diapositivas tema5.1

Tema 5

Introduccin

Circuitoslineales

Teorema desuperposi-cin

Teorema demultiplica-cin por unaconstante

Teora de CircuitosTema 5. Teoremas fundamentales de circuitos.

Departamento de Teora de la Seal y Comunicaciones.Universidad de Alcal.

Roberto Jimnez Martnez.

19 de noviembre de 2014

Teoremas de Superposicin y multiplicacin por una constante.

Teora de Circuitos Tema 5. Teoremas fundamentales de circuitos. 1 / 53

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Introduccin

Circuitoslineales



ndice

1 Introduccin

2 Circuitos lineales

3 Teorema de superposicin

4 Teorema de multiplicacin por una constante


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Circuitoslineales



Linealidad de una funcin

Funcin linealUna funcin, y(t) = f (x(t)), es lineal si cumple las siguientes propiedades:

a) Superposicin:x1(t) y1(t) = f (x1(t))x2(t) y2(t) = f (x2(t))

x3(t) = x1(t) + x2(t) y3(t) = f (x3(t)) = f (x1(t) + x2(t)) = f (x1(t)) + f (x2(t))b) Multiplicacin por una constante:

x1(t) y1(t) = f (x1(t))

x2(t) = k x1(t) y2(t) = f (x2(t)) = f (k x2(t)) = k f (x1(t))siendo k una constante cualquiera.


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ejemplos1 y(t) = 3 x(t)

Superposicin:

x1(t) y1(t) = 3 x1(t)x2(t) y2(t) = 3 x2(t)

x3(t) = x1(t) + x2(t) y3(t) = 3 x3(t)

y3(t) = 3 (x1(t) + x2(t)) = 3 x1(t) + 3 x2(t) = y1(t) + y2(t)

Multiplicacin por una constante:

x1(t) y1(t) = 3 x1(t)

x2(t) = k x1(t) y2(t) = 3 x2(t) = 3 k x1(t) = k y1(t)FUNCIN LINEAL


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ejemplos

2 y(t) = 5 x2(t) Superposicin:

x1(t) y1(t) = 5 x21(t)x2(t) y2(t) = 5 x22(t)

x3(t) = x1(t) + x2(t) y3(t) = 5 x23(t)

y3(t) = 5 (x1(t) + x2(t))2 6= y1(t) + y2(t)

Multiplicacin por una constante:

x1(t) y1(t) = 5 x21(t)x2(t) = k x1(t) y2(t) = 5 x22(t) = 5 k2 x21(t) = k2 y1(t) 6= k y1(t)

FUNCIN NO LINEAL


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Circuitos Lineales

DefinicinUn circuito es lineal si est formado por elementos lineales.

Elementos de un circuito lineal1 Generadores independientes de tensin (ek(t)) o corriente (ik(t)). Son las variables

independientes del circuito (xk(t)).

2 Resistencias, bobinas, condensadores y generadores dependientes. Sus tensiones ocorrientes, y(t), son variables que dependen linealmente de las variables independientes(ley de Ohm y leyes de Kirchoff).

Propiedades de linealidad de un circuito La respuesta instantnea de un circuito a varias excitaciones simultneas (generadores

independientes) es la suma de las respuestas instantneas producidas por cada una deellas de forma individual.

Al multiplicar una excitacin por una constante la respuesta instantnea debida a esaexcitacin queda multiplicada por la misma constante.


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Teorema de superposicin

DefinicinEn un circuito formado por generadores (independientes y dependientes), resistencias, bobinasy condensadores, el efecto instantneo que se produce (corriente en una rama o tensin entredos nudos) cuando actan los generadores independientes de forma simultnea, es igual a lasuma de los efectos que se produciran con los generadores actuando individualmente.

Generadores independientes ideales.1 Para anular en un circuito el comportamiento de un generador independiente de tensin

ideal se debe sustituir por un cortocircuito (e(t) = 0 V).

2 Para anular en un circuito el comportamiento de un generador independiente decorriente ideal se debe sustituir por un circuito abierto (i(t) = 0 A).


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Circuitos con generadores independientes de la misma pulsacin.

