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Diseno analogico de osciladorescaoticos basados en mapeos
unidimensionales
por
Jennifer Vanessa Marquina Perez
Tesis sometida como requisito parcial paraobtener el grado de
MAESTRA EN CIENCIAS CONESPECIALIDAD EN ELECTRONICA
en el
Instituto Nacional de Astrofısica, Optica yElectronicaJulio2008
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Dr. Jose Alejandro Dıaz Mendez, INAOE
c©INAOE 2008El autor otorga al INAOE el permiso de
reproducir y distribuir copias en su totalidad o enpartes de esta tesis
I
Resumen
El comportamiento caótico es un fenómeno observado en una infinidad de
sistemas determinísticos no lineales. El caos determinista se define como el
fenómeno que se presenta en sistemas que son deterministas en un
principio, pero que llegan a tener un comportamiento impredecible con las
condiciones apropiadas. Los sistemas más simples que muestran caos son
los mapeos unidimensionales discretos. Debido a la simplicidad matemática
que presentan estos sistemas, son una excelente opción para su
implementación en circuitos electrónicos.
En este trabajo de tesis se presenta el diseño de dos osciladores caóticos
analógicos CMOS, basados en el mapeo Logístico y el mapeo de Bernoulli.
Mediante el uso de las herramientas de la mecánica estadística, como son el
diagrama de bifurcación y el exponente de Lyapunov, se establecen los
criterios de diseño para dichos osciladores.
III
Abstract
The phenomenon of chaos has become increasingly observed in the
behaviour of myriad nonlinear deterministic system. Deterministic chaos can
be defined as the phenomenon which is present in systems purely
deterministic at the beginning, but they can show an unpredictable behaviour
with the appropriate conditions. The simplest systems which show chaotic
behaviour are discrete unidimensional maps. These systems are an excellent
choice for electronic implementation due to their mathematical simplicity.
In this thesis we present the design of two CMOS chaotic analog
oscillators based on Logistic map and Bernoulli map, respectively. Using the
mechanical statistics tools, such as bifurcation diagram and Lyapunov
exponent, the design requirements of such oscillators are established.
V
Agradecimientos
Al pueblo de México, que mediante el CONACYT se me otorgó la beca
número 199309 , con la cual me fue posible estudiar este posgrado.
Al INAOE, por todos los apoyos escolares otorgados, las facilidades para el
uso de sus instalaciones y siempre proporcionar un lugar tranquilo y
agradable para trabajar. Gracias.
A mi asesor, el Dr. José Alejandro Díaz Méndez, por guiarme en la
realización de este trabajo de tesis, por el trato siempre amable y cordial, y
por todo el apoyo y la motivación. Gracias.
A mis padres, por el apoyo y el amor que siempre me han dado, por todos
los sacrificios que han hecho para brindarme las oportunidades, gracias a
ustedes he alcanzado un objetivo más. A mis hermanos, Hugo y Christian,
por su apoyo incondicional y por el amor que siempre me demuestran.
Gracias.
A mis amigos, por su compañía, apoyo y por todos los agradables momentos
compartidos. Siempre estarán conmigo. Gracias.
A mis padres,
Hugo Marquina y Amparo Pérez Chan.
Por el amor, el apoyo, los consejos, por estar siempre conmigo aunque esten
lejos. Por que siempre están en mi corazón y en mi mente.
A ustedes les dedico esta tesis.
A mi amor, Pedro,
por estar conmigo, apoyandome, animandome cuando lo necesito y por
quererme de la manera en que lo haces. Por que todo cambió.
A ti te dedico esta tesis.
VII
Indice general Índice general VII Lista de Figuras IX 1 Introducción 1
1.1 Antecedentes 3 1.2 Objetivos 5
1.3 Organización de la Tesis 5
2 Mapeos unidimensionales 7
2.1 Conceptos básicos 7
2.1.1 Sistemas lineales y no lineales 7 2.1.2 Ruta al caos 10
2.2 Mapas iterados 12 2.2.1 Exponente de Lyapunov 13 2.3 Mapeo Logístico 16 2.4 Mapeo de Bernoulli 24
VIII
3 Diseño del oscilador Logístico 31 3.1 Principio translineal 31 3.1.1 Derivación del principio MTL 33 3.2 Generación de la función Logística 36 3.3 Diseño del oscilador Logístico 39 4 Diseño del oscilador de Bernoulli 43 4.1 Funciones Piece Wise Linear 43 4.1.1 Espejos de corriente con un punto de quiebre 44 4.1.2 Espejos de corriente con dos puntos de quiebre 46 4.2 Generación de la función de Bernoulli 47 4.3 Diseño del oscilador de Bernoulli 50 5 Simulaciones y resultados 55 5.1 Simulaciones del oscilador Logístico 55 5.2 Simulaciones del oscilador de Bernoulli 61 6 Conclusiones y trabajo futuro 69 6.1 Conclusiones 69
6.2 Trabajo futuro 71 Bibliografia 73
IX
Lista de Figuras 2.1 a) Salida del sistema no lineal, con periodo 1. b) Salida del
sistema después de la bifurcación . 11
2.2 Conjunto de curvas para mapeo Logístico para 0<µ<4 y 0<x<1 . 16 2.3 Trayectorias generadas para: a) µ =1 y b) µ =3 . 18 2.4 Trayectoria generada para µ = 4 . 19 2.5 Diagrama de bifurcacion para ( ) ( )nnn xxxg −= 1µ . 19 2.6 Autosimilaridad del diagrama de bifurcación del mapeo Logístico. 20 2.7 Constante de Feigenbaum en diagrama de bifurcación Logístico . 21 2.8 Exponente de Lyapunov para el mapeo Logístico . 23 2.9 Mapeo de Bernoulli . 25 2.10 Diagrama de bifurcación del mapeo de Bernoulli . 26 2.11 Diagrama de trayectorias para una µ = 0.4 . 26 2.12 Diagrama de trayectorias para una µ = 1 . 27 2.13 Autosimilaridad en el diagrama de bifurcación del mapeo de
Bernoulli . 28
2.14 Exponente de Lyapunov para mapeo de Bernoulli . 29 3.1 Lazo translineal MOS conceptual . 33 3.2 Un lazo MOS translineal consistente en cuatro transistores . 35 3.3 Circuito translineal que genera una función cuadrática . 39 3.4 Diagrama a bloques del oscilador . 40
X
3.5 Diagrama a bloques del oscilador Logístico con multiplicador . 40 3.6 Circuito de muestreo y retención . 41 3.7 Circuito completo del oscilador Logístico . 42 4.1 a)Espejo de corriente NMOS con un punto de quiebre y b) su
curva de transferencia . 45
4.2 a)Espejo de corriente PMOS con un punto de quiebre y b) su
curva de transferencia . 45
4.3 a)Espejo de corriente NMOS con dos puntos de quiebre y b) su
curva de transferencia . 46
4.4 a)Espejo de corriente PMOS con dos puntos de quiebre y b) su
curva de transferencia . 47
4.5 Mapeo de Bernoulli . 48 4.6 a) Circuito generador de la señal escalón y b) curva de
transferencia . 49
4.7 a) Circuito generador de la función de Bernoulli y b) curva de
transferencia . 50
4.8 Diagrama a bloques del oscilador de Bernoulli . 51 4.9 Circuito de muestreo y retención . 52 4.10 Circuito completo del oscilador de Bernoulli . 52 5.1 Análisis en DC del oscilador logístico para diferentes valores de
µ . 56
5.2 Análisis transitorio del oscilador Logístico para µ = 2.6 . 57 5.3 Análisis transitorio del oscilador Logístico para µ = 3 . 57 5.4 Análisis transitorio del oscilador Logístico para µ = 3.9 . 58 5.5 Densidad espectral para el oscilador Logístico en régimen
caótico . 58
XI
5.6 Densidad espectral para el oscilador Logístico en bifurcación . 59 5.7 Densidad espectral del análisis de Montecarlo . 59 5.8 Densidad espectral para variaciones de temperatura . 60 5.9 Diagrama de bifurcación obtenido del oscilador Logístico . 61 5.10 Análisis en DC del oscilador de Bernoulli . 62 5.11 Análisis en DC del oscilador de Bernoulli para diferentes valores
de µ 62
5.12 Análisis transitorio del oscilador de Bernoulli para µ = 0.4 . 63 5.13 Análisis transitorio del oscilador de Bernoulli para µ = 0.6 . 64 5.14 Análisis transitorio del oscilador de Bernoulli para µ = 1 . 64 5.15 Densidad espectral para el oscilador de Bernoulli en régimen
caótico . 65
5.16 Densidad espectral para el oscilador de Bernoulli en
comportamiento periódico . 65
5.17 Densidad espectral del análisis de Montecarlo . 66 5.18 Densidad espectral del análisis de temperatura . 67 5.19 Diagrama de bifurcación obtenido del oscilador de Bernoulli . 67
1
Capítulo 1
Introducción
El comportamiento caótico es un fenómeno observado en una infinidad de
sistemas determinísticos no lineales, los cuales se pueden describir mediante
ecuaciones diferenciales o de diferencia y su evolución es variante en el
tiempo. Los términos caos y caótico se utilizan para describir el
comportamiento de un sistema en el tiempo, el cual es aperiódico y
aparentemente aleatorio. Por otro lado, un sistema determinista se define
como un sistema en el que se conoce el estado actual y se podría predecir,
sin ningún error, el estado siguiente. Esto nos lleva a entender como caos
determinista al fenómeno que se presenta en sistemas que son deterministas
en un principio, pero que llegan a tener un comportamiento irregular con las
condiciones apropiadas. En general se necesitan tres factores para
determinar el comportamiento de un sistema: la evolución de las ecuaciones
en el tiempo, los valores de los parámetros que describen al sistema y las
condiciones iniciales [1].
