I. DESCRIPCION DE LOS METODO DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

Incógnitas Ecuaciones usadas en su solución Coeficientes de las incógnitas

Método de las

fuerzas

Fuerzas De compatibilidad y de

desplazamientos de fuerzas

Coeficientes de flexibilidad

Método de los

desplazamientos

Desplazamientos De equilibrio y de desplazamiento

de fuerzas

Coeficientes de rigidez

1.1 MÉTODOS DE LA RIGIDEZ

RIGIDEZ: Fuerza o giro necesario para provocar una deformación unitaria.

Método de las fuerzas también llamado Método de la rigidez consiste en escribir ecuaciones que

satisfagan la compatibilidad y los requisitos de fuerza desplazamiento en la estructura, contienen como

incógnita a las fuerzas redundantes.

Los coeficientes de estas incógnitas se llaman coeficientes de flexibilidad. Como la compatibilidad es la base

de este método se llama a veces método de la compatibilidad o método de los desplazamientos consistentes.

Una vez determinadas las fuerzas redundantes, las reacciones restantes se determinan satisfaciendo los

requisitos de equilibrio en la estructura.

PROCEDIMIENTO GENERAL:

-Considera la viga mostrada en la figura 1.Por simple inspección se determina que la viga es indeterminada de

1° grado

Fig. 1

En consecuencia es necesaria una ecuación adicional para la solución, para obtener esta solución utilizaremos

los principios de superposición y consideraremos la compatibilidad de los desplazamientos en uno de los

soportes, esto se hace escogiendo una de las reacciones en los soportes como “redundante” y cancelando

temporalmente su efecto sobre la viga de manera que esta resulte estáticamente determinada y estable.Esta

viga se conoce como estructura primaria . Aquí cancelamos la acción restrictiva del apoyo de balancín en B,

esto tiene como resultado que la carga P desplace a B hacia abajo en una cantidad ∆ B como se muestra en la

figura 2

Fig.2

+

Fig. 3

Sin embargo por superposición la reacción desconocida en B ,esto es By , desplaza el punto B en una

cantidad ∆BB´ hacia arriba , figura 3. La primera letra en esta notación de doble subíndice se refiere al punto

B en que la reacción desconocida actúa.

Suponiendo que los movimientos hacia abajo son positivos, de las graficas podemos escribir la ecuación de

compatibilidad para el apoyo de balancín como:

∆B - ∆BB´ = 0

Denotemos ahora el desplazamiento en B causada por una carga unitaria que actua en la dirección de By que

actue en B en lugar de la carga unitaria, ocasionara un aumento proporcional en f BB Podemos escribir

entonces

∆BB´ = ByfBB

Escrito en este formato puede verse que el coeficiente de flexibilidad lineal fBB es una media de la deflexión

por la fuerza unitaria y sus unidades son N/m , ft/lb , ect . La ecuación anterior de compatibilidad puede

escrbirse en términos de la incognita By como:

∆B - ByfBB = 0

Aquí algunos métodos basados en a rigidez:

- Principio de trabajo virtual y principio del total estacionario.

- Primer teorema de castigliano.

- Método de la rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo.

- Método de la distribución de momentos de o de cros para pórticos planos.

1.2 METODO DE LA FLEXIBILIDAD

FLEXIBILIDAD: Deformación provocada por una carga unitaria.

Método de los desplazamientos también llamado método de la flexibilidad consiste en escribir primero

las relaciones de fuerza-desplazamiento para los miembros y luego satisfacer los requisitos de equilibrio en la

estructura.

En este caso las incógnitas en las ecuaciones son desplazamientos y sus coeficientes se llaman coeficientes de

rigidez.

Una vez obtenidos los desplazamientos se determinan las fuerzas con las ecuaciones de compatibilidad y de

fuerza –desplazamiento.

