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Diagramas de cortante y momento flectorLa determinacin de los valores absolutos mximos del cortante y del momento flector en una viga se facilita mucho si V y M se grafican contra la distancia x medida desde un extremo de la viga. A continuacin se muestran los pasos esenciales a seguir para la construccin de diagramas de cortante y momento:

Se deben calcular las reacciones del elemento a analizar.

Se deben hacer cortes analticos a una seccin especfica de la viga y considerarlo como un elemento en equilibrio para conocer los valores de cortante y momento.

Tomar un punto como eje de referencia y comenzar a graficar distancia x en el eje de las abscisas, contra el cortante (V) o momento (M) en el eje de las ordenadas.

A continuacin se muestra un ejemplo:

Ejemplo 1Una viga simplemente apoyada con una longitud total de 10 pies, se le aplica una carga P1 de 10 klb como se muestra en la figura.

Consideremos a la viga un cuerpo rgido y calcularemos las reacciones:RA= 6 klb.RB= 4 klb.Hacemos un corte en a antes del llegar a la carga P1 y analizamos la seccin considerndola en equilibrio.

aabbEjemplo 1Para conocer los valores del cortante se hacen sumatoria de fuerzas.Fy=0 F y=6klb-V=0 V=6klb.

De igual manera para el momentoMV=0 M=(-6klb)( X1)+M=0 M=(6klb)( X1)

=6 klbV=6 klbM= 6x1Procedemos a hacer otro corte en bFy=0 Fy =6kilb-6klb+4klb+V=0 V=-4klb

MV=0 M=(-6klb)(x1)+(10klb)( X1-2)+M=0

=6 klbV= -4klbM=6klb X1-10klb X1+20klb =4klb(X1 -2)Diagramas de cortante ejemplo 1Se grfica el diagrama de cortantes como se propuso anteriormente y tomando en cuenta la convencin de los signos nos queda de la siguiente manera:

pies klbDiagrama de cortante Diagrama de Momento ejemplo 1Si nos damos cuenta, en la parte anterior dedujimos la ecuacin del momento a cualquier punto. Si le damos valores a X1 a travs de toda la seccin en el eje de abscisas, tenemos el siguiente diagrama:

pies KlbpieDiagrama de momentos Ejemplo 2

Solucin:Consideraremos la viga como un cuerpo rgido y determinaremos las reacciones

Ejemplo 2

Seccionamos la viga en 1 y aplicamos condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre resultante

Ejemplo 2

Seccionamos la viga en 1 y aplicamos condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre resultante

Seccionamos la viga en 2 y aplicamos condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre resultante8Ejemplo 2Haciendo lo mismo para las secciones 3 a la 6:

Seccionamos la viga en 2 y aplicamos condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre resultanteSeccionamos la viga en 1 y aplicamos condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre resultante

Diagrama de cortante y momento de ejemplo 2

Localicemos el mximo cortante y momento flexionante basado en los diagramas resultantes:

Relaciones entre esfuerzo cortante, momento flector y la carga Entre dos secciones indefinidamente prximas podemos considerar que acta una carga uniformemente repartida p que ser funcin de la distancia x, incluso en el caso de fuerzas concentradas, o, por el contrario, que no acta carga alguna (ver figura).En el primer caso, tomando momentos respecto al centro de gravedad de la seccin situada a la derecha, tendremos: M+Tdx=M + dM + pdx (dx/2)

Relaciones entre esfuerzo cortante, momento flector y la carga De donde, despreciando infinitsimos de segundo orden, se tiene: Tdx = dM T=(dM/dx) (VI.5.1)

En esta expresin, como se ve, no interviene la carga. Por tanto, esta expresin ser aplicable tanto al caso en que sobre el elemento de viga exista carga repartida como si no.

Se puede afirmar pues: "El esfuerzo cortante en una seccin de una viga sometida a flexin simple coincide con la derivada de la funcin momento flector en dicha seccin". Geomtricamente, el esfuerzo cortante en una seccin viene medido por el valor de la tangente trigonomtrica del ngulo que forma con el eje x (eje de la viga) la tangente al diagrama de momentos flectores en el punto de abscisa de la seccin dada.

Relacin entre diagramas de cortante y momento

Cmo localizar el momento mximo?Resolvamos el siguiente ejemplo para dar respuesta a la pregunta.

Consideremos una viga como la que se muestra a continuacin:

=3KNmmmCalculando reacciones en A y B cambiando el peso distribuido por una fuerza resultante de 12KN colocada a 2m de la izquierda.

Ejemplo3Como observamos la fuerza cortante se hace cero en el punto 2.67m que puede ser calculada por semejanza de tringulos.

Calculando el diagrama de momentos nos queda de la siguiente manera:

Diagrama de cortante kNm mEjemplo 3

m kNmDiagrama de momentosComo observamos el momento mximo se presenta cuando el cortante es cero, y si no es fcil de identificar con las medidas, es necesario utilizar semejanza de tringulos para encontrar el punto exacto. TIPOS DE DIAGRAMAS COMUNES

Teorema de los ejes paralelosConsidere el momento de inercia I en un rea A con respecto a un eje AA. Si se representa con y la distancia desde un elemento del rea dA hasta AA se escribe:

Ahora, se dibuja a travs del centroide C del rea de un eje BB que es paralelo a AA, dicho eje es llamado eje centroidal. Representado con:

y la distancia desde el elemento dA hasta BB, se escribe y=y+d, donde d es la distancia entre los ejes BB sustituyendo por y en la integral anterior, se describe:

Teorema de los ejes paralelos

La primera integral representa el momento de inercia del rea con respecto al eje centroidal BB. La segunda integral representa el primer momento del rea con respecto a BB; como el centroide C del rea est localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la integral es igual al rea total A. Por tanto se tiene:

Esta frmula expresa que el momento de inercia de un rea con respecto a cualquier eje dado AA es igual al momento de inercia I del rea con respecto a un eje centroidal BB que es paralelo a AA mas el producto del rea A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes. Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner. Sustituyendo tenemos , el teorema tambin se puede expresar .Se puede utilizar un teorema similar para relacionar el momento polar de inercia Jo de un rea con respecto a un punto O, con el momento polar de inercia de la misma rea con respecto a su centroide de C. Denotando con d la distancia entre O y c se escribe:

Referencias Libro de texto de mecnica y http://www.uhu.es/josemiguel.davila/TeoriaEstructuras_archivos/TeoriaEstructuras_TEMAIII-06_DiagramasElementales.pdf