sin

adimensionalizar y la altura. Será más sencillo en este caso recordar los órdenes de magnitud y hacerse una idea física del proceso.


81

Gráfica 2.7.e– Autorrotación. Velocidad de autorrotación en función de la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-15.5

-15

-14.5

-14

-13.5

-13

-12.5

altura [m]

Vc [m/s]

Se resuelve ahora la autorrotación axial por la teoría del elemento de pala y así se podrán comparar los resultados de la TEP con los proporcionados por Leishman.

La formulación se muestra a continuación:

( ) ( ) 0012

2 =−+−− δαδθαδαα aaLaL CC Sección aerodinámica característica en

autorrotación.

( ) 08

)(

6

)(=++ aDaL

ic

CC ασασκλλ Balance de potencias nulo.

0312

)(7 =

+− c

aLi

Cλ

ασλ Velocidad inducida en descenso.

)(

61

aLCA

W

R ασρ=Ω Equilibrio de fuerzas en la dirección vertical

cc RV λΩ= Velocidad de autorrotación

Para llegar a este sistema de ecuaciones se han tomado las hipótesis de despreciar

las potencias asociadas a la resistencia del fuselaje y al rotor antipar y considerar como sección aerodinámica característica x=0.7.


82

De la relación de ángulos se obtiene el ángulo de ataque en la sección característica,

posteriormente con las ecuaciones de balance de potencia y la velocidad inducida de descenso se calcularán cλ y iλ ; por último, del equilibrio de fuerzas en la dirección

vertical se tiene la velocidad de autorrotación del rotor. Se comparan en el siguiente gráfico las dos teorías vistas. Es una manera de ver lo

buena que es la hipótesis de fijar la figura de mérito en el texto de Leishman.

Gráfica 2.7.f– Autorrotación. Comparación de resultados de Leishman con la TEP.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-17.5

-17

-16.5

-16

-15.5

-15

-14.5

-14

-13.5

-13

-12.5

altura [m]

Velocidad de descenso en autorrotación m/s

Leishman

TEP θa=0º

Se ha supuesto, para la resolución mediante la teoría del elemento de pala, un ángulo

de paso colectivo de 0º, este parámetro ni siquiera se tiene en cuenta en la formulación de Leishman por lo que no se considerará importante a la hora de realizar esta comparación. Como se puede apreciar las tendencias seguidas por las dos curvas son idénticas siendo la de la TEP más conservadora y dando valores superiores. Se observa como cuanto mayor es la altura mayor es la diferencia entre ambas gráficas, por lo tanto mayor es el error que se comete con los cálculos de Leishman, siendo estos de todas formas despreciables. La formulación de Leishman es muy simple y fácil de aplicar pero no considera muchos parámetros claves para la maniobra por lo que será preferible analizar los datos con la teoría del elemento de pala al ser ésta mucho más precisa.

Se calculan, para distintos valores del ángulo de paso colectivo, la velocidad de

descenso, el ángulo de ataque del rotor en autorrotación y la velocidad de autorrotación del rotor con la TEP. El ángulo de paso colectivo es el control que tiene el piloto para hacer la maniobra de manera adecuada.


83

Gráfica 2.7.g– Autorrotación. Ángulo de paso colectivo frente a la velocidad de descenso.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-14.8

-14.6

-14.4

-14.2

-14

-13.8

-13.6

-13.4

-13.2

-13

-12.8

θa grados


Gráfica 2.7.h– Autorrotación. Ángulo de paso colectivo frente al ángulo de ataque de la sección de autorrotación.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

3

4

5

6

7

8

9

10

11

θa grados

α grados


84

Gráfica 2.7.i– Autorrotación. Ángulo de paso colectivo frente a la velocidad de autorrotación del rotor.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1040

50

60

70

80

90

100

θa grados

Ω

En las gráficas anteriores se observa como poniendo un ángulo de paso colectivo elevado la velocidad de descenso es menor, pero se ha de tener mucho cuidado ya que el ángulo de ataque de la sección de autorrotación aumenta y la velocidad de rotación de las palas disminuye, disminuyéndose entonces la tracción generada.

El segundo punto a desarrollar en el apartado de autorrotación corresponde con la

autorrotación en avance, la cual se desarrolla con el mismo modelo de elemento de pala visto en el caso axial.

Lo interesante de la autorrotación en avance es que con pequeñas velocidades de

vuelo la potencia requerida por el rotor es considerablemente menor que en el caso axial, por lo que la velocidad de descenso se puede ver reducida en algunos casos hasta en la mitad.

La maniobra de autorrotación necesitará mucha habilidad del piloto y la manera

adecuada de llevarla a cabo es aumentando progresivamente el ángulo de paso colectivo de tal forma que el helicóptero llegue al suelo con la mínima velocidad de avance y de descenso. Para obtener un aterrizaje normal en autorrotación el piloto debe reducir la velocidad y el ángulo de descenso, antes del toque con el suelo aún más. Estas dos acciones son realizadas con el control cíclico, hacia atrás, que cambia la posición del disco del rotor con respecto al viento relativo. El cambio de actitud, inclina la fuerza aerodinámica hacia atrás y se reduce la velocidad de avance. Se incrementa el ángulo de ataque de las palas, debido al cambio de la dirección del flujo de aire. Como resultado, la sustentación es incrementada y el rango de descenso es reducido.


85

Las fuerzas que componen la autorrotación con velocidad de avance son las mismas

que en la autorrotación vertical. Sin embargo, debido a que la velocidad cambia el flujo de aire a través del disco del rotor, la región autorrotativa y la región de pérdida se mueven hacia el lado de la pala que retrocede, donde el ángulo de ataque es más grande.

Gráfica 2.7.j– Autorrotación. Zonas consumidoras y productoras de potencia en situación de avance.

Debido al bajo ángulo de ataque de la pala que avanza, la mayor parte de la zona de

resistencia se encuentra sobre este sector. En la pala que retrocede se ubica la mayor parte de la zona de pérdida y la zona de resistencia se encuentra reducida.

El sistema de ecuaciones que se considera en la resolución tiene como hipótesis que

se desprecia la potencia asociada al rotor de cola. Estas ecuaciones se muestran a continuación.

( ) ( ) 0012

2 =−+−− δαδθαδαα aaLaL CC Sección aerodinámica característica en

autorrotación.

( ) ( ) 02

11

8

)(

2

31

6

)( 322 =+++

++ µµασ

µασ

κλλ µA

fK

CC aDaL

ic Balance de potencias

02

tan22

=+

−−λµ

αµλ Tr

C Velocidad inducida en descenso

2

2

31

1

)(

61

µασρ +=Ω

aLCA

W

R Equilibrio de fuerzas en la dirección vertical

cc RV λΩ= Velocidad de autorrotación


86

En el diagrama de descenso se representa la velocidad de descenso en autorrotación

frente a la velocidad de avance del helicóptero. En el gráfico 2.7.k se muestra este diagrama para una altura de 1000 metros y para un ángulo de paso colectivo aproximadamente nulo. Gráfica 2.7.k– Autorrotación. Diagrama de descenso.

5 10 15 20 25 30-11.5

-11

-10.5

-10

-9.5

-9

-8.5

-8

-7.5

Velocidad de avance en m/s

Velocidad de descenso m/s

Diagrama de descenso

Velocidad vertical mínima

Máximo alcance

Velocidad módulo mínima

Se puede llevar a cabo un proceso de optimización de las velocidades de avance tal

y como se ha hecho en los apartados anteriores. Marcado en el gráfico con un cuadrado se muestra el descenso en autorrotación con velocidad en módulo mínima. Con un círculo se ha señalado el descenso en autorrotación con velocidad vertical mínima y marcado con un asterisco se muestra el descenso en autorrotación con máximo alcance y por tanto con mínimo ángulo de planeo.

En el gráfico 2.7.l se estudia la evolución de las tres velocidades de descenso

explicadas ante variaciones en la altura de la aeronave. Razonablemente, cuanto mayor sea la altitud de vuelo mayor es la velocidad de descenso. En el gráfico 2.7.m se muestra la evolución con el peso de las velocidades de descenso a una altura de 1000 metros, la tendencia es que cuanto más pesado sea el helicóptero mayores velocidades de descenso se alcanzarán.


87

Gráfica 2.7.l– Autorrotación. Análisis de sensibilidad de las velocidades de descenso ante variaciones de la altura.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-11.5

-11

-10.5

-10

-9.5

-9

-8.5

-8

-7.5

-7

Altura [m]


V. de descenso de máximo alcanceV. de descenso de módulo mínimo

Gráfica 2.7.m– Autorrotación. Análisis de sensibilidad de las velocidades de descenso ante variaciones del peso.

2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000-10

-9.5

-9

-8.5

-8

-7.5

-7

-6.5

Peso [N]


V. de descenso de máximo alcanceV. de descenso de módulo mínimo


88

En las tablas 2.7.a y 2.7.b se muestran valores numéricos de las velocidades de

descenso representadas en las dos imágenes anteriores. Tabla 2.7.a –Autorrotación. Variación de las velocidades de descenso con la altura.

Altura h Velocidad en módulo mínima

[m/s]

Velocidad vertical mínima [m/s]


[m/s] 1000 -10 -7.7 -8.9

2000 -10.5 -8.1 -9.3

3000 -11.3 -8.5 -9.7

Tabla 2.7.b –Autorrotación. Variación de las velocidades de descenso con el peso.

Peso W [N] Velocidad en módulo mínima

[m/s]

Velocidad vertical mínima [m/s]


[m/s] 2400 -8.4 -6.9 -8.3

2940 -10 -7.7 -8.9

La conclusión más importante a la que se debe llegar en este apartado se muestra en

el gráfico 2.7.n, en el se ve la reducción de la velocidad de descenso en autorrotación debido a la velocidad de avance estando a una altura de 1000 metros. La velocidad de avance de 60 Km/h corresponde con la velocidad vertical mínima.


89

Gráfica 2.7.n– Autorrotación. Disminución de la velocidad de descenso con la velocidad de avance.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-19

-18

-17

-16

-15

-14

-13

-12

-11

altura [m]


Avance a 20 Km/h

Avance a 40 Km/h

Avance a 60 Km/h

Autorrotación axial


90

2.8. ENVOLVENTE DE VUELO

La envolvente de vuelo es una representación que muestra la capacidad de una aeronave a llevar una determinada velocidad a una altura.

En esta representación se considera la mayor altura a la que puede subir el

helicóptero la que iguala la potencia necesaria con la potencia disponible en el motor. En la realidad este no tiene porqué ser el límite de máxima altura, puede que el límite esté impuesto antes debido a que se entra en pérdida, limitaciones estructurales o limitaciones de la máxima temperatura soportada por los motores.

En el gráfico también se contempla la influencia del ángulo de ascenso. En este caso

sin restricciones, la envolvente aumenta conforme se disminuye el ángulo. Gráfica 2.8.a– Envolvente de vuelo.

0 20 40 60 80 100 1204000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

Velocidad Km/h

Techo m

Flight Envelope

γ=1º

γ=2º

γ=3º

γ=4º

γ=5º

γ=6º


91

3. Estabilidad En la presente sección se realizará un modelo para analizar la estabilidad

longitudinal del helicóptero Horus. Previamente se llevará a cabo el equilibrado longitudinal de la aeronave cuyos resultados serán los datos para los estudios de estabilidad. El esquema de trabajo será el siguiente.

Gráfica 3.a– Esquema de trabajo.

Resaltar que para poder estudiar los modos longitudinales, únicamente es necesario

hacer la hipótesis de que los modos longitudinales y laterales-direccionales del helicóptero están desacoplados. El uso de este análisis desacoplado está muy extendido en aeronaves de ala fija, sin embargo, en aeronaves de ala giratoria no siempre genera buenos resultados y habrá que ser crítico con lo que se obtenga.

La simulación de la dinámica del helicóptero en vuelo necesita información sobre la

aerodinámica, la estructura y otros efectos dinámicos internos (por ejemplo el motor o las actuaciones) del helicóptero, además del conocimiento de la influencia de la respuesta del piloto sobre los mandos y las perturbaciones atmosféricas.

Definir las variables intermedias

Calcular las derivadas de estabilidad

MODOS PROPIOS (del sistema linealizado)

Linealización

Condición de vuelo

Datos del helicóptero Horus

Equilibrado


92

El comportamiento del helicóptero puede ser modelado como la combinación de un

gran número de subsistemas tal y como se puede ver en la figura 3.b. Se consideran como subsistemas el rotor principal, el fuselaje, el motor, los sistemas de control de vuelo, la cola y el rotor de cola. Gráfica 3.b– Subsistemas modelados en el helicóptero.

La dinámica de la aeronave está referida a un sistema de ejes cuerpo con origen en

el centro de gravedad del helicóptero completo. Este centro de gravedad cambiará de posición, principalmente, por las variaciones de peso debidas al consumo de combustible y por los movimientos de batimiento y arrastre de la pala. En el desarrollo se considerará una posición media fija relativa a un estado de equilibrio. Gráfica 3.c– Sistema de ejes cuerpo.

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento se obtienen a partir de las leyes de

Newton y la conservación de la energía aplicadas a cada subsistema. Muy a menudo


93

éstas son ecuaciones diferenciales no lineales. En general, al linealizar las ecuaciones de la dinámica del movimiento se puede escribir:

=dt

dxf(x,u,t)

x(0)=x0

donde x(t) contiene las variables estado, u(t) las variables de control y f es una función no lineal del movimiento de la aeronave.

Considerando el helicóptero como un sólido rígido con 6 grados de libertad, el

vector x(t) contiene las tres componentes de velocidad traslacional del centro de gravedad u, v y w; las tres componentes de velocidad rotacional p, q y r; y los ángulos de Euler φ ,θ y ψ .

Las velocidades están referidas al sistema de ejes mostrado en la gráfica 3.c

mientras que los ángulos de Euler definen la orientación del fuselaje respecto a un sistema de ejes fijos a tierra.

Los grados de libertad en el vector de estado se suelen ordenar separando el

movimiento longitudinal del lateral-direccional.

x=u, w, q, θ , v, p, φ , r, ψ

Como sólo se va a estudiar la respuesta longitudinal de la aeronave el vector de estado es x=u, w, q, θ .

La función f contiene las fuerzas y momentos aplicados, también referida al sistema

de ejes de la gráfica 3.c. Las fuerzas y momentos considerados son los aerodinámicos, estructurales, gravitacionales e inerciales. Siendo estrictos se debe comentar que las fuerzas gravitacionales e inerciales no son ‘aplicadas’ pero es conveniente clasificarlas y ponerlas en el miembro derecho de la ecuación.

Por último aclarar que el modelo de 6 grados de libertad, a pesar de las

simplificaciones, sigue siendo complejo y no deja de ser una aproximación del comportamiento real de la aeronave.


94

3.1. EQUILIBRADO

Al equilibrar el helicóptero lo que se pretende es calcular, para una condición de

vuelo dada, los valores de las variables fundamentales (de estado y de control) que definen el movimiento del vehículo en estado estacionario. A partir de esta posición estable se considerará más adelante una perturbación y se estudiará la respuesta de la aeronave (su estabilidad).

Un detalle importante a destacar es que los cálculos del equilibrado se realizan de

manera opuesta al funcionamiento habitual de la aeronave. En vuelo, el piloto introduce unas variables de control determinadas (ángulos de control del rotor y potencia del motor) y el helicóptero responde colocándose en una condición de vuelo determinada. En el equilibrado, por el contrario, se parte de una condición de vuelo deseada y se calculan cuales deben ser las variables de entrada del piloto para conseguir dicha situación.

El primer paso en la definición del problema será especificar claramente los datos de

partida y los resultados que se buscan. Son datos de partida todas las características físicas del helicóptero, como el peso y

las dimensiones principales. Estos datos se encuentran en el primer apartado correspondiente al modelado del helicóptero. Una de las hipótesis consideradas que simplifica enormemente el problema, es el asumir el coeficiente de resistencia de los perfiles constante, tal y como se hace en [BRA01]. En esta misma publicación se recomienda el considerar un valor de coeficiente de resistencia de los perfiles δ en torno a 0.012.

Como ya se ha comentado, el equilibrado del helicóptero viene dado para una

condición de vuelo determinada, para ello se deberán proporcionar datos de altura y la velocidad inicial. También se proporciona el ángulo de asiento τ que forma el vector velocidad con la horizontal en el caso de tener un vuelo de ascenso o de descenso, sin embargo la situación más habitual es considerar un vuelo horizontal siendo este ángulo nulo.

A continuación se pasan a analizar las incógnitas del problema. Se tendrán que

calcular todas las variables que definen el estado de operación de la aeronave. Aunque existen múltiples incógnitas de operación todas ellas se pueden poner en función de las llamadas variables de estado y de control.

Las variables de estado son las que determinan la situación de operación de la

aeronave y más concretamente del rotor. En el problema que aquí se aborda son dos, el parámetro de avance µ y el coeficiente de velocidad normal λ .

Las variables de control son las que puede cambiar el piloto con los mandos para

modificar las condiciones de vuelo del vehículo. Se consideran el ángulo de paso colectivo 0θ , el ángulo de paso cíclico lateral A1, y el ángulo de paso cíclico

longitudinal B1 medidos estos dos últimos desde el plano del buje. El ángulo de paso


95

cíclico lateral se analiza con la dinámica lateral de la aeronave, mientras que el ángulo de paso cíclico longitudinal y el ángulo de paso colectivo se estudian en el análisis longitudinal que es el que se está llevando a cabo aquí. Con estas variables el ángulo de paso de las palas del rotor, sin considerar torsión, se expresa de la siguiente manera:

ψψθθ sincos 110 BA −−=

Siendo ψ el ángulo acimutal de la pala, definido con el convenio habitual situando

el origen de ángulos en la dirección del eje longitudinal de la aeronave y apuntando hacia la popa.

Se procederá ahora a la formulación del problema una vez se han detallado los datos

y las incógnitas. Se obtiene un sistema de ecuaciones no lineal que una vez resuelto proporciona las variables de estado y de control. Se considerarán dos tipos de ecuaciones, las de equilibrio de fuerzas y las aerodinámicas del rotor.

Se comenzará desarrollando las ecuaciones correspondientes al equilibrio de fuerzas

y momentos. Al considerar el problema del equilibrado la suma de fuerzas y la de momentos es nula, despreciando por tanto las aceleraciones lineales y angulares. Como ya se indicó se está resolviendo el problema longitudinal, por lo que actúan las fuerzas en el plano vertical de simetría de la aeronave y los momentos de cabeceo.

Es conveniente, con la idea de aclarar conceptos, explicar los tres planos que se

consideran en la bibliografía.

- Plano de no paso o plano de control (No feathering plane). Es un plano paralelo al que contiene el plato distribuidor para un rotor articulado. En este plano las palas no tienen paso cíclico, siendo la única variación por tanto la del paso colectivo.

- Plano de puntas de pala o plano de disco (Tip path plane). Es el plano que contiene los puntos geométricos en los que se sitúan las puntas de las palas en su movimiento giratorio. En este plano las palas no tienen batimiento.

- Plano del buje (Hub plane). Es el plano que contiene a la cabeza del rotor y por tanto perpendicular a su eje.

La resultante de la tracción se descompone de una forma u otra dependiendo del

sistema de referencia utilizado (distintos planos). La relación entre los distintos planos se aprecia en la siguiente figura.


96

Gráfica 3.1.a– Relaciones entre los planos del rotor.

En [BRA01] se afirma que la tracción es casi perpendicular al plano de puntas de

pala siendo este plano, por tanto, muy útil para proyectar las fuerzas. La resultante total de las fuerzas aerodinámicas se descompone en una fuerza T perpendicular al plano de puntas de pala y una fuerza H paralela al plano de puntas y dirigida hacia atrás.

Gráfica 3.1.b– Fuerzas aerodinámicas del rotor.

Además de estas dos fuerzas también se consideran el peso de la aeronave, cuyo

valor es conocido y se supone constante, y la resistencia del fuselaje que se calcula a través del coeficiente de placa plana.

Estas fuerzas tienen distintos puntos de aplicación que es importante definir para la

formulación de la ecuación de momentos. Se tomará como punto de referencia para medir dichas distancias el punto intersección entre el eje longitudinal del helicóptero que pasa por el centro de gravedad y el eje de giro del rotor.


97

Las distancias que se definen son las siguientes:

Tabla 3.1.a –Definición de las distancias críticas para la ecuación de momentos.

Parámetro Definición Valor

Xcg

Distancia longitudinal del centro de gravedad adimensionalizada con el radio del rotor y positiva cuando el CDG está situado delante del eje del rotor

0.03/R

hcg

Distancia vertical del punto de referencia a la cabeza del rotor adimensionalizada con el radio del rotor y positiva para bujes situados por encima del punto de referencia

1.3/R

Los valores de la tabla anterior están tomados del proyecto [LAF03]. Las ecuaciones de fuerzas y momentos se calculan respecto de un sistema de ejes

cuerpo fijo a la aeronave, con origen en el punto de referencia respecto al cual se definen las distancias anteriores. El eje X se encuentra en una dirección paralela al plano del buje y apuntando a la proa, el eje Z es paralelo al eje del rotor y apuntando hacia abajo, por último el eje Y es perpendicular al plano longitudinal de simetría del helicóptero y apuntando hacia estribor. Este sistema de ejes se usará también en el desarrollo de la estabilidad del helicóptero.

A continuación se aplican las ecuaciones de cantidad de movimiento y de momento

cinético, que para este caso estacionario se reducen a que la suma de las fuerzas verticales y horizontales sean nulas y que la resultante de momentos respecto al punto de referencia sea nulo también.

En la gráfica 3.1.c se muestran las fuerzas que actúan en el helicóptero para poder

deducir fácilmente las ecuaciones. En el citado dibujo se representa la sustentación de un estabilizador horizontal, que en el caso del helicóptero Horus, no se dispone de él. Más adelante, en el apartado del análisis paramétrico será de ayuda ya que se plantea la posibilidad de mejorar la estabilidad de la aeronave añadiéndole un estabilizador horizontal y entonces esa sustentación si se considerará en el sistema de ecuaciones.


98

Gráfica 3.1.c– Fuerzas y ángulos en una condición de vuelo genérica.

Las ecuaciones resultantes de las operaciones anteriores son las siguientes. Equilibrio de fuerzas según X

0)cos()sin()cos()sin( 11111111 =+−−+−+−−−−− BaDBaWBaHBaT rfusr αατ

Equilibrio de fuerzas según Z

0)sin()cos()sin()cos( 11111111 =+−−+−++−+−− BaDBaWBaHBaT rfusr αατ

Equilibrio de momentos respecto del punto de referencia

0)()cos()cos()sin( 11111111 =−−++−+−−+− aBMMXcgRBaWhRBaHhRBaT sfrατ

En las ecuaciones anteriores se utiliza un nuevo parámetro, a1, que es un coeficiente de batimiento. Este ángulo proviene de considerar el ángulo de batimiento con el siguiente desarrollo.

...)2sin()2cos(sincos 22110 +−−−−= ψψψψβ babaa

El ángulo de batimiento es el existente entre el plano de puntas de pala y el plano

del plato distribuidor.


99

En la ecuación de momentos se han considerado dos nuevas variables que no se han

explicado aún. Mf es el momento de cabeceo del fuselaje cuyo valor es difícil de determinar de forma precisa por lo que libros como [BRA01] recomiendan tomar un valor nulo. Ms es el momento centrífugo del rotor debido a la inclinación de las palas que a continuación se definirá.

Generalmente las ecuaciones anteriores se adimensionalizan. Para ello se definen los

siguientes parámetros.

( )( )

( )( )22*

22

RR

HC

RR

TC

H

T

Ω=

Ω=

πρσ

πρ

( )22*R

WCW

Ω=

ρσπ

( ) RR

MC sMs 22*

Ω=

ρσπ

El asterisco indica que la variable está adimensionalizada con la solidez. El

parámetro sigue siendo adimensional puesto que la solidez no tiene unidades. Para el último coeficiente definido se encuentran aproximaciones en la bibliografía

([BRA01]). En el presente estudio este coeficiente se ha calculado según:

3*2 R

exmNC

gb

Ms ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

πσρ

donde mb es la masa de la pala, según [LAF03] se aproxima con un valor de 12 Kg,

y xg el centro de gravedad de la pala a lo largo de su envergadura que siguiendo las indicaciones de [BRA01] se aproxima con un valor de 0.45.

Las tres ecuaciones vistas anteriormente quedan entonces de la manera siguiente.

0)cos(2

1

)sin()cos()sin(

11

2

2

11*11*11

=+−

Ω

−

−+−+−−−−

−

BaR

V

R

f

BaCBaCBaC

r

rWHT

ασπ

ατσ

0)sin(2

1

)cos()sin()cos(

11

2

2

11*11*11

=+−

Ω

−

−+−++−+−

−

BaR

V

R

f

BaCBaCBaC

r

rWH

T

ασπ

ατσ

0)()cos()cos()sin(

11*11*11*11 =−−+−+−−+

−aBCXBaChBaCh

BaCMscgrWH

T ατσ


100

A continuación se desarrolla el segundo tipo de ecuaciones, las que definen la

aerodinámica del rotor. En estas ecuaciones se relacionan las variables de estado y de control con las fuerzas generadas por el rotor. El desarrollo de estas dependencias se toma de [BRA01]. Las relaciones son las siguientes.

+

−+

+

+−=

231

21

231

491

3

2

4 2

2

2

22

0 µ

µ

λµ

µµ

θσαL

T

CC

+

+

+

+−⋅+=

231

231

491

344

122

22

0* µ

λµ

µµθµλ

µδ αLH

CC

Estas expresiones se obtienen de un análisis aerodinámico del rotor realizado

mediante la teoría del elemento de pala. La siguiente ecuación que se añade al sistema proveniente del análisis aerodinámico

del rotor es la que relaciona el coeficiente de batimiento a1 con las variables de estado y de control.

231

342

2

0

1 µ

λθ

µ

+

+

=a

Esta expresión es fácil de obtenerse a partir de la ecuación de batimiento. En dicha

ecuación se sustituye el desarrollo del momento aerodinámico y se identifican los términos independientes, los que dependen del coseno del ángulo acimutal y los que dependen del seno del ángulo acimutal, de esta forma se tienen 3 ecuaciones para obtener los tres coeficientes de batimiento. Concretamente la expresión utilizada es tomada de [BRA01]. El cálculo de la ecuación de batimiento y de sus coeficientes se encuentra detallado y explicado en el apartado 3.2.2 del presente proyecto.

El ángulo rα es el que forma el plano de puntas de pala con la dirección de vuelo y

se muestra en la figura 3.1.a. La expresión se calcula a partir de la ecuación de cantidad de movimiento y suponiendo velocidad inducida constante. Destacar que la expresión que a continuación se muestra está calculada respecto al plano del buje no respecto del de puntas de pala, pero para valores pequeños del coeficiente de batimiento no será mala aproximación.

22

2

1

tanµλ

λαµ+

+=T

r

C


101

En libros como [BRA01] se demuestra como el valor de λ y µ apenas varía de un

plano a otro y por lo tanto la variación del ángulo rα será despreciable. Para cerrar el problema serán necesarias dos ecuaciones más, se añadirán las

definiciones del parámetro de avance µ y del coeficiente de velocidad normal λ .

R

V r

Ω=

αµ

cos

R

vV ir

Ω

−=

αλ

sin

Haciendo balance se tienen 9 ecuaciones, las 2 de equilibrio de fuerzas y la de

momentos, las 4 obtenidas a partir de la aerodinámica del rotor y las que definen los parámetros µ y λ . Las incógnitas a resolver en este sistema de ecuaciones no lineal

serán CT, CH*, rα , vi, a1, µ , λ , B1 y 0θ .

A continuación se muestran los resultados, obtenidos con MATLAB, del

equilibrado de la aeronave para un rango de velocidades de avance de 0 a 160 Km/h. Este rango de velocidades se toma debido a que la máxima velocidad de avance del helicóptero Skylark es de 153 Km/h, así que se analiza un rango de velocidades parecido.

Gráfica 3.1d– Equilibrado. Evolución de CT y CH con la velocidad de avance para un ángulo de asiento nulo y a nivel del mar.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

V [km/h]

CT

CH


102

Gráfica 3.1.e– Equilibrado. Evolución de vi con la velocidad de avance para un ángulo de asiento nulo y a nivel del mar.

0 20 40 60 80 100 120 140 1601

2

3

4

5

6

7

V [km/h]

v i [m/s]

Gráfica 3.1.f– Equilibrado. Evolución de a1, B1, rα y 0θ con la velocidad de avance para un ángulo de

asiento nulo y a nivel del mar.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-20

-15

-10

-5

0

5

V [km/h]

deg

θ0B1

αra1


103

Gráfica 3.1.g– Equilibrado. Evolución de µ y λ con la velocidad de avance para un ángulo de asiento

nulo y a nivel del mar.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

V [km/h]

µ

λ

La forma clásica de mostrar los resultados anteriores, usada en [BRA01] y [SOT05],

es representar las variables frente al parámetro adimensional µ . Por este motivo, en el análisis frente a variaciones en altura y en ángulo de asiento, los parámetros se representan frente a µ y así se podrán comparar las tendencias con las mostradas en los equilibrados de esas dos publicaciones.

El análisis paramétrico ante variaciones de altura y ángulo de asiento se realiza considerando un peso constante (MTOW). En las primeras gráficas se contempla la evolución de los parámetros ante variaciones en la altura considerando un ángulo asiento nulo. En el segundo grupo de gráficas se fija la altura a 1000 metros, al igual que se hizo en el apartado de actuaciones, y se estudia la evolución en función del ángulo de asiento.

En el gráfico 3.1.h se representa la velocidad de avance de la aeronave frente al

parámetro adimensional µ para así poder saber qué rango de velocidades corresponde con los diferentes valores de µ .


104

Gráfica 3.1.h– Equilibrado. Velocidad de avance frente a µ ante variaciones en la altura.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

20

40

60

80

100

120

140

160

µ [-]

V [Km/h]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Gráfica 3.1.i– Equilibrado. Análisis parámetrico de CT ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.252.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4x 10

-3

µ [-]

CT [-]

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m


105

Para valores de µ altos, que corresponden con velocidades de avance altas tal y

como se aprecia en el gráfico 3.1.h, el coeficiente de tracción tiende a aumentar. Esto es debido a que el rotor a altas velocidades está más inclinado hacia delante como se muestra en el gráfico 3.1.l y es necesario suministrar más tracción para que la componente en dirección vertical de esta fuerza compense al peso de la aeronave.

Por el contrario, en el caso de tener valores de µ pequeños, el rotor está casi en una

posición horizontal y la tracción será aproximadamente el peso, como consecuencia el valor del coeficiente de tracción será menor que respecto a la condición anterior.

En cuanto a la evolución con la altura comentar que cuanto mayor sea la altura

mayor será el coeficiente de tracción.

Gráfica 3.1.j– Equilibrado. Análisis parámetrico de CH* ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

µ [-]

CH [-]

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m

Se observa en el gráfico 3.1.j como la fuerza horizontal adimensional es inferior que

el coeficiente de tracción y del mismo orden de magnitud. Esto es razonable puesto que el significado físico de esta fuerza horizontal es análogo a una resistencia del rotor, paralela al plano de puntas y dirigida hacia atrás.

Las variaciones con la altura son despreciables a bajas velocidades de vuelo,

pasando a ser algo notables al aumentar la velocidad.


106

Gráfica 3.1.k– Equilibrado. Análisis parámetrico de vi ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251

2

3

4

5

6

7

8

µ [-]

v i [m/s]

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m

Esta velocidad inducida se compara con las gráficas representadas en [SOT05] y

[BRA01], teniendo la misma tendencia y el mismo orden de magnitud. Como se puede apreciar, la velocidad inducida aumenta con la altura

considerablemente.


107

Gráfica 3.1.l– Equilibrado. Análisis parámetrico de rα ante variaciones de altura para peso constante y

ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

µ [-]

αr [deg]

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m

En la imagen 3.1.l se muestra la evolución del ángulo de ataque del rotor con la

velocidad de avance. Este gráfico es muy útil a la hora de ver cómo se mueve el helicóptero. A bajas velocidades el rotor permanece prácticamente en posición horizontal, conforme se aumenta la velocidad de avance el rotor se inclina hacia delante. Cuanto menor sea la altura de vuelo más se inclina el rotor para conseguir la misma velocidad de avance.


108

Gráfica 3.1.m– Equilibrado. Análisis parámetrico de a1 ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

µ [-]

a 1 [deg]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

En el gráfico anterior se aprecia la evolución del coeficiente de batimiento a1 con el

parámetro de avance. El incremento de a1 ante una variación de la velocidad entorno a 150 Km/h es aproximadamente de un grado, este valor es correcto según se aprecia en [BRA01].

Tanto en [BRA01] como en [SOT05] comentan la tendencia casi lineal del

coeficiente de batimiento longitudinal a bajas velocidades de avance. La variación del valor de a1 frente a la altura no es excesivamente grande,

concretamente en esta ilustración hay variaciones de décimas de grado.


109

Gráfica 3.1.n– Equilibrado. Análisis parámetrico de B1 ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

µ [-]

B1 [deg]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

Los valores del ángulo de paso cíclico longitudinal B1 dependen de una forma

determinante del tipo de helicóptero y de la configuración por lo que será imposible comparar valores concretos. Esta fuerte dependencia se aprecia tanto en [SOT05]; donde se calcula dicho ángulo para dos configuraciones de la aeronave diferentes y se obtienen valores de B1 de signo opuesto; como en [BRA01] donde se ve la dependencia con el decalaje de la articulación y con la posición del centro de gravedad del helicóptero. De todas formas los resultados obtenidos son razonables.

El ángulo de paso cíclico longitudinal positivo significa que el rotor está inclinado

hacia delante respecto al plano del buje recibiendo el flujo de la corriente incidente, lo cual es lógico.

Nuevamente la variación con la altura corresponde con variaciones del ángulo B1 de

décimas de grado.


110

Gráfica 3.1.o– Equilibrado. Análisis parámetrico de 0θ ante variaciones de altura para peso constante y

ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.253.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

µ [-]

θ 0 [deg]

h=0 m

h=750 m

h=1500 m

h=2250 m

h=3000 m

Las curvas obtenidas son idénticas a las mostradas en [BRA01] y [LEI00]. Como

puede apreciarse la forma de estas curvas es similar a la de la gráfica de la potencia necesaria en vuelo de avance (gráfica 2.4.d).

Si el ángulo de paso colectivo llegara a alcanzar valores elevados se tendría la

posibilidad de desprendimiento en la punta de la pala en la zona de retroceso. Generalmente para resolver este problema se le da a la pala una torsión negativa y así se evita el desprendimiento. La experiencia con otros helicópteros muestra que los valores del helicóptero Horus no son excesivamente altos por lo que el citado problema no aparecerá y no será preciso proporcionarle torsión a las palas.

El ángulo de paso colectivo varía considerablemente dependiendo de la altura de

vuelo como se puede ver en la imagen 3.1.o. Las diferencias son del orden de grados.


111

Gráfica 3.1.p– Equilibrado. Análisis parámetrico de λ ante variaciones de altura para peso constante y ángulo de asiento nulo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

µ [-]

λ [-]

h=0 m

h=750 m

h=1500 mh=2250 m

h=3000 m

La evolución de λ con el parámetro de avance µ es la que se muestra en el gráfico

3.1.p. Resaltar que la dependencia de λ con la altura depende de la velocidad de avance que se considere. A bajas velocidades, hasta µ igual a 0.13 (85 Km/h), a menor altura de vuelo menor λ , sin embargo, a partir del valor crítico de µ en adelante el comportamiento es el contrario, a menor altura mayor coeficiente λ .

Después de haber estudiado las gráficas correspondientes a la variación con la altura

se pasa a las que contemplan la variación del ángulo de asiento. Al igual que en el estudio anterior la primera gráfica corresponde con la relación entre el parámetro µ y la velocidad de avance del helicóptero.


112

Gráfica 3.1.q– Equilibrado. Velocidad de avance frente a µ ante variaciones en el ángulo de asiento.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

20

40

60

80

100

120

140

160

µ [-]

V [Km/h]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º

Gráfica 3.1.r– Equilibrado. Análisis parámetrico de CT ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.253.05

3.1

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35x 10

-3

µ [-]

CT [-]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º


113

Como era de esperar a mayor ángulo de subida mayor tracción del rotor se requiere. En la siguiente gráfica se muestra como la fuerza horizontal adimensional también se incrementa con el ángulo de ascenso. Gráfica 3.1.s– Equilibrado. Análisis parámetrico de CH* ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

µ [-]

CH [-]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º

Gráfica 3.1.t– Equilibrado. Análisis parámetrico de vi ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251

2

3

4

5

6

7

8

µ [-]

v i [m/s]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º


114

Destacar la escasa influencia que tiene el ángulo de asiento sobre la velocidad inducida. Gráfica 3.1.u– Equilibrado. Análisis parámetrico de rα ante variaciones del ángulo de asiento para peso

constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-25

-20

-15

-10

-5

0

5

µ [-]

αr [deg]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º

En el caso del vuelo horizontal se vio como el rotor partía de una posición horizontal y se inclinaba hacia delante al aumentar la velocidad de avance. En la figura 3.1.u, sin embargo, se aprecia como en las dos situaciones de ángulo de asiento negativo, que corresponden con un descenso, el rotor a bajas velocidades se inclina hacia detrás, pasando después a posición horizontal con el aumento de velocidad de avance y finalmente inclinándose hacia delante. Las otras dos situaciones son las que corresponden con los ángulos de asiento positivos, el caso de vuelo de ascenso, aquí el rotor parte directamente de una posición inclinada hacia delante aumentando posteriormente este ángulo con la velocidad.


115

Gráfica 3.1.v– Equilibrado. Análisis parámetrico de a1 ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

µ [-]

a 1 [deg]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º

El efecto del ángulo de asiento corresponde con variaciones del coeficiente de

batimiento del orden de décimas de grado. Gráfica 3.1.w– Equilibrado. Análisis parámetrico de B1 ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

µ [-]

B1 [deg]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º


116

En la gráfica 3.1.w se obtiene la misma conclusión que para la gráfica

correspondiente al coeficiente de batimiento a1. Las variaciones del ángulo de asiento corresponden con variaciones de décimas de grado en el ángulo de paso cíclico longitudinal. Gráfica 3.1.x– Equilibrado. Análisis parámetrico de 0θ ante variaciones del ángulo de asiento para peso

constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.253.7

3.75

3.8

3.85

3.9

3.95

4

4.05

4.1

4.15

4.2

µ [-]

θ 0 [deg]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º

A bajas velocidades de avance el efecto de considerar un ángulo de ascenso u otro es despreciable en el ángulo de paso colectivo. Sin embargo, al aumentar la velocidad las diferencias se hacen notables. Si se tiene un ángulo de asiento positivo el ángulo de paso colectivo será mayor que en caso de tener un ángulo de asiento negativo.


117

Gráfica 3.1.y– Equilibrado. Análisis parámetrico de λ ante variaciones del ángulo de asiento para peso constante y una altura de 1000m.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.1

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

µ [-]

λ [-]

τ=-3º

τ=-1.5º

τ=0º

τ=1.5º

τ=3º

En la gráfica 3.1.y se aprecia como al considerar ángulos de asiento negativos λ disminuye.


118

3.2. ESTABILIDAD LONGITUDINAL

A continuación se estudia la estabilidad con mandos fijos. A la hora de analizar la estabilidad de un helicóptero, a diferencia de las aeronaves de ala fija, únicamente se trata la estabilidad con mandos fijos ya que la estabilidad con mandos libres no tiene ningún sentido debido a la inestabilidad inherente del rotor ante perturbaciones de la condición inicial.

El objetivo final de este apartado es obtener la matriz de estabilidad lineal A para

poder estudiar y analizar los modos longitudinales propios del helicóptero Horus. Para la construcción de dicha matriz es necesario el cálculo de las derivadas de estabilidad correspondientes al problema longitudinal. El esquema seguido en el trabajo se muestra en la figura 3.a.

Como ya se explicó en la introducción de esta tercera sección, el movimiento

longitudinal de la aeronave queda caracterizado por una ecuación del tipo siguiente:

uxxrrr

& BA += donde x=u, w, q, θ . Las componentes de velocidad u y w son las correspondientes a los ejes X y Z. Por

otra parte q es la velocidad angular de cabeceo, positiva cuando la aeronave tiende a encabritar. Por último θ es el ángulo de cabeceo que satisface la ecuación θ&=q .

La matriz de control longitudinal B no será objeto de estudio puesto que solo se

analiza la estabilidad de la aeronave con mandos fijos. El análisis de la respuesta dinámica ante variaciones en los mandos se deja para trabajos futuros.

La matriz de estabilidad lineal A se obtiene a partir de las ecuaciones generales del

movimiento linealizadas. El desarrollo y obtención de dicha matriz viene detallado en [PAD96]. Aquí se muestra la expresión final.

−+

−−

=

0100

0

sin

cos

qwu

eeqwu

eeqwu

MMM

gUZZZ

gWXXX

Aθθ

Los elementos integrantes de la matriz de estabilidad se denominan derivadas de

estabilidad (Xu, Xw, Xq, etcétera). Estos términos son, como su propio nombre indica, las derivadas de las fuerzas X y Z, que son las resultantes de las fuerzas aerodinámicas y propulsivas sobre los ejes X y Z, y el momento M que es la resultante del momento aerodinámico respecto del punto de referencia. Estas derivadas de estabilidad dependen de ‘variables intermedias’ tal y como se denomina en [SOT05]. Estas variables intermedias son las vistas en el problema de equilibrado, más concretamente CT, CH*, vi,


119

rα , a0, a1, b1, a2, b2, B1, µ , λ y 0θ , que habrá que calcular para una condición de

vuelo genérica. Dichas variables a su vez son función de las variables de estado, por eso se las denominó anteriormente intermedias. A continuación se muestra un ejemplo con la intención de aclarar las dependencias explicadas anteriormente.

u

X

u

C

C

X

u

X

u

XX T

T

u ∂

∂

∂∂

++∂

∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

= 0

00

...θ

θ

El subíndice ‘0’ indica la derivada directa de X respecto de u. En el apartado del equilibrado se calcularon las variables intermedias en una

condición de equilibrio, ahora será necesario calcularlas para una condición de vuelo cualquiera y así poder obtener las derivadas de estabilidad. Por ejemplo, los coeficientes de batimiento se calculan a partir de la ecuación de batimiento y los coeficientes de tracción y de resistencia aerodinámica se obtienen a partir de la Teoría del elemento de pala.

Finalmente se llevará a cabo el cálculo de los modos propios del sistema a través de

los autovalores de la matriz de estabilidad. Los modos de estabilidad longitudinal característicos son el modo fugoide y el modo de corto periodo que se analizarán una vez determinada la matriz A. 3.2.1. Velocidad generalizada de un elemento de pala

Una vez hecha una panorámica de lo que se busca se procede al cálculo de la velocidad generalizada en un elemento de pala para una condición de vuelo general. El cálculo de las componentes de la velocidad es necesario para poder aplicar la Teoría del elemento de pala más adelante, como por ejemplo, en el cálculo de los coeficientes de tracción y de resistencia aerodinámica. El desarrollo detallado del cálculo de la velocidad se ha hecho siguiendo [SOT05].

Se definen los vectores de velocidad y velocidad angular respecto al sistema de

referencia de la figura 3.c.

( )( )rqp

wvuV

=

=

ωr

r

Referimos estos vectores respecto de la cabeza del rotor.