Dos posibilidades:

1 Anlisis del circuito aplicando los mtodos estudiados.

2 Aplicar el teorema de superposicin.

Proceso de aplicacin del teoremaa) Se anula el efecto de todos los generadores independientes excepto uno.

b) Se analiza el circuito, obteniendo las variables deseadas, (tensiones o corrientes).

c) Se repite el proceso para cada uno de los generadores independientes del circuito.

d) El valor de las variables deseadas ser la suma de los valores instantneos obtenidosdebidos a cada unos de los generadores.

e) Puesto que la suma de sinusoides de la misma pulsacin es otra sinusoide de la mismapulsacin, en este caso, el valor de las variables deseadas se podr obtener en el dominiovectorial. Para ello:

Se obtiene el vector de la variable total como suma de los vectores de las variablesdebidas a cada uno de los generadores.

Se obtiene el valor instantneo de la variable total.


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Operaciones con sinusoidesSuma de sinusoides de la misma pulsacin.

x1(t) = 2 sen( 2pi

3t)

x2(t) = 2 sen( 2pi

3t +

pi

2

)x3(t) = x1(t) + x2(t) = 2 sen

( 2pi3

t)

+ 2 sen( 2pi

3t +

pi

2

)

Aplicando el anlisis vectorial para sinusoides de igual pulsacin:

X1 = 2 ; X2 = 2pi2 2j ; X3 = X1 + X2 = 2 + 2j 2

2pi4

x3(t) = 2

2 sen( 2pi

3t +

pi

4

)

3

2

1

0

1

2

3

t (s)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


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Ejemplo 1Obtener el valor de la corriente por la bobina analizando el circuitode la figura con los mtodos de anlisis convencionales y aplicando elteorema de superposicin.

Ri(t)

Le(t)

C1

kv1(t)

C2

+

v1(t)

Datos: i(t) = 2

2 sen (106t + pi4 ) A; k = 12 ; R = 1 ; L = 3 He(t) = 5 sen(106t) V; C1 = 1 F; C2 = 12 F


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Ejemplo 1: Solucin. Anlisis por tensiones de nudo.1 Calculamos las impedancias de los elementos y los vectores correspondientes a los

generadores independientes.

ZC1 =j

106106 = j ; ZC2 =j

12 106106

= 2j ; ZL = j3 106 106 = 3j

I = 2

2 ejpi4 = 2(1 + j) A; E = 5 V

2 Transformamos el circuito a su equivalente vectorial y asignamos las variables deacuerdo con el mtodo que vamos a utilizar. Analizando por nudos (n = 2), una variablede nudo, V1.

RI

ZLE

ZC1

kV1

ZC2

+

V1

V1


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Ejemplo 1: Solucin. Anlisis por tensiones de nudo.3 Obtenemos las ecuaciones de nudo, en este caso una, y resolvemos.

V1 ER + ZC1

+ I +V1 kV1ZL + ZC2

= 0

ER + ZC1

I = V1 (

1 kZL + ZC2

+1

R + ZC1

)

V1 =

ER + ZC1

I1 k

ZL + ZC2+

1R + ZC1

=

51 j 2(1 + j)

1 12

3j 2j +1

1 j

= 1 + j =

2 ejpi4 V

v1(t) =

2 sen(

106t +pi

4

)V


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Ejemplo 1: Solucin. Aplicando el teorema de superposicin.El circuito contiene dos generadores independientes de la mismapulsacin. Por tanto analizamos dos circuitos, uno por cadagenerador.

1 Puesto que slo hay generadores de la misma pulsacin, los valores de las impedancia yvectores son los mismos calculados anteriormente.

2 Anlisis del circuito anulando el generador independiente de corriente ideal , i(t) = 0,es decir circuito abierto.

R

ZLE

ZC1

kV1a

ZC2

+

V1a

V1a


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Ejemplo 1: Solucin. Aplicando el teorema de superposicin.3 Obtenemos las ecuacin de V1a y resolvemos.

V1a ER + ZC1

+V1a kV1aZL + ZC2

= 0

ER + ZC1

= V1a (

1 kZL + ZC2

+1

R + ZC1

)

V1a =

ER + ZC1

1 kZL + ZC2

+1

R + ZC1

=

51 j

1 12

3j 2j +1

1 j

= 5(1 + j) = 5

2 ejpi4 V

v1a(t) = 5

2 sen(

106t +pi

4

)V


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Ejemplo 1: Solucin. Aplicando el teorema de superposicin.4 Anlisis del circuito anulando el generador independiente de tensin ideal , e(t) = 0, es

decir cortocircuito.

R

ZL

ZC1

kV1b

ZC2

+

V1b

V1b


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Ejemplo 1: Solucin. Aplicando el teorema de superposicin.5 Obtenemos las ecuacin de V1b y resolvemos.

