diseno de 3 factores
TRANSCRIPT
DISEÑO CON TRES FACTORES
En esta ocasión se considera un experimento con tres factores A, B y C en
niveles a, b y c, respectivamente en un diseño experimental completamente
aleatorizado.
Supóngase de nuevo que se tienen “n” observaciones para cada una de las
abc combinaciones de tratamiento. Se procederá a esbozar las pruebas de
significancia para los tres efectos principales y las interacciones involucradas.
Se espera entonces se pueda utilizar la descripción dada aquí para
generalizar el análisis a k>3 factores.
El modelo para el experimento de tres factores está dado por:
Xijkl= μ + αi + βj + γk + (αβ)ij+ (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijkl
i=1,2,……,a; j=1,2,…,b; k=1,2,…,c; y l=1,2,….,n;
Dónde:
αi, βj,γk son los factores principales;
(αβ)ij, (αγ)ik , ( βγ)jkson los efectos de la interacción de dos factores que
tienen la misma interpretación que en el experimento de dos factores.
El termino (αβγ)ijk recibe el nombre de efecto de interacción de tres
factores, un término que representa la no actividad de las (αβ)ij sobre
los diferentes niveles de factor C.
Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es cero y la suma de
cualquier subíndice de los efectos de interacción de dos y tres factores es
cero. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden
más alto son insignificantes y sus cuadrados medio reflejan únicamente
variación aleatoria, pero el análisis se hará en forma general.
De nuevo, con objeto de que se puedan realizar pruebas válidas de
significancia, se debe asumir que los errores son valores de variables
aleatorias independientes y con distribución normal, cada una con media
cero y varianza σ2.
La filosofía general del análisis es la misma que utilizada para los
experimentos de uno y dos factores. La suma de cuadrados se particiona en
ocho términos, cada uno representa una fuente de variación de las cuales se
obtienen estimaciones independientes de σ2 cuando todos efectos
principales y los efectos de interacción son cero. Si los efectos de cualquier
factor o interacción dados no todos son cero, entonces el cuadrado medio
estimara la variancia del error más una componente debida el efecto
sistemático en cuestión.
Ahora se procede directamente a la parte de cálculo para obtener las sumas
de cuadrados en el análisis de varianza de tres factores se requiere la
siguiente notación:
T….= promedio de todas las abcn observaciones.
Ti...= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo del factor A.
T.j..=promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo del factor B.
T..k.= promedio de las observaciones para el nivel k-ésimo del factor C.
Tij..= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel
j-ésimo de B
Ti.k.= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel
k-ésimo nivel de C
T.jk.= promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo de B y el nivel
k-ésimo de C.
Las sumas de los cuadrados se calculan:
( ) ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
∑
Análisis de varianza para un experimento de tres factores de n réplicas
Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razón de Varianza
Efectos principales
A SCA a-1
F1=
B SCB b-1
F2=
C SCC c-1 F3=
Interacción de dos factores
AB SC(AB) (a-1)(b-1)
F4=
AC SC(AC) (a-1)(c-1) F5=
BC SC(BC) (b-1)(c-1) F6=
Interacción de tres factores
ABC SC(ABC) (a-1)(b-1)(c-1)
F7=
Error SCE abc(n-1)
Total SCT abcn-1
Y SCE, como es usual, se obtiene por sustracción.
Para el experimento de tres factores con una sola replica se puede utilizar el
análisis de la tabla haciendo n=1 y utilizando la suma de cuadrados de la
interacción ABC para SCE. En este caso se estará asumiendo que los efectos
de interación(αβγ)ijkson todos iguales a cero de tal forma que:
[ ( )
( )( )( )]
∑ ∑ ∑ ( )
( )( )( )
Esto es, SC(ABC) representa la variación debida únicamente al error experimental. Su cuadrado
medio por tanto proporciona una estimación insesgada de la varianza del error. Con n=1 y
SCE=SC(ABC), la suma de cuadrados del error se encuentra de las efectos principales y las
interacciones de dos factores de la suma total de cuadrados.
Ejemplo 1
El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles
estudia el efecto de varios factores sobre el teñido de una tela de algodón y
fibras sintéticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se
seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas,
y se tiñeron tres ejemplares pequeños de la tela bajo cada conjunto de
condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón, y se le asignó una
evaluación numérica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y
sacar conclusiones.
