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V. M. FAIRE5

1RECONOCIMIENTO

PRIMERA EDICIN

... a Mr. T. M. Durkan, de Gleason Works, por... sugerencias... sobre en-granajes cnicos; a Mr. M. D. Hersey... por la lectura del captulo sobrecojinetes simples o chumaceras.oo; a Mr. A. M. Wahl, de la WestinghouseElectricoo. por la revisin del captulo sobre muelles; a Mr. D. T. Hamil-ton, de la Fellows Gear Shaper Company, por la lectura del captulo sobreengranajes cilndricos, y a Mr. D. F. Windenburg, de la United StatesExperimental Model Basin, por su material indito sobre cascos delgadossometidos a presin externa; al Profesor Earle Buckingham por su reite-rada y valiosa ayuda durante la preparacin de los capitulas sobre engra-najes y por su material indito.

EDICIN REVISADA

a los Profesores R. M. Wingren y J. G. H. Thompson, ProfesoresA. H. Burr y M. L. Price... , al Profesor Earle Buckingham... , a Mr. S. J.Needs... sobre cojinetes simples o chumaceras.

TERCERA EDICIN

oo. a los Profesores R. L. Acres, de Texas A. & M. Col1ege; C. T. Grace,de la Universidad de New Mexico; Boynton M. Green, de la StanfordUniversity; Fred Hirsch, de la Universidad de California; L. C. Price, delMichigan State College, y D. K. Wright, del Case Institute of Technology....entre otros oo.; W. W. Austin, del North Carolina State Col1ege; A. M.Wahl, R. E. Petersan y John Boyd, de la Westinghouse Electric Ca.;W. Coleman, de Gleason Works; H. G. Taylor, de la Diamond Chain Co.;R. D. Knight, de American Stee1 & Wire; E. N. Swanson de Brown& Sharpe Manufacturing Ca.; E. Siroky, de la Wagner Electric Corp.;

XII RECONOCIMIENTO

F. A. Votta, Jr., de la Hunter Spring Co.; W. S. Worley, de la GatesRubber Co.; S. J. Needs, Kingsbury Machine Works... ; al Profesor P. B.Leonard, de North Carolina State College, por sus cuidadosos trabajossobre los dibujos lineales...

CUARTA EDICIN

Expreso mi agradecimiento a varias personas por su inter~ en ayu-darme: John Boyd, por las soluciones de las ecuaciones de cojinetes sim-ples o chumaceras; F. A. Votta y W. R. Johnson, por la informacin sobremuelles; o. W. Blodgett, por el material sobre el diseo de soldaduras;T. E. Winter y W. D. Cram, en lo que respecta a engranajes; R. M. Win-gren, por las muchas observaciones y comentarios valiosos en general.Son numerosas las personas a quienes estoy agradecido por su especialayuda, incluyendo las ilustraciones del texto. Y tambin doy las graciasa mi esposa, Lucila, por su paciencia, comprensin y valiosa ayuda du-rante la preparacin del manuscrito.

V. M. F.

SMBOLOS

Los smbolos empleados en el texto original norteamericano de estaedicin espaola, concuerdan en general con las recomendaciones de laAmerican Standards Association (Asociacin Americana de Normaliza-cin), si bien se han estimado convenientes algunas excepciones. En losengranajes, para los que todavia no han sido establecidos los smbolos, sehan seguido las recomendaciones de la American Gear~ManufacturersAssociation (Asociacin Americana de Fabricantes de Erigranajes). En ge-neral, en esta traduccin se emplean los mismos smbolos, que son lossiguientes:

a

AbBe

C

Cl' C2 , etc.De

F:fF

g

G

aceleracin lineal; una dimensin; velocidad del sonidorea; margen o toleranciaanchura; una dimensinvida o duracin de los cojinetes de rodamientodistancia desde el eje neutro hasta la fibra cuya tensin se

calcula; usualmente la tibra ms alejada o extrema; juegode cojinetes

distancia entre centros; ndice de muelle o de flexibilidad;un nmero; una constante.

constantesdimetro; Do. dimetro exterior; Di. dimetro interior; etc.excentricidad de carga; error efectivo en los perfiles de los

dientes de engranaje; rendimientomdulo de elasticidad en traccincoeficiente de friccin o rozamientouna fuerza; carga total; F l' fuerza inicial o fuerza en 1;

Fm fuerza media; FA. fuerza aplicada en el punto A; etc.aceleracin local debida a la gravedad; gOo aceleracin nor-

malo estndar de la gravedad (se utiliza 9,81 m/seg2o 32,2 fps2)

mdulo de elasticidad en cizalladura o torsin

dureza Rockwell C; R B dureza Rockwell B. etc.tensin o esfuerzo; Sao componente alterna del esfuerzo total;

Sa.. componente alterna en cizalladura; Se. esfuerzo decompresin; Sd. esfuerzo de proyecto, clculo o diseo;Se, esfuerzo equivalente; Se&> esfuerzo cortante equivalente;S,. esfuerzo de flexin o flector; Sm. esfuerzo medio; Sm..esfuerzo medio en cizalladura; s'a, lmite de duracin ofatiga; Sao resistencia a la fatiga; Sao. resistencia a la fatigaen torsin, carga desde cero hasta el mximo; Sa.. resis-tencia a la fatiga en cizalladura, carga invertida o alter-nada; s,. esfuerzo cortante; Se. esfuerzo de traccin; su.resistencia mxima; Su.. resistencia mxima en cizalladu-ra; Sue. resistencia mxima en compresin; Sy, resistenciade fluencia en traccin; Su,. resistencia de fluencia en ci-zalladura o torsin; SI' esfuerzo inicial o una parte de unesfuerzo total; s... esfuerzo en un punto A; vase tamobin cr y T

nmero de Sommerfeld; fuerza centrfuga; fuerza de sepa-racin; distancia de desplazamiento de un cuerpo, despla-zamiento; escala

espesor; temperatura corrientemente en grados centigrados(o bien, en grados Fahrenheit)

momento de torsin; par; tolerancia; T m, valor medio;Ta , componente alterna

trabajo, U,. trabajo de friccin o rozamiento; U.. trabajoelstico o de muelle

velocidad; v,. velocidad en mis (o bien en fps); Vm , veloci-dad en m/min (o bien en fpm)

volumen; fuerza cortante en seccin de vigacarga por unidad de distancia; peso por unidad de distan

cia; masa; pesopeso o carga total; fuerzafactor de Lewis en engranajesmdulo de seccin, l/e; viscosidad absoluta en centipoisesmdulo de seccin basado en el momento polar de iner

cia, l/ecoeficiente de dilatacin trmica lineal; un ngulo; acelera

cin angularngulo de friccin lmite; un ngulo; ngulo de levangulo de paso en los engranajes cnicos; deformacin uni

taria por cizalladuraalargamiento total; flecha total de una vigadeformacin unitaria normal; relacin de excentricidadeficiencia de juntas roblonadas o soldadas

XIV

h

hhp

il1

k

K

K,

K,. KmKa. K"" Kc

KELm

m",

M

n

N

N,. Ne. etc.

pP

q

Qr

R

SMBOLOS

altura; una dimensin; ho mnimo espesor de pelcula enchumaceras

coeficiente de transmisin de calor (transmitancia)horsepower (caballo de vapor ingls) (C.V. = caballo de va

por internacional)apriete de metal en ajustesmomento rectangular o polar de inerciamomento polar de inercia; factor geomtrico, engranajes

cnicosradio de giro, (l/AY" o (l/mY 12 ; constante elstica, desvia

cin por unidad de carga; conductividadfactor de Wahl para proyecto; Xc. factor para efecto de curo

vatura en muelles y vigas curvadas; K.. factor para es-fuerzo cortante en muelles

factor terico de concentracin de esfuerzo; K ,. factor dereduccin de resistencia a la fatiga

factores de diseo de ejes segn cdigo ASMEfactores de desgaste, engranajes rectos, engranajes de torni-

llos sin fin. levasenerga cinticalongitud; una dimensinmasa en kilogramosge (o bien en slugs) (W/g)relacin de velocidad; velocidad angularmomento de una fuerza; momento flector; M u componente

vertical del momento; Mm, valor medio del momento, etc.velocidad angular; revoluciones por mnuto; n" revoluciones

o ciclos por segundo; tambin ne nmero de ciclos decarga por fatiga

factor de clulo o factor de seguridad; algunas veces, carganormal para una superficie

N con subndice indica la cantidad de algo, como nmerode dientes o nmero de hilos de rosca, nmero de espi-ras, etc.

presin en kg/cm' (o bien en libras por pulgada cuadrada)paso de muelles en espiral, dientes de engranaje, roscas, etc.;

Pd paso diametral; Pe. paso circunferencialcantidad de fluido; indice de sensibilidad a las ranuras o

muescascantidad de calor; algunas veces una fuerza, una constanteradioreaccin o fuerza resultante; radio de la mayor de dos rue-

das; relacin o razn aritmtica; rugosidad; R,u. compo-nente vertical de R; R, componente horizontal de R;etctera

ReS

s

T

u

v

vw

WyZZ'

'Jo (alfa)

f3 (beta)y (gamma)

o (delta) (psilon)r (eta)

SMBOLOS XV

XVI

() (theta),\ (lambda),U. (mu)

v (nu);r (pi)p (rho)(J" (sigma)

2: (sigma)

r (tau)

r/J (fi)

tf; (psi)

w (omega)

SMBOLOS

un ngulongulo de avance de roscas helicoidales o de tornillorelacin de Poisson; viscosidad absoluta en kg-segjm 2 (o

, bien en lb-seg por pulgada cuadrada = reyns)viscosidad cinemtica (v = /!/p)5,1416...densidad; algunas veces radio variableesfuerzo normal resultante en esfuerzos combinados; desvia-

cin normal o estndar.ngulo de eje, engranajes cnicos y helicoidales cruzados;

signo de sumaesfuerzo cortante resultante en esfuerzos combinados; tiem-

po; representa unidad de tiempongulo de torsin; ngulo de presin en engranajes y levas;

frecuencia en ciclos por segundo o minutongulo de hlice en engranajes helicoidales; ngulo de

espiralvelocidad angular en radianes por unidad de tiempo

AFBMAAGMAAISeAISIALBAASAASLEASMASMEASTMAWSBHNcecfmC.g.CLeLcpcpmcpsfpmfpsfps2gpmhpIDipsips2ksimphmr

ABREVIACIONES

Anti-Friction Bearing Manufacturers AssociationAmerican Gear Manufacturers AssociationAmerican Institute of Steel ConstructionAmerican lron and Steel InstituteAmerican Leather Belting AssociationAmerican Standards AssociationAmerican Society of Lubrication EngineersAmerican Society for MetalsAmerican Society of Mechanical EngineersAmerican Society for Testing MaterialsAmerican Welding Societynmero de dureza Brinellen sentido contrario al de las manecillas del relojpies cbicos por minutocentro de gravedadhierro coladoen sentido de las agujas del relojcentipoisesciclos por minutociclos por segundopies por minutopies por segundopies por segundo-segundogalones por minutocaballos de vapordimetro interiorpulgadas por segundopulgadas por segundo-segundokips por pulgada cuadradamillas por horamillones de revoluciones

XVIII ABREVIACIONES SMBOLOS XIX

SMBOLOS QUMICOS MS USUALES

ODOQTpsipsfQTrpmrps5AESCFSE5AWQTYPYSfAino

dimetro exteriortemplado y recocido al aceitelibras por pulgada cuadradalibras por pie cuadradotemplado y recocidorevoluciones por minutorevoluciones por segundo50ciety of Automotive Engineerscoeficiente de concentracin de esfuerzosSociety for Experimental Stress Analysistemplado y recocido al aguarendimientointensidad del rendimientomicropulgada = 10-6 pulg.

AlBBiBeCbCdCaCrCu

aluminioborobismutoberiliocolumbiacadmiocobaltocromo

cobre

Fe hierroMg magnesioMn manganesoMo molibdenoNi nquelO oxigenoP fsforoPb plomoS azufre

5b antimonioSe selenioSi silicioSn estaoTa tntaloTi titanioV vanadioW tungstenoZn zinc

\NDICE DE MATERIAS

Prlogo.Reconocimiento .Smbolos.

