Deures d’Estiu Departament de Matemàtiques

Nota:

Curs: 3rESO Grup: Data d’entrega: 1r dia de classe del curs 19/20

Nom: Cognoms:

1) Hem de repassar les operacions amb fraccions, sumes, multiplicacions,

potències, restes, arrels, divisions, parèntesis... Si ens trobem més d’una

d’aquestes operacions, en quin ordre s’han de fer?

1r_______________________________

2n_______________________________

3r_______________________________

4t_______________________________

2) Fes les següents operacions simplificant el resultat sempre que sigui possible:

a) (1

2)

3

· (8

3−

4

6)

2

+ 6 · (5

6−

1

3)

2

=

b) √25

16: (

1

3−

5

6) −

28

3: (

3

5+

1

3) =

c) √4 · (5

18+

5

12) − (

2

5)

2

:12

25· 5 =

3) Com sabem, molts dels nombres decimals, es poden posar en forma de fracció.

Quins són els decimals que NO es poden escriure com una fracció?

4) Observa un procediment per a trobar la fracció de la que surt un nombre decimal

periòdic pur:

5′6̂ = 56−5

9=

51

9=

17

3

24’53̂ = 2453−24

99=

2429

99

0’123̂ = 123−0

999=

123

999=

41

333

a) Comprova amb una calculadora que al fer les divisions, surten els decimals

periòdics.

b) Descriu el procés amb les teves paraules:

c) Escriu els nombres següents en forma de fracció, si es pot.

i) 6′4̂ =

ii) 0’35353535353535... =

iii) 2’02122232425267... =

iv) 3’101001000100001... =

v) 12′45̂ =

5) Si sabem que 2′36̂ − 45

33 = 1, quin és el nombre decimal que correspon a la

fracció 45

33 ?

6) Fes les següents operacions posant primer els nombres periòdics en forma de

fracció:

1′1̂ + 0′6̂ + 12′2̂ =

7) Reescriu les següents potències per una altra equivalent amb l’exponent positiu.

i. 2−4 =

ii. (1

3)

−2 =

iii. (−5)−3=

iv. (−5)−2=

v. (2

3)

−1 =

vi. (4

5)

−3 =

vii. 2−4

7−4 =

viii. (−3

5)

−2 =

ix. 34 ∙ 3−6 =

x. 23: 28 =

8) En Juli es va comprar una moto i va pagar una sisena part de l’import total en el

moment. La resta la pagarà en 4 terminis de 245 euros cada un. Quin és el preu

total de la moto?

9) Treu tots els factors que puguis de les arrels següents: (1p)

a) √8 =

b) √400 =

c) √125 =

d) √150 =

10) Donats els següents polinomis:

𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 20 + 5𝑥 − 2𝑥2 𝑅(𝑥) = 3𝑥2 + 100 − 5𝑥7 − 2𝑥4

𝑄(𝑥) = 3𝑥3 + 4𝑥8 + 7 + 𝑥6 𝑀(𝑥) = 2 − 7𝑥 + 5𝑥2 + 3𝑥

a) Escriu a sota de cada un dels polinomis, el polinomi ordenat.

b) Quin d’ells té el grau més alt?_______ i el grau més baix?___________

11) Troba el valor numèric del següent polinomi pels valors de “x” que s’indica:

𝑄(𝑥) = 𝑥5 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 10 (Escriu les operacions)

Q(2) =

Q(-1) =

Q(-3) =

Q(1) =

Q(0) =

Q(10) =

És algun dels nombres anteriors, una arrel del polinomi Q(x)? (Justifica la

resposta)

12) Fes les següents operacions amb polinomis:

P(x) = 3x7 – x6 + 6x4 + 2x3 – 9x + 8 R(x) = 5x3 + 2x – 2

Q(x) = 3x6 + x5 – 8x4 – 9x3 + x2 – 1 S(x) = 3x7 – x6 + 6x4 – 3x3 – 11x + 10

T(x) = x + 4

a) P(x) + Q(x) c) T(x)∙[S(x) – P(x)]

b) P(x) – S(x) – R(x)

13) Factoritza els següents polinomis fent servir la regla de Ruffini:

Q(x) = x3 – x2 – 8x + 12 S(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12

14) Tres de les següents equacions tenen com a solució x = 1, digues quines són i

explica com ho has sabut (amb paraules o amb operacions).

