didactica alg y geo 2015-1

Autora: María Aravena Díaz. Autora: María Aravena Díaz. PROYECTO FONDECYT PROYECTO FONDECYT

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La evaluación La evaluación en en

matemáticamatemática

Dra. María Aravena DíazDra. María Aravena DíazFacultad de Ciencias Facultad de Ciencias

BásicasBásicasmatemáticamatemática


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JustificaciónLa formación actual no está respondiendo a las demandas del entorno.La evidencia internacionalDiagnóstico realizado en ChileEl contenido matemático. deficiencias y obstáculos

Problemas cruciales.

Que enseñar Cómo enseñar

Qué lograr en ese proceso


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Evidencia internacional.(1)Los cambios que se han generado en el

último tiempo. La rápida evolución del conocimiento científico y de la técnica y a su vez la obsolescencia de las mismas

Cambiar las estrategias de los docentes de tal manera de desarrollar en los estudiantes capacidades de alto nivel, necesarias para enfrentar un mundo en cambio permanente.

consecuencia


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(2) Las numerosas teorías y modelos de enseñanza que se han venido desarrollando y que apuestan a que el estudiante participe activamente en la construcción de su propio conocimiento.

• • revisión curricular profunda en todos los niveles, adecuando la oferta educativa acorde a los tiempos actuales.

• incorporar nuevas metodologías y métodos eficaces.

• asumiendo una actitud diferente frente a la enseñanza y el aprendizaje, donde se considere la importancia de éste para la vida actual y futura de los educandos.

Ha obligado a


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Diagnósticos en ChileDiagnósticos en Chileeducación superior. Educ.

Media Educ.básica

•Contenidos vistos sólo desde el punto de vista teórico-formal•Pocas aplicaciones•Escasa relación con las otras áreas del conocimiento.•Dificultad para enfrentar y manejar problemas con soluciones múltiples.•Escaso conocimiento en modelos de enseñanza.•Escaso conocimiento de modelos evaluativos.

•Tratamiento de los temas basados sólo en lo teórico-formal. •Las aplicaciones son escasas y la relación con otras áreas no es considerada.•Las metodologías de trabajo siguen siendo tradicionales. •La Evaluación de los aprendizajes está exclusivamente basada en pruebas escritas masificadas.

•Leer e interpretar información en forma global •RESOLVER PROBLEMAS enunciado verbal.•Generalizar y relacionarConcluir y comunicar resultados de acuerdo a las condiciones del problema. •Dificultad para enfrentar y manejar problemas con soluciones múltiples.•Dificultades para el trabajo en equipo.


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Consideraciones iniciales. La complejidad del problema

la matemática moderna surge la matemática moderna surge con fuerza en nuestro país a con fuerza en nuestro país a partir de los 60. partir de los 60.

Desde un punto de vista Desde un punto de vista históricohistórico

•La geometría no tuvo La geometría no tuvo cabidacabida• se dejo de lado las se dejo de lado las representaciones yrepresentaciones ylas aplicacioneslas aplicaciones

los contenidos los contenidos se se sobrecargaron sobrecargaron dede• estructuralismoestructuralismo•AbstracciónAbstracción•lenguaje lenguaje

Mediados de los 70Mediados de los 70 El problema de la El problema de la enseñanza de la enseñanza de la matemática se matemática se acrecienta aún másacrecienta aún más

Perdida dePerdida decapacidades capacidades

concretas deconcretas de• visualización visualización • modelización modelización • interpretacióninterpretaciónaspectos claves de la aspectos claves de la

matemática matemática

A partir de los 80se generan los se generan los primeros primeros cambios en cambios en los planes de los planes de estudio en estudio en EuropaEuropa

En ChileEn Chile•el proceso de el proceso de transformación ha transformación ha sido lento sido lento •el proceso de el proceso de formación para los formación para los nuevos docentes, nuevos docentes, ha sido complejoha sido complejo


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La década de los 90La década de los 90

Se observa en dichos diagnósticos que en el aprendizaje de la Se observa en dichos diagnósticos que en el aprendizaje de la matemática se ha buscado las raíces del problema por casi todas matemática se ha buscado las raíces del problema por casi todas partes, excepto en los procedimientos de la propia matemática partes, excepto en los procedimientos de la propia matemática (Alsina,1998). (Alsina,1998).

•En Chile se efectúan En Chile se efectúan una serie de una serie de diagnósticos para diagnósticos para detectar el problema detectar el problema que afecta a la que afecta a la educacióneducación

• tratamiento de los temas tratamiento de los temas de matemática y de ciencias de matemática y de ciencias se enseñan a espaldas de la se enseñan a espaldas de la realidad.realidad.

• las aplicaciones son las aplicaciones son escasas y la relación con escasas y la relación con otras áreas del conocimiento otras áreas del conocimiento no es considerada.no es considerada. •En las clases el problema se En las clases el problema se agudiza aún más donde se agudiza aún más donde se privilegia la algoritmización, privilegia la algoritmización, la memorización y la la memorización y la parcelación del conocimiento. parcelación del conocimiento.

éstos dan cuenta de la magnitud del éstos dan cuenta de la magnitud del problemaproblema


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La problemática actualLa problemática actual• El formalismo matemático arraigado en Chile.El formalismo matemático arraigado en Chile.• La forma como se articula el contenido basado solo La forma como se articula el contenido basado solo

en algoritmos (salvo excepciones)en algoritmos (salvo excepciones)• Guiar a los alumnos hacia la solución del profesorGuiar a los alumnos hacia la solución del profesor• Penalizar el errorPenalizar el error• Temor a equivocarse.Temor a equivocarse.• No hay evaluación, solo calificación. No hay evaluación, solo calificación. • Escasa comunicación matemática de parte de los Escasa comunicación matemática de parte de los

alumnos.alumnos.• poca participación de los alumnos en clasepoca participación de los alumnos en clase• Escasa creatividad.Escasa creatividad.• Poca capacidad de innovarPoca capacidad de innovar


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Necesidad actualNecesidad actualCrear oportunidades Crear oportunidades en donde los en donde los estudiantes estudiantes experimenten el experimenten el proceso de pensar y proceso de pensar y disfrutar. disfrutar.

