desarrollo de tecnologia

MEMORANDO TÉCNICO

FECHA

19 de Mayo Nº DE REFERENCIA

PARA Emmanuel PornillosGolder Associates Perú S.A.

CC Cesar Loayza; Fidel Perez; Juan Cabrejos

DE Marco Díaz E-MAIL [email protected]

DESARROLLO DE TECNOLOGIA: VISCOSÍMETRO CAPILAR PARA MEDICIÓN DE PARÁMETROS

REOLÓGICOS DE PULPAS DE RELAVES

1.0 OBJETIVOS.La presente investigación se realiza con el objetivo de lograr la medición de parámetros reológicos de pulpas de relaves provenientes del proceso de concentración de minerales, con alto nivel de precisión. Para lograr el objetivo planteado se describe y revisa la teoría base que encierra la medición de estos parámetros en viscosímetros capilares. Al mismo tiempo se revisa información disponible sobre el funcionamiento del equipo, posibles errores y perturbaciones en la medición, y cómo evitar y/o corregir estos errores.

Como parte final, se establecen lineamientos para la construcción de un viscosímetro capilar enfocado a la medición de parámetros reológicos de pulpas de relaves, su estructura e instrumentos utilizados.

2.0 INTRODUCCIÓN.La medición de la reología de fluidos no newtonianos es una necesidad actual debido a la importancia que ha cobrado el manejo de estos fluidos en diversas industrias, como aquellas que involucran la elaboración de polímeros, fundición y moldeo de metales, industrias alimenticias, industria minera, industrias de pintura, etc.

De forma particular, en la industria minera es esencial el conocimiento de la reología de las pulpas, ya que esta influye en las diversas etapas del manejo de concentrados y relaves de minerales, y cobra vital importancia en su transporte, ya sea en forma de pulpa, relaves espesados o relaves en pasta.

Debido a esta necesidad se han creado, a lo largo del tiempo, métodos en los cuales se miden los parámetros reológicos. Los métodos actuales utilizados para medir los referidos parámetros, implican una gran variedad de artefactos llamados reómetros.

Macosko (1994) realiza una separación de estos artefactos en dos grandes grupos: reómetros de esfuerzo de corte y reómetros de esfuerzo de deformación. A la vez, divide los reómetros de esfuerzo de corte en dos grupos que se diferencian en el diseño y la forma de medición. El primer grupo corresponde a los reómetros en que el esfuerzo de corte es aplicado directamente sobre un liquido inicialmente en reposo entre una superficie sólida también en reposo y otra en movimiento, como es el caso de un viscosímetro rotacional con sensor del tipo vane, y el segundo grupo corresponde a aquellos en los que el esfuerzo de corte es generado por una diferencia o caída de presión a lo largo de un canal cerrado, como es el caso de los viscosímetros capilares.

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Emmanuel Pornillos

Golder Associates Perú S.A. 19 de Mayo

En el presente informe se describe la teoría que encierra la medición de los parámetros reológicos en los viscosímetros capilares, así como también se dan algunos lineamientos para la construcción de un viscosímetro capilar enfocándose en la medición para pulpas de relaves provenientes del proceso de concentración de minerales. Para los casos prácticos que nos ocupan, se consideran que las pulpas espesadas de relaves se comportan como fluidos del tipo Bingham o fluidos visco-plásticos.

3.0 BASE TEÓRICA.

3.1 Viscosidad.1

Considerando una pequeña capa de fluido entre dos superficies planas paralelas separadas una distancia dy. Bajo condiciones estables, el fluido es sometido a un corte por la aplicación de una fuerza F, esta fuerza será balanceada con una fuerza de fricción interna del líquido, en dirección opuesta. Analizando para un fluido newtoniano en flujo laminar, el esfuerzo de corte es igual a la tasa de corte y de la viscosidad del fluido. De esta manera se puede representar la viscosidad de la siguiente manera:

Figura 1: Diagrama de un fluido entre dos superficies paralelas bajo aplicación de una fuerza F de corte

Donde:

: Fuerza Aplicada

: Área superficial

: Esfuerzo de corte

: Viscosidad dinámica

: Velocidad del fluido en la dirección

: Tasa de Corte

1 Extraído de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heinemann

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3.2 Esfuerzo de corte en una tubería.2

Analizando el diagrama de esfuerzos que existen dentro de una tubería en posición vertical cuando un líquido se encuentra fluyendo dentro de esta, como flujo laminar sin aceleración, se tiene el siguiente esquema:

presión exterior

esfuerzo de corte,

p 1

p2

dirección del flujo

Figura 2: Diagrama de esfuerzos en una tubería vertical cuando se encuentra fluyendo un liquido.

Como se ha asumido que el flujo carece de aceleración, entonces la sumatoria de fuerzas debe ser cero:

Donde:

: Presión.

: Vectores unitarios normales de superficie.

: Esfuerzo de corte.

: Superficie donde se aplica el esfuerzo.

2 Adaptado de “Introduction to Fluid Mechanics” Shaughnessy, Katz, Schaffer; Oxford University Press

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Evaluando las integrales una por una, se aprecia que las integrales utilizadas para el cálculo de presión en las superficies superior e inferior de la tubería (p1 y p2) varían de forma diferencial con el radio de la tubería por lo que se deben tener en cuenta. La integral de presión fuera de la tubería resulta igual a cero ya que es simétrica con respecto al eje de la tubería.