( )( )rqp

wphRvqhRuV

buje

buje

=

+−=

ωr

r

La distancia h (llamada anteriormente también hcg) es la distancia vertical existente

entre la línea de referencia del fuselaje que pasa por el centro de gravedad de la misma y la cabeza del rotor, adimensionalizada con el radio del rotor principal.


120

Esta velocidad se puede expresar en un sistema de ejes giratorios que tienen su

origen en la cabeza del rotor y que siguen a la pala en su movimiento. Con esto entrará el ángulo acimutal en la formulación. A este sistema de ejes lo denominaremos ejes 1 y se muestran en la gráfica 3.2.1.a.

Gráfica 3.2.1.a– Sistema de ejes 1.

Para expresar la velocidad en estos ejes se realiza la transformación cinemática

siguiente.

bujebuje VTVrr

⋅= 011,

La matriz de transformación es la matriz del giro del ángulo acimutal ψ .

−−

−

=

100

0cossin

0sincos

01 ψψ

ψψ

T

Se irán explicando las operaciones que se realizan pero no se mostrarán los

resultados parciales por no considerarlos de interés, simplemente se añadirá el resultado final de todas las transformaciones que es el realmente útil.

El paso siguiente será el considerar la articulación de batimiento. La articulación de

arrastre no se tiene en cuenta ya que la pala del helicóptero objeto de estudio no posee este movimiento.

Los ejes 2 tienen su origen en la articulación, X2 va con la pala, Y2 perpendicular

a ella en la dirección de avance de la misma y el eje Z2 formando un triedro a derechas.


121

Respecto de estos ejes 2 se realiza un giro β alrededor del eje Y2 obteniendo los

ejes 3. En este nuevo sistema de ejes se debe considerar la velocidad inducida por el giro del rotor que se supondrá vertical.

Gráfica 3.2.1.b– Sistema de ejes del buje y de la articulación.

La expresión de la velocidad de la articulación es por tanto:

( )iarticarticbujeartic vrVV −+∧+= 001,

rrrrω

Se tendrán que definir el vector de posición de la articulación articr

r y la velocidad

angular articωr

para poder obtener la velocidad en la articulación.

( )00eRrartic =

r

rotorbujeartic T Ω+=rrr

ωω 01

donde ( )Ω−=Ω 00rotor

r.

Lo siguiente es pasar la velocidad de la articulación al sistema de ejes 2.

articartic VTVrr

⋅= 122,


122

donde

−

−=

100

010

001

12T por estar los ejes 2 centrados en la articulación.

Como se aprecia en el gráfico 3.2.1.b, a partir de los ejes 2 se realiza el giro de

batimiento y se llega a los ejes 3.

2,233, articartic VTVrr

⋅=

donde

−

=

ββ

ββ

cos0sin

010

sin0cos

23T .

Una vez se ha calculado la velocidad de la articulación en ejes fijos a la pala se

podrá obtener la velocidad de cualquier elemento de pala con la expresión:

elementopalaarticelemento rVVrrrr

∧+= ω3,

Para poder calcular la velocidad en la expresión anterior será necesario definir:

( )( )0

00

2312 βθωω &&rr

r

−+=

=

articpala

elemento

TT

xRr

El vector de posición del elemento de pala utiliza la variable x que es la posición

adimensional del elemento de pala a lo largo de la envergadura. Se relaciona, a continuación, esta velocidad del elemento de pala con las

componentes radial, tangencial y perpendicular de la velocidad para los cálculos de las fuerzas y momentos.

( )PTRelemento UUUV −−=r

Todos los cálculos descritos anteriormente se han realizado con el programa

MAPLE. Se considera muy adecuado el uso de una herramienta de software ya que los cálculos son extensos y su cálculo manual puede generar multitud de errores. Otro motivo para el uso de MAPLE es la facilidad de cambiar los datos de partida y la velocidad con la que se vuelven a obtener los resultados. El programa desarrollado para la obtención de la velocidad se detalla en el Anexo 1.

Seguidamente se muestran las condiciones de partida en el caso del problema

longitudinal así como los resultados obtenidos.

( )( )00

0

q

wuV

=

=

ωr

r


123

)cos(sin)(coscos iR vqeRwqhRuU −⋅++−= ψβψβ

xRqeRqhRuUT )cossin(sin)(sin Ω⋅+⋅+Ω+−= βψβψ

xRqvqeRwqhRuU iP )(cos)cos(cos)(cossin βψψβψβ &−⋅+−⋅++−−=

Estas expresiones se simplifican aún más considerando ángulos de batimiento pequeños ( ββ ≈sin y 1cos ≈β ). Libros como [BRA01] y [PAD96] utilizan esta hipótesis por ser muy realista. En los sucesivos cálculos también se aplicará.

En la imagen 3.2.1.c se muestran estas velocidades en la pala para tener claro el

criterio de signos a seguir en todo el desarrollo.

Gráfica 3.2.1.c– Criterio de signos del triángulo de velocidades.

3.2.2. Ecuación de batimiento generalizada y cálculo de sus coeficientes

En este apartado se calcula la ecuación de batimiento generalizada, para finalmente

obtener el valor de los coeficientes de batimiento (variables intermedias) para una condición de vuelo genérica.

El desarrollo que se va a realizar a continuación está seguido de [SOT05]. En esta

referencia, plantean la ecuación de batimiento para un buje que se mueve con velocidad (u v w) y con velocidad angular (p q r). En la realidad se conoce que los campos de

velocidades que tiene el buje no son éstos, son bujeVr

y bujeωr

, pero con las

simplificaciones que se llevan a cabo más adelante los términos que no se consideran no influyen por lo que se parte de una expresión más sencilla.

Lo primero que se realiza es el cálculo de las aceleraciones de la articulación de la

pala. Para ello se usará el sistema de ejes 3 de la gráfica 3.2.1.b. La aceleración se

consigue derivando la expresión 3,articVr

.


124

−−+Ω

+

−+−Ω−

=

ββψβψβψψ

ββψβψβ

cossinsinsincossin

cossin

sincossincoscoscos

2

2

3,

wvueR

vu

wvueR

aartic

&&&

&&

&&&r

La velocidad angular de la articulación en los ejes 3 tiene la siguiente expresión:

+−−Ω

++−

−+−Ω

=

βψβψβψψβ

βψβψβ

ωsincossinsincos)(

sincos

coscoscossinsin)(

3,

pqr

pq

pqr

artic&

r

Y por último expresamos la posición del centro de masas de la pala en los ejes 3.

=

0

03,

Rx

r

g

g

r

Se introducen estos valores en la ecuación de conservación del momento cinético

para así poder obtener la ecuación de batimiento generalizada. Se toma la expresión de [BRA01] donde se muestran las ecuaciones de Euler para una pala rígida.

Aarticg

articgbarticarticXXZZarticYY

Mar

armIII

−=⋅−

−⋅+⋅⋅−−

))3()1(

)1()3(()1()3()()2(

3,3,

3,3,3,3,33333,33 ωωω&

Considerando la pala como una lámina de espesor despreciable, se cumple la

siguiente relación entre las inercias de la misma:

zyx III =+

Los ejes desde donde se definen las inercias se muestran en el gráfico 3.2.2.a.

Gráfica 3.2.2.a– Criterio de ejes en la pala.

Tras esta simplificación la ecuación queda de la siguiente manera:

Aarticgarticgbarticarticbarticb MararmII −=⋅−⋅+⋅⋅− ))3()1()1()3(()1()3()2( 3,3,3,3,3,3,3, ωωω&


125

donde Ib es la inercia de la pala respecto del eje Y3 y MA es el momento

aerodinámico en la articulación de batimiento. Sustituyendo los valores en la ecuación se obtiene la siguiente expresión:

A

gb

bb

Mwv

ueRRxmpqrp

pqqqpr

rIqppqI

−=−−

−+Ω−−−Ω+−

−+−−−Ω+

+−Ω−Ω−+Ω++

)cossinsin

sincossin()cossin(cos)(cossincos

cossincossin2cossinsinsin)sincos)((

cossin)()sin)(cos)((

2222

222

2

ββψ

βψβψψβββψ

ββψψββψβψψ

ββψψβ

&&

&

&&&&

A continuación se enumeran las distintas simplificaciones que permiten reducir la

complejidad de esta expresión. La primera de ellas es el considerar ángulos de batimiento pequeños ( ββ ≈sin y

1cos ≈β ) al igual que se hizo con las expresiones de la velocidad en el apartado anterior. Esto implica también que los cuadrados del seno del ángulo de batimiento serán despreciados.

La segunda hipótesis es el suponer que al comienzo del movimiento la aceleración

del fuselaje es pequeña. Esta hipótesis es razonable puesto que el tiempo característico de variación de la velocidad del helicóptero es mucho mayor que el tiempo que tarda en batir la pala. Esta suposición implica que 0==== qwvu &&&& .

Por otra parte se está resolviendo el problema longitudinal y esto conlleva la

anulación de las variables p y r. La única velocidad angular que queda por tanto es q, y su valor es mucho menor que la velocidad de giro del rotor. Esto implica que los cuadrados de la velocidad angular de cabeceo son despreciables frente a la velocidad de giro del rotor.

Por último se define un parámetro que ayudará a rescribir la ecuación de batimiento

de manera compacta. Es el parámetro ε que se define a continuación.

b

gb

I

eRxm 2

=ε

Siguiendo las observaciones de [BRA01], si se trabaja con una pala que posee una

distribución de masas uniforme el valor de ε se puede aproximar por la siguiente expresión.

2

)1(3 ee −⋅⋅=ε

donde e es el decalaje adimensional de la articulación del rotor.


126

Considerando todo lo expuesto anteriormente ya sólo queda mostrar la ecuación de

batimiento en el problema concreto que se está resolviendo.

ψβεβ sin2)1(2 Ω−=+Ω+ qI

M

b

A&&

Esta misma ecuación la encontramos en libros como [PAD96]. En la ecuación de batimiento obtenida se sustituirá ahora el desarrollo del ángulo β

que ya se aplicó en la sección de equilibrado.

)2sin()2cos(sincos 22110 ψψψψβ babaa −−−−=

))2sin(4)2cos(4sincos( 22112

2

2

ψψψψβ

β babat

+++Ω=∂

∂=&&

A continuación se calcula el momento aerodinámico que se puede poner también

como un desarrollo en serie de senos y cosenos del ángulo acimutal. Se podrán identificar entonces, términos multiplicados por el seno y el coseno en ambos lados de la ecuación obteniéndose así el valor de los coeficientes de batimiento.

Para el cálculo del momento aerodinámico se aplica la teoría del elemento de pala

tal y como viene explicada en [BRA01] y usando el criterio de signos que se mostró en la gráfica 3.2.1.c. En dicha publicación consideran la sustentación de cada elemento de pala y su aportación al momento aerodinámico total.

La sustentación que experimenta un elemento de pala se aproxima por:

( ) ( )dxUUUcCdxUUcCdL TPTLPTL ⋅−⋅⋅⋅≈−⋅+⋅⋅= 222

2

1)(

2

1θρφθρ

αα

Para el ángulo de paso de la pala se aplica el desarrollo en serie visto en la sección

de equilibrado y que se vuelve a recordar.

ψψθθ sincos 110 BA −−=

En la expresión del diferencial de la sustentación se ha tenido en cuenta que la

velocidad de giro de las palas del rotor es mucho mayor que la velocidad de batimiento (UP<<UT) por lo que el ángulo de entrada de la corriente φ se puede aproximar como el cociente entre la velocidad perpendicular y la velocidad tangencial y también se simplifica la expresión del cuadrado de la velocidad considerándose únicamente como el cuadrado de la velocidad tangencial.


127

Conociendo la fuerza aplicada, el momento tendrá la siguiente expresión:

∫=1

e

A xdLRM

El procedimiento de cálculo del momento aerodinámico se muestra en el Anexo 2.

Las simplificaciones que se imponen al momento aerodinámico se detallan a

continuación.

La primera simplificación es que al ser la velocidad de giro muy superior a la velocidad de batimiento los términos 2q o Ωq son despreciables frente a 2Ω .

La segunda hipótesis es que el valor del decalaje de la articulación es muy pequeño

por lo que su cuadrado y potencias superiores podrán ser despreciadas. Por último se consideran los productos de los coeficientes de batimiento. Estos

coeficientes, al igual que pasaba con el decalaje, son muy pequeños por lo que el producto entre ellos será despreciable.

Si se expresa el momento aerodinámico como:

)2sin()2cos(sincos 43210 ψψψψ Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=b

A

I

M

Entonces:

22

112

20

0 4

1

668Ω−

Ω+

Ω−−=Φ γ

γγγa

R

ub

R

uA

R

ua

20

120

2

2

22

1 8

1

666816Ω+

Ω+

Ω−

Ω−+=Φ γθ

γγγγθγR

w

R

v

R

uB

R

u

R

ub i

21

21

02222

21

2

21

2 8

1

8

1

3124416

3

16Ω−Ω−

Ω+

Ω−+−−=Φ γγ

γθγγγγγBa

R

u

R

ub

R

uw

R

uv

R

uB

R

ua i

22

1120

2

3 4

1

668Ω+

Ω+

Ω+−=Φ γ

γγγθb

R

uB

R

ua

R

u

22

112

20

4 4

1

668Ω−

Ω+

Ω−−=Φ γ

γγγa

R

ub

R

uA

R

ua

El parámetro γ es el número de Lock que tal y como se interpreta en [LEI00] es una

relación entre las fuerzas inerciales y las aerodinámicas. Se define de la siguiente forma:

b

L

I

cRC 4

αρ

γ =


128

Una vez se sustituyen en la ecuación de batimiento los desarrollos del ángulo de

batimiento y el momento aerodinámico las ecuaciones fruto de la comparación de términos son las siguientes.

( ) 01 00

2 =Φ−+Ω aε

0112 =Φ+Ω aε

02212 =Ω+Φ−Ω− qbε

( ) 03 322 =Φ−−Ω aε

( ) 03 422 =Φ−−Ω bε

Con este sistema de 5 ecuaciones se obtienen los 5 coeficientes de batimiento a0, a1,

a2, b1 y b2 en función de las variables de estado, las variables de control, la velocidad inducida y la velocidad de giro del rotor.

A la hora de resolver el sistema anterior no se consideran los coeficientes de

batimiento a2 y b2. Libros como [BRA01] explican que el considerar la pala del rotor rígida y el calcular estos armónicos es inconsistente ya que los desplazamientos de la pala que a2 y b2 representan son del mismo orden de magnitud que las deflexiones elásticas de la pala. En adelante solo se considerarán los tres primeros coeficientes de batimiento.

3.2.3. Fuerzas aerodinámicas

Para el cálculo de las derivadas de estabilidad, que es lo que se está buscando para analizar la estabilidad de la aeronave, es necesario calcular las fuerzas aerodinámicas del rotor, para poder conocer el valor de las variables intermedias CT y CH*. Se calculan siguiendo las indicaciones de [BRA01] al igual que se hizo con el momento aerodinámico.

Se obtendrán la tracción del rotor, la resistencia aerodinámica y el par. Los

programas que calculan estas fuerzas se adjuntan en el Anexo 3. Coeficiente de tracción Aplicando la teoría del elemento de pala se conoce que la sustentación de cada

elemento de pala es la siguiente:

( ) ( )dxUUUcCdxUUcCdL TPTLPTL ⋅−⋅⋅⋅≈−⋅+⋅⋅= 222

2

1)(

2

1θρφθρ

αα

En [BRA01] se considera que la tracción es aproximadamente la resultante de todas

las componentes de sustentación de los perfiles del rotor. Además como ya se explicó en el apartado de equilibrado esta tracción se considera prácticamente perpendicular al plano de puntas de pala.


129

Para obtener la tracción a partir del diferencial de sustentación es preciso integrar a

largo de la envergadura y posteriormente integrar acimutalmente. A la hora de la integración respecto de ψ se puede considerar o no la existencia de una zona de flujo inverso ya que el vuelo de referencia es un vuelo de avance. Se realizará una estimación de la zona de flujo inverso para una velocidad normal de funcionamiento y así poder calcular el error que se comete al despreciar esta área.

En los límites de la región de flujo inverso la velocidad transversal es nula. Esto

proporciona la ecuación que caracteriza los puntos del rotor afectados por este fenómeno.

( )

( )ψβψ

sin

sin

qR

uqeRx

+Ω−

=

Si en la ecuación anterior se considera que la región de flujo inverso físicamente

corresponde con º270=ψ y que se parte de una situación donde la velocidad de cabeceo q es nula la ecuación queda como el cociente entre la velocidad de avance y la velocidad de punta de pala.

Se estima esta zona de flujo inverso para una velocidad de avance de 100 Km/h.

154.09.262

6.3/100=

⋅=

Ω=

R

ux

Esta estimación implica que la zona del rotor sometida a flujo inverso es de 0.156

m2 que se deberán comparar con la superficie total del rotor que en este caso es de 26.42 m2. La zona de flujo inverso, en este ejemplo, supone un 0.6% del área total del disco del rotor. El efecto de esta zona tan pequeña en el valor de la tracción será despreciable.

Al despreciar la zona de flujo inverso la expresión de la tracción será:

∫ ∫ ⋅=π

ψπ

2

0

1

2e

dxdLdb

T

Para ser consistentes con los cálculos realizados previamente, esta expresión

también se simplifica tras varias hipótesis. Como ya se hizo con el momento aerodinámico se desprecian los cuadrados y potencias superiores del decalaje por tener un valor despreciable, también se desprecian los productos de coeficientes de batimiento por el mismo motivo, a excepción, en este caso, del producto a0

2 ya que a0 es mayor que a1 y a2.

La última hipótesis que se considera es el despreciar los productos entre coeficientes

de control, esto es A12=0, A1B1=0,…

El coeficiente adimensional de tracción se calculará dividiendo la expresión anterior

de la tracción entre ( )22 RR Ωρπ .


130

Coeficiente de resistencia La fuerza H, que genera el coeficiente de resistencia, se sitúa paralela al plano de

puntas y dirigida hacia la popa del helicóptero. Siguiendo el planteamiento de [BRA01] la expresión de esta fuerza es:

( )ψφψβψ sincossin +−= dLdDdH

donde φ es el ángulo de entrada de corriente que se aproxima por el cociente de la

velocidad perpendicular con la velocidad transversal. El diferencial de resistencia del elemento de pala se aproxima como:

( ) dxUcdxUUcdD TPT

222

2

1

2

1⋅⋅⋅≈+⋅⋅= δρδρ

Finalmente la fuerza será:

∫ ∫ ⋅=π

ψπ

2

0

1

2e

dxdHdb

H

Para obtener el coeficiente adimensional CH* esta fuerza se divide por ( )22 RR Ωρσπ . Par del rotor

El diferencial del par del rotor expresado aplicando la teoría del elemento de pala es:

φφφ rdLrdDdLdDrdQ −≈−⋅= )sincos( E integrando a lo largo de la envergadura y acimutalmente se obtiene la expresión

del par.

∫ ∫ ⋅=π

ψπ

2

0

1

2e

dxdQdb

Q

Una vez se ha calculado el par del rotor se adimensionaliza con el factor

( ) RRR22 Ωρσπ .


131

3.2.4. Planteamiento del sistema y cálculo de las derivadas de estabilidad

Hasta el momento se han planteado las ecuaciones que dan la dependencia de las variables intermedias respecto a las variables de estado y de control. Estas dependencias son básicas a la hora de realizar la derivación en el cálculo de las derivadas de estabilidad. Se tiene un sistema de 9 ecuaciones.

),,,,,,,,,( 011110 θBAbaaqvwufC iT =

),,,,,,,,,( 011110* θBAbaaqvwufC iH =

),,,,,,( 0110 θBAqvwufa i=

),,,,,,( 0111 θBAqvwufa i=

),,,,,,( 0111 θBAqvwufb i=

),( rVf αµ =

),,( ir vVf αλ =

),,,( 11 Bawufr =α

),,( µλTi Cfv =

La dependencia de las ecuaciones anteriores respecto de A1 puede despreciarse. En

el presente proyecto se estudia la estabilidad longitudinal por lo que A1 no se modificará y será un dato de partida.

Se pasa a calcular la fuerza resultante que actúa en el eje X, en el eje Y, y el

momento de cabeceo respecto del punto de referencia M. Como se sabe estas dos fuerzas y este momento dependen directamente de las variables intermedias detalladas al comienzo del apartado.

Fuerzas aerodinámicas y propulsivas en el eje X La resultante de las fuerzas que actúan en el eje X es tomada de [SOT05] y

fácilmente se deduce del gráfico 3.1.c.

( )

+−

Ω

−−−−−Ω= )cos(2

1)cos()sin( 11

2

211*1122 Ba

R

V

R

fBaCBa

CRRX rH

T ασπσ

ρσπ

Fuerzas aerodinámicas y propulsivas en el eje Z La resultante de las fuerzas que actúan en el eje Z es:

( )

+−

Ω

−−+−−Ω= )sin(2

1)sin()cos( 11

2

211*1122 Ba

R

V

R

fBaCBa

CRRZ rH

T ασπσ

ρσπ


132

Momento de las fuerzas entorno al punto de referencia M El punto de referencia, desde donde se toman los momentos, es la intersección entre

el eje del rotor con la línea de referencia del fuselaje. La ecuación resultante es la siguiente:

( )

)()cos(

)cos()cos(

1111*

11*1122

aBCCXBaC

hBaChBaC

RRRM

MsMfcgrW

cgHcgT

−−+⋅+−+−

⋅−+⋅−⋅Ω=

ατσ

ρσπ

Recordar que las distancias hcg y Xcg son la distancia vertical de la línea de

referencia del fuselaje a la cabeza del rotor adimensionalizada y la distancia longitudinal del centro de gravedad al eje del rotor adimensionalizada, el valor de ambas se encuentra en la tabla1.4.a.

Para obtener las derivadas de estabilidad únicamente habrá que derivar las fuerzas y

el momento calculados por las variables de estado u, w y q. El programa realizado se detalla en el Anexo 4.

