diplomado en ing. mecánica
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Diplomado en Ing. Mecánica
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Función polinomial
La función:
se conoce como función polinomial de n–simo
grado.
También se hará referencia a P(x) como un
polinomio de grado n
Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman
coeficientes del polinomio y pueden ser reales o
complejos.
Definición
01
1
1 ...)( axaxaxaxP n
n
n
n
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Las soluciones de la ecuación las llamamos
raíces de la función P. Si los coeficientes de
la función son reales y la raíz también,
tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica
de la función.
El dominio de la función puede ser el conjunto
de los números reales o el conjunto de los
números complejos.
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Los métodos numéricos son técnicas
mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma
que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas.
Importancia de los Métodos
Numéricos
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Una definición de análisis numérico
podría ser el estudio de los errores en
los cálculos;
error aquí no quiere decir, equivocación
u omisión, sino más bien una
discrepancia entre el valor exacto y el
calculado, que es consecuencia de la
manera con que se manejan los
números o fórmulas.
Análisis Numérico
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– Cálculo de derivadas
– Integrales
– Ecuaciones diferenciales
– Operaciones con matrices
– Interpolaciones
– Ajuste de curvas
– Polinomios
– Los métodos numéricos se aplican en áreas
como:
– Ingeniería Industrial, Ingeniería Química,
Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,
Ingeniería eléctrica, etc...
Los métodos numéricos pueden ser aplicados
para resolver procedimientos matemáticos en:
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Teorema del Residuo:
El residuo de la división del
polinomio P(x) entre el binomio x
- c es P(c).
Es decir el residuo se obtiene
sustituyendo el valor de “c” en
el polinomio.
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Ejemplo: Determine el residuo de la división de
P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x - 2.
De acuerdo con el teorema del residuo:
R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 =
3
Comprobando por división sintética:
2| 1 -3 1 5
2 -2 -2
------------------
1 -1 -1 | 3 Residuo
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Teorema del Factor:
Si el residuo de la división del polinomio
P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces
x – c es un factor de P(x).
Se busca el residuo, empleando el
teorema del residuo o la división
sintética, si su valor es 0, entonces el
binomio x – c es un factor de P(x).
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Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + 3x + 4
Buscamos el residuo:
Por el teorema del residuo:
R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = -2 + 1 - 3 + 4
= 0 x + 1 es factor.
Por división sintética:
-1| 2 1 3 4
-2 1 -4
--------------------
2 -1 4 |0 Residuo x + 1 es factor
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Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes
enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2.
Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1,
x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación.
Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la
ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0
resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0
x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0
x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida.
Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.
Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.
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Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es
una raíz o solución.
Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 entre x + 1
-1 | 1 - 4 1 6 Escribimos:
- 1 5 - 6 x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 )
1 - 5 6 | 0 | = 0
( Dividendo = divisor x cociente + residuo )
entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya
sea factorizando o por la fórmula cuadrática.
En este caso factorizamos:
( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3.
Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }
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Ejemplo:
15624 234 xxxx 5x
4 2 –6 –5 1
4
20
22
110
104
520
515
2575
2576
5
2576551510422415624 23234 xxxxxxxx
Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir :