CAPITULO II

DESCRIPCIN TERICA DEL MDULO DE RIGIDEZ E HISTRESIS

MECNICA

II.I CONCEPTOS BSICOS DE ESFUERZOS

ESFUERZO:

Cuando un elemento de materia esta sometido a corte puro, el equilibrio requiere

que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las cuatro caras del elemento, estos

esfuerzos deben estar dirigidos hacia o desde las esquinas diagonalmente opuestas del

elemento, adems si el material es homogneo e isotropico, entonces el esfuerzo cortante

distorsionar al elemento de manera uniforme.

DEFINICIN DE TORSIN:

Consideremos una barra sujeta rgidamente en un extremo y sometida en el otro a

un par T (T=Fd) aplicado en un plano perpendicular el eje, como se muestra en la figura

2.1. Se dice que la barra esta sometida a torsin.

Figura 2.1 Barra sometida a torsin

MOMENTO TORSOR

A veces, a lo largo de un eje actan una serie de pares. En este caso es conveniente

introducir un nuevo concepto, el momento torsor, que se define para cada seccin de la

barra, como la suma algebraica de los momentos de los pares aplicados, situados a un lado

de la seccin considerada. Naturalmente, la eleccin de lado es arbitraria en cada caso.

MOMENTO POLAR DE INERCIA:

Para un rbol circulara hueco de dimetro exterior De con un agujero circular

concntrico de dimetro Di, el momento polar de inercia de la seccin representado

generalmente por Ip esta dado por:

( )4432 iep

DDI =

(2.1)

El momento polar de inercia de un rbol macizo se obtiene haciendo Di=0

El numero Ip es simplemente una caracterstica geomtrica de la seccin. No tiene

significado fsico, pero aparece en el estudio de las tensiones que se producen en un eje

circular sometido a torsin.

TENSIN CORTANTE DE TORSIN:

Para un rbol circular, hueco o macizo, sometido a un momento de torsin T

(figura2.2), la tensin cortante de torsin a una distancia del centro del eje esta dada

por :

pI

T = (2.2)

Figura 2.2 Tensin cortante de torsin

HIPTESIS:

Para deducir la frmula pI

T = se supone que una seccin del rbol normal a su

eje, plana antes de la carga, permanece plana despus de aplicar el par y que un dimetro

de la seccin antes de la deformacin sigue siendo un dimetro, o recta, de la seccin

despus de la deformacin. A causa de la simetra polar de un rbol circular, estas

hiptesis parecen razonables; pero si la seccin no es circular, ya no son ciertas; se sabe,

por experiencias, que en este ltimo caso, durante la aplicacin de cargas exteriores, las

secciones se alabean.

DEFORMACIN POR CORTANTE

Si se marca una generatriz a-b en la superficie de la barra sin carga, y luego se

aplica el momento torsor T, esta recta se traslada a a-b, como se muestra en la figura 2.3.

El ngulo medido en radianes, entre la posicin inicial y final de la generatriz, se define

como la deformacin por cortante en la superficie de la barra. La misma definicin sirve

para cualquier punto interior de la misma.

Figura 2.3 Deformacin por cortante

MDULO DE ELASTICIDAD EN CORTANTE:

La relacin entre la tensin cortante y su deformacin se llama modulo de

elasticidad en cortante y esta dado por:

=G (2.3)

Como all, las unidades de G son las mismas que las de la tensin cortante, pues la

deformacin no tiene dimensin.

ANGULO DE TORSIN:

Si un rbol de longitud L esta sometido a un momento de torsin constante T en toda su

longitud, el ngulo (figura2.4) que un extremo de la barra gira respecto del otro es:

pGI

TL= (2.4)

Donde Ip representa el momento polar de inercia de la seccin.