CASO GENERAL:

Para obtener la forma general de las ecuaciones de pendiente-desviacion, consideraremos el claro típico AB

de una viga como el mostrado en la figura 4

Fig. 4

Desarrollaremos las ecuaciones de pendiente –desviación usando el principio de superposición y

consideraremos por separado los efectos causados por cada uno de los desplazamientos ѲA , ѲB y ∆ y luego

por las cargas

DESPLAZAMIENTO ANGULAR ѲA EN A

Considera que el nudo A del miembro mostrado en la figura 4 gira el ángulo ѲA mientras el nodo del

extremo alejado B se mantiene empotrado. Podemos determinar el momento MAB necesario para causar este

desplazamiento usando el método de la viga conjugada. Para este caso se muestra la viga conjugada de la

fig5b . La fuerza cortante en A´ actúa hacia abajo sobre la viga, ya que ѲA gira en sentido de las manecillas

del reloj. La deflexión de la viga real en la figura 5ª es cero en A y en B y por ello la correspondiente suma de

los momentos en A´ y en B´ de la vigaconjugada debe ser también cero . Esto conduce a :

+∑MA

= 0 ; [ 12 (M AB

EI )L] L3 - [ 12 (M AB

EI )L] 2L3

= 0

+∑MB = 0 ; [ 1

2 (M AB

EI )L] L3 - [ 12 (M AB

EI )L] 2L3

+ ѲA L= 0

De donde :

MAB = 4 EILѲ A

MBA = 2EILѲ A

ѲA

ѲB

Ψ

Ψ

Viga real

(a)

(b)

Fig. 5

Fig. 6

ѲA

MAB

EI

MBA

EIV A´=ѲA

ѲA

DESPLAZAMIENTO ANGULAR ѲB EN B

Finalmente si el extremo B de la viga gira a su posición final ѲB mientras el extremo A se mantiene

empotrado , Figura 6 . Podemos relacionar el momento aplicado MBA con el desplazamiento angular ѲB y el

momento reactivo en MAB en el empotramiento . El analisi es igual al visto anteriormente . los resultados son:

MAB = 2EILѲ A

MBA = 4 EILѲ A

Aquí algunos métodos basados en a rigidez:

- Principio del trabajo virtual complementario y principio del potencial complementario.

- Segundo teorema de castigliano y teorema de Crotti-Engesser.

- Método general de flexibilidad basado en el segundo teorema de Engesser.

- Método de la compatibilidad de deformaciones en las vigas

- Formulas de los tres momentos para vigas

- Principio de Muller-Breslao para cargas móviles

II. RELACION ENTRE MATRIZ DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

Del método de las fuerzas:

[δ] = [C][F] …………………………………………(1)

Del método de los desplazamientos:

[F] = [K][δ] . ……………………………………………..(2)

De (1) :

[F] = [C]-1[δ] ……………………………………………..(3)

Comparando (2) con (3) :

[C]-1 = [K]

y por consiguiente:

[K]-1 = [C]

O sea que la matriz de rigidez es el inverso de la matriz de flexibilidad y viceversa

Otra propiedad importante surge al considerar el teorema reciproco , ya que al igualar el trabajo

producido en una esturtura elástica linal por una fuerza F i al recorrer el desplazamiento producido por

otra fuerza Fj con el producido con esta ultima al recorrer el desplazamiento causado por la primera , se

obtiene :

Fi (cij Fj) = Fj (cji Fi)

Y al simplificar queda :

cij = cji

De donde sse concluye que la matriz de flexibilidad [C] es simetrica y como la matriz de rigidez [K] es su

inverso se deduce que esta también es simetrica.

III. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS

III.1. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS (en el plano)

Considere el miembro mostrado en la figura siguiente , en la que primero se muestra las

componentes en las coordenadas globales y luego en coordenadas locales

dNy ´=DNx cosѲ y

dNx ´=DNy cosѲ x

Ѳ y

Ѳ x

Finalmente , como los ejes z´ y z coinciden esto es están dirigidos hacia afuera de la pagina una

rotación de DNz , alrededor de dNz , alrededor de z´ entonces,

dNz = dNz

De manera similar si los desplazamientos globales DFX en la dirección x DFy en la dirección y y una

rotación DFZ se impone sobre el extremo alejado del miembro, las ecuaciones resultantes de

transformación , son respectivamente.

