dibujo a escala guÍa 1

Departamento de MatemticaSANDRA GAJARDO RIFFO

2 MEDIOS 2012

EJE TEMTICO: GEOMETRA UNIDAD: SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS

Semejanza geomtricaSegn esta teora, los casos ms simples de las semejanzas de fenmenos, es la semejanza geomtrica. Dos fenmenos (cosas) son geomtricamente semejantes si todas las correspondientes dimensiones lineales que las caracterizan son proporcionales. Los criterios de semejanza geomtrica son relaciones entre cualquier dimensin lineal.

Uso de razones para comparar cantidadesEn ms de alguna ocasin has tenido que comparar dos cantidades entre ellas, por ejemplo, entre dos precios distintos de un mismo artculo. Por ejemplo: Si deseas comprar un MP4 y ste cuesta $14.990 en Almacenes Pars, y $18.990 en ABCDIN

Obviamente escogers el ms barato, es decir el de $14.990. Pero, Qu tan barato est? Esto se puede saber restando los precios: Diferencia de precios: $18.990 - $14.990 = $4.000 La resta es una manera de comparar cantidades.

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Veamos otra situacin. Supongamos que quieres pintar tu pieza y cuando vas a comprar la pintura tienes dos ofertas de pintura al mismo precio, pero con distinto rendimiento:

Con el tarro A, 3 metros cuadrados se cubren con 2 litros de pintura (una mano de

Con el tarro B, 8 metros cuadrados se cubren con 5 litros de pintura (una mano de

Cmo se puede saber cul oferta de pintura es ms conveniente?

Dividiendo!!!!!

RENDIMIENTO TARRO A

RENDIMIENTO TARRO B

3 = 1,5 2

8 = 1,6 5

La pintura del tarro B rinde ms porque con ella se puede pintar 1,6 m2 de pared; en cambio con la pintura del tarro A se pintan menos metros cuadrados de pared (1,5 m2). Luego, la pintura del tarro B es la ms conveniente, dado que ambas estaban al mismo precio, pero sta tiene mejor rendimiento. La divisin es tambin una manera de comparar cantidades.


Las razones son una forma de comparacin entre dos cantidades. Esta comparacin consiste en dividir una cantidad por la otra. La divisin permite saber cuntas veces es mayor ( o menor) una cantidad respecto de otra. Las razones se pueden anotar de varias formas. Por ejemplo: Para cocinar arroz se debe colocar en una olla dos tazas de agua por cada taza de arroz, estn en la razn dos es a uno y se puede anotar de las siguientes formas:

2 :1

2 1

2,0

Ahora, escribe las siguientes razones: 1) Cul es la razn entre los permetros de dos circunferencias de radios 3 y 6 cm., respectivamente? 2) En tu curso, cul es la razn entre el nmero de hombres y el nmero de mujeres? Conservando sta misma razn cuntas mujeres crees que habran si los hombres son 60? 3) Cul es la razn entre las reas de 2 tringulos rectngulos de catetos 4 8 cm. Y 6 4 cm., respectivamente?4) Las edades de Eduardo y Ren son 48 y 12 aos. En qu razn se

encuentran sus edades? (calcula la razn entre la edad de Ren y Eduardo)5) Observa las siguientes fotografas:


6 cm. 3 cm.

4 cm.

8 cm.

Ambas fotografas son el mismo animalito, pero una es ms grande que la otra. Ambas tienen la misma forma y si calculamos la razn entre sus lados tendremos:En la fotografa pequea, la razn entre su ancho y su largo es (valor de la razn)

3 3 : 4 0,75 4

En la fotografa grande, la razn entre su ancho y su largo es simplificando se obtiene

6 y 8

3 3: 4

4 0,75 (valor de la razn)


Si comparamos ambas razones, veremos que son equivalentes , es decir,

3 6 = . A sta igualdad 4 8Cada vez que sea posible establecer una igualdad entre razones equivalentes, tendremos entonces una proporcin.

IMPORTANTE SI DOS FIGURAS SON DE IGUAL FORMA PERO DE DISTINTO TAMAO, SE DICE QUE SON FIGURAS SEMEJANTES.

