diferenciciaci on en rn: derivadas de orden...
TRANSCRIPT
![Page 1: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/1.jpg)
Diferenciciacion en Rn: Derivadas de ordensuperior
R. Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 2: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/2.jpg)
Derivadas de orden superior
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm, A es un abierto de Rn tiene
derivadas parciales Di f =∂f (x)
∂xien A, i = 1, . . . , n.
Supongamos
que dichas derivadas parciales Di f : A ⊂ Rn → Rm admiten a suvez derivadas parciales Dj(·) en A. Dichas derivadas parciales sedenominan derivadas parciales de segundo orden y se denotan por
Dj(Di f )(x) = Dj ,i f (x) =∂2f (x)
∂xj∂xi, i , j = 1, 2, . . . , n.
Si las funciones Dj ,i f : A ⊂ Rn → Rm admiten derivadas parcialesentonces podemos definir las derivadas parciales de orden 3
Dk(Dj(Di f ))(x) = Dk,j ,i f (x) =∂3f (x)
∂xk∂xj∂xi, i , j , k = 1, 2, . . . , n.
Y ası, sucesivamente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 3: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/3.jpg)
Derivadas de orden superior
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm, A es un abierto de Rn tiene
derivadas parciales Di f =∂f (x)
∂xien A, i = 1, . . . , n. Supongamos
que dichas derivadas parciales Di f : A ⊂ Rn → Rm admiten a suvez derivadas parciales Dj(·) en A. Dichas derivadas parciales sedenominan derivadas parciales de segundo orden y se denotan por
Dj(Di f )(x) = Dj ,i f (x) =∂2f (x)
∂xj∂xi, i , j = 1, 2, . . . , n.
Si las funciones Dj ,i f : A ⊂ Rn → Rm admiten derivadas parcialesentonces podemos definir las derivadas parciales de orden 3
Dk(Dj(Di f ))(x) = Dk,j ,i f (x) =∂3f (x)
∂xk∂xj∂xi, i , j , k = 1, 2, . . . , n.
Y ası, sucesivamente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 4: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/4.jpg)
Derivadas de orden superior
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm, A es un abierto de Rn tiene
derivadas parciales Di f =∂f (x)
∂xien A, i = 1, . . . , n. Supongamos
que dichas derivadas parciales Di f : A ⊂ Rn → Rm admiten a suvez derivadas parciales Dj(·) en A. Dichas derivadas parciales sedenominan derivadas parciales de segundo orden y se denotan por
Dj(Di f )(x) = Dj ,i f (x) =∂2f (x)
∂xj∂xi, i , j = 1, 2, . . . , n.
Si las funciones Dj ,i f : A ⊂ Rn → Rm admiten derivadas parcialesentonces podemos definir las derivadas parciales de orden 3
Dk(Dj(Di f ))(x) = Dk,j ,i f (x) =∂3f (x)
∂xk∂xj∂xi, i , j , k = 1, 2, . . . , n.
Y ası, sucesivamente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 5: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/5.jpg)
Derivadas de orden superior
Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,
∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).
Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por
f (x , y) =
{x2 arctan
y
x− y2 arctan
x
y, si xy 6= 0,
0, si xy = 0.
∂2f (x , y)
∂x∂y=∂2f (x , y)
∂y∂x=
x2 − y2
x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).
¿Que ocurre en (0, 0)?
∂2f (0, 0)
∂x∂y= 1,
∂2f (0, 0)
∂y∂x= −1.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 6: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/6.jpg)
Derivadas de orden superior
Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,
∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).
Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por
f (x , y) =
{x2 arctan
y
x− y2 arctan
x
y, si xy 6= 0,
0, si xy = 0.
∂2f (x , y)
∂x∂y=∂2f (x , y)
∂y∂x=
x2 − y2
x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).
¿Que ocurre en (0, 0)?
∂2f (0, 0)
∂x∂y= 1,
∂2f (0, 0)
∂y∂x= −1.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 7: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/7.jpg)
Derivadas de orden superior
Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,
∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).
Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por
f (x , y) =
{x2 arctan
y
x− y2 arctan
x
y, si xy 6= 0,
0, si xy = 0.
