El desarrollo del pensamiento matemtico y la actividad docente

Crditos

Coordinacin general

Dra. Rosa Mara Farfn Mrquez

Autores:

Rosa Mara Farfn Mrquez

Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza

Luis Manuel Cabrera Chim

Jos David Zaldvar Rojas

Claudia Leticia Mndez Bello

Erika Garca Torres

Erika Marlene Canch Gngora

Karla Margarita Gmez Osalde

Dinazar Isabel Escudero Avila

Eric Flores Medrano

Daniela Geraldiny Soto Soto

Mara Esther Magali Mndez Guevara

Eduardo Carlos Briceo Sols

Maribel Moreno Ochoa

Rubn Alejandro Gutirrez Adrian

Adriana Moreno Valdez

Mayra Anaharely Sarai Bez Melendres

Daniela Reyes Gasperini

Martha Maldonado Rosales

ndice

Presentacin

Captulo 1

Introduccin

Aprendizaje y enseanza de las matemticas

De la aproximacin socioepistemolgica a la prctica educativa

Captulo 2. Situaciones de Aprendizaje para profesores Introduccin

Pedro quiere comprar unos patines

Las mezcladoras

El problema de Rubn

Llenado de recipientes

El gato

Apuestas?

Captulo 3. Situaciones de Aprendizaje para estudiantes Introduccin

Proporcionalidad y reparto proporcional

Creciendo y disminuyendo

Cuadrando los palillos

Las grficas y el movimiento

Jugando con fichas especiales

Ahorrando para nuestra nueva sala de medios

Simetra con espejos

Referencias

Reconocimiento

Las situaciones de aprendizaje concretadas en el marco de la Especializacin de Alto Nivel para la profesionalizacin docente en las matemticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didcticas son resultado de las aportaciones de profesoras y profesores durante la fase de reproducibilidad, o fase a distancia, junto con el apoyo de una tutora o tutor del Cinvestav.

Es por ello que nos permitimos hacer un reconocimiento a todos los que se involucraron en el rediseo de una situacin, por el trabajo de discusin y reflexin realizado para la obtencin de estos productos.

En particular, se otorga un reconcomiendo especial a los profesores y tutores que participaron en el rediseo de las situaciones presentadas en el captulo 3 de este libro. Ellos son:

Tutores

M. en C. Erika Marlene Canch Gngora

M. en C. Mara Ojilvie Terrones Arellano

M. en C. Jos David Zaldvar Rojas

M. en C. Eric Flores Medrano

Lic. Adriana Moreno Valdez

Lic. Mara Eugenia Vega Flores

Lic. Melissa Valeska Andrade Molina

Mentores

Adriana Citllic Almeda Rivas Durango Akhenaton Soto De Los Santos Puebla Albertico Guevara Araiza Chihuahua Alejandro Hctor Molina Canales Morelos Aurora Prez Hernndez Oaxaca Carlos Manuel Medina Quiroz Baja California Cruz Flores Delgado Hidalgo Cynthia Ramrez Gonzlez Puebla Dagoberto Escobedo Guzmn Nuevo Len Eduardo Garca Sereno Jalisco Enrique Luna Garca Quertaro Ernesto Pescador Salas Durango Evaristo Gonzlez Muoz Zacatecas Federico Slis Ronquillo Durango Fernando Figueroa Casas Oaxaca Francisco Javier Lpez Moncada Nuevo Len Graciela Tejeda Snchez Jalisco Gustavo Pea Guevara Nayarit Hector Hernndez Castellanos Distrito Federal Hilario Enrquez Hernndez Michoacn Hilda Margarita Castillo Gereca Durango Homero Rocha Villanueva Tamaulipas Ignacio Ramrez Ibarra Durango Irma Preciado Tello Puebla Isela Lima Ortega Tlaxcala Ivn Snchez Morales Estado de Mxico Ixtaz Mares Ventura Michoacn Javier Sal Varela Molinar Chihuahua Jess Ignacio Amaya Baja California Joel Caro Corona Nayarit Jonhy Alan Garca Torres Nayarit Jose Maria Rosas Moroyoqui Sonora Jos Martn Hernndez Torres Tamaulipas Juan Gabriel Desilos Hernndez Tamaulipas Juan Manuel Snchez Dvila Nuevo Len Julio Csar Garza Pin Tamaulipas

Leobardo Mendoza Ramrez Estado de Mxico Leonardo Pin Guerrero Distrito Federal Leyda Andrea Delgado Matilla Aguascalientes Luis Cano Montiel Veracruz Luz Aracely Carnero Muiz Chihuahua Luz Yasmn Zacaras Prez Chiapas Ma. Alejandra Guadarrama Delgado Estado de Mxico Ma. Mitz Yenisse Romo Aguascalientes Marco Alonso Salazar Ramrez Durango Mara Cristina Herrera Mendoza Chihuahua Maria De Los Angeles Corona Beristain Tlaxcala Mara de Lourdes Gmez Garca Coahuila Marifel Hernndez Espinoza Baja California Sur Mariza Ibarra Leyva Sinaloa Martha Ofelia Prieto Torres Chihuahua Martha Patricia De Atocha Amaya

Almeida Yucatn Mayra Elizabeth Garca Tovar Tamaulipas Norma Zamora Morales Tlaxcala Rafael Esparza Moran Nuevo Len Rafael Viveros Acosta Veracruz Ranulfo Moreno Meraz San Luis Potos Raymundo Jos Llanes Rodrguez Durango Ricardo Ledezma Snchez Chihuahua Rosa Mara Razo Vargas Baja California Sur Rubn Moreno Hernndez Guanajuato Russell Francisco Reyes Reyes Yucatn San Juana Clemente Lara San Luis Potos Sergio Luciano Lpez Chihuahua Socorro Flores Marn Nayarit Victoria Reyes Trejo Baja California Yaneli Bianey Garca Flores Estado de Mxico Yesenia Castro Larios Zacatecas

Presentacin

Este libro sobre desarrollo del pensamiento matemtico a travs de las situaciones de aprendizaje como herramienta fundamental, presenta una visin de grupo. Cubre el trabajo de investigacin y enseanza de un conjunto de colegas ocupados por estudiar sistemticamente fenmenos didcticos ligados a la matemtica escolar. Incluye a aquellos fenmenos relativos a los aprendizajes, como otros ms bien centrados en la estructura del currculo y los roles del docente de matemticas y de ciencias. Las aproximaciones, como podr confirmar el lector, son novedosas y diversas. En nuestra opinin, dicha diversidad es indispensable para articular proyectos de cambio e innovacin educativos.

Hemos incluido una serie de novedosas e interesantes situaciones encaminadas al tratamiento y desarrollo del pensamiento matemtico, con actividades especficas para profesores y estudiantes de secundaria.

Cada captulo de este libro fue elaborado en el marco de la Especializacin de Alto Nivel para la profesionalizacin docente en las matemticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didcticas, proyecto conjunto entre la Direccin General de Formacin Continua de Maestros en Servicio (DGFCMS) de la Secretara de Educacin Pblica (SEP) y el Departamento de Matemtica Educativa del Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del Instituto Politcnico Nacional (Cinvestav - IPN). Los libros, artculos de investigacin o tesis de maestra o doctorado que fueron utilizados para la elaboracin de los captulos se enlistan en la bibliografa recomendada. De esta manera proporcionamos una forma de alcanzar mayor profundidad.

Este libro es una contribucin de escuela, de un grupo interinstitucional de carcter nacional que se ha conformado como red acadmica entre investigadores y profesores, con el fin de producir conocimiento cientfico sobre los fenmenos didcticos ligados a la matemtica escolar.

Esperamos que la lectura y el desarrollo de las actividades previstas resulten de utilidad para el lector y estaramos enormemente agradecidos si, en el curso de la experimentacin que las profesoras y los profesores de matemticas de secundaria harn de este material, nos hacen llegar sus resultados a fin de retroalimentar nuestros diseos.

Los autores

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Captulo 1

El aprendizaje de las matemticas desde la investigacin en matemtica educativa

Rosa Mara Farfn y Ricardo Cantoral

Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del IPN

Introduccin La enseanza en general y la de las matemticas en particular son asuntos de la mayor importancia para la sociedad contempornea. Con el paso del tiempo, las sociedades han conformado instituciones a fin de articular el saber cientfico y matemtico con la cultura de la sociedad, buscando favorecer entre un sector ms amplio de la poblacin una visin cientfica del mundo.

Este libro se conforma de dos partes principales; la primera se centra en el anlisis de las relaciones entre enseanza y aprendizaje de las matemticas, adems de ofrecer una perspectiva terica bajo la cual se trabajar la siguiente seccin. En la segunda se presentan diseos de situaciones de aprendizaje en las cuales se ejemplifica el uso de una matemtica funcional, basada en perspectivas actuales de investigacin. Esta segunda seccin, se divide a su vez, en dos: la primera son situaciones diseadas para profesores de secundaria y la otra para estudiantes de secundaria. Ambas contienen situaciones adaptadas y desarrolladas en el marco de la Especializacin de alto Nivel para la profesionalizacin docente en las matemticas de secundaria. Un estudio de reproducibilidad de situaciones didcticas, proyecto de la Secretara de Educacin Pblica (SEP) en colaboracin con el Centro de Investigacin y de estudios Avanzados del Instituto Politcnico Nacional (Cinvestav-IPN).

En este captulo ofrecemos una interpretacin de aspectos relativos a la enseanza de las matemticas del nivel bsico. Debemos aclarar de entrada que no pretendemos ser exhaustivos en cuanto a brindar un panorama del estado que guarda la enseanza de las matemticas, aunque si aspiramos a dar una perspectiva sugerente y contempornea de algunos aspectos tanto para los docentes de matemticas como para los interesados en el campo de la investigacin educativa. La escritura de este apartado ha tomado como fuente principal algunas publicaciones previas (Farfn, R. y Cantoral, R. (2003); Alans, J. et al (2003); y diversos informes de la Secretara de Educacin Pblica.

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Tambin abordaremos las relaciones entre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en tanto actividades de naturaleza social. Nos centramos en el estudio de los procesos del pensamiento matemtico que se producen en el curso de una relacin didctica, es decir una relacin que trata de aquello que el profesor se propone ensear en matemticas y aquello que efectivamente los estudiantes son susceptibles de aprender. Nuestro objetivo es explorar el sentido que tiene el desarrollo del pensamiento matemtico entre los estudiantes en el transcurso de la gestin de su aprendizaje.

Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria, de la abstraccin o ms ampliamente de los procesos mentales en un sentido genrico, solemos dirigir nuestra mirada hacia la psicologa y el estudio de las funciones mentales. Para los psiclogos las preguntas: cmo piensa la gente?, cmo se desarrollan los procesos del pensamiento?, o en qu medida la accin humana adquiere habilidad en la resolucin de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexin y experiencia cotidiana de su quehacer. De manera que el pensamiento como una de las funciones mentales superiores, se estudia sistemtica y cotidianamente en escenarios profesionales.

De qu podra tratar entonces el pensamiento matemtico. Sabemos por ejemplo que la psicologa se ocupa de entender cmo aprende la gente y de cmo se realizan diversas tareas o se desempean ciertas actividades. De este modo, en el libro usaremos el trmino pensamiento matemtico para referirnos a las formas en que se piensa ante situaciones matemticas, o dicho de otro modo, nos referimos al cmo desarrollan las personas una forma matemtica de pensar en su accin cotidiana. Los investigadores sobre el pensamiento matemtico se ocupan de entender cmo piensa la gente un contenido especfico, en nuestro caso las matemticas. Se interesan por caracterizar o modelar los procesos de apropiacin de los conceptos y procesos propiamente matemticos.

Este inters por estudiar la psicologa del pensamiento matemtico es relativamente nuevo, aunque podramos decir que es, sobre todo, esperanzador. Pues se abriga con ello la esperanza de que el desarrollo de este programa de investigacin mejore significativamente los procesos educativos en matemticas en los distintos niveles de los sistemas escolares contemporneos.

Dado que la actividad humana involucra procesos de razonamiento, emotividad y factores de experiencia cuando se desempean cualquier clase de funciones, nos interesa que al hablar de pensamiento matemtico nos localicemos propiamente en el sentido de la actividad matemtica como una forma particular de actividad humana. De modo que debemos interesarnos por entender las razones, los procedimientos, las explicaciones, los argumentos, las escrituras o las formulaciones verbales que el alumno construye para responder a una cierta tarea matemtica, del mismo modo que nos ocupamos por descifrar los mecanismos

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mediante los cuales la cultura y el medio contribuyen en la formacin de los pensamientos matemticos. Nos interesa entender, aun en el caso de que su respuesta a una pregunta no se corresponda con el conocimiento aceptado institucionalmente, las razones por las que su pensamiento matemtico opera como lo hace. De este modo, habremos de explicar con base en modelos mentales, didcticos y socioculturales, cules son las razones por las que persistentemente los alumnos consideran que 20 es 0 aunque su profesor insistentemente les diga que 20 es 1; o bien que suelan considerar que el binomio (a b)2 es igual a2 b2 y no, como sabemos, que (a b)2 a2 2ab b2. En este sentido es que nos interesa analizar las producciones de los alumnos ante tareas matemticas, tanto simples como complejas, asumidas como formas de entender el proceso de construccin de los conceptos y procesos matemticos al mismo tiempo que sabremos que en esa labor, su propio pensamiento matemtico est, tambin, en pleno curso de constitucin.

Durante las ltimas dcadas ha tenido lugar el nacimiento de una perspectiva terica para los asuntos educativos que, en nuestra opinin, permite desentraar la naturaleza del conocimiento matemtico en toda actividad humana. Hace ya algn tiempo, destacados matemticos profesionales, como Hadamard, Poincar, Polya o Freudenthal, se interesaron por explorar la psicologa del razonamiento matemtico y lo hicieron mediante estudios del tipo introspectivo al analizar su propia actividad personal o a travs de estudiar sistemticamente las producciones de jvenes escolares. Del mismo modo, la obra de Piaget jug una considerable influencia sobre el esclarecimiento del pensamiento humano, ms especficamente sus estudios sobre la construccin de la nocin de nmero, de las representaciones geomtricas, del razonamiento proporcional o del pensamiento probabilstico han tenido una fuerte influencia en el entendimiento de las nociones matemticas.

Aunque esos hallazgos han jugado un papel fundamental en el terreno de la investigacin contempornea, las currcula matemticas y los mtodos de enseanza han sido inspirados durante mucho tiempo slo por ideas que provienen de la estructura de las matemticas formales y por mtodos didcticos fuertemente apoyados en la memoria y en el empleo de algoritmos, donde con frecuencia el estudiante se encuentra imposibilitado de percibir las relaciones que existen entre s los diversos procedimientos con las aplicaciones ms cercanas de su vida cotidiana y se priva entonces de experimentar en carne propia sus propios aprendizajes en escenarios distintos a los que le provee su saln de clase.

Si quisiramos entonces describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemtico tendramos que considerar que ste suele interpretarse de distintas formas, por un lado se le entiende como una reflexin espontnea que los matemticos realizan sobre la naturaleza de

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su conocimiento o sobre la naturaleza del proceso de su descubrimiento e invencin. Por otra, se entiende al pensamiento matemtico como parte de un ambiente cientfico en el cual los conceptos y las tcnicas matemticas surgen y se desarrollan en la resolucin de tareas; finalmente una tercera visin considera que el pensamiento matemtico se desarrolla entre todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a mltiples tareas, esta ltima visin eminentemente social y cotidiana es la que gua nuestras formulaciones tericas.

Desde esta ltima perspectiva, el pensamiento matemtico no est enraizado exclusivamente en los fundamentos de la matemtica, ni en la prctica exclusiva de los matemticos, sino que trata de todas las formas posibles de construir y tratar con ideas matemticas incluidas aquellas que provienen de la vida cotidiana: Observar, clasificar, medir, contar, pesar, ordenar, secuenciar, comparar... Por tanto, se asume que la construccin del conocimiento matemtico posee niveles y profundidades, por citar un ejemplo, en la medicin del rea, las unidades convencionales (metro cuadrado, centmetro cuadrado, etc.) a diferencia de otras unidades no existen como instrumentos de medicin en las tiendas de autoservicio, en las papeleras o tlapaleras, del mismo modo que podemos comprar reglas, cintas mtricas graduadas, escuadras con diferentes unidades de longitud; pesas y balanzas para la masa, entre otras, se determina indirectamente, a partir de medidas de longitud y con instrumentos correspondientes a esta magnitud. Al respecto del rea, Piaget afirm que la nocin de conservacin del rea es un aspecto preliminar y fundamental para el entendimiento del concepto de rea y de su medicin. Es decir, la conservacin antecede a la medicin. Un ejemplo adicional trata del concepto de volumen, concepto formado por diferentes propiedades y relaciones con otros conceptos; los nios de entre 6 y 7 aos suelen ocuparse de comparar recipientes, quitar y agregar lquido de dichos recipientes y de medir de algn modo el efecto de sus acciones sobre el volumen, aunque la idea de volumen no est plenamente construida en su pensamiento. En tanto que algunas propiedades tridimensionales del volumen de los paraleleppedos rectos o los prismas, como por ejemplo las relaciones que se pueden encontrar entre longitudes, reas y volmenes son tratadas en la escuela cuando los jvenes tienen entre 15 y 16 aos, slidos de revolucin e integrales mltiples son estudiadas entre los 18 y 21 aos, de manera que el pensamiento matemtico sobre la nocin de volumen se desarrolla a lo largo de la vida de los individuos, por tanto la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en la escuela debera de tomar en cuenta dicha evolucin.

De este modo habremos de entender, en un sentido moderno, que el pensamiento matemtico incluye por un lado, el pensamiento sobre tpicos matemticos y por otro, procesos del pensamiento como abstraccin, justificacin, visualizacin, estimacin o razonamiento bajo hiptesis. El pensamiento matemtico entonces debe operar sobre una red compleja de conceptos, unos avanzados y otros ms elementales.

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Ahora bien, dado que para un profesor, ensear se refiere a la creacin de las condiciones que producirn la apropiacin del conocimiento por parte de los estudiantes; y que para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status de herramienta y de objeto; tradicionalmente se ha considerado a la enseanza de las matemticas como una suerte de arte que queda libremente bajo el virtuosismo del profesor. El efecto de esa enseanza sobre el aprendizaje del alumno, suele ser evaluada con relacin al buen comportamiento escolar del estudiante, a la aprobacin o reprobacin de los exmenes escritos del curso y no se discute mucho qu ocurre especficamente en la esfera del aprendizaje, se confunde con frecuencia la acreditacin con el aprendizaje. Supone esta visin, que el aprendizaje de los alumnos depende exclusivamente de la atencin que presten a la exposicin del profesor, del dominio que ste tenga tanto al nivel del arte en su enseanza como al de su maestra en el tema. Esta visin, aunque existe en nuestras aulas contemporneas, est siendo cambiada de forma paulatina y, en nuestra opinin, sus ms profundas transformaciones estn llegando.

Ante estas prcticas escolares tradicionales, hoy surgen alternativas que consideran la actividad matemtica en un sentido ms amplio e integral, segn las cuales, dicha actividad no debe restringirse a las limitaciones puramente formales pues, como toda actividad humana, depende de una enorme variedad de restricciones de naturaleza cultural, histrica e institucional. Factores como la motivacin, la afectividad, la imaginacin, la comunicacin, los aspectos lingsticos o de representacin juegan un papel fundamental en la conformacin de las ideas matemticas entre los estudiantes.

Desde esta perspectiva, nuestra forma de aprender matemticas no puede ser reducida a la mera copia del exterior, o digmoslo as: a formar un duplicado de la realidad, sino que ms bien ser el resultado de sucesivas construcciones cuyo objetivo es garantizar el xito de nuestra actuacin ante una cierta situacin. Esta visin, que asumiremos en este texto, rompe con el esquema clsico de enseanza segn el cual, el maestro ensea y el alumno aprende. Estas nuevas maneras de encarar la cuestin educativa permiten explorar y emplear para su enseanza, las formas naturales o espontneas en que los estudiantes piensan matemticas, fuera y dentro de la escuela. El papel del profesor en esta perspectiva es mucho ms activo y propositivo, pues a diferencia de lo que podra creerse, sobre l recae mucho ms la responsabilidad del diseo y coordinacin del desarrollo de las situaciones de aprendizaje, de ah que l deba ser parte del diseo, la implementacin y la evaluacin del diseo.