Cap. I ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES1, Introduccin. 2, Responsabilidad del proyectista de mquinas.3, La lgica del proyecto. 4, Teora y prctica. 5, Objeto de estelibro. 6, El proyecto de mquinas incumbe al ingeniero. 7, Esfuerzo.8, Resistencia a la traccin y resistencia de ftuencia. 9, Mdulo deelasticidad. 10, Flexin. 11, Relaciones matemticas para las vigas.Centro de cortadura. 12. Determinacin del momento de inercia.13, Torsin. 14, Par de torsin. 15, Resistencia de materiales. 16, Coe-ficiente de seguridad. Coeficiente de clculo. 17, Variabilidad de laresistencia de los materiales y el esfuerzo de clculo. 18, Considera-ciones relativas al coeficiente de seguridad y al esfuerzo de clculo.19, Ejemplo. Clculo de torsin. 20. Esfuerzo de seguridad en com-presin. 21, Ejemplo. Anlisis de esfuerzo. 22, Dimensiones preferi-das (fracciones normalizadas o estndar). 23. Correccin en el modode presentacin de los clculos. 24. Pandeo de un ala de viga.25. Recipientes de pared delgada sometidos a presin. 26, Ejemplo.Recipiente de acero al titanio. 27, Esfuerzos de contacto. 28, Pro-blemas estticamente indeterminados. 29, Esfuerzos trmicos, o seadebidos a cambios de temperatura. 30, Nota para el estudiante.

Cap. 2 LOS MATERIALES Y SUS PROPIEDADES1, Introduccin. 2, Definiciones. 3, Trminos de tratamiento trmico.4, Dureza. 5, Nmeros de especificacin AISI y SAE. 6, Acerosaleados. 7, Templabilidad. 8, Endurecimiento superficial. 9, Endure-cimiento en el trabajo. 10, Hierro dulce o forjado. 11, Fundicino hierro colado. 12, Fundicin maleable. 13, Fundicin modular.14, Acero fundido. 15, Acero inoxidable. 16, Aleaciones de cobre.17, Aleaciones de aluminio. 18, Aleaciones de magnesio. 19, Titanio.20, Plomo, estao y aleaciones diversas. 21, Servicio a temperaturaselevadas. 22, Propiedades a baja temperatura. 23, Plsticos. 24, Su-gerencias para proyectar. 25, Materiales y procedimientos diversos.26, Conclusin.

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VIIXI

XIII

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XXII NDICE DE MATERIAS

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IJ, NDICE DE MATERIAS XXIII

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Cap. 3 TOLERANCIAS Y JUEGOS. 1011, Introduccin. 2, Tolerancia. 3, Juego. 4, Ajustes. 5, Ejemplo.6, Intercambiabilidad. 7, Ajustes forzados y por contraccin. 8, Es-fuerzos debidos al apriete o interferencia del metal. 9, Dispersinnatural de las dimensiones. 10, Ejemplo. Anlisis de una produccinreal. 11, Desviacin tipo y rea debajo de la curva normal. 12, Dis-tribuciones estadsticas de los ajustes. U, Tolerancias en la localiza-cin de agujeros. 14, Tolerancia y acabado superficial. 15, Con-clusin.

Cap. 4 CARGAS VARIABLES y CONCENTRACIONES DE ES-FUERZOS . 12';1, Introduccin. 2, Mecanismo de la fatiga. 3, Lmites de fatiga oendurancia, resistencia a la fatiga. 4, Grfico de la resistencia a lafatiga. 5, Variacin de los esfuerzos. 6, Representacin de la resis-tencia a la fatiga bajo un esfuerzo alternativo. 7, Clculos de resis-tencia a la fatiga. 8, Concentradores de esfuerzo. 9, Coeficientestericos de concentracin de esfuerzos. lO, Sensibilidad en la entalla.11, Efecto del estado de la superficie sobre la resistencia a la fatiga.13, Ecuacin del esfuerzo variable con K f 14, Ejemplo. Vstago de::mbolo. 15, Ejemplo. Momento de torsin variable. 16, Resistenciaa la fatiga para duracin limitada. (Vida finita.) 17, Ejemplo. Du-racin limitada. 18, Ejemplo. 19, Esfuerzo equivalente. 20, Coeficien-tes de clculo para carga variable. 21, Resumen de las considera-ciones de clculo para esfuerzos variables. 22, Concentradores deesfuerzo acumulados. 23, Esfuerzos o tensiones residuales. 24, Placacon agujero elptico. 25, Viga con agujeros. 26, Corrosin. 27, Co-rrosin por ludimiento. 28, Granallado y apisonado superficial.29, Tratamientos trmicos para aumentar la resistencia a la fatiga.30, Efectos de superficie diversos. 31, Mitigacin de las concentra-ciones de esfuerzo. 32, Efectos de temperatura. 33, Consideracionesrelativas a la resistencia a la fatiga. 34, Impacto. 35, Energa els-tica. 36, Barra cargada axialmente. 37, Ejemplo. 38, Carga repen-tinamente aplicada. Velocidad nula de impacto. 39, Elemento entraccin con dos o ms secciones transversales. 40, Proyecto paracargas de impacto. 41, Barra de maza no despreciable. 42, Impactopor un cuerpo que se desplaza horizontalmente. 43, Impacto elsticosobre vigas. 44, Efecto de masa de la viga. 45, Observaciones gene-rales sobre el impacto. 46, Conclusin.

Cap. 5 UNIONES CON TORNILLOS Y REMACHES 2011, Introduccin. 2, Clases de rosca. 3, Definiciones. 4, Roscas nor-malizadas. 5, Ajustes para roscas. 6, Proyecto de pernos. Traccininicial desconocida. 7, Traccin inicial y par de apriete. 8, Materialesy resistencia de los elementos roscados. 9, Anlisis elstico de pernospara juntas. 10, Constantes elsticas y empaquetaduras para piezas

unidas. 11, Ejemplo. Esprragos para culata de compresor. 12, Ejem-p.lo. Junta rgida. 13, Tipos de pernos y tornillos. 14, Tornillos pri-SlOneros. 15, Profundidad del agujero roscado y espacio libre alre-dedor de la cabeza de un perno y de la tuerca. 16, Pernos y tornillossometidos a esfuerzo cortante. 17, Dispositivos de fijacin para ase-gurar elementos roscados. 18, Perno-robln Dardelet. 19, Rema-ches. 20, Conclusin.

Cap. 6 RESORTES 2351, Introduccin. 2, Esfuerzos en resortes helicoidales de alambre re-dondo. 3, Esfuerzos de clculo y esfuerzos del resorte consideradocerrado. 4, Constante de un resorte. 5, Deformacin de resortes he-licoidales de alambre redondo. 6, Clculo para esfuerzos variables.7, Energa absorbida por un resorte. 8, Altura de cierre y longitudlibre. 9, Clculo de resortes helicoidales. 10, Ejemplo. Servicio medio.11, Ejemplo. Servicio indefinido. 12, Materiales empleados para re-sortes helicoidales. 13, Factores que afectan a la resistencia a la fati-ga de los resortes helicoidales. 14, Relajacin de los materiales deresorte. 15, Diagrama de Goodman. 16, Tolerancias. 17, Oscilacionesen los resortes. 18, Pandeo de los resortes de compresin. 19, Re-sortes helicoidales concntricos. 20, Resortes helicoidales de alambrerectangular en compresin. 21, Resortes en extensin o traccin.22, Resortes de torsin. 23, Otras clases de resortes. 24, Resortesplanos. 25, Resortes de hojas o muelles de ballesta. 26, Fatiga de losresortes de hoja. 27, Observaciones generales sobre los resortes dehojas. 28, Conclusin.

Cap. 7 COLUMNAS PARA CARGAS CENTRADAS 2731, Introduccin. 2, Frmula de Euler. 3, Longitud efectiva o libre.4, Columnas cortas. 5, Frmulas lineales. 6, Punto de transicinentre columnas largas e intermedias. 7, Radio de giro o de inercia.8, Frmula de la secante. 9, Clculo de columnas. 10, Ejemplo.11, Esfuerzo equivalente en las columnas. 12, Otras frmulas paraclculo de columnas. 13, Conclusin.

Cap. 8 ESFUERZOS COMBINADOS. 2851, Introduccin. 2, Esfuerzos uniformes y de flexin. 3, Ejemplo.Proyecto de columna con carga excntrica. 4, Carga excntrica sobreuna seccin asimtrica. 5, Esfuerzos cortantes coplanarios en msde una direccin. 6, Esfuerzos normales y cortantes combinados.7, Esfuerzos principales. 8, Esfuerzo cortante mximo. 9, Elementosometido a dos esfuerzos normales y uno cortante. 10, CIrculo deMohr. 11, Ejemplo. Esfuerzos de traccin y cortante combinados.12, Teoras de- la rotura. 13, Ecuacin de clculo para las teorasde esfuerzo cortante mximo y de esfuerzo cortante octadrico.14, Ejemplo. Flexin, compresin y torsin combinadas. 15, Com-

XXIV NDICE DE MATERIAS

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NDICE DE MATERIAS xxv

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binacin de esfuerzos variables. 16, Ejemplo. Esfuerzos variables deflexin y torsin combinados. 17, Consideraciones complementariasacerca de la fatiga. 18, Tornillos de transmisin de potencia.19, Paso y avance. 20, Par necesario para girar un tornillo. 21, Coe-ficiente de rozamiento en los tornillos de potencia. 22, Rendimientode un tornillo de rosca cuadrada. 23, Condiciones para un tornilloirreversible. 24, Clculo de tornillos. 25, Vigas curvas. 16, Cilindrosde pared gruesa. 27, Ajustes forzados y por contraccin. 28, Con-clusin.

Cap. 9 CLCULO DE RBOLES Y EJES 3371, Introduccin. 2, Fuerzas de flexin producidas por correas y ca-denas. 3, Proyecto de ejes en cuanto a resistencia. 4, Ejemplo.5, Dimetros y materiales de los rboles. 6, Ejes huecos de seccionesredonda y cuadrada. 7, Esfuerzo cortante vertical. 8, Deformacintorsional. 9, Deformaciones transversales. ID, Integracin grfica.11, Ejemplo. Deformacin o flecha de ejes. 12, Vibracin y veloci-dades crticas de los rboles. 13, Proyecto de ejes mediante el c-digo ASME. 14, Conclusin.

Cap. 10 CHAVETAS Y ACOPLAMIENTOS. 3651, Introduccin. 2, Diseo de chavetas planas y cuadradas. 3, Ejem-plo. Proyecto de una chaveta plana. 4, Concentracin de esfuerzosen chaveteros. 5, Otros tipos de chavetas. 6, Ejes ranurados. 7, Ra-nuras de evolvente. 8, Pasadores o clavijas de cortadura. 9, AcopIa-mientos rgidos. 10, Ejemplo. Acoplamiento de platos. 11, Acopla-mientos flexibles. 12, Juntas universales. 13, Embrague de ruedalibre. 14, Conclusin.

Cap. 11 COJINETES DE DESLIZAMIENTO 389l, Introduccin. 2, Tipos de cojinetes de deslizamiento. 3, Lubri-cacin por pelcula gruesa. 4, Viscosidad. 5, Ecuacin de PetroEf.6, Lubricacin hidrodinmica. 7, Relaciones geomtricas para coji-netes con juego. 8, Capacidad de carga y rozamiento para cojinetessimples de deslizamiento. 9, Cojinetes hidrodinmicos ptimos.lO, Ejemplo. Cojinete completo. 11, Ejemplo. Cojinete ptimo.12, Flujo de lubricante a travs del cojinete. 13, Aumento de energadel aceite. 14, Mnimo valor admisible del espesor de la pelculalubricante. 15, Ejemplo. Cojinete de apoyo parcial, con aumento detemperatura. 16, Relacin de fuego. 17, Relacin longitud/dimetro.18, Calor disipado por un cojinete. 19, Ejemplo. Temperatura dergimen estacionario. 20, Temperaturas de funcionamiento. 21, Flujode aceite con alimentacin a presin. 22, Prdida por rozamientoen la tapa superior de un cojinete. 23, Significado de Znfp. 24, Lu-bricacin de pelcula delgada. 25, Construccin y lubricacin. 26, Ma-teriales para cojinetes. 27, Cojinetes semi1ubricados y no lubricados.