2
En un principio, dentro del estudio del caos, se creía que sólo sistemas
complejos, con muchos grados de libertad, podían tener un comportamiento
aleatorio, sin embargo, a mediados del siglo XX se descubrió que puede
manifestarse en sistemas extremadamente simples y que resultan inherentes
a ellos, lo que quiere decir que no se genera por ruido o por factores
externos. Además, se ha descubierto que se trata de un estado estable,
robusto y mucho más habitual de lo que se creía [1].
Los sistemas dinámicos discretos unidimensionales se conocen como los
sistemas más simples que muestran caos. Estos sistemas son generalmente
modelados por mapas discretos, definidos por:
K,2,1,0),(1 ==+ nxfx nn
donde n es la dimensionalidad del estado, nx es el estado del sistema en el
tiempo n , 1+nx representa el siguiente estado y ( )⋅f es una función
unidimensional no lineal. Las repetidas iteraciones de ( )nxf generan una
secuencia de puntos { }∞=0nnx conocida como órbita. La órbita de estos
sistemas pueden comportarse de manera periódica, converger en un punto
fijo o tener un comportamiento caótico, dependiendo de la elección de los
parámetros de control [2]. Cabe mencionar que los mapas iterados
unidimensionales muestran un rango más amplio en su comportamiento
dinámico en comparación a los sistemas diferenciales unidimensionales,
debido a que los mapas iterados no tienen restricciones de continuidad. En
otras palabras, en un mapa iterado unidimensional el valor de x puede
cambiar de un valor a otro sin pasar por valores intermedios de x [1].
(1.1)
3
Debido a las características de simplicidad, además del amplio rango
dinámico, se han buscado aplicaciones a este tipo de sistemas dinámicos
caóticos dentro de la rama de la ingeniería, específicamente para nuestro
caso en el diseño de circuitos electrónicos.
1.1. Antecedentes
Para que un oscilador sea considerado como caótico debe contener ciertas
características [3]. Las tres más importantes son:
- Tener una densidad espectral de potencia similar al del ruido blanco.
En otras palabras, que su espectro de frecuencias sea una banda
continua de frecuencias. Con esto se comprueba que su movimiento
no es periódico.
- Sensibilidad a las condiciones iniciales. Esto significa que con el
menor cambio en la condicion inicial, las órbitas que se generan
divergen entre si de manera exponencial.
- Ergodicidad y mezclado de órbitas. El primero implica que cualquier
órbita dada debe explorar todo el espacio por el que puede moverse;
la segunda característica se refiere a que las relaciones simples entre
condiciones iniciales son esencialmente eliminadas por la dinámica
dispersiva del sistema.
Existen actualmente una gran cantidad de circuitos que generan oscilaciones
caóticas, como por ejemplo el oscilador caótico tipo Colpitts [4], el cual
genera una señal caótica a partir de la configuración en los parámetros del
circuito. Este circuito es un sistema dinámico no lineal de tercer orden, cuya
dinámica se genera a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales.
4
Otro oscilador caótico muy conocido en la literatura es el circuito de Chua
[5][6], el cual presenta un comportamiento en el diagrama del espacio de
fase, generado por las variables de estado, conocido como ‘doble scroll’.
Tambien existen otros osciladores que estan basados en la ecuación de
Lorenz y en la ecuación de Duffing, que son muy conocidos en la literatura.
Desde mediados de los 80’s se han generado también varios circuitos que
generan señales caóticas, a partir de la iteración electrónica de mapeos
unidimensionales. Dentro de los diseños realizados se encuentran circuitos
en modo voltaje basados en capacitores switcheados [7][8][9], y también
circuitos en los cuales se utilizaron multiplicadores y amplificadores de
diferencia [10][11]. De la misma forma se han realizado varios diseños en
modo corriente, entre los cuales está el que se reporta en [12], el cual genera
la oscilación caótica mediante el mapeo de casa de campaña, y en [13], el
cual genera secuencias pseudoaleatorias también con el mapeo de casa de
campaña, mencionándose en este último la posibilidad de utilizar el mapeo
modificado de Bernoulli.
Los sistemas caóticos basados en mapeos unidimensionales han tenido
diversas aplicaciones, dentro de las cuales está la criptografía. En [14] se
plantea la aplicación de mapeos unidimensionales discretizados para
sistemas de seguridad criptográficos, aprovechando las características de
inestabilidad de la órbita generada y ergodicidad. En [15] se presenta una
implementación CMOS de un generador de números aleatorios para
sistemas de seguridad. En sistemas de protección de derechos de autor y
propiedad intelectual basados en esquemas de marcas de agua, es posible
generar una señal de ruido en una y dos dimensiones para ser insertada en
señales de audio e imágenes [16][17]. En [18] se presenta un esquema de
comunicaciones de espectro disperso por salto de frecuencia usando
sistemas caóticos.
5
En este trabajo de tesis se desarrolla el diseño de dos circuitos osciladores
caóticos, basados en el mapeo Logístico y el mapeo modificado de Bernoulli.
1.2. Objetivos
Los objetivos de este trabajo de tesis son:
• Diseñar circuitos osciladores caóticos analógicos CMOS basados en
el mapeo Logístico y el mapeo de Bernoulli.
• Establecer los criterios del diseño de los osciladores caóticos basados
en el mapeo Logístico y el mapeo de Bernoulli, utilizando las
herramientas de la mecánica estadística.
1.3. Organización de la Tesis
La organización de la tesis se presenta de la siguiente forma:
En el capítulo 2 se presentan conceptos básicos de la teoría de caos,
además del fundamento matemático y las características de los mapas
unidimensionales, dando mayor énfasis en el mapeo Logístico y el mapeo de
Bernoulli, los cuales son de interés para esta tesis.
En el capítulo 3 se muestra el diseño del oscilador caótico basado en el
mapeo Logístico utilizando las herramientas de la mecánica estadística
6
planteadas en el capítulo 2. Además se presenta el concepto del principio
translineal utilizado en la generación electrónica del mapeo.
En el capítulo 4 se presenta el diseño del oscilador caótico basado en el
mapeo de Bernoulli, en el cual se genera la función del mapeo mediante un
circuito PWL.
En el capítulo 5 se presentan los resultados obtenidos de las simulaciones de
ambos osciladores realizadas en Hspice, mostrando el comportamiento
caótico obtenido.
Finalmente, en el capítulo 6 se presentan las conclusiones del trabajo de
tesis y se plantea el posible trabajo futuro.
7
Capítulo 2
Mapeos unidimensionales
2.1. Conceptos básicos
En este capítulo se presenta una breve revisión a los conceptos básicos de
sistemas lineales, no lineales y caos. Posteriormente se presenta la
definición del mapa unidimensional discreto, sus características y finalmente
se abordan las definiciones del mapeo Logístico y el mapeo de Bernoulli, los
cuales son los mapeos de interés para este trabajo.
2.1.1. Sistemas lineales y no lineales
Un sistema lineal se conoce como aquél en el que un cierto cambio en las
señales de entrada provocan un cambio proporcional en las señales de
salida. Esto se puede entender como que un pequeño cambio en la entrada
8
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
de un sistema lineal genera un pequeño cambio a la salida, de la misma
forma que un cambio grande en la entrada provoca una salida igualmente
grande. Una manera más formal para definirlo, es aquél sistema que cumple
el principio de superposición. Esto es, si
][][ 11 nynx → y ][][ 22 nynx →
entonces
][][][][ 22112211 nyanyanxanxa +→+
para cualquier a1 y a2, donde a1 y a2 son constantes. Además, los sistemas
lineales tienen la propiedad de invarianza temporal o invarianza frente al
desplazamiento. Esta propiedad se expresa como sigue, si
][][ nynx →
entonces,
][][ 00 nnynnx −→−
para cualquier n0, donde n0 es un número real. Aunque no existe un sistema
físico en la realidad que sea completamente lineal, en ciertas ocasiones las
nolinealidades resultan despreciables y los sistemas lineales proporcionan
una aproximación adecuada. Los sistemas lineales son muy útiles y pueden
resultar como una buena aproximación de primer orden para muchos
fenómenos, pero con frecuencia es necesario recurrir a sistemas no lineales.
