dinámica de rotación

1

UNIDAD EDUCATIVA BOLÍVAR PROFESOR : DR. GERMÁN FIALLOS ASIGNATURA: FÍSICA SUPERIOR

UNIDAD EDUCATIVA BOLÍVAR

FÍSICA SUPERIOR

Dinámica Rotacional

TERCER AÑO DE BACHILLERATO GENERAL UNIFICADO

AÑO LECTIVO

2014-2015

AMBATO-ECUADOR

2


Dinámica Rotacional

Dinámica rotacional de la partícula

Una partícula que se mueve en una trayectoria curvilínea cualquiera puede considerarse que

se mueve en un arco circular durante un pequeño intervalo de tiempo con una velocidad a

lo largo de la trayectoria circular, con un radio de curvatura r, la partícula entonces tiene una

componente de la aceleración en la dirección centrípeta y una componente de la aceleración

en la dirección tangencial, además, para que la partícula mantenga su movimiento circular

requiere de cierta fuerza externa, ya que la velocidad de un objeto que se mueve por una

trayectoria curva cambia continuamente de dirección (a pesar que su rapidez no sea siempre

constante). Un cambio en la velocidad implica una aceleración, y para acelerar un cuerpo se

necesita una fuerza neta.

Para determinar esa fuerza primero se debe conocer la aceleración. Como en el movimiento

circular existen tres aceleraciones: la tangencial, la centrípeta y la total; entonces en la

dinámica rotacional de una partícula, hay también tres fuerzas principales: la fuerza tangencial

siempre tangente a la trayectoria, la fuerza centrípeta en dirección al centro de la trayectoria, y

la fuerza axial, que es perpendicular al plano de rotación.

Por conveniencia, para el análisis de la dinámica de una partícula con movimiento circular, se

utiliza una variación de los ejes y se los cambia por el

haciendo coincidir la dirección de las aceleraciones del movimiento circular con cada uno de

los ejes dependiendo de cada caso.

∑ ∑

∑ ⇒ ∑

∑ ∑

Consideramos a las fuerzas axiales perpendiculares al plano de rotación, por lo que la fuerza

neta axial siempre será cero

3


Imagen N.a.1. Fuerza Neta Imagen N.a.2. Fuerzas centrípetas

Una importante aplicación física de la fuerza en el movimiento circular es el peralte de las

curvas. Análisis mediante el cual es posible determinar la velocidad mínima, máxima y

óptima que debe tener un móvil para derrapar o no hacerlo al momento de tomar una curva en

su trayectoria.

a.1. Peralte de Curvas

Cuando un auto toma una curva, una fuerza centrípeta debe actuar sobre el vehículo para

forzarlo en el trayecto circular. En un pavimento plano, esta fuerza la proporciona la fricción

estática entre las llantas y el pavimento. En condiciones normales, la parte de la llanta que

hace contacto con el pavimento está momentáneamente en reposo.

Si el coeficiente de fricción es pequeño o la velocidad es excesiva, la fuerza de fricción puede

ser no suficiente para conducir el vehículo por la curva. Si esto sucede las llantas resbalarán.

Para que los vehículos puedan tomar las curvas a velocidades relativamente altas las curvas se

peraltan, esto es, la superficie del pavimento se inclina para que la parte externa de la curva

sea más alta que la interna. De esta manera la fuerza de reacción entre el automóvil y el

pavimento peraltado tienen una componente horizontal una vertical. Si la componente

horizontal es igual a la fuerza centrípeta necesaria, no se requiere ninguna fuerza de fricción.

4


Imagen N.a.3. Peraltes Imagen N. a.4. Ángulo de peralte

a..1.1.. Velocidad Máxima

Para que exista una velocidad máxima la fricción debe estar dirigida hacia el centro de la

trayectoria, ya que al tratarse de una velocidad relativamente alta, el vehículo iniciará su

derrape hacia afuera.

Imagen N. a.5. Velocidad máxima Imagen N.a.6. D:C:L vmáx.

∑ ∑

5


√

√

a.1.2. Velocidad Mínima

Para que exista una velocidad mínima, la condición única y necesaria es que la fricción esté

dirigida en sentido contrario al centro de la trayectoria, ya que de esta forma el auto tiende a

resbalar hacia adentro.