∂2f (x , y)
∂x∂y=∂2f (x , y)
∂y∂x=
x2 − y2
x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).
¿Que ocurre en (0, 0)?
∂2f (0, 0)
∂x∂y= 1,
∂2f (0, 0)
∂y∂x= −1.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 8: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/8.jpg)
Derivadas de orden superior
Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,
∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).
Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por
f (x , y) =
{x2 arctan
y
x− y2 arctan
x
y, si xy 6= 0,
0, si xy = 0.
∂2f (x , y)
∂x∂y=∂2f (x , y)
∂y∂x=
x2 − y2
x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).
¿Que ocurre en (0, 0)?
∂2f (0, 0)
∂x∂y= 1,
∂2f (0, 0)
∂y∂x= −1.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 9: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/9.jpg)
Derivadas de orden superior
Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,
∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).
Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por
f (x , y) =
{x2 arctan
y
x− y2 arctan
x
y, si xy 6= 0,
0, si xy = 0.
∂2f (x , y)
∂x∂y=∂2f (x , y)
∂y∂x=
x2 − y2
x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).
¿Que ocurre en (0, 0)?
∂2f (0, 0)
∂x∂y= 1,
∂2f (0, 0)
∂y∂x= −1.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 10: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/10.jpg)
Derivadas de orden superior
Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,
∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).
Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por
f (x , y) =
{x2 arctan
y
x− y2 arctan
x
y, si xy 6= 0,
0, si xy = 0.
∂2f (x , y)
∂x∂y=∂2f (x , y)
∂y∂x=
x2 − y2
x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).
¿Que ocurre en (0, 0)?
∂2f (0, 0)
∂x∂y= 1,
∂2f (0, 0)
∂y∂x= −1.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 11: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/11.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (Schwarz)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A existen
las derivadas parciales∂f (x)
∂xi,∂f (x)
∂xjy∂2f (x)
∂xj∂xiy la derivada
∂2f (x)
∂xj∂xies continua en x0, entonces en A existe la derivada
∂2f (x)
∂xi∂xj
y∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Corolario (Bonnet)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea a ∈ A tal que existen
las derivadas parciales∂2f (x)
∂xj∂xiy∂2f (x)
∂xi∂xjen un entorno de a ∈ A y
ambas son continuas en a. Entonces∂2f (a)
∂xj∂xi=∂2f (a)
∂xi∂xj.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 12: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/12.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (Schwarz)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A existen
las derivadas parciales∂f (x)
∂xi,∂f (x)
∂xjy∂2f (x)
∂xj∂xiy la derivada
∂2f (x)
∂xj∂xies continua en x0, entonces en A existe la derivada
∂2f (x)
∂xi∂xj
y∂2f (x)
∂xj∂xi=∂2f (x)
∂xi∂xj.
Corolario (Bonnet)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea a ∈ A tal que existen
las derivadas parciales∂2f (x)
∂xj∂xiy∂2f (x)
∂xi∂xjen un entorno de a ∈ A y
ambas son continuas en a. Entonces∂2f (a)
∂xj∂xi=∂2f (a)
∂xi∂xj.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 13: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/13.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (Heffter-Young)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que
existen las derivadas parciales∂f (x)
∂xi, y
∂f (x)
∂xjen un entorno de a
y son diferenciables en a. Entonces∂2f (a)
∂xj∂xi=∂2f (a)
∂xi∂xj.
Tanto el Teorema de Schwarz como el de Heffter-Young dancondiciones suficientes. Para comprobarlo escojamos la funcion
f (x , y) =
{x2y sin
1
x, si x 6= 0,
0, si x = 0.
Esta funcion cumple con las condiciones de ambos teoremas entodo R2 \ {(0, y),∀y ∈ R}. Veamos que ocurre (0, 0).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 14: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/14.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (Heffter-Young)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que
existen las derivadas parciales∂f (x)
∂xi, y
∂f (x)
∂xjen un entorno de a
y son diferenciables en a. Entonces∂2f (a)
∂xj∂xi=∂2f (a)
∂xi∂xj.
Tanto el Teorema de Schwarz como el de Heffter-Young dancondiciones suficientes. Para comprobarlo escojamos la funcion
f (x , y) =
{x2y sin
1
x, si x 6= 0,
0, si x = 0.