Desarrollo de Desarrollo de estrategias estrategias creativas de creativas de enseñanza. enseñanza. Para apoyar Para apoyar diversas formas de diversas formas de pensar y promover pensar y promover el placer de el placer de aprender.aprender.

•Crear situaciones o problemas que Crear situaciones o problemas que atraigan la atención de los alumnosatraigan la atención de los alumnos

•Apuntar al reconocimiento de Apuntar al reconocimiento de regularidades o propiedades.regularidades o propiedades.

•Explicar dichas regularidades Explicar dichas regularidades potenciar el pensamiento potenciar el pensamiento matemático inductivomatemático inductivo

Desarrollo de Desarrollo de actividades actividades matemáticas matemáticas creativascreativas

•motiven la búsqueda de motiven la búsqueda de regularidadesregularidades•que ayude a encontrar dichas que ayude a encontrar dichas regularidades.regularidades.• explicación de dichas explicación de dichas regularidades.regularidades.•asegurar que los niños aprendan por sí

mismos•estimular ideas para resolver problemas. • estudiando en profundidad el material didáctico•preparación de problemas •anticipándose a las ideas de los niños.•comprendiendo la calidad y eficacia de las ideas•desarrollando preguntas para estimular la solución


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1. Actividad matemática. Diseño de las actividadesEl quehacer matemático basado en problemas es un punto El quehacer matemático basado en problemas es un punto esencial para el desarrollo del pensamientoesencial para el desarrollo del pensamiento

• Colocar la matemática más contextualizada. Trabajar con problemas del contexto y edad de los niños.

Los conceptos y procesos se van construyendo en base Los conceptos y procesos se van construyendo en base a la discusión y reflexión de los propios alumnos.a la discusión y reflexión de los propios alumnos.

• Conectar con las distintas áreas del conocimiento.

• Modelar situaciones.

• La visualización se constituye en un punto de La visualización se constituye en un punto de partida para lograr la búsqueda de partida para lograr la búsqueda de regularidadesregularidades


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Tipos de situacionesTipos de situaciones• conexión matemática y cienciasconexión matemática y ciencias..• situaciones gráficas y de la vida situaciones gráficas y de la vida

cotidianacotidiana..• interrelación con interrelación con la la geometríageometría..• modelización de situaciones de la modelización de situaciones de la

realidad chilenarealidad chilena.. • trabajo matemático –computacional trabajo matemático –computacional

para afianzar los conceptos y procesos para afianzar los conceptos y procesos matemáticosmatemáticos..


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Tipos de representacionesTipos de representaciones• Esquemas visualesEsquemas visuales• GráficosGráficos• Tablas Tablas • enunciado verbalenunciado verbal• Fórmula. Fórmula.

Mirar el mismo fenómeno desde diversas perspectivas.


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Obstáculos y dificultades.

Estudio histórico –epistemológico. En el desarrollo de los conceptos, se presentaron

diversos obstáculos, que representaron dificultades para el avance de la matemática

(a) la simbología. (b) métodos y procedimientos. (c) distinción entre parámetro e incógnita (Filloy, 1989;

Boyer, 1996; Cantoral, 1995; Aravena, 2001; Font, 2001).

Por ello es necesario que los docentes tengan claridad de las dificultades y obstáculos en la asignatura que enseña.


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2. Diseño metodológico2. Diseño metodológico(1) Que modelo pedagógico se va a usar.(1) Que modelo pedagógico se va a usar.(2) Materiales didácticos. (2) Materiales didácticos. • Visualización. Material concreto que modele la Visualización. Material concreto que modele la

realidad, pero tendiendo a la abstracción. realidad, pero tendiendo a la abstracción. • Asociación de fenómenos concretos con Asociación de fenómenos concretos con

experimentos que los niños deduzcan aceptando el experimentos que los niños deduzcan aceptando el error. (trabajar el error para mejorar y no para error. (trabajar el error para mejorar y no para penalizar) penalizar)

(3) Como se tratarán los errores(3) Como se tratarán los errores(4) Como será la Enseñanza (4) Como será la Enseñanza • en forma gradual para mejorar el entendimiento.en forma gradual para mejorar el entendimiento.• Se trata que los alumnos encuentren un sistema Se trata que los alumnos encuentren un sistema

que les permita aprender.que les permita aprender.• Esto tiene implicancias profundas en la enseñanza, Esto tiene implicancias profundas en la enseñanza,

porque se requiere planteamientos bien porque se requiere planteamientos bien seleccionados.seleccionados.


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Modelos de enseñanzaModelos de enseñanza• El constructivismo.• El procesamiento de la información.• Los dominios conceptuales de Greeno• Los niveles de Van Hiele• Las imágenes conceptuales de Vinner. Que hacen énfasis en el

aprendizaje, analizando las componentes psicológicas de los estudiantes puestas en juego durante el aprendizaje

• La investigación –acción.• La enseñanza por diagnóstico• La enseñanza por descubrimiento• La teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, que se

centra en la enseñanza observando la influencia del curriculum o de la actividad del profesor en el aula.

• Modelo de Polya• Modelo japonés.• Modelo Finlandés.• Ingeniería Didáctica


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Fases

1 Reconoc.(figura)

2 Análisis(propiedad)

3 Clasific.(relación)

4 Ded. formal(demostración)

5 Rigor(sistema)

1. Discernimiento Comparar objetos.

CompararRelaciones

Relacionar las acciones con el dibujo

Relacionar una observación e identificarla

Relacionar características generales.

2. Orientación dirigida.

IdentificarAlguna característica

Encontrar alguna propiedad

Encontrarrelaciones

Identificar algún concepto importante

Identificar que existe una relación general

3. Explicitación. Explicitar todas las posibilidades de ...

Encontrar elementos que las caracterizan

Explicitar métodos de construccióno de composición

Explicitar dos formas distintas de componer

Explicitar una estructura de clasificación

4. Orientación libre.

Resolver un problema en el que aparezcan traslaciones y rotaciones

Descubrir los elementos que permiten deducir una propiedad

Dar una algoritmo para resolver una composición

Demostrar alguna propiedad relevante

Identificar a través de un mapa conceptual las isometrías.

5. Integración. Definir elementos básicos de las isometrías

Enunciar una clasificación general para cada una de ellas

Estudiar las formas de construcción de las isometrías. Dar ejemplos concretos

Representar composiciones y estudiar la forma de componer y de productos

Caracterizar de manera general y realizar algunas demostraciones

Modelo de los Van- Hiele


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PolyaPolya DeweyDewey WallasWallas1.1. Comprensión Comprensión

del problemadel problema2.2. Trazado de un Trazado de un

plan de acciónplan de acción3.3. Ejecución del Ejecución del

planplan4.4. ReconsideraciReconsideraci

ón y ón y retrospecciónretrospección

1.1. ExperimentaExperimentar una r una dificultaddificultad

2.2. Definir la Definir la dificultaddificultad

3.3. Generar una Generar una solución solución posibleposible

4.4. Probar la Probar la solución solución razonandorazonando

5.5. Verificar la Verificar la soluciónsolución

1.1. PreparaciónPreparación2.2. IncubaciónIncubación3.3. IluminaciónIluminación4.4. VerificaciónVerificación..


Nº1030122Nº1030122 1818

Conclusión 1. La capacitación de los Conclusión 1. La capacitación de los docentesdocentesdebe tomar giro radical tendientes a :debe tomar giro radical tendientes a :

• planificación de clases de acuerdo a planificación de clases de acuerdo a un modelo pedagógico adecuado y un un modelo pedagógico adecuado y un modelo evaluativo que regule los modelo evaluativo que regule los aprendizajes. aprendizajes.

• diseño de materiales en geometría , diseño de materiales en geometría , en álgebra, aritmética.en álgebra, aritmética.

• evaluación de acuerdo al modelo. evaluación de acuerdo al modelo. • formatos de observación y evaluación.formatos de observación y evaluación.


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3. Elementos de evaluación 3. Elementos de evaluación para el desarrollo de para el desarrollo de capacidades de alto nivelcapacidades de alto nivel


Nº1030122Nº1030122 2020

¿Que es la evaluación? en un ¿Que es la evaluación? en un sentido moderno.sentido moderno.•Evaluar el aprendizaje matemático,

ha sido históricamente debatido, donde las preguntas centrales han sido: ¿Qué evaluar?. La respuesta, el proceso, los algoritmos, etc.;

•¿Cómo evaluar? . instrumentos, pruebas, tipos de pruebas, trabajos etc. ;

•¿Cuándo evaluar?, durante, al final.


Nº1030122Nº1030122 2121

Estado de la evaluación en Estado de la evaluación en chilechile• Hay acuerdos que una de las componentes esenciales Hay acuerdos que una de las componentes esenciales

que debe incorporarse en el trabajo matemático es la que debe incorporarse en el trabajo matemático es la componente evaluativa. componente evaluativa.

refleja realmente el progreso del estudiante. --refleja realmente el progreso del estudiante. --mediante mediante una selección adecuada de instrumentos. una selección adecuada de instrumentos.

• En la actualidad no ha sido revisada en profundidad en En la actualidad no ha sido revisada en profundidad en las diferentes instancias. las diferentes instancias.

• No existe una reflexión sobre el concepto de evaluación No existe una reflexión sobre el concepto de evaluación que subyace en los profesores que subyace en los profesores

• No hay claridad de las formas de evaluar el trabajo No hay claridad de las formas de evaluar el trabajo matemático.matemático.Hoy se exige no sólo un cambio en la enseñanza de la Hoy se exige no sólo un cambio en la enseñanza de la matemática, sino también, una modificación epistemológica matemática, sino también, una modificación epistemológica referida a la naturaleza de la propia actividad de los sujetos referida a la naturaleza de la propia actividad de los sujetos implicados en el proceso de enseñanza–aprendizaje, mediante la implicados en el proceso de enseñanza–aprendizaje, mediante la conformación de un conformación de un Modelo Integrador de EvaluaciónModelo Integrador de Evaluación (Aravena, (Aravena, 2001).2001).


Nº1030122Nº1030122 2222

Evaluación en matemáticaEvaluación en matemática• Una evaluación integrada de las Una evaluación integrada de las

Matemáticas, cumple una función Matemáticas, cumple una función pedagógica pedagógica reguladorareguladora personal y personal y colectiva, colectiva, vinculadoravinculadora, porque enfrenta , porque enfrenta a los agentes con el proceso para tratar a los agentes con el proceso para tratar de mejorarlo; de mejorarlo; igualitariaigualitaria, puesto que no , puesto que no sitúa al profesor en una posición de sitúa al profesor en una posición de poder y poder y críticacrítica ya que refleja el suceso ya que refleja el suceso y plantea problemas para resolvery plantea problemas para resolver. .