Duración del ciclo
Temperatura
350 350
Operador Operador
1 2 3 1 2 3
23 27 31 24 38 34
40 24 28 32 23 36 36
25 26 29 28 35 39
36 34 33 37 34 34
50 35 38 34 39 38 36
36 39 35 35 36 31
28 35 26 26 36 28
60 24 35 27 29 37 26
27 34 25 25 34 24
1) Modelo
2) Suposiciones
a) Todas las muestras provienen de poblaciones con distribución
normal
b) Las ab muestras tienen igual variante
c) Las abc muestras son independientes
3) Hipótesis
a) Para la Temperatura
H0:γ 1= γ 2
H1: No todos los γ k son iguales
b) Para la Duración del Ciclo
H0:α1= α2= α3
H1: α1 ≠α2 ≠α3
c) Para los Operadores
H0: β1= β2=β3
H1: No todos los βj son iguales
d) Para la Interacción Duración de Ciclo-Operador
H0: (αβ)11=(αβ)12=(αβ)13=(αβ)21=(αβ)22=(αβ)23
H1: No todos los (αβ)ijson iguales
e) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura
H0: (αγ)11=(αγ)12=(αγ)13=(αγ)21=(αγ)22=(αγ)23
H1: No todos los (αγ)ikson iguales
Xijkl=µ+ αi+ βj+γk+(αβ)ij+ (αγ)ik+ (βγ)jk+ (αβγ)ijk+Eijkl
i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2 l=1,2,3
f) Para la Interacción Operador-Temperatura
H0:(βγ)11=(βγ)12=(βγ)13=(βγ)21=(βγ)22=(βγ)23
H1:No todos los (βγ)jk son iguales
g) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura
H0: (αβγ)111=(αβγ)121=(αβγ)131=(αβγ)211=(αβγ)221=(αβγ)231=(αβγ)311=
(αβγ)321=(αβγ)331=(αβγ)112=(αβγ)122=(αβγ)132=(αβγ)212=(αβγ)222=
(αβγ)232=(αβγ)312=(αβγ)322=(αβγ)332=
H1: No todos los (αβγ)ijk son iguales
4) Cálculos
Duración del ciclo
Temperatura
350 350
Operador Operador
1 2 3 1 2 3
23 27 31 81 24 38 34 96
40 24 28 32 84 23 36 36 95
25 26 29 80 28 35 39 102
72 81 92 245 75 109 109 293
36 34 33 103 37 34 34 105
50 35 38 34 107 39 38 36 113
36 39 35 110 35 36 31 102
107 111 102 320 111 108 101 320
28 35 26 89 26 36 28 90
60 24 35 27 86 29 37 26 92
27 34 25 86 25 34 24 83
79 104 78 261 80 107 78 265
SCT=55128 53770.67=1757.33
( ) ( ) ( )
53770.67=435.44
( ) ( ) ( )
53770.67=261.28
( ) ( )
53770.67=50.07
( )
356.23
( )
79.37
( )
11.26
( )
54823.67 54335.56 54
093.33 54206.11 54032 53820.74 53770.67=45.63
SCE=1757.33 435.44 261.33 50.07 356.23 79.37 11.26 45.63
=518
5) Análisis de Varianza
NOTA: Si la F calculada es mayor que la F tabla entonces rechazamos
H0 y aceptamos H1 de donde obtenemos un nivel de significancia F0,05
la prueba del efecto principal del factor C es significativa al igual que la
interacción de 2 factores AC,BC y la interacción de 3 factores.
6) Conclusión
Concluimos de este análisis que la variación de la temperatura, la
interacción de duración de ciclo-temperatura, operador-temperatura y
la interacción de duración del ciclo-operador-temperatura afectan al
teñido del algodón y a las fibras sintéticas para fabricar camisas para
caballeros
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razón de Varianza F
Tabla
Efectos principales
A 435,44 2 217,72 15,13 3,29
B 261,33 2 130,665 9,09 3,29
C 50,07 1 50,07 3,48 4,14
Interacción de dos factores
AB 356,23 4 89,06 6,19 2,66
AC 79,37 2 39,685 2,76 3,29
BC 11,26 2 5,63 0,39 3,29
Interacción de tres factores
ABC 45,63 4 11,41 0,79 2,66
Error 518,00 36 14,39
Total 1757,33 53
Ejemplo 2:
En un experimento para investigar las propiedades de resistencia a la compresión de
mezclas de Cemento y Tierra, se utilizaron dos períodos (Edad A) diferentes de curado en
combinación con dos Temperaturas(B) diferentes de curado y dos tierras(C) diferentes.