Las integrales de esfuerzo de corte para las superficies inferior y superior son iguales a cero ya que no existe esfuerzo de corte en los extremos de la tubería en la dirección del radio.

La integral de esfuerzo de corte en la pared es considerada, ya que si existe esfuerzo de corte en las paredes de la tubería. Podemos evaluar esta integral con respecto a su vector unitario tangente a la normal de superficie (-k) y quedaría de la siguiente manera:

De modo que la ecuación tomaría la siguiente forma:

La presión en la tubería es diferencial con respecto al radio pero es uniforme para cualquier área trasversal de la tubería ya que no existen variaciones. Entonces:

Donde es el área transversal de la tubería.

Asumiendo que el esfuerzo de corte en la pared es uniforme en toda la pared y podemos escribir:

En donde es el área de la pared de la tubería.

Entonces la ecuación quedaría de la siguiente manera:

Despejamos el esfuerzo de corte en la pared:

Donde:

: Diámetro de la tubería

: Longitud de la tubería

3.3 Tasa de Corte.3

Si realizamos el análisis del perfil de flujo, tomando las mismas consideraciones anteriormente establecidas para una tubería en la cual se encuentra fluyendo un líquido (flujo laminar no acelerado), se tiene:3 Adaptado de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heinemann

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R

r

y

x

xV

Figura 3: Perfil de velocidad de un líquido fluyendo en régimen laminar por una tubería vertical

Donde es la velocidad del liquido y varía con respecto a la distancia r de la pared hacia el eje de la tubería

de radio R, estableciendo un perfil de velocidad como el mostrado en la figura anterior.

varia con respecto a la distancia de la pared, siendo máximo en el centro del radio de la tubería y cero en

las paredes de esta. Es importante recalcar que en algunos casos se puede producir un efecto llamado “deslizamiento” (wall slip), en el cual la velocidad cercana a la pared no es cero, este efecto se tratará posteriormente en el presente informe.

Escribiendo el flujo volumétrico en la tubería en función de la velocidad y su distancia con respecto a la

pared de la tubería r, se tiene:

Integrando por partes tenemos y considerando que no existe el efecto de deslizamiento:

Por la teoría de viscosidad se tiene que la tasa de corte es:

Además, la inversa del esfuerzo de corte varía con la inversa de la distancia del eje de la tubería, entonces:

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Donde es el esfuerzo de corte en la pared y es el esfuerzo de corte a una distancia r de la pared de la

tubería de diámetro R. Integrando desde el eje a una distancia r de la pared:

Reemplazando en la integral de flujo:

Aplicando la regla diferencial de Leibnitz:

Despejando la tasa de corte:

Que corresponde a la ecuación de Weissenberg-Rabinowitsch. Además, para fluidos newtonianos o del tipo Bingham:

Entonces:

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Esta ecuación se puede escribir realizando un cambio de variables:

Entonces se obtiene que:

Donde: es conocida como la tasa de corte aparente, y V es la velocidad media del fluido en la tubería. La tasa de corte aparente será utilizada en los casos que sea necesario corregir las mediciones realizadas en el viscosímetro capilar.

3.4 Obtención de la Viscosidad.4

Con las ecuaciones del esfuerzo de corte y la tasa de corte para el mismo punto, la pared de la tubería, se obtiene la viscosidad del fluido por la relación:

Entonces:

Asumiendo:

Donde:

n’ = es el exponente de la ecuación potencial de ajuste de la curva cuando la viscosidad del fluido varia con respecto al esfuerzo de corte (fluido pseudo plástico)

Asumiendo que el fluido se comporta del tipo Bingham entonces n’ es igual a 1 y la ecuación quedaría de la forma:

4 Adaptado de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heinemann

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3.5 Restricciones para la medición de parámetros reológicos en el Viscosímetro Capilar.5

De la base teórica se desprende que si es posible evaluar los esfuerzos de corte y tasa de corte en la pared de la tubería, podemos obtener el valor de la viscosidad y como el esfuerzo de corte de la pared es:

Y la tasa de corte:

Realizando las mediciones de caída de presión y flujo para una tubería de radio y longitud conocidas podemos evaluar el valor de la viscosidad.

Hay que tener en cuenta que las ecuaciones halladas anteriormente están basadas en ciertas restricciones teóricas las cuales son:

El flujo desarrollado es constante, isotérmico y laminar.

No existe velocidad en la dirección del radio de la tubería.

No existe deslizamiento (slip) en las paredes de la tubería.

El fluido es incompresible y su viscosidad es independiente de la presión.

Estas restricciones deben cumplirse en la tubería utilizada como capilar, para obtener datos confiables y reproducibles.

4.0 FUENTES DE ERROR DERIVADAS DEL DISEÑO DEL VISCOSÍMETRO CAPILAR.Un viscosímetro capilar consta generalmente de un reservorio en el cual es colocado el fluido, que será alimentado al tubo capilar de radio y longitud conocida. La alimentación puede ser realizada por acción de la gravedad, pero también se utiliza aire comprimido o pistón en el reservorio de manera que se genere una mayor presión sobre el fluido que se alimenta al tubo capilar. En la siguiente figura se puede observar un esquema del viscosímetro.