Para qu sirven las proporciones?Considera ahora el siguiente caso: Supn que necesitas colocar la misma imagen anterior (3 cm. de ancho y 4 cm. de largo) como membrete en una carta de publicidad, donde debe ocupar un espacio de 3,7 cm. de ancho. Cul debe ser el largo de la imagen de modo que se mantengan proporcionalmente sus lados, es decir, que no se deforme al ampliarla o al reducirla, o dicho matemticamente que la razn entre sus lados se mantenga constante? Consideraremos como original a la imagen ms pequea del ejemplo anterior y la imagen que queremos obtener es de la misma forma, pero de distinto tamao que la original. Llamaremos x al largo de la imagen que se busca :


3,7 cm.

xFormaremos las razones entre los anchos y largos de ambas fotografas: La razn entre el ancho y el largo de la imagen original (pequea)

es:

3 4 3,7 x

La razn entre el ancho y el largo de la imagen buscada es:

Luego, como se vio en el ejemplo, si las imgenes son semejantes (misma forma y distinto tamao), entonces las razones entre los lados son iguales; luego es posible plantear la proporcin:

3 3,7 = 4 x

Luego al aplicar el producto cruzado se obtiene:

3 3,7 = 4 x 3 x = 3,7 4 14,8 3 x = 4,93 x =


O sea, si necesitamos que la imagen tenga 3,7 cm. de ancho, entonces su largo debe ser de

4,93

para que no se deforme y as sus lados se

mantendrn proporcionales.

RESPONDE LO SIGUIENTE:Anota si es verdadero (V) o falso (F) lo que se dice a continuacin: __________ __________ En una reproduccin a escala aumentan o disminuyen proporcionalmente las medidas de los lados de la figura original. En una reproduccin a escala de una figura cambian las medidas de los ngulos de la figura original.

__________ Cuando se hace una reproduccin a escala no cambia la forma de la figura original.

ACTIVIDADES PARA LAS PROPORCIONES (realizar en cuaderno)1.- En las caractersticas tcnicas de una impresora Lser, el fabricante dice que es capaz de imprimir 10 hojas por minuto en calidad media. Con esta informacin: a) Haz una tabla de datos donde aparezca la cantidad de hojas que imprimir la impresora Lser en 2, 5, 7, 10 y 12 minutos. Tiempo (min) Cantidad de hojas

1

10

b) Calcula el tiempo que demorar en imprimir 20, 30 y 50 hojas. c) Si la impresora se usara para tipear documentos - currculum vitae por ejemplo y se cobraran $50 por cada hoja escrita, cunto vale un currculum vitae de 7 hojas? d) Y si se cobran los mismos $50 por el espacio de hoja ocupado, cunto costara un documento de 2 hojas y media?


2.- Si la sombra de un lamo cercano a una casa es de dos metros a cierta hora del da, entonces cul es la altura del lamo si a esa misma hora la casa de 3,5 metros de altura proyecta una sombra de 1,75 metros?

3.- Si la razn entre la hipotenusa y su respectiva altura en un tringulo rectngulo es 8 : 5, entonces, Cul es la altura de otro tringulo rectngulo semejante al anterior si la hipotenusa mide 24 cm.?4.- En un mapa de escala 1 : 200, un jardn rectangular mide 2 cm. de largo y 5 cm. de ancho. Si se desea sembrar pasto desarrolle las siguientes tareas: i) Transforme las medidas del plano a las medidas reales. (Exprese cada resultado en metros) Plano Cm. 1 largo 2 Real Cm. 200 x Ancho Plano Cm. 1 5 Real Cm. 200 x

ii)

Se desea sembrar pasto en dicho espacio y se sabe que la bolsa de medio kilo de semilla cuesta $4.500 y alcanza para 15 m2, Cunto mide la superficie que se quiere sembrar? Cunto dinero se necesita?

Superficie para sembrar: Recuerda que para calcular una superficie debes multiplicar el ancho y el largo:

Ancho :

http://www.matematicaslda.blogspot.com/ A = largo x Ancho

Largo:

Dinero necesario: Kg. semilla 1/2 $ 4.500 Capacidad15 2

5) Una maqueta de una avioneta hecha a escala siguientes medidas:

1 : 50 tiene las

Largo : 32 cm. , Ancho : 24 cm. , Alto : 8 cm. Hallar las dimensiones del aparato.