Desde esta perspectiva, la evaluación es la pieza clave de la regulación Desde esta perspectiva, la evaluación es la pieza clave de la regulación del proceso de enseñanza aprendizaje.del proceso de enseñanza aprendizaje.Llegando a transformarse en un concepto esencial en la enseñanzaLlegando a transformarse en un concepto esencial en la enseñanza


Nº1030122Nº1030122 2323

Términos claves a considerarTérminos claves a considerarCurrículum. Es un plan operativo que detalla qué Currículum. Es un plan operativo que detalla qué

matemáticas necesitan conocer los alumnos.matemáticas necesitan conocer los alumnos.cómo deben alcanzar los alumnos estos objetivos cómo deben alcanzar los alumnos estos objetivos

curricularescurriculares qué deben hacer los profesores para conseguir que sus qué deben hacer los profesores para conseguir que sus

alumnos desarrollen su conocimiento matemáticoalumnos desarrollen su conocimiento matemático y el contexto en el que se desarrolla el proceso y el contexto en el que se desarrolla el proceso

enseñanza – aprendizaje. enseñanza – aprendizaje.

Estándares. Un estándar es una afirmación-declaración Estándares. Un estándar es una afirmación-declaración que puede ser utilizada para juzgar la calidad de un que puede ser utilizada para juzgar la calidad de un currículo matemático o de métodos de evaluación. currículo matemático o de métodos de evaluación. Los estándares son declaraciones de principios sobre Los estándares son declaraciones de principios sobre qué tiene valor y qué no lo tiene.qué tiene valor y qué no lo tiene.

La necesidad de estándares: La necesidad de estándares: • Para asegurar la calidadPara asegurar la calidad• Para explicitar los objetivos.Para explicitar los objetivos.• Para propiciar cambios.Para propiciar cambios.


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Ejemplos de estándares:Ejemplos de estándares:

– La matemática como resolución de La matemática como resolución de problemas. problemas.

• objetivo primario de toda educación matemática. Y objetivo primario de toda educación matemática. Y una parte integral de toda la actividad una parte integral de toda la actividad matemática. matemática.

– Las matemáticas como comunicación. Las matemáticas como comunicación. • La comunicación, ayuda a construir los vínculos La comunicación, ayuda a construir los vínculos

entre las nociones informales e intuitivas y el entre las nociones informales e intuitivas y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas. lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas.

• Ayuda para establecer la conexión entre las Ayuda para establecer la conexión entre las representaciones físicas, gráficas, simbólicas representaciones físicas, gráficas, simbólicas verbales y mentales de las ideas matemáticas.verbales y mentales de las ideas matemáticas.


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-Las matemáticas como razonamiento. -Las matemáticas como razonamiento.

Un objetivo prioritario es conseguir que los alumnos se convenzan de Un objetivo prioritario es conseguir que los alumnos se convenzan de que poseen capacidad suficiente para utilizarlas y que tienen control que poseen capacidad suficiente para utilizarlas y que tienen control propio sobre su éxito o fracaso en este uso. propio sobre su éxito o fracaso en este uso.

•adquiere confianza en su capacidad para razonar y justificar su adquiere confianza en su capacidad para razonar y justificar su forma de pensar.forma de pensar.

-Las conexiones matemáticas. -Las conexiones matemáticas. Relacionar la matemática con las distintas áreas del conocimiento: Relacionar la matemática con las distintas áreas del conocimiento: economía, arte, ciencias sociales, medicina, estudio y análisis de la economía, arte, ciencias sociales, medicina, estudio y análisis de la información mediante gráficos. información mediante gráficos.


Nº1030122Nº1030122 2626

Modelo multidimensionalModelo multidimensionalEvaluaciónEvaluación: Es un proceso crítico de : Es un proceso crítico de

reflexión-acción en el cual se reflexión-acción en el cual se registran y analizan los cambios que registran y analizan los cambios que se producen en lo que llamaremos se producen en lo que llamaremos modelo matemático del estudiante y modelo matemático del estudiante y profesor, por la acción del profesor, por la acción del aprendizaje.aprendizaje.

link1 link2


Nº1030122Nº1030122 2727

Conocimiento base del Conocimiento base del profesor.profesor.• conocimiento pedagógico, conocimiento pedagógico, • modelo del estudiante modelo del estudiante • dominio temático.dominio temático.

Un profesor que enseña matemática debe Un profesor que enseña matemática debe conocer las bases teóricas, históricas y conocer las bases teóricas, históricas y epistemológicas de la disciplina.epistemológicas de la disciplina.


Nº1030122Nº1030122 2828

Las Bases del conocimiento del estudiante.Las Bases del conocimiento del estudiante.Las variables que deben reconocerse, de acuerdo a Las variables que deben reconocerse, de acuerdo a Giménez (1997), están referidas a: Giménez (1997), están referidas a:

1)Pensamiento matemático1)Pensamiento matemático2) capacidades matemáticas2) capacidades matemáticas3) Habilidades y destrezas matemáticas3) Habilidades y destrezas matemáticas4) Análisis de contenido y modelo 4) Análisis de contenido y modelo

cognitivo matemáticocognitivo matemático5) Razonamiento matemático5) Razonamiento matemático6) Integración en el aula de matemáticas.6) Integración en el aula de matemáticas.


