diferenciación e integración numérica
TRANSCRIPT
![Page 1: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/1.jpg)
MÉTODOS NUMÉRICOS
Diferenciación e Integración Numérica
![Page 2: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/15.jpg)
USO DE LAS FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
15
2
2''
2'
h
hxyxyhxyxy
h
hxyhxyxy
1.0
1
.
1.0,1''1'
. 2
h
x
Solución
hconyeyEstime
xxsenexySeaEjemplo x
![Page 16: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/16.jpg)
16
0076.09298.49374.4
9298.41''01.0
7367.22874.328873.3
1.0
1.01121.011''
0027.07533.57650.5
7533.52.0
7367.28873.3
1.02
1.011.011'
2
2
1
err
y
yyyy
err
yyy
9374.41''
2cos*2''
7560.51'
2cos'
y
xexy
y
xxxsenexy
exactosValores
x
x
![Page 17: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/48.jpg)
FORMULAS DE NEWTON-COTES ABIERTAS Estas fórmulas también hacen uso del
polinomio interpolante y son útiles cuando se desea calcular integrales de funciones que no se pueden evaluar en alguno de sus extremos
REGLA DEL RECTANGULO O DEL PUNTO MEDIO
2
0
12x
x
xhfdxxf
![Page 49: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/49.jpg)
1
0
1dx
xLog
Ejemplo.- Resolver la siguiente integral:
a)Usando la Regla del rectángulo (h=1/2), tomando 2 particiones
b)Usando la regla del rectángulo compuesta (h=1/8), tomando 8 particiones
Solucióna)
b)
8
7**2
8
5**2
8
3**2
8
1**2
8/1
5.0
1*5.0*25.0**2
5.0
2
1
fhfhfhfhI
h
LogfhI
h
![Page 50: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/50.jpg)
Hace uso de un polinomio de primer grado, trazando una recta entre los dos puntos interiores
REGLA DEL TRAPECIO ABIERTA
3
0
212
3x
x
xfxfh
dxxf
![Page 51: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/51.jpg)
Hace uso de un polinomio de segundo grado, trazando una parábola entre los tres puntos interiores
REGLA DE SIMPSON ABIERTA
3
0
321 223
4x
x
xfxfxfh
dxxf
![Page 52: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/52.jpg)
1
0
1dx
xLog
Ejemplo.- Resolver la siguiente integral:
a)Usando la fórmula de Simpson abierta (h=1/4), tomando 4 particiones
b)Usando la regla del Simpson abierta compuesta (h=1/8), tomando 8 particiones
Solucióna)
b)
8
72
4
3
8
52*
3
4
8
32
4
1
8
12*
3
4
8/1
4
32
2
1
4
12*
3
4
4/1
2
1
fffh
fffh
I
h
fffh
I
h
![Page 53: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/53.jpg)
Primera soluciónHaciendo un cambio de
variable se puede transformar en otra integral equivalente con limites finitos. Esta nueva integral se puede resolver usando algunas de las fórmulas abiertas.
CALCULO DE INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS (1)
1
dxex x
1
02
/1
2
/1
11
0
11
dtt
et
tx
tx
dtt
dxt
x
t
![Page 54: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/54.jpg)
Segunda soluciónSe elige un limite superior b mucho mayor
que 1, tal que f(b) es muy cercano a cero y el área a la derecha de b sea prácticamente despreciable. Se puede emplear cualquiera de las fórmulas de integración cerradas.
CALCULO DE INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS (2)
1
dxex x
0
11
bf
b
dxexb
x
![Page 55: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/55.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS Las fórmulas de integración vistas antes
requieren que se conozcan los valores de la función cuya integral se va a aproximar en puntos uniformemente espaciados. Sin embargo si la función está dada explícitamente, los puntos para evaluar la función puede escogerse de otra manera que nos lleve a una mayor precisión de la aproximación.
n
iii
b
axfcdxxf
1
)()(
![Page 56: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/56.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS La cuadratura Gaussiana se preocupa en escoger
los puntos de evaluación de una manera óptima. Esta presenta un procedimiento para escoger los valores x1, x2, ... , xn en el intervalo [a, b] y las constantes c1, c2, ... , cn que se espera minimicen el error obtenido al realizar la aproximación:
Para determinar los puntos xi donde debe evaluarse la función y los factores de peso ci se usa un procedimiento de coeficientes indeterminados
Estos coeficientes también se pueden obtener mediante el polinomio de Legendre, por esta razón a este método se le suele llamar también cuadratura de Gauss-Legendre.
![Page 57: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/57.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para n=1:
n
iii xfcdxxf
1
1
1)()(
Definimos inicialmente la integrar siguiente con limites en [-1 , 1]:
)()( 11
1
1xfcdxxf
![Page 58: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/58.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para f(x)=1:
Dado que tenemos 2 incógnitas, requerimos 2 condiciones: supondremos que es exacta para cualquier polinomio de grado 1 o menor, por lo tanto, será exacta para el conjunto de funciones {1, x}
2121 11
1
1 ccdx
Para f(x)=x:
00 111
1
1 xxcdxx
Por lo tanto: 02)(1
1fdxxf
![Page 59: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/59.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para n=2:
)()()( 2211
1
1xfcxfcdxxf
Dado que tenemos 4 incógnitas, requerimos 4 condiciones: supondremos que es exacta para cualquier polinomio de grado 3 o menor, por lo tanto, será exacta para el conjunto de funciones {1, x, x2, x3}
![Page 60: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/60.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para f(x)=1:
21121 2121
1
1 ccccdx
Para f(x)=x:
2211
1
10 xcxcdxx
Para f(x)=x2:
222211
1
1
2
3
2xcxcdxx
![Page 61: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/61.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Resolviendo este sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas tendremos:
322311
1
1
3 0 xcxcdxx
Para f(x)=x3:
3
1
3
11 2121 xxcc
Por lo tanto:
3
1
3
1)(
1
1ffdxxf
![Page 62: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/62.jpg)
TABLA DE LA CUADRATURA GAUSSIANA
![Page 63: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/63.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para evaluar la integral en [-1,1], los valores xi y ci quedan definidos en la tabla anterior para diversos valores de n.
Para otros limites debemos recurrir a un cambio de variable.
Consideremos la cuadratura Gaussiana para evaluar:
b
adttfI )(
![Page 64: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/64.jpg)
CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Donde [a,b][-1,1], los límites de integración debe ser [-1,1] por lo cual recurrimos a un cambio de variable:
2
)()( baxabt
dx
abdt
2
Reemplazando tendremos:
n
iii
b
a
b
a
xfcab
dttf
dxabxab
fab
dttf
1
1
1
2)(
2
)()(
2)(
![Page 65: Diferenciación e Integración Numérica](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061220/54bc094e49795958418b63df/html5/thumbnails/65.jpg)
Ejemplo.- Utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre (n=2), estime la siguiente integral:
5.1
1
2
dteI t
Solución.- a=1 y b=1.5
4
5
2
5.25.0
2
)15.1()15.1(
xxxt
4
dxdt
1
1 2211
4
5
5.1
1
1
1
4
5
)()()(
4
1)(
41
2
2
2
xFcxFcdxxF
exF
dxedte
x
xt
1094002612.0
5773502692.015773502692.01
I
FFI