5 Adaptado de “Rheology Principles,Measurements and Applications”; Macosko; Wiley-VCH

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Figura 4: Diferentes reservorios para viscosímetros capilares6

La construcción no es muy compleja y es posible construir un viscosímetro con un bajo costo, pero se debe tener en cuenta las restricciones del flujo a través del capilar.

De manera general, en la medición de los parámetros reólogicos por medio del viscosímetro capilar se generan algunos problemas esenciales, que tienen que ser resueltos de manera que el diseño del capilar elimine las posibles causas de error.

Una de las causas de error en la medición, se produce debido a la naturaleza del fluido que se esta analizando. Este error producido por el efecto conocido como “deslizamiento” en la pared de la tubería (wall slip) es inherente a los fluidos bifásicos constituidos por una fase sólida y una fase liquida (Barnes, 1995).

Otra de las causas de error son los efectos de entrada y salida (end effects). Estos efectos causan errores en las lecturas de caída de presión y que conllevan por lo tanto a errores en la medición de los parámetros reológicos. Este efecto generalmente es despreciado para tuberías capilares en los cuales la longitud es mayor a 110 veces el diámetro (Macosko, 1994).

Entonces, para la aplicación de un viscosímetro capilar para pulpas de relaves, que por su naturaleza son fluidos bifásicos, es necesario evitar el efecto de “deslizamiento”. Además, también debemos considerar los efectos de entrada y salida ya que estos cobran importancia debido a la necesidad de utilizar diámetros de tuberías que permitan el flujo de líquidos con partículas sólidas en suspensión con diámetros de hasta 1/8 de pulgada. Finalmente, es importante la utilización de longitudes y diámetros de tubería apropiados para lograr flujos laminares estables y completamente desarrollados.

Debido a la necesidad de evitar y corregir estos errores se debe comprender cómo se generan. A continuación se revisa de manera resumida los aspectos teóricos con el fin de calcular diámetros y longitudes apropiadas para la medición de la viscosidad de pulpas de relaves.

6 Figura extraida de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heine- mann

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4.1 Efecto de entrada y Salida.

4.1.1 Definición del termino “Flujo Completamente desarrollado”.7

El termino “flujo completamente desarrollado” es usado para describir un campo en donde la velocidad del flujo no cambia en la dirección del flujo.

Entonces, tomando en cuenta el flujo laminar en una tubería de área constante, podremos ver el siguiente esquema en la entrada de la tubería, en donde el perfil de velocidad se mantiene constante a lo largo de la tubería por lo tanto es un flujo completamente desarrollado.

Figura 5: Perfil de un flujo completamente desarrollado en régimen laminar

4.1.2 Definición de la Región de Entrada.8

Debido a que es necesario que el fluido ingrese de alguna manera hacia la tubería capilar, es necesario realizar un análisis en la región de entrada a la tubería.

El perfil de la velocidad del fluido en la parte inicial de la entrada es casi uniforme y a medida que el fluido va entrando en la tubería, la velocidad del fluido en las zonas cercanas a la pared, van disminuyendo a medida que aumenta la distancia en dirección del flujo, mientras que la velocidad cercana al eje se mantiene constante. De esta manera se forma una “capa limite” (boundary layer) a lo largo de la tubería en donde el perfil de velocidad varía con respecto a la distancia en dirección del flujo.

La capa limite va creciendo en espesor, después de lo cual, el perfil de velocidad ya no varia con respecto a la distancia en la dirección del flujo. Esta distancia desde el comienzo de la tubería hasta que la capa limite llena completamente la tubería se conoce como longitud de entrada. Al final de la longitud de entrada se alcanza el flujo completamente desarrollado.

Figura 6: Vista esquemática de la región de entrada en una tubería.

4.1.3 Perdida de Presión en la entrada de la tubería.9

Cuando el flujo en la tubería no es completamente desarrollado, como sucede en la región de entrada de una tubería, el fluido acelera o desacelera mientras fluye (por lo que varia el perfil de velocidad). Entonces existe en la parte de entrada un balance entre la presión, la viscosidad y las fuerzas de inercia (aceleraciones). El resultado es una distribución de presión mostrado en la siguiente figura:

7 Adaptado de “Introduction to Fluid Mechanics” Shaughnessy, Katz, Schaffer; Oxford University Press8 Extraido de “Fundamentals of Fluid Mechanics”; Munson; John Wiley and Sons9 Adaptado de “Fundamentals of Fluid Mechanics”; Munson; John Wiley and Sons

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Figura 7: Perdida de presión en la entrada de la tubería

La magnitud de la caída de presión es más grande en la región de entrada que en la región de flujo completamente desarrollado, en la que es constante.

El calculo del perfil de la velocidad y la distribución de la presión en la región de entrada puede ser muy compleja. Sin embargo, una vez que el fluido alcanza el flujo completamente desarrollado es mas simple de describir ya que el perfil solo depende de la distancia del eje a la pared de la tubería como se ha considerado en la base teórica presentada al inicio.