Nº1030122Nº1030122 2929

1. Pensamiento 1. Pensamiento matemático:matemático: Pensamiento es una imagen mental de alguna realidad, siendo el Pensamiento es una imagen mental de alguna realidad, siendo el

hecho de pensar en una sucesión de ideas (Dewey,1989).hecho de pensar en una sucesión de ideas (Dewey,1989).

forma parte de lo cognitivo, es dirigido hacia la resolución de forma parte de lo cognitivo, es dirigido hacia la resolución de problemas (Mayer,1986) problemas (Mayer,1986)

el pensamiento matemático (De Lange,1992), es un conjunto de el pensamiento matemático (De Lange,1992), es un conjunto de procesos de construcción matemática que hacen los procesos de construcción matemática que hacen los individuos, dirigido a considerar como claves las siguientes individuos, dirigido a considerar como claves las siguientes ideas:ideas:

•Matematizar situaciones a Matematizar situaciones a partir del mundo real.partir del mundo real.•Alcanzar abstracciones y Alcanzar abstracciones y actuar sobre procesos actuar sobre procesos deductivos.deductivos.•Desarrollar aplicaciones Desarrollar aplicaciones que permitan volver a la que permitan volver a la realidad.realidad.

•utilizar un lenguaje utilizar un lenguaje matemáticomatemático•realizar argumentaciones realizar argumentaciones críticas.críticas.•buscar demostraciones buscar demostraciones

Analizar un fenómeno desde distintas perspectivas


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2. Capacidades 2. Capacidades matemáticasmatemáticas Una capacidad es una forma de manifestación del estudiante, en Una capacidad es una forma de manifestación del estudiante, en

algún momento, de que puede hacer algo, que implique una algún momento, de que puede hacer algo, que implique una construcción de conocimiento específico.construcción de conocimiento específico.

Las capacidades matemáticas son básicamente de tres tipos: Las capacidades matemáticas son básicamente de tres tipos: Cognitivas, Metacognitivas y comunicativas. Cognitivas, Metacognitivas y comunicativas.

Cognitivas Cognitivas Proceso constructivoProceso constructivo

Metacognitivas Metacognitivas De alto rangoDe alto rango

TransversalesProceso de interacción social

ConceptualesProcedimentales Comunicación matemática

ReflexiónPensamiento estratégicoCreatividad

Actitud matemáticaTrabajo en equipo


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3. Habilidades y destrezas3. Habilidades y destrezas Llamamos habilidad ("skill") aquel constructo hipotético que se Llamamos habilidad ("skill") aquel constructo hipotético que se

introduce con el objeto de explicar como unos individuos introduce con el objeto de explicar como unos individuos realizan ciertos tipos de tareas mejor que otros. (Suwarsono, realizan ciertos tipos de tareas mejor que otros. (Suwarsono, 1982).1982).

Por ejemplo para interpretar dos figuras geométricas (habilidad), debe conocer el comportamiento de esas figuras, características que tiene , la forma, las condiciones de la figura.

Las destrezas son las acciones específicas que se dan en un campo determinado (Kruteskii, 1976) Por ello son fácilmente observables, evaluables y analizables.

Cálculos matemáticosCálculos matemáticoslink


Nº1030122Nº1030122 3232

Entre las diversas clasificaciones usadas Entre las diversas clasificaciones usadas especialmente para estructurar las habilidades en especialmente para estructurar las habilidades en matemáticas. (Kruteskii, 1976 ; Presemeg,1985) se matemáticas. (Kruteskii, 1976 ; Presemeg,1985) se habla de habilidades para:habla de habilidades para:

• GeneralizarGeneralizar• Secuenciar el razonamiento lógico.Secuenciar el razonamiento lógico.• Abreviar procesos de razonamientoAbreviar procesos de razonamiento• Invertir procesos mentalesInvertir procesos mentales• MemoriaMemoria• Conceptos espaciales.Conceptos espaciales.

Aunque habilidades y destrezas se relacionan, el Aunque habilidades y destrezas se relacionan, el análisis de las habilidades es:análisis de las habilidades es:

mucho más difícil para el profesormucho más difícil para el profesor..link


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4. El análisis del contenido y de los 4. El análisis del contenido y de los modelos cognitivos.modelos cognitivos.

• Contempla hasta dónde se va a valorar Contempla hasta dónde se va a valorar dicho contenido.dicho contenido.

• Las capacidades y habilidades Las capacidades y habilidades aparecen a través de las destrezas, aparecen a través de las destrezas, razonamientos, estrategias y métodos.razonamientos, estrategias y métodos.


Nº1030122Nº1030122 3434

5.RAZONAMIENTO 5.RAZONAMIENTO MATEMÁTICOMATEMÁTICO Llamamos razonamiento al conjunto de enunciaciones Llamamos razonamiento al conjunto de enunciaciones

y procesos asociados que se llevan a cabo para y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. (componente premisas y unas reglas de inferencia. (componente lingüística importante en todo razonamiento)lingüística importante en todo razonamiento)

RECONOCIMIENTORECONOCIMIENTO INDUCCIÓN ITERACIÓN

•Notar Notar regularidadesregularidades•identificar identificar descriptivamente descriptivamente situacionessituaciones• interpretar interpretar situaciones situaciones similaressimilares

•descubrimiento descubrimiento pretende reconocer pretende reconocer leyes generales a leyes generales a partir de la partir de la observación de observación de casos particulares.casos particulares.

Indica la Indica la repetición de repetición de un cierto un cierto procedimiento procedimiento o o razonamiento. razonamiento. .(Bouvier y .(Bouvier y George,1984 )George,1984 )

RECURSIÓN

técnica en la técnica en la que se usa que se usa un un procedimientprocedimiento o aparentemenaparentemente circular te circular para poner para poner en práctica en práctica un proceso un proceso iterativo iterativo (Kilpatrick, (Kilpatrick, 1985).1985).

link


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6. Integración en el aula de 6. Integración en el aula de matemáticas.matemáticas.Integrar, indica reconocer que los diversos Integrar, indica reconocer que los diversos

aspectos del proceso de aprendizaje aspectos del proceso de aprendizaje matemático no se dan aislados, sino matemático no se dan aislados, sino que existen relaciones entre ellos: que existen relaciones entre ellos:

Por ejemplo, si el estudiante en Por ejemplo, si el estudiante en matemáticas sólo recibe impactos matemáticas sólo recibe impactos informativos y no participa en la informativos y no participa en la construcción integradora de los construcción integradora de los mismos, difícilmente podrá mismos, difícilmente podrá autocontrolar el proceso.autocontrolar el proceso.