Esta funcion cumple con las condiciones de ambos teoremas entodo R2 \ {(0, y),∀y ∈ R}. Veamos que ocurre (0, 0).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 15: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/15.jpg)
Derivadas de orden superior
Definicion
Diremos que f ∈ C (k)(A) si f admite todas las derivadas parcialeshasta orden k y estas son continuas en A.
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en A.
Entonces podemos definir la derivada (diferencial) de f ∀x ∈ A.Ademas Df es lineal y acotada (¿por que?).
Sea L(Rn,Rm) el espacio de todas las aplicaciones linealesacotadas de Rn en Rm, entonces como para cada x ∈ A existeDf (x) ∈ L(Rn,Rm), podemos definir la aplicacion
Df : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm).
Se puede probar que el espacio L(Rn,Rm) es un espacio normado(en la norma de las aplicaciones lineales que vimos antes).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 16: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/16.jpg)
Derivadas de orden superior
Definicion
Diremos que f ∈ C (k)(A) si f admite todas las derivadas parcialeshasta orden k y estas son continuas en A.
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en A.
Entonces podemos definir la derivada (diferencial) de f ∀x ∈ A.Ademas Df es lineal y acotada (¿por que?).
Sea L(Rn,Rm) el espacio de todas las aplicaciones linealesacotadas de Rn en Rm, entonces como para cada x ∈ A existeDf (x) ∈ L(Rn,Rm), podemos definir la aplicacion
Df : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm).
Se puede probar que el espacio L(Rn,Rm) es un espacio normado(en la norma de las aplicaciones lineales que vimos antes).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 17: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/17.jpg)
Derivadas de orden superior
Definicion
Diremos que f ∈ C (k)(A) si f admite todas las derivadas parcialeshasta orden k y estas son continuas en A.
Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en A.
Entonces podemos definir la derivada (diferencial) de f ∀x ∈ A.Ademas Df es lineal y acotada (¿por que?).
Sea L(Rn,Rm) el espacio de todas las aplicaciones linealesacotadas de Rn en Rm, entonces como para cada x ∈ A existeDf (x) ∈ L(Rn,Rm), podemos definir la aplicacion
Df : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm).
Se puede probar que el espacio L(Rn,Rm) es un espacio normado(en la norma de las aplicaciones lineales que vimos antes).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 18: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/18.jpg)
Derivadas de orden superior
Antes de ver como definir las derivadas (diferenciales) de ordensuperior conviene generalizar el concepto de diferenciabilidad acualquier espacio normado.
Definicion
Diremos que una aplicacion g : E ⊂ X→ Y, siendo X e Y dosespacios normados, es diferenciable en a ∈ X si existe unaaplicacion lineal acotada de L(a) : X→ Y tal que
g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).
Ası, si X = Rn y Y = Rm, recuperamos la definicion dediferenciabilidad con la que hemos trabajado hasta ahora.
Como ∀x ∈ A, Df (x) ∈ L(Rn,Rm) y este espacio es normado(¿por que?) entonces podemos definir la diferencial de Df .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 19: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/19.jpg)
Derivadas de orden superior
Antes de ver como definir las derivadas (diferenciales) de ordensuperior conviene generalizar el concepto de diferenciabilidad acualquier espacio normado.
Definicion
Diremos que una aplicacion g : E ⊂ X→ Y, siendo X e Y dosespacios normados, es diferenciable en a ∈ X si existe unaaplicacion lineal acotada de L(a) : X→ Y tal que
g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).
Ası, si X = Rn y Y = Rm, recuperamos la definicion dediferenciabilidad con la que hemos trabajado hasta ahora.
Como ∀x ∈ A, Df (x) ∈ L(Rn,Rm) y este espacio es normado(¿por que?) entonces podemos definir la diferencial de Df .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 20: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/20.jpg)
Derivadas de orden superior
Antes de ver como definir las derivadas (diferenciales) de ordensuperior conviene generalizar el concepto de diferenciabilidad acualquier espacio normado.