9
Se define a un sistema no lineal como un sistema cuyas ecuaciones en el
tiempo no son lineales, esto es, que las variables dinámicas que describen
las propiedades del sistema (como por ejemplo posición, velocidad,
aceleración, etc.) aparecen en las ecuaciones en una manera no lineal. Se
puede expresar a la nolinealidad en términos de la respuesta del sistema al
estímulo. Suponiendo que la respuesta de un sistema es ),( txh a un
determinado estímulo )(tS . Si ahora cambiamos este estímulo de )(tS a
)(2 tS , en un sistema lineal tendríamos una respuesta igual a ),(2 txh . Para
un sistema no lineal, la respuesta del sistema podría ser mayor o menor a
),(2 txh .
Para comprender un poco mejor el concepto de sistema no lineal, se pueden
revisar sus características básicas. En primer lugar, cada sistema no lineal es
un sistema único, ya que existen grandes diferencias entre las distintas
funciones no lineales. Esto dificulta el desarrollo de una teoría general de los
sistemas no lineales, a diferencia de los sistemas lineales que son muy
parecidos entre sí. Otra característica está en que las señales generadas por
un sistema no lineal puede presentar un comportamiento errático,
continuado o intermitente. Y finalmente, en un sistema no lineal la salida
puede ser mucho mayor o menor al estímulo del sistema [19]. Por todo lo
anterior resultan necesarias herramientas diferentes para el estudio de cada
sistema no lineal.
Al estudio del comportamiento de los sistemas no lineales, se le conoce
como dinámica no lineal [1]. En general, se necesitan tres factores para
determinar el comportamiento de un sistema:
1. Ecuaciones de evolución en el tiempo.
2. Valores de los parámetros de describen al sistema
10
3. Condiciones iniciales.
Cambios repentinos y dramáticos de los sistemas no lineales pueden llevar a
un comportamiento complejo, conocido como caos. El término caos se usa
para describir el comportamiento de un sistema en el tiempo el cual es
aperiódico y aparentemente aleatorio. Cabe mencionar que se dice
‘aparentemente aleatorio’ debido al hecho de que dentro de este aparente
caos existe un orden determinado, en algún sentido, por la ecuación que
define al sistema. De hecho, muchos sistemas caóticos que se estudian son
completamente determinísticos. Anteriormente el comportamiento complejo
de sistemas determinísticos se atribuía a ruido, esto es, a efectos externos
que no se pueden controlar, como por ejemplo vibraciones mecánicas o
fluctuaciones en la temperatura. Sin embargo, la teoría del caos provee una
explicación alternativa, que no depende de factores externos de ruido, si no
define que un sistema complejo tiene muchos grados de libertad y son las
actividades de estos grados de libertad lo que llevan a este aparente
comportamiento aleatorio.
2.1.2. Ruta al caos
El comportamiento de un sistema no lineal se puede describir mediante la
variación de uno de sus parámetros, el cual se denomina parámetro de
control. Por ejemplo, suponiendo que se tiene un sistema el cual tiene una
salida fija de un valor determinado, al aumentar el valor del parámetro de
control se observa que en determinado momento el valor de la salida del
sistema se divide, provocando oscilaciones entre dos valores. A este
fenómeno se le conoce como Bifurcación. El término bifurcación es
comúnmente utilizado en el estudio de la dinámica no lineal para describir
cualquier cambio repentino en el comportamiento del sistema con respecto a
11
la variación de cierto parámetro [1]. La bifurcación se refiere entonces a la
división del comportamiento del sistema en dos regiones, una arriba y otro
abajo del valor particular del parámetro donde el cambio ocurrió.
En la figura 2.1 se muestra un ejemplo del fenómeno de bifurcación en una
señal eléctrica. En la figura 2.1a) se puede observar que la señal oscila en un
valor fijo, mientras que en la figura 2.1b) se muestra como cambia la misma
señal, pasando de un valor fijo a la oscilación entre dos valores.
Figura 2.1. a) Salida del sistema no lineal, con periodo 1. b) Salida del sistema
después de la bifurcación.
Al ir aumentando el valor del parámetro de control en el sistema se observa
que vuelve a haber otro cambio a la salida, provocando que ahora las
oscilaciones esten entre 4 valores, despues entre 8, 16, 32, etc. A este
fenómeno se le conoce como Doblamiento de periodo. Eventualmente, la
salida del sistema llega a parecer completamente errático, diciendo que el
sistema está en régimen caótico.
12
(2.5)
2.2. Mapas Iterados
El comportamiento caótico se ha encontrado en sistemas que son
esencialmente libres de ruido y que son relativamente simples, es decir que
tienen pocos grados de libertad. Dentro de estos sistemas dinámicos simples
existen los sistemas no lineales discretos, los cuales generalmente se
describen como un mapa iterativo, definido por la siguiente ecuación:
( ) ...2,1,0,1 ==+ nxfx nn
donde nx representa el estado del sistema en el tiempo n y 1+nx representa al
siguiente estado, por lo que n denota el tiempo discreto. Los mapas
unidimensionales iterados se utilizaron originalmente como modelos del
comportamiento de ciertos fenómenos físicos, y se volvieron muy importantes
históricamente en el desarrollo de la teoría del caos. Sin embargo estos
mapas se pueden tratar como si fueran sistemas dinámicos como tal, debido
a la amplia literatura que existe sobre ellos.
El comportamiento asintótico de un sistema viene dado, en general, por los
atractores y los repulsores del sistema. Se dice que el atractor de un sistema
es la región del estado de fase hacia la que converge la órbita con un
conjunto de condiciones iniciales dada. De la misma forma, un repulsor de
un sistema es la región hacia la que convergería la órbita si se hiciera una
iteración hacia atrás. Un sistema dinámico discreto puede presentar cuatro
tipos de atractores/repulsores, dependiendo de sus parámetros o
condiciones iniciales [19]:
- Punto fijo: Se caracteriza por un único valor en el dominio temporal,
]1[][ −= nxnx para todo n.
13
(2.10)
- Periódico: En el dominio temporal se observa una forma de onda
periódica. En el espacio de fases, el atractor es una colección finita de
puntos { }]1[,],0[ −Kxx K .
- Cuasiperiódico: El atractor es una colección infinita de puntos
concentrados en una región simple del espacio de fases.
- Caótico: Se caracteriza por comportamiento aparentemente aleatorio
de la señal en el dominio temporal, y un espectro continuo de banda
ancha en el dominio frecuencial.
La existencia de caos en un sistema depende también de su naturaleza
(continua o discreta), y de su orden. El orden de un sistema dinámico es el
número de variables necesarias para describir su estado [19].
2.2.1 Exponente de Lyapunov
Una de las características del régimen caótico es la divergencia entre
trayectorias cercanas, lo cual indica la dependencia sensitiva del sistema a
las condiciones iniciales. Para asegurar que el sistema ha entrado
efectivamente en un régimen caótico, en mapeos unidimensionales es
posible determinar la entrada al caos mediante el cálculo del exponente de
Lyapunov [1].
El exponente de Lyapunov es la razón de divergencia entre dos trayectorias.
Para empezar se considera un punto atractor x0 y un punto cercano al punto
atractor ε+0x . Después se aplica la función del mapa iterado n veces a cada
valor x0 y ε+0x , y se considera el valor absoluto de la diferencia entre
ambos resultados.
14
(2.11)
(2.12)
(2.13)
)()( 0)(
0)( xfxfd nn
n −+≡ ε
En el comportamiento caótico se espera que esta distancia crezca
exponencialmente con n, por lo que se escribe
( )n
nn
n exfxfd λ
εε
ε≡
−+=
)( 0)(
0)(
ó
( )
−+=
εε
λ)(
ln1 0
)(0
)( xfxf
n
nn
Las ecuaciones (2.11) y (2.12) definen al exponente de Lyapunov λ para la
trayectoria. Al hacer 0→ε se puede notar que la razón del lado derecho de
la ecuación (2.12) es la definición del valor absoluto de la derivada de )(nf
con respecto a x. Se puede interpretar a la derivada de )(nf como el
producto de n derivadas de )(xf evaluadas en la trayectoria de puntos
sucesivos x0, x1, x2, etc.
Otra manera de expresarlo es:
( )( )110 'ln)('ln)('ln1
−+++= nxfxfxfn
Kλ
De manera que la expresión (2.13) puede aproximarse por la siguiente
expresión:
15
(2.14)
(2.15)
∑−
=
≈1
0
)('ln1 n
iixf
nλ
Si esta expresión tiene límite cuando ∞→n , entonces el exponente de
Lyapunov para la órbita que inicia en 0x queda determinado por:
= ∑
−
=∞→
1
0
)('ln1
limn
ii
nxf
nλ
El exponente de Lyapunov se puede definir como el promedio del logaritmo
natural del valor absoluto de las derivadas de la función del mapa evaluadas
en los puntos de la trayectoria.