Otra visin del aprendizaje que est en funcionamiento ms recientemente es conocida como las aproximaciones de orden social. Segn las cuales, se considera que la mente est ms all de la piel y en esa medida, los procesos mentales poseen una relacin esencial con los escenarios culturales, histricos e instituciones. De modo que se presenta un marco segn el cual es posible hablar de distintas formas de pensar matemticas al considerar que el entorno

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modifica dichos pensamientos. As encontramos en la literatura de este programa que se habla de la forma de pensar durante el siglo diecinueve o bien sobre el tipo de razonamiento de los estudiantes o el del profesor en el saln de clase.

Segn Rgine Douady, una destacada fundadora de la didctica de la matemtica en Francia, saber matemticas precisa de dos aspectos. Por un lado, se refiere a la disponibilidad funcional de nociones y teoremas matemticos para enfrentar problemas e interpretar nuevas situaciones. En este proceso dichas nociones y teoremas tienen un status de herramienta en tanto que sirven para que alguien acte sobre un problema en determinado contexto. Por otra parte, tambin significa identificar a las nociones y a los teoremas como parte de un cuerpo de conocimientos reconocidos socialmente. Es ah que se formulan definiciones, se establecen relaciones entre nociones mediante teoremas y se prueban las conjeturas adquiriendo entonces el status de objeto. Al adquirir ese status, las nociones se encuentran descontextualizadas y despersonalizadas a fin de permitir su aprendizaje. De este modo, los procesos de descontextualizacin y despersonalizacin participan activamente en la apropiacin del conocimiento.

Para un profesor, ensear se refiere a la creacin de las condiciones que favorecen la apropiacin del conocimiento por parte de sus estudiantes. Para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status, de herramienta y de objeto.

Enseguida mostramos un ejemplo de tratamiento del contenido que consideramos interesante pues ha sido construido atendiendo a las formas en que los estudiantes se tratan ciertas tareas, como aquellas relativas al tratamiento didctico del clculo mental. Como sabemos, el clculo mental es una actividad matemtica que no precisa de la escritura y que puede desarrollarse en periodos breves de una clase. Secuencias de cinco a diez minutos en cada clase, permiten desarrollar habilidades del pensamiento que sern usadas en su formacin posterior.

Imaginemos el escenario: De manera oral un profesor propone algunas operaciones por realizar, mientras que los estudiantes escuchan y memorizan la pregunta. Posteriormente efectan la operacin y comunican al grupo y al maestro sus intentos y resultados. A continuacin el profesor les demanda una explicacin de sus procedimientos. En ese momento el profesor favorece la discusin entres los diferentes mtodos propuestos y busca que los estudiantes defiendan o refuten los diversos acercamientos. Ello tiene, naturalmente una intencin didctica. Este proceso permitir a los alumnos distinguir entre los mtodos disponibles y seleccionar aquellos ms veloces o efectivos o simplemente que ms les gusten.

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En esas actividades, los alumnos usan resultados matemticos como herramientas, pues no son conscientes de su empleo. Por ejemplo, ante la pregunta del maestro de cunto es 11 por 11 un joven da una respuesta errnea, propone un nmero menor que 110. Otro de sus compaeros de clase dice, esa respuesta no es correcta, ya que 11 por 10 es 110 y l ha obtenido algo menor que 110. Este argumento exhibe el uso de un resultado terico, un teorema que dice que si c 0 y a b, entonces ac bc. En este momento el saber opera entre los alumnos al nivel de herramienta, pues aun no se constituye como un resultado general aceptado por los estudiantes de su clase. En otro momento, ellos lograrn escribir y organizar estos hallazgos y en esa medida reconocern sus resultados a un nivel ms general. Es as que en este ejemplo, la evolucin de lo oral a lo escrito, fue usado como un medio para la construccin de significados y para el aprendizaje matemtico en una actividad.

Cuando un profesor se encuentra ante sus alumnos en un saln de clase, se espera que l ensee un conocimiento especfico y que los estudiantes lo aprendan. Sin embargo, si no sabemos la forma en que el pensamiento matemtico de los alumnos opera, no sabremos cmo lograr que su aprendizaje se nutra de la enseanza. Las relaciones entre pensamiento y enseanza son actualmente estudiadas por diversos investigadores en el mundo entero.

Aprendizaje y enseanza de las matemticas Pretendemos ahora describir, a un nivel bsico, ciertas relaciones entre los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas tratando con mecanismos del pensamiento matemtico. Una cuestin fundamental de importancia contempornea consiste en adecuar una instruccin, en el sentido ms vasto del trmino, a las exigencias del pensamiento, del aprendizaje y de los contextos histricos, institucionales y culturales que requiere la actividad matemtica. La tarea como puede verse no resulta simple. En una atmsfera donde la enseanza se reduce a la comunicacin de verdades eternas, resultados exactos, formulaciones precisas,...

Este intento nos plantea una cuestin bsica, de qu manera el conocimiento sobre los procesos de aprendizaje en matemticas puede afectar benficamente a la enseanza? Una razn que nos sirve para explicar la complejidad del conocimiento matemtico consiste en observar que la mayora de las nociones matemticas toman un papel dual, como se ha explicado anteriormente: como herramienta y como objeto, en funcin de la situacin y del nivel de desarrollo de los procedimientos de los alumnos.

Tpicamente, el aprendizaje de un concepto incluye muchas etapas que pueden desarrollarse durante periodos prolongados y eventualmente quedan por completo fuera de los tiempos de una asignatura. Se inicia con el desarrollo de un proceso en trminos concretos, al nivel de

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herramienta y en la medida en que el alumno se familiarice con dichos procesos, estos tomarn la forma de una serie de operaciones que pueden ser desarrolladas y coordinadas en su pensamiento, el alumno habr adquirido entonces un pensamiento de tipo operacional con respecto a ese concepto. En una etapa posterior, la imagen mental de este proceso cristaliza en una nueva y nica entidad, digamos que en un nuevo objeto. Una vez que este ha sido adquirido, el estudiante ha desarrollado habilidad para pensar dicha nocin ya sea al nivel dinmico como herramienta o al nivel esttico como objeto. Este manejo dual posibilita al estudiante el que piense en trminos de posibilidades: Qu ocurrira si hago o no hago cierta operacin?

En esos trminos, una de las acciones ms importantes para el aprendizaje de las matemticas es el de construir entidades matemticas: es decir, constituir un objeto de un proceso, o hacer de una prctica una sntesis. De modo que uno de los principales objetivos del currculum sera, desde esta perspectiva, el desarrollar el pensamiento operacional, el pensamiento sobre un proceso en trminos de operaciones sobre objetos.

Dado que la matemtica trata con nmeros, variables o funciones, por citar algunos, todos ellos pueden ser considerados como objetos. Esos objetos son articulados entre s mediante relaciones, cada objeto es a su vez parte de una estructura ms amplia de objetos. Los procesos se componen de operaciones sobre esos objetos y transforman a los objetos mismos. Por ejemplo, toda funcin especfica puede ser considerada como un proceso que opera sobre nmeros: los transforma en otros nmeros y despus ser considerada como un objeto en s misma. Un objeto susceptible de transformaciones mediante otro proceso realizado sobre ella, como por ejemplo derivarla, integrarla o graficarla. Esta dualidad proceso - objeto parece estar en la base de la construccin de los conceptos matemticos.

De modo que la enseanza de las matemticas obtendra provecho de las investigaciones sobre el pensamiento matemtico y sobre las formas en que se concibe al conocimiento matemtico y a su construccin, si estas fuentes epistemolgicas fuentes sobre la construccin del conocimiento fuesen analizadas en detalle. En la enseanza usual, estos hechos suelen ser desconocidos tanto por los profesores como por los diseadores de currculo o los autores de libros de texto, de manera que con frecuencia se corre el riesgo de perder un amplio espectro de posibilidades para enriquecer la accin didctica. Un profesor que conozca estos asuntos, ser sensible al reconocimiento de la existencia de varias epistemologas: la epistemologa del profesor, la epistemologa del alumno o la epistemologa del saber. En este momento, quiz sea la visin ms extendida entre los profesores es aquella que consiste en asumir que los conceptos matemticos son entidades ya elaboradas y que slo deben ser comunicadas a sus alumnos, en una enseanza pulcra y libre de dificultades, olvidando que esos conceptos deben ser verdaderamente construidos por sus estudiantes como herramientas capaces de tratar con varias clases de situaciones.

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Una de las fuentes ms ricas para detectar dificultades y errores en el aprendizaje de los estudiantes, la constituye la experiencia de aula, pues nos permite percibir dificultades en la apropiacin de conceptos y procedimientos, de la socializacin de las prcticas y muchos otros factores presentes.

Uno de los objetivos de la enseanza escolarizada es tratar con conocimientos especializados. Se considera en general, que el profesor es el protagonista principal del proceso educativo y que el alumno se limita a aceptar pasivamente aquello que se le propone, sin tener una participacin activa en la construccin de lo que aprende. Hoy sabemos que los conocimientos as adquiridos se olvidan fcilmente y no quedan integrados en las estructuras lgicas de los alumnos ni parecen desarrollar su razonamiento matemtico. Como consecuencia, estos conocimientos, slo pueden ser utilizados en condiciones muy similares a las que fueron recibidos. Actualmente, se propone, como una forma de aprender significativamente, que el alumno reconstruya conceptos y procedimientos. Que el aprendizaje se base en la actividad creadora y en el descubrimiento de las nociones por parte del alumno, que sea l quien descubra y proponga formas de resolver los problemas. De esta manera, la funcin del profesor ser la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel ms activo en su propio proceso de apropiacin de un concepto, confirindole una mayor responsabilidad en el mismo.

Por otro lado, algunos profesores ensean matemticas igual a como est en el texto, es decir, limitndose a reproducir el contenido del mismo. En general, los libros que se utilizan en las clases, provienen de otros pases, responden a otros sistemas educativos y por tanto, la presentacin del contenido matemtico y el orden en que se lo propone distan de la cultura de nuestras clases. Esto provoca que la enseanza se convierta en una exposicin de contenidos sin atractivo para los alumnos, donde los ejemplos y ejercicios propuestos no son significativos ni cercanos a su realidad, lo cual trae aparejado, entre otras cosas, el rechazo a la clase de matemticas.

