desarrollo de pensamiento espacial: una propuesta de...
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DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL:
UNA PROPUESTA DE AULA EN EL CAMPO DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Autores: ROBERTO ANDRÉS GUTIÉRREZ URIBE 20081145061
JORGE ENRIQUE BULLA AFANADOR 20081145053
Trabajo de grado para optar por el título de:
Licenciado en educación básica con énfasis en matemáticas
Monografía Tipo I
Universidad Distrital Francisco José de caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular Licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas
Bogotá D.C Noviembre Del 2013
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DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL:
UNA PROPUESTA DE AULA EN EL CAMPO DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Autores: ROBERTO ANDRÉS GUTIÉRREZ URIBE 20081145061
JORGE ENRIQUE BULLA AFANADOR 20081145053
Director: Jorge Rodríguez Bejarano
Trabajo de grado para optar el título de:
Licenciado en educación básica con énfasis en matemáticas
Monografía Tipo I
Universidad Distrital Francisco José de caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular Licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas
Bogotá D.C Noviembre Del 2013
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Índice
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………………….........7
CAPÍTULO 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA………………………………………………………………8
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN………………………..9
OBJETIVOS………………………………………………………………………………………………………………………………..10
Objetivo general
Objetivos específicos
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA……………………………………………………………………………………………11
ETAPA PREPARATORIA
ETAPA TRABAJO DE CAMPO
ETAPA INFORMATIVA
CAPÍTULO 3. DIMENSIONES TEORICAS…………………………………………………………………….13
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA……………………………………………….14
CATEGORÍAS BÁSICAS PARA EL DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL.22
CAPÍTULO 4.DESCRIPCIÓN DE ACTIVIDADES Y GUÍAS DE TRABAJO……………26
ACTIVIDAD 1……………………………………………………………………………………………………………………………..27
Representaciones del espacio desde dos momentos de la historia
ACTIVIDAD 2…………………………………………………………………………………………………………………………….32
Reflexión en las construcciones del espacio
ACTIVIDAD 3…………………………………………………………………………………………………………………………….36
Elementos de la geometría descriptiva encaminada hacia las vistas y proyecciones.
ACTIVIDAD 4…………………………………………………………………………………………………………………………….45
6
Objetos tridimensionales en planos bidimensionales
ACTIVIDAD 5……………………………………………………………………………………………………………………………..51
Observación, construcción y representación a través de los sólidos platónicos.
ACTIVIDAD 6……………………………………………………………………………………………………………………………60
Proyecciones múltiples: Representación de formas tridimensionales en diferentes
planos.
CAPÍTULO 5.ANÁLISIS DE DATOS……………………………………………………………………………….64
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1………………………………………………………………………………………….65
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2………………………………………………………………………………………….69
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3………………………………………………………………………………………….73
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 4…………………………………………………………………………………………79
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 5………………………………………………………………………………………….83
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 6………………………………………………………………………………………….91
CAPÍTULO 6.CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………100
Bibliografía, Hemerografía, Cibergrafia General y/o Específica
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INTRODUCCIÓN
La presente investigación pretende generar la posibilidad de desarrollo de
pensamiento espacial a partir de trabajo escolar en el campo de la Geometría
Descriptiva. En consecuencia, la problemática que se va a abordar y que guiará las
decisiones del grupo está orientada por la siguiente pregunta: ¿Qué aspectos de la
geometría descriptiva, serán los indicados para el desarrollo del pensamiento
espacial en niños de grado quinto? De esta manera queremos pronunciarnos acerca
de la conveniencia de incluir este objeto matemático al currículo de la educación
básica y media, evidenciando en la densidad del campo, tres conceptos claves para
la iniciación de esta disciplina, a saber: perspectiva, proyección y profundidad.
De manera global, el capítulo primero abarca los referentes legales y teóricos para
la construcción del problema de investigación, esto dará paso a la indagación sobre
el estudio del desarrollo del pensamiento espacial. En el capítulo número dos
buscamos a priori, la forma de planificar las acciones de los estudiantes frente a
las actividades planteadas por el grupo de investigación, esto, con ánimo de
recolectar información que nos permita relacionarla con procesos del pensamiento
espacial. En el tercer capítulo se resume la importancia de los trabajos realizados
con el proceso de manejar bidimensionalmente un espacio tridimensional
resaltando algunos conceptos que se tendrán en cuenta para el desarrollo de las
actividades. En los capítulos cuatro y cinco se sintetiza la elaboración de las
actividades y algunas muestras significativas en el proceso de evolución en el
pensamiento espacial. Por último, en el capítulo seis planteamos la conveniencia de
profundizar en el estudio del espacio en edades tempranas.
