diseños estadisticos huanuco

Análisis y Diseños Experimentalespara la Ciencia y

Procesos Agroindustriales

Ing. Oscar Crisóstomo [email protected]

Principios Básicos en el Diseño Experimental

¿Qué es un Diseño de Investigación?

• Diseño

Se refiere al plan o estrategia que se desarrolla para obtener la información que se requiere en una investigación.

¿Qué es un experimento?

• Experimento:

Es una situación de control en la cual se manipula , de manera intencional, una o más variables independientes (causas) para analizar las consecuencias de tal manipulación sobre una o más variable dependientes (efectos).

Diseño Experimental

Este término se utiliza para planear un experimento de manera que se pueda obtener la información pertinente a un determinado problema que se investiga y así tomar decisiones correctas.

Un experimento diseñado es una prueba o serie de pruebas en las cuales se inducen cambios deliberados en las variables de entrada de un de entrada de un proceso o sistema,

de manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios en la respuesta de salida.

Diseño y Análisis de Experimentos

“… los experimentos dan la mejor justificación para conclusiones causales” (Cook, 2002)

Sin embargo, los experimentos son utilizados con poca frecuencia.

• Hacer pruebas confirmatorias

• Determinar factores que son la causa de un problema. Se diseña el Plan Experimental.

• Ejecutar en cada tratamiento lo especificado en la planeación.

• Se verifica los supuestos y se elige el mejor tratamiento.

4. Implementar 1. Planear

2. Experimentar3. Analizar

Diseño de Experimentos

Ciclo de Deming

El diseño del experimento está influenciado por el modelo para analizar los datos

Identificación del problema • Objetivo (Hipótesis/Pregunta). • Escoger variables de respuesta. • Identificar variables explicativas. • Vínculo entre VE y VR (modelo)

Diseño del experimento(¿dónde medir?)

Recolección de la muestra(medición)

Análisis de resultados(respuesta a la pregunta)

Etapas de un Experimento

Principios Básicos

Variabilidad existente entre los resultados de unidades experimentales tratadas en forma similar

Error Experimental

PRINCIOS BÁSICOS DEL DISEÑO

EXPERIMENTAL

REPETICIÓN

ALEATORIZACIÓN

ANÁLISIS POR BLOQUES

Debido al mismo material

Falta de uniformidad

Principios Básicos en el

Diseño de Experimentos

Análisis por Bloques

Un bloque es una porción de material experimental que sea más homogéneo que el total del material

Repe

tició

n

Ob

tene

r una

esti

mac

ión

del

erro

r ex

perim

enta

l

Ca

lcula

r una

esti

mac

ión

del

efec

to d

e un

fact

or

Aleatorización

La asignación del material

experimental y el orden en que

se realizan las pruebas

individuales se determinan al

azar

Principios Básicos

Planeación y Diseño de Experimentos

Variables Dependientes o

Respuesta

Variables Controlables o Factor

Señal

Variables Independientes o

Factores de Control

Variables No Controlables o

Factores de Ruido

Producto / Proceso

FactorVariable Independiente que afecta los resultados del experimento: controlables o no controlables

Susceptible a la manipulación.

Sus valores son controlados.

Sus efectos son evaluados en los resultados del experimento (variable dependiente).

En un experimento se puede evaluar uno o más factores

Factor en estudio

Conceptos Generales

TRATAMIENTOS

Es un conjunto de procedimientos cuyo efecto sobre la respuesta nos interesa estudiar, cuyo efecto se mide y se compara con otros tratamientos.

Un tratamiento corresponde a los niveles de un Factor o a la combinación de los niveles de dos o más Factores.

Variable RespuestaEs la variable en la cual se evaluarán los efectos de los tratamientos.

Unidad ExperimentalEs la unidad (sujeto u objeto) sobre el cual se le aplica un tratamiento.

Conceptos Generales

HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN

Alguna de las temperaturas de

lixiviación obtendrá mayor rendimiento

Temperatura de lixiviaciónFactor en estudio

Tratamiento M1, M2 , …y Mn

Variable Respuesta Rendimiento

Unidad Experimental 1 Kg de Sacha Inchi

Conceptos Generales

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

• Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático.

• Un modelo es una representación cualitativa y/o cuantitativa de un sistema, en el cual se muestran las relaciones predominantes entre sus elementos.

• Por esta razón, un modelo no puede incluir todos los aspectos de un sistema real, sino solamente los mas importantes. Es decir, los objetivos y procesos físicos y los símbolos y sus relaciones constituyen el modelo, de manera que la representación se hace generalmente, con medios de sustancia distinta la los del sistema original.

• Un modelo debe ser bastante detallado si se desea representar válidamente el problema real.

Modelos Matemáticos

Un modelo contiene los siguientes elementos: 1. PARÁMETROS. En el modelo son objetos o símbolos que

representan a entidades o atribuciones del sistema que permanecen constantes durante el estudio.

2. VARIABLES. Son objetos o símbolos en el modelo, que representan a entidades o atributos del sistema que cambian en el tiempo durante el estudio.

3. RELACIONES FUNCIONALES. Son los procesos físicos o las relaciones entre los símbolos de un modelo, que representan a las actividades y a las relaciones entre los elementos de un sistema. Describen la forma en que cambian las variables y como las afectan los parámetros.


Determinación de Orden de Reacción

Ecuación Básica

Donde:A = Factor de calidad que se está

cuantificando.θ = TiempoK = Constante que depende de la

temperatura y de la actividad de agua del alimento.

n = Factor de potencia, u orden de la reacción

±dA/dθ = Velocidad de cambio de A con respecto al tiempo θ.

±𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲𝑨𝒏

±𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲𝑨𝒏

−𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲

−∫𝑨0

𝑨𝒆

𝒅𝑨=∫0

𝜽𝒔

𝒌𝒅𝜽

𝑨𝒆=𝑨0−𝑲 𝜽𝒔

Donde:

A0 = Valor de la calidad inicial

A = Cantidad remanente después de un tiempo θ

Ae = Valor de A al final de la vida en anaquel (puede ser cero o cualquier otro valor

definido)

θs = Vida en anaquel en días, meses, años, etc.

K = Constante de Velocidad, en unidades inversa del tiempo (días-1).

𝑲=100%𝜽𝒔

=% 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒂

Orden Cero

Orden Cero – Aplicaciones

a) Calidad Global de alimentos congelados.

b) Degradación enzimática (frutas y verduras frescas, algunos alimentos

congelados y pastas refrigeradas).

c) Pardeamiento no enzimático (por ejemplo, cereales secos, productos

lácteos deshidratados, alimentos secos para mascotas, pérdida del

valor nutricional proteínico).

d) Oxidación de lípidos (desarrollo parcial de rancidez, alimentos secos,

alimentos para mascotas, alimentos congelados).