Quizs, fomentar el uso de textos escritos para nuestro sistema educativo, de aquellos que rescatan nuestro acervo cultural, nuestras problemticas, aquellos cuyo contenido y presentacin incentiven la creatividad del docente y de los alumnos, donde se favorezca la enseanza y el aprendizaje, sea un primer paso para la superacin de este problema.

Es por tanto relevante que las problemticas en el saln de clases sean abordadas a travs de investigaciones, contribuyendo as, al mejoramiento de su enseanza, respondiendo a la necesidad de una bsqueda permanente de democratizar los saberes que ella involucra.

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En general, se enfrenta a los alumnos a situaciones problemticas ficticias y sin relacin con otras ciencias, lo que trae aparejado una falta de inters, por parte de los mismos, al no poder percibir una justificacin para adquirir los conocimientos que se les estn enseando. Es pertinente entonces, reflexionar sobre el tipo de problemas que se les plantea a los estudiantes, cuntos de ellos estn basados en situaciones reales donde aparezcan las estructuras matemticas que se desean ensear?, se recurre a otras ciencias, que usan las matemticas, para que el aprendizaje tenga sentido para el alumno y que exista una motivacin para adquirirlo? Qu actividades se proponen para que los conceptos adquieran significado entre nuestros alumnos?

En ciertas ocasiones, el profesor presenta un problema, pero no destina suficiente tiempo a sus estudiantes para que ellos propongan soluciones y exploren posibilidades y, en consecuencia, no promueven el desarrollo del pensamiento matemtico entre sus alumnos.

Quizs al estar presionados por los tiempos institucionales, los profesores ocupados en desarrollar por completo una programacin temtica muy extensa prefieren, pese a que se plantean actividades de resolucin de tareas a los alumnos, reducir los tiempos de exploracin y debate en clase de matemticas. Cuntas veces, por ejemplo, se permite que los estudiantes lleguen a la solucin de un problema a travs de preguntas genricas como podran ser: qu hacemos?, ustedes qu piensan?, alguien tiene una idea distinta?, qu ocurrir si en vez de esto, hacemos esto otro? ...

En este sentido, es frecuente observar que el diseo de la clase no contempla como actividad habitual el que los alumnos argumenten sobre los conceptos que tratan o que directamente expongan sus propias ideas, menos aun que refuten las consideraciones de sus compaeros o de su profesor. Es as como se pierde el potencial que todo alumno posee para debatir en matemticas y en ciencia, se pierden los hilos de la argumentacin y sus ideas cotidianas no evolucionan hacia ideas cientficas. Esto tambin, como podr comprenderse, induce un comportamiento contemplativo en sus acciones de la vida diaria cuando tenga que defender sus creencias y, por tanto, se inhibe el desarrollo de una amplia gama de habilidades intelectuales.

De manera que al abrir un espacio en la clase de matemticas para que los alumnos expresen lo que piensan de algn concepto matemtico y que puedan refutar la opinin de sus compaeros se torna importante, digamos que fundamental en el desarrollo de su pensamiento en general y de su pensamiento matemtico en particular. Adems, este tipo de interaccin en el aula favorece el desarrollo del pensamiento crtico (Lpez, 1998) ya que se incentiva el que se ofrezcan alternativas de solucin de algn problema y que argumentando con base en ello se favorece el desarrollo intelectual de los alumnos.

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La mayora de los alumnos en sus clases de matemticas, memorizan y optimizan los conocimientos antes de que verdaderamente puedan integrar conceptos o procedimientos matemticos. En nuestra opinin, ello se debe a que no pueden de una vez y para siempre asimilar la compleja estructura de las matemticas mediante prcticas de memorizacin, perdiendo en consecuencia una visin de lo que "est detrs" de las definiciones y los procedimientos asociados a los conceptos y a las tcnicas de base de los alumnos, lo que implica un escaso aprendizaje pues no pueden aplicar los conocimientos adquiridos en la resolucin de ciertas tareas matemticas o extramatemticas. Es por ello que, al pretender ensear un concepto se debe favorecer las diversas miradas que puedan hacerse de los conocimientos y sus relaciones con los conocimientos previos a fin de que los conocimientos adquiridos anteriormente puedan ir formando una cierta estructura conceptual cada vez ms robusta y funcional.

En trminos generales, la enseanza no recurre a las estrategias de visualizacin como una actividad con estatus matemtico y los conceptos se manejan de manera ms bien formal para despus ser fundamentados al seno de una estructura. El conocimiento matemtico es, entonces, presentado en forma abstracta sin conexin emprica, lo que hace en los alumnos una serie de dificultades profundas que inhiben los aprendizajes. En muchos casos, se introducen conceptos dando una prioridad excesiva al marco algebraico o al numrico, dejando de lado el manejo de significados en los dominios grfico e icnico. Todo ello suele apoyarse en una creencia ampliamente difundida que coloca a las estrategias algebraicas en el terreno de lo fcilmente enseable, y en consecuencia, se concibe, como una buena forma de facilitar la apropiacin de conceptos.

Pensamos que resulta conveniente utilizar ms la visualizacin en las clases de matemticas con la intencin de favorecer diversas formas de representacin tanto de ideas como de conceptos y lograr con ello explorar otros tipos de argumentaciones.

Con frecuencia el trabajo en clase es realizado de manera individual, y en general, se pide a los estudiantes que no compartan sus experiencias o sus resultados. Creemos que esto favorece una visin limitada de la diversidad de tratamientos en la resolucin de problemas, perdindose as, una gran oportunidad de desarrollar conocimientos y estrategias para enfrentarse a situaciones cada vez ms complejas. Por esa razn cada vez es ms necesario, desarrollar estrategias de enseanza basadas en la cooperacin, una propuesta que se torna interesante es la del trabajo en equipo para que los estudiantes estn en mejores condiciones de reforzar sus conocimientos y compartir visiones sobre las actividades matemticas.

Uno de los errores ms frecuentes que se observa cuando se introducen las expresiones algebraicas al seno del aula, es que los alumnos extienden las operaciones numricas que ya

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dominan, aplicndolas a estos nuevos entes que se les presentan. Por ejemplo, no es extrao encontrar expresiones matemticamente errneas como:

25x - 3 = 22x,

o bien que

5xy 3x = 2y

En donde es posible percibir que los alumnos tratan a las expresiones buscando dar un cierto sentido, coherencia, pues consideran a las literales como etiquetas de objetos concretos y ello les hace operarlas como si fueran nmeros.

Otra dificultad que suelen presentar los alumnos al manipular expresiones algebraicas, trata de la eliminacin de parntesis. Consideremos el ejemplo siguiente que un alumno ha dado ante la tarea de desarrollar la expresin algebraica 8x - 3x (4 + x).

l propone que 8x 3x(4 + x) = 5x(4 + x). Por qu lo ha hecho de este modo? Se podra pensar que est leyendo de izquierda a derecha del mismo modo en que se ha acostumbrado al leer sus textos escolares: "ocho equis menos tres equis por cuatro ms equis". Opera en consecuencia como el interpreta la lectura. Quizs por esta razn, algunos alumnos no puedan percibir que 3 (x + 7) sea igual que (x + 7) 3 a pesar de que ese sea un tema de enseanza al tratar con las propiedades como la propiedad distributiva. Sin embargo, debemos reconocer que entre las respuestas de los estudiantes siempre hay muestras de razonamientos plausibles, independientemente de que sus respuestas sean correctas o falsas.

De otra ndole son las dificultades que se presentan ante problemas con palabras, enunciados verbales que precisan de tratamiento y codificacin de registros de representacin. En estos temas, los docentes suelen encontrar muchas dificultades al pretender comunicar eficazmente a sus alumnos las estrategias y las tcnicas de base a sus alumnos. De parte de los estudiantes se dificulta la interpretacin y el tratamiento de la palabra escrita que el problema plantea.

En trminos generales, los estudiantes hacen una especie de traduccin frase por frase y suelen exhibir dificultades para reconocer las estructuras del problema. El tratamiento de las relaciones entre las variables involucradas, no puede en nuestra opinin, reducirse al mero ejercicio de traduccin, sino que por el contrario, requiere de un verdadero tratamiento y conversin de objetos con mltiples significados.

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Normalmente, los estudiantes muestran una de las mayores dificultades cuando tratan de resolver problemas matemticos planteados verbalmente, esto es, problemas que usan a la lengua natural o el lenguaje cotidiano para comunicar tanto su consigna como sus datos, ese tipo de situaciones requiere de una lectura comprensiva y de una reflexin sobre la totalidad del problema, en vez de tratar con datos aislados. Al leer el problema, pueden no diferenciar los datos relevantes de los accesorios o bien, pueden tropezar al convertir la frase en una formulacin simblica propia de las matemticas. En trminos generales, los estudiantes y en repetidas ocasiones los textos escolares, reducen el tratamiento de los problemas con palabras al asunto de la traduccin directa de las frases a la simbologa matemtica, lo que conduce a encontrar ocasionalmente ms variables que las verdaderamente necesarias para resolver el problema. Lo que ocasiona que no logren establecer relaciones entre las variables y se extraigan entonces ecuaciones equivocadas.

En los libros de texto se proponen, como ejercicios para introducir este tema, enunciados que representen cantidades o relaciones entre cantidades para que sean expresadas en el lenguaje matemtico. Por ejemplo, La suma de 2 nmeros impares consecutivos, Un nmero es 4 unidades mayor que otro, El largo es el triple del ancho, La suma del cuadrado de 2 nmeros, La diferencia de 2 nmeros es 20. En general, puede observarse que este proceso da comienzo al tratamiento de las representaciones para con ellas, favoreciendo el abandono del contexto de partida en el que fue planteado el problema. Se espera que despus de realizar operaciones pertinentes, se est en condiciones de volver al escenario original e interpretar ah la respuesta construida. Sin embargo, la potencia del lgebra respecto de su vinculacin con otros marcos como el numrico, grfico e icnico, normalmente no se explota a plenitud.