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CAPÍTULO 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
El pensamiento espacial constituye una parte importante del pensamiento matemático,
ya que hace referencia a la percepción intuitiva o racional del individuo respecto a su
entorno y a los objetos que en él encuentra (Ministerio de Educación Nacional [MEN],
2002).A su vez, este pensamiento está definido como “… el conjunto de los procesos
cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones
mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y
sus diversas traducciones o representaciones materiales” (MEN, 2002, p. 61).
Gardner (1998) “comenta que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento
científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje
y en la resolución de problemas. Además, plantea que:
“El manejo de información espacial ayuda a resolver problemas de ubicación,
orientación y distribución de espacios, es peculiar a esas personas que tienen
desarrollada su inteligencia espacial. Se estima que la mayoría de las profesiones
científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las
ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física,
matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia
espacial(p. 38)”.
Por otra parte, Yáñez (1986) plantea que la imaginación espacial se enriquece y se
potencia con experiencias espaciales reales, pero que al situarse en el ámbito de la
enseñanza de la Geometría Descriptiva se puede observar que la mayor parte de la
cultura espacial que se ofrece al alumno es insuficiente por ser el producto en su
mayoría de imágenes planas.
De acuerdo con las Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 2007) cuando
hacemos referencia los objetos físicos, es necesario enfatizar en las
representaciones gráficas y simbólicas de estos, teniendo en cuenta su localización,
posición, formas y modificaciones que estas representaciones puedan tener. Al
respecto, Yáñez (1986) comenta que mediante la reducción de lo tridimensional a lo
bidimensional, las figuras planas de la Geometría Descriptiva se convierten en los
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sustitutos de las formas espaciales. Así, mediante la representación se puede actuar
simbólicamente sobre la realidad espacial.
De esta forma Maslow (1970, citado por Carretero, 2001, p. 36), plantea que “en el
proceso de aprendizaje es necesario contar además con elementos que ayuden a
convertir al estudiante en participe de su propio proceso (sic)”. Consideramos que uno
de esos elementos planteados por Maslow, podría ser la introducción de la Geometría
Descriptiva, pues la posibilidad de estudiar los poliedros platónicos, con modelos
geométricos tangibles y con transformación de lo espacial a lo plano, podría generar
participación estudiantil, y con ella, desarrollo de pensamiento espacial.
En relación a la enseñanza de la Geometría Descriptiva, Sert (1983 Citado por Yáñez,
1986, p. 4) comenta la importancia de los recursos didácticos:
“En la geometría descriptiva es necesario el proceso de aprendizaje a partir de
lo real concreto antes de alcanzar su representación desde la cual se puede
manipular la realidad simbólicamente. Yo sugeriría que se empezase a trabajar
con las dos manos, construyendo volúmenes completos, concibiendo espacios
desde adentro hacia afuera. Este sistema consiste en desarrollar el trabajo en
forma de modelos tridimensionales antes de realizar algún tipo de dibujo sobre
el tablero”.
En consecuencia con las afirmaciones expuestas, se ha considerado generar tipos de
competencias que lleven al desarrollo del pensamiento espacial para una mejor
comprensión y valorización de nuestro entorno (Ortiz M, 1999),evidenciando la
importancia de verla Geometría Descriptiva como una herramienta didáctica
indispensable para desarrollar los sistemas de representación y potenciar la
concepción espacial (Carretero 2001). No obstante esa importancia, de este campo
matemático ha sido excluido tanto de los estándares de matemáticas como de los
lineamientos curriculares de la Básica Secundaria, incluso, como plantea Yáñez (1986,
p. 6) no se involucra en el desarrollo del pensamiento espacial:
“Después de haberse constatado el fracaso de una enseñanza secundaria en
exceso abstracta particularmente en el área donde se inserta la enseñanza de
la geometría, parece necesario recordar lo que en muchas ocasiones se ha
propugnado, que es la necesidad de impulsar, no solo una didáctica activa, sino
también heurística, es decir, que permita llegar al alumno por sí mismo a
conocimientos espaciales mediante situaciones presentadas hábilmente por el
profesor. En este sentido se ha de pretender desarrollar la intuición espacial”.