Se hicieron dos réplicas para cada combinación de niveles de los tres factores, resultando
los siguientes datos:
Edad (A) Temperatura (B)
1 2
Tierra (C) Tierra (C)
1 2 1 2
1 471 413
385 434
485 552
530 593
2 712 637
770 705
712 789
741 806
1) Modelo :
2) Suposiciones : a) Todas las muestras provienen de población con distribución normal.
b) Las ab muestras tiene igual variante.
c) Las abc muestras son independientes.
3) Hipótesis:
Variable Respuesta: Resistencia a la compresión de la mezcla de Cemento y Tierra.
Forma Verbal
a) H0: La edad o períodos no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad o períodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
b) Ho: La Temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la
compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
c) H0: Los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia
a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: Los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
d) H0: La edad y la temperatura no influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y la temperatura influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
e) H0: La edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
f) H0: La temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La temperatura y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
g) H0: La edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad, Temperatura y tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Datos
a = b = c =2 , n=2 N = abcn = 2x2x2x2= 16 , i=1,2 j=1,2 k=1,2
Como puede observarse en la tabla los datos obtenidos tienen valores grandes. A
continuación se presentan la tabla de los datos codificados (divididos por 100); para llevar
a cabo de una manera mas fácil y eficiente los cálculos matemáticos.
Edad (A) Temperatura (B)
1 2
Tierra (C) Tierra (C)
1 2 1 2
1 4.71
4.13
3.85
4.34
4.85
5.52
5.30
5.93
2 7.12
6.37
7.70
7.05
7.12
7.89
7.41
8.06
4) Calculos :
Totales por celdas
y111. = 4.71 + 4.13 = 8.84 y211. = 7.12 + 6.37 = 13.49
y112. = 3.85 + 4.34 = 8.19 y212. = 7.70 + 7.05 = 14.75
y121. = 4.85 + 5.52 = 10.37 y221. = 7.12 + 7.89 = 15.01
y122. = 5.30 + 5.93 = 11.23 y222. = 7.41 + 8.06 = 15.47
Totales del factor A (yi… = ) Totales del factor B (y.j.. = )
y1... = 8.84 + 8.19 + 10.37 + 11.23 = 38.63 y.1.. = 22.33 + 22.94 = 45.27
y2... = 13.49 + 14.75 + 15.01 + 15.47 = 58.72 y.2.. = 25.38 + 26.70 = 52.08
Totales del factor C (y..k. = )
y..1. = 22.33 + 25.38 = 47.71 y..2. = 22.94 + 26.70 = 49.64
Totales de la interacción AxB (yij.. = )
y11.. = 8.84 + 8.19 = 17.03 y12.. = 10.37 + 11.23 = 21.60
y21.. = 13.49 + 14.75 = 28.24 y22.. = 15.01 + 15.47 = 30.48
Totales de la interacción AxC (yi.k. = )
y1.1.= 8.84 + 10.37 = 19.21 y2.1.= 13.49 + 15.01 = 28.50
y1.2.= 8.19 + 11.23 = 19.42 y2.2.= 14.75 + 15.47 = 30.22
Totales de la interacción BxC (y.jk. = )
y.11. = 8.84 + 13.49 = 22.33 y.21. = 10.37 + 15.01 = 25.38
y.12. = 8.19 + 14.75 = 22.94 y.22. = 11.23 + 15.47 = 26.70
Total general
y….= = 4.71 + 4.13 + 3.85 + 4.34 + 4.85 +…+ 7.89 + 7.41 + 8.06 = 97.35
y…. = = 38.63 + 58.72 = 97.35 ó
y…. = = 45.27 + 52.08 = 97.35 ó
y…. = = 47.71 + 49.64 = 97.35 ó
y…. = = 22.33 + 22.94 + 25.38 + 26.70 = 97.35
Ahora el siguiente cuadro con los datos …
Edad (A) Temperatura (B)
yi… 1 2
Tierra (C) Tierra (C)
1 2 1 2
1 8.84 8.19 10.37 11.23 38.63
2 13.49 14.75 15.01 15.47 58.72
Totales BXC (y.jk.) 22.33 22.94 25.38 26.70 y…. = 97.35
y.j.. 45.27 52.08
Totales AxB ( yij..)
Edad (A) Temperatura (B)
1 2
1 17.03 21.60
2 28.24 30.48
Totales AxC (yi.k.)
Edad (A) Tierra (C)
1 2
1 19.21 19.42
2 28.50 30.22
Totales del factor C (y..k.)
