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Dinámica Dinámica
V. Movimiento oscilatorioV. Movimiento oscilatorio
Movimiento Armónico Simple Movimiento Armónico Simple ( MAS)( MAS)
Estiramiento de un muelle y ley de Estiramiento de un muelle y ley de HookeHooke
2
2
dtxdmkx =−
II Ley de Newton
amF rr=∑
mkwxw
dtxd
==+ 222
2
,0
)cos()( δ+= wtAtx
Amplitud frecuencia
Solución
Movimiento Armónico Simple Movimiento Armónico Simple ( MAS)( MAS)
Solución oscilanteSolución oscilante
FrecuenciaFrecuenciaw=w= [[radrad/s], /s], w=w= 22ππ f, f, f=[Hzf=[Hz]]
PeriodoPeriodoT=2T=2ππ/w/wDesfase Desfase δδ
)cos()( δ+= wtAtx
Periodo ¼ s
Amplitud 4cm
Desfase π/2
Datos obtenidos de condiciones iniciales
Aproximación parabólica del Aproximación parabólica del potencialpotencial
Desarrollo en serie de Taylor de la función Desarrollo en serie de Taylor de la función energía potencial ( sistema de dos cuerpos) en energía potencial ( sistema de dos cuerpos) en torno al mínimo rtorno al mínimo r0 0 , U’(r, U’(r0 0 )=0)=0
Solución oscilante para la distancia Solución oscilante para la distancia interatómica interatómica r(tr(t))
...))((''21))((')()( 2
00000 +−+−+= rrrUrrrUrUrU
200 )(
21)( rrkUrU −+=
)cos()( δ+= wtAtr µkw =
)('' 0rUk =
Masareducida
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguaciónamortiguación
Fuerza de amortiguamiento que se opone al Fuerza de amortiguamiento que se opone al movimiento, proporcional a la velocidad.movimiento, proporcional a la velocidad.Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton
Ecuación diferencialEcuación diferencial
-kx-bv
dtdxbkx
dtxdm −−=2
2
Fuerza
elástica
Fuerza
amortiguadora
02 22
2
0=++ xw
dtdx
dtxd γ
mb2=γ
mkw =2
0
Amortiguación
Frecuencia propia
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones
Amortiguamiento: oscila con una frecuenciaAmortiguamiento: oscila con una frecuenciaww22=w=w00
22--γγ22
La amplitud decreceLa amplitud decreceexponencialmenteexponencialmente
)cos()( δγ += − wteAtx t
teA γ−
Amortiguamiento
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones
Amortiguamiento crítico: solución no oscilanteAmortiguamiento crítico: solución no oscilanteww22=w=w00
22--γγ22=0=0
La amplitud decreceLa amplitud decreceexponencialmenteexponencialmente
δγ cos)( teAtx −=
teA γ−
Amortiguamiento crítico
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones
SobreamortiguamientoSobreamortiguamiento: solución no oscilante: solución no oscilanteww22=w=w00
22--γγ22< 0< 0
La amplitud decreceLa amplitud decreceexponencialmenteexponencialmente
)()( δγ += − twCheAtx t )
teA γ−
Sobreamortiguamietno
20
22 ww −=γ)
Movimiento oscilatorio forzado Movimiento oscilatorio forzado con amortiguacióncon amortiguación
Fuerza externa oscilante + fuerza amortiguadora Fuerza externa oscilante + fuerza amortiguadora que se opone al movimiento.que se opone al movimiento.Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton
Ecuación diferencialEcuación diferencial
-kx-bv
)cos(2
2
twFdtdxbkx
dtxdm fo+−−=
Fuerza
elásticaFuerza
amortiguadora
)cos(2 22
2
0fw
mFxw
dtdx
dtxd
fo=++ γ
mb2=γ
mkw =2
0
F0 cos(wft)
Fuerza
externa
Frecuencia propia
Amortiguación
Movimiento oscilatorio forzado con Movimiento oscilatorio forzado con amortiguación. Soluciónamortiguación. Solución
Solución general = Solución transitoria + solución Solución general = Solución transitoria + solución permanente. permanente.