As mismo, cuando se aborda el tratamiento de las fracciones, se observa que a pesar de que stas se introducen en la enseanza de la aritmtica al nivel de la educacin bsica, los estudiantes tienen dificultades con su manejo, las cuales se heredan al tratamiento algebraico, trigonomtrico o variacional. Es usual encontrar respuestas incorrectas como las que exhibimos a continuacin:

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21

53

38

371

Es fundamental entonces, reflexionar sobre la necesidad de la investigacin como mtodo para modificar los contenidos de enseanza a los procesos de aprendizaje.

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De la aproximacin socioepistemolgica a la prctica educativa

Ensear a un alumno es una tarea simple, pero ensear a treinta millones de alumnos es una labor sumamente compleja. El reto que nos proponemos con este libro, es brindar una forma de encarar los problemas del aprendizaje al nivel del sistema escolar y no exclusivamente en el mbito del aprendizaje individual o de la investigacin clnica. En este sentido estamos pasando de la investigacin a la realidad del aula y es por ello que no podremos limitar nuestras propuestas al diseo bien estructurado de ideas novedosas, sino a un verdadero rediseo del proceso educativo sobre bases nuevas.

Segn datos de la Secretara de Educacin Pblica de Mxico, en el ciclo escolar que inici en septiembre del 2008, se matricularon al sistema nacional de educacin, casi 24,000,000 de alumnos distribuidos de manera que 25,600,000 se encuentran en educacin bsica; casi 3,924,000 en la educacin media y cerca de 2,705,200 en la educacin superior. Del total de los estudiantes que se encuentran en la educacin superior, el 93% corresponde con el grado superior y el 7%, se encuentra estudiando posgrado.

A pesar de la diversidad de instituciones y de la amplitud temtica, la matemtica es enseada a la totalidad de los estudiantes de secundaria. En trminos generales se estudia a la matemtica divida en 3 grandes ejes, sentido numrico y pensamiento algebraico, manejo

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de la informacin y forma espacio y medida. El mtodo de enseanza suele ser el expositivo y este se hereda desde el siglo diecinueve, cuando se consolid el sistema de enseanza simultnea, que presupone que los estudiantes de una clase estudian los mismos contenidos en los mismos periodos, en oposicin de la enseanza personalizada. Este cambio en la metodologa de enseanza trajo aparejado nuevos sistemas de seleccin del alumnado y en consecuencia una nueva funcin para las matemticas en la escuela: la seleccin de los alumnos.

Datos del sistema educativo muestran, en general, que de cada cien estudiantes que ingresan a la primaria slo nueve alcanzan una habilidad terminal.

Una radiografa del sistema educativo mexicano

40

13

4

2tcnicos

6Tcnico medio

10

4

5licenciados

9Licenciatura

25Bachillerato

1

2maestros

3Normal

53Secundaria

100Primaria

Esto significa que de cada cien que ingresan a la educacin primaria, cuarenta son excluidos a causa de razones de tipo socioeconmico y tambin por razones de seleccin acadmica. De esos cien slo cincuenta y tres ingresan a secundaria, trece son excluidos en el proceso y slo veinticinco pasan al bachillerato, seis ingresan a escuelas para la formacin de tcnicos medios y tres van a la educacin normal. De estos, slo dos devienen tcnicos y otros dos ms sern maestros, de los 25 que ingresaron al bachillerato slo nueve ingresan a una licenciatura y de ellos cinco la concluyen; en este sentido, los dos egresados de una formacin tcnica, los dos egresados de una formacin magisterial y los cinco egresados de una licenciatura son los nueve que alcanzan una habilidad terminal.

Normalmente, desde una ptica tradicional, suele creerse que los sistemas educativos y particularmente en lo que concierne a la enseanza de las matemticas son, por decirlo de algn modo, neutros, pues dispensan la misma informacin en los mismos tiempos a todos los estudiantes del pas. Sin embargo eso parece estar cada vez ms en entredicho, pues en la medida en que se conoce la existencia de los profundos desequilibrios entre regiones y entre

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estratos socioeconmicos o atendiendo a la diversidad tnica, se acepta como consecuencia que la exclusin afecta ms a los ms desfavorecidos.

Como una de tantas inercias que acompaan a las prcticas escolares, hemos asumido como smbolo de bienestar acadmico el que los porcentajes de desercin y reprobacin escolar sean moderadamente pequeos y en esa medida identificamos al progreso con su abatimiento. Sin embargo, quienes miren de cerca las acciones de enseanza e investigacin saben que es posible permanecer en la escuela y acreditar las asignaturas con notas relativamente altas, sin haberlas legtimamente aprehendido. Ahora bien, aunque el objetivo de una tasa pequea tanto en la desercin como en la reprobacin sea deseable en todo sistema de enseanza, claramente no es suficiente; pues una vez que sta se ha alcanzado el nuevo y urgente reto debe centrarse en la mejora de la densidad y calidad del aprendizaje de nuestros estudiantes de una manera uniforme.

Partimos de la consideracin de que la labor del profesor de matemticas debe ser considerada desde la perspectiva de una actividad profesional. En este sentido, el debe participar en los procesos de perfeccionamiento profesional de manera permanente, en ellos proponemos contemplar tres ejes principales que pueden concebirse como una posible respuesta a las cuestiones siguientes: Cules son los conocimientos base para la enseanza del profesor de matemticas? Un complejo integrado de conocimientos tericos, creencias y actitudes. De qu manera un profesor puede aceptar como un conocimiento til, el aprender a ensear, el aprender a observar procesos de aprendizaje y el aprender a aprender?

Tradicionalmente, la atencin de los investigadores se trasladaba hacia el papel desempeado por el pensamiento del profesor como posible fundamento de la conducta. En los ltimos aos las investigaciones intentan proporcionar una nueva perspectiva desde la que se contempla el papel del profesor en el proceso de enseanza aprendizaje. Las investigaciones se centraron en analizar las caractersticas de lo que pudiera fundamentar las decisiones y acciones del profesor. El conocimiento, las creencias y las actitudes y los valores, as como la relacin entre el conocimiento y la accin. Por otro lado, el proceso de preparar matemticas para los estudiantes puede describirse desde diferentes puntos de vista y con marcos tericos diferentes. Tambin, involucra la cuestin de resolver los problemas de justificacin, posibilidad e implementacin (preparacin de lo requerido para hacer posible la enseanza de un tema matemtico dado, sujeto a las restricciones impuestas por la sociedad, sistema escolar, calificacin de maestros, etc.) del contenido matemtico como una accin necesaria en el proceso. Resolver estos problemas requiere del dominio terico y prctico as como de un ataque simultneo, no lineal.

Encontramos diversas explicaciones al proceso desde lo que la tradicin alemana llama con el concepto de elementarizacin; esto es, la transformacin activa del contenido matemtico a

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formas ms elementales con una doble significacin: ser fundamental y accesible para los grupos de estudiantes que lo reciban (Biehler R. et al. (Eds). 1994 pp.11). O bien desde la tradicin francesa con la teora de la transposicin didctica la que describe el proceso ineludible y las variables que intervienen en el paso del conocimiento cientfico a conocimiento susceptible de ser enseable y al enseado realmente, por ejemplo: la definicin de funcin, presente en los textos, conocida como la definicin formal se constituye como uno de los conocimientos escolares a ser enseado y aprendido. Su justificacin o validacin (como conocimiento enseable) se da a partir del consenso de la comunidad matemtica (investigadores y profesores) que la ha adoptado para referenciar al concepto. Este conocimiento cientfico socializado al que Chevalard se refiere como conocimiento erudito (acadmico) que al ser validado como conocimiento enseable genera tradiciones educativas dndose el fenmeno de transposicin (Chevallard Y., 1991) en donde los factores que determinan las sucesivas modificaciones que sufren los resultados cientficos hasta llegar a ser conocimientos enseables atienden a los reclamos e ideologas de la sociedad y administracin del tiempo institucional, lo que da lugar a la presentacin del contenido matemtico en forma lineal y organizado en compartimentos con una marcada carencia en significaciones. Ese conocimiento enseable no considera dificultades epistemolgicas ni cognitivas intrnsecas; menos an las del estudiante para acceder a l. A la luz del fenmeno de la transposicin didctica de los saberes, se desprende el carcter ilusorio de los desarrolladores de curriculum quienes tienden a pensar que sus decisiones son objetivas en tanto que son elecciones deliberadas, olvidando ellos mismos que son parte del fenmeno.

Hay tambin algunas revisiones puntuales de los resultados de las reformas curriculares en los EUA (Fey J., 1994), dnde se hace un llamado al uso de acercamientos eclcticos para enfrentar esta problemtica, toda vez que la diferencia entre las declaraciones de los estndares de la NCTM y los resultados educativos reales es considerable. Mientras que unos dicen lo que desean los otros exhiben lo que obtienen. Otro caso interesante, es el concerniente a los esfuerzos renovadores en la Alemania del Este y Austria (Tietze U., 1994) que concluye, despus de un anlisis cuidadoso de diferentes reformas, en el caso particular del clculo, en las cuales la intencin de establecer ideas fundamentales que subyacen o soportan al desarrollo curricular es en extremo limitado para incidir en los sistemas escolares reales. Sus trabajos se perfilan hacia currculos ms sencillos (como la preparacin de una clase), pero con un conocimiento ms completo de las interrelaciones que se dan en el hecho educativo, como creencias, saln de clase, cognicin y metacognicin, tanto de profesores como de estudiantes.

El escenario descrito anteriormente, se extiende hacia el terreno nacional con las especificidades que impone nuestra propia tradicin educativa. En este sentido, nuestra propuesta se plantea iniciar de la proclama de una investigacin para la accin. Hemos

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planteado hace unos aos la cuestin de qu matemticas deberamos ensear en la escuela?, as como establecer los elementos que habran de ponerse en juego para determinarla, y en su momento y esta sigue siendo una pregunta vigente - sobre el cmo podramos llevar pertinentemente nuestros resultados al sistema de enseanza. Para ello hemos acuado la expresin de discurso matemtico escolar, a fin de describir a los saberes en el escenario educativo y abrir la posibilidad de hacer matemticas para la escuela. Esta nocin, para ser coherentes con la proclama, precisa de una accin de rediseo que atienda fundamentalmente a los reclamos de un sistema de enseanza masificado especfico, lo que debe ocuparnos, es el redisear el discurso matemtico escolar de manera que enfrente al problema de la masificacin y no que lo soslaye.