El análisis teórico para predecir los detalles de los flujos en los componentes de tuberías como en las entradas y válvulas con el objetivo de obtener las perdidas de presión para estos componentes es muy difícil, debido a esto la información de perdida de presión se encuentran dados en forma adimensional y basados en datos experimentales.

Los métodos más comúnmente usados para determinar las pérdidas de presión es el especificar el coeficiente de perdida, KL. El valor de KL depende de la geometría del componente así como de las propiedades del fluido. De modo que:

4.1.4 Dependencia de la longitud de entrada por el número de Reynolds10

Para fluidos newtonianos las longitudes de entradas adimensionales típicas están dadas por las siguientes ecuaciones:

y

Donde:

: Longitud de entrada.

: Diametro de tubería

10 Extraído de “Introduction to Fluid Mechanics” Shaughnessy, Katz, Schaffer

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: Número de Reynolds

La primera ecuación para flujos laminares y la segunda para flujos turbulentos.

4.1.5 Dependencia de la longitud de entrada por la geometría11

Un fluido puede fluir desde un reservorio hacia una tubería en una serie de diferentes formas de regiones de entrada como se muestra en la figura siguiente.

Figura 8: Diferentes geometrias de entradas a tuberias

Por ejemplo, analizando un fluido entrando a la tubería en flujo laminar y asumiendo que se produce el efecto de vena contracta debido a que el fluido no puede “doblar” la esquina afilada se tiene el esquema de la Figura 9.

El flujo se separa del filo de la esquina. La velocidad máxima se encuentra en la sección (2) y es mayor que en la sección (3), y la presión es menor en este punto. Si este fluido de alta velocidad es desacelerado eficientemente la energía cinética seria convertida en presión (efecto bernoulli) como se muestra en la figura y la perdida de presión ideal debido a la entrada seria esencialmente cero.

11 Adaptado de “Introduction to Fluid Mechanics” Shaughnessy, Katz, Schaffer; Oxford University Press y “Fundamentals of Fluid Mechanics”; Munson; John Wiley and Sons

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Figura 10: Esquema para el estudio de la pérdida de presión de una entrada "afilada".

Por lo tanto, estimar o calcular la longitud de entrada requiere un análisis exhaustivo para cada tipo de fluido y geometría. Desde un punto de vista practico, la información disponible actualmente sugiere que la longitud de entrada esta en el orden de 40 veces el diámetro para fluidos inelásticos y cerca de 110 veces el diámetro para fluidos viscoelásticos en flujo laminar (Chhabra y Richardson, 2008).

Finalmente se resume que los efectos de entrada y salida es una consecuencia de que cerca de la entrada y de la salida del tubo capilar, el flujo no es completamente desarrollado y la caída de presión se incrementó como resultado de la pérdida de energía por efectos de inercia. La contribución de la caída de presión debido al efecto de salida es generalmente despreciable con respecto a la de la entrada (Macosko, 1994)). Además la magnitud del efecto de entrada depende del comportamiento y del tipo del fluido no newtoniano (Chhabra y Richardson, 2008).

4.1.6 Evitar o Corregir efectos de entrada en la medición de viscosímetros capilares12

Entonces, se puede evitar medir la diferencia de presión en la zona de entrada donde el flujo no es completamente desarrollado colocando medidores de presión en diversos puntos de la tubería y empezar la medición cuando la caída de presión se constante entre tres o mas puntos.

Otra de las maneras de evitar el efecto de entrada en los viscosímetros capilares, es utilizar una relación de longitud-diámetro del orden de 100 a 120, al menos para fluidos puramente viscosos. Pero existen situaciones en las cuales no se puede usar tan grandes valores de (L/D).

En todo caso, los valores resultantes de esfuerzo de corte en un viscosímetro capilar deben ser corregidos. Uno de los caminos para corregir la medición realizado por Bagley (1957), es resumido por Chhabra y Richardson

12 Adaptado de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heine- mann

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(2008), donde se utiliza tuberías de diferentes longitudes pero del mismo diámetro, en las cuales se puedan evaluar los cambios de presión. El método es resumido a continuación.

El método utilizado por Bagley sugiere que se deben obtener datos de flujo y caída de presión para varios (al menos tres) tubos del mismo diámetro pero de diferentes longitudes. Estos datos son colocados en un grafico en términos de la caída de presión versus Flujo (Q) en función de la longitud de tubería, para un valor constante de diámetro “D”, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 11: Caídas de presión vs. Flujo para diferentes longitudes de tubería cuando se presenta el efecto de entrada y salida.

Los datos deben ser interpolados para obtener una serie de puntos de caída de presión versus longitud para valores constantes de flujo volumétrico.

Alternativamente, estos datos puedes ser graficados en coordenadas lineales como caída de presión versus longitud para valores constante de tasa de corte aparente (8V/D) como se muestra en la siguiente figura.

Figura 12: Caida de presión vs. Longitud de tubería para diferentes valores de tasa de corte aparente obtenidas.

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Ya que, para fluidos tipo Bingham se tiene:

Generalmente existe una dependencia lineal entre la caída de presión y la longitud de la tubería, de manera que se puede fácilmente extrapolar los valores para la longitud igual a cero y obtener la corrección de entrada de la caída de presión para cada valor de (8V/D). Este procedimiento debe ser repetido para otros valores de diámetros de tubería capilar. Finalmente la caída de presión corregida es obtenida de:

El valor corregido de la caída de presión es utilizado para estimar el esfuerzo de corte de la pared por reemplazo.

Existen situaciones en las cuales la caída de presión versus la longitud presenta una dependencia no lineal, para valores constantes de (8V/D). Algunas posibles razones de estos resultados experimentales se deben a efectos de deslizamiento en la pared, fluidos cuya viscosidad cambia con el tiempo, cambios en la temperatura, viscosidad del fluido dependiente de la presión o tubos capilares demasiados cortos para que el flujo se vuelva completamente desarrollado.

4.2 Efecto de deslizamiento en la pared (wall slip)Cualquier reómetro o viscosímetro puede presentar efectos de deslizamiento bajo las circunstancias apropiadas, pero aquellos con paredes lisas y altos gradientes de tasa de corte son los mas vulnerables. Los fluidos que presentan grandes efectos de deslizamiento son soluciones concentradas de polímeros de alto peso molecular, suspensiones de partículas grandes o partículas floculadas y emulsiones de gotas de gran tamaño (Barnes, 1994).

4.2.1 Evitar o Corregir efectos de deslizamiento en la pared de viscosímetros capilares13

Una de las maneras de evitar o eliminar el efecto de deslizamiento es alterando la naturaleza de la pared volviéndola mas rugosa. Barnes menciona que Nguyen y Boger intentando medir el yield stress de suspensiones minerales y “red muds” encontraron deslizamiento en tubos lisos, mas no en tubos rugosos.

La presencia de deslizamiento en la pared es responsable de la obtención de flujos volumétricos mayores a los esperados para un valor conocido de esfuerzo de corte, o en cambio, a una tasa de corte conocida, encontramos un bajo esfuerzo de corte. En datos experimentales recopilados en viscosímetros capilares, el deslizamiento se puede apreciar cuando los datos de esfuerzos de tensión y tasa de corte en la pared (8V/D), obtenidos para tubos de diferente diámetro, son inconsistentes a pesar de haber sido corregidos por otros efectos conocidos.

Chhabra y Richardson describen una forma de corregir el efecto del deslizamiento asumiendo que la velocidad del fluido en la pared no es cero sino . Resumiendo el método se tiene:

Evaluando el flujo cuando la velocidad en la pared es Vs, quedaría de la siguiente manera:

Los términos de la ecuación pueden ser identificados como el flujo total debido al deslizamiento ( ), y el que

ocurre en la zona donde no existe deslizamiento ( ). El flujo depende del esfuerzo de corte. Además,

13 Adaptado de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heine- mann

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asumiendo que la velocidad de deslizamiento varía en función del diámetro de la tubería, puede ser arreglada como:

Dando forma a la ecuación en términos de la tasa de corte aparente en la pared de la tubería:

El segundo termino en el lado derecho de la ecuación es constante para un valor definido de tasa de corte aparente, podemos ver que la velocidad de deslizamiento en la pared ( ) puede ser evaluada de la curva

(8V/D) versus (1/D) en una escala lineal para valores constante de esfuerzos de corte en la pared y de ahí simplemente evaluando la velocidad de deslizamiento como una función del esfuerzo de corte. Finalmente la tasa de corte en la pared es dada por

Entonces, para corregir los datos por efectos del deslizamiento se necesitan obtener valores de flujo volumétrico y caída de presión para diferentes diámetros de tuberías (al menos tres).

De las graficas de esfuerzo de corte en la pared versus la tasa de corte aparente para diferentes valores del diámetro, se interpola para generar una serie de puntos de (8V/D) y diámetro, para valores constantes de esfuerzo de corte. Luego estos datos son graficados en términos de (8V/D) versus (1/D) para varios valores constantes de esfuerzo de corte en la pared. Si la dependencia de esta grafica es aproximadamente una línea con pendiente se confirma el efecto de deslizamiento y la velocidad es evaluada de la pendiente de la grafica antes referida, y luego es usada para corregir la tasa de corte aparente.

Sin embargo, a veces la velocidad de deslizamiento muestra una dependencia adicional a la del diámetro del tubo. Esta situación puede resolverse asumiendo que la velocidad de deslizamiento Vs varía con respecto a

entonces la ecuación se modifica de la siguiente manera:

Entonces el valor de se varia hasta que la grafica (8V/D) versus presenta una dependencia linear

para valores constantes de esfuerzo de corte en la pared. Entonces uno puede evaluar el valor de Vs de la pendiente de la línea.

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5.0 DIMENSIONES DEL TUBO CAPILAR PARA REOLOGÍA DE PULPAS DE RELAVES

Sabiendo que se debe cumplir el requisitos de flujo laminar para encontrar valores reologicos confiables, podemos calcular las dimensiones de nuestra tubería capilar, para lo cual es necesario conocer los limites en los cuales el flujo laminar se vuelve turbulento.

Al igual que para fluidos newtonianos se puede establecer un numero adimensional que caracterice el tipo de flujo (laminar, transición o turbulento), este numero para fluidos newtonianos es el conocido numero de Reynolds. Hanks (1963) propuso un método para el cálculo del número de Reynolds para el régimen de transición, para fluidos tipo Bingham. Peixinho (2005) encontró que los valores calculados por el método propuesto por Hanks se acercan a los valores obtenidos experimentalmente.