Imagen N. a.7. Velocidad mínima Imagen N. a.8. D.C.L. Vmin.

∑ ∑

6


√

a.1.3. Velocidad Óptima

Para que exista una velocidad mínima, la condición única y necesaria es que la fricción no

exista, de esta manera no existirá derrape ni el vehículo tenderá a resbalar.

Imagen N-a.9. Velocidad óptima Imagen N.a.10. D.C.L.Vóptima

∑ ∑

igualando estas ecuaciones:

√

√

a.5. Ejemplos

1. Una carretera y una curva de 50 m de radio, tiene un ángulo de peralte de 18°. Si

. Determinar:

a. El rango de velocidades con que podría entrar en la curva un auto para que no

derrape

7


Imagen N.a.11. Rango de Velocidad Imagen N.a.12. D.C.L. Rango de Veloc

.

√

√

√ ⁄

√

⁄

⁄ ⁄

Por lo tanto el rango de velocidades es:

⁄ ⁄

b. El valor de la velocidad óptima con la que el auto deberá tomar la curva.

√ ⁄

√ ⁄

2. Un vehículo de 800 kg describe una curva horizontal de 35 m de radio. Si .

Determinar:

a. La máxima velocidad en ⁄ con que podrá tomar la curva sin derrapar, si no

hubiese peralte.

8


Imagen N.a.13. Velocidad máxima Imagen N.a.14. D.C.L. Vmáxima

La segunda ley de Newton para el eje axial y el eje de las fuerzas centrípetas

∑ ∑

, entonces :

√

y también N=mg

√

√ ⁄

⁄ ⁄

b. El peralte de la curva para que el auto avance a una velocidad máxima de ⁄

∑ ∑

9


Imagen N.a.15. Vmáxima

;

Además , entonces:

(

) (

)

⁄ ⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

10


c. El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de ⁄ .

(velocidad óptima)

Imagen N.a.16. D.C.L.V0ptima

∑ ∑

Como

⁄

⁄

3. En un péndulo cónico, la longitud de la cuerda es 0.65 m y el cuerpo de o.8 kg describe

una trayectoria circular horizontal con una velocidad angular de ⁄ . Determinar:

a. La tensión de la cuerda.

b. El ángulo entre la cuerda y la vertical.

11


Imagen N.a.17. Péndulo cónico Imagen N.a.18. D.C.L. péndulo

T

∑ ∑

⁄

⁄

⁄

12


a.1.4. Velocidad Crítica

La velocidad crítica es la velocidad necesaria para que un cuerpo se mantenga en su

trayectoria circular, como por ejemplo en la parte más alta de un rizo, donde la aceleración

centrípeta debe ser cuando menos igual en magnitud a la aceleración de la gravedad. Si la

fuerza de la gravedad que actúa sobre el cuerpo es mayor que la fuerza centrípeta que se

requiere para mantenerlo en su trayectoria circular, el cuerpo caerá de la pista. Por lo tanto, la

condición crítica en la cumbre del rizo es:

Imagen N. a.19. Velocidad crítica1

√

4. Un motociclista y su máquina, que pesan , describen un rizo de 4 m de radio.

Si , determinar:

a. La fuerza que ejerce el rizo sobre el móvil en la parte superior en el instante de

obtener la velocidad crítica

Imagen N.a.20. Velocidad crítica 2

13


∑

jo

b. La velocidad crítica en la parte superior del rizo

∑

N + mg = con N = 0 ; condición necesaria para la velocidad

crítica tenemos:

Entonces :

√ : por lo tanto: √ ⁄

⁄

c. La fuerza que ejerce el rizo sobre el móvil en la parte inferior, si su rapidez en

ese punto es de ⁄

∑

; y como P=mg, entonces m =

y ac =

obtenemos :

N=

(

⁄) (

⁄

)

ewton

14


5. Sobre un disco se encuentra una moneda a una distancia de 0.2 m del centro, si el

sistema gira en el plano horizontal, partiendo del reposo y con una . Determinar el

valor del tiempo máximo que la moneda permanecerá sin deslizarse respecto al disco, si el

único entre la moneda y el disco es de 0.3

Imagen N.a.21. Fuerza neta Imagen N.a.22. D.C.L. Fuerza neta

La segunda ley de Newton aplicada a los ejes radial, tangencial y axial :

∑ ∑ ∑

y como entonces la fuerza resultante entre los vectores (TANGENCIAL) y la

(RADIAL) la obtenemos de la siguiente manera :

15


√

√ ⁄

6. Un cuerpo de 2kg atado al extremo de una cuerda de 1,5 m de longitud, gira sobre un

plano horizontal liso con una aceleración angular de 10 ⁄ . Determinar:

a. La aceleración tangencial del cuerpo.

