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Disco apoyado en dos varillas en forma
de V
De Laplace
Contenido
1 Enunciado
2 Solucin
2.1 Diagramas de slido libre
2.2 Reacciones vinculares en y
2.3 Ecuacin de equilibrio para
2.4 Resolucin alternativa
1 Enunciado
En el esquema de la figura la barras AB y AC, ambas delongitud a, estn articuladas sin rozamiento en A y con susextremos B y C en un eje horizontal sobre el que puedendeslizar sin rozamiento. El peso de estas barras esdespreciable en comparacin con el peso P de un discohomogneo de radio R que se apoya sin rozamiento sobre lasbarras, mantenindose todo el sistema en un plano vertical(ver figura). Se pide:
Desvincular el sistema de slidos y representar los correspondientes
"diagramas de slido libre".
1.
Las reacciones vinculares en B y C para la posicin de equilibrio.2.La ecuacin que determina la posicin de equilibrio. Que relacin debe existir
entre el radio del disco y la longitud de las barras para que el sistema est en
equilibrio en la posicin correspondiente a eq = / 4?
3.
2 Solucin
2.1 Diagramas de slido libre
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La figura muestra las fuerzas que actan sobrecada uno de los slidos del problema. Como todoslos contactos son lisos las fuerzas de reaccin sonperpendiculares a las superficies de contacto.Hemos aadido una fuerza sobre el slido "2"
que representa el soporte que sostiene a todo elconjunto. Del principio de accin y reaccin sededucen las siguientes igualdades entre las fuerzasde reaccin vincular
Sealemos que no sabemos a priori las direcciones de las fuerzas y , pues no
se puede definir una normal en la articulacin. Sin embargo, el sistema tienesimetra especular respecto a la lnea de puntos indicada. Entonces las fuerzasdeben tener esa misma simetra. La nica manera de que esto se cumpla es que
y sean horizontales.
2.2 Reacciones vinculares en y
La ligadura en B y en C prohbe los desplazamientos verticales.Las fuerzas de reaccin vincular son por tanto verticales, pues alno haber rozamiento no hay componente horizontal. Por lasimetra del problema, estas dos fuerzas deben ser iguales, esdecir
Para encontrar cuanto valen vamos a considerar el slido conjunto "0+2+3". Lasfuerzas externas sobre este slido son el peso aplicado en el disco y las dos fuerzasde reaccin vincular buscadas, como se indica en la figura. La resultante de estastres fuerzas debe ser nula. Aplicando que tenemos
Finalmente tenemos
2.3 Ecuacin de equilibrio para
Aplicamos la condicin de que el momento resultante de las fuerzas que actan
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sobre el slido "3" respecto de cualquier punto debe ser nulo.Escogemos el punto "A" para calcular el momento, pues de estemodo nos quitamos de en medio . La fuerza est aplicada
en el punto C y la fuerza se aplica en el punto D, el punto decontacto entre el disco y la barra. La distancia entre este puntoy la articulacin A depende del ngulo . De la figura vemos que
El momento resultante respecto al punto A del sistema de fuerzas actuando sobrela barra es
De la figura vemos que ambos momentos son perpendiculares al plano y de sentidosopuestos. As pues, para que el momento total sea nulo los mdulos debes seriguales.
En el primer apartado vimos que . Tenemos que
determinar . Para ello aplicamos que la suma de fuerzas sobre
el slido "2" debe ser cero. Por simetra . Por tanto,
para que se anule la componente vertical debe ocurrir que
Introduciendo esto en la expresin anterior llegamos a
La condicin para el valor de equilibrio del ngulo es
En el caso = / 4 se obtiene la relacin
R = L / 2
2.4 Resolucin alternativa
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Este valor de equilibrio puede calcularse a partir del teorema delas tres fuerzas. Como hemos dicho en el primer apartado, porrazones de simetra la fuerza es horizontal. Las rectas
soporte de las tres fuerzas que actan sobre el slido "3" debencruzarse en un punto. Observando el dibujo adjunto vemos que
Podemos observar que reobtenemos el valor de equilibrio de .
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