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Los pronunciamientos anteriores constituyen argumentos suficientes para afirmar la
conveniencia de incluir este objeto matemático al currículo de matemáticas, además,
para recuperar el sentido espacial intuitivo que se ha olvidado mediante la matemática
moderna, como lo sugieren los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998).
A partir de las consideraciones anteriores, la pregunta que aborda la monografía es:
¿Qué aspectos de la geometría descriptiva han de considerarse en una propuesta de enseñanza que pretenda el desarrollo de pensamiento espacial?
Responder a esta pregunta, exige abordar otras asociadas. Estas son:
¿De qué manera se puede realizar una secuencia de actividades en la que los
estudiantes de grado quinto logren hallar coherencia y significado a la aplicación en la
geometría descriptiva?
¿Qué configuración habría de tener una situación fundamental que permita abordar
aspectos de la Geometría Descriptiva?
Nuestro objetivo principal para con la monografía es evidenciar la posibilidad de
desarrollo de pensamiento espacial a partir de trabajo escolar en el campo de la
Geometría Descriptiva, por consiguiente, identificamos aspectos que se deben tenerse
en cuenta para logar dicho objetivo, estos son:
Diseñar una secuencia de actividades que tiene como fin propiciar el desarrollo
de pensamiento espacial, a través del trabajo en el campo de la geometría
descriptiva.
Concebir estrategias didácticas que permitan desarrollar argumentos en la
toma de decisiones por parte de los estudiantes.
Promover la resolución de problemas hacia el trabajo individual y grupal,
orientado a la comprensión del campo geométrico.
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CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Para la elaboración del siguiente trabajo de grado, y lograr objetivos propuestos,
se expondrá de manera genérica las características y componentes de dicha
metodología, esto con ánimo de referir las acciones de planificación, ejecución, y
sistematización de las situaciones trabajadas con los estudiantes de quinto grado.
Para efecto de este proyecto, se explicita la correlación de la metodología con los
datos a analizar e interpretar de acuerdo a los planteamientos de las situaciones
abordadas. Inicialmente abra un momento de preparación, luego el trabajo de
campo (donde se observarán las acciones de los estudiantes), seguido a esto, un
proceso analítico, para terminar, se concluye con un informe sobre los datos
relevantes (Miles y Huberman, 1994).
En los primeros momentos abordamos la pregunta ¿Qué aspectos de la geometría
descriptiva, serán los indicados, para el desarrollo del pensamiento espacial en
niños de grado quinto? Para responder a ella, nos preguntamos qué aspectos del
pensamiento espacial se trabajan en grado quinto. Encontramos que en los
estándares básicos de competencias en matemáticas (MEN, 2002), se plantea que
los estudiantes de grado quinto deben construir objetos tridimensionales a partir
de representaciones bidimensionales y realizar el proceso inverso, en contextos de
arte, diseño y arquitectura. En el trabajo de campo se hará la recolección de datos
en el espacio de formación, van encaminados a grabar las sesiones para determinar
los procedimientos analíticos e interpretativos que hacen los estudiantes del
campo geométrico, además, se realizará, para los casos pertinentes; entrevistas
estructuradas, las cuales permitirán focalizar aspectos relevantes de las
situaciones aplicadas. Por último, los informes verbales evidenciarán el tipo de
representación a la que hacen referencia los estudiantes.
En la etapa analítica se identifican tres características, las cuales son: reducción
de datos, disposición y transformación de datos. Para la planificación de las
actividades se tendrán en cuenta cuatro aspectos, la vida cotidiana, lo que
preocupa a la gente, experiencias concretas que resultan significativas, el
contraste con otros especialistas y la lectura de trabajo de otros investigadores, y
de esta manera, lograr las actividades que serán planteadas a los estudiantes de
grado quinto, durante el desarrollo de la investigación. Seguido a esto, la obtención
de resultados y verificación de conclusiones. Para lograr esta etapa, se crearán
categorías de análisis, estas irán dirigidas a la construcción del pensamiento
espacial por medio del trabajo de campo en la geometría descriptiva, teniendo en
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cuenta los aspectos de semejanza y congruencia de figuras tridimensionales a
bidimensionales, y de esta forma obtener las evidencias y así poder observar de
una manera más precisa, lo construido por los estudiantes. Por último en la etapa
informativa se elaborará un informe cualitativo en el que se presentará los datos
sistemáticamente que apoyen el caso del investigador y refute las explicaciones
alternativas. En esta etapa se mostrará si los objetivos y preguntas propuestas en
la investigación realmente fueron cumplidos exitosamente.