Imagen N. a.23. Fuerza tangencial Imagen N. a.24. D.C.L. FTangencial

∑

⁄

⁄

b. Que fuerza neta actúa sobre el cuerpo, cuando su rapidez es 3 ⁄

∑

∑

⁄

∑

16


7. Un Cuerpo de 500 g atado al extremo de una cuerda de 1 m de longitud, gira sobre un

plano horizontal liso con una velocidad angular de 40 ⁄ .Determinar:

Imagen N.a.25. Fuerza tangencial 2

a. La tensión de la cuerda

∑

T = m.

⁄

b. La aceleración centrípeta del cuerpo

∑

⁄

c. La máxima rapidez con la que puede girar, si la tensión de rotura es 1000 N

T = m . ac

T = m .

V = √

17


V = √

V = 44.72 m/s

8. Un cuerpo de 15 kg parte del reposo y se mueve alrededor de una circunferencia

horizontal de 40 m de radio, por la acción de una fuerza tangencial de que actúa

durante . Determinar:

a. La aceleración tangencial que actúa sobre el cuerpo.

b. La aceleración angular.

c. La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo al término de los .

Imagen N.a.26. Fuerza tangencial 3

La aceleración tangencial que actúa sobre el cuerpo La aceleración angular

∑

⁄

⁄

La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo al término de los

∑

; siendo: y entonces :

18


9. Un cuerpo de 8 kg atado a una cuerda de 1.3 m de longitud, gira por una

trayectoria circular horizontal a 720 RPM. Determinar:

a. La aceleración centrípeta.

b. La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo.

La aceleración centrípeta : La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo:

⁄

⁄

⁄

⁄

10. Se lanza un proyectil de 5 kg con una velocidad de ⁄ . Determinar a

los de vuelo:

a. La posición y la velocidad del proyectil

b. El valor de la fuerza tangencial que actúa sobre el proyectil.

c. El valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre el proyectil.

d. El valor de la fuerza neta que actúa sobre el proyectil.

Imagen N.a.27. Movimiento de proyectiles

y

x

19


Las ecuaciones para determinar la posición y la velocidad del proyectil en

función del tiempo:

⁄ ⁄

⁄

⁄ ⁄ ⁄

⁄

Vector con el cual se obtiene la aceleración tangencial en función del vector unitario y

el producto escalar así:

* ⁄

⁄+ *

⁄

⁄+

⁄

⁄

El valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre el proyectil

⁄

20


⁄

⁄

El valor de la fuerza neta que actúa sobre el proyectil

⁄

Se comprueba también la respuesta considerando que la fuerza neta es el peso del

cuerpo y tiene la ecuación vectorial siguiente:

11. Un cuerpo de 15 kg se mueve con rapidez constante de ⁄ por la pista de la

figura. Determinar la reacción que ejerce la pista sobre el cuerpo en los puntos A, B y C.

Imagen N. a.28. Reacción en pista curvilínea

21


a. Reacción en el punto A

∑

( ⁄

)

b. Reacción en el punto B

∑

( ⁄

) ⁄

c. Reacción en el punto C

∑

( ⁄

)

22


12. Un móvil de 4 kg se desplaza con una rapidez constante de ⁄ por la pista de la

figura. Determinar el valor de la fuerza centrípeta en los puntos A, B y C.

Imagen N.a.29. Fuerzas centrípetas

a. Fuerza centrípeta en el punto A c. Fuerza centrípeta en el punto C

b. Fuerza centrípeta en el punto B ⁄

⁄

23


b.- Dinámica rotacional de un sólido rígido

Al estudiar las leyes de Newton, la Ley de la Inercia y la Ley de Acción y Reacción, se

definió el equilibrio de una partícula. La condición necesaria y suficiente es que la fuerza neta

aplicada sobre la partícula sea nula, con lo cual ésta se encuentra en reposo o se traslada con

Movimiento Rectilíneo Uniforme M.R.U.