Tener en cuenta la Tener en cuenta la integración pasa por integración pasa por valorar regulación valorar regulación del propio del propio aprendizaje. Nadie aprendizaje. Nadie puede integrar si no puede integrar si no reflexiona sobre lo reflexiona sobre lo que va a integrarque va a integrar..


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Las piezas de alfarería que se muestran abajo son típicas de la cultura llamada "del Molle", desarrollada en las cercanías del Río Elqui en el período prehispánico. Se afirma que los Mollenses consolidaron el primer grupo cultural alfarero.

Observa las dos piezas de alfarería de la figura y descubre que figuras son iguales.

Que pasa con las figuras que elegiste?

Se trasladan?Se rotan?Se reflejan?


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Nuevos objetivosNuevos objetivos•Que Aprendan a valorar la matemáticaQue Aprendan a valorar la matemática

•Que se sientan seguros de su capacidad para hacer Que se sientan seguros de su capacidad para hacer matemáticamatemática

•Que lleguen a resolver problemas matemáticos.Que lleguen a resolver problemas matemáticos.

•Que aprendan a comunicarse mediante las Que aprendan a comunicarse mediante las matemáticasmatemáticas

•Que aprendan a razonar matemáticamenteQue aprendan a razonar matemáticamente

Conclusión 2.Conclusión 2.

Link link


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Criterios a considerar en la evaluación

•el desarrollo del pensamiento matemático

•el “saber hacer matemática” y su utilización en situaciones prácticas

• encontrar relaciones en la realidad• aplicar las situaciones a diferentes ámbitos•comunicar matemáticamente.

•el descubrimiento y la reflexión

• la creatividad

•la originalidad

•estructurar el pensamiento matemático

• valorar los conceptos y procedimientos en la resolución de problemas

apuntan HACIA EL DESARROLLO DE CAPACIDADES DE TIPO COGNITIVA, METACOGNITIVA Y DE FORMACIÓN TRANSVERSAL.


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1. ELEMENTOS COGNITIVOS. 1. ELEMENTOS COGNITIVOS.

(1) (1) Lo cognitivo conceptual: ¿qué materia?Lo cognitivo conceptual: ¿qué materia?Se trata de tener claridad de los conceptos Se trata de tener claridad de los conceptos matemáticos que están en juego.matemáticos que están en juego.

Para ello el docente debe conocer los Para ello el docente debe conocer los elementos esenciales de la matemática, elementos esenciales de la matemática,

• Sistemas de númerosSistemas de números• EstructurasEstructuras• Al aparato conceptualAl aparato conceptual• Lógica Lógica • Trabajo geométrico. Trabajo geométrico.


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CONTENIDOS CONCEPTUALES ejemplo(1)Análisis de representaciones de la realidad(2) Formas planas analizando propiedades, caracterizaciones y

clasificaciones(3) Las formas espaciales.Criterios para la selección de contenidos• El enfoque es partir de observaciones de lo cotidiano.(1) Se introduce un criterio constructivo. • Visualización, intuición geométrica, descubrimiento de

regularidades análisis de las regularidades y deducir propiedades.(2) Identificamos un proceso de regulación. Que vamos a evaluar

(3) Identificamos una selección de conceptos no formal del contenido

• Geometría intuitiva y exploratoria para deducir y argumentar. • Reconocimiento de reglas, abstracciones de lo real.


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deben ser tratados en mayor o menor grado en deben ser tratados en mayor o menor grado en prácticamente todo el trabajo matemático.prácticamente todo el trabajo matemático.

A continuación distinguimos tres tipos de A continuación distinguimos tres tipos de procedimientos: procedimientos:

(A) referido(A) referido a a organización e interpretaciónorganización e interpretación y y planificación de la información.planificación de la información.

• la lectura e interpretación de la información entregada la lectura e interpretación de la información entregada en el problema.en el problema.

• las condiciones del problema. las condiciones del problema. • las restricciones. las restricciones. • la organización de la información en un dibujo, una la organización de la información en un dibujo, una

tabla de valores o gráfica. tabla de valores o gráfica. • el establecimiento de relaciones entre los datos.el establecimiento de relaciones entre los datos.

(2) Los contenidos (2) Los contenidos procedimentales.procedimentales.


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(B) (B) La matematizaciónLa matematizaciónque dice relación con el lenguaje y la simbolización, que dice relación con el lenguaje y la simbolización, las destrezas y las habilidades observables a través las destrezas y las habilidades observables a través de sus producciones y comentarios de los niños.de sus producciones y comentarios de los niños. • Ecuaciones en juegoEcuaciones en juego• AlgoritmosAlgoritmos• Cálculos matemáticos Cálculos matemáticos desarrollados desarrollados

(destreza)(destreza)• Cálculos mentales (destreza)Cálculos mentales (destreza)• Aproximaciones , estimaciones (habilidad)Aproximaciones , estimaciones (habilidad)• La relaciones entre objetos matemáticos La relaciones entre objetos matemáticos

(habilidad)(habilidad)• propiedades utilizadas propiedades utilizadas • Formulación de un modelo geométrico que Formulación de un modelo geométrico que

represente la situación o el problema.represente la situación o el problema.link


Nº1030122Nº1030122 4343

•la búsqueda y descubrimiento de la búsqueda y descubrimiento de propiedades (cómo las encontró)propiedades (cómo las encontró)•regularidades y relaciones regularidades y relaciones •el establecimiento de conjeturas y la el establecimiento de conjeturas y la generalizacióngeneralización•aplicación de los conceptos aprendidosaplicación de los conceptos aprendidos•Como se enfrentaron al problemaComo se enfrentaron al problema•Como utilizan los conceptos. Como utilizan los conceptos.

