dgb3_3_4.pdf

Profr. Efran Soto Apolinar.

Circunferencia que pasa por tres puntos

En la seccin Ecuaciones de las rectas notables del tringulo calculamos el punto donde se intersectanlas tres mediatrices de los lados de un tringulo.

Este punto, llamado circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo.

Condiciones analticas y geomtricas

Observa que cualquier punto P que pertenece a la mediatriz de un segmento est a la mismadistancia de los extremos del segmento sobre la cual se le construy:

x3 2 1 0 1 2 3 4

y

2

1

1

2

3

4

A

CM

ediat

riz

AP

CP

P

Si dibujamos un tringulo y trazamos las mediatrices de dos de sus lados, el punto donde seintersectan est a la misma distancia de los tres vrtices.

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x3 2 1 0 1 2 3 4

y

2

1

1

2

3

4

5

6

A

B

CM

ediatriz

Med

iatriz

C

3 El punto C es el punto donde se intersectan las dos mediatrices trazadas.

3 Por pertenecer a la mediatriz del lado AC est a la misma distancia del vrtice A como delvrtice C. Es decir |AC| = |CC|.

3 De manera semejante, por pertenecer a la mediatriz del lado BC, est a la misma distanciadel vrtice B como del vrtice C. Matemticamente esto se denota por: |BC| = |CC|.

3 Pero ya se haba dicho que |AC| = |CC|. Entonces

|AC| = |BC| = |CC|

3 Esto obliga a la mediatriz del lado AB a pasar por el punto C, porque est a la mismadistancia de los vrtices A y B.

3 En conclusin, el punto donde se intersectan las tres mediatrices est a la misma distanciade los tres vrtices.

Esto nos ayuda porque si dibujamos una circunferencia con centro en el circuncentro del trin-gulo, y radio igual a la distancia del circuncentro a cualquiera de los vrtices del tringulo, lacircunferencia pasar por los tres vrtices.

El tringulo queda inscrito a la circunferencia y decimos que la circunferencia est circunscritaal tringulo. Por esta razn el punto donde se intesectan las tres mediatrices de un tringulo sellama circuncentro.



x3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

y

2

1

1

2

3

4

5

6

A

B

C

Mediatriz

Mediatriz

Med

iatriz

Esto nos sugiere que para calcular la ecuacin de una circunferencia circunscrita a un tringulodados los vrtices del mismo encontremos las ecuaciones de dos de sus mediatrices, despusel punto donde se intersectan. Este punto ser el centro de la circunferencia. Para calcular elradio podemos calcular la distancia del cincuncentro a cualquiera de los vrtices del tringulo yentonces podremos calcular la ecuacin de la circunferencia.

Sin embargo hay otro mtodo ms sencillo. Como la ecuacin de la circunferencia en su formageneral es:

x2 + y2 + D x+ E y+ F = 0

donde: D = 2 h, E = 2 k, y F = h2 + k2 r2.Como sabemos que la circunferencia debe pasar por los tres vrtices, podemos sustituir sus coor-denadas en la ecuacin y as obtendremos tres ecuaciones, una por cada vrtice y al resolver esesistema de ecuaciones lineales encontraremos las incgnitas, que son D, E y F.

Una vez que conozcamos los valores de estas incgnitas podremos calcular los valores que nosinteresan: h, k y r.

Obtencin de la ecuacin dados tres puntos

Supongamos que queremos calcular la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntosA(xa, ya), B(xb, yb) y C(xc, yc). Al sustituir en la ecuacin de la circunferencia en su forma generalobtenemos las siguientes ecuaciones:

xa D+ ya E+ F = (x2a + y2a)xb D+ yb E+ F = (x2b + y2b)xc D+ yc E+ F = (x2c + y2c )

Al resolver este S.E.L. encontramos los valores de D, E y F. Usando las definiciones: D = 2 h,E = 2 k, y F = h2 + k2 r2 podemos calcular los valores que nos interesan.



Ejemplo 1 Calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos: P(2, 3), Q(2,3) yR(6,1).

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de cada punto en la ecuacin de la circunfe-rencia en la forma general.

