Informe de Laboratorio: Difraccion de Fraunhofer por varios

objetos

Daniel Caudevilla Gutierrez y Jorge Naranjo MartınPAREJA 4

3º C.C. FısicasFecha de realizacion: 3 de Noviembre de 2014Fecha de entrega: 11 de Noviembre de 2014

1. Introduccion

El objetivo de esta practica es calcular dimensiones de varios objetos mediante el efecto de ladifraaccion. Para ello usaremos la difraccion en el regimen de Fraunhofer (campo lejano).

2. Metodo experimental

El montaje de la practica es el indicado en la figura1, que consta de un laser de He-Ne, cuyalongitud de onda (λ) es (632.8 ± 0.1) nm1; un expansor, un polarizador (para regular la intensidad),un objeto difractor, que para esta practica vamos a usar una abertura circular de radio a y unarendija de anchura 2a; una lente de focal (f ′) (200 ± 1) mm y un sistema formado por una camaraCCD, que contiene un chip que capta la imagen de interferencia formada por el objeto difractor ynosotros podremos observarla y analizarla a tiempo real en un ordenador que se encuentra en ellaboratorio a traves del programa MATLAB. Debemos tener en cuenta que un pıxel mostrado enla pantalla equivale a (7.2 ± 0.5) µm en la realidad.

Figura 1: Montaje experimental

1A lo largo de toda la practica consideraremos error en los valores de la longitud de onda λ y de la distanciafocal f ′

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Mediremos las posiciones de los mınimos de interferencia y calcularemos el radio de la aberturacircular a y la anchura 2a de la rendija mediante los metodos indicados en cada apartado.

Una vez obtenidos, compararemos los resultados con los conseguidos midiendo ambos objetosmediante un microscopio.

2.1. Abertura circular

Comenzaremos ideando un metodo para calcular el radio de la abertura circular, para ellopartiremos de que la distribucion de intensidad en campo lejano de la difraccion provocada poruna abertura circular de radio a viene dada por:

I = Io[J1(kasenψ)

kasenψ]2 (1)

Donde J1(y) es la funcion de Bessel de orden uno, de la cual sabemos que se anula en losargumentos y = 1,220π, 2,333π, 3,238π y (0,24 + n)π para n mayores o iguales a 4, y por lo tantocorresponden a mınimos de intensidad en la imagen del programa.

El argumento de la funcion de Bessel es igual a kasenψ, donde k = 2πλ y podemos aproximar

senψ a xf ′ con lo que nos queda:

y =2aπ

f ′λx (2)

Donde x es la posicion de los mınimos de intensidad, que podemos obtener mediante el programaMATLAB experimentalmente, que nos da los valores d, que corresponden a la posicion de losmınimos, pero con respecto a un punto inicial diferente del centro de la abertura. Pero dado quepodemos calcular el centro c como la media de los dos puntos inicial (d1) y final (d2) del maximode intensidad central, obtenemos que x es:

c =d1 + d2

2; ∆c =

√(∆d1

2)2 + (

∆d2

2)2 (3)

x = d− c; ∆x =√

∆d2 + ∆c2 (4)

Donde d es la medida de la difraccion desde un extremo, y c es la distancia del centro.

Una vez obtenida x, podemos realizar un ajuste lineal con y, y obteniendo la pendiente m lacual sera igual a:

m =2aπ

f ′λ(5)

Despejandola en funcion de a obtenemos:

a =mf ′λ

2π; ∆a =

1

2π

√(mf ′∆λ)2 + (mλ∆f ′)2 + (λf ′∆m)2 (6)

Una vez explicado el procedimiento, pasamos a realizar los calculos experimentales, los cualesson expuestos en las tablas1 − 52. Vamos a realizar los calculos con dos imagenes tomadas de ladifraccion, las imagenes circulo1 y circulo2, para ası asegurarnos que la imagen tomada para elestudio es la correcta, y nos permite ir comparando resultados que, a priori, deberıan ser identicoso diferir muy poco.

2Las tablas se encuentran al final del informe, en el apartado Tablas y graficos [4].