Usamos para el diseo de las actividades a la ingeniera didctica, que constituye una metodologa de investigacin de intervencin que se aplica tanto a los productos de enseanza basados o derivados de la investigacin como a una metodologa de investigacin para las experimentaciones en clase. Su sustento terico proviene de la teora de la transposicin didctica y de la teora de las situaciones didcticas1 de ambas se desprende la necesidad de dotar al estudio del fenmeno didctico de un acercamiento sistmico, con la primera se alcanza una dimensin global, en tanto que la segunda es de carcter local. En ese sentido la preparacin de matemticas para estudiantes no es un proceso de elementarizar el conocimiento en cualquier sitio, ni adaptarlo a un conocimiento previo y habilidades cognitivas del estudiante. Se le percibe como una tarea didctica que requiere un mayor anlisis global de carcter sistmico (Artigue, 1990).

El trmino de ingeniera didctica surge a inicios de la dcada de los 80's en analoga al quehacer en ingeniera, en tanto que ste no slo se realiza apoyndose en resultados cientficos, involucra tambin una toma de decisiones sobre las diversas componentes involucradas en el proceso. Los fines de una ingeniera didctica pueden ser tanto de investigacin como de produccin. Un aspecto relevante es el concerniente a la validacin de resultados, que en el caso de la investigacin descansa en un asunto interno basada en la confrontacin entre el anlisis a priori de la situacin construida y el anlisis aposteriori de la misma situacin, bajo el principio de que la conducta del estudiante slo puede ser entendida si sta es relativa a la situacin observada, esta situacin y su potencial cognitivo deben ser caracterizados de antemano comparando el anlisis apriori con lo observado. Esta posicin de validacin slo puede tener lugar si las situaciones que involucran la ingeniera son

1 La teora de situaciones didcticas introducida por Guy Brousseau (Brousseau, 1986). Basada en una aproximacin constructivista, opera bajo el principio de que el conocimiento se construye a travs de la adaptacin a un ambiente que, al menos en parte, aparece problemtico al sujeto. Provee de una teora para el control de situaciones de enseanza en su relacin con la produccin matemtica del conocimiento. Los sistemas didcticos considerados distinguen tres componentes mutuamente interrelacionados, a saber, el maestro, el estudiante y el conocimiento.

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estrictamente controladas en lo relativo a los contenidos tratados, su puesta en escena, el papel del profesor, la administracin del tiempo, etc. En tanto que la validacin de una ingeniera de produccin satisface las condiciones clsicas del trabajo de ingeniera, a saber, efectividad, potencia, adaptabilidad a diferentes contextos, etc.

Esta metodologa contempla tres grandes fases: un anlisis preliminar de la situacin a abordar involucrando las componentes didctica, es decir, acerca del estado de la enseanza; la componente epistemolgica en tanto da explicacin del devenir del contenido matemtico en juego, as como su funcionamiento y diversas formulaciones; y la componente cognitiva de la poblacin que va a ser sometida a la ingeniera. Una segunda fase la constituye el diseo de la ingeniera as como la eleccin de las variables macro y micro didcticas que van a ponerse en juego (por ejemplo, determinacin del tratamiento del contenido, incorporacin de estrategias de resolucin de problemas, uso de tecnologa y cmo, manera de conducir la clase, textos a usar, etc.). Finalmente la puesta en escena y anlisis de resultados.

Esta metodologa, falible por cierto, nos ha parecido coherente en tanto que toma en cuenta la naturaleza eminentemente social del fenmeno educativo y por ende su acercamiento integral, sistmico. De paso se reconoce que la investigacin en el aula no puede desligarse de la situacin especfica ni de los personajes que intervienen en ella, revalorizando el papel protagnico del profesor. Lo que no nos conduce a su adopcin global, hemos de considerarla como parte de nuestra reflexin al proponer nuestros propios acercamientos.

En lo que sigue presentaremos una serie de ejemplos que den cuenta de la evolucin de las problemticas abordadas en matemtica educativa en diferentes momentos (no cronolgicos, sino conceptuales) que hemos llamado, una didctica sin alumnos, una didctica sin escuela, una didctica sin escenarios y una didctica en escenarios socioculturales a partir de los cuales es posible percibir la introduccin de la perspectiva socioepistemolgica.

Una didctica sin alumnos La problemtica clsica en matemtica educativa se ocup de disear presentaciones del contenido matemtico escolar que se consideraban ms accesibles para los alumnos y para los profesores que aqullas otras presentaciones llamadas tradicionales. Se asuma que una presentacin mejor adaptada a la escuela y a sus agentes podra ser construida slo con la reflexin del profesional de la matemtica. Siguiendo esta lnea, se produjeron libros de texto y materiales educativos sin tomar en consideracin sistemticamente otros factores como aquellos de naturaleza cognitiva o afectiva o bien los relativos a las cuestiones socio culturales del conocimiento. Se buscaba producir aquello que la escuela habra de consumir, sin estudiar a profundidad la cultura escolar.

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Un ejemplo clsico de este enfoque lo constituye la propuesta de aproximacin del rea de una figura plana mediante particiones cada vez ms finas. Se proponan a los estudiantes diversas actividades de enseanza para estimar el valor de un rea dada, como por ejemplo el rea que contiene la figura siguiente.

Se propona introducir una cubierta formada por elementos cuya rea es conocida. Por ejemplo, un rectngulo de lados 3 y 6 cm.

De este modo, el rea buscada sera menor que 63 cm2. Luego si el rea buscada se denota como A cm2, se cumple entonces con la relacin 0 A 18. A continuacin refinaban la aproximacin y dividan, por ejemplo, en cuadrados unitarios. Seis a lo largo y tres a lo alto, contando el nmero de cuadrados en los que quedaba la figura contenida y el nmero de los que quedaban completamente dentro de la figura. Se propona por ejemplo 4 A 18. Se continuaba refinando la aproximacin por iniciativa del docente, y se obtena nuevas y mejores aproximaciones de manera que la sucesin a1, a2, a 3, ... y la b1, b 2, b 3,... de aproximaciones sucesivas satisfacan las siguientes relaciones:

a1 A b 1 a 1 a 2 A b 2 b 1 a 1 a 2 a 3 A b 3 b 2 b 1 a 1 a 2 a 3 a 4 A b4 b 3 b 2 b 1

A

A

3 cm. 6 cm.

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En este proceso, el estudiante no quedaba al cargo del proceso, si acaso slo de su ejecucin. Debido a la naturaleza de la construccin que hemos descrito se sabe que, matemticamente, el lmite de las sucesiones an y bn es, en ambos casos, A, de modo que el proceso de aproximacin, conducira, por una especie de sensualismo didctico, al convencimiento entre los estudiantes de que tal lmite existe y de que las concepciones que ellos y ellas tengan sobre lo qu es el rea y sobre lo que significa representarla mediante aproximaciones, ya sea por exceso o ya por defecto, no produciran dificultades mayores para los profesores al momento de pretender desarrollar esto en sus clases.

Recientemente, a partir de estudios de naturaleza cognitiva, se reporta que los estudiantes tienen mayores dificultades para aproximar las figuras por exceso, que cuando lo hacen por defecto. Era necesario entonces, modificar y ampliar la problemtica de estudio en la matemtica educativa al incluir explcitamente al aprendizaje del alumno como factor central del diseo curricular y para el desarrollo de la instruccin en una clase habitual de matemticas.

Del mismo modo, estas aproximaciones didcticas sin alumnos, hicieron evidente la necesidad de atender aspectos, hasta entonces transparentes para los matemticos educativos, como el papel que desempean las acciones del profesor en los actos de aprendizaje de sus alumnos, o la forma en que los dilogos intervienen en los procesos de desarrollo del pensamiento. De ah que paulatinamente se hayan incorporado estudios sobre el pensamiento del profesor para dar cuenta de las formas en que el docente conduca un cierto proceso de negociacin del significado con sus alumnos. La problemtica aunque haba sido modificada, no haba sido completamente estudiada.

Una didctica sin escuela Hacia la dcada de los 80s se present en la International Conference of Mathematics Education (ICME 4) un programa de accin en torno del cual se desarroll paulatinamente nuestra disciplina. Ello se expres a partir de planteamientos como aquel del profesor Freudenthal al someter a consideracin preguntas como la siguiente: Cmo aprenden las personas? y cmo podemos aprender a observar procesos de aprendizaje? En nuestra opinin, ello dio pie a un nuevo paradigma de investigacin que modificaba su objeto y su mtodo de estudio. Ello ha derivado en una aproximacin cognitiva a la investigacin que realiza observacin y descripcin sistemtica de los logros de los estudiantes y de las diversas experiencias de aprendizaje.

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Por supuesto una de las pretensiones de esta aproximacin fue el que estos estudios cognitivos, en tanto dieran explicacin de cmo se aprende matemticas, pudiesen dar pautas (o al menos aproximaciones) para la articulacin de los principios que subyacen a los futuros diseos curriculares.

En esta perspectiva y para el caso de las matemticas escolares del nivel universitario, uno de los primeros y muy representativos estudios fue el contenido en (Tall y Vinner, 1981). En l se introducen y desarrollan trminos como imagen del concepto y definicin del concepto. Se dice entonces que el estudiante para definir si un objeto matemtico dado es un ejemplo un contra ejemplo de un concepto no decide necesariamente sobre la base de definiciones aprendidas, sino con relacin a la imagen conceptual que ha sido forjada al filo de su experiencia y que representa la total estructura cognitiva asociada con el concepto que incluye todas las imgenes mentales, propiedades asociadas y procesos. As los estudiantes pueden dar una definicin conjuntista de la nocin de funcin (definicin del concepto) y negarse a reconocer como una funcin a una relacin funcional definida por dos expresiones algebraicas diferentes sobre dos intervalos: una funcin dada por dos frmulas. De la misma forma, pueden negarse a considerar como iguales a funciones matemticamente equivalentes pero definidas por procesos diferentes. Ello a causa, segn se deca, de que su imagen conceptual de una funcin estaba ligada a su representacin algebraica nica.

Para dar una explicacin del porque los alumnos dan respuestas diferentes y contradictorias de un mismo problema, D. Tall y S. Vinner introdujeron la nocin de conflicto cognitivo potencial. El trmino potencial significa que dos concepciones contradictorias no son necesariamente activadas de manera simultnea, los conflictos cognitivos resultado de la incoherencia de la red pueden incluso no aparecer. Uno de los ejemplos clsicos en la literatura consisti en dos ejercicios propuestos en una misma hoja a estudiantes que terminan el bachillerato que inician la universidad, darn lugar a respuestas matemticas contradictorias sin que esta contradiccin sea percibida por los alumnos:

- compare los nmeros 0.999 y 1 - calcule la suma de la serie (9/10 9/100 9/1000 ) En el primero de los casos, la respuesta mayoritaria es: 0.999... 1 y se acompaa de diversos tipos de justificacin producto de una visin de la escritura decimal ilimitada: al escribir 0.999999 no se detiene jams con la escritura, entonces debe ser inferior a uno, asimismo al tener una visin infinitesimalista se dice: es infinitamente prximo a 1, pero no es igual al 1, justo antes, debe ser el ltimo nmero antes de 1. En el segundo caso la respuesta mayoritaria: 1, se obtiene por activacin del procedimiento de clculo de la suma de una particular serie geomtrica.

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Este tipo de estudios proporcionaron una herramienta til y eficaz para estudiar el comportamiento cognitivo de los estudiantes ante algn tipo de tareas matemticas; empero creemos que el desempeo de los alumnos no puede reducirse a la dimensin cognitiva. Pues las relaciones que ellos mantienen con los objetos matemticos estn condicionadas por las representaciones que se forjan ms globalmente sobre los que es la actividad matemtica, de sus ideas de lo que es el aprendizaje de las matemticas, de su posicin con relacin de las matemticas y ms globalmente incluso, de su status como alumno.

De modo que la forma en la que vive una situacin de enseanza y sus producciones matemticas en ese contexto son condicionadas por las caractersticas de la costumbre didctica. Su comportamiento cognitivo en el seno de la institucin escolar puede ser entendido de una manera muy diferente a aquella que brinda su comportamiento cognitivo. La vida en las instituciones matiza los procesos del pensamiento. El trmino institucin, podemos tomarlo en un sentido amplio: la familia, la clase, la escuela, el sistema educativo, el ambiente social constituido tambin por otro tipo de organizaciones humanas. Las interpretaciones en trminos de concepciones para hacer observaciones de alumnos no son necesariamente las nicas pertinentes ni las ms pertinentes. Se les debe concebir como las interpretaciones posibles susceptibles de competir con otras dentro del anlisis de fenmenos didcticos.

Una didctica en la escuela; pero sin escenarios Otra forma de abordar los problemas la constituyeron las aproximaciones sistmicas que han intentado analizar los fenmenos didcticos tomando en cuenta la complejidad del sistema en donde suelen considerarse distintos polos: el del saber, aqul de quin aprende y el de quin ensea en un medio determinado. Tratando de esclarecer sus relaciones mutuas a fin de explicar los diversos fenmenos didcticos que se suceden en el hecho educativo.

Consideremos el ejemplo de los estudios de convergencia de series infinitas. En (Farfn, 1997) se desarrolla un examen que busca significar al concepto de convergencia de series infinitas con aproximaciones novedosas, con el fin de encontrar una veta en la asociacin de la nocin de convergencia con el estudio cientfico de la propagacin del calor. El fenmeno de la propagacin del calor fue una cuestin tratada tanto por la Mecnica Racional como por el Anlisis Matemtico durante el siglo dieciocho y a el cual no dieron en su momento una respuesta definitiva.

Para robustecer el aporte sistmico que no limitara las cuestiones del aprendizaje a los procesos mentales, se consider pertinente hacer un estudio del tratamiento del clculo algebraico en la poca, haciendo nfasis en los procedimientos heursticos comnmente

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utilizados. Al lado de este desarrollo, se buscaba localizar el surgimiento institucional de la ingeniera matemtica sobre la prctica tradicional y desentraar el papel sustantivo que esa institucin de educacin superior, la cole Polytechnique, tuvo para consolidar una tradicin educativa, un paradigma del saber y una institucionalizacin de las prcticas sociales.

As pues, el problema matemtico que ocup entonces las investigaciones en matemtica educativa del nivel superior fue el de estudiar la nocin de convergencia de series infinitas en los ambientes fenomenolgico que les dieron origen, particularmente aquel referido a la conduccin del calor en estrecha relacin con la ingeniera. Todo ello arroj informacin didctica pertinente en virtud de que la conjuncin de diversas variables que rebasaba las cuestiones propiamente mentales y abra el camino al estudio sistemtico de la formacin del conocimiento desde una perspectiva social. El desarrollo del clculo algebraico y el surgimiento de la ingeniera en el siglo XVIII, resultaron segn este programa una materia prima fundamental para el desarrollo de estrategias didcticas para los sistemas educativos contemporneos.

Segn se obtuvo del examen de la obra de Biot, se reconoca que antes de la formulacin formal del conocimiento matemtico, ser precisaba de una experiencia que se diriga hacia la medida y la experimentacin, para que con base en clculos se desecharan las explicaciones del fenmeno mediante nociones como el calrico. Para ello haba que hacer uso de las indicaciones suministradas por termmetros, obtenindose as la primera ecuacin diferencial que rige al fenmeno. Esto abri la posibilidad de articular las clases de matemticas con las de ciencia y pensar de nueva cuenta la cuestin del desarrollo del pensamiento matemtico de los estudiantes con base en aproximaciones sistmicas.

De paso estas investigaciones permitieron la reconstruccin de conceptos del anlisis matemtico, como los de funcin, expresin analtica, el continuo real, as como la interpretacin fsica de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, y se dio inicio al estudio de la convergencia de series infinitas, pilar fundamental del Anlisis Matemtico moderno. Como resultado de estos estudios se concluy en una reformulacin de las hiptesis de investigacin, se deca entonces que,

...para la construccin de la nocin de convergencia de series infinitas, se precisa de un ambiente fenomenolgico estrechamente relacionado con la estabilidad de sistemas fluidos. De suerte tal, que determinar el estado estacionario del sistema conduce, necesariamente, a un estudio de la convergencia de una serie trigonomtrica infinita... (Farfn, 1997).

Una vez determinada la fenomenologa intrnseca del concepto de convergencia en su gnesis, se diseaba un apropiado montaje experimental a fin de estudiar los procesos

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implementados por grupos de profesores de matemticas del nivel universitario involucrando problemas fsicos, similares a los abordados por Fourier y, por otro, los planteados en un contexto matemtico. Se retomaron experimentos a fin de analizar las ideas intuitivas que sobre la conduccin del calor poseen los profesores, as como aspectos referidos a la representacin matemtica del fenmeno. Se realizaron exploraciones con diversos propsitos: sobre la definicin de convergencia y acerca del lmite de una serie de funciones, dada por Abel en 1826. Estos profesores participaron en una experiencia de investigacin y enseanza controladas a lo largo de periodos ms amplios que aquellos usados en los primeros aos de la investigacin en matemtica educativa. En el caso que ahora se reporta, se trabaj durante dos aos y medio ininterrumpidamente buscando ambientar de mejor manera los acercamientos propuestos.

De los resultados de esa experiencia en el contexto fsico, observamos que si bien la primera intuicin sobre el fenmeno es perceptible, esto no ocurre con sus representaciones grfica y analtica, pues se obtuvieron casi tantas representaciones como respuestas. En realidad, al pedir una representacin grfica estbamos exigiendo un manejo verstil sobre una produccin cultural que vincula los contextos fsicos con los geomtricos, cosa inusual en la enseanza contempornea. En el contexto fsico por ejemplo, ha de tenerse una clara referencia para distinguir lo que vara respecto a qu es lo que produce tal variacin2 para, enseguida, predecir cundo la variacin que subsiste ha llegado a un estado estable. Esa prediccin es la determinacin del estado estacionario al que se aproximan los diversos estados en donde, para cada uno, se tiene determinada su evolucin. Precisar la relacin existente entre evolucin del fenmeno para cada tiempo y prediccin fue lo que se les requiri a los profesores; en realidad, estuvimos pidiendo que reconstruyeran la sntesis del intelecto de Fourier en esta tarea de representacin.

El estudio de Fourier va precedido de un anlisis cualitativo y emprico del fenmeno fsico en cuestin, de la intuicin acerca de la certeza sobre la convergencia de la solucin, ligada a la naturaleza propia del fenmeno (la temperatura no es infinita). Y sobre ello hace descansar sus posteriores desarrollos analticos anteponiendo, as, el contexto fsico al geomtrico y al algebraico, haciendo uso en este ltimo de habilidades matemticas propias de la poca,

2 Esto, sin ser precisamente lo mismo, se vincula a un obstculo epistemolgico reportado en Sierpinska (1992) referido a un esquema inconsciente de pensamiento... se observan los cambios como fenmenos, enfocando la atencin sobre cmo cambian los objetos, ignorando qu cambia... (op. cit., p. 36). Sierpinska alude al trabajo de Aristteles en donde su atencin se enfoca en cmo los objetos pasan de un estado a otro, y en encontrar una definicin de cambio, as como en establecer las categoras de ellos... En su Fsica, libro III, captulo i, Aristteles define "movimiento de cambio" como una actualizacin de un estado potencial y dice que "existen tantas clases de movimiento de cambio como clases de ser". Sus ejemplos de movimiento de cambio son: cambio cualitativo, incremento y decrecimiento, rotacin, maduracin y envejecimiento. Estas denominaciones describen la naturaleza del cambio como una variable que pasa de un posible valor a otro. Sin embargo Aristteles no se interes en la variable misma, no centr su atencin en mtodos y medios para medir sus cambios...( ibid. p.36).

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ajenas a nuestras tradiciones educativas. No obstante, el estudio de problemas fsicos actuales planteados por la ingeniera requiere del anlisis cualitativo y de una representacin adecuada. De ah la importancia de estudiar el contexto fsico a fin de procurar un acercamiento fenomenolgico que posibilite futuros diseos didcticos en contextos afines a la ingeniera en las diversas especialidades que lo propicien.