Definicion
Diremos que una aplicacion g : E ⊂ X→ Y, siendo X e Y dosespacios normados, es diferenciable en a ∈ X si existe unaaplicacion lineal acotada de L(a) : X→ Y tal que
g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).
Ası, si X = Rn y Y = Rm, recuperamos la definicion dediferenciabilidad con la que hemos trabajado hasta ahora.
Como ∀x ∈ A, Df (x) ∈ L(Rn,Rm) y este espacio es normado(¿por que?) entonces podemos definir la diferencial de Df .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 21: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/21.jpg)
Derivadas de orden superior
Antes de ver como definir las derivadas (diferenciales) de ordensuperior conviene generalizar el concepto de diferenciabilidad acualquier espacio normado.
Definicion
Diremos que una aplicacion g : E ⊂ X→ Y, siendo X e Y dosespacios normados, es diferenciable en a ∈ X si existe unaaplicacion lineal acotada de L(a) : X→ Y tal que
g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).
Ası, si X = Rn y Y = Rm, recuperamos la definicion dediferenciabilidad con la que hemos trabajado hasta ahora.
Como ∀x ∈ A, Df (x) ∈ L(Rn,Rm) y este espacio es normado(¿por que?) entonces podemos definir la diferencial de Df .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 22: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/22.jpg)
Derivadas de orden superior
Definicion
Diremos que f es dos veces diferenciable en un punto a ∈ A ∈ Rn
si Df es diferenciable en a y denotaremos a la derivada segunda def en a por D2f (a).
Notese que de lo anterior se sigue que D2f (a) es una aplicacionlineal de Rn en L(Rn,Rm), o sea,
D2f (a) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm))
Extendiendo este procedimiento tenemos que la derivada terceraD3f (a) sera una aplicacion lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,Rm)),D4f (a) sera una apl. lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,L(Rn,Rm))), yası sucesivamente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 23: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/23.jpg)
Derivadas de orden superior
Definicion
Diremos que f es dos veces diferenciable en un punto a ∈ A ∈ Rn
si Df es diferenciable en a y denotaremos a la derivada segunda def en a por D2f (a).
Notese que de lo anterior se sigue que D2f (a) es una aplicacionlineal de Rn en L(Rn,Rm), o sea,
D2f (a) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm))
Extendiendo este procedimiento tenemos que la derivada terceraD3f (a) sera una aplicacion lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,Rm)),D4f (a) sera una apl. lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,L(Rn,Rm))), yası sucesivamente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 24: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/24.jpg)
Derivadas de orden superior
Definicion
Diremos que f es dos veces diferenciable en un punto a ∈ A ∈ Rn
si Df es diferenciable en a y denotaremos a la derivada segunda def en a por D2f (a).
Notese que de lo anterior se sigue que D2f (a) es una aplicacionlineal de Rn en L(Rn,Rm), o sea,
D2f (a) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm))
Extendiendo este procedimiento tenemos que la derivada terceraD3f (a) sera una aplicacion lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,Rm)),D4f (a) sera una apl. lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,L(Rn,Rm))), yası sucesivamente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 25: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/25.jpg)
Derivadas de orden superior
Analicemos el caso de la segunda derivada. Asumiremos quef ∈ C 2(A) y a ∈ A ∈ Rn.
Como vimos D2f (a) es una aplicacion lineal de Rn en L(Rn,Rm):
D2f (a) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm))
Pero el espacio L(Rn,L(Rn,Rm)) es isometrico al espacio de lasaplicaciones bilineales L(Rn × Rn,Rm).
Ası, ∀x , y ∈ Rn, D2f (a)(x) ∈ L(Rn,Rm) y(D2f (a)(x)
)(y) ∈ Rm.
Es decir, D2f (a) es la aplicacion bilineal D2f (a) definida por
D2f (a) : Rn × Rn 7→ Rm
D2f(a)(x, y) =(D2f(a)(x)
)(y).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 26: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/26.jpg)
Derivadas de orden superior. Caso f : A ⊂ Rn → RSi f es dos veces diferenciable en a, D2f (a) puede ser interpretadacomo una aplicacion bilineal B(x , y) de Rn × Rn en R.
Las aplicaciones bilineales B(x , y) de Rn × Rn en R se identificancon las matrices n × n mediante la expresion B(x , y) = xT · B · y .
Como D2f (a) se obtiene “derivando” Df entonces la matrizasociada a D2f (a) tiene por entradas las segundas derivadasparciales de f :
D2f (a) =
D11f (a) · · · Dn1f (a)...
. . ....
D1nf (a) · · · Dnnf (a)
=
∂2f (a)
∂2x1· · · ∂2f (a)
∂xn∂x1...
. . ....
∂2f (a)
∂x1∂xn· · · ∂2f (a)
∂2xn
:= Hf (a).
Es conveniente mencionar que al ser f ∈ C 2(A), todas lasderivadas cruzadas son iguales. La matriz Hf(a) anterior sedenomina matriz hessiana de f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 27: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/27.jpg)
Derivadas de orden superior. Caso f : A ⊂ Rn → RSi f es dos veces diferenciable en a, D2f (a) puede ser interpretadacomo una aplicacion bilineal B(x , y) de Rn × Rn en R.
Las aplicaciones bilineales B(x , y) de Rn × Rn en R se identificancon las matrices n × n mediante la expresion B(x , y) = xT · B · y .
Como D2f (a) se obtiene “derivando” Df entonces la matrizasociada a D2f (a) tiene por entradas las segundas derivadasparciales de f :
D2f (a) =
D11f (a) · · · Dn1f (a)...
. . ....
D1nf (a) · · · Dnnf (a)
=
∂2f (a)
∂2x1· · · ∂2f (a)
∂xn∂x1...
. . ....
∂2f (a)
∂x1∂xn· · · ∂2f (a)
∂2xn
:= Hf (a).
Es conveniente mencionar que al ser f ∈ C 2(A), todas lasderivadas cruzadas son iguales. La matriz Hf(a) anterior sedenomina matriz hessiana de f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 28: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/28.jpg)
Derivadas de orden superior. Caso f : A ⊂ Rn → RSi f es dos veces diferenciable en a, D2f (a) puede ser interpretadacomo una aplicacion bilineal B(x , y) de Rn × Rn en R.
Las aplicaciones bilineales B(x , y) de Rn × Rn en R se identificancon las matrices n × n mediante la expresion B(x , y) = xT · B · y .
Como D2f (a) se obtiene “derivando” Df entonces la matrizasociada a D2f (a) tiene por entradas las segundas derivadasparciales de f :
D2f (a) =
D11f (a) · · · Dn1f (a)...
. . ....
D1nf (a) · · · Dnnf (a)
=
∂2f (a)
∂2x1· · · ∂2f (a)
∂xn∂x1...
. . ....
∂2f (a)
∂x1∂xn· · · ∂2f (a)
∂2xn
:= Hf (a).
Es conveniente mencionar que al ser f ∈ C 2(A), todas lasderivadas cruzadas son iguales. La matriz Hf(a) anterior sedenomina matriz hessiana de f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 29: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/29.jpg)
Derivadas de orden superior
Por induccion es posible probar que si f es k veces diferenciable ena entonces la derivada (diferencial) k-esima de f aplicada a unvector h ∈ Rn se expresa por
Dk f (a)(h) =n∑
i1=1
· · ·n∑
ik=1
∂k f (a)
∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =
=
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)k
f (a),
donde hemos usado la notacion Dk f (a)(h) := Dk f (a)(h, h, . . . , h)(recuerdese que Dk f (a) es una aplicacion multilineal (k-linealconcretamente).