2

Figura 2: Cırculos 1 y 2 con sus respectivas distribuciones de intensidad obtenidas mediante elprograma MATLAB

Aplicando la eq4 obtenemos que la posicion de los centros para cada imagen es:

c1 = (1,9728 ± 0,0004)10−3 mc2 = (1,9521 ± 0,0004)10−3 m

Por lo que tenemos que las posiciones de los mınimos x son los expresados en las tablas 5 y6, donde tambien aparecen los valores correspondientes a sus valores de los mınimos de la funcionde Bessel y, pudiendo realizar ası los ajustes lineales mostrados en las imagenes ajustecirculo1 yajustecirculo23. Las pendientes obtenidas para cada uno de los ajustes son:

m1 = (11670 ± 150)m−1

m2 = (11714 ± 105)m−1

Como era de esperar, se trata de dos pendientes muy similares, a continuacion calcularemos lapendiente media mediante:

m =m1 +m2

2; ∆m =

√(∆m1

2)2 + (

∆m2

2)2 (7)

m = (11693 ± 108)m−1

Por lo que solo nos queda aplicar la eq6 para calcular a, con lo que obtenemos:

a=(2,36 ± 0,02)·10−4 m

3Los ajustes realizados y sus resultados se encuentran, al igual que las tablas, en el final del informe.

3

Una vez que hemos calculado a mediante la difraccion, vamos a pasar a calcularla midiendo conun microscopio. Las medidas que hemos tomado son las que aparecen en la tabla5. Con el tornillomicrometrico medimos el inicio xi y el final xf de la abertura circular y calculamos su radio amediante:

a =xf − xi

2; ∆a =

√(∆xf

2)2 + (

∆xi2

)2 (8)

Calculamos a como la media de los resultados experimentales conseguidos, mostrados en latrabla5:

a=(2.28 ± 0.07)·10−4 m

2.2. Rendija

A continuacion idearemos un metodo para calcular el radio de la rendija, para ello partiremosde que la distribucion de intensidad en campo lejano de la difraccion provocada por una rendijade anchura a viene dada por:

I = Io[sen(kasenψ)

kasenψ]2 (9)

Donde podemos comprobar que los puntos en los que la intensidad se hace mınima son aquellosque corresponden a los valores que hacen cero la funcion sen(y), tomando y como kasenψ , losvalores de y que hacen cero la funcion son del tipo nπ, siendo n el orden de difraccion.

El argumento de la funcion seno es igual a kasenψ, donde k = 2πλ y podemos aproximar senψ

a xf ′ con lo que nos queda:

x =λf ′

2an (10)

Donde x es la posicion de los mınimos de intensidad. Si procedemos de igual manera que en elapartado anterior (2,1Aberturacircular), obtenemos los valores de las posiciones de los mınimosde intensidad con respecto al centro x, a partir de los valores de las posiciones de los mınimos conrespecto a un punto inicial. Podemos calcular el centro c como el punto medio entre los mınimoscorrespondientes al -1 y al 1, ya que no se observan bien los extremos del maximo de intensidad,a diferencia que en el apartado anterior, aunque se calcula mediante la eq3 igualmente. Y con laeq4 obtenemos las distancias de los mınimos (x).

Una vez obtenida x, podemos realizar un ajuste lineal con n, y obteniendo la pendiente m lacual sera igual a:

m =λf ′

2a(11)

Despejando a en funcion de la pendiente obtenemos:

a =f ′λ

2m; ∆a =

1

2m

√(f ′∆λ)2 + (λ∆f ′)2 + (−λf

′∆m

m)2 (12)

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Los datos medidos en el laboratorio se exponen al final del informe en las tablas 6 − 8. Losdatos se han tomado de la misma forma que en el apartado anterior, a partir de las imagenes deinterferencia proporcionadas por el programa MATLAB, las cuales son las siguientes:

Figura 3: Rendijas 1 y 2 con sus respectivas distribuciones de intensidad obtenidas mediante elprograma MATLAB

Con los datos de los primeros mınimos de interferencia, que se pueden obtener de las tablas 6y 7, obtenemos que los centros son:

c1 = (2,8120 ± 0,0006)10−3 mc2 = (2,7436 ± 0,0006)10−3 m

Ya podemos obtener las distancias de los mınimos respecto al centro, mostrados en las tablas 6y 7. Ahora, conocidos los valores de x para cada orden de interferencia podemos representarlos yrealizar un ajuste lineal. Estos ajustes estan al final del informe (ajusterendija1 y ajusterendija2),de los cuales obtenemos las siguientes pendientes:

m1 = (3,2034 ± 0,0004) · 10−4 mm2 = (3,1895 ± 0,0004) · 10−4 m

Como se puede ver son dos pendientes muy proximas, con lo que usaremos el promedio de lasdos:

m =m1 +m2

2; ∆m =

√(∆m1

2)2 + (

∆m2

2)2 (13)

m = (3,1964 ± 0,0003) · 10−4 m

E introduciendo este valor de la pendiente en la eq12 obtenemos que la anchura de la rendijaes:

a=(1,98 ± 0,01)·10−4 m

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Pasamos a medir la anchura de la rendija (a) mediante el microscopio de igual manera que lautilizada para realizar la medida del radio del cırculo. Medimos xf y xi y calculamos a mediante:

a = xf − xi; ∆a =√

(∆xf )2 + (∆xi)2 (14)

Por lo que, calculando la media para los resultados obtenidos para a, mostrados en la tabla8,obtenemos:

a=(2.2 ± 0,1)·10−4 m

3. Discusiones y conclusion

Como podemos observar, los valores obtenidos mediante el metodo de difraccion y mediante eluso del microscopio son muy similares, incluso en el caso de la abertura circular quedando dentrodel rango de sus incertidumbres; pudiendo concluir con que son bastante correctos dichos valores.

