diseÑo de un controlador difuso para un sistema de levitacion magnetica no lineal
TRANSCRIPT
UNIV
ERSIDAD
DISTRIT
ALFRAN
CISCO
JOSE
DECALDAS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS - INTELIGENCIA COMPUTACIONAL - SISTEMAS DIFUSOS 1
DISENO DE UN CONTROLADOR DIFUSOPARA UN SISTEMA DE LEVITACION
MAGNETICA NO LINEALHernan Sanabria Paez, David Montoya Alba
Resumen—En el presente articulo se presenta el diseno de un controlador difuso cuya funcion es solucionar elproblema propuesto en 2009 FUZZ-IEEE Conference Competition, correspondiente a un sistema de suspensionmagnetico no lineal. Para la solucion se ha recurrido a el diseno de 4 sistemas independientes tipo SISO, para luegointegrarlos en un unico sistema tipo MiMO. dicho diseno se ha realizado mediante el sofware Microsoft Exel, el cual hademostrado ser una potente herramienta para el diseno de este tipo de sistemas.
Palabras Clave—Levitador, Magnetico, control,difuso.
Abstract—In this paper the design of a fuzzy controller whose function is solve the proposed FUZZ-IEEE 2009Conference Competition, corresponding to a nonlinear magnetic suspension problem arises. To the solution it has beenused to design 4 independent systems SISO type, and then integrate them into a single type MIMO system. this designwas performed using the software Microsoft Exel, which has proven to be a powerful tool for the design of such systems.
Index Terms—levitator, magnetic, control, fuzzy.
F
1. INTRODUCCION
LOS sistemas de levitacion magnetica se utilizanpara suspender un objeto en el aire, sin ningun
tipo de contacto fısico. Dichos sistemas han sidoabordados en variedad de situaciones en la teorıade control moderno [1] [2], existiendo modelos elec-trodinamicos tanto lineales como no lineales, parael diseno de sus controladores. En la Figura 1 sepuede observar un sistema de levitacion magneticatipo SISO:
En dicho sistema intervienen las siguientes va-riables:
uk : voltaje aplicado.i(t) : Corriente en la bobina.Rk : Resistencia de la bobina.fk : fuerza magnetica del electroiman.g : Aceleracion de gravedad.M : Masa del objeto suspendido.
Las estrategias de control para los sistemas delevitacion magnetica general mente incluyen con-troladores tradicionales tipo PI, PID y la utilizacionde observadores [3] [4].
Sin embargo a partir de la decada de los 80 trassu inclusion en los trenes japoneses, los controlado-
u
R
f
g.
k
i(t)
k
k
MFigura 1. Sistema de levitacion magnetica tipo SISO.
res difusos han, se han puesto de moda puesto queson mas robustos que los controladores tradiciona-les.
En presente trabajo se pretende disenar un con-trol difuso para solucionar el problema planteadodurante la competencia de sistemas difusos pro-
UNIV
ERSIDAD
DISTRIT
ALFRAN
CISCO
JOSE
DECALDAS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS - INTELIGENCIA COMPUTACIONAL - SISTEMAS DIFUSOS 2
puesta por la IEEE en 2009 [5]. Dicho controladores una propuesta expuesta en el segundo seminariode la materia Inteligencia computacional [6].
2. DESCRIPCION DEL PROBLEMA
EN [5] nos presentan el problema de disenode controlador difuso para un sistema de sus-
pension magnetica de tipo MIMO como el que seobserva a continuacion:
Mg
f1
Mg
f2Z(t)1 Z(t)2Actuador
electomagnético 1Actuadorelectomagnético 2
Sensor de poisición 1
Sensor de poisición 2Estator
Flotador dehierro 1
Flotador dehierro 2
Figura 2. Vista lateral del sistema de levitacion magnetica pro-puesto en [5].
flotador 1 flotador2
flotador 3 flotador 4
Figura 3. Vista aerea del sistema de levitacion magnetica pro-puesto en [5].