Resaltar que en el cálculo de las derivadas de estabilidad hay que prestar especial

atención a las unidades. Por ejemplo en las derivadas de una fuerza respecto una velocidad, como pueda ser el caso de Xu, habrá que multiplicar a la derivada por el cociente entre la gravedad y el peso. En el caso de las derivadas del momento respecto una velocidad el factor por el que hay que multiplicar en este caso es la inversa de la inercia de la aeronave respecto del eje Y.

Se muestran a continuación los resultados de las derivadas de estabilidad para

distintas velocidades de avance del helicóptero Horus suponiendo una altura a nivel del mar.

Los valores obtenidos se comparan con las derivadas de estabilidad que se muestran

en [PAD96]. En [PAD96] se calculan las derivadas de estabilidad para tres helicópteros distintos, dos de ellos poseen rotores rígidos, el Lynx y el Bo105, y el último es un helicóptero de rotor articulado, el Puma.

A priori, los valores de las derivadas de estabilidad del helicóptero Horus se deben

aproximar mejor a las del helicóptero Puma ya que uno posee un rotor basculante y el otro un rotor articulado.


133

Gráfica 3.2.4.a– Derivada Xu frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Velocidad de avance Km/h

X u

La tendencia y los órdenes de magnitud en los que se encuentra Xu a bajas

velocidades de avance corresponden con los mostrados en [PAD96] para las tres aeronaves allí desarrolladas. Para velocidades de avance superiores o en torno a los 100 Km/h, la derivada de estabilidad se hace un orden de magnitud superior respecto a la que aparece en la referencia.

Comentar la escasa influencia que se muestra en la representación de Xu de [PAD96]

con el tipo de helicóptero.


134

Gráfica 3.2.4.b– Derivada Xw frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


X w

La tendencia de la curva es la misma que la que presenta el helicóptero Lynx, siendo ésta muy distinta a la que muestran las otras dos aeronaves. Los valores de la derivada de estabilidad del Horus son, dependiendo del rango de velocidades de avance que se considere, uno o dos órdenes de magnitud superior respecto al helicóptero Lynx. Pensar que se están comparando derivadas de estabilidad de aeronaves muy distintas, para hacerse una idea de ello basta con comparar los pesos de las aeronaves (el Horus tiene un MTOW de 2940 N frente a los 72520 N del Puma, 50225 N del Lynx o los 23520 N del Bo105).


135

Gráfica 3.2.4.c– Derivada Xq frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02


X q

Al contrario de lo que pasaba en el caso anterior, aquí la derivada de estabilidad Xq

es dos órdenes de magnitud menor que lo que muestran los resultados de [PAD96]. La derivada Xq tampoco presenta diferencias apreciables con el tipo de helicóptero. Gráfica 3.2.4.d– Derivada Zu frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05


Z u


136

La tendencia es la misma que siguen las curvas de [PAD96] destacando la poca

influencia del tipo del rotor en las curvas. Los valores de la derivada son del mismo orden de magnitud. Gráfica 3.2.4.e– Derivada Zw frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-11.88

-11.87

-11.86

-11.85

-11.84

-11.83

-11.82

-11.81

-11.8


Z w

La derivada Zw es la que más difiere de los resultados de [PAD96]. La tendencia de

Zw en el Horus es a disminuir el valor de la derivada con el aumento de la velocidad de avance mientras que en [PAD96] el comportamiento es el contrario. Comentar también que los valores de Zw de Horus son dos órdenes de magnitud superiores a los de los otros helicópteros.


137

Gráfica 3.2.4.f– Derivada Zq frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0


Z q

Al igual que en el caso de la derivada anterior, la derivada Zq no sigue la misma

tendencia que [PAD96] donde la curva es prácticamente lineal. Además los órdenes de magnitud para el helicóptero Horus son dos veces menor que los mostrados en la referencia. Gráfica 3.2.4.g– Derivada Mu frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3


Mu


138

En [PAD96] la derivada Mu es positiva para los tres helicópteros allí mostrados y

para todo el rango de velocidades. Para el Horus, sin embargo, la derivada es positiva cuando se vuela a una velocidad inferior a los 120 Km/h, a partir de ahí la derivada tomará valores negativos. Como ya ha sucedido en casi todas las derivadas anteriores, los órdenes de magnitud no corresponden siendo uno o dos órdenes de magnitud superior en el helicóptero Horus. Gráfica 3.2.4.h– Derivada Mw frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0


Mw

La derivada Mw del Horus posee aproximadamente la misma tendencia que el

helicóptero Puma, siendo ésta muy distinta a las tendencias del Bo105 y del Lynx. Ya se comentó que los valores correspondientes al Horus se deberían de ajustar mejor al helicóptero Puma ya que uno tiene un rotor basculante y el otro articulado, más parecidos entre sí que a los rotores rígidos del Lynx o el Bo105.

Al igual que en las derivadas anteriores el orden de magnitud de Mw es superior a

los valores mostrados en [PAD96].


139

Gráfica 3.2.4.i– Derivada Mq frente a la velocidad de avance de la aeronave.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.02

-0.018

-0.016

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

Velocidad de avance km/h

Mq

La última derivada a comentar es Mq, cuyo comportamiento difiere tanto en tendencia como en valor respecto a lo mostrado en [PAD96]. 3.2.5. Obtención de los modos y análisis

Una vez se han calculado todas las derivadas de estabilidad se está en disposición de

calcular los modos longitudinales de la aeronave, los cuales se obtienen calculando los autovalores de la matriz de estabilidad lineal A.

−+

−−

=

0100

0

sin

cos

qwu

eeqwu

eeqwu

MMM

gUZZZ

gWXXX

Aθθ

Las variables Ue, We y eθ se toman de los resultados del problema de equilibrado.

Se representa por separado la parte real y la parte imaginaria de cada autovalor para

un rango de velocidades de avance que va hasta los 160 Km/h y a nivel del mar. Los resultados obtenidos se representan en el gráfico 3.2.5.a.


140

Gráfica 3.2.5.a– Autovalores de la matriz de estabilidad.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Re(λ)

Im( λ)

MODO DECORTOPERIODO

MODOFUGOIDE

En el gráfico se pueden apreciar los modos de corto período y el modo fugoide que se pasan a explicar.

El modo fugoide corresponde con el par de autovalores conjugado de menor

módulo. Representa un intercambio de energía potencial y energía cinética (altura y velocidad) manteniendo el ángulo de ataque de la aeronave aproximadamente constante. Este modo está muy cerca de los límites de estabilidad, como se explicará más adelante, y será muy importante tener una estimación precisa de él ya que resultados erróneos pueden ocasionar el diseño de una aeronave inestable. Otra característica fundamental de este modo es la escasa amortiguación que presenta.

El modo de corto periodo está formado por el par de autovalores de mayor módulo.

Este modo suele estar muy amortiguado, motivo por el cual generalmente no presenta problemas en la estabilidad del helicóptero.

El comportamiento de los modos viene dado por el valor de los autovalores. La

parte real del autovalor representa su estabilidad y la parte imaginaria la frecuencia o tiempo característico de la oscilación.

Los autovalores con parte real negativa son estables, sin embargo si la parte real es

positiva el modo será inestable y habrá que introducir cambios en el diseño de la aeronave. Anteriormente se comentó que el modo fugoide está muy cerca de los límites de estabilidad, esto es debido como ya se ha explicado a que su autovalor es muy poco negativo y fácilmente puede pasar a ser positivo.


141

En el caso del helicóptero Horus el modo fugoide es inestable para velocidades de

avance inferiores a los 43 Km/h, pasando a ser estable para velocidades superiores.

Gráfica 3.2.5.b– Evolución del modo fugoide.

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.18

0.185

0.19

0.195

0.2

0.205

0.21

0.215

Re(λ)

Im( λ)

0 Km/h

43 Km/h

160 Km/h

Analizando la parte imaginaria se comenta que cuanto mayor sea ésta menor será el

periodo del modo correspondiente. Con esto último se comprueba como el periodo del modo fugoide es mucho mayor que el del modo de corto periodo.

A partir de una velocidad de avance de 108 Km/h el modo de corto periodo pasa de

tener autovalores reales negativos a tener un par de autovalores complejos conjugados, como se aprecia en la gráfica 3.2.5.c, lo cual indica que pasa a ser un modo oscilatorio. En la misma gráfica se observa el mayor periodo del modo fugoide.


142

Gráfica 3.2.5.c– Evolución del modo de corto periodo.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Re(λ)

Im( λ)

0 Km/h

160 Km/h

108 Km/h0 Km/h

Es muy interesante analizar la evolución de estos modos longitudinales ante la

variación de las derivadas de estabilidad. Las derivadas que mayor influencia ejercen en el resultado final son Xu, Zw, Mu, Mw y Mq, no obstante se analizará el efecto de incrementar un 20% el valor de todas las derivadas de estabilidad.

Tabla 3.2.5.a –Variación de los modos propios longitudinales con las derivadas de X.

Derivada

Modo fugoide

Modo de corto periodo

Xu

Más estable y mayor

periodo

Variación despreciable

Xw


Más estable

Xq




143

Tabla 3.2.5.b –Variación de los modos propios longitudinales con las derivadas de Z.

Derivada

Modo fugoide


Zu

Disminución del periodo


Zw

Oscilación del periodo

Más estable y mayor

periodo

Zq



Tabla 3.2.5.c –Variación de los modos propios longitudinales con las derivadas de M.

Derivada

Modo fugoide


Mu

Menos estable y menor

periodo


Mw

Oscilación del periodo

Menor periodo

Mq



De las tablas anteriores se desprende que se debe tener especial atención con los incrementos de la derivada de estabilidad Mu ya que el modo fugoide tiende a la inestabilidad hasta una velocidad de avance superior.

En el siguiente gráfico se muestra con asteriscos el modo fugoide considerando la

derivada Mu un 20% superior y con puntos la situación original, se aprecia como la velocidad en la que el modo fugoide se estabiliza aumenta hasta los 47 Km/h.


144

Gráfica 3.2.5.d– Evolución del modo fugoide tras un incremento en Mu.

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

Re(λ)

Im( λ)

43 Km/h

47 Km/h

En cuanto al modo de corto periodo se observa como los incrementos de las

derivadas de estabilidad apenas afectan a la estabilidad del mismo. La derivada de estabilidad que más influye sobre el modo de corto periodo es Zw con la que el modo pasa a ser oscilatorio a una velocidad mucho mayor, en este caso de 108 Km/h pasa a 147 Km/h, y aumentando el periodo considerablemente al comenzar a oscilar. Por otra parte los autovalores son más negativos por lo que será más estable.

Gráfica 3.2.5.e– Evolución del modo de corto periodo tras un incremento en Zw.

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Re(λ)

Im( λ)

108 Km/h

147 Km/h


145

Por último se realiza una tabla en la que se muestran el periodo y el tiempo en el que

la amplitud de la oscilación (en caso de que la hubiera) se reduce a la mitad (o se duplica en caso de tener un modo inestable) para tres velocidades de avance diferentes.

El tiempo en el que la amplitud de la oscilación se reduce a la mitad da una idea de

la mayor o menor amortiguación del modo.

Tabla 3.2.5.d –Periodo y amortiguación de los modos.

MODO FUGOIDE

T [s]

MODO FUGOIDE

t1/2 [s]

MODO C.PERIODO

T [s]

MODO C.PERIODO

t1/2 [s]

Vc=25 Km/h

29.26

tdouble=13.56

0

1.68

Vc=75 Km/h

32.17

24.67

0

0.32

Vc=125 Km/h

33.67

12.01

2.61

0.12

El periodo de la oscilación se calcula como:

ωπ2

=T

siendo ω la parte imaginaria del autovalor correspondiente. El tiempo en el que la amplitud de la oscilación se reduce a la mitad se calcula

como:

)Re(

2ln2/1 λ

−=t

En caso de tener un modo inestable el tiempo en el que se duplica la amplitud de la

oscilación es:

)Re(

2ln

λ=doublet

Con una velocidad de avance de 25 Km/h el modo fugoide es inestable y la amplitud

de la oscilación se duplica cada 13.56 segundos. El modo de corto periodo no presenta oscilaciones al tener un autovalor real. Se observa además como el modo de corto periodo se amortigua rápidamente.

Aumentando la velocidad de avance a 50 Km/h el modo fugoide ya se estabiliza, su

periodo es de 32.17 segundos y el tiempo que tarda en reducir su amplitud de la


146

oscilación a la mitad es 24.67 segundos. El modo de corto periodo sigue sin presentar oscilaciones y la amortiguación que muestra es mayor que en el caso anterior.

A una velocidad de avance de 125 Km/h el modo fugoide presenta un periodo de

33.67 segundos, mucho mayor que el periodo del otro modo, cuyo valor es de 2.61 segundos. Por este motivo las oscilaciones del modo fugoide se podrán notar con mayor facilidad. En este último caso se aprecia también como el amortiguamiento del modo de corto periodo es mucho mayor que el del modo fugoide.


147

3.3. ANÁLISIS PARAMÉTRICO

En este apartado se estudia la influencia de los parámetros que afectan a la estabilidad. Se considerarán modificaciones en la posición del centro de gravedad de la aeronave, variaciones en el decalaje de la articulación, y por último, el efecto de un estabilizador horizontal. Tras este análisis se podrá definir una configuración óptima de la aeronave en cuanto a estabilidad se refiere.

Efecto de la posición del centro de gravedad de la aeronave Se contempla el comportamiento del helicóptero ante variaciones longitudinales del

centro de gravedad. Según [SOT05], el centro de gravedad nunca debe estar situado detrás del eje del rotor si se desea obtener un comportamiento estable. Consultando otros libros, [PAD96] y [BRA01], tampoco consideran valores negativos de este parámetro en sus análisis.

Se representarán los modos longitudinales para tres valores de Xcg, el real de la

aeronave, un valor superior y un valor inferior. Estos son 0.001, 0.01 y 0.1. Recordar que el parámetro Xcg es la distancia longitudinal del centro de gravedad al eje del rotor adimensionalizada con el radio del rotor Los resultados se muestran en las gráficas 3.3.a y 3.3.b.

Es importante hacer notar que para el estudio anterior, el vuelo de referencia del que

se parte es un vuelo de avance con una perturbación en la velocidad vertical. Es preciso considerar una velocidad de perturbación vertical ya que si no el sumando correspondiente de la derivada de estabilidad al que contribuye Xcg es nulo y no se podrá analizar el efecto de su variación. En los gráficos anteriores, por ejemplo, se ha supuesto una velocidad vertical de 0.1 m/s.


148

Gráfica 3.3.a– Análisis paramétrico. Efecto de la variación longitudinal del centro de gravedad en el modo fugoide.

-0.05 0 0.05 0.10.17

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

0.24

Re(λ)

Im( λ)

Xcg=0.1

Xcg=0.01

Xcg=0.001

Gráfica 3.3.b– Análisis paramétrico. Efecto de la variación longitudinal del centro de gravedad en el modo de corto periodo.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Re(λ)

Im( λ)

Xcg=0.1

Xcg=0.01

Xcg=0.001


149

En el gráfico 3.3.a se observa que si el centro de gravedad de la aeronave está

colocado excesivamente alejado del eje del rotor el modo fugoide disminuye su periodo. Por ejemplo, para una velocidad de avance de 125 Km/h el periodo para Xcg de 0.01 es 33.67 segundos mientras que para Xcg de 0.1 el periodo es 31.49 segundos. Al disminuir el periodo el modo fugoide será menos apreciable en la aeronave. El segundo efecto que se consigue alejando el centro de gravedad de la aeronave es aumentar la velocidad de avance en la que el modo fugoide se estabiliza. Si en la posición original del centro de gravedad el modo se estabilizaba a 43 Km/h, alejando Xcg hasta una distancia de 0.1 habrá que llegar hasta una velocidad de 62 Km/h para conseguir estabilizar el modo.

Por el contrario, acercando el centro de gravedad al eje del rotor, las variaciones del

periodo y de la velocidad en la que se consigue estabilizar el modo son despreciables. Resaltar que la posición inicial del centro de gravedad está muy próxima al eje del rotor, así que las distancias más cercanas que aquí se consideran son muy pequeñas y despreciables también.

En cuanto al modo de corto periodo se aprecia como al alejar el centro de gravedad

del eje del rotor la velocidad en la que se pasa de un modo estable convergente a un modo convergente oscilatorio aumenta. Para Xcg de valor 0.01 esta velocidad de transición es 108 Km/h mientras que para Xcg de 0.1 la velocidad asciende a 124 Km/h. Además, para una misma velocidad de avance, la situación en la que el centro de gravedad está más alejado tendrá mayores periodos de oscilación.

Al reducir la distancia Xcg el efecto que se observa en el modo de corto periodo es

despreciable al igual que sucedió en el modo fugoide. Efecto del decalaje de la articulación de batimiento Para poder estudiar la influencia del decalaje de la articulación sobre la estabilidad

del helicóptero se consideran tres valores del parámetro, el real, el doble de éste y la mitad. Los resultados obtenidos se muestran a continuación.


150

Gráfica 3.3.c– Análisis paramétrico. Efecto de la variación del decalaje de la articulación de batimiento en el modo fugoide.

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0.18

0.185

0.19

0.195

0.2

0.205

0.21

0.215

0.22

Re(λ)

Im( λ)

e=0.24

e=0.12

e=0.06

Gráfica 3.3.d– Análisis paramétrico. Efecto de la variación del decalaje de la articulación de batimiento en el modo de corto periodo.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Re(λ)

Im( λ)

e=0.24

e=0.12

e=0.06


151

A la vista de los resultados anteriores se concluye diciendo que el decalaje de la

articulación de batimiento no tendrá una importancia clave en la estabilidad de la aeronave.

Efecto de la consideración de un estabilizador horizontal El añadir un estabilizador horizontal al helicóptero provocará cambios en el

equilibrado del mismo así como en su estabilidad. Se estudiarán los efectos que provocan variaciones en el área del estabilizador y en su emplazamiento.

Haciendo un pequeño estudio de los helicópteros semejantes en el mercado se

aprecia como existen aeronaves sin el mencionado estabilizador horizontal, como puede ser el caso del Skylark, y otras que si lo utilizan, como por ejemplo el helicóptero Ultrasport, el Mini-500 o el Dragonfly. Por lo que a priori no se sabrá si el añadir esta nueva superficie será idóneo o no.

El efecto del estabilizador en el equilibrado no será determinante puesto que la

sustentación que produce es mucho menor comparada con la del rotor principal, sin embargo los resultados del equilibrado, considerando el estabilizador, son esenciales para el análisis de la estabilidad de la aeronave donde el estabilizador horizontal si será crucial. Por lo tanto, a continuación, se resolverá primero el problema del equilibrado y posteriormente se analizará la estabilidad.

La nueva fuerza a considerar en el sistema de ecuaciones es la sustentación Ttail

provocada por la nueva superficie. La distancia entre el punto de aplicación de esta nueva fuerza y el eje del rotor principal, adimensionalizada con el radio del rotor, es lo que se llamará ltail.

Como hipótesis simplificativa se supone que el fuselaje trasero es paralelo a la línea de referencia longitudinal que pasa por el centro de gravedad de la aeronave, esto implica que la sustentación generada por el estabilizador está situada sobre el eje longitudinal.

Se define el parámetro CTtail* como:

42*R

TC tail

Ttail Ω=

ρσπ

Las ecuaciones correspondientes al equilibrado en los ejes X y Z, y la ecuación de

momentos quedarán con este nuevo coeficiente de la siguiente forma.

0)sin(

)cos(2

1)sin()cos(

)sin(

11*

11

2

211*11*11

=+−+

++−

Ω

−+−+−−−−

−

BaC

BaR

V

R

fBaCBaC

BaC

rTtail

rrWH

T

ατ

ασπ

ατσ


152

0)cos(

)sin(2

1)cos()sin(

)cos(

11*

11

2

211*11*11

=+−+

−+−

Ω

−+−++−+−

−

BaC

BaR

V

R

fBaCBaC

BaC

rTtail

rrWH

T

ατ

ασπ

ατσ

0)(

)cos()cos()cos()sin(

11*

11*11*11*11

=−−

+−+−+−+−−+−

aBC

BaCXBaChBaChBaC

Ms

rTtailcgrWH

T ατατσ

Obviamente en el sistema de ecuaciones correspondiente al equilibrado habrá que añadir ecuaciones relativas al estabilizador horizontal para poder resolver.

Es importante ver como la corriente que actúa en el estabilizador horizontal no es la

misma que actúa en el rotor principal, se tendrá que tener en cuenta la incidencia del flujo. El estabilizador, al ir en la cola, trabajará con una corriente de aire perturbada por el rotor. Por tanto, la corriente incidente está formada por la velocidad de vuelo de la aeronave V y por la velocidad inducida a la salida del rotor vi.

La velocidad de vuelo de la aeronave es fácil de determinar ya que es un dato

impuesto, sin embargo, la velocidad provocada por el rotor sobre el estabilizador es más difícil de estimar. En [BRA01] se desarrolla un método para considerar este efecto. Dicho método no será útil para el helicóptero Horus debido a que éste posee una carga discal reducida, consecuencia de ello es que los valores de velocidad inducida que posee son inferiores a los mostrados en las gráficas de [BRA01]. Para poder resolver, y siguiendo lo realizado en [SOT05], se toma la hipótesis de que la velocidad que le llega al estabilizador horizontal proveniente del rotor es directamente la velocidad inducida de éste. [SOT05] toma esta hipótesis para un autogiro, argumentando que la suposición es buena porque la estela provocada por un autogiro es menor que la estela provocada por un helicóptero. Ampliando esta afirmación se considera que la estela provocada por un helicóptero ultraligero, como es el caso del Horus, es mucho menor a la estela provocada por cualquier otro tipo de helicóptero y por este motivo la suposición es adecuada.