a) 6x – 4 = 14

b) 3x + 5 = 2x + 6

c) 3(2x – 5) = 2x – 15

d) –2(4 – x) = –6x

e) 4x – 5 = 2(2x – 2)

f) 3x – 5(2 – 2x) = 3

15) Un alumne va a reclamar-li al professor de matemàtiques la correcció d’un exercici en el

que havia de resoldre una equació, argumentant que la solució de l’equació està bé; a

continuació tenim el que ha fet aquest alumne:

Enunciat de l’equació: 4(x – 5) + 2 – x = 5x – 4 + 2(x + 1)

Treu parèntesis: 4x – 20 + 2 – x = 5x – 4 + 2x + 2

Agrupa termes: 4x + x – 5x – 2x = 20 – 2 + 4 – 2

Ajunta termes: –2x = –8

Aïlla la incògnita: x = −8

2 = –4

a) Ha fet bé algun dels passos? Quin o quins?

b) A quin pas ha fet un error de càlcul?

c) A quin o quins passos ha fet errors de procediment?

d) El resultat que dona, és el correcte? Justifica la teva resposta (amb operacions i/o

paraules).

e) Té raó al queixar-se?

16) Resol les següents equacions:

a) 3x – 2 = x + 6 b) 2(3 – 2x) + 8x = 4x + 6 Agrupa Treu parèntesis

Ajunta Agrupa

Aïlla

Ajunta

Aïlla

c) –3 + 5x + 4 – 8x = 2x – 3 – 4x + 8 d) 4(3x + 2) – (3x + 2) = 4 – x Agrupa Treu parèntesis

Ajunta Agrupa

Aïlla

Ajunta

Aïlla

e) 𝑥

3−

2𝑥

5+

1

6= 1 −

2𝑥

15 f) 3 (

𝑥

4+ 2) −

𝑥+4

2= 2(𝑥 + 2) +

𝑥

3

Treu denominadors Treu parèntesis

Treu denominadors

Agrupa

Ajunta Agrupa

Aïlla

Ajunta

Aïlla

g) x2 − 5x – 6 = 0 Aplica la fórmula

h) x·(2x − 6) = 3x + x2 – 14 Treu parèntesis

Posa tots els termes a l’esquerra de l’igual (a la dreta queda zero)

Ajunta termes

Aplica la fórmula

i) (2x – 3)2 – 19 = 3·(x2 – 5x) Treu parèntesis (atenció a la identitat notable)

Posa tots els termes a l’esquerra de l’igual (a la dreta queda zero)

Ajunta termes

Aplica la fórmula

17) En Guillem està fent un exercici en el que ha de trobar fins a 8 solucions diferents

de l’equació: x – 2y = 2. Com que no li agrada gaire fer càlculs, fa el següent:

1r) Troba 2 solucions molt fàcils, la 1a canviant la “x” per 0 i trobant la

“y” i la 2a canviant la “y” per 0 i trobant la “x”:

x y

S1 0 –1

S2 2 0

2n) Representa les 2 solucions en uns eixos de coordenades i dibuixa la recta que

passa per tots dos:

3r ) Busca altres solucions a la recta, ja que sap que les coordenades de qualsevol

punt de la recta, també són solucions de l’equació:

Per últim escriu les solucions a una taula:

x y

S1 0 –1

S2 2 0

S3 4 1

S4 6 2

S5 8 3

S6 10 4

S7 –2 –2

S8 –4 –3

Fes tu el mateix per a trobar fins a 6 solucions de : x + 2y = –2

a) Troba 2 solucions de l’equació: Operacions:

x y

S1

S2

b) Representa les solucions en el següent sistema de coordenades:

c) Busca altres solucions a la recta anterior, marca-les (fent el punt sobre la recta) i

anomena-les amb S3, S4, S5,... finalment escriu-les a la taula de baix:

x y

S1

S2

S3

S4

S5

S6

d) Comprova amb operacions que una de les solucions que has trobat a la recta és

efectivament solució de l’equació.

18) Resol el següent sistema fent servir els 4 mètodes, el gràfic el de substitució el de

reducció i el d’igualació. Comprova que te queda el mateix resultat:

{−2𝑥 + 3𝑦 = −2

3𝑥 − 𝑦 = 10

Mètode gràfic:

1r Busquem 2 solucions de cada una de les equacions.

2n Les representem i unim els punts per tenir la recta de solucions de cada

equació.