V1bR + ZC1

+ I +V1b kV1bZL + ZC2

= 0

I = V1b (

1 kZL + ZC2

+1

R + ZC1

)

V1b =I

1 kZL + ZC2

+1

R + ZC1

=21 + j

1 12

3j 2j +1

1 j

= 4(1 + j) = 4

2 ej 3pi4 V

v1b(t) = 4

2 sen(

106t 3pi4

)V


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Ejemplo 1: Solucin. Aplicando el teorema de superposicin.6 Resultado final.

v1(t) = v1a(t) + v1b(t) = 5

2 sen(

106t +pi

4

)+ 4

2 sen(

106t 3pi4

)V

por trigonometra:v1(t) =

2 sen

(106t +

pi

4

)V

7 Puesto que los generadores son de la misma pulsacin se puede obtener el resultadofinal en el dominio vectorial.

V1 = V1a + V1b = 5(1 + j) 4(1 + j) = 1 + j =

2 ejpi4 V

v1(t) =

2 sen(

106t +pi

4

)V


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Circuitos con generadores independientes de distintas pulsaciones.

Slo es posible su anlisis aplicando el teorema de superposicin.

Proceso de anlisisa) Se analizan tantos circuitos como pulsaciones diferentes tenga el circuito.

b) Para el anlisis del circuito a una determinada pulsacin se anular el efecto de todos losgeneradores independientes de otras pulsaciones.

c) Si existe algn generador dependiente no se anula. En cada circuito analizado el generadordependiente ser de la pulsacin correspondiente a ese circuito.

d) Para cada circuito se deben calcular los valores de las impedancias de los elementosutilizando su correspondiente pulsacin.

e) Se analiza el circuito y se obtiene el resultado (corriente o tensin) en forma instantnea.

f) Se repite el proceso para cada pulsacin diferente.

g) El valor de las variables deseadas ser la suma de los valores instantneos obtenidosdebidos a cada una de los circuitos analizados.

h) Puesto que la suma de sinusoides de distinta pulsacin no es otra sinusoide, no podrobtenerse el resultado final en el dominio vectorial (Los fasores correspondientes a cadapulsacin se mueven con distinta velocidad angular).


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Operaciones con sinusoidesSuma de sinusoides de distinta pulsacin.

x1(t) = 2 sen( 2pi

3t)

x2(t) = 2 sen( 7pi

4t +

pi

2

)x3(t) = x1(t) + x2(t) = 2 sen

( 2pi3

t)

+ 2 sen( 7pi

4t +

pi

4

)

x3(t) es una seal no sinusoidal, no se puede aplicar la suma de vectores ya que los fasores correspondientes se mueven adistinta velocidad angular.

4

2

0

2

4

t (s)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


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Ejemplo 2Obtener el valor de la corriente por la bobina, iL(t).

R1

iL(t)

L

e1(t)

C

e2(t)

R2

Datos: e1(t) = 3 sen(106t

)V; R1 = R2 = 4 ; L = 2 H

e2(t) = 3

10 sen (2 106t 0,322) V; C = 14 F


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Ejemplo 2: Solucin.Puesto que tenemos dos generadores de distinta pulsacin para el anlisis debemos aplicar elteorema de superposicin.

1 Analizamos el circuito a la pulsacin del generador e1(t), 1 = 106 rad/s, anulando elgenerador e2(t).

2 Calculamos las impedancias de los elementos a dicha pulsacin.

ZCa =j

106 14 106= 4j ; ZLa = j106 2 106 = 2j ; E1 = 3 V

3 Transformamos el circuito a su equivalente vectorial y asignamos las variables deacuerdo con el mtodo que vamos a utilizar. Analizando por nudos (n = 2), una variablede nudo, V1a.

R1

ILa

ZLa

E1

ZCaR2

V1a


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Ejemplo 2: Solucin4 Obtenemos la ecuacin del nudo V1a y resolvemos.

V1a E1R1 + ZCa

+V1aZLa

+V1aR2

= 0

E1R1 + ZCa

= V1a (

1ZLa

+1R2

+1

R1 + ZCa

)

V1a =

E1R1 + ZCa

1ZLa

+1R2

+1

R1 + ZCa

=

34 4j

12j

+14

+1

4 4j= j = 1 ejpi2 V

ILa =V1aZLa

=j

2j=

12

A

iLa(t) =12 sen

(106t

)A


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Ejemplo 2: Solucin.5 Analizamos el circuito a la pulsacin del generador e2(t), 2 = 2 106 rad/s, anulando

el generador e1(t).

6 Calculamos las impedancias de los elementos a dicha pulsacin.

ZCb =j

2106 14 106= 2j ; ZLb = j2 106 2 106 = 4j

E2 = 3

100,322 = 9 3j V

7 Transformamos el circuito a su equivalente vectorial y analizamos por nudos, variablede nudo, V1b.

R1

ILb

ZLb E2

ZCbR2

V1b


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Ejemplo 2: Solucin8 Obtenemos la ecuacin del nudo V1a y resolvemos.

V1bR1 + ZCb

+V1bZLb

+V1b E2

R2= 0

E2R2

= V1b (

1ZLb

+1R2

+1

R1 + ZCb

)

V1b =

E2R2

1ZLb

+1R2

+1

R1 + ZCb

=

9 3j4

12j

+14

+1

4 2j= 5 V

ILb =V1bZLb

=54j

=54pi2 A

iLb(t) =54 sen

(2 106t pi

2

)A

iL(t) = iLa(t) + iLb(t) =12 sen

(106t

)+

54 sen

(2 106t pi

2

)A


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Clculo de potencias La potencia instantnea en un elemento de un circuito es el producto de los valores

instantneos de la tensin y la corriente en el elemento.

Resistencia : pR(t) = vR(t) iR(t) = R i2R(t)Generador de tensin : pe(t)(t) = e(t) ie(t)Generador de corriente : pi(t)(t) = i(t) vi(t).................

La potencia media de una funcin peridica, p(t), de periodo T0 se define como:

Pm =1T0

T0p(t) dt

La suma de funciones sinusoidales de distinta pulsacin es una funcin no sinusoidal,que ser peridica si las pulsaciones se encuentran armnicamente relacionadas.

Pulsaciones armnicamente relacionadas, i, son aquellas que cumplen quei = ki 0, siendo k Z y 0 la pulsacin fundamental.

El periodo fundamental de la funcin suma es T0 = ki Ti = m.c.m.{Ti}.Teora de Circuitos Tema 5. Teoremas fundamentales de circuitos. 25 / 53

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Potencia media disipada en una resistencia alimentada congeneradores sinusoidales de pulsaciones armnicas

RiR(t)

vR(t)

A B iR(t) = I01 sen(1t + 1) + I02 sen(2t + 2)

pR(t) = R i2R(t) = R [I01 sen(1t + 1) + I02 sen(2t + 2)]2

1 =2piT1

2 =2piT2

0 =2piT0

0 = 1k1 = 2k2 T0 = k1T1 = k2T2 = m.c.m.{T1, T2}Tanto iR(t) como pR(t) son funciones peridicas de periodo T0

Pm =1T0

T0pR(t) dt = 1

T0

T0R i2R(t) dt

Ri2R(t) = RI201sen2(1t+1)+RI202sen2(2t+2)+R2I01I02sen(1t+1)sen(2t+2)

Pm = P1 + P2 + P3Teora de Circuitos Tema 5. Teoremas fundamentales de circuitos. 26 / 53

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P1 =R I201T0

T00

sen2(1t + 1) dt

=R I201T0

T00

1 cos (2(1t + 1))2

dt

=R I201

2T0 T0 +

T00

cos (2(1t + 1)) dt = 12 R I201

P2 =R I202T0

T00

sen2(2t + 2) dt

=R I202T0

T00

1 cos (2(2t + 2))2

dt

=R I202

2T0 T0 +

T00

cos (2(2t + 2)) dt = 12 R I202


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P3 =2 R I01 I02

T0

T00

sen(1t + 1) sen(2t + 2)dt

=2 R I01 I02

T0

T00

cos (1t 2t + 1 2) cos (1t + 2t + 1 + 2)2

dt

=R I01 I02

T0( T0

0cos (1t 2t + 1 2) dt

T00

cos (1t + 2t + 1 + 2) dt)

{1 + 2 = k10 + k20 = (k1 + k2)0 = k01 2 = k10 k20 = (k1 k2)0 = k0 T0

0cos (1t 2t + 1 2) dt =

T00

cos(k0t + 1 2

) dt = 0

T00

cos (1t + 2t + 1 + 2) dt = T0

0cos (k0t + 1 + 2) dt = 0

Pm = P1 + P2 =1

2 RI201 +

1

2 RI202 W


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iR(t)

vR(t)

A BR=1 iR(t) = i1(t) + i2(t) = 2 sen

( 2pi3

t +pi

3

)+ sen

( 2pi5

t +pi

4

)A

T1 = 3 sT2 = 5 s

} T0 = m.m.c.{T1, T2} = 15 s

3

2

1

0

1

2

3

5 10 15 20 25 30t [s]

i1(t) [A]

3

2

1

0

1

2

3

5 10 15 20 25 30t [s]

i2(t) [A]

3

2

1

0

1

2

3

5 10 15 20 25 30t [s]

iR(t) [A] T0=15 [s]


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0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t [s]

p(t) [W]

p(t) = R i2T (t)= R (i1(t) + i2(t))2

= R i21(t) + R i22(t) + R 2i1(t) i2(t)= p1(t) + p2(t) + p3(t)

Pm =1T0T0R i2R(t) dt

=1T0T0R i21(t) dt +

1T0T0R i22(t) dt +

1T0T0R 2 i1(t) i2(t) dt

=1T0T0p1(t) dt + 1T0

T0p2(t) dt + 1T0

T0p3(t) dt

= P1 + P2 + P3


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0 2 4 6 8 10 12 14 150

2

4

6

8

10

t [s]

p1(t) [W]

P1

P1 =1

T0T0

p1(t) dt =1

2 R I201 =

1

2 1 22 = 2 W

0 2 4 6 8 10 12 14 150

2

4

6

8

10p2(t) [W]

t [s]P2

P2 =1

T0T0

p2(t) dt =1

2 R I202 =

1

2 1 12 = 1

2W

0 2 4 6 8 10 12 14 1510

5

0

5

10p3(t) [W]

P3t [s]

P3 =1

T0T0

p3(t) dt = 0 W

0 2 4 6 8 10 12 14 150

2

4

6

8

10p(t) [W]

t [s]

Pm

Pm = P1 + P2 + P3 =1

2 R I201 +

1

2 R I202 = 2 +

1

2=

5

2W


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Potencia media disipada en una resistencia alimentada congeneradores sinusoidales de pulsaciones armnicasLa potencia disipada en una resistencia por la que circula una corriente suma de sinusoides depulsaciones armnicamente relacionadas es la suma de las potencias disipadas debidas a cadauna de las componentes individuales.

iR(t) =n

k=1

I0k sen(kt + k) Pm =n

k=1

12R I20k

La potencia media disipada en una resistencia por la que circula una corriente suma de unacomponente continua y una corriente alterna sinusoidal es:

iR(t) = Icc + I01 sen(1t + 1)

Pm =1T0

T00

R [Icc + I01 sen(1t + 1)]2 dt = RI2cc +12RI201


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iR(t)

vR(t)

A BR=1

iR(t) = Icc + i1(t) = 3 + 2 sen( 2pi

3t +

pi

3

)A

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

55.5

Icc [A]

t [s]

5

0

5

i1(t) [A]

1 2 3 4 5t [s]

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

55.5

iR(t) [A]

t [s]


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0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

p(t) [W]

t [s]

p(t) = R i2T (t)= R (Icc + i1(t))2

= R I2cc + R i21(t) + R 2Icc i1(t)= p1(t) + p2(t) + p3(t)

Pm =1T0T0R i2R(t) dt

=1T0T0R I2cc dt +

1T0T0R i21(t) dt +

1T0T0R 2 Icc i1(t) dt

=1T0T0p1(t) dt + 1T0

T0p2(t) dt + 1T0

T0p3(t) dt

= P1 + P2 + P3


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0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

p1(t) [W]

t [s]

P1

P1 =1

T0T0

p1(t) dt = R I2cc = 1 32 = 9 W

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

p2(t) [W]

t [s]P2

P2 =1

T0T0

p2(t) dt =1

2 R I201 =

1

2 1 22 = 2 W

105

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

p3(t) [W]

P3 t [s]

P3 =1

T0T0

p3(t) dt = 0 W

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

p(t) [W]

t [s]

Pm

Pm = P1 + P2 + P3 = R I2cc +1

2 R I201 = 9 + 2 = 11 W


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Potencia media puesta en juego por un generadorindependiente de tensin ideal en circuitos alimentados congeneradores sinusoidales de pulsaciones armnicas.

ie(t)e(t)

A B

{e(t) = E01 sen(1t) Vie(t) = I01 sen(1t + 1) + I02 sen(2t + 2) Ape(t) = e(t) ie(t)

1 =2piT1

2 =2piT2

0 =2piT0

0 = 1k1 = 2k2 T0 = k1T1 = k2T2 = m.c.m.{T1, T2}Tanto ie(t) como pe(t) son funciones peridicas de periodo T0

