Diferencias Finitas:

Para la resolucin de una ecuacin diferencial parcial se procede remplazando del dominio continuo del problema original por una malla o grilla de diferencias finitas. A modo de prctica se supone que se desea calcular una ecuacin diferencial parcial para la cual es la variable dependiente en el dominio rectangular , o , de esta manera, si se observa la figura 1 se puede observar la posicin correspondiente a podemos escribir:

La idea de una representacin de diferencias finitas para una derivada puede ser introducida recordando la definicin de la derivada de la funcin en la posicin

La aproximacin de diferencias puede ser escrita de una manera ms formal a travs de uso de una expansin en serie de Taylor. Al desarrollar una expansin en serie de Taylor para en torno a :

Ecuacin (a)

Con: En donde el ltimo trmino se denomina el resto de la expansin. De esta manera, podemos formar la diferencia hacia adelante reordenando la ecuacin (2):

Cambiando a una dotacin inicial tenemos_

El error de truncacin (E.T.) es la diferencia entre la derivada parcial y su representacin como diferencia finita. El comportamiento lmite del error de truncacin puede ser caracterizado utilizando la notacin de orden (0), con lo que podemos escribir:

Donde tiene un significado bien preciso, de tal manera que al escribir lo anterior se esta indicando que:

Un nmero infinito de representaciones de diferencias finitas puede ser encontrado para la derivada de u. Por ejemplo, si expandimos hacia atrs:

(b)Podemos obtener la representacin de diferencias hacia atrs:

Si restamos las ecuaciones a y b y reordenamos, podemos obtener la diferencia central:

Si sumamos las ecuaciones a y b y reordenamos, podemos obtener una aproximacin central para la segunda derivada:

En muchas aplicaciones prcticas es conveniente utilizar operadores de diferencias para representar los esquemas de diferencias finitas cuando formas particulares son usadas en forma repetitiva. De esta forma se puede definir el operador hacia adelante como:

De esta manera, es posible escribir la aproximacin para la primera derivada de u en la direccin x como:

En forma similar es posible definir el operador hacia atrs como:

Con la que la primera de u se puede escribir como:

En resumen con distintos operadores de diferencias finitas se presenta la tabla 1,mientras que en la tabla 2 se presenta aproximaciones de diferencias finitas en una dimensin: