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DESIGUALDADES página 1

1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes mate-máticos. Es una afirmación, a través del signo = , de que dos expresiones son iguales.

Las igualdades algebraicas pueden ser:

a) Ecuaciones: cuando se cumple la igualdad solamente para determinado(s) valor(es) dela(s) variable(s).

Ejemplo: 3x - 7 = 5 , se cumple que es igual solamente cuando x = 4.

b) Fórmulas: cuando se cumple la igualdad para todos los valores de la(s) variable(s) inde-pendiente(s).

Ejemplo: , se cumple para todos los valores de la velocidad v y del tiempo t.d vt=

c) Identidades: Cuando el miembro izquierdo es exactamente igual al derecho. También seles llama así a las igualdades que se cumplen independientemente del valor de sus varia-bles.

Ejemplos: a) (Ambos lados son idénticos).8 2 8 2sen x sen x+ = +

b) (para cualquier valor que se le dé a la x siempre2 2 1sen x cos x+ =la suma da 1).

d) Equivalencias: cuando el miembro izquierdo vale lo mismo que el derecho.

DESIGUALDADESpágina 2

Ejemplo: 5 3 2x x x= +

Aunque hay que señalar que no todos los autores ni matemáticos están de acuerdo en estaterminología y a veces la utilizan de manera distinta. Lo que sí es un hecho es que solamente haycuatro clases de igualdades.

En síntesis:

Cuando dos expresiones matemáticas se comparan solamente existen dos posibilidades:

a) que sean iguales entre sí;b) que no sean iguales entre sí, o sea, que sean diferentes.

Una desigualdad es entonces la consecuencia de una comparación que no resulta igual. Si ay b son las cosas comparadas que no resultaron iguales, se escribe . A su vez, cuando dosa b≠expresiones comparadas son desiguales, solamente existen dos opciones: que la primera de ellassea mayor que la segunda, o que sea menor.

La simbología correspondiente es a > b , o bien a < b .

En síntesis, al comparar dos objetos matemáticos a y b , solamente existen las siguientesposibilidades:

De manera semejante a las igualdades, las desigualdades pueden ser:

ecuacionesfórmulas

igualdadesidentidadesequivalencias

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Al comparar con a b

a b a ba b

a b

=⎧⎪ <⎧⎨ ≠ ⎨⎪ >⎩⎩


a) Absolutas: cuando la desigualdad no depende de las variables.

Ejemplos: 7 > 5 a + 1 > a(a + b)2 > 0

b) Condicionales o inecuaciones: cuando se cumple la desigualdad solamente para ciertosvalores de la(s) variable(s).

Ejemplos: 3x < x2 - 5 3 2 0x y+ <

13 2 16 2

xx

−>

+

Resumiendo:

Si resolver una ecuación es encontrar el (los) valor(es) de la(s) variable(s) con los que la re-lación de igualdad adquiere veracidad, de manera semejante resolver una desigualdad es encon-trar el (los) valor(es) de la(s) variable(s) con los que la relación de desigualdad adquiere veraci-dad. Evidentemente debe tratarse de una desigualdad condicional o inecuación.

Entre la resolución de ecuaciones y de desigualdades se presentan algunas diferencias, comoel hecho de que las soluciones de las ecuaciones son valores determinados de la(s) variable(s),mientras que las soluciones de las desigualdades son intervalos de valores. Algunas otras dife-rencias aparecerán conforme se adentre en el estudio de las desigualdades.

1.2 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Las principales propiedades de las desigualdades son:

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigual-dad se conserva.

absolutasdesigualdades

condicionales o inecuaciones⎧⎨⎩


Ejemplo: 7 < 157 + 3 < 15 + 3 , o sea que 10 < 18

2) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, ladesigualdad se conserva.

Ejemplo: 7 < 157 × 3 < 15 × 3 , o sea que 21 < 45

3) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, ladesigualdad se invierte.

Ejemplo: 7 < 15 7(-3) < 15(-3) , o sea que - 21 > - 45 " (se invirtió el signo).

Esta tercera propiedad es la responsable de que las desigualdades, cuando tienen variable enel denominador, se resuelvan de manera diferente a las ecuaciones que tienen también a la varia-ble en el denominador. Y no solamente eso, sino que cuando se despeja la incógnita teniendocoeficiente negativo, como realmente se multiplica en ambos lados por una cantidad negativa (no“pasa” al otro lado dividiendo), el signo de la desigualdad se invierte. Los ejemplos que se resol-verán más adelante aclararán esto último afirmado.

1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES

Una clasificación puede hacerse de diferentes maneras, dependiendo del criterio clasificadorque se emplee. Para las desigualdades, los criterios clasificadores que se toman en cuenta son: laubicación de la variable, el número de variables, el grado y la existencia o no de valor absoluto.

1) Por la ubicación de la variable:

er

er

de 1 gradosin variable en el denominador

de 2º gradodesigualdades

de 1 gradocon variable en el denominador

de 2º grado

⎧ ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩⎨

⎧⎪⎨⎪⎩⎩


Pueden existir de 3º, 4º y mayor grado, pero en este curso solamente se analizarán hasta lasde segundo grado.

Ejemplos de desigualdades sin variable en el denominador son los siguientes:

a) 4 1 7 9x x− < +

b) En este ejemplo existen denominadores, pero allí no está ubica-6 1 11

2 5x x− +

>

da la variable. El problema no es que haya denominadores, sinoque allí esté la variable.

Ejemplos de desigualdades con variable en el denominador son los siguientes:

a) 2

4 71

xx

> +−

b)3 16 22 9 8x

x x+

<− −

2) Por el número de variables:

Igualmente, pueden existir de 3, 4 o más variables, pero en este curso solamente se analizaránlas de una variable.

Ejemplos de desigualdades con una sola variable son los siguientes:

a) 2 7 8 1x x x+ + > −

b) 2

8 02 1

xx−

>+

con una variabledesigualdades

con dos variables⎧⎨⎩


Ejemplos de desigualdades con dos variables son los siguientes:

a) 5 3 9x y− >

b) 2 23 2x xy y+ < −

3) Respecto del valor absoluto:

Ejemplos de desigualdades sin valor absoluto son los siguientes:

a)6 1

2x y x−

> +

b) 29 3 1 0x x+ + >

Ejemplos de desigualdades con valor absoluto son los siguientes:

a) 24 1 1x x− < −

b) 5 1 11 12x x− > +

c)7 8 2

3x x−

> +

sin valor absolutodesigualdades

con valor absoluto⎧⎨⎩


1.4 DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO SIN VARIABLE EN EL DENOMINADOR

Se resuelven exactamente igual que las ecuaciones de primer grado, es decir solamente hayque despejar. Pero debe tenerse mucho cuidado de respetar la propiedad 3 de las desigualdadesantes citada, para lo cual es necesario recordar que es falso que en una ecuación (en este caso, enuna desigualdad) lo que está sumando “pasa” restando al otro lado, o que lo que está multiplican-do “pasa” dividiendo, sino que en ambos lados se resta la misma cantidad (ley uniforme o de lasigualdades) para anular la que se desea, o que ambos lados se dividen por la misma cantidadigualmente para anular la cantidad deseada.

