PROBLEMA 1

Se realizara aplicando los valores extremos, y se comparara los resultados obtenidos al aplicar el método de los valores extremos mediante la distribución generalizada y la distribución exponencial.

Valores extremos

Considere el siguiente conjunto de observaciones ordenadas e independientes en una muestra de la variable X y que tenga una distribución de probabilidad FX:

Donde m denota el número total de observaciones consideradas en el análisis de valor extremo.

Demostrado por primera vez por Fisher & Tippett (1928), la distribución de probabilidad de la máxima observación x1, eventualmente después de localizar y escalar, converge a un número limitado de posibles distribuciones como m tiende al infinito. Estas distribuciones se llaman Distribución General de Valores Extremos (GEV), H (x):

Pickands (1975) ha demostrado, además, que, si se tienen en cuenta sólo los valores de X por encima de un umbral suficientemente alta xt, la distribución condicional converge a la distribución generalizada de Pareto (GPD) G (x) como xt se hace más alta:

En el caso de γ=0, esta distribución coincide con la distribución exponencial (con xt umbral).

γ se llama el índice de valores extremos y da forma a la cola de la distribución. Para aumentar γ , la cola se hace más grande o "más pesada"; la probabilidad de ocurrencia se hace mayor para valores extremos de X. En la sub-casos γ <0, γ = 0 y γ> 0, la forma de la cola es diferente (Fig 1).

Si γ<0, γ=0, la cola disminuye de forma exponencial. Si γ>0, disminuye de forma polinómica. Esta disminución polinómica podría ser considerada como exponencial después de la transformación logarítmica de la variable X. La variable puede tomar valores extremadamente altos. Del mismo modo que los extremos pueden tomar valores altos ilimitados en los casos γ>0 y γ=0, están limitados en el caso γ <0 y existe un valor máximo para X. Algunas distribuciones tienen la misma forma por encima de un umbral asintótica y son tres clases:

γ <0: Beta,

γ = 0: Exponencial, normal, log normal, Gamma, Weibull, Gumbel,

γ > 0: Pareto, Fréchet, Log Gamma, Log hiperbólica.

En aplicaciones hidrológicas, las clases γ=0 y γ> 0 aparecen con mayor frecuencia. En muchas de estas aplicaciones, el extremo γ (índice de valor) tiene un pequeño valor positivo y la distinción entre las dos clases es de primordial importancia.

Una vez procesados los datos de las precipitaciones diarias a lo largo del año 2006 en el software Wetspro, obtenemos una serie de caudales los cuales con la ayuda del software ECQ procesamos tanto para los periodos de inundaciones como de sequía. Para ello al trabajar con periodos de inundación, ordenamos de mayor a menor los caudales; y para los periodos

de sequía dividimos cada uno de los caudales entre 1 y ordenamos de mayor a menor y procesamos estos datos.

RESULTADOS

CRECIENTES

Software ECQ

Figura.1 Puntos ingresados vs Pendientes

Mediante el software, se realiza una aproximación con la distribución exponencial, en cuanto a crecientes se refiere.

De la Fig. 1 se selecciona el punto inicial (tendencia se normaliza)

Figura.2 Cálculo del punto con mayor cambio de pendiente

Se comienza a normalizar aproximadamente desde el 16 a lo largo de la gráfica, analizamos nuevamente con el software y calculamos la línea de tendencia de los puntos para la distribución exponencial.

Figura 3. Línea de tendencia aplicando la distribución exponencial

Con el valor inicial ingresado (16), obteniendo como resultado la siguiente línea de tendencia, la cual nos indica la tendencia de posibles eventos futuros.

Figura 4. Visualización de pendientes (puntos blancos) y valor escogido como punto de mayor pendiente (punto morado)

Como puede observarse en la Fig. 3, la línea de tendencia es buena para los primeros valores, pero para los valores últimos esta comienza a perder validez.

Aproximación de las crecientes aplicando la distribución Pareto.

Figura 5 Puntos ingresados vs Pendientes

Figura 6 Cálculo del punto con mayor cambio de pendiente

Calculamos la línea de tendencia de los puntos para la distribución Pareto.

Figura 7.Línea de tendencia aplicando la distribución Pareto

Figura 8. Visualización de pendientes (puntos blancos) y valor escogido como punto de mayor pendiente (punto morado)

Línea de tendencia buena para los valores ingresados, ya que esta tiende a converger a los valores.

Comparación

Distribución Exponencial Distribucion de Pareto

Se ve que la distribucion Pareto los datos se apegan de mejor manera la linea de tendencia.

SEQUIAS

Antes en necesario tomar en cuenta que:

SEQUIA= 1/CAUDAL

Figura 9 Puntos ingresados vs Pendientes

Punto con mayor cambio en la pendiente = punto 5.

Figura 10 Cálculo del punto con mayor cambio de pendiente

Procedemos a calcular la línea de tendencia de los puntos para la distribución Exponencial.

Figura 11 .Línea de tendencia aplicando la distribución exponencial

Figura 12. Visualización de pendientes (puntos blancos) y valor escogido como punto de mayor pendiente (punto morado)

Esta distribución no es buena para el cálculo de posibles eventos futuros ya que la línea de tendencia es buena para los primeros valores, pero para los valores últimos esta comienza a perder validez, ya que los valores comienzan a alejarse de la línea de tendencia.

Aproximación de las crecientes mediante la Distribución Pareto

Figura 13 Puntos ingresados vs Pendientes

Se puede ver que hasta punto 10 la gráfica se mantiene de forma norma, es decir no presenta cambios bruscos.

Fig 14 Cálculo del punto con mayor cambio de pendiente

Con la pendiente calculamos la línea de tendencia de los puntos para la distribución Pareto.

Figura 15.Línea de tendencia aplicando la distribución Pareto

Figura 16. Visualización de pendientes (puntos blancos) y valor escogido como punto de mayor pendiente (punto morado)

Se ve que la línea de tendencia es buena para los valores ingresados (10), ya que esta tiende a converger a los valores.

Comparación

Distribución Exponencial Distribución de Pareto

La distribucion Pareto resulto ser mejor también para el analisis de las sequias. Esto se puede evidenciar facilmente comparando las dos lineas de tendencia de cada distribucion

CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES

Conclusiones:

Después de la realización del ejercicio se pudo observar tanto en la sequía como en la crecida que la Distribución Pareto, se ajusta de mejor manera a los datos analizados, por lo que esta puede ser más eficiente para tener una posible predicción de datos futuros.