28, Lubricantes. 29, Cojinetes de empuje. 30, Lubricacin hidrost-tica. 31, Cojinetes lubricados por gas. 32, Carga dinmica, 33, Con-clusin.

Cap. 12 RODAMIENTOS DE BOLAS Y DE RODILLOS. 4371, Introduccin. 2, Esfuerzos durante el contacto de rodadura. 3, Na-turaleza estadstica de la duracin de un rodamiento. 4, Capacidadde carga esttica. 5, Capacidad de carga dinmica. 6, Carga din-mica equivalente. 7, Seleccin de los rodamientos utilizando lastallas. 8, Ejemplo. 9, Eleccin de rodamientos cuando la probabi-lidad de supervivencia es diferente del 90 '10' 10, Ejemplos. Pro-babilidades y vidas tiles de los rodamientos giratorios. 11, Cargavariable. 12, Materiales y acabados. 13, Dimensiones de los roda-mientos. 14, Rozamiento en los rodamientos de rodadura. 15, Tiposde rodamientos de rodadura. 16, Rodamientos axiales. 17, Soportespara rodamientos y lubricacin. 18, Otros dispositivos de rodamien-tos de bolas. 19, Comparacin entre los cojinetes lisos y los roda-mientos. 20, Conclusin.

Cap. 13 ENGRANAJES CILNDRICOS REcrOS . 4651, Introduccin. 2, Definiciones. 3, Circunferencia-base y ngulo depresin. 4, Paso. 5, Longitud de accin y relacin de contacto. 6, Leyde engrane y accin de los dientes. 7, Interferencia entre dientescon perfil de evolvente. 8, Sistemas de engranajes de evo1venteintercambiables. 9, Resistencia de los dientes de engranaje. 10, Con-centracin de esfuerzos. 11, Esfuerzos de clculo. 12, Anchura de lacara. 13, Carga transmitida. 14, Cargas dinmicas sobre los dientesde engranajes. 15, Carga dinmica en funcin de la velocidad nica-mente. Dientes metlicos. 16, Ejemplo. Engranajes cilndricos rectos,servicio intermitente. 17, Carga dinmica media de Buckingham paradientes metlicos. 18, Coeficientes de servicio. 19, Errores admisiblesy probables. 20, Ejemplo. Ecuacin de Buckingham para carga din-mica. 21, Carga lmite respecto al desgaste. 22, Ejemplo. Desgastede dientes de hierro fundido. 23, Desgaste de los dientes de engra-najes. 24, Materiales empleados para engranajes. 25, Ejemplo. Pro-yecto de engranajes de acero para servicio continuo. 26, Considera-ciones acerca del clculo de dientes de engranaje. 27, Clculo dedientes de engranajes no metlicos. 28, Ejemplo. Dientes de engra-naje en material fenlico laminado. 29, Clculo de dientes de fun-dicin. 30, Dientes de compensacin. 31, Cubos. Engranajes met-licos. 32, Brazos y almas centrales. 33, Llanta y refuerzo. 34, Dientesde addendum y dedendum desiguales. 35, Engranajes interiores.36, Trenes de engranajes. 37, Rendimiento de los engranajes y capa-cidad trmica. 38, Lubricacin de los dientes de engranaje. 39, Con-clusin.

XXVI NDICE DE MATERIAS

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NDICE DE MATERIAS XXVII

Cap. 20 PROBLEMAS DIVERSOS 6811, Introduccin. 2, Tubos cilndricos delgados sometidos a preSlOnexterior. 3, Tubos de acero ~ometidos a presin exterior. 4, Placasplanas. 5, Levas. 6, Volantes. 7, Ejemplo. Llanta de volante 'paraprensa punzonadora. 8, Esfuerzos en las llantas de volante. 9, Discosgiratorios. 10, Conclusin.

Cap. 19 CLCULO DE UNIONES SOLDADAS. 6591, Introduccin. 2, Unin a tope. 3, Soldaduras de filete o en ngulo.4, Soldaduras en ngulo con carga excntrica. 5, Ejemplo. Soldaduracon filete cargada excntricamente. 6, Soldadura anular en ngulotrabajando a flexin. 7, Esfuerzos de clculo. 8, Clculo por resis-tencia a la fatiga. 9, Otros tipos de soldaduras. 10, Dimensionesmnimas de la soldadura en ngulo. 11, Tipos de procesos de sol-dadura. 12, Ensayo de uniones soldadas. 13, Otros mtodos de unirmetales. 14, Conclusin.

Cap. 18 FRENOS Y EMBRAGUES. 6311, Introduccin. 2, Trabajo de friccin y potencia. 3, Clculo de laenerga que debe ser absorbida. 4, Absorcin admisible de energa'y otros datos de clculo. 5, Ejemplo. Temperatura de tambor y fCV.6, Freno de zapatas. Zapatas pequeas. 7, Fuerzas actuantes para elcaso de zapatas largas. 8, Zapata interior. 9, Frenos de cinta. 10, Parde rozamiento de un disco. 11, Observaciones generales sobre losembragues de disco. 12, Embrague cnico. 13, Materiales de freno.14, Coeficiente de rozamiento. 15, Otros tipos de frenos y embra-gues. 16, Conclusin.

Cap. 14 ENGRANAJES HELICOIDALES 5211, Introduccin. 2, ngulo de la hlice. 3, Pasos. 4, ngulos depresin. 5, Carga dinmica. Engranajes helicoidales. 6, Resistenciade los dientes helicoidales. 7, Carga lmite de desgaste. 8, Engranajeshelicoidales dobles. 9, Engranajes helicoidales cruzados. 10, Con-clusin.

Cap. 15 ENGRANAJES CNICOS . 5331, Introduccin. 2, Nomenclatura de los engranajes cnicos. 3, Re-sistencia de los dientes de los engranajes cnicos rectos. 4, Propor-ciones del diente en engranajes cnicos. 5, Factor de forma. 6, Cargadinmica para engranajes cnicos generados. 7, Resistencia nominalde los engranajes cnicos. 8, Carga nominal de desgaste para engra-najes cnicos. 9, Ejemplo. Potencia para engranajes cnicos. 10, En-granajes cnicos coniflex y zerol. 11, Engranajes cnicos en espiral.12, Engranajes hipoides. 13, Otros tipos de engranajes cnicos.14, Fuerzas actuantes sobre un engranaje cnico. 15, Detalles deldiseo. 16, Materiales empleados para engranajes cnicos. 17, Con-clusin.

Cap. 16 ENGRANAJES DE TORNILLO SINFN 5571, Introduccin. 2, Paso y avance. 3, Resistencia de los dientes de larueda de tornillo sinfn. 4, Carga dinmica de los engranajes detornillo sinfn. 5, Carga de desgaste para engranajes de tornillo sinfn.6, Capacidad trmica. 7, Relacin entre los ngulos de presinnormal y diametral. 8, Rendimiento del engral!aje de tornillo sinfn.9, Coeficiente de rozamiento, engranajes de tornillo sinfn. 10, Fuer-za de separacin entre el tornillo sinfn y la rueda dentada. 11, Pro-porciones para los engranajes de tornillo sinfn. 12, Observacionesgenerales acerca del diseo de los engranajes de tornillo sinfn.13, Procedimiento de clculo. 14, Materiales para engranajes de tor-nillo sinfn. 15, Conclusin.

Cap. 17 ELEMENTOS FLEXIBLES DE TRANSMISIN DE PO-TENCIA. 5751, Introduccin. 2, Fuerza tangencial neta y variacin de esfuerzoen las correas. 3, Capacidad de una correa plana. 4, Espesor y an-chura de la correa. 5, Coeficiente de rozamiento. 6, Resistencia delcuero. 7, Longitud de las correas. 8, ngulo de contacto. 9, Velo-cidad de la correa. 10, Traccin inicial. 11, Capacidad nominal delas correas de cuero. 12, Ejemplo. Correa plana de cuero. 13, Man-tenimiento de la traccin inicial. 14, Anlisis de la transmisin demotor pivotado. 15, Correas de caucho. 16, Transmisiones con correaplana para ejes no paralelos. 17, Correas trapezoidales. 18, Trans-misiones polea V-polea plana y otras. 19, Transmisiones de velocidadvariable. 20, Correas dt:ntadas. 21, Transmisiones por cadenas de

rodillos. 22, Ejemplo. Transmisin con cadena de rodillos. 23, Ca-denas de dientes invertidos. 24, Cables de alambre o metlicos.25, Consideraciones de proyecto para cables metlicos. 26, Ejemplo.Cable metlico para cabrestantes de minas. 27, Transmisiones portraccin. 28, Accesorios para cables metlicos. 29, Poleas planas ypoleas' con gargantas. 30, Transmisin armnica. 31, Conclusin.

REFERENCIAS.

APNDICE.

713

723

CAPTULO 1

ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES

1.1 INTRODUCCIN. El motivo por el que se crea una nuevamqui-na es la_existencia de su necesidad presente o previsible. El proceso decreacin se inicia con la concepcin de un dispositivo, que sirva para unadeterminada finalidad. A la idea concebida sigue el estudio de la disposi-cin de las diversas partes y de la posicin y longitud de las conexiones,as como de los movimientos relativos o cinemtica de estas ltimas y dela colocacin de engranajes, pernos, resortes, levas y dems componentesde la mquina. Por modificaciones y perfeccionamientos sucesivos de lasideas, lo probable es que se llegue a varias soluciones, de las cuales seadoptar la que parezca preferible.

L-QrcticaJ.~aLd~p-(Qy~c!9_~.fliste_en.Ja-aplicaciILde una. combina-cinde principios cientficos y de conocimientos adquiridos por experien-cia. Rara vez un problema de diseo tiene una sola solucin correcta yesto suele poner en situacin incmoda al proyectista de mquinas prin-.cipiante. Aunque el arte del proyecto de mquinas slo sepue.ci~.arend~L

~on muchOsas 'de' prciica:'-muchos de los problemas .cLue plantea- buena parte de ellos, i~cluidos en la obra Problems on lhe Design oiMl1chine Elements *, a la que despus nos referiremos en este texto deno-minndola abreviadamente Problemas - requieren tomar decisiones ele-mentales por parte del estudiante. '{qdaderamente es.. para:.Luna. CQILtra.:riedad_1ener que tomar algunas-de.cisioI1~ssin poseer al principio todos los(-onacimientos necesarios,. pero concentrando su atencin en ellas adelan-tarpaUTailriamente de Ji-lodoconsider'abfe en el estudio. Tambin es' cierto

Un gran nmero de problemas prcticos estn reunidos por los autores Faires yWingren en este libro complementario (publicado en ingls por Macmillan y en versinespaola por Montaner y Simn), que incluye, para comodidad del lector, todas las tablasy bacos del Apndice de la presente obra.

2 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 2] LA RESPONSABILIDAD DEL PROYECTISTA DE MQUINAS 3

que incluso los ingenieros tienen que adoptar frecuentemente decisionessin un conocimiento completo de la materia. pero no es lo mismo decidircuando se poseen todos los conocimientos existentes acerca de l;:'cuestinque hacerlo cuando se ignoran.

Los trabajos de ingenieria requieren usualmente la adopcin de solu-ciones conciliatorias, de compromiso. La competenciaQued,~_.lJI{gara unadecisin que no sea la que se considere ms correcta.,pm--eLingeniero:dificultades de produccin pueden imponer una modificacin del proyecto.etctera. El famoso mecanismo de movimiento rectilneo de Watt-fue-resul-tado de una de estas soluciones de compromiso impuesta pOLla...incapaci__dad de los talleres de aquella poca para producir de modo---ewflmicosuperficies planas. Aunque no produca un movimiento verdaderamenterectilneo, el mecanismo de Watt guiaba el extremo del vstauQ.de--;:;'boloe .de modo suficientemente rectilneo para los fines prcticos de.entcmcesy poda ser fabricado econmicamente.

