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Dinámica de la partícula
DINÁMICA
Definición de partícula libre: Es aquella que no está sujeta a interacción alguna.
Es una aproximación a la realidad
* Si están lo suficientemente alejadas* Si las interacciones se cancelan
MASA
La masa es una propiedad fundamental de los cuerpos que está relacionada con la cantidad de materia que posee.
La masa inercial es una propiedad de los cuerpos que determina cómo cambia su velocidad cuando interactúa con otros cuerpos.
MOMENTO LINEAL
Para describir el movimiento es posible definir una magnitud mas significativa que la velocidad y es el momento lineal
Esta magnitud se define como consecuencia de la siguiente observación:
Si tratamos de mover con la misma acción un camión y una carretilla observamos que adquiere más velocidad el que tiene menor masa.
p mv=
Interacción
Ejemplo de interacción
m1 m2
PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL
1
1 1 2 2
tEnp m v m v= +
Momento total, que en un instante, tiene el sistema constituido por las dos objetos de masa m1 y m2 que inicialmente se encuentran aislados entre sí.
Experimentalmente se obtiene 'p p=El momento lineal de un sistema aislado se conserva
2
1 1 2 2
t' ' '
Enp m v m v= +
Cuando estos objetos interactúan entre sí, sus velocidades individuales varían dado que se observa una variación en su trayectoria.
PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL
Una interacción produce un intercambio de momentos
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
' '
( ' ) ( ' )
m v m v m v m v
m v v m v v
p p
+ = +
− = −
∆ = −∆
PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL: cont....
Es un hecho empírico que cuando muchas partículas interactúan, cada una lo hace con independencia de las demás.
Este hecho significa que es posible aplicar el principio de superposición a la conservación del momento lineal
1
n
ip cte=∑
PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL
Consideremos muchas partículas interactuando
[ ][ ]
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
1 2 3 4
..... ' ' ' ' ...
( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ...
.......
m v m v m v m v m v m v m v m vAccion sobre una partículam v v m v v m v v m v v
p p p p
+ + + + = + + + +
− = − − + − + − +
∆ = − ∆ + ∆ + ∆ +
12
n
ip p∆ = − ∆∑
FUERZASe define FUERZA como la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de todas las partículas con las que interactúa
2
0li m
n
ii
t
pF
t=
→
∆= −
∆
∑21
0 0lim = - lim
n
ii
t t
ppt t
=
→ →
∆∆∆ ∆
∑
dp Fdt=
Para intervalos temporales infinitamentepequeños se obtiene la conocida relación:
Fuerza es una definición matemática, cuyo valor depende de la interacción de una partícula con respecto a todas las demás
Todas las contribuciones de las demás
Fuerza
La partícula
El momento lineal es una magnitud invariante, se conserva con independencia del SR elegido
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1
2 2
1
' ; '' ; '
( ' ) ( ' ) (
'
' ) (
v v
En un SR
La transformacion de Galileov wv wSust
v
m v m v m w m
iv
v v vtuye
w
v wv w
ndom v m v m w m w
= − = −= − = −
+ + + = + +
+
+
= +
1 1 2 2 1 1 2 2
)
' ' ' ' 2
Simplificandom v m v m w m wobtenemos la conservación del momento l S
v
en e R+ = +
SR1 SR2
v
m1m2
PRIMERA LEY DE NEWTON
Si un objeto no sufre una interacción no experimenta variación de su momento lineal
1ª ley de NEWTON:
Un objeto si es libre se mueve a velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial (v=0 (reposo), es un caso particular)
12
n
ip p∆ = − ∆∑
Principio de conservación del momento lineal
1 1 10p p cte v cte∆ = ⇒ = ⇒ =
Toda partícula libre posee una cantidad de movimiento constante.
1 1p cte v cte= ⇒ =
SEGUNDA LEY DE NEWTON
F=dp dvm madt dt= =
2ª ley de NEWTON:Si la masa de la partícula no varía, la fuerza que actúa sobre una partícula es proporcional a la aceleración que le produce.
