Respuestas a sistemas de primer orden

Funcion de Transferencia.

Termómetro Mercurio

Desarrollaremos la función de transferencia para un sistema de primer orden.

Ver figura.

Considere que el termómetro se localiza en una corriente de flujo para la cual la temperatura x varia con el tiempo. Nuestro problema es calcular la respuesta o la variación temporal de la lectura del termómetro y para un cambio particular en x.

Las siguientes suposiciones serán usadas en este análisis.

1.- Todas las resistencias a la transferencia de calor residen en la película rodeando al bulbo.

2.- Toda la capacidad térmica esta en el mercurio. Mas aun, en cualquier instante, se supone una temperatura uniforme.

3.- La pared de vidrio conteniendo al mercurio no se expande o contrae durante la respuesta transitoria.

Se supone que el termómetro esta inicialmente en estado estacionario, en estado estacionario. Esto significa que, antes del tiempo cero, no hay cambio en la temperatura con el tiempo. A tiempo cero, se cambia la temperatura x(t) de los alrededores.

Aplicando el balance de energía en estado estacionario.

Velocidad de entrada – Velocidad de salida = velocidad de acumulación.

Donde.

A = Area superficial del bulbo para la transferencia de calor (ft2).

Cp = Capacidad calorífica del mercurio, BTU/(lbm F)

M = masa del mercurio en el bulbo, lbm.

T = tiempo.

h = coeficiente de película de transferencia de calor. BTU/(hr ft2 F).

La velocidad de flujo de calor a través de la resistencia de película rodeando al bulbo causa un incremento en la energía interna del mercurio al mismo tiempo.

Para la condición de estado estacionario,

, para tiempo menor que cero.

El subíndice s significa valor en estado estacionario.

Ys = xs significa que el termómetro lee la temperatura verdadera del ba;o.

Restando ecuaciones.

Note que , debido a que ys es constante.

Si definimos la variable de desviación como la diferencia entre las variables y su valor en estado estacionario.

, sustituyendo.

Aplicando la transformada de Laplace.

,

, Esta es la función de transferencia del sistema.

El parámetro es llamado la constante temporal del sistema.

La función de transferencia es la relación de la transformada de Laplace de la desviación en la lectura del termómetro a la transformada de Laplace de la desviación en la temperatura de los alrededores.

Cualquier sistema físico para el cual la relación entre las transformadas de Laplace de las variables de desviación de la salida y entrada esta en la forma dada es llamado un sistema de primer orden.

Los sinónimos para sistemas de primer orden son respuestas de primer orden y estados exponenciales sencillos.

La introducción de las variables de desviación antes de aplicar la transformada de Laplace de la ecuación diferencial resulta en una función de transferencia que no necesita las condiciones iniciales porque son cero.

Propiedades de la transformada de Laplace.

En general, una función de transferencia relaciona dos variables en un proceso físico, uno de esos es la causa (función forzante o variable de entrada), y la otra es el efecto (respuesta de la variable de salida).

Funcion de transferencia =

= (Transformada de Laplace de la respuesta)/(Transformada de Laplace de la función de entrada).

La función de transferencia completamente describe las características dinamicas del sistema.

Si seleccionamos una variación de entrada particular X(s), la respuesta del sisema es simplemente.

Y(s) = G(s)X(s).

Aplicando la anti transformada de Y(s) encontramos Y(t), o sea la respuesta del sistema.

La función de transferencia resulta de una ecuación diferencial lineal , por eso el principio de superposición es aplicable.

Ver figura.

Respuestas transitorias.

Funciones forzantes.

Funcion escalon.

X(t) = Au(t)

A = magnitud.

U(t) = es la function unitaria Escalon.

Ver figura.

X = 0, para t menor que cero.

X = A, para t mayor o igual a cero.

The Laplace transform is s(s) = AÉs

Ejemplo, la aperture repentina de una valvula.

Funcion impulso de magnitud A.

Ver figura.

La expresión matematica es la siguiente, como función discontinua.

X = 0, tiempo es menor que cero

X(t) = AÉb,

X=0, tiempo mayor que b.

Perturbacion sinusoidal.

La expresión matematica es la siguiente.

X = 0, para tiempo menor que cero.

, donde A es la amplitud y w es la frecuencia en radianes.

F=ciclos Étiempo

La transormada de Laplace es.

Ver figura.

Esta función forzante forma la base de una rama importante de la teoría de control conocida como la respuesta a la frecuencia.

Fisicamente, es mas difícil obtener una función de entrada forzante en muchas variables de proceso que obtener una función forzante.

Respustas.

Perturbacion escalon.

Si se aplica una perturbación escalon de magnitud A en un sistema de primer orden, la transformada es.

, la función de transferencia es.

Esto puede ser expandido en fracciones parciales para dar.

Obteniendo la transformada inversa el resultado es la respuesta temporal Y.

Y(0) = 0, para tiempo menor que cero.

Grafica.

Habiendo obtenido la respuesta al escalon desde un punto de vista matematico, debemos considerar si o no los resultados parecen ser correctos físicamente. Varias características de esta respuesta, muy valiosas, son.

1.- Los valores de Y(t) alcanzan el 63.2 % de su valor ultimo cuando el tiempo transcurrido es igual a una constante de tiempo. Cuando el tiempo transcurrido es 2, 3 y 4 constantes de tiempo, los porcentajes de respuesta son 86.5, 95, y 98 respectivamente.