La velocidad incidente sobre el estabilizador será la resultante de las dos

velocidades anteriores. Esta velocidad llegará con un ángulo de deflexión ε que se define a continuación.

V

RV

V

v ri Ω−==

λαε

sintan

Además de la expresión de la incidencia de la corriente en el estabilizador es

necesario obtener la sustentación generada por la superficie. Para ello se definen dos nuevos parámetros, at y 0tα . El primero corresponde con la pendiente de la curva de

sustentación del estabilizador y el segundo con el ángulo de ataque inicial de la superficie estabilizadora (el ángulo formado entre la superficie estabilizadora y la línea de referencia del fuselaje). De tal manera que la sustentación se expresa como:


153

( )εααραρ −++−== 01122

2

1

2

1trthtailtailthtailtail BaaSVaSVT

Adimensionalizando la expresión anterior y considerando que la resultante de

velocidad sobre el estabilizador sólo está compuesta por la velocidad de vuelo al ser ésta mucho mayor que la inducida por el rotor se tiene la siguiente expresión:

( )εαα −++−

Ω

= 011

2

* 2

1trt

tail

h

Ttail BaaR

V

l

CC

donde Ch es el coeficiente de volumen del estabilizador. En los libros de diseño de aeronaves, como por ejemplo [TOR76], [ROS85] o

[RAY06], el dimensionado de las superficies se hace por comparación con aeronaves semejantes, definiendo los llamados coeficientes de volumen. La finalidad del estabilizador horizontal es contrarrestar los momentos producidos por el ala o el rotor principal en el caso del helicóptero. Es razonable, por tanto, que el tamaño del estabilizador esté relacionado con el tamaño del ala o del rotor.

La definición del coeficiente es la siguiente:

RA

lSC tailhh σ=

El coeficiente de volumen tiene en cuenta la efectividad del estabilizador horizontal

ya que considera su área multiplicada por la distancia existente entre la fuerza generada y el punto de referencia desde donde se toman momentos, esta multiplicación tiene unidades de volumen, de ahí el nombre del coeficiente.

Se tomará pues, una superficie del estabilizador horizontal aproximada en base a

helicópteros semejantes, con ello se calculará un coeficiente de volumen concreto. En [LAF03] haciendo este mismo cálculo indican los valores siguientes para el helicóptero Horus, suponiendo un estabilizador horizontal rectangular.

Cuerda estabilizador ch = 0.27 m

Envergadura estabilizador bh =1.15m

Los datos anteriores dan como resultado una superficie Sh de 0.3105 m2.

La distancia existente entre el eje del rotor y el punto de aplicación de la

sustentación del estabilizador es también fijada previamente, lógicamente se modificará en función de la mejor o peor respuesta del helicóptero. Si la distancia entre los ejes del rotor principal y el antipar es de 3.2 metros, el radio del rotor antipar es 0.53 metros, por lo que para que el estabilizador quede por delante del rotor antipar y sin interferir a este debe de estar como máximo a una distancia de 2.67 metros.


154

Con estos datos de partida se obtendrá un valor del coeficiente de volumen de

0.3286. Para cerrar el sistema de ecuaciones falta por determinar el valor de la pendiente de

la curva de sustentación del estabilizador. Lo que se suele conocer a priori es la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles del estabilizador a0t. Para obtener el valor de la primera a partir de la segunda existe un método aproximado en [SOT05]. El procedimiento se basa en calcular el factor de velocidad de Jones E conociendo los datos de la envergadura y la cuerda del estabilizador. A partir de este coeficiente se obtiene el alargamiento de la superficie ARht y con la gráfica 3.3.e se obtiene el factor f que se utilizará a continuación.

( )

235.11

1 =+=+

=hth

hh

ARb

cbE

El alargamiento ARht valdrá por tanto 4.255.

Gráfica 3.3.e– Análisis paramétrico. Factor f en función del alargamiento de estabilizador horizontal.

0 2 4 6 8 10 12 14 160.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

Alargamiento

f

Entrando en la gráfica con el valor correspondiente del alargamiento se obtiene un

factor f de 0.994. Solo faltará por definir la pendiente efectiva de la curva de sustentación y por

último, la pendiente de la curva de sustentación del estabilizador horizontal.


155

E

aa te

0=

( )h

e

e

t

S

a

afa

πππ 180

1

180

+=

Si se utilizase un perfil, para el estabilizador horizontal, idéntico a los perfiles del

rotor principal a0t valdría 5.73 generando los valores de ae igual a 4.639 y at igual a 0.966.

Añadiendo al problema de equilibrado original los sumandos correspondientes al

estabilizador, y las ecuaciones de ε y CTtail* queda un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son CT, CH, rα , vi, a1, µ , λ , B1, 0θ , CTtail* y ε .

El resultado del equilibrado para un rango de velocidades de avance hasta 160

Km/h, a nivel del mar y con un ángulo de asiento nulo es el que se muestra en los gráficos siguientes.

Gráfica 3.3.f– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de CT, CH y CTtail* frente al parámetro µ .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

µ

CTtail

CT

CH


156

Gráfica 3.3.g– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de vi frente al parámetro µ .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251

2

3

4

5

6

7

µ

v i [m/s]

Gráfica 3.3.h– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de 0θ , B1, rα , ε y a1

frente al parámetro µ .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-20

0

20

40

60

80

100

µ

[deg]

θ0B1

α r

εa1


157

Gráfica 3.3.i– Equilibrado considerando el estabilizador horizontal. Evolución de λ frente al parámetro µ .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

µ

λ

El coeficiente de tracción del estabilizador tiene una dependencia fuerte con la

distancia al eje del rotor y al ángulo de ataque inicial de la superficie 0tα . En los

gráficos anteriores se ha supuesto un ángulo 0tα nulo, obteniendo un coeficiente de

tracción negativo para todo el rango de velocidades tal y como se muestra en el gráfico 3.3.f. La sustentación generada por el estabilizador es negativa haciéndose más negativa conforme aumenta la velocidad.

El ángulo ε , representado en la gráfica 3.3.h, toma valores muy grandes a bajas velocidades de avance. Esto es debido a que la corriente que incide en el estabilizador, a bajas velocidades de avance, es prácticamente la velocidad inducida del rotor. El ángulo de deflexión de la corriente estará formado por una componente vertical grande, la velocidad inducida, y una componente horizontal muy pequeña, la velocidad de avance, dando como resultado ángulos grandes. Conforme aumenta la velocidad de avance del helicóptero el ángulo ε toma valores menores razonablemente.

Una vez desarrollado el equilibrio se procederá a la resolución de la estabilidad. Lo

primero será obtener las derivadas de las nuevas variables intermedias, CTtail* y ε , esto implica conseguir una ecuación de estas variables intermedias en función de las variables de estado y de control.

La ecuación del coeficiente de sustentación del estabilizador es la misma que la

utilizada en el equilibrado pero considerando que la condición de referencia que se toma ahora es más general. Aquí se ha de tener en cuenta la velocidad de cabeceo q, esto hace


158

que la expresión del ángulo de ataque de la cola tail'α sea distinta respecto al caso del

equilibrado tailα .

Gráfica 3.3.j– Ángulos de incidencia del estabilizador horizontal.

La expresión del ángulo de ataque del estabilizador nueva es:

V

qlV

V

qlV tailtail

tail

tailtail

tail

−≈

−=

αα

αα

cos

sin'

De tal manera que la sustentación del estabilizador queda:

( )V

qlBaVa

R

V

l

cC tailtr

t

tail

h

Ttail

−−++−

Ω

=

εαα 011

22

* 2

1

Lo siguiente es obtener la expresión que relaciona la incidencia ε con las variables

de estado y de control. Este ángulo de deflexión, a diferencia del ángulo de ataque del estabilizador, no se ve afectado por la velocidad de cabeceo q de la aeronave, por este motivo se aplica la misma ecuación que en el equilibrado.

V

RV

V

v ri Ω−==

λαε

sintan

Se tiene entonces, un nuevo sistema de variables intermedias en función de las

variables de estado y de control. Antes el sistema era de 9 ecuaciones con 9 incógnitas, al considerar el estabilizador el número de ecuaciones y de incógnitas se eleva a 11.

),,,,,,,,,( 011110 θBAbaaqvwufC iT =

),,,,,,,,,( 011110* θBAbaaqvwufC iH =

),,,,,,( 0110 θBAqvwufa i=

),,,,,,( 0111 θBAqvwufa i=

),,,,,,( 0111 θBAqvwufb i=

),( rVf αµ =

),,( ir vVf αλ =

),,,( 11 Bawufr =α

),,( µλTi Cfv =

( )11* ,,,,, BaqVfC rTtail εα=

( )ivVf ,=ε


159

A su vez, la expresión de las fuerzas y de los momentos en función de estas

variables intermedias ahora es:

( )

)sin(

)cos(2

1)cos()sin(

11*

11

2

211*1122

BaC

BaR

V

R

fBaCBa

CRRX

rTtail

rHT

+−++

++−

Ω

−−−−−Ω=

ατ

ασπσ

ρσπ

( )

)cos(

)sin(2

1)sin()cos(

11*

11

2

211*1122

BaC

BaR

V

R

fBaCBa

CRRZ

rTtail

rHT

+−+−

+−

Ω

−−+−−Ω=

ατ

ασπσ

ρσπ

( )

)cos()()cos(

)cos()cos(

11*1111*

11*1122

tailrTtailMsMfcgrW

cgHcgT

lBaCaBCCXBaC

hBaChBaC

RRRM

+−+−−−+⋅+−+−

⋅−+⋅−⋅Ω=

ατατσ

ρσπ

Derivando, nuevamente, respecto de las variables de estado se conseguirán las derivadas de estabilidad. Se muestran a continuación estas derivadas de estabilidad comparándolas con el caso simple sin estabilizador.

En las gráficas se ha supuesto un ángulo de ascenso de la trayectoria nulo, un ángulo

de ataque 0tα nulo y un vuelo a nivel del mar.

Gráfica 3.3.k– Derivada de estabilidad Xu con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0


X u

Sin estabilizador

Con estabilizador


160

Gráfica 3.3.l– Derivada de estabilidad Xw con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


X w

Sin estabilizador

Con estabilizador

Gráfica 3.3.m– Derivada de estabilidad Xq con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


X q

Sin estabilizador

Con estabilizador


161

Gráfica 3.3.n– Derivada de estabilidad Zu con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1


Z u

Sin estabilizador

Con estabilizador

Gráfica 3.3.o– Derivada de estabilidad Zw con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-12.5

-12.4

-12.3

-12.2

-12.1

-12

-11.9

-11.8


Z w

Sin estabilizador

Con estabilizador


162

Gráfica 3.3.p– Derivada de estabilidad Zq con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


Z q

Sin estabilizador

Con estabilizador

Gráfica 3.3.q– Derivada de estabilidad Mu con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Mu

Sin estabilizador

Con estabilizador


163

En la tabla 3.2.5.c se comprobó que aumentos de la derivada de estabilidad Mu

provocaban que el modo fugoide se desestabilizara. A la vista del resultado no se espera un buen comportamiento del modo fugoide.

Gráfica 3.3.r– Derivada de estabilidad Mw con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0


Mw

Sin estabilizador

Con estabilizador

Gráfica 3.3.s– Derivada de estabilidad Mq con el estabilizador horizontal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-2

0

2

4

6

8

10


Mq

Sin estabilizador

Con estabilizador


164

La derivada de estabilidad que se ve más modificada añadiendo el estabilizador es

Mq, que pasa de tener un valor casi nulo a tener una tendencia lineal. En el gráfico 3.3.t se ve como el comportamiento ha empeorado notablemente ya

que el modo fugoide se vuelve inestable para casi todo el rando de velocidades. Esta inestabilidad global del modo fugoide ya se predijo con el peor comportamiento de la derivada Mu. El comportamiento del modo de corto periodo es también considerablemente peor estando mucho más cerca de los límites de estabilidad.

Gráfica 3.3.t– Modos longitudinales con el estabilizador horizontal.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Re(λ)

Im( λ)

Sin estabilizador

Con estabilizador

Se procederá ahora a considerar cambios en la distancia del eje del rotor al

estabilizador y en el área del estabilizador para ver si es posible una mejora en el comportamiento, o si por el contrario, es necesario que el helicóptero Horus no posea estabilizador horizontal al igual que ocurre en el helicóptero Skylark.

Se analizará primero el efecto de la distancia del punto de aplicación de la

sustentación del estabilizador. Ya se vio como la posición más atrasada del estabilizador era de 2.67 metros, así

que se considerarán distancias inferiores al rotor y se examinarán.


165

Gráfica 3.3.u– Análisis paramétrico. Efecto de ltail en el modo fugoide.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Re(λ)

Im( λ)

ltail=2.67 m

ltail=2.25 m

ltail=1.75 m

ltail=1.25 m

Gráfica 3.3.v– Análisis paramétrico. Efecto de ltail en el modo de corto periodo.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Re(λ)

Im( λ)

ltail=2.67 m

ltail=2.25 mltail=1.75 m

ltail=1.25 m


166

En función de los resultados vistos en las gráficas 3.3.u y 3.3.v se llega a la

conclusión de que el helicóptero es más estable cuanto más cerca esté colocado el estabilizador horizontal. El modo fugoide, por ejemplo, en el caso en el que ltail vale 1.25 metros se hace estable a una velocidad de avance de 93 Km/h, mientras que si vale 1.75 metros pasa a ser estable a 101 Km/h, con ltail de 2.25 metros la velocidad asciende a 111 Km/h y por último con ltail de 2.67 metros se estabiliza a 122 Km/h. Por otra parte, el modo de corto periodo, está más cerca de los límites de estabilidad cuanto más alejado se encuentra el estabilizador.

A continuación se estudia el efecto de la mayor o menor superficie del estabilizador.

El caso de referencia resuelto tenía un área de 0.3105 m2, ahora se resolverá un caso de mayor superficie y otro de menor, siempre guiándonos con los helicópteros semejantes que poseen estabilizador.

Las superficies de los modelos son las siguientes, el Ultrasport tiene un estabilizador

de 0.357 m2, el Mini-500 de 0.257 m2 y el Dragonfly de 0.221 m2. Estos datos se encuentran en [LAF03].

A la vista de las referencias anteriores se puede considerar una nueva superficie del

estabilizador de 0.4 m2, mayor que la tomada inicialmente para el Horus y aproximadamente igual a la que tiene el Ultrasport. Esta nueva superficie modificará la cuerda y la envergadura del estabilizador. Se toma la hipótesis que la envergadura se mantiene constante y lo que se varía es la cuerda, que en este caso sería de 0.34 m.

Partiendo de estos datos los nuevos parámetros se muestran en la tabla 3.3.a.

Tabla 3.3.a– Análisis paramétrico. Definición de los nuevos parámetros del estabilizador al variar el área del mismo a 0.4 m2.

Parámetro Valor

Sh 0.4 m2

ch 0.34 m

bh 1.15 m

E 1.296

ARht 3.382

f 0.9965

ae 4.421

at 1.246


167

La respuesta de la aeronave, para distintas posiciones del estabilizador, es la que se

muestra en los gráficos 3.3.w y 3.3.x.

Gráfica 3.3.w– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.4 m2 en el modo fugoide.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Re(λ)

Im( λ)

ltail=2.67 m

ltail=2.25 m

ltail=1.75 m

ltail=1.25 m

Gráfica 3.3.x– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.4 m2.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-15

-10

-5

0

5

10

15

Re(λ)

Im( λ)

ltail=2.67 m


ltail=1.25 m


168

El comportamiento de la aeronave con el estabilizador de mayor superficie es peor

que con el estabilizador de referencia. En la gráfica 3.3.x se observa como, incluso el modo de corto periodo, se desestabiliza cuando la superficie está muy alejada del eje del rotor principal.

Seguidamente se resuelve el caso en el que el estabilizador horizontal es menor que

el de referencia. Concretamente se tomará un área de 0.2 m2, parecida a la que poseen helicópteros como el Mini-500 o el Dragonfly.

Los valores de los parámetros para este caso son los de la tabla 3.3.b.

Tabla 3.3.b– Análisis paramétrico. Definición de los nuevos parámetros del estabilizador al variar el área del mismo a 0.2 m2.

Parámetro Valor

Sh 0.2 m2

ch 0.17 m

bh 1.15 m

E 1.148

ARht 6.765

f 0.9869

ae 4.991

at 0.619

La respuesta de la aeronave en este caso es entonces la que sigue.


169

Gráfica 3.3.y– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.2 m

2 en el modo fugoide.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Re(λ)

Im( λ)

ltail=2.67 m

ltail=2.25 m

ltail=1.75 m

ltail=1.25 m

Gráfica 3.3.z– Análisis paramétrico. Efecto de ltail con una superficie de 0.2 m

2.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Re(λ)

Im( λ)

ltail=2.67 m


ltail=1.25 m


170

La estabilidad en este último caso es mucho mejor que en la situación de referencia,

y por descontado la situación de área del estabilizador superior. Las velocidades en las que el modo fugoide pasa a ser estable se reducen, por ejemplo, para ltail de 1.25 metros la velocidad de avance en la que se estabiliza el modo pasa de 93 Km/h en la situación de referencia a 84 Km/h reduciendo el área del estabilizador.

Ante este resultado se puede concluir que cuanto menor sea el área del estabilizador

mejor será el comportamiento estable de la aeronave. La última cuestión que se puede plantear es si la aeronave debe o no tener

estabilizador horizontal. Para ello se compararán los diagramas de estabilidad en el caso de la aeronave simple y en el caso en el que se tiene un estabilizador horizontal de 0.2 m2 colocado a una distancia del rotor principal de 1.25 m. Se considera este estabilizador por ser el óptimo de los vistos anteriormente.

Gráfica 3.3.aa– Análisis paramétrico. Comparación comportamiento con y sin estabilizador en el modo fugoide.

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Re(λ)

Im( λ)

Sin estabilizador

Con estabilizador óptimo

84 Km/h

43 Km/h

0 Km/h

0 Km/h


171

Gráfica 3.3.ab– Análisis paramétrico. Comparación comportamiento con y sin estabilizador.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Re(λ)

Im( λ)

Sin estabilizador

Con estabilizador óptimo

La conclusión es clara y evidente. Mientras que la aeronave con estabilizador tiene

un modo fugoide estable a partir de los 84 Km/h, el helicóptero que no tiene el estabilizador posee este mismo modo estable para velocidades superiores a los 43 Km/h. Además, como se aprecia en el gráfico 3.3.ab, el modo de corto periodo presenta una mejor estabilidad en el caso sin estabilizador. El comportamiento de la aeronave es mejor sin estabilizador horizontal, al igual que ocurre en el helicóptero Skylark.

Destacar que en muchas ocasiones se busca que los modos de estabilidad sean un

poco inestables para así tener una aeronave más maniobrable en la que el piloto pueda modificar con facilidad las condiciones de vuelo. Para este caso se podría colocar un pequeño estabilizador cerca del eje del rotor.


172

4. Anexos

Incluimos en los anexos los programas de MAPLE realizados. Aclarar que no se

muestran aquí los programas desarrollados en Matlab por su extensión.

4.1. ANEXO 1. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD

La versión utilizada para la resolución del proyecto es MAPLE 7. No es la más moderna puesto que actualmente se usa MAPLE 11, pero era la versión que se poseía a la hora de resolver el problema. De todas formas los resultados son igual de válidos.

En el programa mostrado se parte de una condición general. En el problema

longitudinal resuelto el cálculo de la velocidad es más sencillo puesto que hay variables que se anulan.

A continuación se muestra el programa desarrollado.