Ejemplo 1: 3x - 7 < 8 - 2x

Solución: Para anular el término - 7 del lado izquierdo, se suma + 7 en ambos lados:

3x - 7 + 7 < 8 - 2x + 7

3x < 15 - 2x

Para anular el término - 2x del lado derecho, se suma + 2x en ambos lados:

3x + 2x < 15 - 2x + 2x

5x < 15

Para eliminar el coeficiente 5 del término 5x , se dividen ambos miembros entre 5. Como setrata de una cantidad positiva, el signo no cambia:

5 155 5x<

3x <

La solución puede escribirse de las siguiente formas:

x < 3 o bien


o también gráficamente( )3,−∞

Ejemplo 2: 8x - 70 < 14 + 20x

Solución: Para anular el término - 70 del lado izquierdo, se suma + 70 en ambos lados:

8x - 70 + 70 < 14 + 20x + 70

8x < 84 + 20x

Para anular el término 20x del lado derecho, se resta 20x en ambos lados:

8x - 20x < 84 + 20x - 20x

- 12x < 84

Para eliminar el coeficiente - 12 del término - 12x , se multiplican ambos miembros por

, o lo que es lo mismo se dividen ambos miembros entre - 12. Como se está multipli-1

12−

cando por una cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte :

12 8412 12

x−>

− −

12−12

x−

8412

>−

7x > −


La solución puede escribirse de las siguiente formas:

x > - 7 o bien

o también gráficamente( )7,− ∞

Ejemplo 3:5 2 1 7

6 5x x+ −

<−

Solución: Esta desigualdad, aunque tiene denominadores, es sin variable en el denominador porque noaparecen x en ninguno de los dos. Para resolverla exitosamente es indispensable olvidarsede que el denominador -6 pasa al otro lado multiplicando, lo mismo que el denominador 5.Quien lo resuelva bajo esa forma de “razonar” no llegará al resultado correcto, pues estarápasando por alto la propiedad 3 de las desigualdades.

Lo primero que debe hacerse es quitar los denominadores. Para eliminar el denominador deben multiplicarse por ambos lados de la desigualdad y como es una cantidad6− 6−

negativa SE INVIERTE EL SIGNO. Para eliminar el denominador 5 deben multiplicarsepor 5 ambos lados de la desigualdad y como es una cantidad positiva no hace cambiar elsigno de la desigualdad. Como resultado final habrá una inversión de signo.

( ) ( ) ( ) ( )5 2 1 76 5 6 56 5

x x+ −− > −

−

( )6− ( ) 5 256

x +−

( ) ( )6 5⎡ ⎤

> −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 75

x−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )[ ] ( )[ ]5 5 2 6 1 7x x+ > − −

25 10 6 42x x+ > − +


Para escribir los términos con x debe restarse - 42 en ambos lados de la desigualdad; y paraescribir los números sin x debe restarse 10 en ambos lados:

25 10x + 42 10x− − 6 42x> − + 42x− 10−

25 42 6 10x x− > − −

17 16x− > −

Para despejar la x deben dividirse ambos miembros de la desigualdad entre - 17, lo cual,como se trata de una cantidad negativa, hace cambiar el signo de la desigualdad:

17 1617 17

x− −<

− −

17−17

x−

1617

−<

−

Finalmente, como en el lado derecho de la desigualdad se tiene una división de menos entremenos que da positivo, el resultado es

1617

x <


EJERCICIO 1

Resolver las siguientes desigualdades:

1) 2)8 46 9 21x x− < + 15 23 13 22x x+ > +

3) 4)12 1 15 2x x+ < + 28 29 41x x− > +

5) 6)9 17 33 11x x− < − 55 2 17 29x x+ < −

7) 8)48 9 23x x− > − 12 7 60 11x x− < −

9) 10)( )10 7 2 5x x> + ( ) ( )8 21 3 5 11x x− > −

11) 12)( ) ( )2 3 25 9 11 3x x− > + ( ) ( )4 3 7 9 2x x− − < − −

13) 14)5 1 9 11

7x x−

< −5 10 9 6

17x x−< +

15) 16)5 12 9 7

11 4x x+ +>

−12 8 13

5 15 10x x−+ >

−

17) 18)7 13 11 812 18 6 15

x x+ > −

21 13 17 18 12 16 4

x x+ < −

19) 20)2 11

5 3x x+

>−

8 3 57

x−<

−


1.5 DESIGUALDADES DE 2º GRADO SIN VARIABLE EN EL DENOMINADOR

Los métodos que se explicarán a continuación pueden extenderse a desigualdades de gradosuperior a dos.

1.5.1 MÉTODO GRÁFICO

Para poder aplicar con éxito este método en la resoluciónde desigualdades de segundo grado sin variable en el denomi-nador es indispensable tener presente cómo es la gráfica deuna ecuación polinomial de segundo grado, es decir de la for-ma .2y ax bx c= + +

Toda ecuación de segundo grado tiene como gráfica unaparábola, la cual abre hacia arriba (ver figura 1.1) si el coefi-ciente a es positivo, por ejemplo (en este25 3 2y x x= − −

caso, ), y abre hacia abajo si dicho coeficiente es ne-5a = +

gativo, por ejemplo . Ver figura 1.2.23 9y x x= − + −

Por otra parte, las intersecciones de la parábola con el ejede las x suceden en los puntos que tienen en sus coordenadasuna ordenada y = 0. Por lo tanto, se pueden obtener resolvien-do la ecuación ya que si la ecuación de2 0ax bx c+ + =

toda la parábola es y se está diciendo que2y ax bx c= + +

cuando cruza el eje de las x, entonces en esa intersec-0y =

ción la ecuación vale .20 ax bx c= + +

El procedimiento para resolver desigualdades de segundogrado sin variable en el denominador por el método gráfico seexplica a continuación en dos columnas: en la columna izquierda se mencionan los pasos, en lacolumna de la derecha se muestra un ejemplo que va correspondiendo a los pasos señalados en lacolumna izquierda.

figura 1.1

figura 1.2


PASOS

1) Se ordena la desigualdad a la forma

2 0ax bx c+ + ≠

Nota: El símbolo implica < o > que.≠

2) Al trinomio cuadrático 2ax bx c+ +se le pone nombre, es decir, se renombracomo y . Entonces 2y ax bx c= + +

y se grafica. Para graficar debe conside-rarse solamente

a) Si la parábola abre hacia arriba o abrehacia abajo;

b) Las intersecciones de la parábola conel eje de las x , las cuales se obtienencuando y vale cero, es decir, hacien-do

, 20 ax bx c= + +

que en forma ordenada se escribe

2 0ax bx c+ + =

Resolviendo esta ecuación de segun-do grado se obtienen las coordenadasen donde la parábola corta al eje delas x.