Además, en el análisis de la dinámica de la partícula se considera que en relación con el

movimiento, el único efecto que las fuerzas podrían producir es el de la traslación, ya que la

partícula al ser considerada como un punto no podría rotar sobre sí misma.

Pero si las fuerzas están aplicadas sobre un sólido rígido, los efectos de la fuerza aplicada

sobre el cuerpo, pueden ser: de reposo (equilibrio) y con relación al movimiento podrían ser

de traslación y/o rotación, además la fuerza puede producir sobre el sólido una deformación o

variación de sus dimensiones, considerando la elasticidad del material esto es compresión,

tracción, torsión y cizalladura.

Un sólido (conjunto de partículas) se considera rígido, si no sufre deformación, es decir, si

todas sus partículas, unas respecto de otras, están siempre a la misma distancia. Cuando se

trata de un sólido, la condición de equilibrio determinada para una partícula, resulta

insuficiente, puesto que la fuerza neta aplicada al sólido podría ser nula y, sin embargo, el

cuerpo podría rotar, como en el caso del volante ilustrado en la siguiente figura:

Imagen N.b.1. Rotación sólido

ROTACIÓN

24


Por lo cual es necesario establecer una nueva magnitud física que cuantifique esta

tendencia a rotar del cuerpo en torno de un eje, a la cual llamaremos Torque o momento de

la Fuerza

Entonces, el Torque o Momento de una fuerza mide la tendencia de un sólido o de un sistema

a rotar alrededor de un punto o un eje, bajo la acción de la fuerza, y su ecuación física usando

el producto vectorial es:

= vector posición de un punto b cualquiera de la línea de acción de la fuerza , con relación

al punto O, donde se calcula el torque.

= Fuerza aplicada al cuerpo.

Imagen N.b.2. Torque o momento

Fuerza tangencial

-Fuerza tangencial

25


El módulo del torque con respecto al punto O, es igual al producto del módulo de la

fuerza (F) por la distancia perpendicular, desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza

tangencial, a esta distancia se la denomina brazo de momento o brazo de palanca:

| | = F.r.sen , (Por definición de modulo del producto vectorial)

De esto se puede concluir que el torque de una fuerza depende del punto con respecto al cual

se lo calcule, puesto que si el punto varía, varía también el brazo de palanca. Una fuerza no

genera torque en los puntos contenidos en la línea de acción de la fuerza, porque | | es cero.

Por la definición del producto vectorial, se tiene que el torque es perpendicular al plano

formado por los vectores y . Como el presente estudio se restringirá a fuerzas coplanares,

el torque será perpendicular al plano de éstas y su sentido será horario o antihorario. Para los

cálculos generalmente se considera a los torques antihorarios como positivos y a los horarios

como negativos.

UNIDADES.- El torque es una magnitud vectorial, cuyas unidades son las de una distancia

multiplicada por la de una fuerza.

En el SI:

1(m) x 1(N) = 1(N.m.)

En el CGS: 1(cm) x 1(dina) = 1(dina cm.)

DIMENSIÓN: [ ]

CONDICIONES DE EQUILIBRIO DEL SÓLIDO. Un sólido rígido está en equilibrio cuando

no tiene movimiento de traslación ni de rotación. Para esto son necesarias las siguientes

condiciones:

1. La fuerza neta aplicada sobre el cuerpo debe ser nula:

Σ = ,

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0 en función de los componentes rectangulares

Σ Fz = 0

26


Esta condición indica que el cuerpo no tiene movimiento de traslación, considerando

que su velocidad inicial es cero. (garantiza el equilibrio de traslación)

2. El torque neto evaluado en cualquier punto del cuerpo o sistema, debe ser nulo:

Σ

Esta condición indica que el cuerpo no tiene movimiento de rotación, considerando que su

velocidad angular inicial es cero. (garantiza el equilibrio de rotación).