Nuestra hiptesis inicial de trabajo radica en que es indispensable, para la construccin de un concepto matemtico, la significacin que le dio origen; en este caso, es la determinacin del estado estacionario lo que propici dicha construccin. Sin embargo, este concepto fsico no es producto de la primera experiencia sensible; baste decir que la humanidad conoce, requiere y manipula el calor desde tiempos remotos, en tanto que su estudio cientfico se inicia con el siglo XIX, poco despus de la publicacin de la Mecnica Celeste de Laplace. Es decir, se ha estudiado la naturaleza del espacio que circunda el globo terrestre antes de dar cuenta de un fenmeno vital para la vida humana. Ello no es gratuito, la abstraccin requerida para la adquisicin del concepto fsico involucrado representa una tarea cognitiva de las ms complejas. Nadie se atrevera a levantar una olla que contiene agua en ebullicin sostenindola por su base: esta decisin es producto de la intuicin primitiva (casi instintiva). Pero, podr admitir que, siendo el flujo de calor constante (no hay aumento de temperatura), las temperaturas en los puntos difieran?... es tanto como admitir variabilidad dentro de lo estable. Esto ltimo no se deriva de la experiencia sensible, sino de una profunda reflexin del fenmeno para lo cual se requiere de un amplio repertorio de habilidades no cultivadas en el mbito escolar. De lo que se desprende la obligatoriedad de desarrollar la intuicin ms all de lo sensible, como una etapa previa, antes de significar nuestro particular concepto matemtico. En sntesis el tipo de estudio epistemolgico que realizamos nos proporcion la explicacin que niega, parcialmente, nuestra hiptesis de partida, a saber, si bien es cierto que el concepto surgi en el mbito de la determinacin del estado estacionario; ste no resulta propicio para recrearse en el aula pues resulta ser ms complejo que aqul que deseamos introducir. Esto ltimo nos indujo al estudio socioepistemolgico en las diversas formaciones profesionales de nuestro sistema educativo.

Una didctica en escenarios socioculturales Como lo reportan diversas revisiones recientes (Artigue, 1999; Cantoral, 2000), los estudios que tratan sobre la didctica de la matemtica en el nivel superior, por ejemplo las de anlisis matemtico, han usado distintas metforas del aprendizaje que conservan, en algn sentido, puntos comunes, como por ejemplo el uso de la tesis central que proporciona la epistemologa gentica relativa al desarrollo del pensamiento. Apuntamos el hecho de que esas investigaciones se han centrado en problemticas que se ocupan de la matemtica relevante

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en la enseanza superior, asumiendo que la matemtica interviene en ese nivel casi exclusivamente como disciplina principal de enseanza olvidando un hecho fundamental que caracteriza al sistema didctico de la educacin superior; tambin y quiz con mayor fuerza, la matemtica escolar est al servicio de otros dominios cientficos y de otras prcticas de referencia, de donde a su vez adquiere sentido y significacin.

La lnea de investigacin que desarrollamos considera como necesidad bsica, el dotar a la investigacin de una aproximacin sistmica y situada, que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construccin del conocimiento; su naturaleza epistemolgica, su dimensin sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisin va la enseanza. A esta aproximacin mltiple, que nombramos la cuarta dimensin, le hemos llamado formalmente el acercamiento socioepistemolgico. En este sentido, el pensamiento y el lenguaje variacional es entendido como una lnea de investigacin que, ubicada al seno del acercamiento socioepistemolgico, permite tratar con la articulacin entre la investigacin y las prcticas sociales que dan vida a la matemtica de la variacin y el cambio en los sistemas didcticos.

Actualmente se desarrollan estudios sobre currculo, en los que se busca determinar cules deben ser los contenidos por ensear, considerando la evolucin de la matemtica y las necesidades sociales que el sistema educativo espera cubrir con la escuela; otra mas sobre la instruccin, es decir de las actividades que acompaan al aprendizaje, se busca la mejora de los mtodos de enseanza, los problemas que se enmarcan en torno a la transmisin oral del conocimiento, los procesos cognitivos, la motivacin y creacin de actitudes positivas. Se pone cierta atencin sobre recursos, especficamente sobre aquellos que refuerzan el proceso de enseanza, los materiales educativos, las calculadoras y computadoras, y la manera en que los medios audiovisuales se habran de introducir en las aulas. As mismo se realizan investigaciones que tratan de la vida del conocimiento en la escuela. Se busca determinar la influencia que el sistema escolar ejerce en los aprendizajes; se determinan las matemticas que se aprenden en y fuera de la escuela y se trata del papel de los medios de comunicacin, los entornos familiares o gregarios con los grupos de estudiantes. Se quiere tambin investigar sobre el sistema escolar para saber el rumbo y sentido de las decisiones polticas o sociales que modifican el funcionamiento del sistema educativo.

El desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional entre los estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongados. Supone del dominio de la matemtica bsica y de los mecanismos del pensamiento asociados, pero exige diversas rupturas con estilos del pensamiento prevariacional. Dichas rupturas no pueden sostenerse con base en un nuevo paradigma de rigor que se induce de la construccin de los nmeros reales, ni tampoco descansar en la idea de aproximacin; sino que deben permitir la matematizacin de la prediccin de los fenmenos de cambio.

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Al iniciar un curso de anlisis, el estudiante debe concebir a la funcin como un objeto, y por ende susceptible de las operaciones que otro procedimiento efecte sobre ella. En nuestras experiencias hemos encontrado que en caso de tener un dominio del contexto grfico/visual, ser posible entonces el trnsito entre las diversas representaciones.

En nuestra opinin, estos hallazgos favorecen la discusin y elaboracin de propuestas de enseanza que traten sobre el qu ensear y no slo, como ha sido habitual, sobre el cmo ensear. En sntesis, nuestra lnea de investigacin toma como objeto de estudio a la socioepistemologa de los saberes matemticos e incluye las intuiciones primarias del alumno con el fin de redisear el discurso matemtico escolar.

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Captulo 2

Situaciones de Aprendizaje para profesores

Introduccin

La matemtica escolar posee una naturaleza dual: es un instrumento para el profesionista usuario del saber matemtico, pero tambin se constituye como un objeto de conocimiento para aquellos que son especialistas en algn tpico matemtico. Desde la perspectiva planteada en el captulo anterior, entendemos que la matemtica escolar no slo se limita a la parte del currculo que se consigna en programas y temas de estudio, sino que atae tambin a los procesos de pensamiento que ellos ponen en funcionamiento: tal sera el caso de la abstraccin, la demostracin, el razonamiento bajo hiptesis o la resolucin y planteamiento de problemas. Por lo que, una de las problemticas de nuestro quehacer docente en el campo de las matemticas, sera plantearse cuestionamientos tales como: cmo conciliar esta doble funcin de la matemtica escolar: ser a la vez una herramienta al servicio de otros dominios y as mismo un objeto de conocimiento?

La perspectiva terica mostrada en el captulo1, da cuenta de que una mejor comprensin de la matemtica requiere del conocimiento de su gnesis, de sus modos de pensamiento, de sus formas de enseanza y de sus diferentes usos, por lo que uno de los propsitos de las situaciones de aprendizaje que se presentan en este apartado es que se pueda construir conocimiento matemtico a travs de su uso en una situacin que presenta un conflicto, donde este conocimiento es el medio a travs del cual se generan los argumentos matemticos que validan una respuesta.

Este primer acercamiento al conocimiento en las situaciones de aprendizaje da cuenta de su funcionalidad como herramienta pero con la caracterstica fundamental de que ste no es explcito al principio de la misma, sino que se va construyendo conforme a la necesidad de querer dar una respuesta que explique un hecho, un fenmeno o una propiedad general contextualizada. De esta manera las situaciones dan oportunidad de hacer emerger diversos tipos de pensamiento en diversos contextos, y de movilizar los conocimientos matemticos que son ms cercanos al individuo para la construccin de nuevos conocimientos. Sern stas primeras formulaciones las que estarn encaminadas hacia la constitucin de ciertas herramientas como objetos matemticos.

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Sobre las situaciones de aprendizaje

En esta seccin se muestran seis situaciones dirigidas a los profesores de matemticas de nivel secundaria, que han sido abordadas ante un grupo de estudiantes o de profesores. Se recomienda entonces, que el docente enfrente cada una de las situaciones antes de continuar su lectura, pues esto le permitir realizar conjeturas y contrastar su anlisis con respecto a las cuestiones que plantean las actividades.

Cada situacin sugiere un trabajo de reflexin por parte del profesor sobre algunas preguntas, los elementos importantes y acerca de otras variables que influyen en el desarrollo del pensamiento matemtico: los contextos, los conocimientos, los instrumentos que pueden utilizarse, el lenguaje, la importancia de la argumentacin, la necesidad de manejar diferentes representaciones, entre otras cosas.

Se profundiza en discusiones que permiten reflexionar sobre la matemtica escolar, como herramienta y como objeto, la actividad del profesor, sus intervenciones durante la implementacin de la situacin, el desempeo del estudiante, la anticipacin de posibles respuestas, las dificultades ms relevantes y frecuentes, la funcionalidad de dicho conocimiento en otras disciplinas y su relacin con algunos tpicos del nivel primario, bachillerato y universidad, entre otras reflexiones.

La situacin uno, Pedro quiere comprar patines, busca utilizar a la matemtica como una herramienta que pueda ayudar a enfrentar situaciones de la vida diaria que requieran de la toma de una decisin. En dicha situacin, la matemtica involucrada no es quien da contestacin a la problemtica planteada, pero su surgimiento y uso resulta fundamental para el anlisis crtico de los casos que se presentan y la construccin de argumentaciones que sustenten una respuesta.

En la situacin dos, Las mezcladoras, se utilizan las grficas como el medio que proporciona informacin sobre la forma de trabajo de dos mezcladoras usadas para la edificacin, sin embargo, para dar respuesta a las cuestiones presentadas se requiere de la construccin progresiva de algunas nociones matemticas a travs de su uso, de observar un comportamiento particular en las grficas con respecto al tiempo. El estatus entonces de las grficas no es el tradicional; se convierten en argumentos para la toma de decisiones y en modelos argumentativos.

La situacin del Problema de Rubn permite profundizar en discusiones y reflexiones hacia la bsqueda de un patrn numrico que conduzcan al establecimiento de expresiones algebraicas que den cuenta del fenmeno estudiado, donde estas expresiones pueden ser descritas a partir, incluso, del lenguaje natural y no necesariamente de forma analtica. Tales

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formulaciones tienen la intencin de que se construyan significados para las variables involucradas.

La situacin del Llenado de recipientes presenta un contexto p