As por cada punto obtendremos una ecuacin. Ecuacin para el punto P:

x2 + y2 + D x+ E y+ F = 0

(2)2 + (3)2 2D+ 3 E+ F = 04 + 9 2D+ 3 E+ F = 0

2D+ 3 E+ F = 13

De manera semejante obtenemos la ecuacin que le corresponde a Q:

(2)2 + (3)2 2D 3 E+ F = 04 + 9 2D 3 E+ F = 0

2D 3 E+ F = 13

Y finalmente para el punto R:

(6)2 + (1)2 + 6D E+ F = 036 + 7 + 6D E+ F = 0

6D E+ F = 37

As hemos obtenido el siguiente S.E.L.:

2D+ 3 E+ F = 132D 3 E+ F = 13

6D E+ F = 37

Ahora debemos resolverlo. Vamos a utilizar el mtodo de determinantes. Empezamos escribiendo el S.E.L. en forma matricial: 2 3 1 132 3 1 13

6 1 1 37

Calculamos primero el determinante principal:

p =

2 3 12 3 1

6 1 1

= (6) + (2) + (18) (18) (2) (6) = 48 Dado que es distinto de cero, el S.E.L. tiene solucin nica.



Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incgnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

D =

13 3 113 3 137 1 1

= (39) + (13) + (111) (111) (13) (39) = 144 Determinante auxiliar para E:

E =

2 13 12 13 1

6 37 1

= (26) + (74) + (78) (78) (74) (26) = 0 Determinante auxiliar para F:

F =

2 3 132 3 13

6 1 37

= (222) + (26) + (234) (234) (26) (222) = 912 Finalmente, tenemos:

D =Dp

=144

48= 3

E =Ep

=0

48= 0

F =Fp

=912

48= 19

Y sabiendo que D = 3 = 2 h es fcil concluir que: h = 3/2. Tambin, si E = 0 = 2 k implica que k = 0. Finalmente, sabemos que F = 19 = h2 + k2 r2 = (1.5)2 + (0)2 r2, de donde:

r2 = 19 +(

32

)2=

854

r =

852

Finalmente podemos calcular la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntosP(2, 3), Q(2,3) y R(6,1):

(x h)2 + (y k)2 = r2(x 3

2

)2+ y2 =

844

La siguiente figura muestra la situacin:



x3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

y

4

3

2

1

2

3

4

P

Q

R

C(

32

, 0)

r =

852

Se te queda como ejercicio escribir la ecuacin de esta circunferencia en la forma general.

Ejemplo 2 Calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos: P(4, 1), Q(3,2) y R(6, 5).

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de cada punto en la ecuacin de la circunfe-rencia en la forma general para obtener el S.E.L..

Ecuacin para el punto P:

x2 + y2 + D x+ E y+ F = 0

(4)2 + (1)2 4D+ E+ F = 016 + 1 4D+ E+ F = 0

4D+ E+ F = 17

Ecuacin que le corresponde al punto Q:

(3)2 + (2)2 + 3D 2 E+ F = 09 + 4 + 3D 2 E+ F = 0

3D 2 E+ F = 13



Y finalmente para el punto R:(6)2 + (5)2 + 6D+ 5 E+ F = 0

36 + 25 + 6D+ 5 E+ F = 06D+ 5 E+ F = 61

As hemos obtenido el siguiente S.E.L.:4D+ E+ F = 173D 2 E+ F = 136D+ 5 E+ F = 61

Ahora debemos resolverlo. Escribimosel S.E.L. en forma matricial: 4 1 1 173 2 1 13

6 5 1 61


p =

4 1 1

3 2 16 5 1

= (8) + (15) + (6) (12) (20) (3) = 58 Dado que es distinto de cero, el S.E.L. tiene solucin nica. Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incgnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

D =

17 1 113 2 161 5 1

= 116 Determinante auxiliar para E:

E =

4 17 1

3 13 16 61 1

= 348 Determinante auxiliar para F:

F =

4 1 17

3 2 136 5 61

= 1102 Finalmente, tenemos:

D =Dp

=116

58= 2

E =Ep

=348

58= 6

F =Fp

=1102

58= 19



Entonces, D = 2 = 2 h implica que: h = 1. Tambin, si E = 6 = 2 k se sigue que k = 3. Y si F = 19 = h2 + k2 r2 = (1)2 + (3)2 r2, se sigue que:

r2 = 29 r =

29 5.385

Finalmente podemos calcular la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntosP(4, 1), Q(3,2) y R(6, 5):

(x h)2 + (y k)2 = r2(x 1)2 + (y 3)2 = 29

Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia verificando que pase por los tres puntosy escribir la ecuacin en su forma general.