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcular el torque de la fuerza F de la figura respecto al punto O

Imagen N.b.3. Torque 1

Fy

F = 10 Newton

r = 3m

Fx

Primer método

| | = F.r.sen

| | = 10N.3m.sen

| | = 25,98 Nm


Segundo método:

d1

27


| | = F.d1.sen

| | = 10N x sen 60º x 3m

| | = 25,98Nm

Tercer método: ahora con el producto vectorial para encontrar el torque

= (3 + 0 )m

= ( 10 cos 60º + 10 sen 60º )

= (5 +8, 66 )Newton,

Entonces el producto vectorial es :

|

|

= (0) – (0) + (25,98+0) = (0i + 0j + 25,98 k)

= (0 + 0 + ) Nm

2. En la figura: F1 = 35(N), F2 = 30(N), F3 = 50(N) y F4 = 40(N). Calcular el torque

resultante respecto a los puntos O y P.


O

28


Respecto al punto O

Σ | | = F1 x d + F2 x d + F1y x d – F4y x d

Σ | |= 30N x 6m + 50N x sen 30ºx 6m – 40N x sen 45º x 6m

Σ | | = 180Nm + 150Nm – 109,7Nm

Σ | | = 160,3Nm

Respecto al punto P

Σ | | = F1 x d + F2 x d – F3x x d –F4 x d

Σ | | = 35N x 4m – 50N x Cos 30º x 4m – 40N Cos 45ºx 4m

Σ | | = 140Nm – 173, 20Nm – 113,13Nm

Σ | | = -146,3Nm

3. En la viga horizontal AB de la figura es uniforme y pesa 200(N). Determinar la

tensión en cada una de las cuerdas que soportan la viga, cuando se cuelga un peso W=100(N)

en la posición indicada en la figura.

Imagen N.b.6. Viga horizontal

Primera condición de equilibrio de traslación

Σ = (Garantiza el equilibrio de traslación)

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ Fz = 0

29


Entonces:

Σ Fy = 0

+ – – W = 0

+ = + W Ec.1

Segunda condición de equilibrio de rotación

Σ | | = 0 (Garantiza el equilibrio de rotación)

L + –

L – W. 0,8L = 0

L( –

– W. 0,8 ) = 0

– (200

– (100). 0,8 = 0

= 100+80

= 180 (NEWTON) reemplazando en Ec.1:

= - + + W

= - 180+ 200 + 100

= 120 Newton

4. Una regla graduada de 1m, se equilibra con un apoyo en su centro. Si se coloca un

cuerpo de masa 100g en la marca de 80cm, ¿en que marca deberá colocarse otra masa

60g para que la regla siga en equilibrio?

Imagen N.b.7. Regla graduada

m1

R

0

P2 P1

30cm

80cm

Pv

1 m

x

30


7m

Condicion de equilibrio de rotación

Σ | | = 0 (Garantiza el equilibrio de rotación)

- 0,3m + x = 0

x =

x =

x = 0,5m (medidos desde el centro o hacia la izquierda)

5. En la Balanza representada, ¿cuál debe ser el valor de la distancia x en metros, para

que el sistema permanezca en equilibrio? Se considera despreciable el peso de la balanza.

Imagen N.b.8. balanza

o

Condición de equilibrio de rotación

Σ | | = 0

300N . 3m – 50N . x – 100N . 7m = 0

900Nm – 700Nm = 50N . x

x =

x = 4m

31


6. En la figura, determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las

cargas que actúan sobre la viga, cuyo peso es despreciable.

Imagen N.b.8. Reacciones en apoyos.

Condición de equilibrio de traslación

Σ =

Σ Fx = 0 (no existen fuerzas paralelas horizontales en equilibrio)

Σ Fy = 0 (si existen fuerzas paralelas verticales en equilibrio)

RA – 200N–100N–300N – 400N + RB = 0

RA + RB = 1000N


Σ | | = 0

-200N . 4m – 100N . 0,6m – 300N . 0,9m – 400N . 1,15m + RB . 1,15m = 0

-800Nm – 60Nm – 270Nm – 460Nm + RB . 1,15m = 0

RB =

RB = 756,5N

Con lo cual RA es:

RA + RB = 1000N

RA = 1000N – RB

RA = 1000N – 756,5N

RA = 243,5N

32


7. En la figura determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las

cargas que actúan sobre la viga de peso despreciable.