3r La solució del sistema son les coordenades del punt on es creuen les dos rectes

Solució: x = ____ i y =____

−2𝑥 + 3𝑦 = −2 x y

S1

S2

3𝑥 − 𝑦 = 10 x y

R1

R2

Mètode de substitució:

{−2𝑥 + 3𝑦 = −2

3𝑥 − 𝑦 = 10

1r Aïllem una de les incògnites d’una

de les equacions

2n Substituïm la incògnita aïllada a

l’altra equació.

3r Resolem l’equació i trobem una de

les incògnites.

4t Substituïm en el 1r pas la incògnita

que ja coneixem pel seu valor i trobem

l’altra.

Solució: x = i y =

Mètode de reducció:

{−2𝑥 + 3𝑦 = −2

3𝑥 − 𝑦 = 10

1r Multipliquem, si és necessari, una o

les dues equacions pels nombres que

calgui per tal de tenir el mateix

coeficient a la “x” o a la “y”.

2n Sumem o restem les equacions per

eliminar la incògnita amb el mateix

coeficient.

3r Resolem l’equació que ens ha

quedat com a resultat de la suma o

resta de l’apartat anterior i trobem una

de les incògnites.

4t Substituïm en una de les equacions

inicials la incògnita que ja coneixem

pel seu valor i trobem l’altra.

Solució: x = i y =

Mètode d’igualació:

{−2𝑥 + 3𝑦 = −2

3𝑥 − 𝑦 = 10

1r Aïllem la mateixa incògnita a les

dues equacions. (No importa si la “x”

o la “y”, però la mateixa a les dues

equacions. D’aquesta manera

obtindrem dues expressions

algèbriques:

x = expressió1 i x = expressió2 ó

y = expressió1 i y = expressió 2

2n Igualem les dues expressions

obtingudes: expressió1 = expressió2.

Formant una equació.

3r Resolem l’equació i trobem una de

les incògnites.

4t Substituïm en una de les

expressions del 1r pas la incògnita que

ja coneixem pel seu valor i trobem

l’altra.

Solució: x = i y =

A continuació anem a intentar resoldre uns quants problemes. En els quatre

primers t’he fet una “guia”, en els dos últims has d’intentar fer el mateix per tal

de trobar la solució.

19) Fa 10 anys, l’edat d’una tieta era sis vegades més que l’edat del seu nebot, si

actualment l’edat de la tieta és el triple de l’edat del seu nebot, menys cinc; troba

les edats actuals de tieta i nebot.

1r Emplenarem el quadre que fem servir per a resoldre aquests problemes d’edats.

2n Hem de llegir bé l’enunciat i amb l’ajuda del quadre, plantejar 2 equacions per

Actualitat Fa 10 anys

Nebot x

Tieta y – 10

a tenir un sistema. Un cop tenim l’equació l’endrecem, posant a l’esquerra de

l’igual les incògnites, 1r la “x” i després la “y” i a la dreta de l’igual els nombres

Emplena els quadres i endreça les equacions que te quedin.

Fa 10 anys l’edat d’una tieta era sis vegades més que l’edat del seu nebot

y – 10 =

Queda:

Un cop endreçada:

actualment l’edat de la tieta és el triple de l’edat del seu nebot menys cinc

= x − 5

Queda:

Un cop endreçada:

3r Escrivim el sistema format per les 2 equacions i el resolem fent servir el

mètode que més ens agradi.

{

20) A una granja tenen ànecs i xais. Si en total podem comptar 118 potes i 38 caps.

Quants animals n’hi ha de cada tipus?

1r: Anomenem amb lletres les dades que ens demanen:

x = número d’ànecs

y = número de xais

2n Amb les dades que ens han donat intentem construir dues equacions.

Completa els següents quadres per a trobar-les: (0’75p)

El número de potes és 118

Les potes dels ànecs més les potes dels xais és 118 Nº d’ànecs per Les potes que

té un ànec

més el número de xais per Les potes que

té un xai és 118

· 2 + y · = 118

Queda:

Un cop endreçada:

El número de caps és 38

Els caps dels ànecs mes Els caps dels xais és 38

+ 38

Queda:

2n Escrivim el sistema format per les 2 equacions i el resolem fent servir el

mètode que més ens agradi. (0’75p)

{

21) A una botiga de roba venen dos tipus de camises, amb mànega llarga per 35 euros,

i amb mànega curta per 20 euros. Si han venut 28 camises i tenen 635 euros més

a la caixa; quantes han venut de cada tipus? (2p)

1r: Anomenem amb lletres les dades que ens demanen:

x = número de camises de mànega curta

y = número de camises de mànega llarga

2n: Amb les dades que ens han donat intentem construir dues equacions.