Orden Cero

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

DIAS

% D

E C

AL

IDA

D U

SA

BL

E

Orden Cero

Primer Orden

±𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲𝑨𝒏

−𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲 𝑨

𝐋𝐧𝑨𝒆

𝑨0

=−𝑲 𝜽𝒔

Donde:A = Cantidad remanente en el tiempo θAe = Cantidad remanente al final de la vida en anaquel (θs es

diferente de cero).K = Constante de la velocidad, en unidades inversa del tiempo

(días-1).θ½ = Vida Media.

∫𝑨0

𝑨𝒅𝑨𝑨

=−∫0

𝜽

𝑲𝒅𝜽𝑲=

0,693𝜽1 /2

Primer Orden - Aplicaciones

1) Rancidez (como en grasas saladas o verduras deshidratadas).

2) Crecimiento (carne y pescado fresco) y mortalidad microbiana

(tratamiento térmico).

3) Producción microbiana de sabores indeseables y limo, tal como en

carne, pescado y aves.

4) Pérdidas de vitaminas (alimentos envasados y deshidratados).

5) Pérdida de calidad proteica (alimentos deshidratados).

6) Pérdida de color por oxidación.

7) Pérdida de textura en tratamientos térmicos.

Primer Orden

0 50 100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

DIAS

% D

E C

AL

IDA

D R

ES

IDU

AL

Primer Orden

0 50 100 150 200 250 3001

10

100

DIAS

% D

E C

AL

IDA

D R

ES

IDU

AL

Primer Orden

Primer Orden

Fig. 3.1 (a) L-ascorbic acid loss during refrigerated storage of thermally pasteurized orange juice at four temperatures; (b) Arrhenius plot of the temperature dependence of L-ascorbic acid oxidation.

Segundo Orden

±𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲𝑨𝒏

−𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲 𝑨𝟐

𝟏𝑨𝒆

=1𝑨0

+𝑲 𝜽𝒔




∫𝑨0

𝑨𝒅𝑨𝑨𝟐 =−∫

0

𝜽

𝑲𝒅𝜽𝑲=

1𝑨0𝜽1 /2

Segundo Orden - Aplicaciones

1) Degradación de la vitamina C (depende de la concentración de esta

sustancia y de la concentración de oxígeno en el alimento).

Segundo Orden

FIGURE 4.14 Lysine loss in milk heated at 160°C plotted as 1/[lysine] versus time according to a second-order model (drawn line). Dataset in Appendix 4.1, Table A.4.4.

Orden “n”

±𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲𝑨𝒏

−𝒅𝑨𝒅𝜽

=𝑲 𝑨𝒏

𝑨𝒆𝟏−𝒏=𝑨𝟎

𝟏−𝒏+(𝟏−𝒏 ) 𝑲 𝜽𝒔




∫𝑨0

𝑨𝒅𝑨𝑨𝒏 =−∫

0

𝜽

𝑲𝒅𝜽 𝑲=𝑨𝒐

𝟏−𝒏

(𝟏−𝒏 )𝜽𝟏/𝟐

Orden “n” - Aplicaciones

1) Para reacciones en cadena.

2) Reacciones de radicales que se producen en la oxidación de

grasas.

3) Coagulación térmica de ciertas moléculas de proteína.

4) Desnaturalización térmica y coagulación resultante de las proteínas

de suero de leche -lactoalbúmina y -lactoglobulina se pueden

describir con frecuencia por una orden de aproximadamente 1,5.

Orden “n”


Parámetro Mínimos Cuadrados Estimado

ErrorEstándar Estadístico T Valor-P

Intercepto 134.652 12.0105 11.2112 0.0000

Pendiente -19.4661 2.18915 -8.89205 0.0000

Variable dependiente: Col_1Variable independiente: Col_2Lineal: Y = a + b*X

Coeficientes


Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P

Modelo 8020.8 1 8020.8 79.07 0.0000

Residuo 710.088 7 101.441

Total (Corr.) 8730.89 8

Análisis de Varianza


Coeficiente de Correlación = -0.958472R-cuadrada = 91.8669 porcientoR-cuadrado (ajustado para g.l.) = 90.7051 porcientoError estándar del est. = 10.0718Error absoluto medio = 7.71237Estadístico Durbin-Watson = 1.52519 (P=0.1067)Autocorrelación de residuos en retraso 1 = 0.0910916


Modelo Correlación R-CuadradaInversa de X 0.9849 97.01%Logaritmo de X -0.9824 96.52%Raíz Cuadrada deX -0.9727 94.62%Cuadrado-Y Inversa de X 0.9669 93.50%Raíz Cuadrada de Y -0.9630 92.73%Lineal -0.9585 91.87%Raíz Cuadrada-X Cuadrado-X -0.9576 91.69%Raíz Cuadrada-Y Log-X -0.9518 90.59%Cuadrado-Y Log-X -0.9233 85.24%Cuadrado de X -0.9208 84.78%Raíz Cuadrada-Y Inversa de X 0.9204 84.71%Cuadrado-Y Raíz Cuadrada-X -0.8943 79.98%Cuadrado de Y -0.8625 74.38%Cuadrado Doble -0.7959 63.35%Exponencial <sin ajuste> Inversa de Y <sin ajuste> Raíz Cuadrada Doble <sin ajuste> Logarítmico-Y Raíz Cuadrada-X <sin ajuste> Inversa-Y Raíz Cuadrada-X <sin ajuste> Multiplicativa <sin ajuste> Inversa-Y Log-X <sin ajuste> Curva S <sin ajuste> Doble Inverso <sin ajuste> Log-Y Cuadrado-X <sin ajuste> Inversa-Y Cuadrado-X <sin ajuste> Logístico <sin ajuste> Log probit <sin ajuste>


Gráfico del Modelo AjustadoCol_1 = 134.652 - 19.4661*Col_2

2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5Col_2

0

20

40

60

80

100

Col

_1

Clasificación de Diseños Experimentales

Diseños para comparar 2 o más tratamientos

Diseño Ecuación Lineal Características

Diseño Completamente Aleatorios (DCA)

yij = µ + i + eij

Un FactorDistinto número de NivelesDistinto número de Repeticiones

Diseños en Bloques Completamente Aleatorios (DBCA)

yij = µ + i + j + eij

Un FactorUn BloqueDistinto número de NivelesPueden existir repeticiones

Cuadrado Latino (CL)

yijk = µ + i + j +

k + eijk

Un FactorDos BloquesEl Factor y los Bloques tienen el mismo número

de nivelesPueden existir repeticiones

Cuadrado Grecolatino (CGL)

yijkl = µ + i + j +

k + l + eijkl

Un FactorTres BloquesEl Factor y los Bloques tienen el mismo número

de nivelesPueden existir repeticiones

El que Lee, entienda

El Ing. Chanducas desea incrementar el rendimiento de extracción de antocianina en el proceso de lixiviación de maíz morado.