Si la aplicación de la función del mapa en dos puntos cercanos entre sí,
resulta en dos puntos que se separan entre si, entonces el valor absoluto de
las derivadas de la función del mapa será mayor a 1 en estos puntos de la
trayectoria. Si el valor absoluto es mayor a 1, entonces su logaritmo es
positivo. Esto nos lleva a la conclusión de que un mapa iterado
unidimensional tiene trayectorias caóticas si el exponente de Lyapunov es
positivo.
A continuación se hará especial énfasis al mapeo unidimensional Logístico y
al mapeo unidimensional de Bernoulli.
16
(2.16)
2.3. Mapeo Logístico
La función más simple y más ampliamente estudiada es el mapeo Logístico.
Este mapeo fue propuesto en un principio como un modelo demográfico, y
más tarde fue aplicado al estudio de la dinámica de poblaciones de ciertas
especies, donde el parámetro de control µ era un número positivo que
representaba a la razón entre reproducción y alimentación [2]. La expresión
matemática del mapeo Logístico es:
( ) ( )nnnn xxxxf −== + 11 µ
donde µ es el parámetro de control. En la figura 2.2 se muestra la ecuación
(2.16) para diferentes valores de µ, asumiendo que cada valor de ( )nxf está
dentro del intervalo [0,1] y que el parámetro de µ esta dentro del intervalo
[0,4].
Figura 2.2. Conjunto de curvas para mapeo Logistico para 0 < µ < 4 y 0 < x < 1.
17
(2.17)
(2.18)
(2.19)
La dinámica de este mapeo se explica a continuación. En la figura 2.3a) se
muestra el diagrama de trayectorias, y se puede apreciar como para valores
10 ≤≤ µ el sistema siempre converge a 0, por lo que este valor es el punto
fijo de ( )nxf . Esto es, no importa cual sea el valor inicial que se le asigne a x,
la órbita siempre converge a 0. Otra forma de representarlo es:
*)(* µµµ xfx =
donde x* es el punto fijo del mapa. El subindice µ indica que x* depende del
valor de µ. Para la ecuación (2.16), existe en general dos puntos fijos:
0* =µx
µµ1
1* −=x
para valores dentro del intervalo 31 ≤≤ µ [12]. En la figura 2.3b) se observa
el diagrama de trayectorias, donde el sistema converge a un punto fijo para
un valor de µ=3. Se puede observar tanto en la figura 2.3a) como en la figura
2.3b) que los puntos fijos del mapa son los atractores del sistema, es decir,
son los puntos hacia los que converge la órbita.
18
Figura 2.3. Trayectorias generadas para: a) µ =1 y b) µ =3.
Para valores de µ cercanos a 3, el sistema presenta el fenómeno de
bifurcación, es decir que comienza a oscilar entre dos puntos fijos. Mientras
el valor de µ se va incrementando, aumentan los puntos fijos en los que
oscila el mapeo, variando a 4, 8, 16 y así sucesivamente, en otras palabras
aparece un doblamiento de periodo. Esto significa que mientras aumenta el
valor de µ, la longitud de la órbita aumenta volviéndose periódica en ciclos
más grandes.
A partir de µchaos = 3.5699… [1] desaparece el doblamiento de periodo y se
dice que el sistema ha entrado en caos. En la figura 2.4 se muestra el
diagrama de trayectorias para 4=µ donde se observa que el recorrido de
las trayectorias nunca es el mismo, además de que tiende a recorrer toda la
curva del mapeo, lo que indica comportamiento aparentemente caótico.
a) b)
19
Figura 2.4. Trayectoria generada para µ = 4.
El comportamiento del sistema para diferentes valores de µ se puede resumir
mediante un Diagrama de Bifurcación. Este diagrama se obtiene mediante
una serie de iteraciones del mapeo variando el valor de µ, que va desde 0 a
4. El diagrama de bifurcación para el mapeo logístico se muestra en la figura
2.5.
Figura 2.5. Diagrama de bifurcacion para ( ) ( )nnn xxxg −= 1µ
20
En este diagrama es posible observar la dinámica del sistema con respecto a
la variación del parámetro de control. Se puede notar que a partir de µ = 3
aproximadamente aparece el fenómeno de bifurcación, posteriormente con el
aumento de µ aparece el doblamiento de periodo, hasta finalmente llegar a la
región caótica. Una propiedad importante del diagrama de bifurcación es la
autosimilaridad. Esta propiedad se presenta en estructuras geométricas
donde una pequeña parte amplificada de la estructura es exactamente igual
a la estructura total.
Figura 2.6. Autosimilaridad del diagrama de bifurcación del mapeo Logístico.
La idea básica de la autosimilaridad es que las estructuras geométricas que
muestran esta propiedad no tienen una escala inherente. Esto significa que
muchas de las características que tiene la estructura geométrica deben ser
a) b)
c) d)
21
independientes de los detalles del modelo que la generaron. Esto permite
establecer expresiones cuantitativas sobre el comportamiento del sistema
que generó dicho diagrama de bifurcación.
En la figura 2.6 se observa la autosimilaridad en el diagrama de bifurcación
de la función Logística, donde se ha realizado una ampliación de la sección
que se indica con un rectángulo en negro. Cabe mencionar que las gráficas
b) y d) de la figura 2.6 se han graficado con el eje vertical en orden inverso.
Figura 2.7. Constante de Feigenbaum en el diagrama de bifurcación Logístico.
Se puede observar como se generan ramas de bifurcación a través del
fenómeno del doblamiento del periodo en cascada conforme se incrementa
a) b)
c)
22
(2.20)
el valor del parámetro de control. Además, es notorio que las longitudes de
las ramas de bifurcación se van decrementando después de cada punto de
bifurcación. De esta manera, el fenómeno del doblamiento de periodo
produce en el mapeo Logístico lo que se conoce como punto de
Feigenbaum, el cual es precisamente µchaos = 3.5699 [1]. El punto de
Feigenbaum representa el punto umbral para el que estas ramas no pueden
crecer más, divide el diagrama de bifurcación en dos partes: el doblamiento
del periodo (lado izquierdo) y el área en régimen caótico (lado derecho),
como se observa en el diagrama de bifurcación de la figura 2.6a).
La razón de las longitudes de las ramas de bifurcación, considerando que se
van decrementando después de cada punto de bifurcación, debe ser
aproximadamente la primera constante de Feigenbaum ( δ = 4.6692…) sin
importar que ramas consecutivas se consideren. En la figura 2.7 se muestra
el cálculo del valor δ utilizando el diagrama de bifurcación. Esta constante
aparece en muchos sistemas, como por ejemplo la oscilación del helio
líquido o el comportamiento de ciertas especies y se conoce como
universalidad.
Otra de las caracerísticas importantes de un sistema caótico, como ya se
mencionó, es la dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, lo cual se
puede comprobar mediante el cálculo del exponente de Lyapunov.
Repitiendo la expresión matemática del exponente de Lyapunov, se tiene
que:
= ∑
−
=∞→
1
0
)('ln1
limn
ii
nxf
nλ
Con esta expresión se obtiene el comportamiento del exponente de
Lyapunov para el mapeo Logístico, el cual se muestra en la figura 2.8 [3].
23
Figura 2.8. Exponente de Lyapunov para el mapeo Logístico.
Se observa que para valores de µ menores a 3.5 aproximadamente, el
exponente es negativo y en los puntos de doblamiento de periodo el
exponente se acerca a 0. Finalmente para valores de chaosµµ ≥ el exponente
se vuelve positivo, lo que indica un comportamiento caótico.
Sin embargo se observa que más adelante existen ciertas regiones donde el
exponente vuelve a ser negativo. A estas zonas se les conoce como Islas de
estabilidad, donde la órbita generada bajo estas condiciones es periódica.
Estas islas de estabilidad se pueden observar también en el diagrama de
bifurcación mostrado en la figura 2.5 y son situaciones indeseables para la
generación de secuencias caóticas. A este fenómeno se le conoce como
Intermitencia [12].
24
2.4. Mapeo de Bernoulli
Otro mapeo de interés para este trabajo es el mapeo de Bernoulli, también
conocido como desplazamiento de Bernoulli. Este es un tipo de mapa
conocido como mapa PWL (PieceWise Linear). Este tipo de mapas tienen la
característica de que tienen una discontinuidad en su función de x, es decir,
que la función cambia repentinamente de un valor a otro.
La expresión matemática del mapeo de Bernoulli es la siguiente:
( ) ( ]( ]
∈−∈
=1,5.012
5.0,0,2
xx
xxxB
Este mapeo fue generalizado por Tsuneda [13] introduciendo un parámetro
de control µ, de manera que el intervalo unitario se mapea al intervalo
( ) ( )( )µµ +− 15.0,15.0 , facilitando así la implementación en circuitos
analógicos. Esta generalización puede expresarse de la siguiente manera:
)1(2
1)(2),(
2
1 µθµµ −+
−= xxxB
donde µ toma valores en el intervalo (0,1) y )(xtθ es una función escalón
expresada de la siguiente forma:
≥<
=tx
txxt ,1
,0)(θ
La operación iterativa como mapeo 1-D es expresa como:
(2.21)
(2.22)
(2.23)
25
,...2,1,0),,(1 ==+ nxBx nn µ
El mapeo generalizado de Bernoulli es un mapeo unidimensional en dos
trazos, como se muestra en la figura 2.9. Este mapeo se itera repetidamente,
teniendo una condición inicial, generando de esta manera una serie de
valores a su salida (órbita) que se distribuyen a lo largo de todo el intervalo.
Figura 2.9. Mapeo de Bernoulli.
El diagrama de bifurcación del mapeo de Bernoulli se muestra en la figura
2.10, donde se observa el efecto de µ en la órbita, el cual varía entre 0 y 1. El
comportamiento caótico del mapeo aparece en valores de µ mayores a 0.5,
antes de este valor la órbita tiene un periodo de 2.
En el intervalo de 0.5 a 0.7 se observa una separación de tres regiones, las
cuales van aumentando mientras aumenta el valor de µ. Llegando al valor de
0.7, el diagrama de bifurcación se convierte en una sola región caótica,
conservando esta característica en valores mayores a 0.7.
(2.24)
26
Figura 2.10. Diagrama de bifurcación del mapeo de Bernoulli.
En la figura 2.10 se puede observar que en el mapeo de Bernoulli no
aparecen islas de estabilidad, como se presentan en el mapeo Logístico.
Figura 2.11. Diagrama de trayectorias para una µ = 0.4.
Mediante los diagramas de trayectoria también se puede observar la
dinámica del mapeo de Bernoulli. En la figura 2.11 se muestra el diagrama
de trayectorias para una µ de 0.4, donde se observa como el sistema
converge a dos puntos fijos. En la figura 2.12 se muestra el diagrama de
27
trayectorias para µ = 1, en este caso se observa como la órbita abarca todo
el intervalo.
Figura 2.12. Diagrama de trayectorias para una µ = 1.
Al igual que en el mapeo Logístico, el diagrama de bifurcación del mapeo de
Bernoulli también muestra la característica de autosimilaridad, como se
observa en la figura 2.13. Se puede notar que la figura 2.13c) es una
ampliación de la sección que se indica con el rectángulo negro de la figura
2.13b). De la misma forma, la figura 2.13b) es la ampliación de la sección
indicada en la figura 2.13a).
Esta característica de autosimilaridad, al igual que en el mapeo Logístico,
proporciona elementos para analizar cuantitativamente a este mapeo.
28
Figura 2.13. Autosimilaridad en el diagrama de bifurcación del mapeo de Bernoulli.
a)
b)
c)
29
El mapeo de Bernoulli es un ejemplo de la dinámica simbólica, un formalismo
en el cual la atención está enfocada solamente en la secuencia de un
número finito de símbolos. Por ejemplo en la expresión binaria estamos
hablando de solo dos símbolos. Este mapeo está muy lejos de tener una
conexión directa con el mundo físico, sin embargo su dinámica es amplia y
se pueden observar los fenómenos de periodicidad y caos.
Para comprobar la dependencia sensitiva de este mapeo a las condiciones
iniciales, se hace el cálculo del exponente de Lyapunov. Para recordar la
expresión matemática del exponente, se repite en la ecuación (2.25)
= ∑
−
=∞→
1
0
)('ln1
limn
ii
nxf
nλ
Para el mapeo de Bernoulli, µ2)(' =ixf y por tanto )2ln( µλ = . La figura 2.14
muestra el comportamiento del exponente de Lyapunov para el mapeo de
Bernoulli.
Figura 2.14. Exponente de Lyapunov para mapeo de Bernoulli.
(2.25)
30
Se puede notar que despues de µ = 0.5 el exponente se vuelve positivo, lo
cual indica un comportamiento caótico en el sistema. Además, a diferencia
del mapeo Logístico, éste no presenta islas de estabilidad, una vez que el
exponente se vuelve positivo así se mantiene. Esta característica es
deseable para el diseño de un oscilador caótico, ya que no hay la posibilidad
de que el sistema entre en una región periódica.
En este capítulo se repasaron los conceptos básicos de la teoría del caos,
además de prestar más atención en el mapeo Logístico y el modificado de
Bernoulli. A continuación se tratará de la implementación de estos mapeos
en un circuito electrónico analógico para la generación de oscilación caótica.
31
Capítulo 3
Diseño del oscilador Logístico
En este capítulo se presenta el diseño del oscilador basado en el mapeo
Logístico con las consideraciones de las herramientas de la mecánica
estadística, las cuales ya fueron utilizadas en el análisis del capítulo anterior.
Además se repasa el concepto del principio translineal para el diseño del
bloque que genera a la función Logística.
3.1. Principio translineal
El principio del circuito translineal se formuló originalmente para implementar
funciones no lineales para procesamiento de señal mediante circuitos
analógicos bipolares. El concepto translineal se basa en la propiedad de los
transistores bipolares, conocida como transconductancia lineal con la
corriente de colector [20].
32
Con el crecimiento de las técnicas de circuitos analógicos CMOS, se ha
generado la pregunta de si es posible encontrar este concepto en este tipo
de circuitos. En un principio se encontró que el transistor MOS, trabajando en
inversión débil, tiene un comportamiento exponencial de voltaje-corriente, al
igual que el transistor BJT. Sin embargo, al operar en inversión débil al
transistor MOS, se tienen limitaciones que generan que el rango dinámico y
la velocidad sean bajas para alguna aplicación en general.
Debido a este problema, se propuso una generalización del concepto
translineal para aplicar a dispositivos con una transconductancia lineal con
una variable eléctrica, ya sea voltaje o corriente. Este concepto generalizado
aplica tanto a transistores bipolares como a transistores MOS operando en
inversión fuerte.
Por lo tanto, los circuitos translineales generalizados (GTL) se definen de la
siguiente manera:
- Son circuitos los cuales su función primaria deriva de la explotación de la
proporcionalidad de la transconductancia con una variable eléctrica en
cierto dispositivo electrónico, y
- Circuitos los cuales tienen un arreglo de dispositivos en un lazo de
voltajes controladores, y entradas y salidas en forma de corriente.
De esta manera se generan transformaciones algebraicas exactas e
insensibles a temperatura.
Cuando la variable eléctrica es una corriente, los dispositivos pueden ser
transistores bipolares y estos circuitos se conocen como bipolar translineal
(BTL). De la misma forma, cuando la variable eléctrica es un voltaje, los
33
dispositivos pueden ser de efecto de campo, por lo que este tipo de circuitos
se conocen como MOS translineal (MTL). En este trabajo solamente se
abarcarán los circuitos MTL.
3.1.1. Derivación del principio MTL
El principio MTL se deriva de un lazo que contiene solamente un tipo de
transistor MOS (tipo n o tipo p), como el que se muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1. Lazo translineal MOS conceptual.
En este lazo los voltajes de compuerta a fuente (Vgs) de los transistores están
conectados en serie, considerando como requerimiento esencial que se debe
tener el mismo número de transistores tanto en sentido de las manecillas del
reloj como en sentido contrario. Por lo que resulta que el lazo debe contener
un número par de dispositivos. Las fuentes de corriente mostradas en la
figura 3.1 pueden ser de polarización o de señal. Los terminales de drenaje
están conectados de tal forma que todos los transistores están en saturación,
además pueden estar conectados a nodos dentro del mismo lazo o a otras
partes del circuito. Analizando el lazo con la ley de voltajes de Kirchhoff, se
obtiene la siguiente expresión:
34
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
∑ ∑=CW CCW
gsgs VV
donde la sumatoria CW se refiere a los transistores que están en sentido de
las manecillas del reloj, y CCW se refiere a los transistores que están en
contra sentido de las manecillas del reloj. Ahora con la ecuación cuadrática
del modelo de la corriente de drenaje para un transistor en saturación:
2)( thgsd VVkI −=
donde
L
WCk oxµ
2
1=
se obtiene la expresión para Vgs, la cual se muestra en la ecuación (3.4).
k
IVV d
thgs +=
Sustituyendo (3.4) en (3.1) se obtiene entonces la expresión (3.5):
∑ ∑
+=
+
CW CCW
dth
dth k
IV
k
IV
Debido a que se tiene el mismo número de transistores tanto en un sentido
como en el otro, el número de términos de voltaje de umbral Vth es el mismo
en ambos lados de la ecuación. Asumiendo que existe un buen acoplamiento
en dichos voltajes y despreciando el efecto de cuerpo, los voltajes Vth se
pueden eliminar. De la misma forma los parámetros µ y Cox son comunes y
se pueden eliminar. Reduciendo la expresión resulta en:
35
(3.7)
(3.6)
∑∑ =CCW
d
CW
d
LWI
LWI
con la relación W/L independiente de temperatura y variaciones de proceso.