6) Un rectngulo tiene unas dimensiones de 8 cm x 20 cm. El lado menor de otro rectngulo semejante a l, mide 6 cm. Halla: a) La razn de semejanza para pasar del primero al segundo. b) El lado mayor del segundo. c) Las reas de ambos rectngulos.

TEXTO ESCOLAR (PGINA 156)

Aplicacin de la semejanza en modelos a escalaJaviera ha decidido con su familia la ampliacin de su casa, para agregar un dormitorio. El arquitecto fue a conversar con ellos y medir la casa y,


das despus, les mostr el plano de la casa, con la ampliacin incluida. Observa

Analicemos A qu se refiere la expresin Escala 1 : 200 que aparece en el plano? Cules son las medidas reales del dormitorio 3 de la casa? Cul es la superficie total del dormitorio 3

Primero, observa que en todo plano o mapa aparece la escala en que est dibujado. Esto indica cuntas veces el dibujo es ms pequeo que la realidad, y, por lo tanto, es una razn entre las longitudes, esto es, entre las medidas en un plano y las medidas reales del objeto o del terreno. De modo que, para obtener las medidas reales, se debe medir con una regla cada habitacin, y con estos datos se puede calcular cul es la superficie total de la casa.

Por ejemplo, en el plano, el comedor mide 1,5 cm de largo y 1,2 cm de ancho; luego, las medidas reales se calculan utilizando proporciones; para el largo:


Plano (cm.) 1 1,5

Real (cm.) 200 x

Plano (cm.) 1 1,2

Real (cm.) 200 x

1 200 = 1,5 x x = 200 1,5 x = 300

1 200 = 1,2 x x = 200 1,2 x = 240

Luego, el comedor mide 300 cm de largo, es decir, 3 m, y 240 cm 2,4 m de ancho. En un plano se puede determinar a simple vista si un dormitorio es ms grande que otro, porque todas las medidas son proporcionales; luego, si en el plano es posible distinguir que el bao es ms pequeo que la cocina, entonces a escala real tambin es ms pequeo.

EN TU CUADERNO1. Determina las dimensiones reales de cada uno de los dormitorios de la casa y calcula la superficie total de la casa. 2. Si en un plano un segmento de 5 cm representa 300 m en la realidad, qu? escala est? construido el plano? 3. Un plano se encuentra a escala 1 : 500. Si una superficie se representa por un rect? gulo de 6 cm de largo por 4 cm de ancho, determina las medidas de la superficie real. 4. En un mapa a escala 1 : 625 000, dos ciudades se encuentran a 32 cm. qu? distancia se encuentran realmente? 5. Dos pueblos se encuentran separados a 90 km. Si en un mapa de la zona se encuentran a 3,5 cm., determina la escala en que 7 7.dibujado. est? Observa el dibujo del siguiente mueble: 6. Una maqueta de una avioneta hecha a escala 1 : 50 tiene las siguientes medidas: 32 cm altolargo, 24 cm de ancho y 8 cm de alto. a. Calcula el largo, ancho y de del mueble. Determina las dimensiones reales del aparato.b. Calcula el tama? de sus puertas. c. Calcula el volumen de sus cajones. d. u? tas cajas de discos compactos de 14,2 cm de largo; 12,5 cm de ancho y 1 cm de alto caben en los cajones 8. Si en un plano un segmento de 12 cm representa 600 m en la realidad, qu? escala est? construido el plano? 7. En un mapa cuya escala es 1 : 375 000, dos ciudades se encuentran a 24 cm. qu? distancia se encuentran realmente? http://www.matematicaslda.blogspot.com/

EN RESUMEN La escala de un plano o mapa es la razn de semejanza entre la distancia de dos puntos cualesquiera en el plano y la distancia de los correspondientes puntos en la realidad. Para calcular las distancias reales respecto de las distancias en un plano o mapa a escala, se escribe la proporcin correspondiente, considerando la escala indicada en el plano o mapa.


dibujo a escala guÍa 1

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