El que Lee, entienda

BLOQUES FACTORES VARIABLES RESPUESTAS

Lugar de Procedencia Variedad Antocianinas Monoméricas

Día de Análisis Método Porcentaje de Color Polimérico

Equipo Tamaño Partícula Color CIELAB

Analista Diámetro

Temperatura

Presión

Tiempo

Posibilidad A: DCA

RepeticiónTemperatura de Extracción (ºC)

60 70 80 90

1 267 362 562 735

2 289 406 503 727

3 271 349 574 768

Procedencia: CañeteEquipo: MarmitaMétodo de Extracción: En AguaTiempo: 30 minDiámetro: 2 cm

Posibilidad B: DCA - VNSC

RepeticiónTiempo de Extracción (min)

5 10 20 30

1 207 461 625 537

2 264 493 608 581

3 239 427 634 509

Procedencia: CañeteEquipo: MarmitaMétodo de Extracción: En AguaTemperatura: 80ºCDiámetro: 2 cm

Posibilidad C: DBCA

Día de AnálisisTemperatura de Extracción (ºC)

60 70 80 90

1 307 484 526 745

2 254 461 509 772

3 236 458 567 703

Procedencia: CañeteEquipo: MarmitaMétodo de Extracción: En AguaTiempo. 30 minDiámetro: 2 cm

Posibilidad D: DBCA

Lugar de Procedencia

Tiempo de Extracción (min)

5 10 20 30

R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3

Ica 165 94 247 448 412 437 733 729 761 679 624 691

Cuzco 94 126 110 393 356 345 611 672 638 430 418 426

Cañete 207 264 239 461 493 427 625 608 634 537 581 509

Equipo: MarmitaMétodo de Extracción: En AguaTemperatura: 80ºCDiámetro: 2 cm

Posibilidad E: CL

Día de AnálisisLugar de Procedencia

Ica Cuzco Cañete

1 70ºC 639 80ºC 672 90ºC 627

2 80ºC 624 90ºC 597 70ºC 417

3 90ºC 705 70ºC 517 80ºC 421

Equipo: MarmitaMétodo de Extracción: En AguaTiempo: 30minDiámetro: 2 cm

• Evaluar Normalidad Evaluar si sigue Distribución Normal: Pruebas Paramétricas.

• Realizar el Análisis de Varianza.• Efectuar Pruebas de Comparación de Medias si

fuera necesario.

Proceso de Análisis

Curtosis. Skewness. Muchos otros más.

Evaluación de la Normalidad

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal

• CURTOSIS

g2= 0

g2> 0 g2< 0

41

4

2 )1(

)()(

sn

XXcurtosisg

n

ii

s= desviación estándar

– Coeficiente de curtosis

– Error estándar de la curtosis

– Si , entonces la distribución no es normal.

nEEC

24

2EEC

Curtosis



• COEFICIENTE DE ASIMETRIA:g1= 0

g1> 0g1< 0

Skewness o Asimetría

Coeficiente de asimetría: Error estándar del coeficiente de asimetría:

Si , la distribución no es normal.

nEECA

6

2asimetría Coef. EECA


31

3

1 )1(

)()(

sn

XXasimetríag

n

ii

Análisis de Varianza – DCA

Fuente de Variación g. l. Suma de

CuadradosCuadrado

Media F0 FTab

Tratamientos K – 1 F0 > Ftab

Error N – k

Total N – 1

Fuente de Variación g. l. Suma de

CuadradosCuadrado

Media F0 FTab


Bloques b – 1 F0 > Ftab

Error (k – 1) (b – 1)

Total N – 1

Análisis de Varianza – DBCA

Fuente de Variación g. l. Suma de Cuadrados Cuadrado

Media F0 FTab


Filas K – 1 F0 > Ftab

Columnas K – 1 F0 > Ftab

Error (K – 1) (K – 2)

Total K2 – 1

Análisis de Varianza – DCL

• Efectuar Pruebas de Comparación de Medias si fuera necesario.

Ho : i = j

Ha : i ≠ j

• Método LSD (Diferencia Mínima Significativa)

|𝒀 𝒊 .−𝒀 𝒋 .|>𝒕𝜶/𝟐,𝑵−𝒌√𝑪𝑴𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 ( 𝟏𝒏𝒊

+ 𝟏𝒏 𝒋

)=𝑳𝑺𝑫

Prueba de Comparación de Medias

• Método Tukey (Diferencia Máxima Significativa)

𝑻𝜶=𝒒𝜶 ,𝒌 ,𝑵 −𝒌√𝑪𝑴𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓

𝒏𝒊

Prueba de Comparación de Medias

Diseños para evaluar el efecto de varios factores

Diseño Características

Diseños Factoriales Generales

Varios FactoresCada Factor puede tener diferentes nivelesPueden existir repeticiones

Diseño Factorial 2kVarios FactoresTodos los factores tienen 2 NivelesPueden existir repeticiones

Diseño Factorial 2k - p

Varios FactoresTodos los factores tienen 2 Niveles

Pueden existir repeticiones

Diseño Factorial 3kVarios FactoresTodos los factores tienen 3 NivelesPueden existir repeticiones

Diseño Factorial 3k - p

Varios FactoresTodos los factores tienen 3 Niveles

Pueden existir repeticiones

Diseños Factoriales

Modelo Estadístico

yijk = µ + i + j + ()ij + eijk

Diseños factoriales 2k

• Llamaremos A y B a las variables explicativas, así como a sus efectos.

• La interacción entre ambos factores y el efecto correspondiente la denotaremos AB.

• Las condiciones experimentales pueden ubicarse en un cuadro.

Diseño Factorial 2k: 22

A

B

-1 1

-11

(1)

b ab

a

Diseño Factorial 2k

• El espacio de condiciones experimentales puede representarse mediante un cubo (para k = 3) o pares de cubos (para k > 3).