Ejemplo 3Calcula la ecuacin de la circunferencia circunscrita al tringulo que tiene sus vrtices en lospuntos: P(4, 3), Q(2,3) y R(6, 3).

Este problema en esencia es el mismo que el que hemos resuelto en los ejemplos anterores. Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de cada punto en la ecuacin de la circunfe-

rencia en la forma general para obtener el S.E.L.

Ecuacin para el punto P:

x2 + y2 + D x+ E y+ F = 0

(4)2 + (3)2 4D+ 3 E+ F = 016 + 9 4D+ 3 E+ F = 0

4D+ 3 E+ F = 25

Ecuacin que le corresponde al punto Q:

(2)2 + (3)2 + 3D 2 E+ F = 04 + 9 + 2D 3 E+ F = 0

2D 3 E+ F = 13

Y finalmente para el punto R:

(6)2 + (3)2 + 6D+ 3 E+ F = 036 + 9 + 6D+ 3 E+ F = 0

6D+ 3 E+ F = 45


4D+ 3 E+ F = 252D 3 E+ F = 136D+ 3 E+ F = 45



Ahora debemos resolverlo. Escribimosel S.E.L. en forma matricial: 4 3 1 252 3 1 13

6 3 1 45


p =

4 3 1

2 3 16 3 1

= (12) + (6) + (18) (18) (12) (6) = 60 Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incgnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

D =

25 3 113 3 145 3 1


E =

4 25 1

2 13 16 45 1


F =

4 3 25

2 3 136 3 45


D =Dp

=120

60= 2

E =Ep

=240

60= 4

F =Fp

=1260

60= 21

Entonces, D = 2 = 2 h implica que: h = 1. Tambin, si E = 4 = 2 k se sigue que k = 2. Y si F = 21 = h2 + k2 r2 = (1)2 + (2)2 r2. De donde:

r2 = 26 r =

26 5.099

Finalmente podemos calcular la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntosP(4, 3), Q(2,3) y R(6, 3):

(x h)2 + (y k)2 = r2(x 1)2 + (y 2)2 = 26



Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia verificando que pase por los tres puntosy escribir la ecuacin en su forma general.

Ejemplo 4

En un mapa se han localizado las escuelas E1, E2 y E3 ubicadas en las coordenadas E1(4,1),E2(4, 0) y E3(2, 3) medidas en kilmetros. Se planea construir un centro de apoyo escolar queest ubicado a la misma distancia de las tres escuelas. Cules son las coordenadas del puntodonde deben ubicar el centro de apoyo escolar?, y a qu distancia se encuentra de cada escuela?

Tenemos la siguiente situacin grfica:

x4 3 2 1 0 1 2 3 4

y

1

1

2

3

E1

E2

E3

Debemos calcular las coordenadas del punto que se encuentre a la misma distancia de lastres escuelas.

Una vez que las conozcamos podremos calcular la distancia a cada escuela. Como el punto que buscamos est a la misma distancia de las escuelas podemos traducir el

problema al siguiente:

ComentarioCalcula las coordenadas del circuncentro del tringulo que tiene sus vrtices en los puntos:E1(4,1), E2(4, 0) y E3(2, 3).

El circuncentro corresponde al punto donde debemos ubicar el centro de apoyo escolar y losvrtices del tringulo corresponden a las escuelas.