Principio de conservación del momento lineal
21
0 0lim = - lim
n
ii
t t
ppt t
=
→ →
∆∆∆ ∆
∑
dp Fdt=
Determinemos la rapidez de variación del momento lineal
TERCERA LEY de NEWTON
12 21F F= −
Principio de conservación del momento lineal
[ ]1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ...m v v m v v m v v m v v− =− − + − + − +
Interacción de todo un universo sobre un objeto
12
n
ip p∆ = − ∆∑
1 2
0 0lim lim
n
i
t t
ppt t→ →
∆∆
= −∆ ∆
∑
12 21F F= −
3ª ley de NEWTON:
A toda acción le corresponde una reacción de la misma intensidad
RESUMEN
2
n
ip p∆ = − ∆∑
Del Principio de conservación del momento lineal
1ªLey : Si no hay interacción, la partícula mantiene v cte=
2ªLey: La fuerza que se ejerce sobre una partícula es proporcional a la aceleración que le proporciona 1
n
iF ma=∑
3ªLey: A toda acción le corresponde una reacción de la misma intensidad y sentido contrario 12 21F F= −
se derivan las tres leyes de Newton:
TIPOS DE FUERZAFuerzas fundamentales
* Fuerza de la gravitación universal
* Fuerza electrostática
3
'mmF G rr
= −
3
1 '4 o
qqF rrπε
=
Fuerzas derivadas*Fuerza elástica: *Fuerza de contacto*Tensiones
*Fuerza de rozamiento en sólidos
en fluidosR tg
R
F Nu
F v
µ
λ
= −
= −
eF kr= −
F T=
F N= F E=
FUERZA ELÁSTICA
eF kr= −
Cuando un cuerpo se deforma ejerce una fuerza elástica, que se opone a la deformación. Si las deformaciones son pequeñas es posible estimar que la fuerza es proporcional a la deformación :
Esta fuerza dá una medida de la fuerza que surge por el desequilibrio electrostático que tiene lugar al modificar las posiciones de los átomos que conforman el sólido.
TENSIONES
La tensión ejercida por cuerdas es de una naturaleza similara la elástica, con la salvedad de que en la cuerda el estiramiento es demasiado pequeño y no sigue la anterior ley. Se mide de forma indirecta.
F T=
FUERZA DE CONTACTO
Cuando dos superficies están en contacto ejercen entre sífuerzas normales, es decir, perpendiculares a la superficie y son el resultado de distorsiones, deformaciones demasiado complejas para poder ser medidas de forma conveniente. Se suelen medir de forma indirecta.
F N=
FUERZA DE ROZAMIENTO O FRICCIÓN
Se presenta cuando entre superficies en contacto existe un movimiento relativo. Su dirección es paralela al movimiento y su sentido de oposición al movimiento. Esta fuerza da una medida de las interacciones electrostáticas entre los átomos.
R tgF Nuµ= −En sólidos: En fluidos: RF vλ= −
UTILIDAD DE
El concepto de fuerza ha sido de tanta utilidad en el análisis del movimiento de los cuerpos debido a la posibilidad de medir masas y aceleraciones con métodos muy sencillos.
a) Si conocemos la fuerza que actúa sobre un cuerpo y su masa,conoceremos su movimiento.
b) Si conocemos su movimiento y su masa, conoceremos la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo
c) Si conocemos su movimiento y la fuerza que actúa sobre el mismo,podremos conocer su masa.
n
i1
F = m a∑
APLICACIONESConocidas las fuerzas podemos conocer el movimientoque provocan.
Tres casos a considerar:1.- La fuerza es función del tiempo. Ej: Fuerzas constantes2.- La fuerza es función de la posición. Ej: electrostática,
elástica....3.- La fuerza es función de la velocidad
Fuerzas dependientes del tiempo
Conocida la fuerza, integrando respecto al tiempo conoceremosla velocidad
Conocida la velocidad, integrando con respecto al tiempo,conoceremos la trayectoria.