AB

C

AB

C

AB

C

D

k = 3 k = 4


Diseño Factorial 22. Ejemplo

Tratamiento Bisulfito (%) pH

A 0 5,1

B 0 8,5

C 0,06 5,1

D 0,06 8,5


Tratamiento Repet. Bisulfito (%) pH Sólidos Solubles

(ºBrix) L* a* b* Color (L2+a2+b2)0,5

A 1 0 5,1 26,6 50,02 -1,05 6,49 50,45

B 1 0 8,5 23,4 38,63 -0,56 7,21 39,30

C 1 0,06 5,1 20,3 49,54 -2,98 15,13 51,88

D 1 0,06 8,5 20,7 52,17 -2,19 8,94 52,98

E 2 0 5,1 27,0 50,27 -0,90 6,87 50,75

F 2 0 8,5 23,8 38,87 -0,31 7,46 39,58

G 2 0,06 5,1 20,6 49,79 -2,74 15,62 52,25

H 2 0,06 8,5 21,0 52,44 -2,00 9,40 53,31

I 3 0 5,1 27,4 50,48 -0,68 7,28 51,01

J 3 0 8,5 24,2 39,21 -0,07 7,91 40,00

K 3 0,06 5,1 21,1 50,01 -2,47 16,21 52,63

L 3 0,06 8,5 21,6 52,65 -1,59 9,78 53,57


Fuente Sólidos Solubles Luminosidad Color

A:Bisulfito 0,0000 0,0000 0,0000

B:pH 0,0000 0,0000 0,0000

AB 0,0000 0,0000 0,0000

Bloques 0,0000 0,0000 0,0000

Total error

Total (corr.)

Valor P de Sólidos Solubles, Luminosidad y Color

Standardized Pareto Chart for L

0 100 200 300 400

Standardized effect

A:Bisulfito

B:pH

AB+-

Standardized Pareto Chart for Sólidos Solubles

0 40 80 120 160

Standardized effect

A:Bisulfito

AB

B:pH+-

Standardized Pareto Chart for Color

0 50 100 150 200 250 300

Standardized effect

A:Bisulfito

AB

B:pH+-


Interacción del pH y la Concentración de Bisulfito sobre los Sólidos Solubles

0pH

8.5

Main Effects Plot for Sólidos Solubles

20

21

22

23

24

25

26

Sólid

os S

olub

les

Bisulfito0.06 5.1 0

pH=5.1

pH=8.5

Interaction Plot for Sólidos Solubles

20

22

24

26

28

Sólid

os S

olub

les

Bisulfito0.06

pH=5.1

pH=8.5

Estimated Response Surface

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

5,16,1

7,18,1

9,1

pH

19

21

23

25

27

Sólid

os S

olub

les

Contours of Estimated Response Surface

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

5,1

6,1

7,1

8,1

9,1

pH

Sólidos Solubles19,019,820,621,422,223,023,824,625,426,227,027,8


Interacción del pH y la Concentración de Bisulfito sobre la Luminosidad

Main Effects Plot for L

44

46

48

50

52

L

Bisulfito0 0.06

pH5.1 8.5

Interaction Plot for L

38

41

44

47

50

53

L

Bisulfito0 0.06

pH=5.1

pH=5.1

pH=8.5

pH=8.5


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

5,1

6,1

7,1

8,1

9,1

pH

L38,039,841,643,445,247,048,850,652,454,256,057,8


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

5,16,1

7,18,1

9,1

pH

38

41

44

47

50

53

56

L


Interacción del pH y la Concentración de Bisulfito sobre el Color

Main Effects Plot for Color

45

47

49

51

53

Col

or

Bisulfito0 0.06

pH5.1 8.5

Interaction Plot for Color

39

42

45

48

51

54

Col

or

Bisulfito0 0.06

pH=5.1

pH=5.1

pH=8.5pH=8.5


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

5,1

6,1

7,1

8,1

9,1

pH

Color39,040,842,644,446,248,049,851,653,455,257,058,8


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

5,16,1

7,18,1

9,1

pH

39

42

45

48

51

54

57

Col

or

Gracias a su ortogonalidad, un diseño 2k en el cuál n factores (n < k) son no significativos corresponde a 2n réplicas de un diseño en el cuál participan solo k - n factores.

C no significativo

AB

C

a

b

(1)

ab

abc

acc

bc

AB(1)

caac

ababc

bbc

Diseños 2k – p

Diseños 2k – p

Diseños 2k – p

Diseño Réplicas recomendadas Número de corridas

22 3 ó 4 12, 16

23 2 16

24 1 ó 2 16, 32

25 Fracción 25 – 1 ó 1 16, 32

26 Fracción 26 – 2 ó Fracción 26 – 1 16, 32

27 Fracción 27 – 3 ó Fracción 27 – 2 16, 32

Diseños 2k – p

Diseños 2k – p

Resolución III: Efectos principales no son alias entre ellos; pero pueden ser alias de interacciones dobles (ID).

Resolución IV: Efectos principales no son alias entre ellos ni con ID; pero algunas ID son alias entre ellas.

Resolución V: Efectos principales e ID están alias con interacciones triples o de mayor orden.

Diseños 2k – p

Tratamiento Yates 0 A B C AB AC BC ABC

1 (1) +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

2 a +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

3 b +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

4 ab +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

5 c +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

6 ac +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1

7 bc +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1

8 abc +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Diseños 2k – p

Tratamiento Yates 0 A B C AB AC BC D = ABC

1 (1) +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

2 a +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

3 b +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

4 ab +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

5 c +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

6 ac +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1

7 bc +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1

8 abc +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Puntos (diseño original)

A B C D AB=E BC=F CD=G

(1) -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1

a +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

b -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1

ab +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

c -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1

ac +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1

bc -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1

abc +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1

d -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

ad +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1

bd -1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

abd +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1

cd -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1

acd +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

bcd -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1

abcd +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Diseños 2k – p

Puntos (diseño original)

Puntos (diseño fraccionado)

A B C D AB=E BC=F CD=G

(1) efg -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1

a afg +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

b bg -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1

ab abeg +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

c ce -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1

ac ac +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1

bc bcf -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1

abc abcef +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1

d def -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

ad adf +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1

bd bd -1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

abd abde +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1

cd cdeg -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1

acd acdg +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

bcd bcdfg -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1

abcd abcdefg +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Diseños 2k – p

Diseños de Plackett – Burman

A B C D E F G H I J K

acghijk +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1

abdhij +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

bceijk -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1

acdfjk +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1

abdegk +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1

abcefh +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

bcdfgi -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1

-1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1

-1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1

+1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1

-1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Diseños de Plackett – Burman

Main Effects Plot for Acidez Titulable

23

27

31

35

39

43

47

Aci

dez

Titu

labl

e

AB

CD

EF

GH

IJ

K

• Factores de screening

• Selección de la región óptima (Escalamiento)

• Modelación y Optimización de la respuesta

Etapas de la Optimización

Esquema de la Optimización con MSR

SELECCIONAR LA RESOLUCIÓN

HACER LAS CORRIDAS DEL EXPERIMENTO EN

ORDEN ALEATORIO

DISEÑO FACTORIAL ALTAMENTE

FRACCIONADO

DETERMINAR LOS EFECTOS ACTIVOS

ANALIZAR LOS DATOS

DISEÑO FACTORIAL 2k O 2k – p CON

REPETICIONES AL CENTRO

ESTIMAR EL MODELO Y PROBAR FALTA DE

AJUSTE

REALIZAR LOS EXPERIMENTOS

MOVERSE EXPERIMENTANDO EN

LA DIRECCIÓN ÓPTIMA, HASTA

DETECTAR CAMBIO DE TENDENCIA

¿ES LINEAL LA SUPERFICIE?