Tierra (C)
1 2
47.71 49.64
Suma de Cuadrados :
= (4.71)2 + (4.73)2 + (3.85)2 +….+ (7.89)2 + (7.41)2 + (8.06)2
= 623.2289 - 592.3139063 = 30.91
Las sumas de cuadrados de los efectos principales se obtiene usando los totales de cada
uno de los factores de la siguiente manera:
=
= 617.5394125 - 592.3139063 = 25.2255062 25.23
=595.2124125 - 592.3139063=2.8985602 2.90
La suma de cuadrados del error se obtiene:
Restando a la suma total de cuadrados las sumas de cuadrados de los efectos principales, las sumas de las interacciones dobles y la suma de cuadrados de la interacción triple.
SSE = SST - SSA - SSB - SSC - SSAB - SSAC - SSBC
= 30.91499-25.22550-2.89850-0.23280-0.33924-0.1425063-0.03150-0.33356
= 1.7113503
5) Analisis de Varianza :
Medias de Cuadrados :
Las Medias de Cuadrados se obtienen dividiendo las Sumas de Cuadrados por sus
grados de libertad respectivos, como se muestra a continuación.
Los estadísticos para llevar a cabo la prueba de las hipótesis (F0) se obtienen dividiendo sus respectivas Medias de Cuadrados por la Media de Cuadrados del error, de la siguiente manera:
Para el factor Edad (A) Para el factor Temperatura (B)
Para el factor Tierra (C) Para la interacción Edad-Temperatura
(AxB)
Para la interacción Edad-Tierra (AxC) Para la interacción Temperatura-Tierra
(BxC)
Para la interacción Edad-Temperatura-Tierra (AxBxC)
Acontinuaciòn se presentara la tabla ANVA con los respectivos datos hallados
anteriormente.
Tabla ANVA:
Fuente de Variación Sumas
de
Cuadrados
Grados
de Libertad
Medias
de
Cuadrados
F0
Edad (A) 25.23 1 25.23 117.95
Temperatura (B) 2.90 1 2.90 13.55
Tierra (C) 0.23 1 0.23 1.07
EdadxTemperatura (AxB) 0.34 1 0.34 1.59
EdadxTierra (AxC) 0.14 1 0.14 0.65
TemperturaxTierra(BxC) 0.03 1 0.03 0.14
EdadxTemperaturaxTierra (AxBxC) 0.33 1 0.33 1.54
Error 1.71 8 0.2139
Total 30.91 15
Tomando α = 0.05, encontrando para cada hipótesis a probar sus respectivos FTablas,
se tiene: Ya que a = b = c = 2, entonces abc(n-1) = 2x2x2(2-1) = 8.
6) Conclusiones:
Respecto a la Hipótesis a (Factor A(Edad))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (117.95 > 5.32); por
lo tanto, se rechaza H0; es decir, la edad o períodos influye significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis b (Factor B (Temperatura))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (13.55 > 5.32); por lo
tanto, se rechaza H0; es decir, la Temperatura influye significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis c (Factor C (Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.07 < 5.32); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, los tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis d (Interacción(Edad y Temperatura))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.58 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad y la temperatura no influye significativamente en
las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis e (Interacción(Edad y Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.66 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad y los tipos de tierra no influyen significativamente
en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis f (Interacción(Temperatura y Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.14 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la temperatura y los tipos de tierra no influyen
significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de
Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis g (Interacción(Edad,Temperatura y Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.55 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen
significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de
Cemento y Tierra.
EJERCICIOS:
1. Los siguientes estudios datos se toman en un estudio que incluye tres
factores A, B y C, todos efectos fijos:
C1 C2 C3
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
A1
15.0 14.8 15.9 16.8 14.2 13.2 15.8 15.5 19.2
18.5 13.6 14.8 15.4 12.9 11.6 14.3 13.7 13.5
22.1 12.2 13.6 14.3 13.0 10.1 13.0 12.6 11.1
A2
11.3 17.2 16.1 18.9 15.4 12.4 12.7 17.3 7.8
14.6 15.5 14.7 17.3 17.0 13.6 14.2 15.8 11.5
18.2 14.2 13.4 16.1 18.6 15.2 15.9 14.6 12.2
a) Realice pruebas de significancia sobre todas las interacciones al
nivel α=0.05
b) Realice pruebas de significancia sobre los efectos principales en el
nivel α=0.05
c) Proporcione una explicación de cómo una interacción significativa
encubre el efecto del factor C.