Ahora vamos a resolver el problema usando el mtodo de los ejemplos anteriores. Ecuacin para la escuela E1:

x2 + y2 + D x+ E y+ F = 0

(4)2 + (1)2 4D E+ F = 016 + 1 4D E+ F = 0

4D E+ F = 17

Ecuacin para la escuela E2:(4)2 + (0)2 + 4D+ (0) E+ F = 0

16 + 4D+ F = 04D+ F = 16



Y para la escuela E3:

(2)2 + (3)2 + 2D+ 3 E+ F = 04 + 9 + 2D+ 3 E+ F = 0

2D+ 3 E+ F = 13


4D E + F = 174D + F = 162D + 3 E + F = 13

Para resolverlo escribimos el S.E.L. en forma matricial: 4 1 1 174 0 1 162 3 1 13


p =

4 1 1

4 0 12 3 1

= (0) + (12) + (2) (0) (12) (4) = 26 Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incgnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

D =

17 1 116 0 113 3 1


E =

4 17 1

4 16 12 13 1


F =

4 1 17

4 0 162 3 13


D =Dp

=026

= 0

E =Ep

=2626

= 1

F =Fp

=416

26= 16



Entonces, D = 0 = 2 h implica que: h = 0. Tambin, si E = 1 = 2 k se sigue que k = 1/2. Y si F = 16 = h2 + k2 r2 = (0)2 + (0.5)2 r2, tenemos que:

r2 =654

r =

652 4.031

El punto C(h, k) donde se debe ubicar el centro de apoyo escolar para equidistar de las tresescuelas es: C(0,0.5)

La distancia a cada una de las tres escuelas es: D 4.031 km. Geomtricamente se tiene la siguiente solucin del problema:

x4 3 2 1 1 3 4

y

1

1

2

3

E1

E2

E3

D

DD

D =

652

C(0,0.5)

Ejemplo 5 Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(xa,m xa + b), B(xb,m xb +b) y C(xc,m xc + b).

Observa que estos puntos estn sobre la recta y = m x+ b. Primero vamos a escribir el S.E.L. que obtenemos al sustituir las coordenadas de los puntos

en la ecuacin general:

xa D+ (m xa + b) E+ F = x2a (m xa + b)2xb D+ (m xb + b) E+ F = x2b (m xb + b)2xc D+ (m xc + b) E+ F = x2c (m xc + b)2

Al reescribir este S.E.L. en forma matricial obtenemos: xa m xa + b 1 x2a (m xa + b)2xb m xb + b 1 x2b (m xb + b)2xc m xc + b 1 x2c (m xc + b)2



Vamos a calcular el determinante principal de este sistema de ecuaciones y veremos quobtenemos:

xa m xa + b 1xb m xb + b 1xc m xc + b 1

= xa (m xb + b) + xb (m xc + b) + xc (m xa + b) +xc (m xb + b) xa (m xc + b) xb (m xa + b)

= 0

Ahora debemos observar que por tres puntos puede pasar a lo ms una circunferencia. Entonces, no es posible que tengamos un nmero infinito de soluciones para este caso, lo

que indica que el S.E.L. no tiene soluciones.

En otras palabras, no es posible trazar una circunferencia que pase por tres puntos que estnalineados.

Entonces, existe la posibilidad de que te encuentres con un problema de este tipo y los tres puntosestn alineados.

En este caso, el ltimo ejemplo nos indica que el determinante principal del S.E.L. ser cero yas podremos concluir que la solucin del problema consiste en la sentencia: No existe nigunacircunferencia que pase por esos tres puntos, pues estn alineados.

CrditosAlbert

EinsteinTodo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no ms.

Este material se extrajo del libro Matemticas I escrito por Efran Soto Apolinar. La idea es com-partir estos trucos para que ms gente se enamore de las matemticas, de ser posible, mucho msque el autor.

Autor: Efran Soto Apolinar.

Edicin: Efran Soto Apolinar.

Composicin tipogrfica: Efran Soto Apolinar.

Diseo de figuras: Efran Soto Apolinar.

Productor general: Efran Soto Apolinar.

Ao de edicin: 2010

Ao de publicacin: Pendiente.

ltima revisin: 31 de julio de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efran Soto Apolinar. Mxico. 2010.



Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemticas de todos los niveles y seandivulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribucin gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrnico:

[email protected]


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