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 30: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/30.jpg)
Derivadas de orden superior
Ejemplo: Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A) y sea l : R 7→ Rn,l(t) = x + th, t ∈ R, x , h ∈ Rn.Definamos la funcion φ : R 7→ R, φ(t) = (f ◦ l)(t). Como f y l sondiferenciables con todas sus derivadas hasta orden k continuasentonces φ ∈ C k([0, 1]). Calculemos las derivadas sucesivas de φ,
φ′(t) =n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
=
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)f (x + ht),
φ′′(t) =d
dt
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]=
n∑j=1
∂
∂xj
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]hj
=n∑
i ,j=1
∂2f (x + ht)
∂xj∂xihihj =
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)2
f (x + ht),
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 31: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/31.jpg)
Derivadas de orden superior
Ejemplo: Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A) y sea l : R 7→ Rn,l(t) = x + th, t ∈ R, x , h ∈ Rn.Definamos la funcion φ : R 7→ R, φ(t) = (f ◦ l)(t). Como f y l sondiferenciables con todas sus derivadas hasta orden k continuasentonces φ ∈ C k([0, 1]). Calculemos las derivadas sucesivas de φ,
φ′(t) =n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi =
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)f (x + ht),
φ′′(t) =d
dt
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]=
n∑j=1
∂
∂xj
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]hj
=n∑
i ,j=1
∂2f (x + ht)
∂xj∂xihihj =
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)2
f (x + ht),
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 32: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/32.jpg)
Derivadas de orden superior
Ejemplo: Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A) y sea l : R 7→ Rn,l(t) = x + th, t ∈ R, x , h ∈ Rn.Definamos la funcion φ : R 7→ R, φ(t) = (f ◦ l)(t). Como f y l sondiferenciables con todas sus derivadas hasta orden k continuasentonces φ ∈ C k([0, 1]). Calculemos las derivadas sucesivas de φ,
φ′(t) =n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi =
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)f (x + ht),
φ′′(t) =d
dt
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]=
n∑j=1
∂
∂xj
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]hj
=n∑
i ,j=1
∂2f (x + ht)
∂xj∂xihihj
=
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)2
f (x + ht),
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 33: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/33.jpg)
Derivadas de orden superior
Ejemplo: Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A) y sea l : R 7→ Rn,l(t) = x + th, t ∈ R, x , h ∈ Rn.Definamos la funcion φ : R 7→ R, φ(t) = (f ◦ l)(t). Como f y l sondiferenciables con todas sus derivadas hasta orden k continuasentonces φ ∈ C k([0, 1]). Calculemos las derivadas sucesivas de φ,
φ′(t) =n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi =
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)f (x + ht),
φ′′(t) =d
dt
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]=
n∑j=1
∂
∂xj
[n∑
i=1
∂f (x + ht)
∂xihi
]hj
=n∑
i ,j=1
∂2f (x + ht)
∂xj∂xihihj =
(h1
∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn
)2
f (x + ht),
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 34: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/34.jpg)
Derivadas de orden superior
En general
φ(k)(t) =n∑
i1,··· ,ik=1
∂k f (x + ht)
∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =
(h1
∂
∂x1+· · ·+hn
∂
∂xn
)k
f (x+ht)
El calculo de la derivada k-esima arbitraria es muy engorroso, espor ello conveniente usar un paquete de calculo simbolico (porejemplo Maxima CAS).
Definicion
Dado un a ∈ A y h ∈ Rn definiremos al intervalo (cerrado)[a, a + h] como el conjunto[a1, a1 + h1]× [a2, a2 + h2]× · · · × [an, an + hn].
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 35: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/35.jpg)
Derivadas de orden superior
En general
φ(k)(t) =n∑
i1,··· ,ik=1
∂k f (x + ht)
∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =
(h1
∂
∂x1+· · ·+hn
∂
∂xn
)k
f (x+ht)
El calculo de la derivada k-esima arbitraria es muy engorroso, espor ello conveniente usar un paquete de calculo simbolico (porejemplo Maxima CAS).
Definicion
Dado un a ∈ A y h ∈ Rn definiremos al intervalo (cerrado)[a, a + h] como el conjunto[a1, a1 + h1]× [a2, a2 + h2]× · · · × [an, an + hn].
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 36: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/36.jpg)
Derivadas de orden superior
En general
φ(k)(t) =n∑
i1,··· ,ik=1
∂k f (x + ht)
∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =
(h1
∂
∂x1+· · ·+hn
∂
∂xn
)k
f (x+ht)
El calculo de la derivada k-esima arbitraria es muy engorroso, espor ello conveniente usar un paquete de calculo simbolico (porejemplo Maxima CAS).
Definicion
Dado un a ∈ A y h ∈ Rn definiremos al intervalo (cerrado)[a, a + h] como el conjunto[a1, a1 + h1]× [a2, a2 + h2]× · · · × [an, an + hn].
