diseminaciÓn de masas de alta exactitud por el metodo de ... · introducir patrones de control,...
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DISEMINACIÓN DE MASAS DE ALTA EXACTITUD POR EL METODO DE GAUSS MÁRKOV DESDE
1 mg HASTA 1 kg
Expositora: Luz Cori A.
Fecha 2012-05-17
1. MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS - MCO Y GAUS MARKOV - GM
1.1. Modelo Matemática MCO-GM En este modelo de diseminación se realiza una serie de comparaciones que a su vez
genera un número igual de ecuaciones en donde las incógnitas son los valores demasa de las pesas (a excepción de la pesa patrón involucrada), generalmente estosmodelos se usan por décadas de 1 kg a 100 g, de 100 g a 10 g , … ó de 1 kg a 10 kg
• La solución de estos sistemas de ecuaciones implica un mayor número de medicionesy el uso de matemáticas más complejas que para la calibración de pesas porcomparación una a una, sin embargo, debido a la necesidad de generar la escala demasa a partir de 1 kg y a la posibilidad de obtener resultados muy confiables alintroducir patrones de control, estos métodos son recomendados para la calibraciónde pesas clase OIML E1
1.2. Mínimos cuadrados Ordinarios - MCO
En este método, se analizaran los principales supuestos del estimador de mínimoscuadrados ordinarios paso a paso donde se demuestra cada supuesto de: linealidad,esperanza nula, insesgadez, ausencia de autocorrelación, matriz de varianza ycovarianza, en presencia de una matriz de varianza y covarianza de los errores, parallegar al menor estimado.
Para este método consideramos el modelo lineal general, (1)
donde es el error, es el mejor estimado del modelo lineal y X es la matriz de diseño, y la matriz columna “ Y “ se obtiene de la siguiente ecuación
donde: es la diferencia del patrón y la muestra de un ciclo de mediciones
es la densidad del aire por la suma de volúmenes de la pesas del patrón y la muestra
XY
iaiii VxVpmy
im
iai VxVp
Supuestos del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios
S1-Linealidad:El modelo sigue siendo lineal en el vector de parámetros y lavariable dependiente Y es una función lineal de , tal como se observa en lasiguiente ecuación:
(2)
Para comprobar que los parámetros estimados son una combinación lineal de lasperturbaciones aleatorias del modelo basta con sustituir Y por su expresióncompleta (ecuación 2)Entonces tenemos:
(3)
βXXXXYXXX
βXXYX
T1TT1T
TT
YXXXβ T1T
T1TT1T
T1T
T1T
XXXXXXXβ
XXXXβ
YXXXβ
)( T1T XXXβ
XY
β
β
S2-Esperanza nulaotro supuesto de MCO indica que es el error del ajuste, cuya esperanzamatemáticamente es cero.
S3-InsesgadezEn primer lugar, contar con un estimador insesgado nos asegura que el valor esperado de nuestro cálculo coincide con el valor real del parámetro. Este requisito es fundamental a la hora de realizar una estimación. Partiendo de la ec. (3)
(4)
Entonces se cumple la insesgades tal como se muestra en la ecuación (4)
0)( E
0)(
)()(
)(
EEXXXEβE
XXXEβE
XXXβ
T1T
T1T
T1T
)(βE
S4-Ausencia de autocorrelación
Este supuesto indica que la variable y las perturbaciones no están correlacionadas es decir no existe autocorrelación entre los errores; por lo tanto la covarianza (Cov) de los errores es igual a cero, = 0 , lo cual implica que no existe autocorrelación en la variable dependiente, es decir, Cov (Yi , Yj ) = 0.
(5)
S5-Matriz de varianza covarianza
Llevándolo a su forma matricial : (6) donde fi es un valor arbitrario.
)(0)()(),cov( tEE tt
),...,2,1()()(
)()(2
2
ntEVarEEVar
tt
ttt
)( TE
)()]()[(])[(
))()(())())(((),cov(
ttt
tttt
EEEEEEEEE
Varianza del estimador :Para obtener la mínima varianza de MCO se obtiene la varianza del estimador
usando la ecuación (4) tenemos
Usando la ecuación (3) tenemos
de la ecuación (6) se tiene fi:
El método de MCO no es el mejor estimado de la mínima varianza por el valor arbitrarioque proporciona este método. Por esta razón se dice que MCO no es eficiente.
T ))βE(-β))(βE(-β(E )βvar(
T )-β)(-β(E )βvar(
T1T XXXβ
XXXEXXX)βvar(
XXXXXXE )βvar(1TTT1T
TT1TT1T
)(
1TT
I
T1T XXEXXXX)βvar(
)(
1TMCO
1T XX)βvar(XX)βvar(
Se puede obtener la mínima varianza de
solo si : donde :
Siendo una matriz simétrica, definida positiva.
y es homocedastica y no correlativa, entonces, se tendría:
Como se menciono anteriormente aquí no se ha demostrado que sea homocedastica, en GM se demostrara este supuesto.
I2
)βvar(
1T XX)βvar(
2
I
pnXYXYI
Tiiii .))((2
1.1. Metodo de Gauss Markov GM El Metodo de Gauss Markov afirma que la estimación por mínimos cuadradosgeneralizados del modelo teórico de regresión es óptima en el sentido de que hacemínimo el módulo del vector de residuos (mínima varianza).
S6-Supuesto de HomocedasticidadSe dice que existe homocedasticidad cuando la varianza de los errores de la regresiónes la misma para cada observación i (de 1 a n observaciones), es decir:
donde es un escalar constante para todo i. Lo que significaría que habría unadistribución de probabilidad de idéntica amplitud para cada variable aleatoria.Esta cualidad es necesaria, según el teorema de Gauss Márkov, para que en unmodelo los coeficientes estimados sean los mejores o eficientes, lineales einsesgados.Entonces la varianza de es la misma para todas las observaciones
En el modelo la matriz de varianzas de los errores es de la forma(7)
niE i ,1)( 22 2
),...,2,1()()(
)()(22
2
ntEVarEEVar
tt
ttt
IE T 2)(
Entonces homocedasticidad significa igual dispersión, en otras palabras significaque las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la mismavarianza .
Transformando el modelo inicial de una forma conveniente de modoque se cumplan todos los supuestos de Gauss Markov (supuesto dehomocedasticidad)
Definimos la matriz como simétrica y positiva.
Ahora esta matriz debe ser igual a una matriz Q que es simétrica y no singular.Entonces definimos la matriz con las siguientes propiedades:
(8)Se considera la siguiente transformación del modelo lineal general multiplicando por
XY
2
1Q
***111 XYQXQYQXY
1*1*1* QXQXYQY
Ahora nos queda verificar que el modelo transformado de esta forma cumpla con todos los supuestos del teorema de Gauss Markov
Linealidad: el modelo sigue siendo lineal dado que es función lineal de
Esperanza nula:
Para cumplir con el supuesto de homocedasticidad recurrimos a la ecuación (7) donde:
El estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG) se define como el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de en el modelo transformado:
(9)
0)()()(
0
11* EQQEE
IQQQQQEQQQEE
II
TTT
111111*** )())(()(
NOTA: Como Q es una matriz simétrica se cumple que TQQ
*Y β
YQQXXQQXβ
YQXQXQXQβ
YXXXβ
TTMCG
TTMCG
T*1
*T*MCG
11
11
1
11
11111
*
)()()()(
YXXXβ TTMCG
111
El estimado se puede escribir también como:
Ahora calculamos la varianza del estimado de mínimos cuadrados generalizados
(10)
Para el cálculo de recurrimos a la ecuación por insesgades del modelo lineal se tiene:Ahora remplazamos la ecuación anterior de insesgades en la ecuación (10)
(11)
MCGβ
)(111
XXXXβ TTMCG
111
TTMCG XXXβ
T
MCG ))βE(-β))(βE(-β(EβVar )(
MCGβ
)βE( MCG
)( MCGβVar
T
MCG )-β)(-β(EβVar )(
111111
111111
111111
)(
)()(
)(
XXXXXXβVar
XXXEXXXβVar
XXXXXXEβVar
T
II
TTMCG
TTTTMCG
TTTTT
MCG
11)(
XXβVar TMCG
2. CALCULO DE LA COMPONENTE Y
CALCULO DE LA COMPONENTE Y
. La incertidumbre por indicación de la balanza debida a la resolución y desviación de la balanza
Incertidumbre por el factor de sensibilidad de la balanza ( )Para balanzas electrónicas se asume que su incertidumbre es despreciable u( )= 0
La incertidumbre combinada de la pesa patrón.
iaiPiPPs VXmfIy .).(.
desviaciónresoluciónA IIIuduI )()(
cPcPcertcP mumumu 22
sf sf
Incertidumbre por la Densidad del aire:La incertidumbre debido a la corrección por empuje del aire será calculada de la siguiente forma
La incertidumbre del volumen de la masa patrón y la masa a calibrar
Para calcular la incertidumbre de y derivamos cada una de sus componentes, tal como se muestra a continuación
4
2
4
22
2
2ˆP
Poaloaoa
i
ioaa
iP
iiPcP
nP
niiE
uuum
mm
u
))()(()( 222 VuVuVu
i
Y
aiPi
Y
PPY
s VXmfIy
321
..)(.