Completa els següents quadres per a trobar-les:

El número de camises és 28 Nº de camises mànega curta més Nº de camises mànega llarga és 28

+ = 28

Queda:

El que han ingressat és 635 Ingressos camises mànega curta més Ingresos camises mànega llarga són 635 Preu camisa per Nº camises Preu camisa per Nº camises són 635

+ 635

Queda:

3r: Escrivim el sistema format per les 2 equacions i el resolem fent servir el

mètode que més ens agradi.

{

22) Actualment un pare té el doble de l’edat del seu fill més 1. Si sabem que en 6 anys

l’edat del fill serà sues terceres parts de la del seu pare; quants anys tenen

actualment pare i fill? Són éssers humans? (2p)

1r Emplenarem el quadre que fem servir per a resoldre aquests problemes d’edats.

Actualitat En 6 anys

Pare x + 6

Fill y

2n Hem de llegir bé l’enunciat i amb l’ajuda del quadre, plantejar 2 equacions per

a tenir un sistema. Un cop tenim l’equació l’endrecem, posant a l’esquerra de

l’igual les incògnites, 1r la “x” i després la “y” i a la dreta de l’igual els nombres.

Emplena els quadres i endreça les equacions que te quedin.

Actualment l’edat d’un pare és el doble que la del seu fill, més 1

x = + 1

Queda:

Un cop endreçada:

D’aquí a 6 anys (l’edat del fill) serà Dues terceres parts que la del seu pare,

= x + 6

Queda:

Un cop endreçada:

3r Escrivim el sistema format per les 2 equacions i el resolem fent servir el

mètode que més ens agradi. A la vista de les solucions responem a la pregunta

del final. (1p)

{

23) D’aquí a dos anys l’edat d’un pare serà 5 vegades l’edat del seu fill. Si actualment

l’edat del pare és set vegades la del seu fill, quines són les edats actuals de pare i

fill?

24) A un garatge tenen cotxes i motos. Si en total podem comptar 30 vehicles i 84

rodes. Quants cotxes i quantes motos n’hi ha?

25) Emplena la taula següent:

Successió Terme següent. Aritmètica/Geomètrica/Res Diferència/Raó/Manera de trobar el següent

terme.

1,12,123,1234, ...

4, 2, 0, -2, -4, -6, ...

4, 6, 9, 27

2,

81

4 , ...

-3, 6, -12, 24, -48, ...

1

2,3

4,5

6,7

8, …

-20, -13, -6, 1, ...

15

2, 6,

9

2, 3,

3

2, …

720, 360, 120, 30, 6...

55, 64, 73, 82, 91, ...

6, 30, 150, 750, ...

26) A la progressió aritmètica següent: 8, 11, 14, 17, 20, ....

a) Troba a30

b) Troba S30

27) A una progressió a1= 3 i a3 = 8

a) Suposem que la progressió és aritmètica, troba la diferència i el terme a10.

b) Suposem que la progressió és geomètrica, troba la raó i el terme a10.

28) El gruix d’un full de paper és de aproximadament 0’075 mm (= 3

40 𝑚𝑚), si el

dobleguem per la meitat farà 2·0’075 = 0’15 mm (𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó: 2 ·3

40 =

3

20 𝑚𝑚). Si amen fent més plecs anirà augmentant el gruix.

a) Emplena la taula següent:

Nº de plecs Gruix del paper

0 0’075 mm

1 0’15 mm

2 0’3 mm

3

4

5

6

b) Quin tipus de progressió forma la llista del gruixos?

c) Quants plecs has de fer per a que el gruix sigui més gran que un metre?

d) La distància de la terra a la lluna és de aproximadament 384.400 km. Amb

quants plecs hi arribaríem?

29) Tenim una piràmide de base quadrada. El costat de la base fa 8m i l’altura de la piràmide

és de 6m.

a) Posa les dades a lloc (sobre el dibuix) i troba el volum de la piràmide.

b) Les cares laterals són triangles, troba l’altura d’un d’aquests triangles.

c) Quina és la superfície de la piràmide?

30) Tenim un prisma de base hexagonal. El costat de la base fa 4m i l’altura del prisma és de

3m.

a) Posa les dades a lloc (sobre el dibuix) i troba l’apotema de l’hexàgon.

b) Troba l’àrea de l’hexàgon i la del prisma.

c) Troba el volum del prisma.