CONDICIONES ÓPTIMAS DEL

PROCESO

DISEÑO CENTRAL COMPUESTO, DISEÑO

DE BOX BEHNKEN

DETERMINAR EL MEJOR MODELO

JERÁRQUICO

CORRER LOS EXPERIMENTOS

CARACTERIZAR LA SUPERFICIE

ENCONTRAR EL PUNTO

ESTACIONARIO (CANDIDATO A

ÓPTIMO)

¿ES EL MODELO ÓPTIMO QUE BUSCAMOS?

SI TIENEN MUCHOS FACTORES

MODELO TENTAIVO DE PRIMER ORDEN

FORMULAR MODELO DE SEGUNDO ORDEN

ANÁLISIS DE CORDILLERA

NO

SI

SI

NO

Diagrama de Flujo del Screening

ELIMINACIÓN DE VARIABLES NO SIGNIFICATIVAS

INICIO

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN, OBJETIVOS Y VARIABLES

ESTIMACIÓN DE EFECTOS Y ANÁLISIS DE VARIANZA

DISEÑO FACTORIAL O PLACKETT – BURMAN

MODELO MATEMÁTICO LINEAL

ETAPA DE ESCALAMIENTO U OPTIMIZACIÓN FINAL

¿VARIABLE SIGNIFICATIVA?

89

Text, page 430

A procedure for moving sequentially from an initial “guess” towards to region of the optimum

Based on the fitted first-order model

Steepest ascent is a gradient procedure

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆy x x

Escalamiento

Diseño Factorial Central Compuesto

Diseño 2k Central Compuesto

Diseños 2k con puntos centrales y puntos estrellas

Diseño Factorial 22 con puntos centrales. Ejemplo

Tratamiento Bisulfito (%) pH

A 0 5,1

B 0 8,5

C 0,03 6,8

D 0,03 6,8

E 0,03 6,8

F 0,06 5,1

G 0,06 8,5

Tratamiento Bisulfito (%) pH Sólidos Solubles (ºBrix) L* a* b* Color

(L2+a2+b2)0,5

A 0 5,1 27,0 50,27 -0,90 6,87 50,75

B 0 8,5 23,8 38,87 -0,31 7,46 39,58

C 0,03 6,8 22,0 49,52 -0,37 5,41 49,82

D 0,03 6,8 22,0 51,66 -1,28 6,94 52,14

E 0,03 6,8 22,0 37,16 -0,01 0,84 37,17

F 0,06 5,1 20,6 49,79 -2,74 15,62 52,25

G 0,06 8,5 21,0 52,44 -2,00 9,40 53,31



Fuente Sólidos Solubles Luminosidad Color

A:Bisulfito 0,1908 0,5504 0,5149

B:pH 0,0116 0,3896 0,3483

AB 0,1190 0,3604 0,4387

Total error

Total (corr.)

Valor P de Sólidos Solubles, Luminosidad y Color

Standardized Pareto Chart for L

0 1 2 3 4

Standardized effect

A:Bisulfito

B:pH

AB+-


0 1 2 3 4 5 6

Standardized effect

A:Bisulfito

AB

B:pH+-

Standardized Pareto Chart for Color

0 1 2 3 4

Standardized effect

A:Bisulfito

AB

B:pH+-


Interacción del pH y la Concentración de Bisulfito sobre los Sólidos Solubles

Main Effects Plot for Sólidos Solubles

20

21

22

23

24

25

Sól

idos

Sol

uble

s

Bisulfito0 0.06

pH5.1 8.5

Interaction Plot for Sólidos Solubles

20

22

24

26

28

Sól

idos

Sol

uble

s

Bisulfito0 0.06

pH=5.1

pH=5.1

pH=8.5pH=8.5


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

5,1

6,1

7,1

8,1

9,1

pH

Sólidos Solubles18,019,020,021,022,023,024,025,026,027,028,029,0


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

5,16,1

7,18,1

9,1

pH

18

20

22

24

26

28

Sólid

os S

oluble

s


Interacción del pH y la Concentración de Bisulfito sobre la Luminosidad


43

45

47

49

51

L

Bisulfito0 0.06

pH5.1 8.5


38

41

44

47

50

53

L

Bisulfito0 0.06

pH=5.1

pH=5.1

pH=8.5

pH=8.5


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

5,1

6,1

7,1

8,1

9,1

pH

L38,039,841,643,445,247,048,850,652,454,256,057,8


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

5,16,1

7,18,1

9,1

pH

38

41

44

47

50

53

56

L


Interacción del pH y la Concentración de Bisulfito sobre el Color

Main Effects Plot for Color

44

46

48

50

52

Col

or

Bisulfito0 0.06

pH5.1 8.5

Interaction Plot for Color

38

41

44

47

50

53

Col

or

Bisulfito0 0.06

pH=5.1

pH=5.1

pH=8.5pH=8.5


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

5,1

6,1

7,1

8,1

9,1

pH

Color38,039,841,643,445,247,048,850,652,454,256,057,8


0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

5,16,1

7,18,1

9,1

pH

38

41

44

47

50

53

56

Color

Diseño Factorial 23con puntos centrales y estrellas. Ejemplo

Tratamiento Bisulfito (%)

Tiempo (min) pH Sólidos Solubles

(ºBrix) L* a* b* Color (L2+a2+b2)0,5

A 0,00 2 6,8 22,0 45,80 -0,16 2,77 45,88

B 0,06 2 6,8 20,5 53,01 -0,83 4,38 53,20

C 0,00 6 6,8 18,5 51,23 -3,51 16,37 53,90

D 0,06 6 6,8 22,2 52,71 -0,57 4,22 52,88

E 0,00 4 5,1 27,0 50,27 -0,90 6,87 50,75

F 0,06 4 5,1 23,8 38,87 -0,31 7,46 39,58

G 0,00 4 8,5 20,6 49,79 -2,74 15,62 52,25

H 0,06 4 8,5 21,0 52,44 -2,00 9,40 53,31

I 0,03 2 5,1 23,1 48,91 -0,32 5,46 49,21

J 0,03 6 5,1 24,0 50,57 -0,94 5,40 50,87

K 0,03 2 8,5 17,5 50,08 -2,18 10,22 51,16

L 0,03 6 8,5 20,2 48,04 -3,43 18,69 51,66

M 0,03 4 6,8 22,0 49,52 -0,37 5,41 49,82

N 0,03 4 6,8 22,0 51,66 -1,28 6,94 52,14

O 0,03 4 6,8 22,0 37,16 -0,01 0,84 37,17


Source Sólidos Solubles Luminosidad ColorA:Bisulfito 0,8626 0,9974 0,8343

B:Tiempo 0,6081 0,7964 0,5932

C:pH 0,0024 0,5314 0,3463

AA 0,5885 0,6584 0,6225

AB 0,0758 0,6620 0,5254

AC 0,1827 0,3066 0,3631

BB 0,0507 0,3836 0,3314

BC 0,4744 0,7764 0,9281

CC 0,2707 0,9478 0,7822

Total error

Total (corr.)