En trminos generales es proyectista quien proyecte algo: un asientoplegable. un bastidor de coche. un modelo de piezas de vajilla de loza ode plata. una pluma estilogrfica. una decoracin teatral. o vestidos demujer. En 10 que concierne a este libro. como su ttulo indica. nos limita-remos a tratar las cuestiones ms importantes para el ingeniero mecnicocuya actividad de proyectis.ta suele estar dedicada a las mquinas y siste-mas de mquinas.

1.2 RESPONSABILIDAD DEL PROYECTISTA DE MQUINAS.Un buen proyectista debe poseer muchas aptitudes. por ejemplo:

(a) Conocer bien la teora de resistencia de materiales a fin deque sus anliss de esfuerzos sean irreprochables. Las diversas par-tes y piezas de la mquina deben tener resistencia y rigidez adecua-das. as como las dems caracteristicas que sean necesarias.

(b) Amplios conocimientos de las propiedades de los materia-les empleados en las mquinas. para lo cual ha de estar al corrientede los progresos realizados en los ltimos aos sobre esta cuestin.

(c) Estar familiarizado con las caractersticas principales. inclusoeconmicas. de los diversos procesos de fabricacin. ya que laspiezas que constituyen la mquina deben ser producidas a costecompetitivo. Ocurre a veces que un proyecto que es econmicopara una planta industrial puede no serlo para otra. Por ejemplo.en una fbrica con una seccin de soldadura bien dotada pero queno tenga fundicn. la ~oldadura puede ser el procedimiento mseconmico de produccin en determinadas circunstancias: mientrasotra fbrica que se enfrente con el mismo problema puede optarpor las piezas fundidas debido a que tenga fundicin (aunque tengatambin seccin de soldadura).

(d) Conocimientos especializados sobre diversas circunstancias,tales como los de las propiedades de los materiales en atmsferascorrosivas, a muy bajas temperaturas (criognicas). o a temperatu-ras relativamente elevadas.

(e) Preparacin para poder decidir acertadamente: (i) si, ha-ciendo uso de catlogos de f?bricantes. debe comprar artculos enexistencia o relativamente asequibles. y cundo es necesario quesean de proyecto particular. (ii) si est justificado el proyecto em-prico. (iii) si el diseo debe ser probado en funcionamiento deensayo antes de comenzar su fabricacin, (iv) si deben ser tomadasmedidas especiales para controlar las vibraciones y sonidos posible-mente resultantes.

(f) Algunas dotes de sentido esttico, ya que el producto ha deatraer al comprador para que sea vendible.

(g) Conocimientos de economa y costes comparativos. ya quela razn de ser de los ingenieros en ltima instancia es ahorrardinero a quienes les emplean. Todo lo que suponga un aumento delcoste debe quedar justificado por una mejora del funcionamiento.adicin de alguna peculiaridad favorable. aumento de vida til. etc.

(h) Inventiva e intuicin creadora, que es la ms importantepara la mxima eficacia. La facultad creadora surge en una menteimaginativa que est insatisfecha de algo en su estado actual yquiere actuar para mejorar1o~

Naturalmente, hay otras muchas consideraciones y multitud de detalles.Ser seguro el funcionamiento de una mquina? Trabajar el operariodebidamente protegido contra sus propios errores o falta de atencin?Ser demasiado ruidosa la mquina? Podrn ser pertubadoras las vibra-ciones? Es relativamente sencillo el conjunto de las diversas partes? Serfgl el entretenimiento y reparacin de la mqucna?

Lo probable es que ningn ingeniero tenga los suficientes conocimien-tos y experiencia concernientes a la totalidad de las mencionadas aptitudesy cualidades para adoptar las ptimas decisiones en todas las cuestiones.Las grandes organizaciones tendrn especialistas destinados a ejercer cier-tas funciones. y las pequeas pueden recurrir al servicio de asesores. Sinembargo. cuantos ms conocimientos tenga el ingeniero sobre todas lasfases del proyecto. tanto mejor, f-.a profesin de proyectista es de respon-sabilidad por la exactitud que implica, pero es altamente fascinadora cuan-do se practica con una amplia base de conocimientos. Ingeniera es pro-yectar j

1.3 LA LGICA DEL PROYECTO. El concepto general que se tienede un inventor. es que pone en juego su imaginacin y crea un nuevodiseo. En realidad, aun en el caso de que cree una mquina antes jams

4 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 4] TEORA Y PRCTICA 5

concebida, hace uso de ideas ya conocidas desde largo tiempo, en mayoro menor grado, y saca provecho de las experiencias de una o varias in-dustrias.

La mayora de los proyectos se atenen a una pauta establecida y tpicade una industria; un nuevo modelo de mquina de coser es generalmentemuy parecido a otro anterior. y un nuevo modelo de automvil es anlogoen muchos aspectos al precedente. Las modificaciones (basadas en la expe-riencia obtenida con el modelo antguo) se introducen ya sea con el fin demejorar la mquina o bien para alcanzar una ventaja econmica o compe-titiva en el mercado.

El proceso lgico para llegar a un determinado proyecto, depende enparte de la clase de industria o de la clase de mquina. Una factora qu-mica, que constituye en definitiva una gran mquina complicada, puedeser objeto de un propsito aslado, y entonces resulta que de su tpo seha de proyectar y construir una sola planta o instalacin. Si el proyectono es del todo satisfactorio, se pueden corregir los desaciertos hasta que lainstalacin funcione como se pretende, y aunque este procedimiento re-sulte caro, cumplir su finalidad. Los puntos de vista del proyectista parala fabricacin de un solo producto son muy diferentes de los que tiene elproyectista para la construccin dI': aviones o automviles, por ejemplo.

En la industria aeronutica son de importancia capital la liviandad opoco peso y la seguridad. Los imperativos lgicos a que ha de atenerseel proyectista de un avin le conducen a diseos de relativamente altaprecisin (y alto coste) y los resultados valen mucho dinero. Frecuente-mente el producto diseado es fabricado y probado en condiciones realeso simuladas, quiz reiteradamente, antes de que el proyecto sea conside-rado como aceptable. En la industria del automvil, el proyectista tieneque asegurarse de que su diseo es adecuado para la produccin en masa.El diseo de un subconjunto, tal como la caja de cambios, que servirpara la fabricacin en cantidades de centenares, millares o acaso millonesde unidades iguales, deber ser ensayado en condiciones reales de funcio-namiento, puesto que es necesario eliminar toda deficiencia antes de quecomience la produccin en serie o masva.

En las industrias pesadas, tales como fabricacin de grandes recipien-tes sometidos a presin, el proyectista no tiene que pensar en la precisinque es indispensable en el motor de avin, ni tiene que desenvolverse den-tro de estrictas limitaciones de peso. Por otra parte, tampoco en este casola produccin en masa es como la del automvil.

:Los problemas de proyecto tienen ms de una solucin. Dado el enun-ciado general del problema, tal como, por ejemplo, diseo de una lavadoradomstica automtica, existirn muchas maneras diferentes de resolverlo,como demuestra el gran nmero de estas mquinas existente en el mercado.

Estas breves observaciones no tienen por objeto definir el procesolgico de diseo en cada una de las industrias mencionadas, sino advertir

que existen maneras muy distintas de abordarlo, y recomendar al proyec-tista que en cada campo de aplicacin siga la ms apropiada a la natura-leza del trabajo que sea objeto de su labor.

1.4 TEORA Y PRCTICA. Si la teora y la prctica no concuerdan,es que una u otra es errnea. Los mtodos de proyecto estn sometidosa evolucin, de la misma manera que una mquina 'evoluciona perfeccio-nndose invariablemente. Diariamente se hacen nuevos descubrimientos,pero a causa de que algunas nuevas hiptesis son o llegan a ser inadecua-das, nunca se sabe con certeza cundo deber ser descartada la aceptadahasta entoces.

En una primera deduccin, admitimos ciertos supuestos a fin de sim-plificar el trabajo y obtener una frmula que a primera vista satisfaganuestros requisitos, pero luego nos damos cuenta de que la frmula falla.Este fallo da lugar a un nuevo estudio y habitualmente hallamos que unoo ms de los supuestos admitidos no estaban justificados. Entonces busca-mos una nueva frmula con nuevas variables, que tengan en cuenta nuevascondiciones. Con respecto al uso de la teora, en modo alguno es siempreeconmico proyectar basndose nicamente en un anlisis exhaustivo te-rico y experimental, y el criterio adoptado debe responder en ingenieriaa la cuestin de si en una decisin de diseo queda justificado gastar1000-2000 pesetas o bien 500000-1 000000 pesetas. Esto significa que elproyectista tiene que profundizar cada vez ms su conocimiento de lateora, a fin de desempear su misin acertadamente con ms elementosde juicio. Cuando es difcil incorporar los resultados de la experiencia auna ecuacin terica, recurrimos frecuentemente a la experiencia adqui-rida, modificando las constantes hasta resolver la dificultad. De aqu quesi la experiencia aconseja adoptar ciertas disposiciones en un diseo, puedeservirnos de gua hasta que se alcance un estado ms satisfactorio delconocimiento terico. Si la mquina es casi completamente nueva y dife-rente de las existentes, como lo fue el motor de propulsin a chorro hacealgunos aos, habr que servirse de la experiencia en cuestiones anlogas.Hay todava mucha informacin que no est coordinada, queda an mu-cho por saber, y el estudiante, particularmente en lo que concierne altrabajo de proyectista, debe adoptar una actitud precavida en espera deuna ulterior investigacin.

1.5 OBJETO DE ESTE LIBRO. Por las consideraciones anteriores ve-mos que el proyecto de mquinas es un tema demasiado amplio para serabarcado en un libro que no sea excesivamente superficial. Las materiasque exponemos en ste estn seleccionadas de entre una copiossima lite-ratura tcnica, y muchas de las cuestiones aqu tratadas representan cam-pos de actividad a los que a veces un ingeniero dedica toda una vida deestudio y trabajo.

6 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 6] EL PROYECTO DE MQUINAS INCUMBE AL INGENIERO 7

donde A es el rea en cm o (o bien pulg') que presenta resistencia ala traccin o compresin de la carga F en kg (o bien, en libras o kips),y en la que se observa que el esfuerzo es un valor medio que no revela

Fig. 1.I Esfuerzos de tr.accin y compresin. La seccin transversal puede ser deotra forma distinta a la circular. pero la lnea de accin de la fuerza F debecoincidir con el eje del centro de gravedad del cuerpo para que no haya tlexin

(prrafo 8.2).

l... A A fY..Esfu~rzoy ~ ~3F medIO;f-+-t; rE . F IYI Y I

(e)

FSe =

A[FIG. l.l b]

(b)

yF

St =A

[F1G. I.l a]

(a)

nada acerca de cmo puede variar, debido a las diversas desviacioneso discrepancias respecto al ideal. El ideal consiste en una pieza recta dematerial homogneo exento de tensiones residuales, con seccin trans-versal de dimensiones uniformes y en que la superficie de rea A no estprxima al punto de aplicacin de la carga, esttica y perfectamente cen-tral. Como este ideal nunca existe, la distribucin real de tensiones noser uniforme, sino que tendr una caracterstica irregular, tal como larepresentada en la figura 1.1.c.

(1.1)

libras (pounds) o kips por pulgada cuadrada (psi o ksi), respectivamente *.Un kip son 1000 lb. (kip = contraccin de kilo-pounds, o sea de kilolibras).

Recordemos que el esfuerzo normal de traccin s, y de compresin Se(figura 1.1) Y la correspondiente ecuacin del esfuerzo para una parte concarga axial (sin esfuerzo cortante) es:

,

1

Al mismo tiempo que el conocimiento prctico corriente. nuestropropsito principal es ensear a aplicar la teora fundamental de la resis-tencia de materiales y otras teoras pertinentes al proyecto real de la ma-yora de los elementos ms comunes de las mquinas. tales como conexio-nes, engranajes, ejes, muelles o resortes, etc.. especialmente en lo que sonafectados por la variacin de carga. (Por la propia naturaleza de la ma-yora de las mquinas, las cargas varan.) Recomendamos procedimientosde proyecto de los que son de esperar buenos resultados, pero si la con-sideracin ms importante es obtener el mnimo peso, y quiz por otrasrazones, habr que buscar en otras obras teoras ms avanzadas y resul-tados de ensayos especiales. que no siempre se incluyen aqu. El lectordeber tener presente que los criterios especializados con respecto a losdiversos elementos de mquinas dependen de muchos detalles. De todos,no habr que olvidar los requisitos de! 1.2 y otros que se irn indicandoen el curso de la obra.