Imagen N.b.10. Reacciones en apoyos

Condición de equilibrio de traslación

Σ = (Garantiza el equilibrio de traslación)

Σ Fy = 0

–

– = 0

– – = 0

+ = 492,4N + 181,26N + 282,84N + 300N

+ = 1256,5 Newton Ec.1


Σ | | = 0

. 1m = Fsen65º . 0,2m + 210Nm – F3sen45º. 1m

=

33


Ry

Rx Ty

T

Pv

= 529,09Newton Ec.2 a Ec.1 para encontrar

+ = 1256,5N

= 1256,5N –

= 1256,5N – 529,09N

= 727,41N

8. En la figura , la barra AB pesa 150N por metro de longitud y esta sostenida por el

cable BC y un pasador en A. Determinar la tensión en el cable y la reacción en A.

Imagen N. b.10. Peso por unidad de longitud

Tx

Aplicando la condición que garantice el equilibrio de traslación

Σ =

Σ Fx = 0

Rx – Tx =0 Ec.1

Σ Fy = 0

Ry + Ty – W = 0

Ry + Ty = W Ec.2

34


Ahora la condición de equilibrio de rotación

Σ | | = 0

-Pv . 3m +Ty . 6m = 0

Ty . 6m = Pv . 3m

Ty = Pv . 3m / 6m

Ty = 900N / 2

Ty = 450N

Tsen30º = 450N

T = 450N / sen30º

T = 900N reemplazando en EC.2

Σ Fy = 0

Ry = W – Ty

Ry = 900N – 450N

Ry = 450N

Σ Fx = 0

Rx – Tx = 0

Rx = Tx

Rx = T cos 30º

Rx = 900 . cos 30º

Rx = 779,42N

= Rx + Ry

= ( 779,42 + 450 ) Newton

tang =

tang =

= 30º

35


8.- En la figura, la viga AB tiene un peso de 800N.

Determinar:

a. La tensión del cable

b. La fuerza del pasador A sobre la viga.

Imagen N.b.12. Diagrama geométrico de una viga

d1

La geometría del problema:

Para d1 Para d2 Para d3

Cos 55º =

Cos 55º =

Cos 35º =

d1 = Cos 55º .

d2 = Cos55º . L d3 = L . Cos 35º

Aplicando la condición de equilibrio de traslación

Σ =

Σ Fx = 0

d1

L/2

55°

d2

L

55°

d3 35° L

Pv

d3

d2

Pc

L

T

55º

35º

36


Rx – T = 0

Rx = T

Σ Fy = 0

Ry – Pv + Pc = 0

Ry = Pv + Pc

Ry = 800 + 500

Ry = 1300 NEWTON

Aplicando la condición de equilibrio de rotación

Σ | | = 0

-Pv. d1 – Pc . d2 + T . d3 = 0

- Pv . Cos 55º .

– Pc . L .Cos55º + T . L .Cos35º = 0

L(-. Cos 55º .

- Pc .Cos55º + T .Cos 35º) = 0

T.Cos35º = 400. Cos55º + 500.Cos 55º

T =

Newton

T = 630,19 Newton

y como Rx = T, Entonces Rx = 630,19 Newton

con las cuales puedo escribir su expresión vectorial:

Y el ángulo Tang =

Tang =

; = 64,13º

c. La segunda ley de Newton en la rotación de sólidos rígidos

Debido a que existe cierta relación o paralelismo entre las ecuaciones cinemáticas del

movimiento uniformemente acelerado y el movimiento rotacional, existe también una

semejanza análoga en lo que tiene que ver con su descripción dinámica.

37


Considerando un sistema sencillo, que consiste en una masa , fija a una varillla sin

masa de longitud , articulada en su extremo, a la cual se le aplocará una fuerza tangencial

de magnitud constante. Bajo la influencia de esta fuerza, la masa adquiere una aceleración

tangencial relacionada con por:

Ec.1

Imagen N.c.1. Fuerza tangencial

La magnitud de la aceleración angular y la aceleración lineal o tangencial se relacionan por:

También se observa que la fuerza provoca un torque de magnitud alrededor de la

articulación. Si multiplicamos la ecuación 1 por R, obtendremos:

De esta forma, el factor de proporcionalidad ahora no es la masa como en los movimientos

rectilíneos, sino el producto de la masa y el cuadrado del brazo de palanca desde el eje de

rotación. El factor de proporcionalidad es el llamado .

38


Momento de Inercia

La extensión del concepto de momento de inercia a objetos sólidos de forma arbitraria es

directa en ocasiones, aunque es posible que su cálculo requiera del cálculo integral. El

proceso esencialmente consiste en dividir la masa total en elementos infinitamente pequeños,

calcular la distribución de cada uno de esos elementos al momento de inercia, y por último

sumar todas las contribuciones.

El momento de Inercia no depende únicamente del valor de la masa de la partícula, sino que

también está dado en función de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación que se

esté considerando. El momento de inercia de un objeto no es una cantidad fija, sino que

depende de la posición del punto con respecto del eje con el que se calcula el momento de

inercia.

Por ejemplo para determinar el momento de inercia de un objeto plano de forma irregular, se

puede imaginar al objeto dividido en masas muy pequeñas . El momento

de inercia debido a la pequeña masa a una distancia de un eje cualquiera es:

Y el momento total de inercia del objeto con respecto a es:

∑

∑

Donde es la distancia perpendicular de la partícula de masa hasta el eje o

Unidades : el momento de inercia es una magnitud escalar, cuyas unidades son las de una

masa multiplicadas por una de longitud elevada al cuadrado.

En el Sistema Internacional : 1 [ ] [ ]

Dimensiones : [ ] [ ]

[ ]

39


“ la masa de un cuerpo en la traslación representa lo mismo que el momento de Inercia

en la rotación, esto es: la oposición que presenta un sólido al movimiento de rotación se

cuantifica a través del momento de inercia del sólido”

Ejercicios

1. Un tablón de 3 metros de longitud se mantiene en equilibrio en la posición indicada en

la figura, mediante las cuerdas A y B. Calcule la aceleración angular inicial del tablón si:

a. Se rompe la cuerda A

b. Se rompe la cuerda B

Imagen N.c.2. aceleración angular

∑ ∑

(

)

2. Con que aceleración angular gira el disco A de 2kg y 25 cm de radio si el bloque B de 20

kg Resbala hacia abajo del plano inclinado rugoso con aceleración constante y

un ángulo .

40


Imagen N.c.3. cilindro

Imagen N.c.4. D.C.L.m Imagen N.c.5. D.C.L.POLEA

Segunda ley de Newton en el Cuerpo Segunda ley de Newton en la Polea

∑ ∑ entonces :

Ec.1

Ec. 4 reemplazo en Ec.3

∑

N – mg cos 35 =0

N = mg cos35 Ec. 2 reemplazo en Ec.1

41


⁄ ⁄

3. La polea diferencial de la figura tiene un momento de inercia de . Si

. Determinar:

a) La aceleración Angular

b) La aceleración de cada masa

Aplicamos la segunda ley de Newton para la traslación en los cuerpos y de rotación

en la polea

∑ ∑ ∑

Reemplazamos las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación 3; además las aceleraciones tangenciales

en la polea diferencial son:

pero r =

R , que también reemplazamos en la

ecuación 3, y despejamos la aceleración angular que es la misma para todos los puntos de la

polea.

(

)

42


Imagen N.c.6. Poleas D.

⁄ ⁄

; entonces :

⁄

⁄

4. En el sistema de la figura, las varillas rígidas que forman el cuadrado tienen masas

despreciables y las masas ubicadas en los vértices se consideran puntuales, calcular:

a. El momento de inercia del sistema y su radio respecto a los ejes AB, BC, CD, DA, AC

y BD.

b. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano del cuadrado que pase

por el centro O.

Imagen N.c.7.Momentos de inercia

43


Momento de inercia eje AB Momento de inercia eje BC

√

√

√

√

Momento de inercia eje CD Momento de inercia eje DA

√

√

√

√

44


Momento de inercia eje AC Momento de inercia eje BD

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

b.- El momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano del cuadrado que

pase por el centro O.

√

√

√

√

√

√

√

√

√

45


5. Una varilla de longitud L está compuesta de una parte uniforme de acero de

longitud ⁄ y masa m y una parte uniforme de aluminio de longitud ⁄ y masa .

Determinar el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a la varilla que

pasa por su centro.