La relación (3.6) es un enunciado del principio translineal MTL. De hecho un
espejo de corriente MOS es el lazo translineal más simple que se puede
realizar. A continuación se realiza el análisis para un lazo de cuatro
transistores, como el que se muestra en la figura 3.2.
Figura 3.2. Un lazo MOS translineal consistente en cuatro transistores.
La ecuación del lazo para el circuito de la figura 3.2 se puede escribir como
sigue:
4321 IIII +=+
Con esta ecuación, se pueden realizar diferentes funciones dependiendo de
la elección de las corrientes. Tres de las cuatro corrientes se pueden elegir
independientemente y forzarlas dentro de la red translineal, por lo que la
cuarta corriente se define entonces por la ecuación. Sin embargo, en lugar
de forzar una sola corriente es posible forzar la suma o la diferencia de dos
corrientes en el lazo.
36
(3.8)
Dependiendo de la consideración de si la corriente de salida es una sola
corriente o la combinación de dos corrientes de drenaje, se pueden tener las
siguientes situaciones.
a) La corriente de salida es una sola corriente.
b) La corriente de salida es la suma de corrientes de dos transistores
conectados en la misma dirección del lazo.
c) La corriente de salida es la diferencia de corrientes de dos transistores
conectados en la misma dirección del lazo.
d) La corriente de salida es la suma de corrientes de dos transistores
conectados en direcciones opuestas del lazo.
e) La corriente de salida es la diferencia de corrientes de dos transistores
conectados en direcciones opuestas del lazo.
Para el propósito de esta tesis, se utiliza el caso b) para generar la función
logística.
3.2. Generación de la función Logística
Considerando que en el lazo translineal de la figura 3.2 se toma como
corriente de salida a la suma de corrientes de los transistores que están en la
misma dirección del lazo, resulta que 43 III o += y de la ecuación (3.7) se
obtiene entonces:
2221inoino IIII
II−
++
=+
37
(3.9)
(3.10)
(3.13)
(3.12)
(3.11)
donde inI representa a la corriente de entrada, la cual es la diferencia 43 II − .
Por lo tanto de la ecuación (3.8) puede obtener Io de la forma:
( ) ( )2
21
22
21
22
1
II
IIII in
o
+++=
Dicha expresión sólo es válida si todas las corrientes son mayores a 0. Para
simplificar la ecuación, se considera que bIII == 21 donde bI es una
corriente de polarización, finalmente se obtiene la expresión (3.10):
b
inbo I
III
82
2
+=
Reescalando la ecuación de la función Logística, la cual se reescribe en la
expresión (3.11), a un valor maxnx se obtiene la expresión (3.12):
( ) ( )nnnn xxxxf −== + 11 µ
( )nnn
nn xx
x
xx −=+ max
max1 µ
Para forzar la relación de la ecuación (3.10) con la ecuación (3.12), en primer
lugar se agrega una fuente de corriente de valor 4 bI a la salida del circuito.
De esta manera la relación se convierte en:
b
inbob I
IIII
824
2
+=−
38
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
b
inbo I
III
82
2
−=
Finalmente se aplica un offset negativo a la entrada del circuito, con valor de
4 bI y se obtienen las siguientes expresiones:
( )b
binbo I
IIII
8
42
2−−=
b
b
b
bin
b
inbo I
I
I
II
I
III
8
16
8
8
82
22
−+−=
( )inbinb
o IIII
I −= 88
1
Se puede notar que la expresión (3.17) es similar a la expresión (3.12),
considerando al valor máximo maxnx con valor de 8 bI , nx se representa como
inI y el parámetro de control µ tiene valor de 1. El circuito resultante que
genera la ecuación (3.17) se muestra en la figura 3.3.
39
Figura 3.3. Circuito translineal que genera una función cuadrática.
En este circuito se tiene una polarización de VVdd 65.1= , VVss 65.1−= ,
tomando una frecuencia de reloj de 1 MHz y una AI b µ50= . Con este circuito
se puede realizar entonces el oscilador caótico, el cual se presenta en la
siguiente sección.
3.3. Diseño del oscilador Logístico
Para generar electrónicamente las iteraciones de un mapa unidimensional es
necesario introducir un bloque que retrase la señal antes de retroalimentarla
a la entrada. De esta manera, para generar la secuencia aleatoria a partir de
un mapa unidimensional se requiere de un bloque funcional que genere la
función del mapeo, un bloque con ganancia µ el cual es el parámetro de
control, y un bloque de retraso que será retroalimentado a la entrada de la
función cuadrática como se muestra en la figura 3.4 [7].
40
Figura 3.4. Diagrama a bloques del oscilador.
El diagrama de la figura 3.4 se puede utilizar para generar oscilaciones
caóticas mediante cualquier mapeo unidimensional [7]. Para este trabajo de
tesis, el diagrama utilizado para generar la señal caótica se muestra en la
figura 3.5. En este diagrama se muestra el uso de un multiplicador a la salida
del bloque funcional, el cual representa al bloque con ganancia µ. El objetivo
de este multiplicador es el de establecer al parámetro de control µ como una
corriente.
Figura 3.5. Diagrama a bloques del oscilador Logístico con multiplicador.
El parámetro de control µ varía entre 0 y 4, por lo que la corriente Iµ también
debe varíar entre estos valores. Esto es, para que el parámetro de control µ
sea 1, la corriente Iµ será de 100 µA. De esta manera cuando se desee que
el valor de µ sea 4, entonces el valor de Iµ será 400 µA. Finalmente, para el
41
bloque de retraso se utiliza un circuito de muestreo y retención, el cual se
muestra en la figura 3.6. Este circuito proporciona un retraso discreto a la
señal, mediante el uso de dos espejos de corriente y dos switches.
Figura 3.6. Circuito de muestreo y retención.
El funcionamiento del circuito es como sigue: cuando la señal de reloj clk
esta en 1 lógico, los transistores Msw1 y Msw2 se encienden y el capacitor
C1 almacena el valor actual de inI . Mientras tanto, los transistores Msw3 y
Msw4 están apagados y la corriente Io es igual al valor anterior de inI
guardado en el capacitor C2. Cuando la señal de reloj cambia de estado a 0
lógico, los transistores Msw3 y Msw4 se encienden y el valor de oI se
actualiza en el capacitor C2, mientras que el valor de oI es recalculado [21].
Teniendo el parámetro de control µ como una corriente, se puede variar para
determinar en que región se desea que opere, a partir de su diagrama de
bifurcación. El circuito se implementó en tecnología de 0.35 µm de AMS, y se
realizaron las simulaciones en Hspice. El circuito completo para el oscilador
Logístico se muestra en la figura 3.7.
42
Figura 3.7. Circuito completo del oscilador Logístico.
Los resultados obtenidos de las simulaciones en Hspice del circuito Logístico
se muestran en el capítulo 5. En el siguiente capítulo se trata el diseño del
circuito oscilador basado en el mapeo de Bernoulli.
43
Capítulo 4
Diseño del oscilador de Bernoulli
En este capítulo se presenta el diseño del oscilador basado en el mapeo de
Bernoulli. Este mapeo es conocido como mapeo PWL (Piece Wise Linear) y
muestra una discontinuidad en su función. Para la generación de la función
del mapeo se utilizan espejos de corriente, tomando como consideraciones
de diseño las herramientas de la mecánica estadística tratadas en el capítulo
2 para asegurar la oscilación caótica.
4.1. Funciones Piece Wise Linear
El procesamiento analógico no lineal de señales es generalmente más rápido
que el procesamiento digital, aunque tiene la desventaja de una limitada
precisión. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es más
importante que la precisión, el procesamiento analógico es una excelente
44
opción [22]. El concepto de la aproximación lineal por partes (piece wise
linear) de sistemas no lineales tiene ya varios años en desarrollo [23].
En [24] se propuso el uso de espejos de corriente MOS para obtener un
comportamiento parecido al del diodo. Las pendientes de las aproximaciones
piecewise se controlan mediante la relación W/L de los transistores en los
espejos de corriente. Se pueden obtener funciones con un solo punto de
quiebre o funciones con dos puntos de quiebre, como se trata a continuación.
4.1.1. Espejos de corriente con un punto de quiebre .
Un espejo de corriente simple opera como un diodo, debido a que la
corriente de salida solo fluye para una entrada positiva de corriente. Si este
espejo se combina con una fuente de corriente constante, entonces el punto
de quiebre de la corriente de entrada puede ser determinado. Es decir, con
esta combinación se obtiene una característica de transferencia piecewise
con un punto de quiebre y se puede utilizar para sintetizar funciones
nolineales arbitrarias. Las pendientes de las curvas se controlan mediante la
relación de los anchos de los transistores W en el espejo de corriente como
se muestra en la figura 4.1. En 4.1a) se muestra un espejo de corriente con
transistores NMOS y en 4.1b) su curva de transferencia, donde se observa el
punto de quiebre, determinado por las fuentes de corriente constantes.
45
Figura 4.1. a)Espejo de corriente NMOS con un punto de quiebre y b) su curva de
transferencia.
Figura 4.2. a)Espejo de corriente PMOS con un punto de quiebre y b) su curva de
transferencia.
De la misma manera, en la figura 4.2 se muestra un espejo de corriente
realizado con transistores PMOS y su curva de transferencia, en donde el
punto de quiebre depende de las fuentes de corriente constantes. Ambos
espejos se pueden combinar, conectando varios circuitos hacia un mismo
punto de salida y generar cualquier función piecewise linear.
46
Estos circuitos tienen una desventaja significativa. La corriente de salida es
el resultado de sumas y restas de corrientes de diferentes etapas. Debido a
que estos espejos no son ideales, las pequeñas diferencias en las
características de transferencia de cada espejo individual causan
eventualmente un error mayor para corrientes de entrada grandes. Esta
desventaja puede ser corregida mediante el uso de dos espejos de corriente
MOS.
4.1.2. Espejos de corriente con dos puntos de quieb re
En la figura 4.3a) se muestra un circuito mejorado que genera una función no
lineal. Este circuito está compuesto de dos espejos de corriente NMOS
conectados en cascada. La característica de transferencia resultante de este
circuito tiene dos puntos de quiebre, como se puede observar en la figura
4.3b). Para corrientes de entrada pequeñas, la corriente de salida es
constante e igual a αI2, donde α es la razón W4/W3. Por otra parte, para
corrientes grandes de entrada la corriente de salida será cero.
Figura 4.3. a)Espejo de corriente NMOS con dos puntos de quiebre y b) su curva de
transferencia.
47
Figura 4.4. a)Espejo de corriente PMOS con dos puntos de quiebre y b) su curva de
transferencia.
El mismo concepto con transistores PMOS se observa en la figura 4.4a), con
su correspondiente curva de transferencia en 4.4b). Para valores pequeños
de corriente de entrada el valor se mantiene en cero, a partir de 21 II − el
valor de la corriente incrementa linealmente hasta llegar al valor αI2 donde
permanece constante. Combinando los circuitos de la figura 4.3 y 4.4 se
puede obtener cualquier función Piecewise Linear que se desee con una
disminución de error en la salida en comparación a los circuitos con un solo
quiebre. Mediante el uso de estos circuitos se genera la función de Bernoulli,
como se tratará en la siguiente sección.
4.2. Generación de la función de Bernoulli
La función generalizada del mapeo de Bernoulli, el cual se trató en el capítulo
2, se reescribe a continuación:
)1(2
1)(2),(
2
1 µθµµ −+
−= xxxB
(4.1)
48
donde µ toma valores en el intervalo (0,1) y )(xtθ es una función escalón
expresada de la siguiente forma:
≥<
=tx
txxt ,1
,0)(θ
La función de Bernoulli es un mapeo unidimensional en dos trazos, el cual se
muestra en la figura 4.5.
Figura 4.5. Mapeo de Bernoulli.
El mapeo en dos trazos se genera electrónicamente mediante un circuito que
genere una función PWL, a partir de la ecuación (4.1). La primera parte
genera una señal de rampa con una pendiente de 2x y la segunda parte
genera una función escalón )(xtθ , de esta manera obtenemos la primer parte
de la expresión (4.1), es decir )(22
1 xx θ− . Para la señal de rampa se utiliza el
circuito de la figura 4.4a) con un valor de α igual a 2, en otras palabras, un
valor de W4/W3 igual a 2. Para generar la función escalón se utiliza el circuito
(4.2)
49
que se muestra en la figura 4.6a), mientras que en la figura 4.6b) se presenta
la característica de transferencia del circuito.
Figura 4.6. a) Circuito generador de la señal escalón y b) curva de transferencia
El circuito completo para la generación de la función de Bernoulli se presenta
en la figura 4.7, mostrando la señal que se desea obtener a la salida del
circuito. Como se puede observar de la figura 4.5, el parámetro de control
µ afecta a la función en la parte superior en un valor de )1(5.0 µ+ y en la
parte inferior en un valor de )1(5.0 µ− .
50
Figura 4.7. a) Circuito generador de la función de Bernoulli y b) curva de
transferencia
4.3. Diseño del oscilador de Bernoulli
Como ya se trató en el capítulo 3, para generar cualquier mapeo
unidimensional electrónicamente es necesario tener un bloque que genere la
función del mapeo, un bloque con ganancia µ que es el parámetro de control
y finalmente un bloque que retrase la señal. A partir de estos bloques, para
este oscilador en partícular se utilizó el diagrama que se muestra en la figura
4.8.
Se puede observar de la figura 4.8 el diagrama a bloques específico para la
generación de la función del mapeo expresada en la ecuación (4.1). El
parámetro de control µ se establece como una corriente, los puntos de suma
son simplemente nodos en el circuito dada su operación en modo de
51
corriente. El bloque con ganancia de ½ es un espejo de corriente el cual
tiene esta misma ganancia.
Figura 4.8. Diagrama a bloques del oscilador de Bernoulli.
Con el circuito de la figura 4.7a) obtenemos el primer bloque del diagrama de
la figura 4.8, el cual genera la expresión )(22
1 xx θ− .
Después, esta función será multiplicada por la corriente Iµ, para luego ser
sumada con la expresión )1(2
1 µ− y finalmente pasa al bloque de retardo de
señal el cual se retroalimenta a la entrada. La expresión )1(2
1 µ− se realiza
mediante un espejo de corriente, donde se resta la corriente Iµ con una
corriente IUNO de valor 100 µA y con una ganancia en el espejo de ½.
Para el bloque de retardo se utiliza el mismo concepto que el utilizado con el
oscilador Logístico, se utiliza un circuito de muestreo y retención el cual se
presenta en la figura 4.9. En este circuito se utilizan tres espejos de corriente
y dos switches, mediante los cuales se hace el almacenamiento de valor de
52
la entrada hacia la salida durante un ciclo de reloj. El circuito completo del
oscilador se muestra en la figura 4.10.
Figura 4.9. Circuito de muestreo y retención.
Figura 4.10. Circuito completo del oscilador de Bernoulli.
53
De esta manera se genera la señal caótica a partir del mapeo de la función
de Bernoulli. En el siguiente capítulo se presentan las simulaciones
realizadas en Hspice de ambos circuitos y los resultados obtenidos.
54
55
Capítulo 5
Simulaciones y resultados
En el capítulo 3 y 4 se presentó el diseño del oscilador Logístico y del
oscilador de Bernoulli respectivamente. Ambos osciladores fueron
implementados en tecnología de 0.35 µm de AMS. En este capítulo se
presentan las simulaciones realizadas, en Hspice versión W-2004.09, a cada
oscilador y finalmente se discuten los resultados obtenidos.
5.1. Simulaciones del oscilador Logístico
En la figura 5.1 se presenta la simulación donde se hace el análisis en DC
del circuito con diferentes valores del parámetro de control µ.
56
Figura 5.1. Análisis en DC del oscilador logístico para diferentes valores de µ.
Se puede observar en esta simulación la variación en la amplitud de la curva
cuadrática, la cual depende del valor del parámetro de control. El valor
máximo que puede tomar esta curva es de 400 µA, ya que el valor de µ varía
entre 0 y 4. A continuación se muestran los análisis transitorios del circuito
para diferentes valores de µ.
En la figura 5.2 se muestra el comportamiento en el tiempo del oscilador
Logístico para una µ = 2.7. De acuerdo al diagrama de bifurcación, para este
valor de µ el sistema converge a dos puntos fijos, lo cual muestra el
fenómeno de bifurcación y se comprueba con la oscilación constante de la
figura 5.2. En la figura 5.3 se presenta el análisis transitorio para una µ de 3.
En este caso el sistema presenta doblamiento de periodo, donde deja de ser
de periodo 2 para volverse de periodo 4, y se comprueba con la oscilación
entre cuatro valores fijos.
57
Figura 5.2. Análisis transitorio del oscilador Logístico para µ = 2.7
Figura 5.3. Análisis transitorio del oscilador Logístico para µ = 3
A partir de la gráfica del exponente de Lyapunov para el mapeo Logístico,
mostrado en la figura 2.8 del capítulo 2 y para asegurar un comportamiento
caótico en el oscilador, se debe elegir un valor de µ que esté arriba de las
islas de estabilidad. Por esta razón, para asegurar que el oscilador esté en
caos, se elige un valor de µ = 3.9 y se obtiene el análisis transitorio de la
figura 5.4.
58
Figura 5.4. Análisis transitorio del oscilador Logístico para µ = 3.9.
Una manera de comprobar que la señal es efectivamente caótica, es
obteniendo su densidad espectral, la cual debe ser parecida a la del ruido
blanco. Este análisis se presenta en la figura 5.5. Para fines de comparación,
en la figura 5.6 se muestra la densidad espectral para un valor de µ igual a 3,
donde el sistema presenta el fenómeno de bifurcación. Esto con el objetivo
de diferenciar las densidades espectrales de una señal periódica contra una
señal caótica.
.
59
Figura 5.5. Densidad espectral para el oscilador Logístico en régimen caótico.
Figura 5.6. Densidad espectral para el oscilador Logístico en bifurcación.
Otro análisis realizado al oscilador Logístico es el análisis de Montecarlo,
esto con el fin de comprobar que el circuito se mantiene en régimen caótico
aunque existan variaciones en las dimensiones de los transistores. Para este
caso se utilizó una distribución gaussiana tomando una variación del 2% de
una micra para W y L. Se decidió mostrar cinco iteraciones del análisis de
montecarlo para facilitar la visualización en la figura 5.7.
Figura 5.7. Densidad espectral del análisis de Montecarlo.
60
Finalmente, se realiza un análisis de temperatura al circuito, para comprobar
que el circuito permanece en régimen caótico aún con variaciones en la
temperatura. En la figura 5.8 se muestra la densidad espectral del circuito
para las temperaturas 0°C, 35°C y 70°C.
Figura 5.8. Densidad espectral para variaciones de temperatura.
Con las gráficas 5.7 y 5.8 se comprueba que el circuito permanece en caos,
aún con variaciones tanto de temperatura como de dimensiones.
Además de los análisis de Montecarlo y de temperatura, se obtiene el
diagrama de bifurcación mediante el análisis transitorio realizado en Hspice,
utilizando Maple 10. Se realizan una serie de simulaciones haciendo
pequeñas variaciones a la corriente Iµ desde 100 µA hasta 400 µA, lo cual
representa una variación del parámetro de control µ de 1 a 4. El simulador
genera un archivo conteniendo los datos de los análisis transitorios, los
cuales son leidos en Maple 10 y finalmente graficados. En la figura 5.9 se
presenta el diagrama de bifurcación generado por el oscilador Logístico.
61
Figura 5.9. Diagrama de bifurcación obtenido del oscilador Logístico.
A continuación se presentan las simulaciones realizadas para el circuito de
Bernoulli.
5.2. Simulaciones del oscilador de Bernoulli
En la figura 5.10, se presenta un análisis en DC para mostrar la generación
de la gráfica en dos trazos de la función de Bernoulli.
62
Figura 5.10. Análisis en DC del oscilador de Bernoulli.
Como se mencionó en el capítulo 4, el parámetro de control está
determinado por una corriente. En la figura 5.11 se muestra el mismo análisis
en DC, para diferentes valores de µ. Se puede observar la variación de la
función de Bernoulli, donde el parámetro de control afecta tanto en la parte
superior con un valor de )1(5.0 µ+ , como en la parte inferior con un valor de
)1(5.0 µ− .
Figura 5.11. Análisis en DC del oscilador de Bernoulli para diferentes valores de µ.
63
Para este mapeo el valor del parámetro de control varía entre 0 y 1, por lo
que la corriente que determina a este valor varía entre 0 y 100 µA. A
continuación se presenta el análisis transitorio del oscilador de Bernoulli,
para diferentes valores de µ.
Figura 5.12. Análisis transitorio del oscilador de Bernoulli para µ = 0.4.
En la figura 5.12 se muestra la salida del oscilador para una µ de 0.4, donde
el sistema presenta un comportamiento periódico como se puede comprobar
en el diagrama de bifurcación de la figura 2.10 en el capítulo 2. En la figura
5.13 se presenta la salida del oscilador para una µ de 0.6, donde el sistema
es periódico con una órbita mayor y se concentra en tres regiones como se
puede observar en el diagrama de bifurcación.
64
Figura 5.13. Análisis transitorio del oscilador de Bernoulli para µ = 0.6.
Figura 5.14. Análisis transitorio del oscilador de Bernoulli para µ = 1.
El análisis transitorio del oscilador para una µ de 1 se muestra en la figura
5.14, aqui el sistema ya se encuentra en régimen caótico.
65
Figura 5.15. Densidad espectral para el oscilador de Bernoulli en régimen caótico.
Figura 5.16. Densidad espectral para el oscilador de Bernoulli en comportamiento
periódico.
Para comprobar este comportamiento caótico, al igual que en el oscilador
Logístico, se hace un análisis de la densidad espectral, el cual debe ser
parecido al del ruido blanco. En la figura 5.15 se presenta la densidad
espectral para una µ de 1, y con fines de comparación, en la figura 5.16 se
66
muestra la densidad espectral para una µ de 0.4 donde el sistema tiene un
comportamiento periódico.
Se realiza el análisis de Montecarlo al oscilador de Bernoulli para comprobar
que la variación en las dimensiones no afecte en el comportamiento del
circuito. Para esto se utiliza una distribución gaussiana con una variación del
2% de una micra para W y L. Se muestra la densidad espectral para cinco
iteraciones del análisis de Montecarlo para facilitar la visualización en la
figura 5.17.
Figura 5.17. Densidad espectral del análisis de Montecarlo.
Finalmente, se realiza el análisis de temperatura del oscilador de Bernoulli. El
análisis de temperatura se realiza para comprobar que el circuito se mantiene
en régimen caótico a pesar de las variaciones en la temperatura, las cuales
son 0°C, 35°C y 70°C. En la figura 5.18 se muestra la densidad espectral
para este análisis.
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Figura 5.18. Densidad espectral del análisis de temperatura.
Con las gráficas 5.17 y 5.18 se comprueba que el circuito permanece en
caos, aún con variaciones tanto de temperatura como de dimensiones.
Figura 5.19. Diagrama de bifurcación obtenido del oscilador de Bernoulli.
68
Al igual que en oscilador Logístico, en este circuito tambien se obtiene el
diagrama de bifurcación mediante el análisis transitorio utilizando Maple 10.
Para este caso, la variación de la corriente Iµ va desde 0 hasta 100 µA, lo
cual representa una variación en el parámetro de control µ de 0 a 1. En la
figura 5.19 se muestra el diagrama de bifurcación obtenido del oscilador de
Bernoulli.
En este capítulo se presentaron los resultados obtenidos de las simulaciones
realizadas en Hspice. En el capítulo 6 se presentan las conclusiones y el
trabajo futuro.
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Capítulo 6
Conclusiones y trabajo futuro
6.1. Conclusiones
Desde el descubrimiento del caos deterministico, el estudio de sistemas
dinámicos no lineales ha atraido la atención de los investigadores y se han
encontrado diversas aplicaciones en campos tan diversos como biología,
meteorología, etc. En el campo de los circuitos electrónicos no ha sido la
excepción, estos sistemas son muy utilizados en la generación de
secuencias pseudoaleatorias, criptografía, sistemas de comunicaciones
digitales seguras y de espectro ensanchado, marcas de agua, etc.
Los circuitos basados en mapas unidimensionales son fáciles de
implementar electrónicamente, debido a la simplicidad matemática de estos
sistemas. Mediante el análisis estadístico de las secuencias aleatorias
generadas por estos mapeos unidimensionales, se puede asegurar la
70
impredicibilidad y aleatoriedad del sistema, lo cual se puede aplicar a un
oscilador caótico.
En este trabajo se presenta el diseño de dos osciladores caóticos, uno
basado en el mapeo Logístico y otro basado en el mapeo de Bernoulli. Estos
osciladores cumplen con los requisitos necesarios de un oscilador caótico:
sensibilidad a las condiciones iniciales, la órbita generada explora todo el
espacio por el que puede moverse y tienen una densidad espectral parecida
a la del ruido blanco. Estas características son comprobadas mediante las
simulaciones realizadas en Hspice. Además la implementación de estos
osciladores resulta simple.
Mediante el exponente de Lyapunov y el diagrama de bifurcación es posible
asegurar el comportamiento caótico del oscilador. Además en los dos
osciladores presentados en este trabajo se controla electrónicamente el
parámetro de control, mediante una corriente, por lo que es posible elegir la
región de operación del oscilador. Es decir, su comportamiento puede ser
periódico o caótico, dependiendo de la elección de dicho parámetro de
control.
Mediante las simulaciones realizadas en Hspice, se comprueba que estos
circuitos son insensibles a variaciones en las dimensiones de los transistores,
con una variación del 2%. Además, mediante el análisis de temperatura, se
comprueba con diferentes valores el oscilador mantiene su comportamiento
caótico.
Finalmente con los diagramas de bifurcación obtenidos de cada oscilador,
mediante los datos generados por el simulador en el análisis transitorio se
puede observar el comportamiento dinámico característico del mapeo
Logístico y el mapeo de Bernoulli.
71
6.2. Trabajo Futuro
- Generar los diagramas de densidad de probabilidad de los valores
generados por los osciladores. Estos diagramas son una herramienta
de la mecánica estadística, con el cual se comprueba que la órbita
generada se distribuye a lo largo del rango de manera uniforme.
- Analizar la utilización de estos circuitos en aplicaciones de criptografía,
comunicaciones de espectro ensanchado, sistemas evolutivos, etc.
- Fabricar un banco de osciladores con el fin de evaluar su desempeño
en laboratorio.
72
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