diagonalización facultad de ingenieria umsa

Facultad de Ingeniería Algebra Lineal (MAT-103) Curso Básico

Práctica Página 1

DIAGONALIZACION

1. Verificar D = PtAP para la matriz: 2 1 11 2 11 1 2

2. Halle una matriz S tal que S2 =A. Si: A = 1 3 10 4 50 0 9

Demuestre que (P−1BP)4 = P−1B4P

3. Sea A =

0 11

2

1 0 0

0 01

2

Determine si A es ortogonal

4. En el espacio vectorial R2 está dada la recta “y = 3x” y el operador lineal T que transforma

todo vector A = (a1, a2) en el vector B = (b1 ,b2), simétrico al primero respecto de la línea

indicada. Hallar: a) la matriz estándar del operador lineal. B) Una base en R2 tal que la

matriz que la represente sea diagonal.

5. Calcular los valores propios reales λ y los subespacios fundamentales V (λ) para f Є (R3)

definido por f((x; y; z)) = (−x − z;−7x + 4y + 13z; x − 3z)

6. Para la matriz A se pide encontrar An y luego hallar A-1 utilizando el teorema de Hamilton-

Cagley, sabiendo que uno de sus autovalores es igual a 3.

A = 5 −2 24 −3 44 −6 a

7. Dada la matriz A = −1 0 1−1 3 04 13 −1

. Encuentre los autovalores y autovectores

correspondientes.


Práctica Página 2

8. ¿Que debe verificar el parámetro a Є R para que la matriz A = 1 a a

−1 1 −11 0 2

sea

diagonalizable sobre R? Cuando lo sea, hallar su forma diagonal, una matriz de paso y An

para cualquier número natural n.

9. Sea A una matriz diagonalizable cuyos autovalores son 5, 1, 5 y la matriz que la

diagonaliza es la transpuesta es la transpuesta de:

−1 1 01 1 00 0 1

Encuentre la matriz A.

10. Encuentre la matriz que diagonaliza a B y luego halle B40.

B = 1 −1 00 6 −30 −9 0

11. Para la siguiente matriz: A = 3 −2 0

−2 3 00 0 5

Hallar: a) Autovalores, b) Autovectores, c)

Diagonalizar la matriz.

12. Probar que cualquier matriz simétrica real de orden 2 es diagonalizable.

13. Sea f la transformación lineal de R3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica

es: A=

100

010

0ba

Estudiar para qué valores de a y b es A diagonalizable.

14. Halla una matriz de paso ortogonal para diagonalizar

311

151

113

.

15. Se considera la matriz

600

301

2k1

A . a) Determinar los autovalores de A. b) ¿Qué valor

o valores puede tomar k para que A sea diagonalizable?


Práctica Página 3

16. En una matriz ortogonalmente diagonizable Anxn. a) Indique la característica fundamental

de A, b) Si P-1 A P = D1 y Pt A P = D2 cuál es la relación entre D1 y D2. C) Como se

encuentra la matriz que diagonaliza a A y la que la diagonaliza ortogonalmente.

17. Encuentre una matriz que diagonalice ortogonalmente a: A = 11 2 ab 2 10

−8 c 5

18. Halle una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A = 2 −1 −1

−1 2 −1−1 −1 2

y encuentre A30.

19. Para el operador lineal T: IR2x2 → IR2x2, definido por T(A) = A – At. a) Hallar una

representación matricial en la base canónica de IR2x2. B) Determinar autovalores. C)

¿Qué matrices de IR2x2 son los autovectores de T?

20. Para el operador lineal T: R3→R3 donde: T(1,1,1) = (4,0,4); T(1,1,-1) = (6,2,-2);

T(-1,1,1) = (-2,2,6) Hallar: a) La representación matricial respecto a la base canónica. B) Una

base de R3 para la cual la representación matricial de T se a una matriz diagonal.

21. Suponga que t: P2→P2 se define por medio de T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + 6a1 + 2a2)-(a1 +

8a2)x + (a0 – 2a2)x2. a) Halle los autovalores de T, b) Encuentre bases para los

autoespacios de T.

22. Dada la matriz A ,a) Encuentre la matriz P que diagonalice a A, b) Encuentre A10, c)

Diagonalice ortogonalmente A con el producto euclidiano interior.

A = −2 0 −360 −3 0

−36 0 −23

23. Demuestre que una matriz ortogonalmente diagonizable es simétrica.


Práctica Página 4

24. Los siguientes autovalores y autovectores corresponden a una matriz simétrica λ1=1, λ2=-

1y λ3=2; u1 = (1,0,-1); u2 = (0,1,0). Hallar la matriz simétrica y A10.

25. Sea T: R2→R2 el operador lineal definido por: T(x1, x2) = 3x1 + 4x2

2x1 + x2 Halle una base para

R2 con relación a la cual la matriz T sea diagonal.

26. Calcular An, eAt si A = −1 2 22 −1 20 2 1

27. Expresar la siguiente matriz A = 1 2 20 2 1

−1 2 2 de la forma A = P-1 A P.

28. Demuestre que para cualquier números a y b la matriz A = a b−b a

tiene vectores propios

A = 1𝑖 y A =

1−𝑖

29. Para la matriz dada hallar una fórmula para calcular Bn. Donde “n” es un número entero

positivo. B = 1 2 22 1 22 2 1

30. Para la matriz A = 15 7 −7−1 1 a13 7 −5

hallar A10 sabiendo que uno de los autovalores es λ=8

31. Diagonalizar ortogonalmente la matriz A = 1 x + y −x − y2 4x −x − 3y

−2 −4 4

. Luego hallar A100.

32. Para la matriz A = 4 a2 b

se conoce que el espectro es 𝜎 𝐴 = 3,2 . Se pide diagonalizar

la matriz A y encontrar la base de los espacios propios.


Práctica Página 5

33. Utilizando la diagonalización ortogonal se pide encontrar una expresión para A50 siendo

A = 5 4 24 5 22 2 2

34. Hallar los autovalores y autovectores de la siguiente matriz y, si es posible, obtener P tal

que P-1 A P es una matriz diagonal: A = 3 −1 10 2 01 −1 3

35. Hallar los autovalores y autovectores de la siguiente matriz y, si es posible, obtener P tal

que P-1 A P es una matriz diagonal: A = 0 −1 −1−2 1 −1−2 2 2

36. Comprobar que 𝑣 = 11 es un vector propio de la matriz 𝐴 =

2 36 −1

37. Hallar el polinomio característico y los valores propios de la siguiente matriz:

A = 4i 4 80 −7 00 0 6 − 2i

38. Se propone construir una sucesión numérica a0, a1, a2,.... tomando a0 = 0, a1 = 1 y de

modo que cada uno de los siguientes números sea la media aritmética de los dos

anteriores. Hallar a qué valor tienden dichos números cuando avanzamos suficientemente

en este proceso.

39. Encontrar una matriz cuadrada de orden dos cuyos autovalores sean 1 y 2 y tal que

𝑣 1 = 11 , 𝑣 2 =

10


Práctica Página 6

40. Los autovalores de una matriz simétrica A, de orden tres, son 1, −2 y 3 y los subespacios

propios asociados son 𝑣 1 = 11

−1 , 𝑣 −2 =

011 Obtener una base para V (3) y encontrar

la matriz A.

diagonalización facultad de ingenieria umsa

Documents