0 1 2 3 4 5 6

Standardized effect

A:Bisulfito

B:Tiempo

AA

BC

CC

AC

AB

BB

C:pH +-



44

45

46

47

48

49

50

L

Bisulfito0 0.06

Tiempo2 6

pH5.1 8.5


42

44

46

48

50

52

54

L

AB0 0.06

-

-

+

+

AC0 0.06

-

-

+

+

BC2 6

-

-

++


pH=6,8

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Bisulfito

2

3

4

5

6

Tiem

po

L46,046,847,648,449,250,050,851,652,453,254,054,8

Estimated Response SurfacepH=6,8

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Bisulfito

23

45

6

Tiempo46

48

50

52

54

L

El Dr. Genichi Taguchi nació en Japón el 1 de enero de 1924. Se graduó como ingeniero mecánico en la Universidad de Kiryu. En 1962 obtuvo el doctorado en Ciencias (estadística y matemática) en la Universidad de Kyushu. Taguchi falleció el 2 de Junio del 2012 a los 88 años.

Genichi Taguchi (1924 – 2012)

Trabajó en Electrical Comunication Laboratory después de la segunda guerra mundial, implementó en esa empresa un método de mejoramiento en los sistemas de comunicación.

Fue investigador asociado de la Universidad de Princeton; profesor honorario de Nanjing Institute of Technology en China. En Japón fue profesor de la Universidad de Aoyama Gakuin.

Fue miembro de la Japán Association for Quality Control y la Japanesse Standard Association

Genichi Taguchi ha sido ganador en cuatro oportunidades del Premio Deming en Japón. Tres de ellas por sus contribuciones a la literatura de la Calidad, y la otra por su aplicación a la calidad con su famosa Función de Pérdida.

El Dr. Taguchi trabajó para la compañía Nippon Telegraph and Telephone. Si bien sus ideas son controvertidas, muchas compañías las han utilizado para sacar ventaja en la planificación de experimentos y para reducir las variaciones en el proceso y el producto.

Es conocido como el creador de una metodología denominada Ingeniería de Calidad

Genichi Taguchi

CALIDADCosto

Como los clientes desean comprar productos que atraigan su atención y que realicen la función para la cual se diseñaron.

Tales conceptos se reflejan en los puntos siguientes:

Debe ser resistente al deterioro y a factores externos a su operación.

Las organizaciones deben ofrecer productos que superen los de la competencia en cuanto a diseño y precio, que sean atractivos para el cliente.

Filosofía de Calidad Taguchi

1. Función de perdidas. la calidad debe definirse en forma monetaria mediante la función de perdida, en cuanto mayor sea la variación de una especificación respecto al valor nominal será la perdida monetaria trasferida al consumidor.

2.Mejora continua. dice la mejora continua del proceso productivo y la reducción de la variabilidad son indispensables para subsistir en la actualidad. estos factores se relacionan.

3. Variabilidad. puede cuantificarse en términos monetarios la variabilidad es el funcionamiento del producto este provoca una perdida al usuario, la cual puede medirse como un cuadro de la diferencia entre el funcionamiento real y el valor objetivo.


4. Diseño del producto. en esta etapa se genera la calidad y se determina el costo final del producto.

5. Optimización del diseño del producto. se puede diseñar un producto con base en la parte no lineal de su respuesta a fin de disminuir su variabilidad.

6. Optimización del proceso. Se puede reducir la variabilidad por medio del diseño del experimento, al seleccionar los niveles óptimos de la variables involucradas en la manufactura del producto.

7. Ingeniería de la Calidad. Taguchi desarrolló también una metodología que denominó "Ingeniería de la Calidad", la cual se divide en linea y fuera de linea, y se describe a continuación:


Diseño Robusto

Los Factores Pueden Afectar...

2. El Resultado Promedio

3. La Variación y el Promedio1. La Variación del Resultado

4. Ni la Variación ni el Promedio

Banda ancha

Banda angosta

Tiempo del servicio

Sin entren.

Con Entren.

Pocos ejecutivos

Suficientesejectuvos Ambos sexos

Toman el mismo tiempo

Tiempo del servicio

Tiempo del servicio Tiempo del servicio

Diseño Robusto

Diseño Robusto

3. El Valor Máximo es el Mejor

• Tiempo de Ciclo• Tiempo de

conexión

• Confiabilidad• Satisfacción

1. El Valor Nominal es el Mejor

Meta

Lograr unvalor meta convariación mínima

• Tiempo de atención• Tiempo de conexión

2. El Valor Mínimo es el Mejor

0

Tendencia de salidahacia arriba

Tendencia de salida hacia cero

Función de Pérdida

Función de Pérdida

Diseños de Taguchi

• Dar prioridad a los factores principales, ya que las interacciones son difíciles de manejar y por eso deben de considerarse como factores de ruido.

• Las interacciones a probar deben de ser conocidas ó altamente probables. Si las interacciones altamente significativas no son incluidas, se generará una confusión

• Se deben de analizar los datos mediante la razón señal a ruido, detectando con ello las combinaciones de los factores de control que generan un proceso robusto.

Diseños Robustos de Taguchi

• Es una herramienta ingenieril que simplifica y en algunos casos elimina gran parte de los esfuerzos de diseño estadístico.

• Es una forma de examinar simultáneamente muchos factores a bajo costo.

• Los arreglos ortogonales son herramientas que permiten al ingeniero evaluar qué tan robustos son los diseños del proceso y del producto con respecto a los factores de ruido.

• Los Ingenieros NO necesitan convertirse en especialistas en estadística para aplicar los diseños de experimentos.

Los diseños de Taguchi son de resolución III (los efectos principales se confunden con interacciones dobles).

Los diseños “L” de Taguchi se recomiendan cuando se tienen >4 factores o se desea filtrarlos.

La “L” significa número de tratamientos a realizar (más réplicas).

Ejemplo: Un diseño L8 significa que es un diseño con 8 tratamientos.

Diseños Robustos de Taguchi

Diseños de Taguchi

Diseños 2k – p

Resolución III: Efectos principales no son alias entre ellos; pero pueden ser alias de interacciones dobles (ID).