3) Se deduce si y < 0 , o bien y > 0 , a par-tir de que se hizo y2y ax bx c= + +

que:

EJEMPLO

25 26 3x x< −

Ordenando:

25 3 26 0x x+ − <

Sea 25 3 26y x x= + −

Graficando: Se trata de una parábola queabre hacia arriba en virtud de que el coefi-ciente del término cuadrático es positivo:

.5a = +

Las intersecciones de la parábola con el ejede las x se obtienen haciendo y = 0 y resol-viendo, es decir

25 3 26 0x x+ − =

Resolviendo por la fórmula general:

( ) ( )( )

23 3 4 5 262 5

x− ± − −

=

de donde 1 2x =

2135

x = −

de manera que un esbozo de la gráfica es


a) Si el problema original establece que

2 0ax bx cy

+ + <

significa que ;0y <

b) Si el problema original establece que

2 0ax bx cy

+ + >

significa que 0y >

Hecha la deducción, se localiza(n) en lagráfica el (los) intervalos(s) para la va-riable x para los que se cumple la con-dición de que y < 0, o bien que y > 0.Esos valores de x son la solución de ladesigualdad.

Como

25 3 26 0x xy

+ − <

se deduce que y < 0.

Se buscan entonces en la gráfica los va-lores de la variable y negativos, los cua-les se señalan de alguna manera visible:

El intervalo solución es, entonces, el co-rrespondiente a todas las equis que están

y positivases

y negativases


entre y , lo cual pue-135

x = − 2x =

de escribirse de cualquiera de las si-guientes formas:

13 25

x− < <

o bien13 25

,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

o también

13 25

x x> − <∩

o en forma gráfica

Ejemplo 2: Resolver la desigualdad 23 7 20x x− >

Solución: Ordenando: 23 20 7 0x x− − >

Sea 23 20 7y x x= − −

que implica que y > 0, porque 23 20 7 0x xy

− − >


Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficiente deltérmino cuadrático es positivo: .3a = +

Las intersecciones de la parábola con el eje de las x se obtienen cuando 0y =

23 20 7 0x xy

− − =

es decir, cuando 23 20 7 0x x− − =


( ) ( ) ( ) ( )( )

220 20 4 3 72 3

x− − ± − − −

=

20 400 846

x ± +=

de donde

1 7x =

213

x = −

de manera que un esbozo de la gráfica es la figura 1.3:

figura 1.3


Como 23 20 7 0x x

y− − >

se deduce que y > 0. Se buscan entonces en la gráfica los valores de la variable y positivos,los cuales se señalan de alguna manera visible (ver figura 1.4):

Los intervalos solución son, entonces, los correspondientes a todas las equis menores que

y también las mayores que 7, lo cual puede escribirse de cualquiera de las siguientes13

−

formas:

13

7

x

x

< −

>

también como1 73

x x< − >∪

o bien

( )1 73

, ,⎛ ⎞−∞ − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

∪

y positivases

y negativases

figura 1.4


o en forma gráfica

Ejemplo 3: Resolver la desigualdad 24 7 9 0x x− + >

Solución: Ya está ordenada. Sea . Entonces como , implica24 7 9y x x= − + 24 7 9 0x xy

− + >

que y > 0. Al final, en la gráfica se buscarán las .0y >

Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficiente deltérmino cuadrático es positivo.

Las intersecciones de la parábola con el eje de las x se obtienen cuando y = 0

24 7 9 0x xy

− + =

Es decir cuando

24 7 9 0x x− + =

y resolviendo por la fórmula general:

( ) ( ) ( ) ( )( )

27 7 4 4 92 4

x− − ± − −

=

7 49 1448

x ± −=

7 958

x ± −=


Como la raíz cuadrada es negativa significa queno existe ninguna x que satisfaga la ecuación ycomo al igualar a cero se buscan las interseccio-nes de la parábola con el eje de las x , quieredecir que no hay intersecciones, es decir, que laparábola no corta al eje de las x . Entonces laparábola está situada totalmente arriba del ejede las x . De manera que un esbozo de la gráficaes algo semejante a la figura 1.5 de la derecha.

Sabiendo que 24 7 9 0x xy

− + >

se deduce que y > 0. Se buscan entonces en lagráfica los valores de la variable y positivos, los cuales se señalan de alguna manera visible,como en la figura 1.6:

La solución son todas las x , lo cual puede escribirse cualquiera de las siguientes formas:

− ∞ < < ∞x

o bien

figura 1.5

y positivases

y negativas(no hay)

es

figura 1.6


( , )− ∞ ∞

o en forma gráfica

o inclusive diciéndolo simplemente con palabras textuales: La solución son todas las x.

Ejemplo 4: Resolver la desigualdad 24 4 1 0x x− + <

Solución: Ya está ordenada. Sea , entonces como , se deduce24 4 1y x x= − + 24 4 1 0x xy− + <

que .0y <

Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficiente deltérmino cuadrático es positivo.

Las intersecciones de la parábola con el eje las x se obtienen cuando y = 0

24 4 1 0x xy− + =

es decir

24 4 1 0x x− + =


( ) ( ) ( ) ( )( )

24 4 4 4 12 4

x− − ± − −

=

4 16 168

x ± −=


4 08

x ±=

de donde

14 0 1

8 2x += =

24 0 1

8 2x −

= =

Cuando la raíz cuadrada es cero, las dossoluciones resultan iguales. Esto significaque el vértice de la parábola está situadoexactamente sobre el eje de las x , en este

caso en . De manera que un es-12

x =

bozo de la gráfica es la figura 1.7:

Sabiendo que

24 4 1 0x xy− + <

se deduce que . En la gráfica ante-0y <

rior se puede ver que no existe ninguna y negativa, por lo que no existe ninguna equis quesea solución.

figura 1.7


EJERCICIO 2

Resolver las siguientes desigualdades de 2º grado por el método gráfico:

1) 2)26 5 1 0x x+ + > 2 12 0x x− − <

3) 4)25 14 3 0x x− − > 2 10 16 0x x− + <

5) 6)24 25 0x − > 2 100 0x − <

7) 8)29 2 7 0x x+ + < 2 11 0x x− + >

9) 10)22 3 17 0x x+ + > 25 4 3 0x x− + <

11) 12)29 6 1 0x x− + < 24 12 9 0x x− + >

13) 14)225 20 4 0x x+ + > 29 42 49 0x x− + <

1.5.2 MÉTODO DE INTERVALOS

PASOS

1) Se ordena la desigualdad en la forma

2 0ax bx c+ + ≠

Nota: El símbolo implica < o > que.≠

2) Se hace y se resuel-2 0ax bx c+ + =ve la ecuación.

Las raíces de esta ecuación definen losextremos del intervalo o los intervalossolución.