dFX´ = DFX cos ѲX dFy´ = DFX cos Ѳy

dFy´ = DFy cos Ѳy dFy´ = DFX cos ѲX

dFz´ = DFz

Si representan las ecuaciones directores del miembro, podemos

escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial como

III.2. MATRIZ DE TRANSFOMRACION DE DESPLAZAMIENTOS

Ѳ y

Ѳ x

dNy ´=DNx cosѲ x

dNx ´=DNy cosѲ y

Se obtiene la misma matris de transformación de fuerzas

IV. TRABAJO VIRTUAL Y ENERGIA

Es un método muy versátil para calcular desplazamientos en las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser debidos a cargas de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en al material estructural o errores de fabricación. La expresión básica para el trabajo virtual es:

Trabajo virtual = trabajo virtual interno

We = Wi

En la ecuación anterior se puede expresar el primer término como el producto de una carga desconocida por el desplazamiento buscado. El segundo termino se puede expresar en función de los elementos mecánicos de la estructura lo cual se hará en seguida:

Considérese una armadura, la cual está sujeta a un sistema de cargas P, y en la cual se desea calcular el desplazamiento vertical δVA en un punto A. Considérese ahora la misma armadura sujeta a una carga F en el punto A en la dirección de δVA.Si se denomina como N de las fuerzas axiales en los elementos debidas al sistema de carga P, y como n a las fuerzas axiales en los elementos debidas a la carga F, se tiene, según BETTIQUE:

Donde el término con paréntesis es el alargamiento o acortamiento de cada elemento de la estructura debido a la aplicación de la carga F. por lo tanto:

Si se da a F el valor unitario (puede ser cualquier valor) se tendrá:

En forma semejante se puede establecer las expresiones del trabajo virtual interno para los demás elementos mecánicos y se obtiene:

IV.1. ENERGIA DE DOFORMACION PARA CARGAS AXIALES

La barra simple de la estructura de la figura tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema se conserva elástico, el trabajo externo es Q D/2.

Se tiene una barra sujeta a la aplicación gradual de una carga P. la barra experimentará un alargamiento total ∆. La deformación interna de un segmento de la barra, de longitud dx es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud de dx.

La energía total de deformación para toda la barra es la suma de las energías de deformación para cada segmento:

IV.2. ENERGIA DE DEFORMACION PARA CARGAS CORTANTES

Se tiene una viga de sección transversal rectangular. Las cargas extremas producen una fuerza cortante interna V. El esfuerzo cortante no está distribuido uniformemente. Sobre la sección transversal, si no que varía según la ecuación como J=VQ/Ib. Consideremos una fibra tal como lo indica la figura. El trabajo que se realiza mientras

que la fibra de longitud dx está siendo distorsionada es trabajo VS/2=(Tdx) α dx .

El movimiento δ es igual A αdx ya que los ángulos son pequeños y sen α tan α α

El área dA es igual a bdy, segunda Fig.13.11(c). el ángulo α representa la deformación unitaria por cortante.

IV.3. ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE FLEXION

Se tiene indica una viga con una carga concentrada actuando en B. el trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza Q a través de la deflexión ∆.de la viga. El trabajo externo es igual a QA∆/2, y recomendamos otra vez la relación lineal carga-deflexión. La energía interna de deformación para un segmento de longitud dx se determina sumando la energía de deformación dU para cada fibra que existe en dx. Primero considerando la deformación en una sola fibra localizada a una distancia y a partir del eje neutro (fig. 13.8b).

IV.4. ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE TORSION

Se tiene una flecha circular sujeta a un par de torsión T. el trabajo externo involucra el movimiento del par T a través de la rotación Ѳ. El trabajo externo es ѲT/2.La energía interna de deformación dU para un segmento dx en la figura 13.12b es

la energía de deformación en toda la longitud de la flecha se obtiene sumando la energía de deformación para cada segmento. Este se convierte en