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 37: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/37.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (de Taylor con resto de Lagrange)
Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A); [a, a + h] ⊂ A, h 6= 0:
f (a + h) = f (a) +k−1∑l=1
1
l!D l f (a)(h) + rk(a, h),
rk(a, h) =1
k!Dk f (a + ξh)(h), ξ ∈ (0, 1).
Corolario (Teorema local de Taylor)
En las mismas condiciones del Teorema anterior:
f (a + h) = f (a) +k∑
l=1
1
l!D l f (a)(h) + o(‖h‖k).
Ambos resultados se pueden generalizar a f : A ⊂ Rn 7→ Rm
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 38: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/38.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (de Taylor con resto de Lagrange)
Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A); [a, a + h] ⊂ A, h 6= 0:
f (a + h) = f (a) +k−1∑l=1
1
l!D l f (a)(h) + rk(a, h),
rk(a, h) =1
k!Dk f (a + ξh)(h), ξ ∈ (0, 1).
Corolario (Teorema local de Taylor)
En las mismas condiciones del Teorema anterior:
f (a + h) = f (a) +k∑
l=1
1
l!D l f (a)(h) + o(‖h‖k).
Ambos resultados se pueden generalizar a f : A ⊂ Rn 7→ Rm
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 39: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/39.jpg)
Derivadas de orden superior
Theorem (de Taylor con resto de Lagrange)
Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A); [a, a + h] ⊂ A, h 6= 0:
f (a + h) = f (a) +k−1∑l=1
1
l!D l f (a)(h) + rk(a, h),
rk(a, h) =1
k!Dk f (a + ξh)(h), ξ ∈ (0, 1).
Corolario (Teorema local de Taylor)
En las mismas condiciones del Teorema anterior:
f (a + h) = f (a) +k∑
l=1
1
l!D l f (a)(h) + o(‖h‖k).
Ambos resultados se pueden generalizar a f : A ⊂ Rn 7→ Rm
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 40: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/40.jpg)
Derivadas de orden superior
El corolario anterior nos indica otra manera de entender ladiferenciabilidad en Rn. Por sencillez, lo mostraremos en el caso deuna funcion dos veces diferenciable. Si f tiene derivadas parcialesde orden dos y estas son continuas entonces
f (a + h)− f (a)−Df (a)(h)− 1
2D2f (a)(h) = o(‖h‖2), (∗)
donde D f (a)(h) es la forma bilineal
D2f (a)(h) =n∑
i1=1
n∑i2=1
∂2f (a)
∂xi1∂xi2hi1hi2 = hTHf (a)h.
Ası pues f es dos veces diferenciable si existen la apliacion linealDf (a) y la bilineal D2f (a) tales que (*) sea cierta.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 41: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/41.jpg)
Derivadas de orden superior
El razonamiento anterior es facilmente generalizable a cualquierk ≥ 3.
Ademas, lo anterior nos indica que podemos restringirnos porsimplicidad al caso cuando las funciones f ∈ C k(A).
En ese caso diremos que f : A ∈ Rn 7→ R, es k veces diferenciableen a si f es C k(A) siendo A un abierto tal que a ∈ A, de formaque, por el teorema de Taylor tenemos asegurado que f es k vecesdiferenciable en A en el sentido antes explicado para funciones dosveces diferenciables.
Veamos algunos ejemplos.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior
![Page 42: Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden superioreuler.us.es/~renato/clases/dfvv/transparencias/beamer-ana-fvv-intro-III.pdf · R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciaci](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022040801/5e37f0a2d44bf777097fbb76/html5/thumbnails/42.jpg)
Derivadas de orden superior
El razonamiento anterior es facilmente generalizable a cualquierk ≥ 3.
Ademas, lo anterior nos indica que podemos restringirnos porsimplicidad al caso cuando las funciones f ∈ C k(A).
En ese caso diremos que f : A ∈ Rn 7→ R, es k veces diferenciableen a si f es C k(A) siendo A un abierto tal que a ∈ A, de formaque, por el teorema de Taylor tenemos asegurado que f es k vecesdiferenciable en A en el sentido antes explicado para funciones dosveces diferenciables.
Veamos algunos ejemplos.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior