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RESUMENEl presente artculo estudia la relacinque existe entre el grado de implicacinde los alumnos en la invencin de proble-mas matemticos y el desarrollo de sucompetencia matemtica. Nos pregunta-mos si la invencin-reconstruccin desituaciones problemticas desarrolla lacompetencia matemtica en alumnos de1 y 2 de Educacin Secundaria Obliga-toria. El diseo pretest-postest es cuasi-experimental comparativo de dos grupos,sobre un total de cuatro grupos de alum-nos. La muestra estuvo compuesta por 85alumnos de un centro educativo de laCiudad Autnoma de Ceuta. Se elabora-ron seis cuadernos de trabajo con 17situaciones problemticas cada uno. Elprograma se aplic durante un total de 62

ABSTRACTThe current article studies the relationbetween the degree of involvement ofpupils in the invention of mathematicalproblems and, the development of theirmathematical competence. We ask our-selves if the invention-reconstruction ofproblematic situations develops mathe-matical competence in students of 1st

and 2nd grades of Compulsory Sec-ondary Education. The design pretest-postest is a quasi-experimental compar-ison of two groups, out of a total of fourgroups of pupils. The study sample wasmade up of 85 pupils from an educationcentre in the Autonomous City of Ceuta.Six workbooks, with 17 problematic situ-ations in each one, were made. The pro-gramme was used during 62 sessions of

LA INVENCINDE PROBLEMAS Y

EL DESARROLLO DE

LA COMPETENCIA

MATEMTICA

THE INVENTION OFPROBLEMS AND THE

DEVELOPMENT OF

MATHEMATICAL

COMPETENCE

JOS ANTONIO FERNNDEZ-BRAVOFacultad de Ciencias Sociales y de la Educacin

Universidad Camilo Jos Cela

SANTIAGO CASTILLO ARREDONDOFacultad de Educacin

Universidad Nacional de Educacin a Distancia

JUAN JESS BARBARN SNCHEZFacultad de MatemticasUniversidad de Granada

e-mail: [email protected]

Universidad Camilo Jos Cela222

EduPsykh. REVISTA DE PSICOLOGA Y EDUCACIN

INTRODUCCINLa resolucin de problemas constituye una importante reflexin educati-

va a partir de 1980. En los congresos internacionales de educacin matemtica,particularmente en Adelaida (ICME-4, 1984) y Budapest (ICME-5, 1988), tienenespecial repercusin las ideas de Shoenfeld (1985) y se convirti en una corrien-te esencial para poner en prctica tratamientos didcticos enfocados a procesosespecficos de resolucin. En esta dcada, la resolucin de problemas fue objeti-vo principal de la enseanza de la matemtica, segn la recomendacin deldocumento An agenda for action publicado por la Asociacin Nacional de Pro-fesores de Matemticas de los Estados Unidos (NCTM). Desde entonces, la preo-cupacin en las escuelas, instituciones e investigacin porque la resolucin deproblemas fuese una actividad del pensamiento, ha generado una inquietud debsqueda por entender las dificultades que tienen los escolares en este temaque, cada vez ms, se identifica como fracaso escolar. Los datos que se reco-gen, antes de realizar la investigacin, revelan una incorrecta aplicacin de losconocimientos a las situaciones problemticas y una eleccin de estrategias pro-cesales en las que, generalmente, interviene el azar y no el razonamiento; laimpetuosa necesidad de llegar a un resultado es lo que ms le importa al alum-no. La iniciativa, la creatividad, la concentracin y la asimilacin de tcnicas debase en la resolucin de situaciones, son escasas y estn subrayadas por una rei-teracin de movimientos apoyados en la imitacin de intenciones vacasmuchas veces no comprendida, y, por lo tanto, desnaturalizada en los proce-sos y resultados. La participacin, la autoestima y la seguridad del alumno, ascomo el gusto por la tarea mencionada, intervienen habitualmente de formanegativa.

sesiones de 50 minutos cada una. Losresultados muestran que la invencin-reconstruccin de problemas desarrollala competencia matemtica.

PALABRAS CLAVE Competencia matemtica, Resolucinde problemas matemticos, EducacinSecundaria Obligatoria, Didctica de laMatemtica, Invencin.

50 minutes each. The results show thatthe invention-reconstruction of problemsdevelops mathematical competence.

KEY WORDSMathematical competence, Mathemati-cal problem solving, Compulsory Sec-ondary Education, Teaching of Mathe-matics, Invention.

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R. SANZ, M.I. CASADO

La invencin

Se empieza a tomar en serio la invencin a partir de la encuesta de LEn-seignement Mathmatique sobre el mtodo de trabajo de los matemticos[Publicada por H. Fehr con la colaboracin de T. Flournoy y E. Claparde (Parsy Ginebra, 1908)], que estimul y provoc la conferencia sobre Invencinmatemtica Poincar (1909) , y los trabajos posteriores de Hadamard (1947),pretendiendo que se entienda la invencin de situaciones problemticas, comomtodo capaz de desarrollar la actividad mental en la resolucin de problemas,garantizando la autonoma de las sucesivas construcciones.

En el mbito educativo estas ideas sobre la invencin de problemas se desa-rrollan por el pedagogo alemn Kerschensteiner1, con gran aceptacin por partede la comunidad educativa. El hecho de que estas ideas, segn Aizpn (1972), ten-gan escasa aplicacin en la clase de matemticas, demuestra que el reconoci-miento de la teora no implica el asentamiento en la prctica2.

La competencia matemtica

El estudio del desarrollo de la competencia matemtica en alumnos de la ESOes un aspecto que tiene un inters creciente dentro de la Educacin Matemtica. Lacompetencia matemtica ha sido definida por numerosos autores (Escamilla, 2008;Rico y Lupiez, 2008). En sus inicios, existi una discusin entre los investigadoresque trabajaban con la nocin de competencia matemtica basada en establecer surelacin o contraposicin con la nocin de comprensin. En este sentido, Godino(2002) considera que la competencia se centra en un componente prctico, saber

________________

1 Georg Kerschensteiner, naci y muri en Munich (1854 1932) Pedagogo alemn que fij una estrecha relacin entre la

teora y la prctica educativas. Sus trabajos tuvieron mucha resonancia en la primera mitad del siglo XX.

2 Y la experiencia dice que estos mismos enunciados (los derivados de la interpretacin infantil a partir de expre-

siones matemticas) son muchas veces punto de arranque de otras cuestiones importantes, como deben ser autn-

ticamente los verdaderos. [...] En una segunda etapa, ya dirigida, no partiremos de igualdad alguna, sino que pedi-

remos enunciados tales que para responder a la pregunta planteada hayan de realizarse operaciones fijadas; por

ejemplo, pediremos enunciados que exijan una adicin y una multiplicacin; que exijan dos adiciones; una sustrac-

cin y una multiplicacin, etc. [...] Tradicionalmente, es slo el Maestro quien plantea los problemas, y se le suele

aconsejar que lo haga utilizando estrictamente los datos precisos. El adulto que estudia Matemticas sabe que as

aparecen tambin los que se le ofrecen a l y este convenio tiene como base ms lo que suele llamarse elegancia

de planteo que otra cosa. Pero ni en el mundo de la investigacin ni en el de las aplicaciones, ni aun siquiera en el

de las relaciones humanas, surgen los problemas con tal limpieza conceptual de enunciado, sino que es el propio

investigador quien ha de seleccionar los datos prescindiendo de los superfluos o eliminando los contradictorios. AIZ-

PN (1972, pp. 127-129).


hacer, mientras que la comprensin lo hace en un componente terico, saber quhacer y por qu. Entre los estudios llevados a cabo sobre la competencia matemticadestaca el proyecto KOM (Kompetencer og matematikloering) llevado a cabo en Dina-marca entre los aos 2000 y 2002, basado en una propuesta elaborada por Niss(1999), y por medio del cual se caracteriz el currculo de matemticas en trminosde competencias desde la escuela hasta la universidad. Posteriormente, ha habidootros pases que han incluido las competencias bsicas en sus currculos, como es elcaso de Portugal (Abrantes, 2001), Paraguay, Colombia, Per, Canad y Espaa a tra-vs de la LOE (Ley Orgnica 2/2006, de Educacin). Algunas investigaciones relacio-nadas con la competencia matemtica de alumnos de Educacin Secundaria Obliga-toria son las llevadas a cabo por Marcos (2009) y Roig y Llinares (2006).

Existe una ntima relacin entre la competencia matemtica y la resolucin deproblemas (Goi, 2008). Sin embargo, para Lester y Charles (2003) no estn claras lasrelaciones entre el desarrollo de conceptos y el de las competencias en resolucin deproblemas. Trner, Schoenfeld y Reiss (2007) seleccionaron a un grupo de expertos3

para hacer una revisin de las investigaciones en resolucin de problemas llevadas acabo en sus pases. En Espaa destacamos las investigaciones llevadas a cabo por Aiz-pn (1972), de Guzmn (1984), Fernndez Bravo (2002) y Puig y Cerdn (1988).

Pretendemos comprobar si la utilizacin del programa de invencin-recons-truccin de situaciones problemticas (elaborado por Fernndez Bravo, 2010)desarrolla en alumnos de 1 y 2 de ESO la capacidad de pensar y razonar mate-mticamente, plantear y resolver problemas matemticos, argumentar matemti-camente, utilizar smbolos y formalismos matemticos y comunicarse con y sobrelas matemticas.

MTODO Diseo

El diseo de esta investigacin fue un diseo cuasi-experimental compara-tivo de dos grupos, sobre un total de cuatro grupos de alumnos de ESO; desde 1de ESO hasta 2 de ESO. Al pertenecer los sujetos de cada curso a dos estados decontrol se subraya en el diseo la caracterstica: Pretest-Postest. Ambos grupos(experimental y control) fueron evaluados antes y despus de la aplicacin delprograma de invencin-reconstruccin de situaciones problemticas.


________________

3 Integrado por: Michle Artigue, Hugh Burkhardt, Norma M. Chang, Jinfa Cai, Michiel Doorman, Victoria Hand, Catherine

Kessel, Mariana Levin, Luis Moreno Armella, Joo Pedro da Ponte, Bharath Sriraman, Julianna Szendrej y Stefan Ufer.

Tabla 1. Esquema del diseo Pretest-Postest empleado en la investigacin

Muestra

El contexto del estudio es un centro de titularidad pblica de la ciudad aut-noma de Ceuta. Nos planteamos mejorar el desarrollo de la competencia matemti-ca de los alumnos de 1 y 2 de ESO, basndonos en: los resultados notablementemejorables en la prueba de diagnstico realizada por el Ministerio de Educacin a losalumnos del citado centro; en la evolucin desfavorable del porcentaje de aprobadosen Matemticas de 1 y 2 de ESO; y, en el dilogo con profesores y en la observa-cin de los alumnos de 1 y 2 de ESO tanto en el aula como fuera de ella.

Figura 1. Evolucin del porcentaje de aprobados en Matemticas de 1 y 2 de ESOen el centro educativo donde se desarroll la investigacin

De un total de 145 alumnos de 1 y 2 de ESO de un centro educativo de laciudad autnoma de Ceuta, se seleccionaron 85 alumnos, 39 de 1 de ESO y 46 de2 de ESO. Se eligieron al azar dos grupos como experimentales (un 1 y un 2 deESO) y dos como grupos control (un 1 y un 2 de ESO). Los grupos experimenta-les y de control formaron grupos naturales ya que no se escogieron los alumnos.

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GRUPOS PRETEST INTERVENCIN POSTEST

EXPERIMETAL (GE) T1 X T3

CONTROL (GC) T2 T4

26%

30%

25%

20%

15%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%Curso 2003/04 Curso 20004/05 Curso 2005/06 Curso 2006/07 Curso 2007/08


Tabla 2. Descripcin de la muestra utilizada en la investigacin

Hiptesis

Hiptesis fundamental del estudio: Si se utiliza el programa de invencin-reconstruccin de situaciones problemticas con alumnos de 1 y 2 de ESO,entonces se desarrollar la competencia matemtica de estos alumnos.

Variables e instrumentos

La variable independiente de este estudio fue el programa de invencin-reconstruccin de situaciones problemticas.

Para evaluar si el programa de invencin-reconstruccin de situaciones pro-blemticas desarrolla la competencia matemtica se utilizaron las variables depen-dientes: pensar y razonar matemticamente, plantear y resolver problemas mate-mticos, argumentar matemticamente, comunicarse con y sobre las matemticas,y, utilizar smbolos y formalismos matemticos.

Basndonos en el dilogo con expertos en investigacin educativa y conotros profesores del centro donde se llev a cabo la experiencia, las variablesintervinientes que iban a poder estar sistemticamente relacionadas con lavariable independiente, y que podan afectar en forma diferencial a los valoresde las variables dependientes, fueron las siguientes: la ocupacin de los padres,la situacin familiar, el nivel de estudios de los padres y la dificultad para lasmatemticas.

Para evaluar las variables dependientes se dise un instrumento al que lla-mamos prueba para medir el desarrollo de la competencia matemtica (PRUCO-MAT). Esta prueba fue validada por el mtodo de triangulacin de expertos y pos-teriormente experimentada con xito como prueba piloto con 379 alumnos, 206 de1 de ESO y 173 de 2 de ESO de dos centros educativos de la ciudad autnomade Ceuta distintos al centro donde se llev a cabo la investigacin.


IES ALMINA DE CEUTA

CURSO EXPERIMETAL (GE) CONTROL (GC)

1 ESO 19 sujetos 20 sujetos

2 ESO 21 sujetos 25 sujetos

Poblacin: 145 alumnos Muestra: 85 alumnosError estandar

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Para medir las variables intervinientes se elabor un cuestionario que fuerellenado por los padres de los alumnos antes de poner en prctica el programa deinvencin-reconstruccin de situaciones problemticas.

Material

Se confeccionaron seis cuadernos de trabajo para el alumno con 17 situa-ciones problemticas cada uno. Cada cuaderno de trabajo se centr exclusiva-mente en uno de los metamodelos descritos en Fernndez Bravo (2010).

Procedimiento

En la fase pretest, que tuvo lugar en el mes de septiembre de 2009, los alum-nos de 1 y 2 de ESO cumplimentaron, de forma simultnea y en su aula habi-tual, la prueba para medir el desarrollo de la competencia matemtica (PRUCO-MAT). Ningn profesor participante en esta investigacin corrigi las pruebas desus alumnos. Dicha correccin se llev a cabo de forma consensuada entre todoslos miembros del equipo investigador.

La fase de intervencin se llev a cabo mediante la aplicacin del programade invencin-reconstruccin de situaciones problemticas a los dos grupos expe-rimentales en dos sesiones semanales de 50 minutos de duracin cada una, den-tro del horario lectivo y en el aula correspondiente. El nmero total de sesiones enlas que se aplic el programa en cada grupo fue 62. El horario fijado para estassesiones coincidi en todos los cursos. El equipo investigador se haba formadoanteriormente mediante seminarios de grupo para la aplicacin prctica del pro-grama de invencin-reconstruccin de situaciones problemticas. Este equipoestuvo formado por cuatro profesores que fueron los que impartieron docencia alos dos grupos experimentales y a los dos grupos control junto con el investigadorprincipal que no particip en la labor docente. Con una periodicidad quincenal sellevaron a cabo reuniones en las que participaron los dos profesores de las aulasexperimentales y el investigador principal; en ellas, se compartieron las experien-cias particulares de cada aula y se analiz la actuacin del profesor como posiblerepercusin, positiva o negativa, en las observaciones expuestas; la organizacindel aula, el enfoque prctico, la relacin personal e interaccin. Como nos ense-an Castillo y Cabrerizo (2006).

La fase postest se llev a cabo en el mes de junio de 2010. A los alumnos seles aplic la prueba para medir el desarrollo de la competencia matemtica (PRU-COMAT) el mismo da de la semana y a la misma hora que en la fase pretest. Lacorreccin de las pruebas sigui el mismo procedimiento que en la fase pretest.


RESULTADOSEn primer lugar, se estudi mediante un anlisis de la varianza si existan

diferencias estadsticamente significativas (p

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Tanto en 1 como en 2 de ESO, la razn F indic que los cambios pretest-postest fueron estadsticamente significativos al 100% en todas las variablesdependientes estudiadas. Los cambios producidos en los grupos experimentalesde la fase postest fueron significativos respecto a todos y cada uno de los otros gru-pos. No se presentaron diferencias significativas (postest-pretest) entre los gruposcontrol de 1 y 2 de ESO.

Como complemento a la interpretacin de los resultados que obtuvieron losalumnos en PRUCOMAT, se introdujo la nocin de nivel de desarrollo de la com-petencia matemtica (NICOMAT) que es el grado en que el alumno desarrolladicha competencia tras la aplicacin del programa de invencin-reconstruccin desituaciones problemticas (para ello se hizo un anlisis comparativo de los resul-tados obtenidos por el alumno en PRUCOMAT de las fases pretest y postest). Sedistinguieron los siguientes:

NICOMAT 0: El alumno no mejora en el desarrollo de ninguna capacidadde las medidas en PRUCOMAT.

NICOMAT 1: El alumno mejora en el desarrollo de una capacidad de lasmedidas en PRUCOMAT.

NICOMAT 2: El alumno mejora en el desarrollo de dos capacidades delas medidas en PRUCOMAT.

NICOMAT 3: El alumno mejora en el desarrollo de tres capacidades delas medidas en PRUCOMAT.

NICOMAT 4: El alumno mejora en el desarrollo de cuatro capacidades delas medidas en PRUCOMAT.

NICOMAT 5: El alumno mejora en el desarrollo de cinco capacidades delas medidas en PRUCOMAT.



120

100

80

60

40

20

0NICOMAT 0 NICOMAT 1 NICOMAT 2 NICOMAT 3 NICOMAT 4 NICOMAT 5

Figura 2. Resultados de NICOMAT: 1 ESO

30

50

15

05

100

Q Grupo experimental


120

100

80

60

40

20

0NICOMAT 0 NICOMAT 1 NICOMAT 2 NICOMAT 3 NICOMAT 4 NICOMAT 5

Figura 3. Resultados de NICOMAT: 2 ESO

72

4

24

0 0

100



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Se observ que la totalidad de los alumnos de los grupos experimentales de1 y 2 de ESO mejoraron en el desarrollo de las cinco capacidades evaluadas enPRUCOMAT. Los resultados de los grupos control de 1 y 2 de ESO fueron consi-derablemente mejorables. Esto evidencia que el programa de invencin-recons-truccin de situaciones problemticas desarroll de manera muy considerable lacompetencia matemtica en alumnos de 1 y 2 de ESO. Se pretendi ver hasta qupunto podan ser explicados los cambios que se haban producido, por la aplica-cin del programa de invencin-reconstruccin de situaciones problemticas, encada variable, por los cambios que se haban producido en las otras variables. Paracuantificar la relacin se calcul: el coeficiente de correlacin mltiple y el coefi-ciente de determinacin corregido o ajustado. La prueba de significacin del coe-ficiente de correlacin se realiz considerando la hiptesis alternativa como bila-teral (es decir, el coeficiente de correlacin poblacional es distinto de cero). Paraanalizar las condiciones de aplicacin de la regresin, se realiz un anlisis de losresiduos, observando la exigencia de normalidad de estos.

Tabla 5. Anlisis de regresin lineal mltiple: 1 ESO

COEFICIENTE COEFICIENTE DE VARIABLES QUEDE CORRELACIN DETERMINACIN F NO INTERVIENEN CURVA

MLTIPLE CORREGIDO EN ECUACIN

PRM .885 .770 .000 0 Normal

PRPM .996 .991 .000 0 Normal

AM .996 .992 .000 0 Normal

USFM .995 .989 .000 0 Normal

CM .996 .992 .000 0 Normal

COEFICIENTE COEFICIENTE DE VARIABLES QUEDE CORRELACIN DETERMINACIN F NO INTERVIENEN CURVA

MLTIPLE CORREGIDO EN ECUACIN

PRM .906 .812 .000 0 Normal

PRPM .986 .971 .000 0 Normal

AM .998 .996 .000 0 Normal

USFM .998 .996 .000 0 Normal

CM .997 .994 .000 0 Normal

Tabla 6. Anlisis de regresin lineal mltiple: 2 ESO


Tanto en 1 como en 2 de ESO, se observ que los cambios producidos enesas variables se podan explicar por los cambios que se haban producido entodas y cada una de las dems variables, con una fiabilidad media del 95%. La sig-nificacin F indica que el acierto por azar es cero, y la distribucin es normal. Portanto, las predicciones que se pudieran establecer para los alumnos de 1 y 2 deESO del centro educativo considerado tendran un alto grado de fiabilidad.

DISCUSINEl fin principal de este estudio consisti en comprobar si la utilizacin del

programa de invencin-reconstruccin de situaciones problemticas desarrolla lacompetencia matemtica en alumnos de 1 y 2 de ESO. Con esta investigacin, seha aportado evidencia emprica de la importancia de la actividad de inventar yreconstruir situaciones problemticas, para favorecer el desarrollo de la compe-tencia matemtica en alumnos de 1 y 2 de ESO.

Los resultados de la investigacin sealan un incremento significativo dela competencia matemtica en los alumnos de los grupos experimentales. Espe-ramos que este incremento pueda ser confirmado estadsticamente mediantefuturos estudios una vez ampliada la muestra con centros de titularidad priva-da, concertada y de un entorno no urbano. De estos resultados, se puede con-cluir que si se utiliza el programa de invencin-reconstruccin de situacionesproblemticas con alumnos de 1 y 2 de ESO, entonces se desarrolla la compe-tencia matemtica de estos alumnos. De lo anterior deducimos que se prueba lahiptesis del estudio.

De estos resultados, se puede concluir lo siguiente:

Cunto ms incompleta se presente una situacin problemtica, capaz deser reconstruida por el alumno, mayor es la posibilidad que tiene de serconsciente de las relaciones que intervienen en su resolucin. Las situa-ciones que se presentan de forma completa y terminada debilitan elaprendizaje, al ignorarse la dinmica de relaciones intelectuales que hanintervenido en el proceso de su construccin.

La invencin de situaciones problemticas permite al alumno descubrir elerror y reconocerlo para evitarlo en la construccin de nuevos conoci-mientos. La concienciacin del error es, para el alumno, reflexin, y parael profesor, disminucin de la ignorancia que posee sobre lo que sus alum-nos desconocen. Tal conocimiento adquiere un significado que da utilidad


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al medio en el que se desenvuelven las relaciones de enseanza-aprendi-zaje. El diagnstico, la deteccin, correccin y superacin de los errores,como parte legtima de los procesos de mejora en el rendimiento de laresolucin de problemas matemticos, ha surgido en un marco concep-tual consistente, basado en la aplicacin de los modelos utilizados en elPrograma de Intervencin.

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