El modelo electromecanico propuesto consta de3 ecuaciones:
Rkik(t) +kkzk(t)
· dik(t)dt
− kkik(t)
z2k(t)· dzdt
= uk(t) (1)
fk =kk2
·(ik(t)
zk(t)
)2
(2)
fk =Md2zkdt
−Mg (3)
donde:kk =
AkN2kµ02
(4)
La descripcion de las variables asociadas asicomo sus valores iniciales y sus restricciones seencuentra descrita en la siguiente tabla:
Magnitud Descripción Valor/limite/unidad
fk (t) Fuerza magnética de cada actuador k ≥ 0, N
fk (0) = 0 para todo k
zk (t )Distancia entre el actuador k y el flotador k > 0, m
zk 0
Distancia inicial entre el actuador k y el flotador k ver tabla 2
z'k 0 velocidad inicial para el flotador k 0 m/s
zSP
Distancia mínima para todos los flotadores 2 mm
μ0 Permeabilidad Magnética del aire 4π× ^ m
M Masa de cada flotador 3 Kg
g Aceleración de gravedad 9.8m/s^2
uk (t ) Voltaje aplicado a cada actuador 0-100V para k = 1,2
uk (0) = 0 para todo k 0-150V para k = 3
0-140V para k = 4
Rk
Resistencia de la bobina del actuador k 5Ω para k = 1,2
10Ω para k = 3
8.5Ω para k = 4
i k (t ) Corriente DC en el actuador K 0-20A para k = 1,2
ik (0) = 0 para todo k 0-15A para k = 3,4
Ak Área transversal de cada Actuador 0.0002m2 k = 1
0.000237m2 k=2
0.0005m2 k = 3
0.0004m2 k = 4
N k Numero de vueltas de la bobina K 300 k = 1,2
600 k = 3
500 k = 4
Tabla 1: Medidas y descripción del problema para cada actuador.
Posicióninicial 1
Posicióninicial 2
Posicióninicial 3
z10 0.001m 0.005m 0.006m
z20 0.003m 0.003m 0.008m
z30 0.009m 0.011m 0.014m
z40 0.007m 0.013m 0.012m
Tabla 2: conjunto de posiciones iniciales para cadaactuador
Las condiciones iniciales requeridas se observanen la tabla 2.
Adicional mete se se agrega otro requerimiento:
Z1(t) + Z3(t) = Z2(t) + Z4(t) (5)
UNIV
ERSIDAD
DISTRIT
ALFRAN
CISCO
JOSE
DECALDAS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS - INTELIGENCIA COMPUTACIONAL - SISTEMAS DIFUSOS 3
3. REPRESENTACION DEL MODELO
A Partir de las ecuaciones (1),(2) y (3) se ha obte-nido la representacion del sistema en variables
de estado de la siguiente manera:
x1 = i(t) (6)
x2 = z(t) (7)
x3 =dz
dt(8)
x1 =x2kk
· uk +x1 · x3x2
− Rk
kkx1 · x2 (9)
x2 = x3 (10)
x3 = g − kk2M
(x1x2
)2
(11)
Las anteriores ecuaciones nos han permitido rea-lizar el modelo no lineal para cada sistema tipo SISOel cual se observa a continuacion junto con el bloquede el controlador:
1s
Integrator
1s
Integrator1
1s
Integrator2
Product
Divide
9.8 g
u^2
Fcn
-K-
Gain
Product2
-K-
Gain1
Product3
-K-
Gain2
Fuzzy Logic Controller
Figura 4. Sistema tipo SISO con el respectivo controlador difu-so.
4. DISENO DEL CONTROLADOR
PARA el diseno del controlador para este sistemase ha optado por disenar controladores difusos
independientes para cada actuador, es decir siste-mas tipo SISO, como el observado en la figura 4,para luego unirlos en un solo sistema tipo MIMO.
Cada uno de los controladores se ha disenadomediante la herramienta microsoft exel, utilizandola implicacion de Mandani, la T-norma productoy combinacion mandani.Tambien se utilizo fusifica-dor singleton y defusificador centroide.
Para los antecedentes se han utilizado la posi-cion (P) y la velocidad (V) de cada masa, y comoconsecuente el voltaje (U) aplicado a cada actuadorcon las siguientes variables linguısticas:
4.1. Variables linguısticas para la posicion:
PN = Posicion negativa.PCC = Posicion cercana a cero, en este casoa 2mmPM = Posicion media.PGP = Posicion grande positiva.PMGP = Posicion muy grande positiva.
4.2. Variables linguısticas para la velocidad:
VGN = Velocidad grande negativa.VCC = Velocidad cercana a cero.VGP = Velocidad grande positiva.
4.3. Variables linguısticas para el voltaje:
UB = Voltaje Bajo.UM = Voltaje medio.UA = Voltaje alto.UMA = Voltaje muy alto.
4.4. Base de reglas:
La base de reglas en forma tabular se presentacontinuacion:
UB UMB
UM UB UMB
UA UM UB
UMA UA UM
UMA UMA UA
PN
PCC
PM
PGP
PMGP
VGN VCC VGPPOSICIO N
VELOCIDAD
UMB
Tabla 3. base de reglas del sistema.