Imagen N.c.8. Inercia de varilla

Existen dos varillas por lo tanto:

IO = IAl + Iacero

Io =

.

Io =

)

6. La varilla de la figura tiene una masa de 2 kg y una longitud de 1 m que está

articulada en A y es sostenida en posición horizontal. Si se suelta la varilla, cual es la

aceleración angular inicial de ésta.

Imagen N.c.9. Barra pivoteada

46


∑ ⁄

7. Una polea de 50 cm de diámetro y 20 kg de masa está suspendida de un eje horizontal.

Se suspende mediante una cuerda enrollada en su borde un bloque de 500 g, Y al soltarla ésta

desciende 3m en 2 s. Calcular:

a. La aceleración del bloque.

b.

Imagen N.c.10. Polea Fija

El radio de giro de la polea.

47


⁄

⁄ ⁄

El radio de giro de la polea :

Primero se obtiene la tensión en la cuerda :

∑ √

√

⁄

⁄⁄

8. Un cuerpo de 12 kg se encuentra sobre el plano inclinado de la figura. El cuerpo está

atado a una cuerda delgada que está enrollada en un cilindro homogéneo de 5 kg de masa y 20

cm de radio. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado es y

el sistema parte del reposo, calcular la aceleración de la masa.

Imagen N.c.11. Cilindro homogéneo

48


Imagen N.c.12. D.C.L. cuerpo m Imagen N.c.13. D.C.LCILINDRO

∑ ∑ ∑

Ec.2

⁄ ⁄

⁄

9. Una polea doble, de momento de inercia 0,6 kg.m2 está formada por dos poleas de

radios 4 cm y 8 cm solidarias. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa enrollada de la

que cuelgan masas de 40 y 60 kg. Calcular la aceleración angular del sistema y las tensiones

de las cuerdas.

49


Imagen N.c.14. Polea doble

m1

m2

El momento que produce la masa de 40 kg es mayor que el producido por la masa de 60 kg,

por lo que el sistema, de girar, girará a izquierdas:

∑ ∑

= 40N. 0,08m = 3,2 N.m = 60N. 0,04m = 2,4 N.m

Las tensiones en las cuerdas son:

∑ ∑

T1 = m1.g - m1.a1 T2 = m2.g + m2.a2

La aceleración tangencial .r , para cada cuerda es :

T1 = m1.g - m1. .r1 T2 = m2.g + m2. I. .r2

Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación,

Σ | | =

50


T1. r1 - T2. r2 = I.

reemplazando el valor de las tensiones T1 y T2

(m1.g - m1. .r1). r1 - (m2.g + m2. .r2). r2 = I.

Como la aceleración angular es compartida por las tensiones, entonces

despejamos

m1.g.r1 - m1. . r12 - m2.g.r2 - m2. . r2

2 = I.

m1.g.r1 - m2.g.r2 - m1. . r12 - m2. . r2

2 = I.

m1.g.r1 - m2.g.r2 = I. + m1. . r12 + m2. . r2

2

I. + m1. . r12 + m2. . r2

2 = m1.g.r1 - m2.g.r2

(I + m1. r12 + m2. r2

2 ) = m1.g.r1 - m2.g.r2

= 8,235 rad /s2

. Por lo tanto el valor de las tensiones es :

T1 = m1.g - m1. .r1

T1= 40Kg . 9,8

– 40Kg . 8,235

. 0,08 m

T1= 365,65 Newton

51


T2 = m2.g + m2. .r2

T2= 60Kg . 9,8

+ 60 . 8,235

. 0,04 m

T2= 607,76 Newton

52


BIBLIOGRAFIA UTILIZADA:

RESNICK –HALLIDAY.- Física General

SEARS-ZEMANSKY-YOUNG.- Física General

VALLEJO-ZAMBRANO.- Física vectorial Tomos 1 y 2

CUADERNO DE TRABAJO FÍSICA PREPOLITÉCNICO ESCUELA

POLITÉCNICA NACIONAL

WEBGRAFÍA:

FIALLOS-ORTEGA .- CUADERNO VIRTUAL DE FÍSICA.-

cuadernosdefisica.wix.com/fisica

FIALLOS-ORTEGA .- FISICA DEL BOLÍVAR.- REVISTA VIRTUAL-

FACEBOOK.-

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