Se precisa conocer la posición y velocidad del cuerpo en el instante inicial, para fijar las constantes de indeterminación del proceso integral.
Conocida la fuerza se precisa conocer la trayectoria
( )
( )
dvF t ma mdt
F tv dtm
r vdt
= =
=
=
∫
∫
Fuerzas dependientes de la posición
2
2
2
2
( )
( )
dv d rF r ma m mdt dt
d rF r mdt
= = =
=
No se puede integrar directamente.
Hay que resolver una ecuación diferencial
Se precisa conocer la posicióny velocidad del cuerpo en elinstante inicial para fijar las constantes de indeterminación del proceso.
Conocida la fuerza se precisa conocer la trayectoria
Fuerzas dependientes de la velocidad
1.-No se puede integrar directamente.2.-Se utiliza un método de separación de variables, para encontrar la velocidad3.-Se integra la velocidad y se encuentra la trayectoria4.-Se precisa conocer la posicióny velocidad del cuerpo en el instante inicial para fijar los límites de la integración.
Conocida la fuerza se precisa conocer la trayectoria
00
0
( )
( )
( )
tv
t
dvF v ma mdt
dv dtF v m
r t vdt
= =
=
=
∫ ∫
∫
Elección de Sistema de Referencia inerciales
SR2 : aceraFuerza: Fy = mgCondiciones iniciales:vx(0) = vcamión ; x(0)=0vy(0) = vo ; y(0)=0x(t)= vcamión ty(t)=vot-1/2gt2 parábola
SR1 : camión
Fuerza: Fy = mg
Condiciones iniciales:
vy(0) = vo ; y(0)=0
y(t)=vot-1/2gt2 recta
Ejemplo
Doble elección: 1.- SR INERCIAL2.- SR NO INERCIAL
1.- SR INERCIAL (suelo)a.) ascensor sube
1 1T mg ma T mg ma− = ⇒ = +
b.) ascensor baja
2 2T mg ma T mg ma− = − ⇒ = −
¿ Qué fuerza medirá la balanza?
2.- SR NO INERCIAL (ascensor)0T mg− = ????
La solución es inventarse una fuerza asociada al SR con aceleración “a”:-ma si sube el SR
+ma si baja el SR0aT mg m− ± =
invento
Sistema de referencia NO inercial
Pasajero en reposoPasajero con velocidad constante, se mueve en línea recta
El tren está acelerado
Pasajero con velocidad constante, se mueve en línea recta
No hay ninguna fuerza real actuando sobre el pasajero
IMPULSO
1
n
idp Fdt=∑
2 2
1 11
t t n
t t
dp Fdt= ∑∫ ∫
A partir de la 2ª ley de Newton :
2
1
2 1 t
t
Si dp p p p= − = ∆∫2
11
t n
t
y I Fdt I p= ⇒ = ∆∑∫
Si calculamos la variación del momento lineal de un cuerpo debido a la acción de las fuerzas que actúan sobre él en un intervalo muy breve de tiempo :
La variación de la cantidad de movimiento es debida al impulso de las fuerzas que actúan.
Cuando la interacción trascurre en un intervalo pequeño de tiempo es interesante definir la magnitud Impulso
BIBLIOGRAFÍALección 1.- Dinámica de la partícula I
1.1 Las partículas : definiciones1.2 El momento lineal: Principio de superposición1.3 Principio de conservación del momento lineal1.4. Leyes de Newton.
1.4.1 Tipos de fuerza: Fundamentales y derivadas1.4.2 Elección de Sistemas de referencia
1.5 Impulso
Libros:R.A. Serway., J.W.Jewett Física. Ed. Thomson. Sears, Zemansky, Young , Freedman . Física Universitaria Vol 1Ed Pearson.Addison Wesley S.M. Lea, J.R. Burke. Física: La naturaleza de las cosas. Ed Paraninfo. Thomson Learning.