3) Se ubican en la recta numérica las raícesobtenidas en el paso anterior.

EJEMPLO

25 26 3x x< −

Ordenando:

25 3 26 0x x+ − <

Sea 25 3 26 0x x+ − =


( ) ( )( )

23 3 4 5 262 5

x− ± − −

=


4) Se selecciona un punto arbitrario de larecta numérica, a condición de que nosea una de las raíces encontradas en elpaso 2 y se prueba en la desigualdad ori-ginal.

Si el valor seleccionado satisface la desi-gualdad, el intervalo al que pertenece esintervalo solución; si no satisface, el in-tervalo no es solución.

A partir de allí se toman alternadamentelos intervalos como sí-no-sí solución obien no-sí-no solución.

3 9 52010

x − ± +=

3 52910

x − ±=

de donde

1 2x =

2135

x = −

Se ubican en la recta numérica estos valores:

Se selecciona arbitrariamente un valorpara x a condición que no sea ningunode los dos anteriores. Sea el valor0x =seleccionado. Sustituyendo en la desi-gualdad original:

25 26 3x x< −

( ) ( )25 0 26 3 0< −

0 < 26 cierto

Significa que el intervalo al que pertene-ce es intervalo solución. Por lo0x =tanto, la solución es

2


13 25

x− < <

Ejemplo 5: Resolver la desigualdad 23 7 20x x− >

Solución: Ordenando: 23 20 7 0x x− − >

Igualando a cero y resolviendo para localizar los extremos de los intervalos solución:

23 20 7 0x x− − =


( ) ( ) ( ) ( )( )

220 20 4 3 72 3

x− − ± − − −

=

20 400 846

x ± +=

20 226

x ±=

de donde

1

2

713

x

x

=

= −

2

no sí no


Localizando en la recta numérica estos puntos:

Seleccionando un punto arbitrario de la recta numérica, a condición que no sea una de lasraíces encontradas, y probando en la desigualdad original, por ejemplo, con :0x =

23 20 7 0x x− − >

( ) ( )23 0 20 0 7 0− − >

- 7 > 0 X falso

Significa que todo el intervalo al que pertenece no es solución. Tomando alternada-0x =mente los intervalos como sí-no-sí solución se llega a

Es decir, la solución es

1 73

x x< − >∪

7

7

) (sí síno

0


EJERCICIO 3

Resolver las siguientes desigualdades de 2º grado por el método de intervalos:

1) 2)26 5 1 0x x+ + > 2 12 0x x− − <

3) 4)25 14 3 0x x− − > 2 10 16 0x x− + <

5) 6)24 25 0x − > 2 100 0x − <

7) 8)29 2 7 0x x+ + < 2 11 0x x− + >

9) 10)22 3 17 0x x+ + > 25 4 3 0x x− + <

11) 12)29 6 1 0x x− + < 24 12 9 0x x− + >

13) 14)225 20 4 0x x+ + > 29 42 49 0x x− + <

15) 16)2 25 0x − < 2 25 0x − >

17) 18)29 25 0x − > 225 36 0x − <

19) 20)249 25 0x + < 281 1 0x + >

1.6 DESIGUALDADES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR

Para entender bien el porqué de las diferentes técnicas que existen para resolver desigualda-des cuando aparece la variable en el denominador, debe el estudiante tener muy claro que en losprocesos de despejar incógnitas no se pasa a sumar, ni a restar ni a multiplicar al otro lado nin-guna cantidad.

Hay que recordar que existe la equivocada creencia, porque lamentablemente así lo enseñanmuchos profesores, que una cantidad que está sumando pasa al otro lado del signo igual restan-do; o si está restando pasa sumando; o si está multiplicando pasa dividiendo; o si está dividien-do pasa multiplicando. Todo eso es falso, no tiene ninguna razón de ser, no hay lógica en eso.Son mecanismos que agilizan los procesos de despejar, pero que llevan a errores a los inexpertosen Matemáticas.

Es indispensable recordar que si se tiene una igualdad, por ejemplo,


2 7 1x − =

para despejar la incógnita x , NO se pasa el - 7 al otro lado sumando, pues no existe lógica parasuponer que el número - 7 pasa al lado derecho con la operación contraria. Los números no sonmariposas o golondrinas para suponer que se pasan de un lado a otro como si anduvieran volan-do. Lo que realmente se hace es aplicar la ley de las igualdades (ley uniforme) que dice que loque se haga de un lado de la igualdad debe hacerse del otro lado también para que la igualdadse conserve. ¿Qué se necesita para que el - 7 se elimine?: fácil, sencillamente sumarle + 7 ; en-tonces a la igualdad se le suma en ambos lados ese + 7 que se necesita, quedando así:

2 7 1x − =+ 7 + 7

Si se hacen las operaciones únicamente en el lado izquierdo de la igualdad (en el lado dere-cho no), se eliminan el - 7 con el + 7, quedando entonces

2 1 7x = +

y allí es donde da la impresión de que el - 7 original pasó al otro lado con signo contrario; peroes solamente una apariencia, no una realidad. Analizando el lado derecho, a simple vista se veque lo anterior es lo mismo que (sumando 1 + 7) . Posteriormente, para despejar la in-2 8x =cógnita x es necesario quitarle su coeficiente 2 que le multiplica, lo cual se consigue dividiendoentre 2 ; pero nuevamente por la ley de las igualdades, debe hacerse en ambos lados, quedandoasí:

2 82 2x=

Si se efectúan de nuevo las operaciones únicamente en el lado izquierdo de la igualdad (en ellado derecho no), se simplifican el 2 del numerador con el 2 del denominador, quedando enton-ces

82

x =

y otra vez da la impresión de que ese 2 pasó al otro lado dividiendo. Pero no pasa de ser unaapariencia.


Esto y la tercera propiedad de las desigualdades son las responsables de que las desigualda-des, cuando aparece la variable en el denominador, requieran de un análisis especial para su so-lución.

Para facilitar la comprensión del tema, la explicación comenzará a partir de la suposición queexista solamente un denominador. Por ejemplo,

7 1 15

xx−

<+

El primer paso consiste en eliminar el denominador , lo cual, por lo afirmado líneas5x +arriba, se consigue multiplicando ambos miembros de la desigualdad por dicho denominador.

( ) ( ) ( )7 15 5 15

xx xx−⎛ ⎞+ < +⎜ ⎟+⎝ ⎠

Hasta allí parece todo "normal", pero el detalle está en que al multiplicar toda la desigualdadpor se debe saber si se trata de una cantidad positiva o de una negativa para, de acuerdo5x +con la propiedad 3, invertir o no el signo de la desigualdad. Y no se sabe si es positivo o negativoel factor . porque puede ser positivo si la x toma ciertos valores, pero también puede ser( )5x +

negativo si toma otros valores. Por ejemplo, si el factor es positivo ya que toma2x = ( )5x +

el valor de 7; pero si el factor es negativo ya que toma el valor de . Por11x = − ( )5x + 6−

lo tanto, no se puede multiplicar la desigualdad por en ambos lados.( )5x +

Existen varias técnicas para resolver desigualdades con variables en el denominador que eli-minan el problema de quitar denominadores sin saber si son positivos o negativos.


1.6.1 DESIGUALDADES DEL TIPO: UNA FRACCIÓN COMPARADA CON CERO

Son de la forma , en donde ( )( )

0p xq x

≠

p(x) representa al numerador de la fracción. En general será un polinomio.q(x) representa al denominador de la fracción. En general será un polinomio.

La expresión diferente de cero (… 0) significa necesariamente “mayor que” o bien “menorque”, dado que al comparar un ente matemático con cero solamente existen dos posibilidades: oson iguales o son desiguales. Si se está afirmando que no son iguales, necesariamente son desi-guales. Ahora bien, al ser desiguales, a su vez existen solamente dos posibilidades: o la primeraes mayor que la segunda o la primera es menor que la segunda.

Afirmar, pues, que implica una de las dos siguientes opciones:( )( )

0p xq x

≠

; o bien ( )( )

0p xq x

>( )( )

0p xq x

<

A su vez, si la fracción es mayor que cero (positiva), implica que el numerador y el denomi-nador tienen el mismo signo; si es menor que cero implica que el numerador y el denominadortienen diferente signo. En síntesis:

( )( )

( )( )

( )( )

implica

0

o bien

0

implica

0

o bien

p xq x

p xq x

p xq x

⎧ +⎧⎪ ⎪ +⎪ ⎪

>⎪ ⎨⎪ ⎪ −⎪ ⎪

−⎩⎪⎪≠ ⎨⎪ +⎧⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ < ⎨⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ +⎩⎩


Una solución total se obtiene de la unión de todas las solucionesparciales obtenidas durante el proceso.

intersección

conjunto A

conjunto BA B

La intersección está al mismo tiempoen el conjunto A y en el conjunto B

figura 1.8

Soluciones parciales

Cuando se habla de una solución parcial significa que el intervalo de valores x obtenido co-mo solución es solamente una parte de dicha solución, pero no toda. Por ejemplo, si la soluciónde alguna desigualdad son todas las x mayores que 20, o sea , una solución parcial pue-20x >den ser las x mayores que 30, esto es , porque ciertamente las x mayores que 30 son30x >parte de las x mayores que 20. Se le llama a solución parcial porque ciertamente es30x >una parte de la solución, pero no toda. Cuando se juntan todas las soluciones parciales obtenidasdurante un proceso se obtiene la solución total. No olvidar que esa idea de juntar todas las solu-ciones parciales en la teoría de conjuntos se llama unión, representado con el símbolo .∪

CASO 1.- Si significa que la fracción es positiva, lo cual, a su vez, implica que( )( )

0p xq x

>

debe cumplirse una de las dos si-

guientes opciones: o bien ++

−−

Es decir, para que una fracción seapositiva se requiere que el numera-dor y el denominador sean positivosal mismo tiempo, o bien, que el nu-merado y el denominador sean am-bos negativos al mismo tiempo.

Se ha hecho énfasis en señalar que “almismo tiempo”, ya que debe recor-darse que el significado de al mismotiempo es una intersección. Verfigura 1.8.


El procedimiento para resolver una desigualdad de este tipo consiste en resolver pri-mero el numerador haciéndolo mayor que cero (positivo), luego el denominador ha-ciéndolo también mayor que cero (positivo) y luego, como son cosas que deben dar-se al mismo tiempo, hacer la intersección de ambas para obtener una primera solu-ción parcial.

A continuación, considerando la segunda opción (menos entre menos), se debe re-solver primero el numerador haciéndolo menor que cero (negativo), luego el deno-minador haciéndolo también menor que cero (negativo) y después, como son cosasque deben darse al mismo tiempo, hacer la intersección de ambas para obtener unasegunda solución parcial.

Finalmente, para llegar a la solución total o definitiva, se hace la unión de las dossoluciones parciales.

Ejemplo 1: Resolver la desigualdad 5 1 03 5

xx+

>+

Solución: Como la fracción es mayor que cero, significa que es positiva. Dicha fracción es positivasolamente si se cumple una cualquiera de estas dos condiciones:

a) , porque la división de más entre más da más, esto es, da positivo que es lo mis-++

mo que mayor que cero que es lo que pide la desigualdad original.

b) , porque la división de menos entre menos da más, esto es, da negativo que es lo−−

mismo que menor que cero que es lo que pide la desigualdad original.

Entonces se deben considerar las dos opciones al momento de resolver la desigualdad. Ha-ciéndolo se obtiene que:

Opción I: : (mas entre mas), significa que el numerador y el denominador son positi-++

vos, o sea mayores que cero.


Haciendo el numerador mayor quecero:

5 1 0x + >

5 1 1 0 1x + − > −

5 1x > −

5 15 5x −>

15

x > −

Haciendo el denominador mayor quecero:

3 5 0x + >

3 5 5 0 5x + − > −

3 5x > −

3 53 3x> −

53

x > −

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, setrata de una intersección.

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son mayores quemenos un quinto al mismo tiempo que sean mayores que menos cinco tercios? La siguientegráfica muestra con claridad lo anterior.

La primera solución parcial son todas las x mayores que menos un quinto: 15

x > −

Opción II: (menos entre menos), significa que como el numerador y el denominador−−

son negativos, ambos son menores que cero.

53

15

intersección


53

15

intersección

Haciendo el numerador menor quecero:

5 1 0x + < 5 1 1 0 1x + − < −

5 1x < −

5 15 5x −<

15

x < −

Haciendo el denominador menor quecero:

3 5 0x + < 3 5 5 0 5x + − < −

3 5x < −

3 53 3x −<

53

x < −

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo,se trata de una intersección.

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son menores quemenos un quinto al mismo tiempo que sean menores que menos cinco tercios? La siguientegráfica muestra con claridad lo anterior.

La segunda solución parcial son todas las x menores que menos cinco tercios: .53

x < −

Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, o sea son todas lasx mayores que menos un quinto y además todas las x menores que menos cinco tercios, locual se puede expresar de cualquiera de las siguientes formas:


53

15

1 55 3

x x> − < −∪

o bien escrito en dos renglones significa unión:

1553

x

x

> −

< −

Equivale a afirmar que son todas lasequis mayores que menos un quinto yademás (o también) todas las equis me-nores que menos cinco tercios.

y gráficamente:

CASO 2.- Si significa que la fracción es negativa, lo cual, a su vez, implica que( )( )

0p xq x

<

debe cumplirse una de las dos siguientes opciones: o bien .+−

−+

El procedimiento para resolver una desigualdad de este tipo consiste en resolver pri-mero el numerador haciéndolo mayor que cero (positivo), luego el denominador ha-ciéndolo menor que cero (negativo) y después, como son cosas que deben darse almismo tiempo, hacer la intersección de ambas para obtener una primera soluciónparcial.

Luego, considerando la segunda opción, se debe resolver primero el numerador ha-ciéndolo menor que cero (negativo), luego el denominador haciéndolo mayor menorque cero (positivo) y luego, como son cosas que deben darse al mismo tiempo, hacerla intersección de ambas para obtener una segunda solución parcial.


Finalmente, para llegar a la solución definitiva, se hace la unión de las dos solucio-nes parciales.

Ejemplo 2: Resolver 5 2 06 13

xx+

<−

Solución: Como la fracción es negativa por ser menor que cero, hay dos posibilidades: Una, que sea

; la otra que sea . Hay que analizar opción por opción.+−

−+

Opción I: : Significa que el numerador es mayor que cero (positivo) mientras que el+−

denominador es menor que cero (negativo).


5 2 0x + >

5 2 2 0 2x + − > −

5 2x > −

5 25 5x −>


6 13 0x − <

6 13 13 0 13x − + < +

6 13x <

6 136 6x<

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo , setrata de una intersección.

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son mayores quemenos dos quintos al mismo tiempo que sean menores que trece sextos? La siguiente gráfi-

25

x > − 136

x <


25

136

intersección

ca muestra con mayor claridad lo anterior.

La primera solución parcial son las x que están entre menos dos quintos y trece sextos, locual se escribe de alguna de las siguientes formas:

2 135 6

x x> − <∩

aunque la más usual es la siguiente:

2 135 6

x− < <

En esta última notación debe tomarse en cuenta que:

a) La x siempre debe ir en medio;b) el número menor siempre se escribe a la izquierda (conforme a la recta numérica);c) el número mayor siempre se escribe a la derecha (conforme a la recta numérica);d) los signos de desigualdad siempre son < , nunca > .

Obsérvese que si se lee de la x hacia la izquierda, lo que se está afirmando es que son las

equis mayores que menos dos quintos ; en cambio, si se lee de la x hacia la25

x⎛ ⎞> −⎜ ⎟⎝ ⎠

derecha, lo que se está afirmando es que son las equis menores que trece sextos.

Opción II: : Significa que el numerador es menor que cero (negativo) mientras que el−+

denominador es mayor que cero (positivo).


25

136

no hay intersección


5 2 0x + <

5 2 2 0 2x + − < −

5 2x < −

5 25 5x −<

25

x < −


6 13 0x − >

6 13 13 0 13x − + > +

6 13x >

6 136 6x>

136

x >


La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son menores quemenos dos quintos al mismo tiempo que sean mayores que trece sextos? La siguiente gráficamuestra con mayor claridad lo anterior.

Significa que no hay una segunda solución parcial. Lo anterior es debido a que nunca conningún valor que se le quiera dar a la x, la fracción original va a ser negativa en su numera-dor al mismo tiempo que positiva en su denominador.

Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, pero como sola-mente existe una solución parcial (la primera), ella es toda la solución total, lo cual se puedeexpresar de cualquiera de las siguientes formas:


2 135 6

x x> − <∩

Aunque la más usual es la siguiente:

2 135 6

x− < <

CASOS APARENTEMENTE DIFERENTES

A veces se presentan desigualdades aparentemente diferentes a la forma que se está estudian-do (una fracción comparada con cero), apareciendo como una fracción comparada con otra frac-ción o comparada con un entero. Por ejemplo:

3 7 13 3

x xx

− +<

+

Lo único que debe hacerse en desigualdades como las del ejemplo anterior es escribir tododel lado izquierdo (por lo tanto, cero del lado derecho), sacar común denominador y efectuar lasuma o resta de fracciones para convertirla en una sola fracción. De esta manera ya queda comouna fracción comparada con cero.

Ejemplo 3: 5 2

3x

x>

+

Solución: Escribiendo todo del lado izquierdo resulta:

5 2 03

xx

− >+

Sacando común denominador y efectuando la suma:


( )5 2 30

3x x

x− +

>+

5 2 6 03

x xx− −

>+

3 6 03

xx−

>+

En este momento ya se tiene una fracción comparada con cero y se resuelve conforme se vioal principio de este tema. Como la fracción es mayor que cero, o sea positiva, se tienen dosposibilidades:

a) , porque la división de más entre más da más.++

b) , porque la división de menos entre menos da más.−−

Opción I: : Significa que el numerador y el denominador son positivos, o sea mayores++

que cero.


3 6 0x − > 3 6 6 0 6x − + > +

3 6x >

3 63 3x>

2x >


3 0x + > 3 3 0 3x + − > −

3x > −



La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son mayores quedos al mismo tiempo que sean mayores que menos tres? La siguiente gráfica muestra conclaridad lo anterior.

La primera solución parcial son todas las x mayores que dos: 2x >

Opción II: (menos entre menos), significa que como el numerador y el denominador−−

son negativos, ambos son menores que cero.


3 6 0x − <

3 6 6 0 6x − + < +

3 0x <

3 63 3x<

2x <


3 0x + <

3 3 0 3x + − < −

3x < −


La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son menores quedos al mismo tiempo que sean menores que menos tres? La siguiente gráfica muestra conclaridad lo anterior.

3 2

intersección


La segunda solución parcial son todas las x menores que menos tres: .3x < −

Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, o sea son todas lasx mayores que dos y además todas las x menores que menos tres, lo cual se puede expresarde cualquiera de las siguientes formas:

3 2x x< − >∪

o bien escrito en dos renglones significa unión:

32

xx< −>

Equivale a afirmar que son todas las equis me-nores que menos tres y además (o también)todas las equis mayores que dos.

y gráficamente:

3 2

intersección

3 2


1.6.2 MÉTODO DE LOS INTERVALOS

Para cualquier desigualdad con variable en el denominador se puede utilizar el método de losintervalos, que consiste en dividir la recta numérica en intervalos en la que los valores que la di-viden son los siguientes:

a) Los valores que se obtienen de resolver la desigualdad como si fuera ecuación, osea, cambiando el signo < o > por el signo =;

b) Los valores que hacen cero el o los denominadores.

A continuación se toma un valor arbitrario para la x a condición de que no sea ninguno delos obtenidos en los incisos anteriores y se prueba en la desigualdad. Si se obtiene algo cierto, elintervalo al que pertenece el valor seleccionado para la x es intervalo sí solución; si se obtienealgo falso, el intervalo al que pertenece el valor seleccionado para la x es intervalo no solución.Finalmente se alternan los intervalos en sí-no-sí-no- ... solución, o bien en no-sí-no-sí- ... solu-ción.

Ejemplo 1:3 1 1

3x

x+

<+

Solución:

a) Resolviendo la desigualdadcomo si fuera ecuación:

3 1 13

xx+

=+

( )3 1 1 3x x+ = +

2 2x =

1 1x =

b) Obteniendo los valores quehacen cero el denominador:

3 0x + =

2 3x = −

Con estos dos valores se parte la recta numérica en interva-los como se muestra en la siguiente gráfica:


Tomando un valor arbitrario para la x, por ejemplo, , y sustituyéndolo en la desigual-0x =dad original se obtiene que

3 1 13

xx+

<+

( )3 0 11

0 1+

<+

U cierto1 13<

Por lo tanto, el intervalo al que pertenece es sí solución. Al hacer la alternancia de0x =los intervalos a partir de lo obtenido, se tiene la solución gráfica como

0x =

la cual es

3 1x− < <

Ejemplo 2:5 4 1

3 1 3x xx x+ −

>− +

Solución:


a) Resolviendo la desigualdad como si fue-ra ecuación:

5 4 1

3 1 3x xx x+ −

=− +

( ) ( ) ( ) ( )5 3 4 1 3 1x x x x+ + = − −

2 28 15 12 7 1x x x x+ + = − +2 212 8 7 15 1 0x x x x− + + + − =

211 15 14 0x x− + + =

de donde

1

2

27

11

x

x

=

= −

b) Obteniendo los valoresque hacen cero los deno-minadores:

3 1 0x − =

3 1x =

313

x =

3 0x + =

4 3x = −

Con estos cuatro valores se parte la recta numérica en inter-valos como se muestra en la siguiente gráfica:

Probando con cualquier valor para x que esté adentro de cualquiera de los cinco intervalos,por ejemplo con :0x =

5 4 1

3 1 3x xx x+ −

>− +

( )( )4 0 10 5

3 0 1 0 3−+

>− +


X falso5 11 3

−>

−

Por lo tanto, el intervalo al que pertenece es no solución. Al hacer la alternancia de0x =los intervalos a partir de lo obtenido, se tiene la solución gráfica como

0x =

que corresponde a la solución

7 13 211 3

x x− < < − < <∪

Nota importante: En estos dos últimos ejemplos se probó con porque éste es el valor0x =para la x que resulta más sencillo, pero no significa que siempre deba probarse con cero.


EJERCICIO 4

Resolver las siguientes desigualdades:

1) 2)7 4 0

1xx−

<+

11 12 03 17

xx+

>−

3) 4)5 0

12x

x<

−9 13 0

11 33xx+

<−

5) 6)7 03

xx−

>+

2 14 03 18

xx−

<+

7) 8)11 32 1

195

xx

−+

>7 1

14

xx

++

<

9) 10)15 4

53

−+

<x

xx

x+−

>14

21

11) 12)2 55 4

2x

x+

−>

51

521−

<+x x

13) 14)7

2 23

−>

−x x

2613 2

25 1−

<+x x

15) 16)2 9

22 3

xx

x++

> −x

xx

+−

< +24

8 35

17) 18)2 33 7

45 4

xx x

+−

<+

7 21 9

125 6

xx

xx

+−

>−−

19) 20)2 8

29

11x

xx

x−+

>−−

xx x

+−

<+

173

411


1.7 DESIGUALDADES DE INTERSECCIÓN

Una desigualdad de la forma significa todos los valores que puede tomar la varia-a x b< <ble x que estén entre a y b, es decir, en el intervalo (a, b).

También significa la intersección de las desigualdades , es decir, todas las xx a x b> <∩que al mismo tiempo sean mayores que a y menores que b. Hay que recordar que la intersec-ción tienen el significado de al mismo tiempo, o a la inversa, todo lo que es al mismo tiempo esuna intersección.

Por lo tanto, la manera más sencilla de resolver este tipo de desigualdades, aunque no la úni-ca forma, es resolver por separado cada una de las dos desigualdades que la integran y luego in-tersecar ambas soluciones. Dicha intersección es la solución buscada.

Ejemplo 1: 1 < 2x - 3 < 11

Solución: Esto significa que la operación debe estar entre los valores de 1 y 11. Para encontrar2 3x −los valores que puede tomar x para que se cumpla lo anterior, se separa en las dos desigual-dades originales que la componen y se resuelven por separado cada una de ellas, es decir:

1 2 3x< −

2 1 3x > +

2 4x >

2x >

2 3 11x − <

2 11 3x < +

2 7x <

7x <


Entonces la intersección de ambas soluciones es la solución de la desigualdad original, esdecir


2 7x x> <∩

que corresponde a

2 7x< <

Cuando no se intuye a primera vista el intervalo que corresponde a dicha intersección, unarepresentación gráfica resulta muy útil, como la mostrada en la figura 1.9.

Otro método: El método más conocido es el de sumar o restar, o multiplicar o dividir todala desigualdad por la misma cantidad hasta dejar despejada la x en el centro de la desigual-dad. Solamente que no en todas las desigualdades de este tipo resulta fácil hacerlo, por loque es recomendable conocer el método anterior.

Así, en el ejemplo anterior:

1 2 3 11x< − <

Primero se suma en toda la desigualdad para eliminar el que acompaña a 2x:3+ 3−

1 3 2 3 3 11 3x+ < − + < +4 2 14x< <

Ahora dividiendo todo entre 2 para despejar la x, tomando en cuenta que por ser una canti-dad positiva no se invierte el signo, se obtiene que

figura 1.9


4 2 142 2 2

x< <

2 7x< <

Que es el mismo resultado obtenido por el método de las intersecciones.

Esta solución significa que cualquier x menor que 2 pertenece al intervalo no solución; to-das las x que estén entre 2 y 7 pertenecen al intervalo sí solución; y todas las x mayoresque 7 están en el intervalo no solución.

Efectivamente, probando con que pertenece al intervalo no solución, sustituyendo1x =este valor en la desigualdad original se obtiene

1 2 3 11x< − <

( )1 2 1 3 11< − <

X Es falso porque esta expresión significa1 1 11< − <que el -1 está entre 1 y 11 y no es así.

Ahora probando con que pertenece al intervalo sí solución, sustituyendo este valor4x =en la desigualdad original se obtiene

1 2 3 11x< − <

( )1 2 4 3 11< − <

U Es cierto porque esta expresión significa1 5 11< <que el 5 está entre 1 y 11.

Ahora probando con que pertenece al intervalo no solución, sustituyendo este valor8x =en la desigualdad original se obtiene

1 2 3 11x< − <

( )1 2 8 3 11< − <

X Es falso porque lo anterior significa que1 13 11< <el 13 está entre 1 y 11 y no es así.


Ejemplo 2: 13 < 4 - 9x < 76

Solución: Esto significa que la operación debe estar entre los valores de 13 y 76. Para encon-4 9x−trar los valores que puede tomar x para que se cumpla lo anterior, se separa en las dos desi-gualdades originales que la componen y se resuelven por separado cada una de ellas, es de-cir:

13 4 9x< −

13 4 9x− < −

9 9x< −

9 99 9

x−>

− −

1x < −

Nótese que el signo de la desigual-dad se invirtió cuando se dividiótoda ella entre -9.

4 9 76x− <

9 76 4x− < −

9 72x− <

9 729 9x−>

− −

8x > −

Nótese que el signo de la desigualdad seinvirtió cuando se dividió toda ella entre-9.



1 8x x< − > −∩

que corresponde a

8 1x− < < −

Cuando no se intuye a primera vista el intervalo que corresponde a dicha intersección, unarepresentación gráfica resulta muy útil, como la mostrada en la figura 1.10.


Otro método: El método más conocido, como se dijo en el ejemplo anterior, es el de sumaro restar, o multiplicar o dividir toda la desigualdad por la misma cantidad hasta dejar despe-jada la x en el centro de la desigualdad.

Así, en el ejemplo anterior:

13 4 9 76x< − <

Primero se resta en toda la desigualdad para eliminar el 4 que acompaña al término4−

central :4 9x−

13 4 4 4 9 76 4x− < − − < − 9 9 72x< − <

Ahora dividiendo todo entre para despejar la x ; tomando en cuenta que por ser una9−

cantidad negativa se invierte el signo, se obtiene que

9 9 729 9 9

x−> >

− − −

1 8x− > > −

Y como en esta simbología debe escribirse siempre de menor a mayor leído de izquierda aderecha para coincidir con la recta numérica, entonces invirtiendo:

8 1x− < < −

Que es el mismo resultado obtenido por el método de las intersecciones.

figura 1.10


Ejemplo 3: 3 5 1x x− < + <

Solución: Esto significa que la operación debe estar entre -3 y el valor que tenga la misma x.5 1x +Para encontrar los valores que puede tomar x para que se cumpla lo anterior, se separa enlas dos desigualdades originales que la componen y se resuelven por separado cada una deellas, es decir:

13 5 1x− < +

4 5x− <

5 4x > −

45

x > −

5 1x x+ <

4 1x < −

14

x < −


Entonces la intersección de ambas soluciones es la solución de la desigualdad original, es

decir son todas las x mayores que que al mismo tiempo sean menores que . Si45

−14

−

mentalmente no puede el estudiante obtener esos valores, con una gráfica es muy simple:

figura 1.11


La solución es

4 15 4

x− < < −

Otro método: El segundo método visto en los ejemplos anteriores si se aplica a este ejem-plo podría complicársele al estudiante su comprensión, al menos, quizá, más que el primermétodo. En este caso habría que hacer lo siguiente:

3 5 1x x− < + <

Primer paso: Restar x en toda la desigualdad para que desaparezca del extremo derecho:

3 5 1x x x x x− − < + − < −

3 4 1 0x x− − < + <

Segundo paso: Restar 1 en toda la desigualdad para que la expresión central quede4 1x +solamente con el término x:

3 1 4 1 1 0 1x x− − − < + − < −

4 4 1x x− − < < −

Tercer paso: Se divide toda la desigualdad entre 4 para despejar la x central. Como se divi-de entre una cantidad positiva no se invierten los signos de la desigualdad:

4 4 14 4 4

x x− −< < −

4 14 4

x x− −< < −

Hasta aquí ya se sabe que la x tiene que ser menor que menos un cuarto (leído del centrohacia la derecha), pero no se sabe aún lo del otro extremo (extremo izquierdo). Entoncesdebe resolverse esa desigualdad:


- 1 6

44

x x− −<

4 4x x− − < 4 4x x− − <

5 4x− <

45

x > −

Tiene que hacerse entonces la intersección de con . Es decir, la x tiene14

x < −45

x > −

que estar entre y como se había obtenido antes.45

−14

−

Ejemplo 4: x < 5x + 6 < x2

Solución: Se separa en las dos desigualdades originales que la componen y se resuelven por separado ca-da una de ellas, es decir

5 6x x< +

5 6x x− <

4 6x− <

32

x > −

25 6x x+ <2 5 6 0x x− + + <

Como es una desigualdad de 2º grado se puederesolver por el método gráfico: Las interseccio-nes con el eje x de la parábola se encuentran en

y ; como ,1 6x = 2 1x = − 0y <

1 6x x< − >∪



[ ]x 32

x 1 x 6 > − < − >∩ ∪

lo cual se muestra en la figura 1.12:

que corresponde a

3 1 62

x x− < < − >∪

Ejemplo 5: 21 4 6 15x x− < − − <

Solución: Se separa en las dos desigualdades originales que la componen y se resuelven por separadocada una de ellas, es decir

21 4 6x x− < − −

20 4 5x x< − −

o bien

2 4 5 0x x− − >

2 4 6 15x x− − <2 4 21 0x x− − <

Haciéndola por el método de las intersec-ciones, al resolverla como ecuación seobtienen

figura 1.12


Haciéndola por el método de las intersec-ciones, al resolverla como ecuación seobtienen

1

2

51

xx=

= −

Probando con en la desigualdad:0x =

( )20 4 0 5 0− − >

X falso5 0− >

Significa que

0x =

1 5x x> − >∪

1

2

73

xx=

= −

Probando con en la desigualdad:0x =

( ) ( )20 4 0 6 15− − <

U cierto6 15− <

Significa que

0x =

3 7x− < <

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, se tratade una intersección.

Entonces la intersección de ambas soluciones es la solución de la desigualdad original:

3 1 5 7x x− < < − < <∪


Probando con un valor de cada intervalo para verificar la solución obtenida:

a) Probando con que pertenece a un intervalo no solución:4x = −

( ) ( )21 4 4 4 6 15− < − − − − <

X falso (26 no es menor que 15)1 26 15− < <

b) Probando con que pertenece a un intervalo sí solución:2x = −

( ) ( )21 2 4 2 6 15− < − − − − <

U cierto1 6 15− < <

c) Probando con que pertenece a un intervalo no solución:0x =

( ) ( )21 0 4 0 6 15− < − − <

X falso (-1 no es menor que -6)1 6 15− < − <

d) Probando con que pertenece a un intervalo sí solución:6x =

( ) ( )21 6 4 6 6 15− < − − <

U cierto1 6 15− < <

e) Probando con que pertenece a un intervalo no solución:10x =

( ) ( )21 10 4 10 6 15− < − − <

X falso (54 no es menor que 15)1 54 15− < <

Nótese que el método de los intervalos puede aplicarse a esta desigualdad.


EJERCICIO 5

resolver las siguientes desigualdades:

1) 2)4 8 20x< < 5 15 60x< <

3) 4)2 2 19x< − < 0 2 1 23x< − <

5) 6)5 2 3 21x< + < 2 1 3 34x− < − <

7) 8)11 4 5 29x− < − < 6 1 7 36x< − <

9) 10)25 6 2 14x x< − − < 28 2 24x x< + <

11) 12)212 15 44 0x x− < + + < 22 8 10 19x x− < − + <

13) 14)2 1 26x x< + < 1 5 1 14x x− < − <

desigualdades página 1 · desigualdades página 3 a) absolutas: cuando la desigualdad no depende...

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