Ademas, tambien debemos senalar que los datos obtenidos mediante la difraccion son muchomas precisos que los obtenidos mediante el microscopio. Para el caso de la abertura circular, me-diante el metodo de la difraccion obtenemos un error relativo del 0.8 %, mientras que mediante eluso del microscopio el error relativo es del 3.1 %. Y para el caso de la rendija, tenemos un errorrelativo del 0.5 % mediante la difraccion y un 4.5 % mediante el microscopio.

Debido precisamente a que es mas preciso el metodo de la difraccion, en la actualidad se utilizamucho para la medicion de distancias muy pequenas, del orden de nanometros incluso, donde a losmicroscopios y otros instrumentos opticos les resulta imposible llegar. Por esta razon, es una ramaque esta en auge en la industria ya que, por ejemplo, permite medir espesores de nanomateriales,sistemas cristalinos...

De este modo queda sustentada la utilizacion del metodo de la difraccion para muchos avancesde la ciencia y tecnologıa actual.

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4. Tablas y graficos

Tabla 1: Calculo de c. Circulo 1

d1 ± ∆d1(pixel) d1 ± ∆d1(m) d2 ± ∆d2(pixel) d2 ± ∆d2(m)

230,9 ± 0,1 0,00166248 ± 8,76584E-07 317,6 ± 0,1 0,00228672 ± 8,76584E-07228,9 ± 0,1 0,00164808 ± 8,76584E-07 318,6 ± 0,1 0,00229392 ± 8,76584E-07

Tabla 2: Calculo de c. Circulo 2

d1 ± ∆d1(pixel) d1 ± ∆d1(m) d2 ± ∆d2(pixel) d2 ± ∆d2(m)

223,7 ± 0,1 0,00161064 ± 8,76584E-07 318,6 ± 0,1 0,00229392 ± 8,76584E-07222,5 ± 0,1 0,001602 ± 8,76584E-07 319,7 ± 0,1 0,00230184 ± 8,76584E-07

Tabla 3: Datos para ajuste lineal. Circulo 1

n d± ∆d(pixel) d± ∆d(m) x± ∆x(m) y

-4 115,5 ± 0,1 0,0008316 ± 0,0000009 -0,0011412 ± 0,000001 -13,32035285-3 157,2 ± 0,1 0,00113184 ± 0,0000009 -0,00084096 ± 0,000001 -10,17247701-2 195,7 ± 0,1 0,00140904 ± 0,0000009 -0,00056376 ± 0,000001 -7,329335661-1 224,5 ± 0,1 0,0016164 ± 0,0000009 -0,0003564 ± 0,000001 -3,8327430371 322,9 ± 0,1 0,00232488 ± 0,0000009 0,00035208 ± 0,000001 3,8327430372 363,5 ± 0,1 0,0026172 ± 0,0000009 0,0006444 ± 0,000001 7,3293356613 399,9 ± 0,1 0,00287928 ± 0,0000009 0,00090648 ± 0,000001 10,172477014 433,0 ± 0,1 0,0031176 ± 0,0000009 0,0011448 ± 0,000001 13,32035285

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Figura 4: Ajuste lineal cırculo 1

Tabla 4: Datos para ajuste lineal. Circulo 2

n d± ∆d(pixel) d± ∆d(m) x± ∆x(m) y

-4 108,1 ± 0,1 0,00077832 ± 0,0000009 -0,00117378 ± 0,000001 -13,32035285-3 149,0 ± 0,1 0,0010728 ± 0,0000009 -0,0008793 ± 0,000001 -10,17247701-2 185,0 ± 0,1 0,001332 ± 0,0000009 -0,0006201 ± 0,000001 -7,329335661-1 218,7 ± 0,1 0,00157464 ± 0,0000009 -0,00037746 ± 0,000001 -3,8327430371 313,6 ± 0,1 0,00225792 ± 0,0000009 0,00030582 ± 0,000001 3,8327430372 352,1 ± 0,1 0,00253512 ± 0,0000009 0,00058302 ± 0,000001 7,3293356613 388,1 ± 0,1 0,00279432 ± 0,0000009 0,00084222 ± 0,000001 10,172477014 427,8 ± 0,1 0,00308016 ± 0,0000009 0,00112806 ± 0,000001 13,32035285