Figura 2.4 Angulo de torsin

MDULO DE ROTURA:

Es la tensin cortante ficticia que se obtiene sustituyendo en la ecuacin =T/Ip

el par mximo T que soporta un rbol cuando se ensaya a rotura. En este caso, se toma

para valor de el radio exterior de la barra. Indudablemente, no esta justificado el uso de

esta frmula en el punto de rotura porque se deduce slo, para utilizarla dentro de la zona

de comportamiento lineal del material. La tensin obtenida utilizando esta frmula en este

caso no es una verdadera tensin, pero a veces es til para comparaciones.

ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIN:

Si una probeta de material dctil, como el acero, es cargada dentro de la zona

plstica y luego descargada, la deformacin elstica se recupera cuando el material retorna

a su estado de equilibrio. Sin embargo, la deformacin plstica permanece y como

resultado, el material quedar sometido a una deformacin permanente.

EFECTOS POR TORSIN:

Los efectos de la aplicacin de una carga de torsin a una barra son:

-Producir un desplazamiento angular de la seccin de un extremo respecto a otro.

-Originar tensiones cortantes en cualquier seccin de la barra perpendicular a su eje.

II.2 MDULO DE RIGIDEZ

La deformacin elstica de los slidos es limitada. La deformacin producida en

un slido al aplicarle un esfuerzo desaparece totalmente cuando este esfuerzo se elimina.

La relacin entre esfuerzo y deformacin (lineal en algunos materiales, pero muy lejos de

serlo en otros) puede relacionarse cualitativamente con la estructura y tipo de enlace

atmico presentes. Esta relacin de esfuerzo y deformacin depende tambin de la

temperatura, y en el caso de monocristales o materiales que han sido deformados

previamente, en la direccin cristalogrfica.

Todos los materiales cambian su forma, volumen o ambos, bajo la influencia de un

esfuerzo o un cambio de temperatura. Decimos que la deformacin es elstica si el cambio

en forma o volumen producido por el esfuerzo o la temperatura se recupera totalmente

cuando se permite al material regresar a su temperatura o sistema de esfuerzos originales.

En substancias cristalinas la relacin entre esfuerzo y deformacin en la regin es lineal,

donde la figura 2.5a es para la porcin lineal de la curva de esfuerzo contra deformacin

en tensin, mientras que los materiales no cristalinos con molculas de cadenas largas

exhiben generalmente comportamiento elstico no lineal (figura 2.5b).

Figura 2.5 Diagrama Esfuerzo-Deformacin

La simple teora matemtica de elasticidad lineal se anticipa considerablemente a

cualquier conocimiento detallado sobre las bases atmicas de las observaciones

experimentales, y trata simplemente con la proporcionalidad entre esfuerzo y deformacin

en una escala macroscpica, utilizando constantes elsticas que puedan determinarse por

medio de pruebas mecnicas.

Las frmulas comunes de elasticidad son:

Mdulo de Young

=E (2.5)

Mdulo de Rigidez

=G (2.6)

En las ecuaciones citadas:

: es el esfuerzo uniaxial de tensin o compresin.

: es la deformacin normal.

: es el esfuerzo de corte.

: es la deformacin a corte.

El mdulo de elasticidad es una de las propiedades mecnicas ms importantes

usadas en el desarrollo de las ecuaciones de las propiedades mecnicas de los materiales.

Por tanto, deber siempre recordarse que E puede usarse slo si un material tiene un

comportamiento elstico lineal. Tambin, si el esfuerzo en el material es mayor que el

lmite proporcional, el diagrama de esfuerzo-deformacin deja de ser una lnea recta y la

ecuacin =E ya no es valida.

II.3 HISTRESIS MECNICA

El movimiento migratorio de tomos, defectos y energa trmica son procesos en

funcin del tiempo. Como resultado, se puede producir un retardo entre la deformacin y

el esfuerzo. La dependencia de la deformacin elstica del tiempo, y del esfuerzo, se

conoce como el efecto inelstico. En materiales sujetos a esfuerzos cclicos el efecto

inelstico da origen al amortiguamiento interno: una declinacin en la amplitud de

vibracin, y por lo tanto una disipacin de energa. De esta manera la energa vibracional

en estructuras reales se amortigua internamente, mientras que externamente el

amortiguamiento se efecta por friccin en las junturas, resistencia al viento y otros

efectos similares. Por lo general, los efectos de estos ltimos factores son de mayor

preponderancia que los del primer mecanismo.

En la discusin de propiedades elsticas estaba implcita la suposicin de que la

deformacin es solamente una funcin de simple valuacin del esfuerzo. Sin embargo,

esto no es siempre cierto: la consecucin de la deformacin en el esfuerzo y en el tiempo.

Con el nombre de efecto elstico posterior, se denomina al acercamiento asinttico de la

deformacin elstica a su valor de equilibrio, con el transcurso del tiempo, despus de

haberse aplicado la carga. En estructuras sujetas a cargas cclicas o vibraciones, el retraso

de la deformacin con respecto al esfuerzo causa una disipacin de energa o

amortiguamiento. Tambin se puede disipar energa durante la aplicacin de una carga

isotrmica montona o por medio de deformacin plstica no recuperable. Este fenmeno

es conocido como fluencia. Aqu se van a discutir las deformaciones macroscpicas que

son totalmente recuperables con el transcurso del tiempo despus de eliminar la carga

aplicada.

Se va a considerar primero, en forma breve, varios mecanismos por medio de los

cuales se origina el retraso de la deformacin con respecto al esfuerzo, y luego se

examinarn las manifestaciones experimentales del efecto elstico posterior y del

amortiguamiento.

EFECTO TERMOELSTICO

Puede demostrarse en va experimental y justificarse tericamente que existe una

interrelacin entre el trabajo mecnico realizado en un material en la regin elstica, y los

cambios en sus propiedades termodinmicas. Esto es, existen relaciones entre esfuerzo y

deformacin por una parte, y temperatura y entropa por la otra. Esta relacin se conoce

como el efecto termoplstico. Suponga que un esfuerzo elstico se aplica a una barra tan

rpidamente, que el esfuerzo mximo se alcanza antes de que esta pueda cambiar energa

trmica con sus alrededores. El calor transferido desde la barra, o hacia la barra, es cero,

as que el cambio en energa interna lo causa solamente el trabajo mecnico efectuado en

el material y la deformacin es isentrpica (esto es, se produce a entropa constante y es

reversible).

Puede demostrarse que para el caso de deformacin uniaxial adiabtica:

T

s=-CV

ETVm (2.7)

En donde:

Ts representa la variacin de temperatura con la deformacin a entropa constante

Vm: es el volumen molar del material

E: es el mdulo de Young isotrmico

: es el coeficiente lineal de expansin trmica

T: es la temperatura absoluta

Cv: es el calor especfico a volumen constante

Prcticamente todos los materiales manifiestan una expansin volumtrica al

calentarse. Por lo tanto, ya que es casi siempre positivo, lo mismo que V, T, E y C

puede deducirse que una tensin elstica adiabtica disminuye la temperatura del material

y una compresin elstica adiabtica aumenta. Sin embargo, este cambio en temperatura

es generalmente pequeo.

El comportamiento del hule al estirase proporciona un contraste interesante con el

comportamiento discutido debido a que , el coeficiente de lineal de expansin trmica,

es negativo; por lo tanto el hule se calienta al alargarlo rpidamente y se enfra al

comprimirlo rpidamente.

La razn para el signo diferente de reside en el hecho de que con un aumento en

temperatura la vibracin y flexin de las cadenas moleculares, que componen el hule

aumenta de forma tal que la longitud promedio de esta cadena disminuye, esto es, el hule

se contrae. De igual manera, una deformacin elstica relativamente elevada, producida

isotrmicamente en una pieza de hule, disminuye la entropa debido al enderezamiento y

compactacin de las cadenas moleculares), en grado mayor al aumento que produce en

energa interna.

Como ya se ha observado, un material cristalino tiende a reducir ligeramente su

temperatura cuando se estira. Sin embargo, si una probeta se alarga a una velocidad

extremadamente baja, absorbe energa trmica del medio ambiente y su temperatura

permanece constante.

El proceso de deformacin es entonces isotrmico. Suponga una probeta que

exhibe una relacin lineal perfecta entre el esfuerzo y deformacin sujeta a deformacin

isotrmica en la regin elstica; el segmento OX de la curva de esfuerzo contra

deformacin en las figuras 2.6 a y b. Si la probeta se carga hasta el esfuerzo 1 tan

lentamente que el proceso es isotrmico, la trayectoria de carga es OI. Si la probeta se

descarga isotrmicamente la trayectoria de descarga es IO. Si en vez de esto la probeta

se carga hasta 1 tan rpidamente que no hay tiempo suficiente para que absorba energa

trmica del medio ambiente, el proceso es adiabtico, y la temperatura de la probeta

disminuye a un valor inferior al de la temperatura ambiente para cuando se alcanza el

valor de 1. Bajo estas circunstancias la probeta sigue la trayectoria de carga adiabtica

OA y acumular slo la deformacin A, en contraposicin a la deformacin mayor que

se acumul durante el proceso isotrmico. Si la probeta deformada se mantiene al nivel de

esfuerzos 1, se calentar con el transcurso del tiempo, y sufrir una deformacin

adicional por expansin trmica, siguiendo la trayectoria AI.

Figura 2.6 (a) Deformacin adiabtica e isotrmica;

(b) Circuito de Histresis elstica

Ahora, si la carga se elimina sbitamente, la probeta sigue la trayectoria de

descarga adiabtica IA y se calentara durante el proceso. Con el transcurso del tiempo,

la probeta transfiere energa trmica al medio ambiente (mas fro) y la deformacin

disminuye por contraccin trmica siguiendo la trayectoria AO.

La curva de esfuerzo y deformacin de una muestra cargada y descargada en un

ciclo continuo seria semejante al circuito OBICO mostrado en la figura 2.6b, en vez de

parecerse al paralelogramo OAIAA de la figura 2.6a El rea sombreada en la figura 2.6b

denominada circuito de histresis elsticas, representa la energa disipada por ciclo. La

energa elstica almacenada durante el ciclo de carga se representa por el rea bajo la

curva OBI en la figura 2.7a (rea = d y tiene unidades de lb/pulg2*pulg/pulg=pulg-

lb/pulg3, o sea energa por unidad de volumen), mientras que la energa elstica

recuperada durante el ciclo de descarga se representa por el rea bajo la curva ICO en la

figura 2.7b. La diferencia entre el trabajo elstico efectuado y la energa elstica

recuperada, es igual a la energa disipada, la cual se representa por el rea circundada por

el circuito de histresis, que si bien en muchos materiales encierra solo un rea muy

pequea, el efecto de histresis elsticas es importante, cuando el material esta sujeto a

vibracin rpida, ya que la energa total disipada en un periodo determinado es el producto

del rea por ciclo y numero de estos.

Figura 2.7 Curvas Esfuerzo contra Deformacin

El rea del circuito de histresis es una funcin de la frecuencia de carga y

descarga: si la frecuencia es muy baja el ciclo es casi totalmente isotrmico. En este caso

el rea circundada por el circuito de histresis es extremadamente pequea. Si la

frecuencia de carga y descarga es muy alta, a las trayectorias de carga y descarga pueden

ser totalmente adiabticas y de nuevo el rea circundada por el circuito de histresis es

muy pequea. Sin embargo, en alguna frecuencia intermedia el rea circundada por el

circuito alcanza su mximo (ver figura 2.8)

figura 2.8 Disipacin de energa por ciclo como una funcin de frecuencia.