5.1 Método de Hanks14

Según Hanks el número de Reynolds Bingham de transición , en el cual el fluido pasa de flujo laminar a

turbulento depende al igual que número de Reynolds de las dimensiones de la tubería , la densidad , y

velocidad del fluido y la viscosidad del fluido Bingham , según la siguiente ecuación.

Donde es la relación entre el yield stress de un fluido Bingham obtenido del reograma y el esfuerzo de

corte en la pared para el flujo de transición:

Que a su vez es calculado por

Y donde He es el número de Hedstrom que a la vez es definido por:

Entonces para un diámetro de tubería (D) y un fluido Bingham plástico, el numero Hedstrom puede ser conocido

y el valor obtenido, y por lo tanto el calculado.

5.2 Aplicación Practica del Método de HanksTomando como ejemplo resultados experimentales hallados con un viscosímetro rotacional con sensor tipo vane, de relaves provenientes de la mina Catalina Huanca para el proyecto de transporte de relaves Accolla, en la cual la densidad de la pulpa es de 1700 kg/m3, el yield stress hallado es de 28 Pa y la viscosidad de 51 mPa.s, y asumiendo una tubería de 2 pulgadas (55.8mm).

14 Extraido de “Non-Newtonian flow and Applied Rheology”; Chhabra, Richardson; Butterworth-Heine- mann

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Calculando el número de Hedstrom según:

Luego calculando el según:

Con este valor se calcula el número de Reynolds de transición de Bingham:

Por lo tanto la velocidad permisible para que el flujo se mantenga laminar es

Entonces para esa velocidad, se calcula el esfuerzo de corte en la pared de la tubería por la relación:

Entonces .

Asumiendo que el flujo es todavía laminar entonces podemos escribir:

Despejando la caída de presión por longitud de tubería y tenemos:

Donde se halla la caída de presión por longitud de tubería para alcanzar el esfuerzo de corte en la pared anteriormente hallado. Si esta relación es excedida experimentalmente, la velocidad del fluido dentro de la tubería estará por encima de la velocidad crítica de transición, y tendremos un flujo turbulento.

Realizando el mismo procedimiento considerando diferentes radios de tubería para el mismo fluido se obtiene:

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Diametro de Tubería (pulg)

Numero de Hedstrom (m/s) (Pa/m)

3 106261.65 0.56 6979.44 2.75 2648.322 47227.40 0.46 5288.69 3.12 4845.551 1/2 26565.41 0.38 4394.37 3.46 7756.291 1/4 18448.20 0.33 3940.88 3.72 10689.571 11806.85 0.27 3468.03 4.10 16211.21

3/4 6641.35 0.20 3025.55 4.76 29250.081/2 2951.71 0.12 2608.79 6.16 74108.383/8 1660.34 0.08 2401.27 7.56 151722.971/4 737.93 0.00 23589.35 111.45 4534137.60

cBReL

p

T TV

Aplicando el mismo criterio para el mismo tipo de relave, pero diluyendo la concentración de sólidos y por lo tanto la densidad de pulpa.

Por ejemplo, los datos presentados en la tabla siguiente corresponde al mismo relave pero con 1630 kg/m3 de densidad, y los resultados en el viscosímetro tipo vane dieron un yield stress de 12 Pa y una viscosidad de 32 mPa.s


Numero de Hedstrom

(m/s) (Pa/m)

3 120154.75 0.57 7263.51 1.87 1197.852 53402.11 0.47 5508.11 2.13 2173.851 1/2 30038.69 0.40 4569.33 2.35 3452.551 1/4 20860.20 0.35 4084.51 2.53 4726.501 13350.53 0.29 3593.29 2.78 7121.57

3/4 7509.67 0.22 3103.97 3.20 12656.411/2 3337.63 0.13 2639.57 4.08 31361.283/8 1877.42 0.09 2433.12 5.01 63879.831/4 834.41 0.04 2261.18 6.99 188450.48

cBReL

p

T TV

De igual manera se calculo para el mismo relave, esta vez con una densidad de 1520 kg/m3, yield stress de 2 Pa y una viscosidad de 28 mPa.s


Numero de Hedstrom

(m/s) (Pa/m)

3 22514.77 0.36 4179.44 1.01 294.302 10006.56 0.25 3329.33 1.21 628.321 1/2 5628.69 0.18 2911.70 1.41 1148.481 1/4 3908.81 0.15 2712.20 1.57 1734.361 2501.64 0.11 2525.12 1.83 2963.16

3/4 1407.17 0.07 2358.21 2.28 6190.031/2 625.41 0.03 2222.53 3.22 18748.363/8 351.79 0.02 2170.80 4.20 42581.561/4 156.35 0.01 2135.22 6.19 139319.87

cBReL

p

T TV

En el siguiente grafico se aprecia la variación de la relación para diferentes diámetros de tubería y densidad del mismo relave.

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Diametros de tubería vs. Relación(para diferentes densidades de pulpa)

0

1/2

1

1 1/2

2

2 1/2

3

3 1/2

100.00 1000.00 10000.00 100000.00 1000000.00 10000000.00

Relación

Diá

me

tro

s d

e T

ub

erí

a

1700 kg/m3 1630 kg/m3 1520 kg/m3

L

p

L

p

Figura 13: Diametros de tubería vs. Caida de presión por longitud para diferentes densidades de pulpa del relave de la mina Catalina Huanca (Proyecto Accolla)

Por otro lado, considerando que no existe fricción en una tubería capilar vertical, la caída de presión depende de la altura, la aceleración de la gravedad y la densidad del fluido según la ecuación de Bernoulli, entonces para el relave con 1700 kg/m3 de densidad tenemos:

Considerando que es la longitud de la tubería, entonces:

Comparando este valor con la relaciones anteriormente halladas en un mismo grafico para la densidad de 1700 kg/m3.

Diametros de tubería vs. Relación

0

1/2

1

1 1/2

2

2 1/2

3

3 1/2

1000.00 10000.00 100000.00 1000000.00 10000000.00

Relación

Diá

met

ros

de

Tu

ber

ía

L

p

L

p

Figura 14: Comparación de la caída de presión teórica sin fricción por diferencia de alturas (ecuación de Bernoulli) y la caída de presión por longitud de tubería para una pulpa de 1700 Kg/m3 de densidad.

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Para diámetros mayores de una pulgada la relación caída de presión por longitud de tubería necesaria para alcanzar la velocidad crítica de transición es menor que la caída de presión por longitud de tubería vertical, de manera que si utilizáramos diámetros mayores a una pulgada el flujo dentro de nuestra tubería capilar vertical seria turbulento. De la misma manera, para densidades de pulpa menores, es necesario utilizar diámetros de tubería capilar cada vez más pequeños, para mantener un flujo laminar.

Dada la imposibilidad de utilizar diámetros de tubería pequeños por el tamaño de las partículas de las pulpas de relaves, y debido a la vez la imposibilidad de utilizar diámetros de tubería relativamente grandes por la necesidad de mantener un flujo laminar, el diámetro de la tubería capilar vertical debe ser menor de 2 pulgadas y mayor a 3 veces el diámetro de la partícula de mayor tamaño (tamaño de “gap” mínimo utilizado en viscosímetros rotacionales), para evitar entrampamientos.

Si no es posible que el diámetro sea menor de 2 pulgadas se debe disminuir la velocidad del fluido dentro de la tubería capilar, pero sin obstaculizar el flujo laminar completamente desarrollado en la zona donde se mide la caída de presión. El uso de cierto tipo de válvulas o reducciones puede afectar la zona de flujo laminar en la parte terminal de la tubería capilar, y esta zona afectada deberá ser encontrada para evitar mediciones de caída de presión en lugares donde no se encuentre flujo laminar.

La otra manera de disminuir la caída de presión es la utilización de una manguera conectada al final de la tubería y del mismo diámetro que esta, la manguera será utilizada para disminuir la cabeza disponible, por lo que disminuirá a la vez la velocidad del fluido dentro de la tubería con un mínimo de interferencia en el flujo laminar dentro de la tubería capilar.

Respecto a la longitud de la tubería, se ha visto anteriormente que se requiere una longitud de por lo menos 40 veces el diámetro para alcanzar un flujo laminar completamente desarrollado en la tubería capilar. Tenemos:


Longitud de entrada en metros (flujo laminar)*

3 3.0482 2.0321 1/2 1.5241 1/4 1.271 1.016

3/4 0.7621/2 0.5083/8 0.3811/4 0.254

Lo cual nos lleva a establecer que el diámetro, por razones practicas debe ser menor o igual a 2 pulgadas. Además, para poder despreciar los efectos de entrada para una tubería de 2 pulgadas es necesario utilizar una longitud de 6 metros como mínimo, pero debido a la restricción de espacio, la longitud total de la tubería capilar será diseñada para 4 metros y la medición de la caída de presión y velocidad fuera de la región de entrada aproximada, el diseño seguirá el siguiente esquema.

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m4

m

entradalongitud

2

presión

de

medidor

presión

de

medidor

zona de flujo laminar

completamente desarrollado

medición del∆p experimental

medición de flujo

flujometro

aire comprimido

∆p disponible

Figura 15: Esquema para un viscosímetro capilar para medición de pulpas de relaves.

6.0 MEDICIÓN DE VELOCIDAD DE FLUJO.Estudios realizados por Fyrippi et al. (2004) probando tres diferentes métodos de medición (flujómetro tipo coriolis, flujómetro electromagnético, y flujómetro ultrasónico) con fluidos no newtonianos concluye que los de tipo Coriolis y tipo electromagnético presentan un buen rango de precisión y solo pequeñas desviaciones, mientras que el ultrasónico puede presentar desviaciones mayores (de hasta 18%) especialmente en el régimen

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de transición de laminar a turbulento por la alta sensibilidad de este tipo de medición al perfil de velocidad del fluido.

Por otro lado, tecnologías desarrolladas que utilizan el método Doppler para la medición del perfil de velocidad han sido utilizadas en investigaciones y los resultados obtenidos utilizados para hallar los parámetros reológicos (Wunderlich, 1999; Wiklund and Stading, 2007).