> restart; > velocidad:=<u,v,w>;

:= velocidad

u

v

w

> velocidadangular:=<p, q, r>;

:= velocidadangular

p

q

r

> velocidadbuje:=<u-(q*h*R),v+(p*h*R),w>;

:= velocidadbuje

− u q h R

+ v p h R

w

> M01:=<<-cos(Psi) | sin(Psi) | 0> , <-sin(Psi) | -cos(Psi) | 0> , <0 | 0 | 1>>;

:= M01

− ( )cos Ψ ( )sin Ψ 0

− ( )sin Ψ − ( )cos Ψ 0

0 0 1

> rartic:=<e*R,0,0>;

:= rartic

e R

0

0

> omegarotor:=<0,0,-Omega>;


173

:= omegarotor

0

0

−Ω

> M12:=<<1 | 0 | 0> , <0 | -1 | 0> , <0 | 0 | -1>>;

:= M12

1 0 0

0 -1 0

0 0 -1

> M23:=<<cos(beta) | 0| sin(beta)> , < 0| 1 | 0> , <-sin(beta) | 0 | cos(beta)>>;

:= M23

( )cos β 0 ( )sin β0 1 0

− ( )sin β 0 ( )cos β

> omegaartic1:=evalm(M01&*velocidadangular+omegarotor); := omegaartic1 [ ], ,− + ( )cos Ψ p ( )sin Ψ q − − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q − r Ω

> M123:=evalm(M12&*M23);

:= M123

( )cos β 0 ( )sin β0 -1 0

( )sin β 0 − ( )cos β

> omegapala:=evalm(M123&*omegaartic1+[Diff(theta,t),-Diff(beta,t), 0]);

omegapala + + ( )cos β ( )− + ( )cos Ψ p ( )sin Ψ q ( )sin β ( ) − r Ω

∂

∂tθ ,

:=

+ − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q

∂

∂tβ − ( )sin β ( )− + ( )cos Ψ p ( )sin Ψ q ( )cos β ( ) − r Ω,

> relemento:=<x*R, 0, 0>;

:= relemento

x R

0

0

> velocidadbuje1:=evalm(M01&*velocidadbuje); velocidadbuje1 − + ( )cos Ψ ( ) − u q h R ( )sin Ψ ( ) + v p h R ,[ :=

− − ( )sin Ψ ( ) − u q h R ( )cos Ψ ( ) + v p h R w, ]

> with(linalg); > prodvect1:=crossprod(omegaartic1,rartic);

:= prodvect1 [ ], ,0 ( ) − r Ω e R −( )− − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q e R

> velocidadartic1:=evalm(velocidadbuje1+prodvect1+[0,0,-V]);#siendo V la velocidad inducida velocidadartic1 − + ( )cos Ψ ( ) − u q h R ( )sin Ψ ( ) + v p h R ,[ :=

− − + ( )sin Ψ ( ) − u q h R ( )cos Ψ ( ) + v p h R ( ) − r Ω e R,

− − w ( )− − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q e R V ]

> velocidadartic3:=evalm(M23&*M12&*velocidadartic1);


174

velocidadartic3 ( )cos β ( )− + ( )cos Ψ ( ) − u q h R ( )sin Ψ ( ) + v p h R[ :=

( )sin β ( ) − − w ( )− − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q e R V − ,

+ − ( )sin Ψ ( ) − u q h R ( )cos Ψ ( ) + v p h R ( ) − r Ω e R,

( )sin β ( )− + ( )cos Ψ ( ) − u q h R ( )sin Ψ ( ) + v p h R−( )cos β ( ) − − w ( )− − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q e R V − ]

> with(linalg); > prodvect2:=crossprod(omegapala,relemento);

prodvect2 0 ( ) − ( )sin β ( )− + ( )cos Ψ p ( )sin Ψ q ( )cos β ( ) − r Ω x R, , :=

−


∂

∂tβ x R

> velemento:=evalm(velocidadartic3+prodvect2);

velemento ( )cos β ( )− + ( )cos Ψ ( ) − u q h R ( )sin Ψ ( ) + v p h R :=

( )sin β ( ) − − w ( )− − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q e R V − ( )sin Ψ ( ) − u q h R,

( )cos Ψ ( ) + v p h R ( ) − r Ω e R + − ( ) − ( )sin β ( )− + ( )cos Ψ p ( )sin Ψ q ( )cos β ( ) − r Ω x R + ,( )sin β ( )− + ( )cos Ψ ( ) − u q h R ( )sin Ψ ( ) + v p h R−( )cos β ( ) − − w ( )− − ( )sin Ψ p ( )cos Ψ q e R V −


∂

∂tβ x R −


175

4.2. ANEXO 2. CÁLCULO DEL MOMENTO AERODINÁMICO. > restart; > beta:=a0-a1*cos(Psi)-b1*sin(Psi)-a2*cos(2*Psi)-b2*sin(2*Psi);

:= β − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ

> dbeta:=a1*Omega*sin(Psi)-b1*Omega*cos(Psi)+2*a2*Omega*sin(2*Psi)-2*b2*Omega*cos(2*Psi);

:= dbeta − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ

> UT:=evalm(sin(Psi)*(u-(q*h*R))+(Omega*e*R)+x*R*(beta*q*sin(Psi)+Omega)); UT ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + :=

x R ( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω +

> UP:=evalm(-beta*cos(Psi)*(u-(q*h*R))+(w+(q*cos(Psi)*e*R)-V)+(q*cos(Psi)-dbeta*x*R)); UP :=

( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ ( )cos Ψ ( ) − u q h R−w ( )cos Ψ q e R V ( )cos Ψ q + + − + ( ) − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ x R −

> #CÁLCULO DEL MOMENTO AERODINÁMICO > DL:=(1/2)*rho*a*c*((theta0-A1*cos(Psi)-B1*sin(Psi))*(UT^2)+(UT*UP));

DL12ρ a c ( ) − − θ0 A1 ( )cos Ψ B1 ( )sin Ψ ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + (( :=


)2 ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + ( + x R ( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω +

) ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ ( )cos Ψ ( ) − u q h R−(w ( )cos Ψ q e R V ( )cos Ψ q + + − + ( ) − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ x R − ) )

> MA:=int(R*x*DL,x=e..1);

MA18R ρ a c ( ) − − θ0 A1 ( )cos Ψ B1 ( )sin Ψ R2( :=

( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω 2 R2 − ( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω

( ) − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ ) ( ) − 1 e416

+

R ρ a c 2 ( ) − − θ0 A1 ( )cos Ψ B1 ( )sin Ψ ( ) + ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R R(

( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω − ( ) + ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R


176

( ) − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ R R + ( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω (

( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ ( )cos Ψ ( ) − u q h R−

w ( )cos Ψ q e R V ( )cos Ψ q + + − + ) ) ( ) − 1 e314R ρ a c ( +

( ) − − θ0 A1 ( )cos Ψ B1 ( )sin Ψ ( ) + ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R 2 + ( ) + ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R (

( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ ( )cos Ψ ( ) − u q h R−

w ( )cos Ψ q e R V ( )cos Ψ q + + − + ) ) ( ) − 1 e2


177

4.3. ANEXO 3. CÁLCULO DE LAS FUERZAS AERODINÁMICAS. > restart; > beta:=a0-a1*cos(Psi)-b1*sin(Psi)-a2*cos(2*Psi)-b2*sin(2*Psi);

:= β − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ

> dbeta:=a1*Omega*sin(Psi)-b1*Omega*cos(Psi)+2*a2*Omega*sin(2*Psi)-2*b2*Omega*cos(2*Psi);

:= dbeta − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ

> UT:=evalm(sin(Psi)*(u-(q*h*R))+(Omega*e*R)+x*R*(beta*q*sin(Psi)+Omega)); UT ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + :=


> UP:=evalm(-beta*cos(Psi)*(u-(q*h*R))+(w+(q*cos(Psi)*e*R)-V)+(q*cos(Psi)-dbeta*x*R)); UP :=

( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ ( )cos Ψ ( ) − u q h R−w q ( )cos Ψ e R V q ( )cos Ψ + + − + ( ) − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ x R −

> DL:=(1/2)*rho*a*c*((theta0-A1*cos(Psi)-B1*sin(Psi))*(UT^2)+(UT*UP));#respecto de x

DL12ρ a c ( ) − − θ0 A1 ( )cos Ψ B1 ( )sin Ψ ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + (( :=


)2 ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + ( + x R ( ) + ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ q ( )sin Ψ Ω +

) ( ) − − − − a0 a1 ( )cos Ψ b1 ( )sin Ψ a2 ( )cos 2 Ψ b2 ( )sin 2 Ψ ( )cos Ψ ( ) − u q h R−(w q ( )cos Ψ e R V q ( )cos Ψ + + − + ( ) − + − a1 Ω ( )sin Ψ b1 Ω ( )cos Ψ 2 a2 Ω ( )sin 2 Ψ 2 b2 Ω ( )cos 2 Ψ x R − ) )

> L:=int(int(DL*b/(2*Pi),x=e..1),Psi=0..2*Pi);

L148

ρ a c b 6 u2 b2 12 u b2 q h R 12 Ω e R a1 u 6 q2 h2 R2 b2− + − − (− :=

12 Ω e R2 a1 q h 12 θ0 q2 h R2 a0 6 A1 Ω e R2 q b2 4 R2 e3 B1 q2 b1 a2 + + − +

2 R2 e3 θ0 q2 b22 2 R2 e3 Ω q b1 b2 20 R2 e3 θ0 q b1 Ω 2 R2 A1 q2 b1 b2 + + − + 2 R2 A1 q2 a0 a1 2 R2 B1 q2 a1 b2 R2 θ0 q2 a12 2 R2 θ0 q2 b22 − + − −

6 θ0 q2 h R2 a2 12 B1 q h R2 Ω 3 A1 q2 h R2 a1 12 θ0 Ω e R2 q b1 + − + +

6 q2 a0 b2 h R2 9 B1 q2 h R2 b1 6 B1 Ω e R2 q a2 3 q2 b2 e R2 + + + +

3 R2 e3 θ0 q2 b12 10 R2 e3 B1 q a2 Ω 2 R2 e3 Ω q a1 a2 2 R2 Ω q a1 a2 + − + −


178

8 R2 θ0 q b1 Ω 4 R2 B1 q2 b1 a2 2 R2 Ω q b1 b2 2 R2 θ0 q2 a22 + − − −

3 R2 θ0 q2 b12 6 R2 B1 q2 a0 b1 4 R2 B1 q a2 Ω 4 R2 θ0 q2 a02 − − + −

24 B1 q h R2 Ω e 3 e3 q2 b2 R2 9 e2 B1 q2 h R2 b1 6 e2 q2 a0 b2 h R2 − − − −

36 e2 B1 q h R2 Ω 2 R2 e3 B1 q2 a1 b2 2 R2 e3 θ0 q2 a22 4 R2 e3 θ0 q2 a02 + − + + 4 R2 e3 θ0 q2 a0 a2 2 R2 e3 A1 q2 b1 b2 20 R2 e3 B1 q a0 Ω + − −

10 R2 e3 A1 q b2 Ω 2 R2 e3 A1 q2 a0 a1 R2 e3 θ0 q2 a12 4 R2 θ0 q2 a0 a2 + + + −

12 R θ0 u q a0 6 R q b1 V 6 R q a0 b2 u 6 e2 θ0 q2 h R2 a2 − − − −

12 e2 θ0 q2 h R2 a0 56 R2 e3 θ0 Ω2 3 R q a1 b1 u 12 R B1 u Ω − + + + 3 R A1 u q a1 24 θ0 u q h R 24 B1 u Ω e R 24 θ0 Ω2 e2 R2 − + + −

9 R e2 B1 u q b1 6 R e2 q b1 w 3 R e2 q a1 b1 u 24 θ0 Ω2 e R2 + − − −

8 R2 B1 q a0 Ω 12 Ω e2 R a1 u 12 Ω e2 R2 a1 q h 12 e θ0 q2 h2 R2 + + − +

6 e q2 h2 R2 b2 12 e u b2 q h R 24 e θ0 u q h R 9 R B1 u q b1 6 R q b1 w + − − − + 12 θ0 q2 h2 R2 4 R2 Ω q a0 a1 3 q2 a1 b1 h R2 4 R2 e3 Ω q a0 a1 − + − −

3 e2 A1 q2 h R2 a1 3 R e2 q2 b2 36 R e2 Ω V 36 R e2 Ω w 36 R e2 B1 u Ω − − − + −

12 R e2 θ0 u q a0 6 R e2 θ0 u q a2 3 R e2 A1 u q a1 6 R e2 q b1 V 12 θ0 u2 + + + + −

24 Ω e R w 24 Ω e R V 12 e θ0 u2 12 R Ω w 8 R2 θ0 Ω2 12 R Ω V − + + − − + 3 R q2 b2 6 e u2 b2 3 e2 q2 a1 b1 h R2 12 B1 Ω e R2 q a0 + + + +

6 R2 e3 B1 q2 a0 b1 4 R2 A1 q b2 Ω 6 R e2 q a0 b2 u 6 R θ0 u q a2 + − + − )

> dD:=(1/2)*rho*delta*c*UT**2;

dD12ρ δ c ( )sin Ψ ( ) − u q h R Ω e R + ( :=


)2

> H1:=int(int(dD*sin(Psi),x=e..1),Psi=0..2*Pi); > H2:=int(int(DL*beta*cos(Psi),x=e..1),Psi=0..2*Pi); > H3:=int(int(DL*UP*sin(Psi)/UT,x=e..1),Psi=0..2*Pi); > H:=(b/(2*Pi))*(H1-H2-H3);