(C)(C) Estrategias generalesEstrategias generales


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(3)La comunicación (3)La comunicación matemáticamatemática

• Comunicar oralmente es de relevancia Comunicar oralmente es de relevancia fundamental en el aprendizaje de la matemática.fundamental en el aprendizaje de la matemática.

• permite la autorregulación del conocimientopermite la autorregulación del conocimiento• Permite al docente como los alumnos están Permite al docente como los alumnos están

aprendiendo, qué elementos son aquellos que aprendiendo, qué elementos son aquellos que presentan dificultadpresentan dificultad

• Cómo el alumno está estructurando su marco Cómo el alumno está estructurando su marco conceptual. conceptual.

• La comunicación en forma escrita permite La comunicación en forma escrita permite elaborar ideas, potencia el pensamiento. elaborar ideas, potencia el pensamiento.


Nº1030122Nº1030122 4545

Comunicación Comunicación • De procesosDe procesos• De algoritmosDe algoritmos• De secuenciasDe secuencias• Revisión de cálculosRevisión de cálculos• De resultadosDe resultados• De regularidadesDe regularidades• De visualizaciónDe visualización

En los procesos de argumentación se debe cuidar: •la coherencia •Generalización•Aplicación•Demostración


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Por ejemplo en geometríaPor ejemplo en geometríase decide trabajar procesos y técnicas que permitanse decide trabajar procesos y técnicas que permitan

(1)elaborar modelos para reconocer la forma (1)elaborar modelos para reconocer la forma como característica de la realidad.como característica de la realidad.

(2)llegar a identificar y resolver situaciones (2)llegar a identificar y resolver situaciones desde una perspectiva geométrica desde una perspectiva geométrica

(3)desarrollar técnicas de análisis con las (3)desarrollar técnicas de análisis con las formas planas y espaciales que permitan formas planas y espaciales que permitan reconocer propiedades importantes y reconocer propiedades importantes y caracterizacionescaracterizaciones

link


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3. Los contenidos actitudinales o de 3. Los contenidos actitudinales o de formación transversal.formación transversal.

En matemática no sólo se aprenden conceptos En matemática no sólo se aprenden conceptos y procedimientos. se debe incorporar y procedimientos. se debe incorporar aspectos que nos interese valorar en el aspectos que nos interese valorar en el trabajo matemático, ya sea de forma grupal trabajo matemático, ya sea de forma grupal o individualmente. o individualmente.

Por ejemplo:Por ejemplo:

(1) Hábitos de espíritu científico,(1) Hábitos de espíritu científico, que dice que dice relación con interés por el trabajo relación con interés por el trabajo geométrico, por la modelización, el geométrico, por la modelización, el reconocimiento del valor de la geometría en reconocimiento del valor de la geometría en el arte, los tipos de representacionesel arte, los tipos de representaciones


Nº1030122Nº1030122 4848

(2)(2)Realización del trabajo y Realización del trabajo y comunicacióncomunicación• participación en el grupo y la participación en el grupo y la colaboración, colaboración, •el interés por la descripción verbal y el interés por la descripción verbal y precisa en el trabajoprecisa en el trabajo•valorar y respetar los diferentes puntos de valorar y respetar los diferentes puntos de vistavista• el intercambio de ideas. el intercambio de ideas.

(3) ACTITUD MATEMÁTICA(3) ACTITUD MATEMÁTICAVALORAR LA IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICAVALORAR LA IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA

(4) AUTONOMÍA(4) AUTONOMÍA•adquisición de compromisos adquisición de compromisos • responsabilidad frente al trabajo responsabilidad frente al trabajo •TOMAR DECISIONESTOMAR DECISIONES•RESPETAR TURNOSRESPETAR TURNOS


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Lo metacognitivo. ¿a quien estamos Lo metacognitivo. ¿a quien estamos formando?formando?Se debe incorporar lo metacognitivo como un aspecto Se debe incorporar lo metacognitivo como un aspecto

importante en el trabajo matemático importante en el trabajo matemático (1)(1)Desarrollo del pensamiento estratégico y Desarrollo del pensamiento estratégico y

análisis críticoanálisis crítico..

• la búsqueda de caminos diferentes para llegar a la la búsqueda de caminos diferentes para llegar a la soluciónsolución

• Visión hacia donde dirigir esfuerzos. Visión hacia donde dirigir esfuerzos. • la capacidad para enfrentarse a los cambios la capacidad para enfrentarse a los cambios

(2)(2)La creatividad y originalidadLa creatividad y originalidad. . • la forma de enfrentarse al problema la forma de enfrentarse al problema • la relación que establece entre los conceptos para la relación que establece entre los conceptos para

generar nuevas ideasgenerar nuevas ideas• los aportes novedosos.los aportes novedosos. • La conectividad y asociación de ideas para dar La conectividad y asociación de ideas para dar

respuesta al problema.respuesta al problema.


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Teselación RegularLa Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclideano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Al embaldosar con cuadrados, estos se alinean perfectamente uno sobre otro.En cambio los triángulos y los hexágonos se ensamblan no alineados. También se observa que un hexágono regular lo forman seis triángulos equiláteros simultáneamente.Al cubrir el plano ocurre que en cada vértice del polígono regular, su ángulo interior debe ser divisor exacto de 360º, lo que ocurre solamente en el triángulo equilátero, en el cuadrado y en el hexágono.