En cualquier caso, el método de medición de flujo utilizado, debe ser probado en el laboratorio durante las pruebas con el viscosímetro para cada fluido, con el objetivo de obtener mediciones con un alto rango de precisión.

7.0 MEDICIÓN DE PRESIÓN.Se ha comprobado de manera teórica que a mayor diámetro de tubería, es necesario una menor diferencia de presión por unidad de longitud para evitar alcanzar el régimen turbulento. Al mismo tiempo mientras la densidad de la pulpa disminuye la diferencia de presión por unidad de longitud a medir es menor.

Estas diferencias de presión por unidad de longitud se encuentra en el rango de 100 a 100000 Pa (de 0.01 psi hasta 15 psi) dependiendo del diámetro y longitud de la tubería, y la densidad de la pulpa. Por lo tanto el instrumento de presión utilizado debe tener un nivel de precisión adecuado además de un amplio rango de medición de presión.

Actualmente, existen en el mercado medidores analógicos y digitales de presión diferencial, por ejemplo el tipo Magnehelic de la marca Dwyer es un medidor de presión analógico con una precisión adecuada para las necesidades. En todo caso, se debe considerar que el medidor de presión no produzca una gran perturbación en el flujo laminar completamente desarrollado por lo que la entrada debe ser lo mas pequeña posible.

8.0 DISEÑO DEL RESERVORIODebido a que la medición de los parámetros reologicos en el viscosímetro funciona en base a la diferencia de presión entre dos puntos dentro de la tubería vertical, es necesario mantener constante la diferencia de presión entre estos puntos. Esto se logra utilizando un reservorio con un radio suficientemente grande como para despreciar los efectos de perdida de presión por altura ó utilizando un sistema que mantenga la presión sobre el fluido dentro del reservorio de manera constante. Este sistema utiliza generalmente aire comprimido dentro de un reservorio convenientemente sellado o un pistón con un sistema de fuerza.

En cualquiera de los casos se debe asegurar que el material que ejerce la presión no varíe de alguna manera las propiedades del fluido a medir, por ejemplo cuando se utiliza aire comprimido es necesario asegurar que no existe mezcla entre la fase gaseosa y el fluido que es sometido a compresión.

9.0 RESUMEN DE PRINCIPALES FUENTES DE ERROR EN LAS MEDICIONES REOLÓGICAS DE PULPAS DE RELAVES EN VISCOSÍMETRO CAPILAR VERTICAL.

Perdidas de presión en el reservorio

Flujos laminares no desarrollados completamente

Flujos turbulentos dentro de la tubería capilar

Perdidas de presión en la entrada y salida de la tubería capilar

Efecto de “deslizamiento” en la pared de la tubería.

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Pulpas thixotropicas o dependientes del tiempo.

10.0 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

Es necesario considerar las características de la pulpa a ser analizada (densidad, tamaño de partículas),

con el fin obtener flujos laminares completamente desarrollado en la tubería capilar.

La medición de presión debe realizarse fuera de la región de entrada, por lo que es necesario utilizar una

tubería con una longitud que exceda 40 veces su diámetro y tener un buen tramo de tubería donde se pueda medir la caída de presión y velocidad de flujo en régimen laminar completamente desarrollado. Por lo tanto la tubería deberá medir 4 metros como mínimo (2 metros de longitud de entrada y 2 metros para las mediciones).

En el caso que se requiera evaluar los efectos de entrada que no pueden ser evitados considerando los

dos primeros metros de la tubería, se debe realizar la medición en diferentes longitudes de tubería con un mismo diámetro y aplicar la corrección resumida en el presente informe

Para el caso que se requiera evaluar los efectos del deslizamiento que no se puedan evitar con una

tubería rugosa y de diámetro amplio (2 pulgadas), se debe realizar la medición en diferentes diámetros de tubería con una misma longitud y aplicar la corrección resumida en el presente informe

Los instrumentos de medición de flujo deben estar correctamente calibrados y ser adecuados para el tipo

de pulpa que se desea medir.

11.0 BIBLIOGRAFÍA

Bruce R. Munson, Donald F. Young and Theodore H. Okishi, “Fundamentals of Fluid Mechanics” (2002)

Christopher W. Macosko, “RHEOLOGY: Principles, Measurements and Applications” (2004)

Edward J. Shaughnessy, Jr., Ira M. Katz and James P. Schaffer, “Introduction to Fluid Mechanics” (2005)

H.A. Barnes, J. Non-Newtonton Fluid Mech. 56 (1995) 221-251

I. Fyrippi, Flow Measurement and Instrumentation 15 (2004) 131–138

J. Peixinho, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 128 (2005) 172–184

J. Wiklund, M. Stading, Flow Measurement and Instrumentation 19 (2008) 171–179

R.P. Chhabra and J.F. Richardson, “Non-newtonian Fluids and Applied Rheology” (2008)

Th. Wunderlich, P.O. Brunn, Flow Measurement and Instrumentation 10 (1999) 201–205

Y. I. Cho and James Hartnett, Advances in Heat Transfer Vol.15

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Marco Díaz Emmanuel PornillosTecnico Metalurgista Gerente Area de Procesos

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desarrollo de tecnologia

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