Pm =1T0

T0pe(t) dt = 1

T0

T0e(t) ie(t) dt


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Pm =1T0

T0E01 sen(1t) (I01 sen(1t + 1) + I02 sen(2t + 2))

=1T0 I01 E01

T0

sen(1t) sen(1t + 1) dt +

+1T0 I02 E01

T0

sen(1t) sen(2t + 2) dt

= P1 + P2

P1 =1T0 I01 E01

T00

cos(1) cos(21t + 1)2

dt

=12 I01 E01 cos(1)

=12 I1 E1


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Circuitoslineales





P2 =1T0 I02 E01

T00

cos((2 1)t + 2) cos((2 + 1)t + 2)2

dt = 0

La potencia puesta en juego por un generador independiente de tensin ideal es igual a lapotencia que pondra en juego si slo circulara por el generador la componente de su mismapulsacin.

Pm = P1 =12 I01 E01 cos(1) = 12 I1 E1 W

Si el generador fuera de corriente continua:

Icc EA B Pm =

1T1

T1E (Icc + I01 sen(1t + 1)) dt = E Icc


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ie(t)e(t)

A B

e(t) = 3 sen(

2pi3 t)

V

ie(t) = i1(t) + i2(t) = 2 sen(

2pi3 t +

pi3

)+ sen

(2pi5 t +

pi4

)A

321

0

1

2

3

2 4 6 8 10 12 14 15t [s]

i1(t) [A]

321

0

1

2

3

i2(t) [A]

2 4 6 8 10 12 14 152 4 6 8 10 12 14 15t [s]

321

0

1

2

3

ie(t) [A]

2 4 6 8 10 12 14 15t [s]

321

0

1

2

3

2 4 6 8 10 12 14 15

e(t) [V]

t [s]


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Circuitoslineales




4

2

0

2

4

6

8p(t) [W]

0 2 4 6 8 10 12 14 152 4 6 8 10 12 14 15t [s]

p(t) = e(t) ie(t)= e(t) (i1(t) + i2(t))= e(t) i1(t) + e(t) i2(t)= p1(t) + p2(t)

Pm =1T0T0e(t) ie(t) dt

=1T0T0e(t) i1(t) dt + 1T0

T0e(t) i2(t) dt

=1T0T0p1(t) dt + 1T0

T0p2(t) dt

= P1 + P2


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Circuitoslineales




4

2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10 12 14 15t [s]

p1(t) [W]

P1

P1 =1

T0T0

p1(t) dt

=1

2E0 I01 cos(e i1 )

=1

23 2 cos

(pi

3

)=

3

2W

4

2

0

2

4

6

8p2(t) [W]

2 4 6 8 10 12 14 15t [s]

P2 P2 =1

T0T0

p2(t) dt = 0 W

4

2

0

2

4

6

8p(t) [W]

0 2 4 6 8 10 12 14 152 4 6 8 10 12 14 15t [s]

Pm Pm = P1 + P2 = P1 =3

2W


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Circuitoslineales




Potencia media puesta en juego por un generadorindependiente de corriente ideal en circuitos alimentados congeneradores sinusoidales de pulsaciones armnicas.

i(t)

vi(t)

A B

{i(t) = I01 sen(1t) Avi(t) = V01 sen(1t + 1) + V02 sen(2t + 2) V

pi(t) = i(t) vi(t)

Pm =1T0

T0pi(t) dt

=1T0

T0I01 sen(1t) (V01 sen(1t + 1)V02 sen(2t + 2))

=12 I01 V01 cos(1) = 12 I1 V1 W

La potencia puesta en juego por un generador independiente de corriente ideal es igual a lapotencia que pondra en juego si su d.d.p. tuviera nicamente la componente de su mismapulsacin.


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Potencia media puesta en juego por un generador dependienteen circuitos alimentados con generadores sinusoidales depulsaciones armnicas.

i(t)va(t)

A B

{i(t) = I01 sen(1t + 1) + I02 sen(2t + 2 Ava(t) = (V01 sen(1t + 1) + V02 sen(2t + 2)) V

p(t) = i(t) va(t)

Pm =1T0

T0p(t) dt

=12V01 I01 cos(1 1) + 12 V02 I02 cos(2 2) W

La potencia puesta en juego por un generador dependiente es igual a la suma de las potenciaspuestas en juego por cada una de las componentes frecuenciales calculadas de formaindependiente.


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Ejemplo 2En el circuito de la figura, obtener:

1 El valor de la corriente por la bobina, iL(t).

2 El valor de la tensin en bornes de R1, v1(t).

3 Balance de potencias.

i(t)L

e2(t)E1

v1(t) R1 R2

iL(t)

Datos: i(t) = 2 sen (106t) A; E1 = 6 V; R1 = R2 = 4 ; L = 2 He2(t) = 4 sen(106t) V


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Ejemplo 2: Solucin.1 Puesto que el circuito tiene generadores de dos pulsaciones distintas (1 = 0 y2 = 106) aplicamos el teorema de superposicin.

2 Analizamos el circuito en corriente continua. Anulamos los generadores de pulsacin2, quedando el circuito como muestra la figura.

E1

V1cc R1 R2

ILccI1cc I2cc

Icc1 =E1R1

= 64 =32 A

Icc2 = 0 AIccL = I

cc1 =

32 A

Vcc1 = R1 Icc1 = 4 3

2= 6 V

PE1 = E1 Icc1 = 9 W

PccR1= R1 Icc1 2 = 9 W

PccR2= R2 Icc2 2 = 0 W

3 Analizamos el circuito actuando los generadores de pulsacin 2 = 106, para elloanulamos el generador de continua, E1.

4 Obtenemos las impedancias del circuito a la pulsacin 2 y pasamos el circuito aldominio vectorial.

ZL = j2L = 2j I = 2 AE2 = 4 V


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Ejemplo 2: Solucin.5 Analizamos el circuito por tensiones de nudo (n = 2), una variable de nudo, V1.

IZL

E2

V1 R1 R2

ILV1I2I1

V1R1

+V1R2

+V1 E2

ZL I = 0

E2ZL

+ I = V1 (

1R1

+1R2

+1ZL

)

V1 =

E2ZL

+ I

1R1

+1R2

+1ZL

=

42j

+ 2

14

+14

+12j

= 4 V

I1 = V1R1= 4

4= 1 A ica1 (t) = sen(106t + pi) A

I2 =V1R2

=44

= 1 A ica2 (t) = sen(106t) A

IL =V1 E2

ZL=

4 42j

= 0 A icaL (t) = 0 AVI = V1 = 4 V vcaI (t) = vca1 (t) = 4 sen(106t) V


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Ejemplo 2: Solucin.6 Calculo de potencias en corriente alterna.

PE2 =12E2 IcaL = 0 W

PI =12I Vca1 =

12

(2, 0) (4, 0) = 4 WPcaR1 =

12 R1 |Icc1 |2 =

12 4 12 = 2 W

PcaR2 =12 R2 |Icc2 |2 =

12 4 12 = 2 W

7 Los resultados finales son:

iL(t) = IccL + icaL (t) =

32

+ 0 =32

A

v1(t) = Vcc1 + vca1 (t) = 6 + 4 sen(106t) V

Pent = PE1 + Pe2(t) + Pi(t) = 9 + 0 + 4 = 13 WPR1 = P

ccR1

+ PcaR1 = 9 + 2 = 11 WPR2 = P

ccR2

+ PcaR2 = 0 + 2 = 2 WPabs = PR1 + PR2 = 11 + 2 = 13 W

Pent = Pabs = 13 WTeora de Circuitos Tema 5. Teoremas fundamentales de circuitos. 47 / 53

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Teorema de multiplicacin por una constante

Enunciado.Si en un circuito lineal formado por generadores (independientes y dependientes), resistencias,bobinas y condensadores se multiplican por una misma constante, k, todas las excitaciones delmismo (generadores independientes) la respuesta (corriente de una rama o tensin entre dosnudos) queda multiplicada por la misma constante. La potencia puesta en juego por loselementos (entregada o absorbida) quedar multiplicada por k2.

E Z REDPASIVA

IZ

VZ

IE1

E1 = k E1

IE1 = k IE1IZ = k IZVZ = k VZ

PE1 =1

2E1 IE1 PE1 =

1

2E1 IE1 =

1

2k E1 k IE1 = k

2 12E1 IE1 = k

2 PE1

PZ =1

2|IZ |2

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Ejemplo 3. Problema 8En el circuito de la figura, obtener:

1 Expresin de ix(t).

2 La potencia puesta en juego por los generadores E y i(t) y la disipada por R2.

3 Si sustituimos el generador E por uno nuevo de valor E = 6 V, obtener el nuevo valorde la potencia disipada en R2.

i(t)

L1

i(t)

E

v(t)R1

R2

ix(t)

L2

v(t)i1(t)

Datos: E = 3 V; R1 = 1 ; R2 = 2 ; L1 = 3 HL2 = 2 H; = 1 ; = 2 1; i1(t) = 2 sen

(106t

)A;


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Ejemplo 3. Problema 8: Solucin.1 Puesto que el circuito tiene generadores de dos pulsaciones distintas (1 = 0 y2 = 106) para el anlisis aplicamos el teorema de superposicin.

Anlisis del circuito en corriente continua. Anulamos los generadoresindependientes de pulsacin 2, quedando el circuito como muestra la figura.

Ic

Ic

EVc

R1R2

Ixc

Vc

IR1c Ixc = Vc + IR1cE = Ic + R2 Ixc + R1 IR1cIc = VcVc = R2 Ixc

E = R2 Ixc + R2 Ixc + R1 (Ixc + R2 Ixc) = (R1 + R2 + (R1 ) R2) Ixc

Ixc =E

R1 + R2 + (R1 ) R2=

3

1 + 2 + (1 1) 2 2 = 1 A

Vc = R2 Ixc = 2 1 = 2 VIR1c = Ixc Vc = 1 2(2) = 5 A

Ic = Vc = 2 (2) = 4 A


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Ejemplo 3. Problema 8: Solucin. Anlisis del circuito por corrientes de malla en corriente alterna sinusoidal. Anulamos

los generadores de corriente continua quedando el circuito como muestra la figura.

Ia

ZL1

Ia

VaR1

R2

Ixa

Va

I1

ZL2

IR1a

Ixa Va

I1

Datos: I1 = 2 A; ZL1 = j2L1 = 3j ; ZL2 = j2L2 = 2j

0 = ZL1 Ixa + Ia + R2 (Ixa I1) + R1 (Ixa Va)Va = R2 (I1 Ixa)Ia = Va I1 = ( R2 1) I1 R2 Ixa

R2 I1 = (ZL1 + R1 + R2) Ixa + [(R2 1) I1 R2 Ixa] R1R2 (I1 Ixa)

(R2 (R2 1) + R1R2) I1 = (ZL1 + R1 + R2 R2 + R1R2) Ixa

Ixa =(R2 (R2 1) + R1R2) I1ZL1 + R1 + R2 R2 + R1R2

=(2 (4 1) + 4) 2

3j + 1 + 2 4 + 4 =6

3 + 3j= 1 j =

2 ej

pi4 A

ixa(t) =

2 sen(

106t pi4

)A

Va = R2 (I1 Ixa) = 2 2 1 + j) = 2(1 + j) = 2

2 ejpi4 V

Ia = Va I1 = 4 + 4j 2 = 2 + 4j A Por tanto: ix(t) = Ixc + ixa(t) = 1 +2 sen

(106t pi

4

)A


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Ejemplo 3. Problema 8: Solucin.2 Clculo de las potencias.

Potencia puesta en juego por el generador E, ser debida nicamente a lacorriente de su misma pulsacin, es decir corriente continua, IR1c .

PE = E IR1c = 3 5 = 15 W

Potencia puesta en juego por el generador dependiente i(t). Ser la suma de lapotencia puesta en juego debida a la corriente continua y la potencia puesta enjuego debido a la corriente alterna.

= 0 Pc = Ic (Ixc) = (4) (1) = 4 W (entrega) = 106rad/s Pa = 12 Ia (Ixa) =

1

2 (2, 4) (1, 1) = 1 W (entrega)

Pi(t) = Pc + Pa = 4 + 1 = 5 W (entrega)

Potencia disipada en R2 . Ser la suma de la potencia disipada debido a la corriente continua y la potenciadisipada debido a la corriente alterna.

= 0 Pc = R2 I2xc = 2 12 = 2 W

= 106rad/s Pa =1

2 R2 |Ixa|2 =

1

2 2 (

2)2 = 2 W

PR2 = Pc + Pa = 2 + 2 = 4 W


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Ejemplo 3. Problema 8: Solucin.3 Si multiplicamos el generador de corriente continua por una constante, todas las

respuestas del circuito (tensiones o corrientes) quedan multiplicadas por la mismaconstante.

E = 6 = k E k = E

E=

63

= 2

Por tanto: Ixc = k Ixc = 2 AVc = k Vc = 4 VIR1c = k IR1c = 10 AIc = k Ic = 2 = 8 A

Las potencias puestas en juego, debidas a la corriente continua, quedarn multiplicadaspor k2, por tanto:

Pc = R2 (Ixc)2 = R2 (k Ixc)2 = R2 k2(Ixc)2 = k2 Pc = 8 W

PR2 = Pc + Pa = 8 + 2 = 10 W


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