H12b

112

ρ a c e3 R2 a2 Ω A1 q b1 π116

ρ a c e3 q2 R2 A1 a0 π− − :=

12ρ a c a0 q h R2 a2 Ω π

18ρ a c e q R A1 u π

116

ρ a c q2 θ0 R a1 π + + +

316

ρ a c e2 V B1 R q b1 π18ρ a c e u A1 q π

12ρ a c w B1 Ω e R π − − +

34ρ a c e2 V B1 Ω R π

12ρ a c e w θ0 u π

14ρ a c e2 V θ0 R q a0 π + + −

16ρ a c e3 R2 q a02 a2 Ω π ρ a c e3 R2 A1 Ω2 a2 π

18ρ a c e3 R2 a2 Ω2 b1 π − + −

12ρ a c e3 R2 q b1 θ0 Ω a1 π

124

ρ a c e3 R2 q2 a03 A1 π + −


179

14ρ a c e3 R2 q2 b1 θ0 b2 a0 π

364

ρ a c e3 R2 q2 a12 B1 b2 π + +

112

ρ a c e3 R2 q a12 a2 Ω π18ρ a c e3 R2 q2 a02 B1 b2 π − +

148

ρ a c e3 R2 q2 a13 θ0 π112

ρ a c e3 R2 q a0 b12 Ω π − −

132

ρ a c R2 q2 b1 B1 a2 a1 π116

ρ a c R2 q2 b1 θ0 b2 a2 π + −

14ρ a c R2 B1 Ω2 b2 π

12ρ a c R2 q b2 θ0 Ω a0 π

13ρ a c R2 θ0 Ω2 a1 π − + +

724

ρ a c R2 q b1 B1 Ω b2 π332

ρ a c R2 q2 b1 A1 b2 a1 π + −

116

ρ a c e3 R2 q2 a12 A1 a0 π124

ρ a c e3 R2 q b22 a2 Ω π − −

14ρ a c R2 b2 Ω2 a1 π

164

ρ a c R2 q2 b12 A1 a2 π124

ρ a c R2 q a23 Ω π − + +

724

ρ a c R2 q a1 B1 Ω a0 π112

ρ a c R2 q b12 a2 Ω π124

ρ a c R2 q2 a03 A1 π − + +

116

ρ a c R2 q2 a0 B1 a2 b2 π132

ρ a c R2 q2 b23 B1 π148

ρ a c R2 q2 a13 θ0 π − − +

14ρ a c R2 q2 b1 θ0 b2 a0 π

14ρ a c R2 q b1 θ0 Ω a1 π − −

112

ρ a c R2 q a12 a2 Ω π14ρ a c R2 a2 Ω2 b1 π

14ρ a c R2 A1 Ω2 a2 π + + −

16ρ a c R2 q a02 a2 Ω π

116

ρ a c R2 q2 b12 A1 a0 π + +

18ρ a c R2 q2 a1 B1 b1 a0 π

132

ρ a c R2 q2 a22 A1 a0 π + +

524

ρ a c R2 q a1 A1 Ω b2 π18ρ a c R2 q2 a02 B1 b2 π + −

364

ρ a c R2 q2 a12 B1 b2 π16ρ a c R2 b1 Ω2 a0 π

132

ρ a c R2 q2 a1 θ0 a22 π − − +

18ρ a c R2 q2 a02 θ0 a1 π

16ρ a c R2 A1 Ω2 a0 π

564

ρ a c R2 q2 b12 B1 b2 π + + −

332

ρ a c R2 q2 a0 A1 b22 π164

ρ a c R2 q2 a12 A1 a2 π + −

116

ρ a c R2 q2 b12 θ0 a1 π124

ρ a c R2 q b22 a2 Ω π + +

116

ρ a c R2 q2 a12 A1 a0 π112

ρ a c R2 q a0 b12 Ω π + +

132

ρ a c R2 q2 a22 B1 b2 π112

ρ a c R2 q a12 Ω a0 π − −

332

ρ a c R2 q2 a1 θ0 b22 π18ρ a c R2 q b1 A1 Ω a0 π + −


180

512

ρ a c e3 R2 b1 Ω2 a0 π116

ρ a c e3 R2 q2 a0 B1 a2 b2 π + +

112

ρ a c e3 R2 q b12 a2 Ω π132

ρ a c e3 R2 q2 b23 B1 π − +

18ρ a c e3 R2 b2 Ω2 a1 π

164

ρ a c e3 R2 q2 b12 A1 a2 π + −

1324

ρ a c e3 R2 q a1 B1 Ω a0 π1912

ρ a c e3 R2 θ0 Ω2 a1 π + −

ρ a c e3 R2 B1 Ω2 b2 π124

ρ a c e3 R2 q a23 Ω π1324

ρ a c e3 R2 q b1 B1 Ω b2 π + − −

ρ a c e3 R2 q b2 θ0 Ω a0 π116

ρ a c e3 R2 q2 b1 θ0 b2 a2 π − +

132

ρ a c e3 R2 q2 b1 B1 a2 a1 π132

ρ a c e3 R2 q2 a22 B1 b2 π − +

112

ρ a c e3 R2 q a12 Ω a0 π332

ρ a c e3 R2 q2 b1 A1 b2 a1 π + +

76ρ a c e3 R2 A1 Ω2 a0 π

164

ρ a c e3 R2 q2 a12 A1 a2 π − +

116

ρ a c e3 R2 q2 b12 θ0 a1 π18ρ a c e3 R2 q2 a1 B1 b1 a0 π − −

332

ρ a c e3 R2 q2 a0 A1 b22 π332

ρ a c e3 R2 q2 a1 θ0 b22 π − −

38ρ a c e3 R2 q b1 A1 Ω a0 π

132

ρ a c e3 R2 q2 a1 θ0 a22 π + −

116

ρ a c e3 R2 q2 b12 A1 a0 π132

ρ a c e3 R2 q2 a22 A1 a0 π12ρ a c w θ0 u π − − −

1124

ρ a c e3 R2 q a1 A1 Ω b2 π564

ρ a c e3 R2 q2 b12 B1 b2 π − +

18ρ a c e3 R2 q2 a02 θ0 a1 π

12ρ a c e w θ0 q h R π

12ρ a c V θ0 q h R π − − −

12ρ a c V θ0 u π

54ρ a c e2 R Ω w a1 π

18ρ a c e2 R B1 u q b2 a0 π + − +

18ρ a c e2 R2 θ0 q2 h a1 a0 π

38ρ a c e2 R q a0 b2 u a1 π + −

38ρ a c e2 R2 q2 a1 b2 h a0 π

18ρ a c e3 R2 q2 b1 a0 π

78ρ a c e2 R Ω q a2 π + − −

132

ρ a c e2 R2 q2 b13 h π18ρ a c e2 R θ0 u q a0 a1 π − −

38ρ a c e2 R2 B1 q h Ω a1 π

316

ρ a c e2 R q a02 b1 u π14ρ a c e2 R q b2 w a0 π − + −

132

ρ a c e2 R2 A1 q2 h a12 π38ρ a c e2 R Ω a22 u π

18ρ a c e2 R θ0 u q b2 b1 π + − +

116

ρ a c e q2 R2 θ0 a1 π112

ρ a c R2 q b1 A1 Ω a2 π364

ρ a c e2 R q b1 a22 u π + + +


181

34ρ a c e2 R2 Ω a02 q h π

332

ρ a c e2 R2 q2 a2 b2 h a1 π ρ δ c u Ω e R π + − +

ρ δ c q h R2 Ω e π38ρ δ c R u q b1 π

12ρ δ c R u Ω π

32ρ δ c R e2 u Ω π − − + −

12ρ δ c R2 q h Ω π

12ρ δ c R2 Ω e q a0 π

14ρ δ c R2 Ω e q a2 π − + +

38ρ δ c R2 q2 h b1 π

32ρ δ c R2 e2 q h Ω π

38ρ δ c R2 e2 q2 h b1 π + + −

38ρ δ c R e2 u q b1 π

964

ρ a c e2 R q b22 u b1 π16ρ δ c R2 q a2 Ω π + + +

13ρ δ c R2 q a0 Ω π

112

ρ δ c R2 q2 a1 b2 π14ρ δ c R2 q2 a0 b1 π + + −

16ρ δ c R2 q2 b1 a2 π

34ρ a c e3 R2 Ω q a0 π

18ρ a c e2 R A1 u Ω b1 π − + +

18ρ a c e2 R2 θ0 q2 h b2 b1 π

512

ρ δ c R2 e3 q a2 Ω π56ρ δ c R2 e3 q a0 Ω π − − −

112

ρ δ c R2 e3 q2 a1 b2 π14ρ δ c R2 e3 q2 a0 b1 π

16ρ δ c R2 e3 q2 b1 a2 π − + +

164

ρ a c e2 R A1 u q a22 π38ρ a c e2 R2 Ω b22 q h π − +

132

ρ a c e2 R2 A1 q2 h b12 π18ρ a c e3 R2 q2 b2 a1 π + +

58ρ a c e2 R2 θ0 q h Ω b2 π

132

ρ a c e2 R q b13 u π + +

116

ρ a c e2 R B1 u q a1 b1 π332

ρ a c e2 R2 q2 a12 b1 h π − −

332

ρ a c e2 R q a12 b1 u π34ρ a c e2 R Ω q a0 π

132

ρ a c e2 R B1 u q b2 a2 π + + +

18ρ a c e2 R u b12 Ω π

54ρ a c e2 R Ω V a1 π

116

ρ a c e2 R2 B1 q2 h b1 a1 π − + +

132

ρ a c e2 R2 B1 q2 h b2 a2 π18ρ a c e2 R2 A1 q h Ω b1 π − −

38ρ a c e2 R2 Ω a22 q h π

18ρ a c e2 R q2 b2 a1 π

34ρ a c e2 R Ω a02 u π + + −

18ρ a c e2 R q b1 w a1 π

18ρ a c e2 R2 q h b12 Ω π

58ρ a c e2 R θ0 u Ω b2 π + + −

316

ρ a c e2 R2 q2 a02 b1 h π116

ρ a c e2 R A1 u q a02 π − −

18ρ a c e2 R2 B1 q2 h b2 a0 π

78ρ a c e3 R2 Ω q a2 π

14ρ a c e2 R q a0 V b2 π − − +

364

ρ a c e2 R A1 u q b22 π132

ρ a c e2 R A1 u q b12 π − −

164

ρ a c e2 R2 A1 q2 h a22 π38ρ a c e2 R Ω b22 u π

18ρ a c e2 R2 A1 q2 h π + − +


182

38ρ a c e2 R B1 u Ω a1 π

58ρ a c e2 R Ω a12 u π

132

ρ a c R q b13 u π + − −

18ρ a c e2 R q2 b1 a0 π

18ρ a c e2 R q b1 V a1 π

364

ρ a c e2 R2 A1 q2 h b22 π − − +

964

ρ a c e2 R2 q2 b1 b22 h π58ρ a c e2 R2 Ω a12 q h π − +

116

ρ a c e2 R2 A1 q2 h a02 π332

ρ a c e2 R q a2 b2 u a1 π + +

132

ρ a c e2 R A1 u q a12 π18ρ a c R q2 b1 a0 π

364

ρ a c R q b1 a22 u π − + −

332

ρ a c R2 q2 a2 b2 h a1 π964

ρ a c R2 q2 b1 b22 h π14ρ a c R2 Ω a12 q h π + + −

332

ρ a c R q a2 b2 u a1 π14ρ a c R2 Ω a02 q h π

116

ρ a c R2 A1 q2 h a02 π − − −

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a0 π

132

ρ a c R A1 u q a12 π18ρ a c R Ω b22 u π + + +

316

ρ a c R2 q2 a02 b1 h π18ρ a c R q b1 V a1 π

364

ρ a c R2 A1 q2 h b22 π + + −

14ρ a c R B1 u Ω a1 π

14ρ a c R Ω a12 u π

12ρ a c R2 θ0 Ω e q b2 a0 π − + +

12ρ a c R2 B1 Ω2 e b2 π

132

ρ a c R A1 u q b12 π164

ρ a c R2 A1 q2 h a22 π − + −

364

ρ a c R A1 u q b22 π18ρ a c R2 B1 q2 h b2 a0 π

116

ρ a c R A1 u q a02 π + + +

14ρ a c R Ω a02 u π

58ρ a c R2 Ω q e a2 π

38ρ a c R θ0 u Ω b2 π + + +

14ρ a c R q a0 V b2 π

18ρ a c R B1 u q b2 a0 π

18ρ a c R q2 b2 a1 π − − −

14ρ a c R2 B1 Ω e q a1 a0 π

18ρ a c R q b1 w a1 π

364

ρ a c R2 q2 a22 h b1 π − − +

18ρ a c R2 q2 b1 e a0 π

34ρ a c R Ω w a1 π

38ρ a c R2 q2 a1 b2 h a0 π + + −

14ρ a c R q b2 w a0 π

14ρ a c R2 A1 Ω e q b2 a1 π

14ρ a c R2 θ0 Ω e q a1 b1 π + + −

18ρ a c R θ0 u q a0 a1 π

58ρ a c R Ω q a2 π

14ρ a c R2 B1 q h Ω a1 π + + +

18ρ a c R2 q2 b2 e a1 π

316

ρ a c R q a02 b1 u π116

ρ a c R B1 u q a1 b1 π − − +

38ρ a c R2 θ0 q h Ω b2 π

18ρ a c R θ0 u q b2 b1 π

132

ρ a c R2 q2 b13 h π − − +

132

ρ a c R2 A1 q2 h a12 π18ρ a c R Ω a22 u π

132

ρ a c R B1 u q b2 a2 π − + −

18ρ a c R2 θ0 q2 h a1 a0 π

18ρ a c R2 Ω a22 q h π

332

ρ a c R2 q2 a12 b1 h π − − +


183

14ρ a c R2 B1 Ω e q b1 b2 π

332

ρ a c R q a12 b1 u π + −

116

ρ a c R2 B1 q2 h b1 a1 π38ρ a c R q a0 b2 u a1 π − +

132

ρ a c R2 B1 q2 h b2 a2 π34ρ a c R Ω V a1 π

132

ρ a c R2 A1 q2 h b12 π + − −

34ρ a c R2 θ0 Ω2 e a1 π

18ρ a c R2 Ω2 e a2 b1 π

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a2 π + − −


18ρ a c R2 Ω b22 q h π

14ρ a c R Ω q a0 π − − −

18ρ a c R2 Ω2 e b2 a1 π

164

ρ a c R A1 u q a22 π18ρ a c R2 θ0 q2 h b2 b1 π + + +

364

ρ a c e2 R2 q2 a22 h b1 π14ρ a c R2 Ω q e a0 π

14ρ a c R2 Ω2 e b1 a0 π − − −

964

ρ a c R q b22 u b1 π14ρ a c u w b2 π

18ρ a c u q b1 π

14ρ a c u V b2 π − − − +

116

ρ a c e q2 R2 B1 b2 π116

ρ a c e q2 R2 A1 a0 π14ρ a c q h R V b2 π − + −

12ρ a c Ω2 e2 R2 A1 a0 π

18ρ a c q h R2 A1 Ω e b1 π

14ρ a c Ω e R b22 u π + + +

12ρ a c Ω e R2 a0 q h a2 π

18ρ a c e u q b1 π

14ρ a c e u V b2 π + + −

14ρ a c e u w b2 π

18ρ a c q2 h R2 e2 b1 π

38ρ a c Ω e R2 a12 q h π + − −

14ρ a c e q h R V b2 π

18ρ a c e q2 h R b1 π

14ρ a c e q h R w b2 π + − −

ρ a c Ω e2 R2 a0 q h a2 π ρ a c Ω e2 R a2 u a0 π18ρ a c u q e2 R b1 π − + +

14ρ a c Ω e R q a2 π


18ρ a c q2 h R b1 π + − +

12ρ a c w θ0 q h R π

14ρ a c u θ0 Ω e R b2 π

18ρ a c Ω e R b12 u π + + +

18ρ a c q2 h R2 e b1 π

12ρ a c Ω e2 R2 q a0 π

14ρ a c q h R w b2 π + − +

14ρ a c Ω2 e2 R2 B1 b2 π

14ρ a c q h R2 θ0 Ω e b2 π

18ρ a c Ω e R2 b12 q h π − − −

14ρ a c Ω e R a22 u π

18ρ a c q h R2 B1 Ω e a1 π

38ρ a c Ω e R a12 u π + + +

14ρ a c Ω e R2 b22 q h π

18ρ a c u B1 Ω e R a1 π

14ρ a c Ω e R2 a22 q h π − − −

14ρ a c Ω2 e2 R2 A1 a2 π

12ρ a c Ω e R w a1 π

18ρ a c u q e R b1 π − + −

12ρ a c Ω e R V a1 π

12ρ a c Ω e R2 a02 q h π

12ρ a c Ω e R a2 u a0 π − − −


184

12ρ a c Ω2 e2 R2 θ0 a1 π

12ρ a c Ω e R a02 u π

18ρ a c u A1 Ω e R b1 π + + −

14ρ a c Ω e2 R2 q a2 π

18ρ a c e2 V θ0 R q a2 π

18ρ a c e q2 A1 h R π + − +

14ρ a c V θ0 R q a0 π

116

ρ a c q2 e2 B1 R b2 π116

ρ a c q2 A1 R a0 π + + +

116

ρ a c w A1 R q a1 π116

ρ a c V A1 R q a1 π18ρ a c e2 w θ0 R q a2 π − + +

12ρ a c V B1 Ω e R π

116

ρ a c e3 q2 R2 θ0 a1 π12ρ a c e V θ0 q h R π − − +

116

ρ a c e2 w A1 R q a1 π18ρ a c e2 R A1 u q π

14ρ a c e2 w θ0 R q a0 π + − +

18ρ a c u A1 q π

116

ρ a c q2 e2 A1 R a0 π316

ρ a c V B1 R q b1 π + − +

14ρ a c w θ0 R q a0 π


116

ρ a c q2 B1 R b2 π − + −

18ρ a c e q2 R2 A1 h π

316

ρ a c w B1 R q b1 π18ρ a c q2 A1 h R π − − −


116

ρ a c q2 e2 θ0 R a1 π14ρ a c w B1 R Ω π − − +

34ρ a c e2 w B1 Ω R π

116

ρ a c e3 q2 R2 B1 b2 π316

ρ a c e2 w B1 R q b1 π − + +

12ρ a c e V θ0 u π

116

ρ a c e2 V A1 R q a1 π12ρ a c a0 u R a2 Ω π − − −

14ρ a c V B1 R Ω π −

π/

> Q1:=int(int(x*R*dD,x=e..1),Psi=0..2*Pi); > Q2:=int(int(x*R*DL*UP/UT,x=e..1),Psi=0..2*Pi); > Q:=(b/(2*Pi))*(Q1-Q2);

Q12b

124R2 ρ a c q2 A1 b1 π

14R3 ρ δ c q b1 Ω π

13R3 ρ δ c Ω e q b1 π− − −

:=

1712R3 ρ δ c e4 Ω2 π

332R3 ρ δ c e4 q2 b12 π

116R3 ρ δ c e4 q2 b22 π − − −

116R3 ρ δ c e4 q2 a22 π

132R3 ρ δ c e4 q2 a12 π

18R3 ρ δ c e4 q2 a02 π − − −

14R2 ρ a c e2 b22 u q h π

18R3 ρ a c e4 a1 Ω θ0 q a0 π − −

124R2 ρ a c e3 q2 A1 b1 π

712R3 ρ δ c e4 q b1 Ω π

18R3 ρ δ c e4 q2 a0 a2 π + + −

112R2 ρ a c e3 a1 u θ0 q b1 π

18R3 ρ δ c q2 a0 a2 π

332R3 ρ δ c q2 b12 π − + +


185

116R3 ρ δ c q2 b22 π

14R3 ρ δ c Ω2 π

116R3 ρ δ c q2 a22 π + + +

132R3 ρ δ c q2 a12 π

18R3 ρ δ c q2 a02 π

14R ρ δ c u2 π

12R2 ρ δ c u q h π + + + −

14R3 ρ δ c q2 h2 π

12R3 ρ δ c Ω2 e2 π

14R ρ δ c e2 u2 π

12R2 ρ δ c e2 u q h π + + − +

14R3 ρ δ c e2 q2 h2 π

13R2 ρ δ c e3 u q a0 π

16R2 ρ δ c e3 u q a2 π − − −

13R3 ρ δ c e3 q2 h a0 π

13R3 ρ δ c q2 h a0 π

23R3 ρ δ c Ω2 e π + − +

13R2 ρ δ c u q a0 π

16R2 ρ δ c u q a2 π

16R3 ρ δ c q2 h a2 π + + −

16R3 ρ δ c e3 q2 h a2 π

14R ρ a c e2 a0 u2 a2 π

14R ρ a c a0 u2 a2 π + − +

12R2 ρ a c a0 u q e π

16R2 ρ a c e3 V θ0 q b1 π

14R2 ρ a c e2 w B1 q h π + + +

14R ρ a c e2 a2 u q π

18R3 ρ a c a1 Ω θ0 q a0 π

112R3 ρ a c e4 q2 θ0 b2 π + + −

16R2 ρ a c a0 u θ0 q b2 π

14R2 ρ a c V B1 q h π

18R3 ρ a c b2 q h B1 Ω e π − + −

112R2 ρ a c e3 a0 u B1 q a1 π

16R2 ρ a c a0 u A1 Ω π − −

18R3 ρ a c b2 Ω B1 q a0 π

112R3 ρ a c e3 a1 q2 h θ0 b1 π − +

16R2 ρ a c V B1 q a0 π

14R3 ρ a c e2 a02 q2 h2 π

116R ρ a c e2 b12 u2 π − + +

112R2 ρ a c e3 b1 u B1 q b2 π

116R3 ρ a c e2 a1 q2 h2 B1 π + −

18R ρ a c e2 b2 u2 θ0 π

18R3 ρ a c e4 a12 Ω2 π

124R2 ρ a c e3 q2 B1 a1 π + + +

112R2 ρ a c e3 q2 θ0 b2 π

16R3 ρ a c e3 a0 q2 h θ0 b2 π − −

116R3 ρ a c b1 q2 h2 A1 π

14R3 ρ a c a1 q h θ0 Ω e π + +

124R3 ρ a c e3 b2 q h B1 Ω π

13R3 ρ a c e3 a0 q h b1 Ω π

18R3 ρ a c b22 q2 h2 π + + −

13R3 ρ a c q e b1 Ω π

16R3 ρ a c a2 q h b1 Ω π

112R2 ρ a c e3 V A1 q b2 π − − −

16R3 ρ a c b1 Ω2 A1 e π

116R3 ρ a c e4 b1 Ω B1 q a1 π

16R2 ρ a c w θ0 q b1 π + − +

724R3 ρ a c e4 b1 Ω2 A1 π

112R2 ρ a c a2 Ω A1 u π

724R3 ρ a c e4 a1 Ω2 B1 π − − +

16R3 ρ a c e3 a2 q h b1 Ω π

14R2 ρ a c q A1 Ω e π

112R2 ρ a c e3 w B1 q a2 π + + −


186

18R2 ρ a c e2 a1 u B1 q h π

116R3 ρ a c e4 b2 Ω θ0 q b1 π + +

124R2 ρ a c e3 a2 Ω A1 u π

112R2 ρ a c e3 a1 u A1 q b2 π − +

18R3 ρ a c a22 q2 h2 π

14R ρ a c w B1 u π

112R2 ρ a c w B1 q a2 π − + +

16R2 ρ a c a1 u b2 Ω π

112R3 ρ a c a2 q h A1 Ω π

12R3 ρ a c a0 q2 h e π − + −

16R2 ρ a c e3 a2 u b1 Ω π

316R ρ a c e2 a12 u2 π

18R3 ρ a c a2 Ω A1 q a0 π − + −

14R2 ρ a c a1 Ω θ0 u e π

18R3 ρ a c e4 b2 Ω B1 q a0 π − +

116R3 ρ a c b1 Ω B1 q a1 π

14R2 ρ a c e2 a2 q2 h π

112R2 ρ a c b2 Ω B1 u π + − −

56R2 ρ a c e3 w θ0 Ω π

132R3 ρ a c a12 Ω A1 q π

14R ρ a c e2 w B1 u π + + −

13R3 ρ a c e4 q b1 Ω π

116R3 ρ a c e2 b1 q2 h2 A1 π

16R2 ρ a c V θ0 q b1 π + − −

18R2 ρ a c e2 b12 u q h π

16R2 ρ a c e3 V B1 q a0 π

512R2 ρ a c e3 a0 u A1 Ω π − + +

112R3 ρ a c q2 e θ0 b2 π

14R3 ρ a c a0 q h A1 Ω e π

12R2 ρ a c e2 a1 q h V π + + +

18R2 ρ a c b12 u q h π

116R ρ a c b1 u2 A1 π

14R2 ρ a c e2 b2 u θ0 q h π + + −

112R2 ρ a c w A1 q b2 π

13R2 ρ a c a0 u b1 Ω π

12R2 ρ a c e2 a02 u q h π − + −

132R3 ρ a c e4 a12 Ω A1 q π

112R3 ρ a c b2 q h B1 Ω π

112R2 ρ a c V B1 q a2 π − + −

124R3 ρ a c e4 q2 A1 b1 π

14R ρ a c e2 V B1 u π

316R3 ρ a c a12 q2 h2 π + + −

112R3 ρ a c b1 q2 h B1 b2 π

38R2 ρ a c e2 a12 u q h π

12R3 ρ a c b22 Ω2 π + − −

116R3 ρ a c a1 q2 h2 B1 π

14R3 ρ a c e3 a2 q2 h π

14R3 ρ a c q e2 A1 Ω π + − +

112R2 ρ a c q2 θ0 b2 π

18R3 ρ a c a12 Ω2 π

112R2 ρ a c V A1 q b2 π + − +

18R ρ a c b2 u2 θ0 π

116R3 ρ a c e4 a2 Ω θ0 q a1 π

116R3 ρ a c a1 Ω θ0 q a2 π − + −

512R3 ρ a c e3 a0 q h A1 Ω π

12R ρ a c a1 u V π

14R2 ρ a c b22 u q h π − + +

12R2 ρ a c e2 a0 q2 h π

14R ρ a c e2 q2 π

12R ρ a c e2 a1 u w π + + +


18R ρ a c b22 u2 π

112R2 ρ a c a1 u A1 q b2 π + − −


187

16R2 ρ a c b1 u a2 Ω π

112R3 ρ a c e3 b1 q2 h B1 b2 π

16R2 ρ a c q A1 Ω π + − +

18R2 ρ a c e2 b1 u A1 q h π

12R2 ρ a c a1 q h V π + −

112R3 ρ a c e3 a1 q2 h A1 b2 π

116R3 ρ a c e2 b12 q2 h2 π − +

14R2 ρ a c a0 u A1 Ω e π

14R3 ρ a c e3 a1 q h θ0 Ω π

12R2 ρ a c a1 q h w π − − +

112R2 ρ a c a0 u B1 q a1 π

12R2 ρ a c e2 a0 u a2 q h π

18R3 ρ a c e2 a22 q2 h2 π + + +

14R3 ρ a c a2 q2 h e π

16R2 ρ a c w B1 q a0 π

116R ρ a c e2 b1 u2 A1 π + + −

116R3 ρ a c b2 Ω θ0 q b1 π

12R2 ρ a c V θ0 Ω e π

18R ρ a c e2 a22 u2 π − + +

12R3 ρ a c e4 a22 Ω2 π

16R2 ρ a c e3 a0 u θ0 q b2 π

56R2 ρ a c e3 V θ0 Ω π + + −

18R2 ρ a c b2 Ω B1 u e π

12R ρ a c e2 a0 u q π

112R2 ρ a c e3 V B1 q a2 π + − +

13R2 ρ a c q b1 Ω π

16R3 ρ a c q e A1 Ω π

16R3 ρ a c e3 a1 q h b2 Ω π − + −

14R3 ρ a c a02 q2 h2 π

12R2 ρ a c a02 u q h π

12R2 ρ a c e3 q2 π − + +

124R3 ρ a c q2 e A1 b1 π

12R ρ a c e2 w2 π

14R3 ρ a c e4 q2 π − + +

316R3 ρ a c e2 a12 q2 h2 π

14R2 ρ a c e2 a22 u q h π

12R2 ρ a c e3 a0 u q π + − −

18R3 ρ a c e2 b22 q2 h2 π

112R3 ρ a c a1 q2 h A1 b2 π + +

112R3 ρ a c a1 q2 h θ0 b1 π

18R3 ρ a c a2 q h A1 Ω e π

13R2 ρ a c e3 q b1 Ω π − − +

12R3 ρ a c a22 Ω2 π

124R3 ρ a c e4 q2 B1 a1 π R ρ a c w V π − + +

18R ρ a c a22 u2 π

18R3 ρ a c b12 Ω2 π

512R2 ρ a c e3 q A1 Ω π − − −

18R3 ρ a c a1 Ω2 B1 π


12R ρ a c w2 π − − −

112R3 ρ a c a0 q2 h A1 b1 π

12R ρ a c e2 V2 π

116R ρ a c e2 a1 u2 B1 π − + −

14R2 ρ a c e2 V B1 q h π

12R ρ a c V2 π

112R3 ρ a c e3 a0 q2 h A1 b1 π − − +

14R3 ρ a c q2 e2 π

13R2 ρ a c V θ0 Ω π

112R3 ρ a c a0 q2 h B1 a1 π − + −

13R2 ρ a c e3 a0 u b1 Ω π

18R3 ρ a c b1 Ω2 A1 π

12R ρ a c a0 u q π − + +


188

18R3 ρ a c e4 b12 Ω2 π

18R3 ρ a c e4 a2 Ω A1 q a0 π

12R2 ρ a c w θ0 Ω e π + + −


116R ρ a c b12 u2 π

14R ρ a c q2 π + − −

124R2 ρ a c e3 b2 u B1 Ω π

132R3 ρ a c e4 b12 Ω A1 q π − +

18R3 ρ a c b2 q2 h2 θ0 π

116R ρ a c a1 u2 B1 π

112R2 ρ a c e3 a0 u A1 q b1 π − + −

13R2 ρ a c w θ0 Ω π


12R2 ρ a c a0 q2 h π − + −

124R3 ρ a c q2 e B1 a1 π

14R3 ρ a c e2 a0 q2 h2 a2 π

12R2 ρ a c e2 a1 q h w π − − −

18R2 ρ a c a2 Ω A1 u e π

16R2 ρ a c e3 w θ0 q b1 π

116R3 ρ a c b12 q2 h2 π + − −

14R2 ρ a c w B1 q h π

14R2 ρ a c e3 a1 Ω θ0 u π

124R3 ρ a c e3 a2 Ω A1 q h π − + +

14R ρ a c a02 u2 π

12R3 ρ a c e3 a0 q2 h π

12R ρ a c a1 u w π − + −

18R2 ρ a c b1 u A1 q h π

112R2 ρ a c a1 u θ0 q b1 π

112R2 ρ a c a0 u A1 q b1 π − + +

18R ρ a c e2 b22 u2 π

12R2 ρ a c a0 u a2 q h π

112R2 ρ a c b1 u B1 q b2 π + − −

16R2 ρ a c e3 b2 u a1 Ω π

14R2 ρ a c a2 q2 h π

14R ρ a c e2 a02 u2 π + + +

12R2 ρ a c q2 e π

14R3 ρ a c a0 q2 h2 a2 π R ρ a c e2 w V π − + −

12R3 ρ a c e4 b22 Ω2 π

512R3 ρ a c e4 q A1 Ω π

112R3 ρ a c e3 a0 q2 h B1 a1 π + − +

316R ρ a c a12 u2 π

12R ρ a c e2 a1 u V π

14R ρ a c a2 u q π − − −

18R2 ρ a c a1 u B1 q h π

16R3 ρ a c a0 q h A1 Ω π

124R2 ρ a c q2 B1 a1 π − + −

14R2 ρ a c b2 u θ0 q h π

112R2 ρ a c e3 w A1 q b2 π

14R2 ρ a c e3 a2 u q π + + +

14R ρ a c V B1 u π

18R3 ρ a c e2 b2 q2 h2 θ0 π

16R2 ρ a c e3 w B1 q a0 π − + −

16R3 ρ a c a1 Ω2 B1 e π

132R3 ρ a c b12 Ω A1 q π

16R3 ρ a c a0 q2 h θ0 b2 π − − +

14R2 ρ a c a2 u q e π −

π/


189

4.4. ANEXO 4. CÁLCULO DE LAS FUERZAS, EL MOMENTO Y

LAS DERIVADAS DE ESTABILIDAD. Se mostrarán solamente los resultados de las fuerzas X y Z y el momento M, el resto de resultados no se detallarán por la extensión que conlleva. > restart; > alpha:=(w/u)+a1-B1; > X:=(rho*sigma*Pi*R^2*(Omega*R)^2)*(-(CT*sin(a1-B1)/sigma)-(CH*cos(a1-B1))-0.5*(f/(sigma*Pi*R^2))*(sqrt(u^2+w^2)/(Omega*R))^2*cos(alpha-a1+B1))*(g/W);