2.- La pendiente de la curva de respuesta en el origen es 1.0. Esto significa que, si la velocidad inicial del cambio de Y(t) fuera mantenida, la respuesta seria completa en una constante de tiempo.

3.- Una consecuencia del principio de superposición es que la respuesta a un escalon unitario de cualquier magnitud a puede ser obtenido directamente de la respuesta de figura, multiplicando la ordenada por A.

Ejemplo 5.1.

Un termómetro con una constante de tiempo de 0.1 minuto se encuentra en estado estacionario a una temperatura de 90 F.

En tiempo t = 0, el termómetro es colocado en un recipiente con temperatura a 100 F. Determine el tiempo necesario para que el termómetro registre 98 F.

La temperatura final del termómetro será por supuesto 100 F, y el valor ultimo de la variable de

desviación es

Cuando la temperatura que lee el termómetro es 98 F, Y(t) = 8 F.

Sustituyendo en la respuesta.

Resolviendo esta ecuación para t, se obtiene.

T=0.161 min.

El mismo resultado puede ser también obtenido usando la figura de la respuesta, cuando se observa que Y/A = 1.6 a t/t)=1.6.

Respuesta al impulso.

Considerar el impulso unitario para el cual la transformada de Laplace es:

X(s) = 1.0

Combinando esto con la función de transferencia.

La transformada inversa de Y(s) puede ser encontrada directamente de la tabla de transformadas.

Ver Figura.

La respuesta a un impulso de magnitud A, como siempre multiplicando por A/.

Respuesta a una función senoidal.

Considere un termómetro se encuentra en equilibrio con la temperatura del recipiente xs. Al mismo tiempo, t = 0, la temperatura del recipiente comienza a variar de acuerdo con la relación.

, a tiempo menor que cero.

Introducimos una variable de desviación.

Aplicando transformada.

La ecuación anterior puede ser escrita en otra forma usando la identidad trigonométrica.

Considerando la función forzante de entrada con la respuesta senoidal.

1.- La salida es una onda senoidal con una frecuencia igual a aquella de la se;al de entrada.

2.- La relación de las amplitud de salida a la amplitud de entrada es:

Esta relación es siempre menor que 1. Con frecuencia afirmamos esto diciendo que la se;al es atenuada.

3.- La salida se desplaza atrás de la entrada por un angulo

Ejemplo 5 – 2.

Un termómetro de mercurio tiene una constante de tiempo de 0.1 min se encuentra colocado en un recipiente con agua a 100 F y esta en equilibrio con este reciente. A t = 0, la temperatura del ba;o comienza a variar senoidalmente alrededor de su temperatura promedio de 100 C con la amplitud de 2 F.Si la frecuencia de oscilación es 10/ ciclos/min, grafique la respuesta final de la lectura del termómetro como una función del tiempo.

Cual es la fase de desplazamiento.

La amplitud de la respuesta y el angulo de desfasamiento son calculadas, asi.

Ejemplo. Sebo 1 prima.

Considere un tanque con agitamiento y calentamiento. El flujo de salida es igual al de entrada.

Ver figura.

Un balance de energía en estado estacionario es:

Un balance en estado no estacionario o dinamico esÑ

Ahora, considere una ligera modificación, la cantidad de liquido contenido en el tanque no es constante. En este caso, ni la temperatura ni la masa contenida en el tanque es constante.

Ambos balances de energía y materia en estado no estacionario serán requeridos para modelar el cambio de masa y temperatura del contenido del tanque.

Balance de masa.

Las ultimas ecuaciones son un modelo dinamico.

Si la densidad es constante.

La velocidad de diferenciación de un producto de dos funciones produce:

El lado derecho de la ecuacion puede ser simplificado sustituyendo el balance de materiales y notando

que

Igualando los lados derechos de las ecuaciones obtenemos.

Luego de cancelar términos comunes.

Considere de nuevo.

Suponiendo contenido de liquido constante (W es constante) resulta un modelo lineal.

Si el proceso esta en estado estacionario inicialmente.

El balance de energía en estado estacionario es:

Una forma de eliminar la dependencia explicita del modelo sobre la condición de estado estacionario original es sustituir ecuaciones.

Ahora dividir ambos lados por Wcp y note que

Definir variables de desviación.

Sustituyendo.

Si

Aplicando transformada de Laplace.

Suponer que la temperatura de entrada es mantenida constante

Entonces

Suponer que el calor de entrada es perturbado con un escalon a t = 0, y para tiempo mayor que cero,

Aplicando la transformada inversa de Laplace.

Bibliografia

1.- Process Systems Analysis and Control.

Ronald R. Coughanowr.

Second Edition.

McGraw – Hill, 1991.

ISBN 0-07-013212-7.

2.- Principles and Practice of Automatic Process Control.

Carlos A. Smith

Armando B. Corripio.

Second Edition.

John Wiley and Sons, 1997.

3.- Process Dynamics and Control.

Dale E. Seborg.

Thomas F. Edgar.

Duncan A. Mellichamp.

Johon Wiley and Sons, 1989.

ISBN: 0-471-86389-0

4.- Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice.

George Stephanopoulos.

P T R Prentice Hall, 1984

5.- Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami – Naeini.

Feedback control of dynamic Systems.

Fourth Edition.

2002, Prentice Hall

ISBN: 0-13-032393-4

6.- B. Wayne Bequette, “Process Control, Modeling, Design and Simulation”, Prentice Hall PTR, 2003, ISBN 0-13-353640-8