.
)(.)()(.
)(.)(.
)()(
)()(
)(
22222
2222
22
22
1
ss
ss
ss
ss2
fuIrepturesluf
fuIIuf
fuffIIu
IfIYu
))()((
)()(
)()(
)()(
)(
222
2222
22
22
2
PPP
PPPP
PP
PPP
P
PP2
umuX
uXmuX
uXmum
XmYu
))()(()(.
)(.)(.
)()(
)()(
)(
22222
2222
22
22
3
VuVuuV
VuuV
VuVVuVYu
aa
aa
aa
a
a2
es el error del ajuste, cuya esperanza matemáticamente es cero y varianza 2 entonces : 2
222222
22222222
))()(()(.
)()()(.)()(.)(
VuVuuV
XumufuIreptureslufyu
aa
PPPss
)( yu 11)(
XXβVar TMCG
pnXYXY T
iiii
))((2
3. APLICACIÓN DEL METODO DE GM EN LA CALIBRACION DE PESAS E1
Comparadora de masas requerida para hacer una décadade pesas de alta exactitud E1
METTLER TOLEDOAX 106
Resolución de 0,001 ug
Capacidad máxima 111 g
Como hacer una década
Ejemplo con el método de GM
De 100 g a 10 gMATRIZ yi =comparaciones de patron (-1) con la muestra (1)
100 g E0 100 g E1 50 g E1 20 g E1 20 g (.) E1 10 g E1 10 g (pv) E0y1 -1 1 0 0 0 0 0y2 -1 0 1 1 1 1 0y3 -1 0 1 1 1 0 1y4 0 -1 1 1 1 1 0y5 0 -1 1 1 1 0 1y6 0 0 -1 1 1 1 0y7 0 0 -1 1 1 0 1y8 0 0 0 1 -1 1 -1y9 0 0 0 1 -1 -1 1y10 0 0 0 0 -1 1 1y11 0 0 0 -1 0 1 1y12 0 0 0 -1 1 0 0y13 0 0 0 0 0 -1 1
Datos de para la calibración de pesas
CALIBRACIÒN DE PESAS POR EL METODO DE GM - DISEMINACIÓN DE PESAS
Valor nominal valor de masa Incertidumbre estándar Volumen Incertidumbre
volumeng mg mg cm3 cm3
E0 100 g -0,0778 0,0072 12,438 0,0040E1 100 g 12,4898 0,004E1 50 g 6,2467 0,0020E1 20 g 2,498 0,0016E1 20 g (.) 2,4984 0,0016E1 10 g 1,2491 0,0012E0 10 g (pv) -0,0066 0,004 1,2445 0,0015
Calibración de pesas por el método de GM de una década
decadas densidad del aire incertidumbre densidad del aire Y
(g) (mg) mg/cm3 mg/cm3 cm3 (mg)y1 100 -0,009 1,16768138 0,00096811 0,05180 0,051y2 100 -0,010 1,16805527 0,00096842 0,05420 0,054y3 100 -0,021 1,16825329 0,00096859 0,04960 0,037y4 100 -0,002 1,16778308 0,00096820 0,00240 0,001y5 100 -0,016 1,16686444 0,00096744 -0,00220 -0,019y6 50 0,023 1,16559560 0,00096638 -0,00120 0,022y7 50 0,012 1,16447456 0,00096545 -0,00580 0,005y8 30 0,0007 1,16247540 0,00096380 0,00420 0,006y9 30 -0,025 1,16291314 0,00096416 -0,00500 -0,031
y10 20 0,010 1,16056822 0,00096222 -0,00480 0,004y11 20 0,021 1,16062615 0,00096226 -0,00440 0,016y12 20 0,014 1,16126413 0,00096279 0,00040 0,014y13 10 -0,014 1,16170532 0,00096316 -0,00460 -0,019
-0,0778 mg -0,0778
m VV
VpVxamy
Calibración de pesas por el método de GM de una década
Resultados
MASA (g) CORRECCION( mg ) k=1 k=2
100 g E0 -0,078 0,0036 0,007100 g E1 -0,023 0,0066 0,01350 g E1 -0,023 0,0039 0,00820 g E1 -0,012 0,0023 0,005
20 g (.) E1 0,001 0,0023 0,00510 g E1 0,011 0,0017 0,00310 g E0 -0,007
INCERTIDUMBRE (mg)
11)(
XXβVar TMCG YXXXβ TT
MCG111
GRACIAS POR SU ATENCION