1.6 EL PROYECTO DE MQUINAS INCUMBE AL INGENIERO.Teniendo alguna dea de la disposicin de los elementos de la mquina.podemos comenzar los clculos. Por datos tales como el trabajo efectuadoo la potencia consumida, podemos calcular las fuerzas actuantes en cadaparte para una sucesin de posiciones del ciclo de trabajo de la mquina,aplicando los principios de la mecnica. Luego disearemos cada elementode modo que realice indefectiblemente la funcin que tiene asignada.

Forzosamente tendremos que hacer uso de la teora de resistencia demateriales, pero este curso no constituye una exposicin de principios, sinosu aplicacin a los problemas de ingeniera, con la finalidad de hallar lasdimensiones adecuadas de los elementos de mquinas. En el curso de sutrabajo el proyectista hace un anlisis de tensiones para determinar culesson los puntos de las diversas piezas que estn sometidos a condicionesde mximo esfuerzo (y la clase de ste). Aun cuando slo intervengan lasecuaciones de esfuerzo simple, F = sA, M = sl/c Y T = sI/c. estn impli-cadas las consecuencias, como despus veremos.

Como pocas veces es posible utilizar una ecuacin terica para deter-minar una dimensin y adoptar el resultado sin ms consideracin, elrequisito importante en esta fase del proyecto es el propio juicio o criterio.Los resultados calculados slo proporcionan la base para adoptar decisiones eventuales. Hay implicadas otras consideraciones. Lo que preten-demos en este Captulo es que sirva de guia desde el punto de vista de!proyectista para el anlisis de tensiones e incidentalmente para el repasode algunos de los principios fundamentales.

1.7 ESFUERZO. El trmino esfuerzo empleado en este libro significasiempre e! esfuerzo unitario medio s, medido en unidades compatibles m-tricas o inglesas, kilogramos por centmetro cuadrado (kg/cm"), o bien

Fig. 1.2

Aconsejamos al lector que trabaje con unidades inglesas, que practique el uso delos kips, por la comodidad que supone el empleo de nmeros ms pequeos.

8 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 8] RESISTENCIA A LA TRACCIN Y RESISTENCIA DE FLUENCIA 9

11000-

1.8 RESISTENCIA A LA TRACCIN y RESISTENCIA DE FLUEN-CIA. Cuando una pieza est sometida a la accin de una fuerza, se

s, = ~ kg/cm' (o bien psi o ksi)

Vase Apndice.

1.9 MDULO DE ELASTICIDAD. El lmite elstico es el mximoesfuerzo a que puede ser sometida una probeta o muestra de ensayo nor-malizada, sin que quede deformacin permanente. La probeta recobra sulongitud original si es sometida a un esfuerzo inferior al lmite elstico.El lmite de proporcionalidad en las aplicaciones prcticas de ingenie-ra coincide con el lmite elstico, pero se define con precisin como elesfuerzo en el cual la grfica esfuerzo-deformacin se desva con respectoa la lnea recta. Est indicada aproximadamente por el punto P en la figu-ra lA. Recordemos que en algunos materiales, por ejemplo, en la fundi

deforma, por pequea que sea la fuerza. Una probeta o muestra de en-sayo sometida a un esfuerzo creciente, experimentar una deformacin cre-ciente. Haciendo referencia a la figura 1.3, recordemos algunas de las ca-ractersticas de las curvas esfuerzo-deformacin. Por deformacin (detraccin o de compresin), entendemos la deformacin unitaria, o sea porunidad de longitud de medicin, cm por cm (o bien pulgada por pulgada).Es, pues, un aumento (o disminucin) porcentual de longitud. Si la defor-macin es 0,004 cm en una longitud de 2 cm (o bien 0,004 pulg en unalongitud de 2 pulg), la deformacin unitaria es 0,002 cm/cm, o 0,002pulg/pulg, o sea 0,2 %'

El esfuerzo mximo Su o resistencia o carga de rotura a latraccin, que corresponde al punto ms alto de la curva esfuerzo-defor-macin (fig. 1.3), es la carga mxima dividida por el rea original antes deproducirse la deformacin. El esfuerzo a que una barra de acero con con-tenido medio o bajo de carbono experimenta un acusado alargamiento,sin aumento correspondiente de la carga, se llama punto de f luencia Y P(

10 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 9] MDULO DE ELASTICIDAD 11

Como la deformacin e es adimensional (cm/cm, o bien pulg/pulg) las uni-dades de E son los mismas que las de s. En trminos de deformacin total 8,donde 8 = ,L, el esfuerzo normal en traccin o compresin simples es

E8. P E8 FL(1.2B') s = L pSI o A - L o 8 = AE 'en que L es la longitud total que experimenta una deformacin total de '8:

El mdulo de elasticidad del acero ordinario suele tener un valorcomprendido entre 2038 X 10' a 2179 X 103 kg/cm" (o bien 28 a 31 mi-llones de libras por pulgada cuadrada, psi), y la mayora de los proyec-tistas emplean 2038 X lO" o mejor 2100 X 10" kg/cm" (o bien '29 X 106o mejor 30 X 106 psi = 29 000 o mejor 30 000 ksi). Vase tabla AT 7.Como algunas aleaciones de acero tienen valores de E inferiores a '2 100 000kilogramos/cm" (o bien 30 X 106 psi), puede ser conveniente hallar valoresms exactos de E cuando esto sea importante en el proyecto.

El mdulo de elasticidad es una medida de la rigidez. Para valoresparticulares del esfuerzo s y de E, por la ecuacin (1.2) vemos que resultauna cierta deformacin unitaria y, por consiguiente, una cierta deforma-cin total de la pieza real. Es interesante observar que, como todos lostipos de acero tienen aproximadamente el mismo valor de E, habr pocao ninguna reduccin de la deformacin si un acero de alta resistencia sesustituye por un acero al carbono de baja resistencia. Desde otro puntode vista, la deformacin unitaria slo se puede reducir mediante la reduc-cin del esfuerzo, o eligiendo un material con un valor ms elevado de E.

La rigidez (o minima deformacin) es un criterio importante en mu-chos proyectos, tales como los de mquinas herramientas para trabajos deprecisin (tornos, fresadoras, etc.), ejes de rotor en motores, generadoresy turbinas, etc.

Para la mayora de los metales se suele tomar el mismo mdulo deelasticidad en compresin que en traccin. Entre los metales no ferrososhay algunas excepciones.

4500-

60yp

4000-

3500 - ;0

o;

~ ) 000- 40o

"2500 - .,~~ "-~ 30~ 2000 -

o-o :;" .';;1 1 500 -

:; 20

" 1 000 -

10

500 -

OO 0.1 0.2 0.3 0.4

Porcentaje de alargamiento en 2 pulgadas (50,8 mm )

Fig. 1.4 Resistencia de fluencia. Con deformacin permanente de 0,2 ;6, e = 0,002;etctera. La resistencia de fluencia con dicha deformacin permanente de 0,2 %se halla trazando la recta A B desde el valor de 0,2 en A, paralela a la parterecta de la curva s - e, llamada lnea de mdulo; la mterseccn de AB con lacurva s - e en B. se toma como resistencia de fluencia. En este caso particular,la resistencia de fluencia con deformacin permanente de 0,2;s y deformacin detraccin de 0,4 %, es la misma. La resistencia de fluencia de las aleaciones noferrosas se especifica algunas veces en porcentajes de deformacin de traccin.El llamado esfuerzo de prueba est en la interseccin de una lnea de deformacinpermanente. muy pequea y la curva s - e, ordinariamente una deformacin per-manente de 0,01 %, como en C. El esfuerzo de prueba se aproxima ms al lmitede elasticidad P que la resistencia de fluencia. Como hay diferentes modos dedeterminar la resistencia de fluencia, los valores declarados de sta deben ir acom-paados de su base de determinacin. Sin embargo, esto no siempre se aclara

en la literatura tcnica.

(1.2B) E8 k / "s = -- cm-L "'

oF ES----A L o

, FL0=--'AE

1.10 FLEXIN. (a) La flexin produce dos clases de esfuerzos norma-les, traccin a un lado de! plano neutro y compresin en e! otro. Por laresistencia de materiales, tenemos

cin de hierro (fig. 1.3), la curva de esfuerzo-deformacin no tiene parterecta alguna, o si la tiene es muy pequea.

Por debajo del lmite de proporcionalidad, el esfuerzo s es proporcio-nal a la deformacin e y la constante de proporcionalidad en traccin sellama mdulo de elasticidad E, y es la pendiente (s/e) de la parte rectade la curva esfuerzo-deformacin (fig. 1.4):

(1.3) Mc Mc,SI = --; s, = --[POR DEBAJO DE x-x, FIG. 1.5]

y MCe k / 'Se = -- g cm-[POR ENCIMA DE X-X, FIG. 1.5]

(1.2A)(l.2A')

s = Ee kg/cm"

s = Ee psi o ksi

donde s, (o Se) es el esfuerzo normal en cualquier punto de la viga (Mc/es mxima en la fibra ms alejada del plano neutro, con c mxima, comoen figura 1.5); c est expresada en cm (o bien pulg); M en kg-cm (o bien

12 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. I lO] FLEXIN 13

Todos los nmeros de tablas y figuras precedidas de A, corresponden a las quese encuentran en el Apndice al final del libro, reunidas para mayor comodidad deconsulta.

Fig. 1.5 Esfuerzos de flexin. La figura (h) muestra la distribucin de los esfuerzosnormales de traccin y compresin en una seccin AB de (a), calculados por Me!/.En una seccin tal como C D, que no sea la de mximo momento f1ector, y en unpunto P que no est en una fibra externa, el esfuerzo nominal o calculado es5= Me/l, donde M = R,e en esta figura, { es el momento centroida[ de inerciade la seccin CD con respecto al eje neutro, aproximadamente X-X, y e es ladistancia desde el eje neutro al punto P. La distribucin del esfuerzo cortantevertical (y horizontal) est indicado por (c) y ia ecuacin (1.5). En (d), I debe ser

mucho menor que r.

en pulg-Ib o pulg-kips) es el momento flector en la seccin de la viga quecontiene a dicho punto; c, es la distancia desde el plano neutro al puntoestudiado en el lado de traccin, y C,. est medida hasta un punto situadoen el lado de compresin (si la seccin es simtrica, la distancia de lasfibras exteriores en ambas direcciones es c = c, = c,.); l en cm' (o bienpulg4 ) es el momento centroidal de inercia (o sea 1,. con respecte al ejeneutro, fig. 1.5) de la seccin transversal de la viga que contiene a: dichospuntos; el material es homogneo; la viga es recta en direccin longitu-dinal (cuando no est cargada) y los ejes neutro y eentroidal o del e.d.g.coinciden; dicho punto no est situado en la proximidad del punto de

[Fig. 1.5 d]r

Ecs =o

s

cErMElr

( 1.5) VQlb'donde V en kg (o bien lb o kips), es la fuerza cortante (leda en el dia-grama de fuerzas cortantes del prrafo l.ll) en la seccin que se estudia.b en cm (o bien pulg) est indicado en la figura 1.6, l es el momento cen-troida] de inercia tal como los hemos definido antes (/" en figura 1.6) YQ = J y dA' = yA' es el momento esttico o de primer orden, siendo A'en cm" (o bien pulg") el rea exterior al punto cuyo esfuerzo cortante 'sequiere determinar. o sea el rea de la parte de la seccin transversal dela viga comprendida entre el plano sobre el que se origina el esfuerzocortante horizontal de dicho punto, y la cara exterior de la viga, o seapara nuestro caso el rea parcialmente sombreada en la figura 1.6. As laecuacin (1.5), con las mismas restricciones que las enunciadas para (1.3).da el esfuerzo cortante medio aproximado a lo largo de una lnea talcomo BB (figura 1.6). Para la seccin rectangular de la figura 1.6 a.Q = gb(h - ;)/2. En el caso (b), se divide el rea A' en dos partes

(1.4)

donde las dos ltimas frmulas se obtienen empleando M = sI/c. Ambasecuaciones (1.3) Y (lA) son virtualmente verdaderas en vigas rectas si elesfuerzo mximo no excede el lmite de proporcionalidad, y para (1 A),r debe ser grande en comparacin con c.