X ρ σ π R4 Ω2 148a c b 12 u b2 q h R 6 u2 b2 6 q2 h2 R2 b2 12 θ0 u2 − − − (−

:=

12 Ω e R a1 u 24 Ω e R w 24 Ω e R V 6 e q2 h2 R2 b2 12 e u b2 q h R − − + + − 24 e θ0 u q h R 6 R θ0 u q a2 12 θ0 q2 h2 R2 24 B1 q h R2 Ω e − − − −

24 B1 u Ω e R 6 R q b1 V 3 R q a1 b1 u 6 R q a0 b2 u 2 R2 A1 q2 a0 a1 + − + − −

2 R2 B1 q2 a1 b2 4 R2 B1 q2 b1 a2 6 R2 B1 q2 a0 b1 4 R2 A1 q b2 Ω + − − −

4 R2 θ0 q2 a02 6 A1 Ω e R2 q b2 12 B1 Ω e R2 q a0 9 B1 q2 h R2 b1 − − + + 6 θ0 q2 h R2 a2 6 B1 Ω e R2 q a2 9 R B1 u q b1 12 B1 q h R2 Ω + + − −

24 θ0 Ω2 e R2 3 R A1 u q a1 6 R q b1 w 12 θ0 Ω e R2 q b1 3 q2 b2 e R2 − − + + +

6 q2 a0 b2 h R2 12 θ0 q2 h R2 a0 6 e u2 b2 12 R Ω V 3 R q2 b2 + + + + +

8 R2 θ0 Ω2 12 e θ0 u2 12 R Ω w 12 R B1 u Ω 12 R θ0 u q a0 − + − + − 12 e θ0 q2 h2 R2 4 R2 Ω q a0 a1 2 R2 Ω q b1 b2 4 R2 B1 q a2 Ω + + − +

2 R2 A1 q2 b1 b2 2 R2 Ω q a1 a2 4 R2 θ0 q2 a0 a2 8 R2 B1 q a0 Ω + − − +

3 q2 a1 b1 h R2 3 A1 q2 h R2 a1 24 θ0 u q h R 12 Ω e R2 a1 q h − + + +

8 R2 θ0 q b1 Ω + ) ( )sin − + a1 B1 σ2 π R4 Ω2( )12b

116

ρ a c e q2 R2 A1 a0 π −

12ρ a c e V θ0 q h R π

12ρ a c w B1 Ω e R π

12ρ a c V θ0 q h R π + + −

316

ρ a c w B1 R q b1 π116

ρ a c V A1 R q a1 π116

ρ a c q2 θ0 R a1 π − + +

18ρ a c e q2 A1 h R π


18ρ a c w θ0 R q a2 π + + −


14ρ a c w B1 R Ω π

18ρ a c e u A1 q π − + −

116

ρ a c e q2 R2 θ0 a1 π112

ρ a c R2 a2 Ω A1 q b1 π12ρ a c V B1 Ω e R π + + −


190


12ρ a c w θ0 u π

116

ρ a c w A1 R q a1 π + − −

116

ρ a c q2 B1 R b2 π38ρ δ c R2 q2 h b1 π

38ρ δ c R u q b1 π − + −



14ρ δ c R2 Ω e q a2 π + − +

12ρ δ c R u Ω π ρ δ c u Ω e R π ρ δ c q h R2 Ω e π

16ρ δ c R2 q a2 Ω π + + − +

14ρ δ c R2 q2 a0 b1 π

16ρ δ c R2 q2 b1 a2 π

13ρ δ c R2 q a0 Ω π − − +

112

ρ δ c R2 q2 a1 b2 π316

ρ a c V B1 R q b1 π12ρ a c e w θ0 u π + + +

12ρ a c V θ0 u π


18ρ a c q2 A1 h R π + − −


116

ρ a c e q2 R2 B1 b2 π18ρ a c q e R A1 u π − − +

116

ρ a c q2 A1 R a0 π18ρ a c R2 q2 a02 θ0 a1 π

18ρ a c R2 q2 a02 B1 b2 π + + −

14ρ a c R2 q a1 θ0 Ω b1 π

16ρ a c R2 q a02 a2 Ω π

132

ρ a c R2 q2 b23 B1 π − + −

14ρ a c R2 A1 Ω2 a2 π

132

ρ a c R2 q2 b1 B1 a2 a1 π13ρ a c R2 θ0 Ω2 a1 π − + +

724

ρ a c R2 q b1 B1 Ω b2 π14ρ a c R2 b1 Ω2 a2 π

524

ρ a c R2 q a1 A1 Ω b2 π + + +

18ρ a c R2 q a0 A1 Ω b1 π

124

ρ a c R2 q2 a03 A1 π14ρ a c R2 q2 a0 θ0 b2 b1 π − + −

14ρ a c R2 b2 Ω2 a1 π

124

ρ a c R2 q a23 Ω π116

ρ a c R2 q2 a2 θ0 b2 b1 π − + −

148

ρ a c R2 q2 a13 θ0 π116

ρ a c R2 q2 a0 B1 b2 a2 π14ρ a c R2 B1 Ω2 b2 π + − −

16ρ a c R2 b1 Ω2 a0 π

18ρ a c q A1 u π

12ρ a c R2 q a0 θ0 Ω b2 π − + +

724

ρ a c R2 q a0 B1 Ω a1 π18ρ a c R2 q2 a0 B1 a1 b1 π

16ρ a c R2 A1 Ω2 a0 π − + +

332

ρ a c R2 q2 b1 A1 b2 a1 π12ρ a c R2 B1 Ω2 e b2 π − −

12ρ a c R2 θ0 Ω e q b2 a0 π


14ρ a c R q b2 V a0 π + − −


14ρ a c R2 Ω2 e b1 a0 π

14ρ a c R2 B1 Ω e q b1 b2 π − − +


18ρ a c R2 q2 a0 e b1 π

14ρ a c R2 B1 Ω e q a0 a1 π − + −

316

ρ a c R q a02 u b1 π132

ρ a c R2 q2 b13 h π18ρ a c R q2 a0 b1 π − + +


191

116

ρ a c R A1 u q a02 π34ρ a c R Ω V a1 π

18ρ a c R2 q2 b2 e a1 π + − −


132

ρ a c R q b13 u π14ρ a c R Ω a02 u π + − +


332

ρ a c R q a1 b2 u a2 π132

ρ a c R2 B1 q2 h b2 a2 π − − +

18ρ a c R q2 b2 a1 π

116

ρ a c R2 B1 q2 h b1 a1 π34ρ a c R Ω w a1 π − − +

18ρ a c R2 B1 q2 h b2 a0 π

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a2 π

18ρ a c R q a1 V b1 π + − +

38ρ a c R q a1 b2 u a0 π


18ρ a c R2 θ0 q2 h a1 a0 π + + −


18ρ a c R q a1 w b1 π

116

ρ a c R2 A1 q2 h a02 π − − −



18ρ a c R2 Ω2 e a2 b1 π − − −

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a0 π

316

ρ a c R2 q2 a02 b1 h π38ρ a c R θ0 u Ω b2 π + + +

132

ρ a c R B1 u q b2 a2 π18ρ a c R2 Ω2 e b2 a1 π

332

ρ a c R2 q2 a1 a2 h b2 π − + +


116

ρ a c R B1 u q b1 a1 π + +


14ρ a c R2 B1 q h Ω a1 π

14ρ a c R q b2 w a0 π − + +


34ρ a c R2 θ0 Ω2 e a1 π

38ρ a c R2 q2 a1 b2 h a0 π + + −


18ρ a c R2 θ0 q2 h b1 b2 π

18ρ a c q2 h R2 e b1 π − + +


18ρ a c u q e R b1 π

12ρ a c Ω e R a02 u π − − +



12ρ a c Ω e R w a1 π − + +


14ρ a c q h R w b2 π

18ρ a c e u q b1 π + + +



12ρ a c Ω e R a2 u a0 π + + −

14ρ a c q h R V b2 π

18ρ a c u q b1 π

18ρ a c q2 h R b1 π − − +



14ρ a c u w b2 π − + −

18ρ a c u A1 Ω e R b1 π


18ρ a c u B1 Ω e R a1 π − − −

14ρ a c u V b2 π


14ρ a c e q h R w b2 π + + −


192

14ρ a c e u V b2 π


14ρ a c e u w b2 π − − +

14ρ a c V B1 R Ω π


12ρ a c u a0 R a2 Ω π − − −


12ρ a c w θ0 q h R π + +

( )cos − + a1 B1 π2 ρ σ R4 Ω2( )

.5 f ( ) + u2 w2

cos

w

u

σ π R4 Ω2 −

g W/

> Z:=(rho*sigma*Pi*R^2*(Omega*R)^2)*(-(CT*cos(a1-B1)/sigma)+(CH*sin(a1-B1))-0.5*(f/(sigma*Pi*R^2))*(sqrt(u^2+w^2)/(Omega*R))^2*cos(alpha-a1+B1))*(g/W);

Z ρ σ π R4 Ω2 148a c b 12 u b2 q h R 6 u2 b2 6 q2 h2 R2 b2 12 θ0 u2 − − − (

:=










8 R2 θ0 q b1 Ω + ) ( )cos − + a1 B1 σ2 π R4 Ω2( )12b

116

ρ a c e q2 R2 A1 a0 π −



12ρ a c V θ0 q h R π + + −

316



ρ a c q2 θ0 R a1 π − + +



18ρ a c w θ0 R q a2 π + + −



18ρ a c e u A1 q π − + −

116

ρ a c e q2 R2 θ0 a1 π112



193


12ρ a c w θ0 u π

116

ρ a c w A1 R q a1 π + − −

116


38ρ δ c R u q b1 π − + −



14ρ δ c R2 Ω e q a2 π + − +


16ρ δ c R2 q a2 Ω π + + − +

14ρ δ c R2 q2 a0 b1 π

16ρ δ c R2 q2 b1 a2 π

13ρ δ c R2 q a0 Ω π − − +

112

ρ δ c R2 q2 a1 b2 π316


12ρ a c V θ0 u π


18ρ a c q2 A1 h R π + − −


116


116


18ρ a c R2 q2 a02 B1 b2 π + + −


16ρ a c R2 q a02 a2 Ω π

132

ρ a c R2 q2 b23 B1 π − + −

14ρ a c R2 A1 Ω2 a2 π

132


724


524

ρ a c R2 q a1 A1 Ω b2 π + + +


124


14ρ a c R2 b2 Ω2 a1 π

124

ρ a c R2 q a23 Ω π116

ρ a c R2 q2 a2 θ0 b2 b1 π − + −

148

ρ a c R2 q2 a13 θ0 π116


16ρ a c R2 b1 Ω2 a0 π

18ρ a c q A1 u π

12ρ a c R2 q a0 θ0 Ω b2 π − + +

724


16ρ a c R2 A1 Ω2 a0 π − + +

332




14ρ a c R q b2 V a0 π + − −


14ρ a c R2 Ω2 e b1 a0 π

14ρ a c R2 B1 Ω e q b1 b2 π − − +


18ρ a c R2 q2 a0 e b1 π

14ρ a c R2 B1 Ω e q a0 a1 π − + −

316

ρ a c R q a02 u b1 π132



194

116


18ρ a c R2 q2 b2 e a1 π + − −


132



332


ρ a c R2 B1 q2 h b2 a2 π − − +


116


18ρ a c R2 B1 q2 h b2 a0 π

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a2 π

18ρ a c R q a1 V b1 π + − +



18ρ a c R2 θ0 q2 h a1 a0 π + + −



116

ρ a c R2 A1 q2 h a02 π − − −



18ρ a c R2 Ω2 e a2 b1 π − − −

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a0 π

316


132


332

ρ a c R2 q2 a1 a2 h b2 π − + +


116

ρ a c R B1 u q b1 a1 π + +



14ρ a c R q b2 w a0 π − + +


34ρ a c R2 θ0 Ω2 e a1 π

38ρ a c R2 q2 a1 b2 h a0 π + + −


18ρ a c R2 θ0 q2 h b1 b2 π

18ρ a c q2 h R2 e b1 π − + +



12ρ a c Ω e R a02 u π − − +



12ρ a c Ω e R w a1 π − + +



18ρ a c e u q b1 π + + +



12ρ a c Ω e R a2 u a0 π + + −


18ρ a c u q b1 π

18ρ a c q2 h R b1 π − − +



14ρ a c u w b2 π − + −



18ρ a c u B1 Ω e R a1 π − − −

14ρ a c u V b2 π


14ρ a c e q h R w b2 π + + −


195



14ρ a c e u w b2 π − − +



12ρ a c u a0 R a2 Ω π − − −


12ρ a c w θ0 q h R π + +

( )sin − + a1 B1 π2 ρ σ R4 Ω2( )

.5 f ( ) + u2 w2

cos

w

u

σ π R4 Ω2 −

g W/

> Wc:=W/(rho*sigma*Pi*Omega^2*R^4);

> Cms:=(b*mb*xg*e)/(2*rho*sigma*Pi*R^3); > M:=(rho*sigma*Pi*R^2*(Omega*R)^2*R)*((CT*sin(a1-B1)*h/sigma)+(CH*cos(a1-B1)*h)-(Wc*cos(tau+alpha-a1+B1)*Xcg)-(Cms*(B1-a1)))*(1/Iyy);

M ρ σ π R5 Ω2 148a c b 12 u b2 q h R 6 u2 b2 6 q2 h2 R2 b2 12 θ0 u2 − − − (

:=










8 R2 θ0 q b1 Ω + ) ( )sin − + a1 B1 h σ2 π R4 Ω2( )12b

116

ρ a c e q2 R2 A1 a0 π +



12ρ a c V θ0 q h R π + + −

316



ρ a c q2 θ0 R a1 π − + +



18ρ a c w θ0 R q a2 π + + −



18ρ a c e u A1 q π − + −

116

ρ a c e q2 R2 θ0 a1 π112



196


12ρ a c w θ0 u π

116

ρ a c w A1 R q a1 π + − −

116


38ρ δ c R u q b1 π − + −



14ρ δ c R2 Ω e q a2 π + − +


16ρ δ c R2 q a2 Ω π + + − +

14ρ δ c R2 q2 a0 b1 π

16ρ δ c R2 q2 b1 a2 π

13ρ δ c R2 q a0 Ω π − − +

112

ρ δ c R2 q2 a1 b2 π316


12ρ a c V θ0 u π


18ρ a c q2 A1 h R π + − −


116


116


18ρ a c R2 q2 a02 B1 b2 π + + −


16ρ a c R2 q a02 a2 Ω π

132

ρ a c R2 q2 b23 B1 π − + −

14ρ a c R2 A1 Ω2 a2 π

132


724


524

ρ a c R2 q a1 A1 Ω b2 π + + +


124


14ρ a c R2 b2 Ω2 a1 π

124

ρ a c R2 q a23 Ω π116

ρ a c R2 q2 a2 θ0 b2 b1 π − + −

148

ρ a c R2 q2 a13 θ0 π116


16ρ a c R2 b1 Ω2 a0 π

18ρ a c q A1 u π

12ρ a c R2 q a0 θ0 Ω b2 π − + +

724


16ρ a c R2 A1 Ω2 a0 π − + +

332




14ρ a c R q b2 V a0 π + − −


14ρ a c R2 Ω2 e b1 a0 π

14ρ a c R2 B1 Ω e q b1 b2 π − − +


18ρ a c R2 q2 a0 e b1 π

14ρ a c R2 B1 Ω e q a0 a1 π − + −

316

ρ a c R q a02 u b1 π132



197

116


18ρ a c R2 q2 b2 e a1 π + − −


132



332


ρ a c R2 B1 q2 h b2 a2 π − − +


116


18ρ a c R2 B1 q2 h b2 a0 π

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a2 π

18ρ a c R q a1 V b1 π + − +



18ρ a c R2 θ0 q2 h a1 a0 π + + −



116

ρ a c R2 A1 q2 h a02 π − − −



18ρ a c R2 Ω2 e a2 b1 π − − −

12ρ a c R2 A1 Ω2 e a0 π

316


132


332

ρ a c R2 q2 a1 a2 h b2 π − + +


116

ρ a c R B1 u q b1 a1 π + +



14ρ a c R q b2 w a0 π − + +


34ρ a c R2 θ0 Ω2 e a1 π

38ρ a c R2 q2 a1 b2 h a0 π + + −


18ρ a c R2 θ0 q2 h b1 b2 π

18ρ a c q2 h R2 e b1 π − + +



12ρ a c Ω e R a02 u π − − +



12ρ a c Ω e R w a1 π − + +



18ρ a c e u q b1 π + + +



12ρ a c Ω e R a2 u a0 π + + −


18ρ a c u q b1 π

18ρ a c q2 h R b1 π − − +



14ρ a c u w b2 π − + −



18ρ a c u B1 Ω e R a1 π − − −

14ρ a c u V b2 π


14ρ a c e q h R w b2 π + + −


198



14ρ a c e u w b2 π − − +



12ρ a c u a0 R a2 Ω π − − −


12ρ a c w θ0 q h R π + +

( )cos − + a1 B1 h π2 ρ σ R4(

Ω2 )W

cos + τ

w

uXcg

ρ σ π Ω2 R4

12b mb xg e ( )− + a1 B1

ρ σ π R3 − −

Iyy/

> Xu:=diff(X,u);#Comenzamos el cálculo de las derivadas de estabilidad. > Xw:=diff(X,w); > Xq:=diff(X,q); > Zu:=diff(Z,u); > Zw:=diff(Z,w); > Zq:=diff(Z,q); > Mu:=diff(M,u); > Mw:=diff(M,w); > Mq:=diff(M,q);


199

5. Conclusiones

Entre los puntos fuertes a resaltar de este proyecto cabe citar el rápido y preciso

análisis de las actuaciones que se consigue. Dicho análisis, además, es muy versátil ya que sirve para multitud de aeronaves caracterizadas.

En el apartado de estabilidad, lo más interesante que se podría citar es el estudio de

la configuración óptima de la aeronave en lo que a estabilidad se refiere. En dicho estudio se ha comprobado la dificultad de resolver sistemas de ecuaciones no lineales y la importancia de proporcionar robustez al sistema a la hora de la resolución.

Otros posibles trabajos futuros podrían ir encaminados a completar ciertas

actuaciones que no han sido cubiertas, como el despegue, el aterrizaje o la determinación de la altura crítica de despegue. Otra cuestión interesante sería completar el estudio de la estabilidad lateral-direccional.


200

Bibliografía Libros

• [LEI00] Principles of helicopter aerodynamics. J. Gordon Leishman Cambridge University Press. 2000

• [LOP93]

Helicópteros. Teoría y diseño conceptual. José Luis López Ruiz Ed. ETSI Aeronáuticos. 1993

• [JOH80]

Helicopter theory. Wayne Johnson Dover Publication, Inc. 1980

• [COO02] Helicopter test and evaluation. Alastair K. Cooke, Eric W. H. Fitzpatrick AIAA Education Series 2002

• [SED90] Basic helicopter aerodynamics. J. Seddon BSP Professional Books 1990

• [BRA01] Bramwell’s helicopter dynamics. G. Done y D. Balmford

Copublicado por AIAA y Butterworth-Heinemann

• [PAD96] Helicopter flight dynamics: The theory and application of flying qualities and simulation modeling. G.D. Padfield

AIAA Education Series

• [ROS85] Airplane design. Jan Roskam


201

• [TOR76] Synthesis of subsonic airplane design. Egbert Torenbeek

Delft University Press

• [RAY06] Aircraft Designa: A conceptual approach. Fourth edition. Daniel P. Raymer

AIAA Education Series

Páginas Web

• www.aicia.es/2004/trab_inter/horus.htm • http://avia.russian.ee/index.html • www.rotor.com/Default.aspx?tabid=739 • www.vortechonline.com/skylark/

• www.rotax.com • http://www.aviasport.com/ROTAX/Rotax_582/ROTAX_582.htm • www.aviasport.com/ROTAX/Documentacion_2T/Manuales_2T/Manual_Usuari

o_2T.PDF • www.geocities.com/chopperjoker/aerodinamica/autorrotacion.htm • http://www.heliworks.co.cl/volar.htm • http://www.caa.govt.nz/aircraft/Type_Acceptance_Reps/Bo105DBS.pdf • http://www.caa.co.uk/application.aspx?catid=60&pagetype=65&appid=1&mode

=detailnosummary&fullregmark=G-BJWS • http://www.militaryfactory.com/aircraft/detail.asp?aircraft_id=94

Informes Técnicos

• [HOR05] Proyecto HORUS. Actuaciones en vuelo axial. Informe MV-02.

D. Rivas, A. Valenzuela, G. Pacheco y M.D. Roldán.

• [CHE55] The effect of the ground on a helicopter rotor in forward flight. I. C. Cheeseman y W. E. Bennett. Aeronautical Research Council. Reports and Memoranda Nro 3021.


202

• [SOT05]

Diseño de un autogiro UAV. J. Soto Salvador Proyecto Fin de Carrera de la Escuela Superior de Ingenieros Aeronáuticos de Madrid. Noviembre de 2005.

• [LAF03] Proyecto HORUS. Víctor Lafuente García Proyecto Fin de Carrera de la Escuela Superior de Ingenieros Aeronáuticos de Madrid. Septiembre 2003.

diseÑo conceptual y estudio de las ...bibing.us.es/proyectos/abreproy/60009/fichero/pfc.pdfdiseño...

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