Figura 5: Ajuste lineal cırculo 2

Tabla 5: Calculo de a con el microscopio. Abertura circular

(xi ± ∆xi)10−3(m) (xf ± ∆xf )10−3(m) (a± ∆a)10−3(m)

8,44 ± 0,01 8,9 ± 0,01 0,230 ± 0,0158,45 ± 0,01 8,9 ± 0,01 0,225 ± 0,0158,45 ± 0,01 8,91 ± 0,01 0,230 ± 0,015

8

Tabla 6: Datos para ajuste lineal. Rendija 1

n d ± ∆d (pıxel) d ± ∆d (m) x ± ∆x(m)

-7 110,9 ± 0,1 0,0007985 ± 0,0000009 -0,0020135 ± 0,0000005-6 148,8 ± 0,1 0,0010714 ± 0,0000009 -0,0017406 ± 0,0000005-5 188,8 ± 0,1 0,0013594 ± 0,0000009 -0,0014526 ± 0,0000005-4 228,7 ± 0,1 0,0016466 ± 0,0000009 -0,0011653 ± 0,0000005-3 271,7 ± 0,1 0,0019562 ± 0,0000009 -0,0008557 ± 0,0000005-2 310,6 ± 0,1 0,0022363 ± 0,0000009 -0,0005756 ± 0,0000005-1 350,6 ± 0,1 0,0025243 ± 0,0000009 -0,0002876 ± 0,00000051 430,5 ± 0,1 0,0030996 ± 0,0000009 0,0002876 ± 0,00000052 470,4 ± 0,1 0,0033869 ± 0,0000009 0,0005749 ± 0,00000053 511,4 ± 0,1 0,0036821 ± 0,0000009 0,0008701 ± 0,00000054 552,3 ± 0,1 0,0039766 ± 0,0000009 0,0011646 ± 0,00000055 592,3 ± 0,1 0,0042646 ± 0,0000009 0,0014526 ± 0,00000056 632,3 ± 0,1 0,0045526 ± 0,0000009 0,0017406 ± 0,00000057 670,2 ± 0,1 0,0048254 ± 0,0000009 0,0020135 ± 0,0000005

Figura 6: Ajuste lineal rendija 1

Tabla 7: Datos para ajuste lineal. Rendija 2

n d ± ∆d (pıxel) d ± ∆d (m) x ± ∆x(m)

-7 100,9 ± 0,1 0,0007265 ± 0,0000009 -0,0020171 ± 0,0000005-6 141,8 ± 0,1 0,0010210 ± 0,0000009 -0,0017226 ± 0,0000005-5 181,8 ± 0,1 0,0013090 ± 0,0000009 -0,0014346 ± 0,0000005-4 220,8 ± 0,1 0,0015898 ± 0,0000009 -0,0011538 ± 0,0000005-3 261,7 ± 0,1 0,0018842 ± 0,0000009 -0,0008593 ± 0,0000005-2 309,7 ± 0,1 0,0022298 ± 0,0000009 -0,0005137 ± 0,0000005-1 340,6 ± 0,1 0,0024523 ± 0,0000009 -0,0002912 ± 0,00000051 421,5 ± 0,1 0,0030348 ± 0,0000009 0,0002912 ± 0,00000052 461,5 ± 0,1 0,0033228 ± 0,0000009 0,0005792 ± 0,00000053 501,5 ± 0,1 0,0036108 ± 0,0000009 0,0008672 ± 0,00000054 542,4 ± 0,1 0,0039053 ± 0,0000009 0,0011617 ± 0,00000055 581,4 ± 0,1 0,0041861 ± 0,0000009 0,0014425 ± 0,00000056 621,3 ± 0,1 0,0044734 ± 0,0000009 0,0017298 ± 0,00000057 662,3 ± 0,1 0,0047686 ± 0,0000009 0,0020250 ± 0,0000005

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Figura 7: Ajuste lineal rendija 2

Tabla 8: Calculo de a con el microscopio. Rendija

(xi ± ∆xi)10−3(m) (xf ± ∆xf )10−3(m) (a± ∆a)10−3(m)

9,01 ± 0,01 9,23 ± 0,01 0,22 ± 0,014907129,01 ± 0,01 9,23 ± 0,01 0,22 ± 0,014907129,01 ± 0,01 9,22 ± 0,01 0,21 ± 0,01490712

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