Resolución IV: Efectos principales no son alias entre ellos ni con ID; pero algunas ID son alias entre ellas.

Resolución V: Efectos principales e ID están alias con interacciones triples o de mayor orden.

Diseños de Taguchi

Diseños de Taguchi

• El objetivo del DP de un proceso es que el producto sea Funcional, exhiba unAlto Nivel de Performance y sea Sensitivo al mínimo a los “Ruidos”.

• El diseño de parámetros examina las interacciones entre factores de control y factores de ruido con el objeto de lograr la robustez.

S/N PERFORMANCE PERDIDA

Diseños de Taguchi

Diseños de Taguchi

NºFACTORES ACEPTABILIDAD

A B C D E F G R1 R2 R3

1 1 1 1 1 1 1 1 5,3 5,4 5,5

2 1 1 1 2 2 2 2 7,5 7,5 7,8

3 1 2 2 1 1 2 2 4,8 5,1 5,1

4 1 2 2 2 2 1 1 5,6 5,5 5,7

5 2 1 2 1 2 1 2 7,0 6,7 7,0

6 2 1 2 2 1 2 1 7,2 7,0 7,4

7 2 2 1 1 2 2 1 5,6 4,9 5,4

8 2 2 1 2 1 1 2 5,0 4,2 4,7

A = Proporción Oligofructosa / Inulina B = Proporción Sabor naranja / Ácido Cítrico C = Sucralosa D = Carragenina E = Leche Descremada F = Lamequick (espumante) G = Colorante Naranja

Diseños de Taguchi

Nº A B C D E F G Eta

1 1 1 1 1 1 1 1 14,64688

2 1 1 1 2 2 2 2 17,61478

3 1 2 2 1 1 2 2 13,97588

4 1 2 2 2 2 1 1 14,96284

5 2 1 2 1 2 1 2 16,77514

6 2 1 2 2 1 2 1 17,14441

7 2 2 1 1 2 2 1 14,47185

8 2 2 1 2 1 1 2 13,29545

Diseños de Taguchi

A v erage Eta by Fac tor Lev els

Mean=15,3609 Sigma=1,56296 MS Error=,154570 df =16

(Das hed line indic ates ±2*Standard Error)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

O L IG O FR INU NA R CIT R S UCRA L O S A CA RRA G E NINA L E CHE DE S C L A M E Q UICK NA RA NJA

13,5

14,0

14,5

15,0

15,5

16,0

16,5

17,0

ET

A =

-10

*log1

0(1/

N*S

um(1

/y²)

)

Diseños de Taguchi

Analysis of Variance (Spreadsheet1) Mean = 15,3609 Sigma = 1,56296

FACTORES SS df MS F p

{1}OLIGOFRUCTOSA INULINA 0,08875 1 0,08875 0,5742 0,4596271000000

{2}NARANJA CITRICO 33,66730 1 33,66730 217,812 0,0000000000974

{3}SUCRALOSA 3,00186 1 3,00186 19,4207 0,0004408837000

{4}CARRAGENINA 3,71558 1 3,71558 24,0381 0,0001592724000

{5}LECHE DESCREMADA 8,50370 1 8,50370 55,0152 0,0000014584820

{6}LAMEQUICK 4,66389 1 4,66389 30,1733 0,0000491206700

{7}NARANJA 0,07104 1 0,07104 0,4596 0,5074876000000

Residual 2,47312 16 0,15457

Diseños de Taguchi

Expected S/N Ratio under Optimum Conditions (Spreadsheet1) Mean = 15,3609 Sigma = 1,56296

FACTORES Level Effect Standard{1}OLIGOFRUCTOSA INULINA 2 0,06081 0,196577{2}NARANJA CITRICO 1 1,18440 0,196577{3}SUCRALOSA 2 0,35366 0,196577{4}CARRAGENINA 2 0,39347 0,196577{5}LECHE DESCREMADA 2 0,59525 0,196577{6}LAMEQUICK 2 0,44083 0,196577{7}NARANJA 2 0,05441 0,196577Expected S/N 18,44373

DISEÑO DE MEZCLAS

Los factores independientes son proporciones de diferentes componentes de una mezcla.

Un Diseño de Mezclas contiene q componentes donde xi es la proporción del ith componente (i=1,2,…, q)

Existen 2 restricciones: 0 ≤ xi ≤ 1Σ xi = 1

Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide.

Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos.

Diseños de Mezclas

Diseños de Mezclas

x1 + x2 = 1 x1 + x2 + x3= 1

x2

1x1

00

1

x1 + x2 + x3= 1

Sistema de Coordenada Simplex

x3

x2

x1

1

1

10

x2

x1

x3

0,8

0,6

0,4

0,2

(1,0,0)

(0,1,0)

(1/2, 1/2,0)

(0,0,1)

(1/3,1/3,1/3)

Sistema de Coordenadas Trilinear

0,0

1,0

136

• {p,m} – Diseño Simplex Lattice– p = número de factores– m+1 = número de niveles de factores

• xi = 0, 1/m, 2/m, ..., 1 (i = 1, ..., p)• Número total de puntos de diseño:

Ejemplos:

1p m

m

{3,2} lattice {3,3} lattice

Diseño Simplex Lattice

3 componentes2 niveles


X1 = 1

X3 = 1X2 = 1

X1 = 1

X4 = 1X2 = 1

X3 = 1

Diseños Simplex Lattice

Diseños Simplex Lattice

140

(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

Utilizados cuando se quiere alta resolución en la superficie de respuesta, cuando ya se tiene la región optima

Diseños Simplex Lattice aumentado

(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

Diseños Simplex Lattice aumentado

• p componentes:

– p permutaciones de (1,0,...,0)

– permutaciones de (1/2,1/2,0,....,0)

– permutaciones de (1/3,1/3,1/3,0,....,0)

– ....

– total 2p-1 puntos de diseño

Ejemplo: 3 componentes

2

p

3

p

x1 = x2 = x3= 1/3

x1 = x2 = 1/2

x2 = x3 = 1/2

x2 = x23 = 1/2

x2 = 1

x1 = 1

x3 = 1

Diseño Simplex Centroide



X1 = 1

X3 = 1X2 = 1

X1 = 1

X4 = 1X2 = 1

X3 = 1


Simplex -Lattice permite una malla fina en la región experimental.

{p, m} Simplex -Lattice no puede detectar sinergias de orden superior al de m.

Simplex Centroide se puede ejecutar de forma secuencial (primero mezcla pura, a continuación las mezclas binarias, ...).

Ambos diseños tienen la mayoría de sus puntos en la frontera. Al menos un factor igual a 0.

Diseños Simplex-Lattice Vs. Simplex Centroid

Diseños Simplex Lattice vs Simplex Centroid

Debido a que el nivel del componente final puede escribirse como:

xq = 1 – (x1 + x2 + … + xq-1)

Cualquier modelo de superficie de respuesta utilizado para factores independientes puede ser reducido a un modelo Scheffé. Los ejemplos incluyen:

Modelos Experimentales de Mezclas

148

Con el fin de tener interpretaciones significativas de los coeficientes, se aplica formas canónicas de los polinomios de datos de mezcla. Scheffé introdujo los polinomios siguientes (por ejemplo para p = 3):

Linear:

Cuadrático

Cúbico Especial

Cúbico

Existen otros tipos de polinomios canónicos: Polinomios de Cox Polinomios homogéneos (Tipo Kronecker)

1 1 2 2 3 3x x xb b b+ +

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3x x x x x x x x xb b b b b b+ + + + +

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 123 1 2 3x x x x x x x x x x x xb b b b b b b+ + + + + +

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3

12 1 2 1 2 13 1 3 1 3 23 2 3 2 3 123 1 2 3( ) ( ) ( )

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

b b b b b b

g g g b

+ + + + + +

- + - + - +

Polinomios canónicos Scheffé

Permitir grados suficientes de libertad (# puntos de diseño - # términos del modelo) para permitir la estimación precisa de la varianza: Añadir puntos adicionales de especial interés. Replicar el diseño.

Añadir puntos en el interior: Para aumentar la cobertura de la región experimental. para aumentar los grados de libertad para la estimación de

varianza. Realizar la prueba de la falta de ajuste si no hay repeticiones. Uso del modelo lineal para el Screening. Utilizar modelos de

orden superior para la Optimización. Realizar el bloqueo si es necesario.

Recomendaciones Generales para Diseños de Mezclas

• Los Diseños de Mezcla pueden combinarse con los Diseños Factoriales, cuando algunas variables no están relacionadas con la mezcla (“Variables de Proceso").

• Los pseudocomponentes se pueden utilizar cuando hay mayores restricciones a la mezcla de ingredientes como 0 ≤ xi ≤ 0,3.

Comentarios sobre Diseños de Mezclas

La región experimental no puede ser hipercubo: Imposibilidad de llegar a la esquina de la región

experimental. Contrastes específicos. Factores de Proceso son ingredientes de la mezcla.

Modelo Asimétrico de los postulados de los conocimientos químicos: La interacción no es posible. Adicionales para mayor plazo para uno de los factores.

En estas circunstancias no se puede utilizar Diseños Factoriales y Diseños Clásicos de Superficie de Respuesta (CCD, Box-Behnken).

Limitaciones de Diseños Factoriales y Diseños MRS

1. Requiere un número mínimo de corridas experimentales.

2. Permite una estimación precisa de los coeficientes de regresión.

3. Permite predicciones precisas de las respuestas.4. Permite experimentos que se realizan en bloques.5. Permiten detectar la falta de ajuste

Nota: 2. y 3. pueden ser similares, pero no son necesariamente iguales.

Algunas propiedades deseables del Diseño

Pequeño efecto en pendiente

min max

Gran efecto en pendiente

min max

Diseño de Mezclas de 3 componentes

Los tres componentes puros se ubican en los vértices, las tres mezclas binarias en los bordes y la mezcla ternaria en el centro se utilizan para calcular los coeficientes del modelo. Las tres mezcla adicionales proporcionan puntos de control para permitir una evaluación de falta de ajuste.

Análisis de Diseño de Mezclas de 3 componentes

A B

C

0.50.0-0.5

17

16

15

14

13

12

11

10

9

deviation from reference blend in proportion

Fitt

ed E

lon

gac

i

Cox Response Trace Plot

Análisis de Diseño de Mezclas

159

0.0

1.0

0.0

1.0

0.0

1.0

10.011.2

12.4 13.6

14.8

16.017.2

A

B C

Mixture Contour Plot of Elongaci

A B

C

0.50.0-0.5

25

24

23

deviation from reference blend in proportion

Fitt

ed Y

mill

as/

Cox Response Trace Plot

161

1.0

0.01.0

0.0

1.0

0.0

23.40

23.65 23.90 24.15

24.40 24.65 24.90

CB

A

Mixture Contour Plot of Ymillas/

Regiones restringidas

Respuesta: Brillo

Diseño de Mezclas de 4 componentes con restricciones

x1

x2

x3

RestricciónRestricción


• Se usan cuando hay restricciones por componentes adicionales a la de la mezcla (100%)

• A veces se pueden transformar los valores de la región factible a sus equivalentes (Pseudo-región) para su proceso por Simplex y al final regresar los “Pseudo-resultados” a “valores originales ”


(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

(100%,0%,0%)

A’

B’ C’(0%,100%,0%)

(0%,0%,100%)

Regiónfactible

PseudoRegión

Ejemplo :R1: A>22%R2: B>17%R3: C>23%

R1

R3R2


Ejemplo :R1: A>22%R2: B>17%R3: C>23%

(100%,0%,0%)A’

PseudoRegión

(60%,17%,23%)A


• Cuando existen múltiples restricciones para uno o más componentes, o bien, existen restricciones en la relación de los componentes, se tienen regiones factibles “asimétricas” por lo que su diseño se hace mediante los diseños de vértices extremos y su análisis no es Simplex sino D-Optimal.


(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

Región

factible

Ejemplo :R1: 41%<B<15%R2: 39%<C<16%

R2

R2R1

R1


(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

Región

Factible

Ejemplo :R1: 41%<B<15%R2: 39%<C<16%

R2

R2R1

R1


(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

Ejemplo :R1: 41%<B<15%R2: 39%<C<16%R3: A + 1.5B < 90%R4: A – C > 10

R2

R2R1

R1

R3

R4

Reg

ión

Fac

tible


Ejemplo :R1: 41%<B<15%R2: 39%<C<16%R3: A + 1.5B < 90%R4: A – C > 10

(100%,0%,0%)A

B C(0%,100%,0%) (0%,0%,100%)

R2

R2R1

R1

R3

R4R

egió

n F

actib

le


173

Diseños de mezcla con Factoriales

3 componentes de Mezcla y 1 factor de proceso :

Z1=-1Z1=+1

Z1

Z2

3 componentes de Mezcla y 2 factores de proceso :

3 componentes de Mezcla y 3 factores de proceso :

Combinación de diseños factoriales con diseños de mezclas

Ejemplo: Refresco

Respuesta : y = Satisfacción del Cliente Componentes : A = Jugo de limón B = Azúcar C = Agua

Restricciones : 5% < Contenido de jugo de limón < 20% 1% < Contenido de Azúcar < 10%

Factores de proceso:Temperatura: Fría (-1), Al tiempo (1)Material del vaso: Plastico (-1), Vidrio (1)

Diseños de mezcla con Factoriales

diseños estadisticos huanuco

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