TransitoriaTransitoria Se anula para tiempos largos.Se anula para tiempos largos.Solución de la ecuación sin término independienteSolución de la ecuación sin término independiente
Permanente: solución particularPermanente: solución particularde la ecuación completa de la ecuación completa No seNo seanula en tiempos largosanula en tiempos largos
)cos()( δγ += − wteAtx t
02 22
2
0=++ xw
dtdx
dtxd γ
)cos(2 22
2
0fw
mFxw
dtdx
dtxd
fo=++ γ
Movimiento oscilatorio forzado con Movimiento oscilatorio forzado con amortiguación. Solución permanenteamortiguación. Solución permanente
)cos()( twAtx f=
22220
2
0
4)()(
γff
fwww
mF
wA+−
=
Oscila con la frecuencia de la fuerza externa Oscila con la frecuencia de la fuerza externa Pueden darse fenómenos de resonancia cuando la Pueden darse fenómenos de resonancia cuando la amplitud sea máximaamplitud sea máxima EnergEnergíía ma mááximaxima
γdecreciente
Resonanciaγ=0
Superposición de MASSuperposición de MASMovimientos en la misma dirección y con la misma Movimientos en la misma dirección y con la misma frecuenciafrecuencia
)cos()( 111 δ+= wtAtx )cos()( 222 δ+= wtAtx
δ1- δ2=0 En oposición de faseEn fase δ1- δ2= π,
x1 + x2
A
x2
x1
x1 +x2
Ejemplos
A1= A2
x1
x2
x1 + x2 A
)cos(21 α+=+= wtAxxxδcos2 21
21
21 AAAAA ++=
2211
2211
coscossinsin
δδδδα
AAAAtg
++
=
Superposición de MASSuperposición de MASMovimientos en la misma dirección con diferente Movimientos en la misma dirección con diferente frecuenciafrecuencia
)cos()( 11 twAtx = )cos()( 22 twAtx =
Ejemplo A1= A2x1
)2
cos()2
cos(2
111121
wwwwAxxx +−=+=
x2 Modulación de ondas
x1 + x2
Osciladores acoplados (1)Osciladores acoplados (1)
No tienen movimientos independientes.No tienen movimientos independientes.
EcuacionesEcuaciones
k1 k k2
m2m1
x2x1
Estiramientos
Muelle 1 x1
Muelle 2 -x2
Muelle 3 x2 –x1
(3) (2)(1)
)( 121121
2
1 xxkxkdtxdm −+−=
)( 122222
2
2 xxkxkdtxdm −−−=
F1F21 F12
F2
Osciladores acoplados (2)Osciladores acoplados (2)Resolución para y Resolución para y m1= m2 k1=k2
21121
2
)( kxxkkdtxdm ++−=
12122
2
)( kxxkkdtxdm ++−=
La solución general es unacombinación de los modos
normales de oscilación
Solución General
Osciladores acoplados (3)Osciladores acoplados (3)Modo Asimétrico x1= x2 Se mueven en fase
Modo Simétrico x1= -x2 Se mueven en oposición de fase
)cos(
)cos(
2
1
2
1
α
α
+=
+=
twAx
twAx
aaa
aaa
mkwa 1=
)cos(
)cos(
2
1
2
1
α
α
+−=
+=
twAx
twAx
sss
sss
mkkws
+= 1
Osciladores acoplados (4)Osciladores acoplados (4)Solución General
)cos()cos(
)cos()cos(
221
111
αα
αα
+++=
+++=
twAtwAxtwAtwAx
aa
ss
aa
ss
Si A1=A2= A
+
−
=
+
−
=
twwtwwAx
twwtwwAx
asas
asas
2sin
2sin2
2cos
2cos2
1
1
Hay un intercambio de energía