(h) El esfuerzo cortante en una viga, distribuido como representa lafigura 1.5 c para el caso de seccin rectangular, se calcula mediante

ser determinado el centro de gravedad de la seccin y habr que calcu-lar c, y Ce mediante la ecuacin (lA).

Cuando el metal o material de la viga es dctil, los esfuerzos declculo en traccin y compresin se suelen tomar iguales, cualquiera quesea la forma de la seccin. Cuando el material tiene una resistencia a lacompresin considerablemente mayor que a la traccin, como por ejem-plo el hierro fundido (tabla AT 6), hay dos casos:

1. Secciones simtricas. Se usa el esfuerzo de flexin mximo (mdu-lo de flexin CY mdulo de rotura a la flexin), como criterio para deducirel esfuerzo de clculo (vase hierro fundido en tabla AT 6).

2. Secciones asimtricas. Se usan diferentes esfuerzos de clculo entraccin su, y compresin s"" y las ecuaciones (1.3). Para hierrO' fundidoel procedimiento usual es proyectar a base del esfuerzo de clculo detraccin y luego comprobar el esfuerzo de compresin.

Recordemos que en resistencia de materiales el radio de curvatura rdespus de flexada la viga recta, est relacionado con el momento flec-tor por

Id)(e)(b)

Plano Ecti'"o~ ~rA'Seccin A-a s. ~Eje neutro

R,ia)

IDR,

aplicacin de una fuerza o de una discontinuidad de la secclOn (comoen B y p. fig. 1.5); la carga es esttica o gradualmente aplicada; no haytensiones residuales (de lo contrario, SI = Mc/I es el cambio de esfuerzodebido a M nicamente); la viga no est retorcida; las alas (si las hay,como en una viga en H) no estn pandeadas ( 1.24); el esfuerzo cor-tante (cizalladura vertical), fig. 1.5 c, es despreciable comparado con elesfuerzo de flexin; no hay componente longitudinal de las fuerzas sobrela viga, y el esfuerzo permanece proporcional a la deformacin (ley deHooke - SI < lmite de proporcionalidad).

La relacin l/e se llama mdulo de seccin Z (Z = I/c) y es deuso muy cmodo para secciones simtricas. Las expresiones de l y Zpara algunas secciones que comnmente se emplean en el proyecto demquinas, se dan en la tabla AT I *. Si la seccin no es simtrica, debe

14 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. I 11] RELACIONES MATEMTICAS 15

Fig. 1.6 Distribucin de esfuerzo cortante acompaado de flexin. La ecua-cin (1.5) es menos exacta cuando aumenta la anchura con respecto a la profun-didad o grueso; por esto no se puede confiar en la distribucin de 5, para elrea A, de la figurilla lb). Recurdese que el esfuerzo constante en la parte

inferior exterior del ala de la viga (en H) es nulo.

rectangulares A 1 Y A 2 Y se suman los momentos de estas partes paracalcular Q. Es importante observar que si la seccin es simtrica, el es-fuerzo de flexin es nulo cuando el esfuerzo cortante vertical pasa por unmximo, y en cualquier caso el esfuerzo cortante es nulo cuando los es-fuerzos de flexin son mximos (fibras externas). Por otra parte, una viga

bh h bh2'v[ = Sy-- = Sy--,

2 2 4

dyPendiente e= - radianes

dx

de d2yMomento M = EI- = El-

d2;

dx x

dM d3 vFuerza cortante V = - = EI-' ;

dx dx3

(1.8)

(1.7)

(1.9)

Los nmero volados entre corchetes designan las referencias en la lista de stas,incluida al final del libro; indican ya sea que la referencia correspondiente da ms de-talles o que la informacin presente procede de ella, o ambas cosas.

1.11 RELACIONES MATEMTICAS PARA LAS VIGAS. CENTRODE CORTADURA. Designemos por y la flecha de una viga recta; en-tonces para pequeas flechas elsticas (las pendientes o inclinaciones co-rrespondientes son pequeas, tg e= e), tenemos

(1.6)

en lugar de M = sZ = sbh"/6 para el caso de que todos los esfuerzos seanelsticos (fig. 1.5), donde Z = bh" /6 que corresponde a una seccin rec-tangular. En este supuesto, la viga puede tolerar un momento flector m-ximo de valor un 50 % mayor que para el caso de que toda la accinsea elstica. Sin embargo, las piezas de mquinas estn construidas ge-neralmente con aceros de alta resistencia que no presentan un verdaderopunto de fluencia (ausencia de esfuerzo constante con incremento decarga), pudiendo ser sometidas comnmente a cargas variables duranteun tiempo indefinido, en cuyo caso. el supuesto de accin plstica comobase de clculo es muy arriesgado. Para ms detalles acerca del proyectobasado en la carga lmite, vanse obras dedicadas a clculo estructural yresistencia de materiales [1.4.1. 5 1 *.

la carga aumenta, sern sometidas al mximo esfuerzo Su otras fibras(fig. 1.7 b). En el caso de esta figura, la viga es sometida a esfuerzo hastael punto de fluencia en una profundidad ab (y de), con accin elsticadesde b hasta e, y la viga podr ser proyectada para esta distribucin deesfuerzos. Sin embargo, cuando se proyecta a base de la accin plstica,segn lo que se llama proyecto basado en la carga lmite, se supone gene-ralmente que la carga es tal que en el plano neutro el material est some-tido precisamente a un esfuerzo SU' como en la figura 1.7 c. En este caso,las fuerzas actuantes en cada mitad de una seccin transversal rectangularson suAl2, lo que produce un momento resistente de (suA/2)(hj2); y conun momento aplicado M igual al momento resistente, tenemos

(b)(.)

tty

_ill E3:. __ ~~1~ cCJ-S,2-a==-j~

, d~s,...,y-.J

(a) (b) (e)Fig. 1.7 Flexin plstica.

metlica tiene que ser excepcionalmente corta para que el esfuerzo cor-tante vertical sea importante, pero habr que considerar vigas cortas (yvigas de madera) y en ciertas ocasiones deber ser comprobada o veri-ficada la combinacin (capitulo 8) de los esfuerzos cortante y normal deflexin en algn punto interior de la viga. Puede ser importante tener encuenta que en un elemento sometido a torsin y flexin, el mximo es-

fuerzo cortante vertical en el plano neutro se suma vectorialmente alesfuerzo de torsin, es decir, de la fibra anterior o posterior. El esfuerzocortante afecta tambin a la magnitud de la desviacin o deformacin deuna viga, pero nuevamente este efecto slo es importante en vigas cortas.

(e) En las vigas en que slo se aplica la mxima carga pocas vecesdurante su vida de servicio previsible, es admisible proyectarlas para al-guna condicin de trabajo inelstico. Si el material tiene un punto defluencia bien definido (fig. 1.3), tal como el acero estructural con bajocontenido de carbono, las fibras que alcanzan este esfuerzo Su permane-cern al principio sometidas a esfuerzo ms o menos constante, y, cuando

16 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 11] RELACIONES MATEMTICAS PARA LAS VIGAS 17

(b)(a)

3ge=-----

6 + khj(gt)

Fig. 1.9 Centro de cortadura. La longitudde la viga es perpendicular al papel.

(a)

1.12 DETERMINACIN DEL MOMENTO DE INERCIA. Los mo-mentos centroidales de inercia y los mdulos de seccn se pueden en-contrar en los manuales (yen libros que tratan de mecnica analtica)para las secciones ms corrientes, algunas de las cuales vienen dadas enla tabla AT 1. Para ahorrar tiempo conviene aprenderse de memoria loscorrespondientes a crculos y rectngulos.' No obstante, para reas como

hacer entonces el croquis del diagrama de fuerzas cortantes, pero paradeterminar la posicin exacta de la seccin e del mximo momento eneste caso, se establece la ecuacin para la fuerza cortante medida desdeel extremo de la derecha (V = R 2 - wx), se iguala a cero y. se despoja x.Vase la observacin hecha en la explicacin de la figura 1.8 como recor-datorio del proceso de clculo de momentos. En el captulo 9 se dan msdiagramas de fuerzas cortantes y momentos.

Si la seccin de la viga es asimtrica con respecto al plano de lascargas, como en la viga de seccin transversal en U cargada como indicala figura 1.9 a. es necesario asegurarse de que las lneas de accin de lascargas estn correctamente situadas a fin de evitar torsiones en dicha viga.En resumen, para ello dichas lneas de accin deben pasar por el centrode cortadura (tambin denominado centro de fuerza cortante o centrode torsin), el cual se define mediante un anlisis de fuerzas internas [1.71,y est siempre sobre cualquier lnea existente de simetra. Para una sec-cin angular (fig. 1.9 b), el centro de cortadura est en la interseccin delas lneas centrales de la alas. Para la seccin en U o en canal. con lasdimensiones indicadas, el centro de cortadura S se localiza mediante

derar la secclOn de maxmo momento calculndola para que resista sinfallo, pero a causa de posibles aumentos del esfuerzo y por otras razones,puede ser tambn necesario hacer uso de momentos en otras secciones.Dada la carga como indica la figura 1.8, se hace uso de los principios demecnica analtica [161 y se calculan las reacciones R y R z Se puede

Fig. 1.8 Diagramas de fuerza cortante ymomento f1ector. En A. ,H = R,x,. En B.M = R,x, - Fe. Aunque se acostumbra atomar el sentido pO'Sitivo hacia la derecha.suele ser conveniente medir desde la dere-cha y hacia la izquierda; as, en C. 'vI =

= R,x - wx'l2.

(1.10)

w kg/cm (o bien Ib/ft.)F

R.

I R.

~M-oMomento t1ector

dV d2 M d4yL Carga = - = -- = EI-.

dx dx2 dx4

As, .si se puede expresar la carga (o la fuerza cortante o el momento) enfuncn de x; por integraciones sucesivas se podr obtener la flecha y. Esnecesario aplicar a estas ecuaciones un convenio racional de signo: la fuer-za cortante en una seccin es positiva si la parte situada a la izquierda dela seccin tiende a desplazarse hacia arriba (viga horizontal) con res-pecto a la parte situada a la derecha: el momento flector y la curvaturason positivos cuando la parte superior de la viga est sometida a compre-sin. En el captulo 9 se ampla la informacn para obtener las flechasen vgas sometidas a varias cargas (integracin grfica). Para los proble-mas ms elementales que se nos plantearn al principio, las flechas dealgunos tipos corrientes de vigas vienen dadas por las frmulas de latabla AT 2.

R,V = Ol.-.:::--~===-k----,

Recordaremos ahora que el momento flector en cualquier seCClOn deuna viga es la suma algebraica de los momentos, tomados con relacinal eje horizontal de esta seccin que pasa a travs de su centro de grave-dad, de todas las fuerzas actuantes a la derecha (o a la izquierda) de laseccin en que se desea hallar el momento. El mximo momento flectoren una viga se determina aplicando el principio de que dicho momentomximo tendr lugar donde el diagrama de fuerza cortante corta al ejecero. El procedimiento consiste en dibujar previamente el diagrama defuerzas cortantes. En muchos problemas, cuando no la mayora, este diagrama se puede dibujar a mano alzada con los valores reales de la fuerzacortante. La fuerza cortante en cualquier seccin, para sistemas coplana-rios de fuerzas, es la suma algebraica de todas las fuerzas perpendicularesal eje neutro a uno u otro lado de la seccin. Luego se calcula M en cadaseccin en que el diagrama de fuerzas cortantes pasa por cero. En unade tales secciones, el momento ser mximo. El proyectista debe consi-

18 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 13] TORSIN 19

1.13 TORSIN. (a) La nica forma de seccin para la cual es estricta-mente aplicable la ecuacin de torsin simple

(b) Como las secciones transversales rectas no permanecen planas enla torsin de las piezas de seccin no circular, la ecuacin (l.l1) no esexacta para ellas [1.,,1.7]. Sin embargo, un anlisis ms preciso indica queel uso de valores particulares de Z'. tales como los dados para las sec-ciones rectangulares y elpticas en la tabla AT 1, dan una aproximacinrazonable. La Z' para la seccin rectangular vara con la relacin o co-ciente h/b [1.7]; el valor de la tabla AT 1 es conveniente para h/b"", 2.2.

es la circular (hueca o llena); Ten kg-cm (o bien en pulg-Ib o pulg kips deacuerdo con las unidades de ss) es el par aplicado o momento torsional,Ss en kg/cm2 (o bien psi o ksi) es el esfuerzo cortante (de torsin), queen el proyecto es un esfuerzo de clculo; 1 en cm" o bien pulg4 (= rrD4/32si el rea es circular, tabla AT 1) es el momento de inercia polar de laseccin; e en cm (o bien pulg) es la distancia desde el eje neutro hasta elpunto en que se desea hallar el esfuerzo Ss (ordinariamente el mximoesfuerzo en la fibra ms alejada), y Z' = l/e en cm', o bien pulg1 (= rrD' /16para rea circular - punto de I~ circunferencia) es el mdulo resistentepolar. Las condiciones dadas para la ecuacin (1.3) son tambin aplicablesa la (1.11), salvo que el elemento no est sometido a torsin sino a flexin.La ecuacin (1.11) para un punto exterior (situado en la periferia) en unelemento de seccin circular llena, es pues,

sJT= - = ssZ',

e

16TSs = -- psi o ksi.

rrD3

( 1.11)

(e)

(e)

(b) A.t = A ,Xl + A,x, + A 3x 3 + .donde A = A, + A, + A 3 +

siendo Xl la distancia desde el centro de gravedad de A, a un ejede momentos conveniente cualquiera, X, la distancia desde el centrode gravedad de A, al mismo eje de momentos, etc., y X la distanciadesde e! eje de momentos elegido al centro de gravedad del reacompuesta. Se sustituyen valores y se despeja el valor de x.

(b) Conociendo la posicin del centro de gravedad de la sec-cin compuesta, se halla el momento de inercia de cada rea fun-damental escogida (A" A" A 3, etc.) con respecto al eje centroidalde la seccin compuesta, utilizando el teorema de los ejes paralelos.

puestas, es decir, reas constituidas por dos o ms reas fundamentales,tales como secciones en T (dos rectngulos) y secciones en H (tres rec-tngulos), es mejor hallar el momento de inercia haciendo uso del teoremade los ejes paralelos, que tener que copiar la frmula de una tabla. Elproceso es el siguiente:

(a) Localizar e! centro de gravedad de la seccin (llamado poralgunos centroide por traduccin del ingls centroid). Si sta es si-mtrica con respecto a un eje, el centro de gravedad est sobre dichoeje. Si la seccin es simtrica con respecto a dos ejes, dicho centroest en la interseccin de ambos ejes. Si la seccin es asimtrica, sela divide en rectngulos y tringulos de los que se conocen los cen-tros de gravedad, y designamos por Al' A, Y A 3 , etc., las reas queresultan de dicha divisin y por A el rea total cuyo cntro de gra-vedad se desea hallar. Entonces

donde 1, es el momento de inercia del rea A 1 con respecto al ejedel centro de gravedad del rea compuesta, [,' e! momento de iner-cia de! rea A I con respecto a su propio eje eentroidal paralelo alcitado del rea compuesta y d 1 es la distancia desde e! eje centroidalde A, hasta el eje centroidal paralelo del rea compuesta. Se aplicala ecuacin (e) a cada rea fundamental y entonces hallamos (a) (b)(d)

donde [ es el momento centroidal de inercia de la seccin total, esdecir, el valor de [ correspondiente a s = Me/l. (Tambin se ha ob-tenido el valor de L para la seccin H mediante las ecuaciones (5)de la tabla AT l.)

Fig. 1.10

El mximo esfuerzo de torsin tiene lugar en el punto medio de los ladoslargos. Para tubos de pared delgada (fig. l.lO a), la ecuacin (1.11) esms difcil de calcular. La analoga con la membrana (pelcula de jabn)[o suponiendo t ~ r en (1.11)] da por resultado las ecuaciones aproxi-madas [1.7)

20 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 13] TORSIN 21

Fig. 1.11 Deformacin por esfuerzo cortante.

EG=---

2(1 + ;.)'(1.14)

donde p. es el coeficiente de Poisson. Para sus valores, vanse tablas AT 3,AT 6 y AT 7; para el acero se suele tomar p. = 0,3, adems de losvalores ms corrientemente empleados de E= 2,1 X 106 kg/cm' yG = 8 X 105 kg/cm' (o bien E = 30 X 106 psi y G = 11,5 X 106 psi).

Fig. 1.12 Barra sometida a torsin. Momentoo par de torsin = T = FD.

poleas y ruedas dentadas o engranajes (y los chaveteros) de los ejes influ-yen en el ngulo de torsin a, pero comnmente en la prctica se pres-cinde de estos efectos, tomando la longitud L entre dos ruedas dentadas,por ejemplo, como distancia entre centros. Naturalmente, cuando hayaque calcular con exactitud las deformaciones, no se puede prescindir deestos efectos. Si un elemento est sometido a diferentes pares, pero el pares constante entre las secciones en que son aplicadas las cargas que pro-ducen torsin, entre dichas secciones se aplica la ecuacin (1.13). Si lapieza cambia de dimetro. se aplica (1.13) slo para longitudes del mis-mo dimetro.

(e) La relacin terica entre los mdulos de elasticidad de tracciny de esfuerzo cortante o transversal (E y G) viene dada (cuando puedeadmitirse que ngulo de deformacin tangente del ngulo) por

dado de torsin actuando sobre l, a, que una secclOn M gira con res-pecto a otra seccin R, depende de la distancia L en cm (o bien pulg)entre las citadas secciones; ] en cm' (o bien pulg') es el momento polar deinercia; T = FD en kg-cm (o bien in-lb o in-kips) (fig. 1.12); para elacero, G se suele tomar corrientemente igual a 800.000 kg/cm' (o bien11,5 X 106 psi o 11 500 ksi) y algunas veces 840000 kg/cm' (o bien12 X 106 psi). La ecuacin (1.13) se aplica por ejes huecos o de seccinllena [pero para ejes huecos de paredes delgadas, vase ecuacin (f)]. Las

_as.

y

------\

d

o

s,

-

d

I \"--I \

"/ \st'Y/ \,! s.

I \\ '1...- .....

Ss = Gy

le --I t'1/II

II

I I

L.- < -J .,I QJ 1--",b

IL

tia_

s.

(f)

dar de r = radio medio de la pared del tubo, t = espesor de la pared deltu ba, G es el mdulo de elasticidad transversal o mdulo de elasticidadal esfuerzo cortante (vase ms adelante) y a= ngulo de torsin (figu-ra 1.12). La ecuacin (f) no indica nada acerca del pandeo local de lapared delgada antes de que sean excedidos los esfuerzos elsticos, lo cuales un tipo de fallo que requiere ser comprobado cuando se aplica un parimportante. Lo sorprendente ocurre cuando el tubo de pared delgada seagrieta en toda su longitud, figura 1.10 b, Y su prdida de capacidad detorsin comparada con el tubo macizo est expresada por (1.7 J :

3T 3T(g) s. = -- y 1 e= ---21TTt2 G(271'rt3 ) ,

por donde la resistencia es equivalente a la de una seccin rectangularlarga y estrecha y los smbolos significan lo mismo que antes.

(e) Recurdese que los esfuerzos cortantes en un elemento aparecencomo indica la figura 1.11. Con respecto a la base ad la parte superiordel elemento se deforma una magnitud o,. La deformacin unitaria es

( 1.12)

8,/L = tg y; pero como el ngulo y es muy pequeo, se toma y = o,/L.Dentro del lrriite de proporcionalidad la deformacin es proporcional alesfuerzo,

SSY=C;'

donde la constante de proporcionalidad G se llama mdulo de elastici-dad al esfuerzo cortante (y tambin mdulo de rigidez y mdulo deelasticidad transversal) (fig. 1.12).

(d) En muchos casos, el proyecto de una pieza est definido por lasdeformaciones admisibles y no por los esfuerzos de clculo. El ngulo detorsin a de un eje entre dos secciones M y R (fig. 1.12) viene dado por

TLe= - radianes

lGque se obtiene partiendo del arco AlA, = (D/2)e = L'1' utilizando lasecuaciones (1.11) Y (1.12). Obsrvese que para un eje con un momento

( 1.13)

22 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 15] RESISTENCIA DE MATERIALES 23

(U5A')

1.14 PAR DE TORSIN. La ecuacin de clculo de la potencia encaballos de vapor se emplea con tanta frecuencia, que conviene repasarbrevemente su deduccin. Supongamos una fuerza F en kg (o bien lb)(fig. 1.13) actuando en la circunferencia de radio r en cm (o bien pulga-das). (Las especificaciones de tamao de las poleas, engranajes, etc., se dasiempre por el dimetro en cm o pulgadas.) El trabajo efectuado por esta

En unidades inglesas, tendremos

FVm Fv,hp = 33 000 = 550

siendo v, la velocidad lineal en pies por segundo, fps.Si utilizamos T ft-Ib en lugar de T in-lb, hp = Tn/33000.

presado en pulg-kips, hp = Tn/63; etc.Para T ex-

1.1S RESISTENCIA DE MATERIALES. La resistencia de un mate-rial es su capacidad para resistir la accin de fuerzas aplicadas. Desafor-tunadamente, la resistencia de un material no se puede representar porun solo nmero porque su aptitud para resistir la accin de las cargas yfuerzas depende de la naturaleza de stas, de las clases de esfuerzos indu-cidos y de otras circunstancias.

Si un elemento tiene que ser sometido a un esfuerzo que exceda de sulmite elstico, la deformacin permanente que recibe puede inutilizarlopara el servicio ulterior. As. el lmite elstico es un criterio importanteen la resistencia de materiales. En lugar de lmite elstico utilizamos inva-riablemente la resistencia de fluencia, la cual representa 'Jn esfuerzo quegeneralmente no se diferencia mucho del lmite elstico y es mucho msfcil de determinar experimentalmente ( 1.8 Y fig. 1.4).

Tambin el esfuerzo mximo es un criterio importante en la resistenciade materiales, porque un elemento pierde ciertamente su utilidad cuandono est indemne. Existen otros criterios de los que trataremos ms ade-lante; por ejemplo, aptitud de un material para absorber energa sin ro-tura, resistencia a la fatiga, resistencia al pandeo. resistencia al escurri-miento plstico y flecha excesiva.

Todos los criterios de resistencia se modifican algo a fin de obtenerun criterio de clculo. En su forma ms sencilla, el criterio de clculo esun esfuerzo de clculo o un esfuerzo de trabajo, que puede ser deno-minado tambin esfuerzo de seguridad o esfuer-:.o admisible.

El esfuerzo utilizado en el clculo debe garantizar que no se produz-can fallos y entonces se dice que es admisible.

1.16 COEFICIENTE DE SEGURIDAD. COEFICIENTE DE CLCU-LO. Ordinariamente el coeficiente de seguridad es el coficiente quese aplica al criterio de resistencia a fin de obtener un criterio de clculo.Segn el significado literal de las palabras, coeficiente de seguridad indi-cara el grado de seguridad de clculo, pero realmente no es as. Paraevitar la confusin a que puede dar lugar el que el significado literal nocoincida con la realidad, es preferible llamar a este nmero coeficientede clculo *. Aqu haremos uso del coeficiente de clculo N o coeficiente

[r in.]

c.v. = FV"./4500 = FvJ75, en C.V.

(F)(2;rr)(n) Frn Tnhp=-----(12)(33.000) - 63.000 - 63.000'

(1.15)

fuerza en su recorrido de la circunferencia completa es F(2;rr! 100) kgm[o bien F(2;-r/I2) ft-Ib]. Si la fuerza recorre la circunferencia n veces, eltrabajo total es F(2"r!100)n kgm [o bien F(2;rrjl2)n ft-Ib]; si n representael nmero de revoluciones por minuto, estas ltimas frmulas indicantrabajo por minuto, en kgm/min (o bien ft-Ib/min, respectivamente).

Pero 4500 kgm/min equivalen a un C.V. (caballo de vapor mtri-co = 75 kgm!seg), por lo que la potencia en C.V. viene dada por:

(1.15')

c.v. = 2 X 3,14 Frn/100 X 4500 = Frn/71 700 == Tn/71 700, en C.V (r en cm, T en kgm)

siendo 71 700 aproximadamente igual a 100 X 4500/2 X 3,14.En unidades inglesas tenemos que 33.000 ft-Ib/min son equivalentes

a un horsepower (hp) (caballo de vapor ingls); por tanto,

donde 63000 es aproximadamente igual a 12 X 33OOO/2;-.En la figura 1.13, Fr es el par de giro o par de torsin T, en kgm

(o bien en pulg-Ib).Se obtiene otra forma til de la ecuacin de potencia, haciendo V m =

= (2.,r/l00)n, en unidades mtricas (o bien (2;rr/I2)n en inglesas), en laecuacin (1.15) (o bien en la 1.15'), donde v", es la velocidad lineal de unpunto de la circunferencia en metros por minuto, m/min (o bien en piespor minuto, fpm). Entonces, en unidades mtricas( l.l5A)

siendo v. la velocidad lineal en metros por segundo. * Nosotros optamos por coeficiente de clculo y esfuerzo de clculo, pero lo quems comnmente se usa es coeficiente de seguridad y esfuerzo de trabajo.

24 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 16] COEFICIENTE DE SEGURIDAD. COEFICIENTE DE CLCULO 25

de seguridad para definir un esfuerzo de clculo S,L; as, para los criteriosde esfuerzo mximo Su y esfuerzo de ftuencia Su. tenemos

(h) y SySa =-.N

Cuando se investiga o declara un coeficiente de seguridad N. hay quedeclarar tambin su base, poniendo coeficiente de seguridad basado en laresistencia de ftuencia o basado en la resistencia mxima.

Probablmente la definicin ms fundamental del coeficiente de segu-ridad es

TABLA U COEFICIENTES DE SEGURIDAD(COEFICIENTES DE CLCULO)

N - 3500 _ 50 _ ?u - 1400 - 20 - _,5, el coeficiente de clculo basado en la resis-tencia de fluencia.

N - 5600 _ 80 ._ ,u - 1400 - 20 - 4, ser el coeficiente de clculo basado en el es-

fuerzo mximo y

Los coeficientes de seguridad sealados con * estn destinados principalmente allL'SO de principiantes, aunque son valores tradicionales. No se debern utilizarcuando se haga un anlisis detallado de las cargas variables, concentraciones deesfuerzos, etc., Capitulo ot. Son aceptables para utilizarlos con resistencias tipicas.

(1.16) C fi d 'd d carga que podra ongmar la roturaoe Clente e segun a = --=--.:.-.-:.'--".,.-...,--....:::--:--:----carga real aplIcada en el elemento

al menos si slo interviene una carga. Tambin se emplea esta definicincuando el esfuerzo no vara linealmente con la fuerza, como en algunasfrmulas de columnas (captulo 7).

La tabla 1.1 da los valores prcticos que pueden servir de gua. Enaos recientes se manifiesta una tendencia al uso de la resistencia de fluen-cia como criterio preferible para obtener un esfuerzo de clculo. muy con-veniente para cargas permanentes. Esta prctica est basada en el supuestolgico de que la rotura se produce cuando una pieza deja de realizar sufuncin asignada y la mayora de los elementos de las mquinas no larealizarn correctamente despus de haber recibido una deformacin per-manente. Sin embargo, esta prctica es impugnable en el proyecto de m-quinas sometidas a cargas variables, debido a que la resistencia a la fatigade los aceros es casi proporcional. Si las cargas varan de una maneradefinible, se deben seguir los mtodos de clculo explicados en el cap-tulo 4. Por otra parte, con cargas variables es mejor utilizar S,l = sulNcon un coeficiente de clculo adecuado. Un grado de seguridad innecesa-riamente grande implica una coste innecesariamente elevado. Un esfuerzocalculado por la ecuacin de esfuerzos, tal como S = F/A o s = A1e/l. sedenomina apropiadamente esfuerzo calculado o nominal.

1.17 VARIABILIDAD DE LA RESISTENCIA DE LOS MATERIA-LES Y EL ESFUERZO DE CLCULO. Cualquiera que sea el criteriode clculo adoptado, debemos aceptar el hecho de que no nos propor-ciona un nmero simple preciso. Aunque las propiedades de los materia-les reseados en las tablas AT 3-AT II parecen inflexiblemente fijas,dichos valores son simplemente caractersticos o mnimos, tal como po-dran hallarse en las especificaciones. Por ejemplo, la figura 1.14 indica lavariacin de la resistencia mxima de 10 11 muestras de ensayo de acerolaminado en caliente, SAE 1020, tomadas de perfiles estructurales. La va-riabilidad de las muestras de ensayo tomadas de una misma colada seramenor que la variabilidad de las muestras tomadas entre varias coladasy distintos hornos.

El conocimiento de la variabilidad de la resistencia influye en la elec-cin del coeficiente de clculo por el proyectista. Si se utiliza la resistenciamnima probable para determinar el esfuerzo de clculo, se puede utilizarlgicamente un coeficiente de clculo menor (coeficiente de seguridad) que

7

10

1520

MADERA DECONS-

TRUCCIN

5-6

7-8

Basado en laresistencia mxima

lO-1215-20

6

ACERO.METALES DCTILES

8 410-15 5-7

HIERROFUNDIDO.METALES

________ , QUEBRADIZOS ICLASE DE CARGA

Basado 1 Basado, ~n la . 1 en la. ,resistenCia l' resLstenCIa ..'

____________ mxima de f/uencia i _

3-4 I l,5-2I

Puesto que el esfuerzo utilizado en el proyecto es la cantidad ms impor-tante y a causa de que en un procedimiento de clculo particular el mejoresfuerzo de clculo corresponde a un nmero determinado, los valoresde N en las ecuaciones anteriores deben ser diferentes. El coeficiente ofactor de clculo depende del criterio utilizado en el proyecto. Suponga-mos Su = 5600 kg/cm 2 (o bien 80 ksi), Su = 3500 kg/cm 2 (o bien 50 ksi)y que un buen valor de S'L es 1400 kg/cm2 (o bien 20 ksi). Entonces

Carga permanente, N =Repetida, una direccin, gradual

(choque suave) *, N =Repetida, invertida, gradual

(choque suave) " N =Choque', N =

26 ANLISIS DE TENSIONES. ESFUERZOS SIMPLES [CAP. 1 17] VARIABILIDAD DE LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 27

Comparada con la mxima resistencia probable, el coeficiente de seguri-dad es 71,5/12,74 = 5026/895 = 5,61. La diferencia entre los valores m-ximo y mnimo es 28 % de 4,38, que es el valor mnimo.

La variabilidad del acero tratado trmicamente en procesos normal-mente controlados ser sustancialmente menor que en el ejemplo anterior.Los valores de resistencia para otro grupo de muestras tomadas de entrevarias coladas, pero todas producidas con el mismo tratamiento trmico,variaron el 13 % respecto a la resistencia mnima, en comparacin conel 28 % del ejemplo anterior. La variabilidad podra haber sido menordel 13 % si la temperatura de recocido (tratamiento trmico) hubiese va-riado de una colada a otra de acuerdo con las caractersticas particularesde cada colada.

Ordinariamente el coeficiente de clculo es el conveniente para preveresta variabilidad, si se emplean valores de resistencia medios o tpicos.Cuando la especificacin de un material incluye el mnimo esfuerzo detraccin, el fabricante suele controlar su proceso para que exista pocaprobabilidad de menor resistencia a la traccin. No garantizara una re-sistencia ms alta que la correspondiente a A en el caso representado enla figura 1.14. Esta situacin sucede cuando las propiedades mecnicastpicas y medias sean mejores que las especificaciones. Las propiedadesreseadas en las tablas AT 3-AT 11 no son propiedades mnimas, salvoindicacin en contrario. Cuando pueden estar justificados los aumentosde coste, el comprador puede obtener lmites ms estrechos que los habi-tuales en las especificaciones normalizadas.

Todas las propiedades mecnicas de un acero determinado varan deforma anloga al histograma reproducido en la figura 1.14; resistenciade f1uencia, resistencia a la fatiga. dureza, alargamiento, etc. Si el pro-yectista desea prever esta variabilidad, debe estimar prudentemente lasresistencias mnimas (su> s,, sn) de los metales que se suponen afines, peroque proceden de universos no ensayados, o de diferentes universoscomo en la figura 1.14, en un 10 % aproximadamente menores que losvalores tpicos o medios, y la resistencia mnima de los procedentes deprocesos controlados cuidadosamente, como en procesos de tratamientotrmico, en un 5 % aproximadamente menor que el valor medio. La re-ferencia (2.1) muestra la distribucin de algunas propiedades mecnicasde varios metales. La composicin varia tambin estadsticamente de ma-nera anloga: porcentajes de carbono, azufre, silicio y otros componentesde aleacin. Por otra parte, a cada material son aplicables las mismasgeneralidades concernientes a la variabilidad.

Los materiales cuyas propiedades estn reseadas en las tablas AT 3-AT 11 Y en los grficos de las figuras AF 1, AF 2 Y AF 3 del Apndice,han sido cuidadosamente seleccionadas para presentar una informacinvariada, por lo que las tablas merecen algn estudio, especialmente a ttulode comparacin. Sin embargo, como las fuentes de estos datos son diver-

B

I Improbable

721.5062)

68!4780)

64l4499)

Promedie. 63,7 ksi1.4478 Kg/cm2) -_,

R,;:sistencia a la traccin, 1 000 psi (o bi!:n: Kg;cm2)

60(4218)

(-----3

sas y numerosas, habr que tener prudencia para deducir conclusionesdefinitivas. Los materiales elegidos para la presentacin de dichas tablasy grficos no es de esperar que sean de mejores ni peores valores, comopromedio, que los de muchos otros anlogos no mencionados aqu. No sedeben indicar los materiales por los nmeros de especificacin dados sinmencionar la procedencia de sta. Frecuentemente se encuentran clasifica-ciones con un nmero de especificacin ASTM, por ejemplo. Para msinformacin acerca de un material en particular, consltense obras espe-cializadas y las especificaciones normalizadas. Vanse referencias (2.1-2.21) al final del libro.

1.18 CONSIDERACIONES RELATIVAS AL COEFICIENTE DE SE-GURIDAD Y AL ESFUERZO DE CLCULO, En general, cuanto ma-yores sean las incertidumbres, mayor debe ser el coeficiente de clculo ymenor el esfuerzo de clculo. Por esta razn, al coeficiente de seguridadse le ha llamado tambin factor o coeficiente de ignorancia. Cuando lascargas y sus modos de variacin son conocidos con exactitud. cuando laspropiedades de los materiales estn cuidadosamente controladas dentrode lmites estrechos conocidos, cuando puede ser calculado el mximoesfuerzo con confianza, y cuando se adopta el criterio adecuado (resisten-cia de fiuencia, resistencia a la fatiga, etc.), el coeficiente de clculo o deseguridad puede ser relativamente bajo (acaso tanto como 1.2). Las incer-tidumbres y otros factores que afectan a la magnitud del esfuerzo declculo, son las siguientes.

(a) Material. Vase 1.17. En lo que concierne a la resistencia. lomejor sera elegir esfuerzos de clculo con el conocimiento de la variabi-lidad como indica la figura 1.14, pero generalmente no se dispone de unainformacin tan completa. La ignorancia de los lmites de las propiedadesconduce a adoptar esfuerzos de clculo moderados. La posibilidad de im-perfecciones internas y ms probablemente procedimientos de colada ina-decuadamente controlados, sugieren la adopcin de valores altos de N.Ha sido tradicional utilizar un coeficiente de clculo ms alto para metalfundido (especialmente hierro fundido, que es ms quebradizo) que parametales forjados. pero si los procesos estn bien controlados y se tienenen cuenta las concentraciones de