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Proceso evaluativo en JapónProceso evaluativo en JapónInterés, Interés, voluntad y voluntad y actitud hacia actitud hacia las matemáticalas matemática

Perspectiva yPerspectiva yPensamiento Pensamiento matemático matemático

Expresión y Expresión y manejo manejo matemáticomatemático

Conocimiento y Conocimiento y entendimiento entendimiento de los de los conceptos y conceptos y procesosprocesos

•Interés en los Interés en los fenómenos fenómenos matemáticosmatemáticos•Busca Busca aplicarlos al aplicarlos al análisis de los análisis de los fenómenos de fenómenos de la vida diariala vida diaria

•Adquiere Adquiere perspectiva y perspectiva y pensamiento pensamiento matemáticomatemático•Comprende Comprende los fenómenos los fenómenos de la vida de la vida diaria de forma diaria de forma matemáticamatemática•Piensa de Piensa de forma lógica y forma lógica y profundiza el profundiza el pensamiento pensamiento reflexionando reflexionando sobre el sobre el proceso de proceso de pensarpensar

•Posee Posee conocimientos conocimientos de métodos y de métodos y razonamientos razonamientos para expresar para expresar y manejar y manejar matemáticamematemáticamente los nte los fenómenos por fenómenos por medio de medio de cantidades, cantidades, figuras, …..figuras, …..

•Posee Posee conocimientos conocimientos y y entendimiento entendimiento de los de los conceptos, conceptos, principios y principios y leyes que rigen leyes que rigen cantidades, cantidades, figuras,….figuras,….


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Conclusión 3. Elementos importantes a desarrollar en los niños

1. “Situarse , localizar, medir, hablar de cómo son las cosas son acciones importantes en la vida cotidiana (Giménez& Fortuny 1998). Se debe fomentar en el aula este tipo de actividad.

2. Dar forma y ver propiedades.Para poder desarrollar capacidades debemos reconocer

diversos procesos, como por ejemplo saber mirar, la capacidad lógica de razonar.

3. Elementos de visualización. Fomentar observaciones de localización. Enseñar a los niños a mirar con lentes geométricos

4. Interiorización y control. referencias sobre objetos, posiciones relativas.

5. Aplicación y producción. diseño, organización, inventar reglas


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Observa la secuencia de figuras con diferentes números de puntos negros. Si se mantiene el patrón de formación de las figuras, ¿cuál figura tiene 20 puntos negros? Explica cómo obtuviste tu respuesta.

, , , , . . .

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4


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Diseño.Diseño. • Matrices de capacidadesMatrices de capacidades• Diseño de pautas. Diseño de pautas. • Pautas de evaluación. Pautas de evaluación.

Link


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Matriz de capacidades.Matriz de capacidades.CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

1. Modelos geométricos.

-perfil topográficoCódigos coordenadas.

2. Figuras y cuerpos-Angulos en el espacio-PolígonosClalificaciones-Poliedros.Características Clasificaciones.-figuras y representaciones manejables

de la realidad:planos, mapas y maquetas. Cosntrucciones en el espacio.

3. Elementos del plano-paralelismoPerpendicularidadAngulos (tipos)-triangulos.tipos.Cuadriláteros elementos. Tipos Suma de los ángulos de una figura.-polígonosCircunferencia y círculo.

4. El espacio. Elementos

Resolución de problemasPlanificación uso de gráficos

invariancias.

Utilización de distintos lenguajes-utilización de la terminología y

notación adecuadas para describir con precisión situaciones , formas, propiedades -descripción verbal de problemas geométricos y del proceso seguido es su resolución, confontándolos con otros posibles.

Modelos geométricos.

-Utilización de los instrumentos de referencia para situar y localizar objetos

-Utilización de los instrumentos de dibujo habituales

Representación plana de cuerpos geométricos

Estrategias generales-Búsqueda de propiedades-

regularidades y relaciones en cuerpos, figuras

Pautas y Hábitos de espíritu científico.

1.Interés por el trabajo de la forma y la representación

2. Reconocimiento del valor de los códigos y representaciones.

Realización del trabajo y comunicación.

1. Participación colectiva en resolución de situaciones matemática

2. Valoración de la variedad de puntos de vista sobre aspectos que se analizan de la realidad

3. Interrogación sobre técnicas y /o modelos adecuados a una situación.

Reconocimiento del valor matemático y su aplicación al desarrollo personal y ciudadano.

1. Valoración del análisis de las formas para el uso cotidiano.

2. Valoración del carácter instrumental


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Diseño de Diseño de Pauta de Evaluación. De acuerdo la matriz diseñada. Define aspectos y criterios que te interesaría evaluar para regular el proceso

Aspectos Aspectos criterioscriterios•organizaciónorganización Realiza un esquemaRealiza un esquema•matematizaciónmatematización Explicita la Explicita la

regularidadregularidad•aplicaciónaplicación Aplica otros Aplica otros

problemasproblemas•comunicacióncomunicación Explica como Explica como

encontró la encontró la regularidad.regularidad.

Pauta de eval


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LA DIVINA PROPORCIÓN Y LA BELLEZA

CB

AABBC

BCAC

AB=1, BC=,: (+1)/=/1. «número de oro», 2- -1=0 = (1+)/2 = 1,61803399...

La Divina Proporción aparece expresamente en el Partenón en las razones:AB/CD, AC/AD, CD/CA, DE/EA, según el análisis armónico geométrico que aparece en la obra de M.C.Ghyka Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes (Ed. Poseidón. Barcelona, 1983).

didactica alg y geo 2015-1

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