2. El método de fluorescencia de rayos X es una herramienta analítica
importante para determinar la concentración de material en los
propulsores sólidos de misiles. En el artículo An X-
rayFluorescenceMethodforAnalyzingPolybutadieneAcrylicAcid(PBAA)
Propellants, QuarterlyReport, RK-TR-62-1
ArmyOrdinanceMissileCommand(1962), se postula que el proceso de
mezcla del propulsor y el tiempo del análisis tienen una influencia en
la homogeniedad del material y por ello sobre la precisión de las
mediciones de la intensidad de rayos X. Se llevó a cabo un
experimento con el uso de tres factores: A, condiciones de mezclado
(4 niveles); B, el tiempo del análisis (2 niveles); y C, el método de
carga del propulsor en los soportes de la muestra (caliente y
temperatura ambiente). Se registraron los siguientes datos, que
representan el análisis en porcentaje de peso de perclorato de
amonio en un propulsor particular:
Método de carga, C
Caliente Temperatura Ambiente
B1 B2 B1 B2
A1
38.62 38.45 39.82 39.82
37.20 38.64 39.15 40.26
38.02 38.75 39.78 39.72
A2
37.67 37.81 39.53 39.56
37.57 37.75 39.76 39.25
37.85 37.91 39.90 39.04
A3
37.51 37.21 39.34 39.74
37.74 37.42 39.60 39.49
37.58 37.79 39.62 39.45
A4
37.52 37.60 40.09 39.36
37.15 37.55 39.63 39.38
37.51 37.91 39.67 39.00
Realice un análisis de varianza con α=0.01 para probar la significancia de
los efectos principal y de interacción.
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE
GROHMANN
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE
INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS
Diseño con 3 factores
INTEGRANTES :
Jorge Maquera Parihuana 2009-34080
Jhonatan Cabrera Jara 2010-35516
Alan Quispe Acho 2010-35524
Andre Valdivia Chipana 2010-35530
Herson Urbina 2010-35558
PROFESOR : Luis Solórzano
ASIGNATURA : Estadística y Probabilidades
AÑO : 2º “A”
TACNA-PERU
2011
FACTOR A
FACTOR C
C1 Cc
FACTOR B FACTOR B
B1 B2 Bb TOTAL B1 B2 Bb TOTAL
A1
X1111 X1211 X1b11 Ƭ1.11 X1121 X1221 X1b21 Ƭ1.21
X1112 X1212 X1b12 Ƭ1.12 X1122 X1222 X1b22 Ƭ1.22
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
X111n X121n X1b1n Ƭ1.1n X112n X122n X1b2n Ƭ1.2n
TOTAL Ƭ111. Ƭ121. Ƭ1b1. Ƭ1.1. Ƭ112. Ƭ122. Ƭ1b2. Ƭ1.2.
Aa
X2111 X2211 X1b11 Ƭ1.11 X1b22 X1b22 X1b22 Ƭ1.21
X2112 X2212 X1b12 Ƭ1.12 X1b22 X1b22 X1b22 Ƭ1.22
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
X211n X121n X1b1n Ƭ1.1n X112n X122n X1b2n Ƭ1.2n
TOTAL Ƭa11. Ƭa21. Ƭab1. Ƭi.k. Ƭa12. Ƭa22. Ƭab2. Ƭi.k.
Ƭ.11. Ƭ.21. Ƭ.b1. Ƭ..k. Ƭ.12. Ƭ.22. Ƭ.b2. Ƭ..k.
FACTOR A
FACTOR B
TOTAL B1 B2 Bb
A1 Ƭ11.. Ƭ12.. Ƭ1b.. Ƭ1...
A2 Ƭ21.. Ƭ22.. Ƭ2b.. Ƭ2...
…… …… …… …… ……
Aa Ƭa1.. Ƭa2.. Ƭab.. Ƭ3...
TOTAL Ƭ.1.. Ƭ.2.. Ƭ.3.. Ƭ....
FACTOR A
FACTOR C
TOTAL C1 C2 Cc
A1 Ƭ1.1. Ƭ1.2. Ƭ1.c. Ƭ1...
A2 Ƭ2.1. Ƭ2.2. Ƭ2.c. Ƭ2...
…… …… …… …… ……
Aa Ƭa.1. Ƭa.2. Ƭa.c. Ƭ3...
TOTAL Ƭ..1. Ƭ..2. Ƭ..c. Ƭ....
FACTOR B
FACTOR C
TOTAL C1 C2 Cc
B1 Ƭ.11. Ƭ.12. Ƭ.1c. Ƭ.1..
B2 Ƭ.21. Ƭ.22. Ƭ.2c. Ƭ.2..
…… …… …… …… ……
Bb Ƭ.b1. Ƭ.b2. Ƭ.bc. Ƭ.b..
TOTAL Ƭ..1. Ƭ..2. Ƭ..c. Ƭ....