La optimizacion de los conjuntos de los ante-cedentes y consecuente se realizo mediante solver,minimizando el error cuadratico medio.
UNIV
ERSIDAD
DISTRIT
ALFRAN
CISCO
JOSE
DECALDAS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS - INTELIGENCIA COMPUTACIONAL - SISTEMAS DIFUSOS 4
4.5. Antecedentes y consecuentes para el pri-mer y segundo actuador
A continuacion se presentan los conjuntos difu-sos obtenidos para el primer actuador:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
µ(x)
Posición
PN
PCC
PM
PGP
PMGP
Figura 5. Conjuntos obtenidos para de la posicion, sistemadifuso para k=1 y k=2.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
-0,08 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
µ(x)
Velocidad
VGN
VCC
VGP
Figura 6. Conjuntos obtenidos para la velocidad, sistema difusopara k=1,2,3,4.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
µ(x)
Voltaje
UMB
UB
UM
UA
UMA
Figura 7. Conjuntos obtenidos para el voltaje, sistema difusopara k=1,2.
4.6. Antecedentes y consecuentes para el ter-cer actuador
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015
µ(x)
Posicion
PN
PCC
PM
PGP
PMGP
Figura 8. Conjuntos obtenidos para la posicion, sistema difusopara k=3.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
µ(x)
Voltaje
UMB
UB
UM
UA
UMA
Figura 9. Conjuntos obtenidos para el voltaje, sistema difusopara k=3.
4.7. Antecedentes y consecuentes para el cuar-to actuador
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014
µ(x)
Posición
PN
PCC
PM
PGP
PMGP
Figura 10. Conjuntos obtenidos para la posicion, sistema difusopara k=4.
UNIV
ERSIDAD
DISTRIT
ALFRAN
CISCO
JOSE
DECALDAS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS - INTELIGENCIA COMPUTACIONAL - SISTEMAS DIFUSOS 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
µ(x)
Voltaje
UMB
UB
UM
UA
UMA
Figura 11. Conjuntos obtenidos para el voltaje, sistema difusopara k=4.
5. RESULTADOS.
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Posicion
Tiempo
Z1
Z2
Z3
Z4
Figura 12. Posicion para el primer conjunto de datos.
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Posicion
Tiempo
Z1
Z2
Z3
Z4
Figura 13. Posicion para el segundo conjunto de datos.
6. CONCLUSIONES
Se pudo obtener un sistema difuso de tipoMIMO, a partir sistemas difusos tipo SISO.
Se puede observar que si la base de reglasno es completa(Figura8) se presentan
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Posicion
Tiempo
Z1
Z2
Z3
Z4
Figura 14. Posicion para el tercer conjunto de datos.
perturbaciones, esto es evidente para elactuador tres (Z3) en las figuras 12, 13 y 14.
El software Micosoft Exel, es una poderosaherramienta para la simulacion de sistemasdifusos.
Debido a la complejidad del sistema fuenecesario la utilizacion de un control tipoPD para poder conseguir una respuestasatisfactoria.
No fue posible implementar el control PIDdebido a la gran cantidad de datos mane-jados en exel, los cuales excedıan nuestracapacidad de computo.
REFERENCIAS
[1] I. Ahmad and M. A. Javaid, “Nonlinear Model & ControllerDesign for Magnetic Levitation System System Dynamicsand Modeling,” 9th WSEAS Int. Conf. SIGNAL Process.Robot. Autom. (ISPRA ’10), pp. 324–328, 2010.
[2] T. Kumar and S. Shimi, “Modeling, simulation and controlof single actuator magnetic levitation system,” . . . (RAECS),2014 Recent . . . , pp. 1–6, 2014.
[3] C.-w. Ha, C.-h. Kim, J. Lim, J. Chae, and H.-s. Han, “Mag-netic levitation control including bogie roll motion,” IEEE7th Int. Conf. CIS RAM, no. 1, pp. 84–88, 2015.
[4] M. B. Naumovi and B. R. Veseli, “Magnetic LevitationSystem in Control Engineering Education,” vol. 7, pp. 151–160, 2008.
[5] H. Ying and H. Zhou, “Description of 2009 FUZZ-IEEEConference Competition Problem,” IEEE Comput. Intell.Soc., pp. 1–7, 2009. [Online]. Available: goo.gl/nxZfxR
[6] O. Salazar, “Proyecto 2 : Aplicacion de sistemas difusosen control,” Asigment, p. 1, 2016. [Online]. Available:goo.gl/4RduSc