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CAPÍTULO 3. DIMENSIONES TEORICAS
EL PADRE DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA: GASPARD MONGE
Beaune, Francia, 1746-París, 1818
Se refiere el trabajo de Mongue, porque en este puede inferirse la importancia que
existe al manejar el espacio tridimensional en un plano bidimensional y viceversa, por
lo tanto, pensamos que retomar sus vivencias y su doctrina permitirá reflejar las
habilidades en la trasformación del espacio. Se hará un recorrido histórico para
reflexionar sobre un campo del conocimiento que debe tomar más fuerza en las
generaciones futuras.
Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo
(siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas
de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de
representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos planos,
métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que
constituyen los inicios de la geometría descriptiva, siendo el sistema diédrico el más
célebre de todos ellos. Un año después de ingresar en la escuela, le encargaron
desenfilar una posición en un terreno accidentado. (Desenfilar una posición es
protegerla del fuego enemigo). Monge aplicó los métodos geométricos que había
desarrollado y resolvió el problema con extraordinaria rapidez. Monge tuvo que
explicar a sus profesores el método de resolución y esto le valió el reconocimiento.
Bossut, que era profesor de Matemáticas, le nombró répétiteur' (una especie de
profesor individual de alumnos) de matemáticas, y cuando Bossut fue designado
examinador de alumnos de ingenieros, Monge ocupó su plaza. Esto ocurrió el 1 de enero
de 1769.
Al afirmarse el cristianismo, tanto la pintura mural como el tablón buscan producir
efectos para atraer fieles. En la edad Media se desarrolla la pintura sobre vidrio,
conocida ya en la época romana. Hacia el siglo XIV aparecen las primeras obras
pictóricas de carácter profano, caballeresco, cortesano y aún político; en el siglo XV
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empieza a desarrollarse la pintura sobre tela. En el renacimiento se descubre la
perspectiva, entendida ésta como la representación racional del espacio (o
representación de la tercera dimensión en una superficie plana); se desarrolla
también el interés por la representación de la acción del movimiento y en
consecuencia, el estudio de la anatomía. Desde el punto de vista técnico, los flamencos
introducen la pintura al óleo ya que gracias a la mezcla más suave y brillante, permite
desarrollar grandes variaciones de luminosidad.
En el siglo XVI, en Venecia, nace la pintura tonal que se basa en las relaciones entre
los colores y la diversidad de intensidad luminosa que en la perspectiva y el claroscuro.
En el siglo XIX, los impresionistas también se basan en el color, que parece disolver la
forma para crear un universo unitario y luminoso.
A partir del siglo XX, la pintura abandona las formas naturales y busca representar la
realidad a través del cilindro, el cono y la esfera: nace así el cubismo. Después de la
Primera Guerra Mundial se impone la más audaz y discutida corriente: la abstracta,
que desarrolla las formas figurativas tradicionales y concibe la pintura como una
disposición esencial de líneas, formas y colores capaces por sí solos de despertar una
emoción.
Se abren así los dos caminos: el regreso a lo figurativo y la búsqueda de algo nuevo que
se apoya más en su base técnica que en la misma obra como producto final. La
búsqueda de lo nuevo lleva a la profundización de los más diversos procedimientos para
aplicar el color. Este se obtiene con toques pequeños o grandes, con manchas o
pegotes, con pincel o espátula, directamente del tubito de color, por goteo, por
chorro, por adhesión de fragmentos de papel, vidrio, tela, con fragmentos de metal o
de otros materiales plásticos. La clave está en experimentar.
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMEDTRÍA DESCRIPTIVA
La perspectiva
Al mirar a nuestro alrededor podemos observar cosas que cuando nos alejamos se
vuelven pequeñas. Cada objeto ocupa una posición precisa en el espacio según la
distancia a que se encuentre respecto de nosotros nos parece más o menos grande.
Para plasmar esto en sus obras pictóricas, el pintor tiene que recurrir a un truco: en el
dibujo puede representarse la altura y la longitud pero no la profundidad.
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La perspectiva es la parte de la Geometría Descriptiva que enseña a representar los
objetos en tres dimensiones sobre una superficie de dos dimensiones, en forma tal
que la imagen en perspectiva y en la visión directa coincida.
En la pintura y en la historia del arte, el termino perspectiva se utiliza en forma muy
general para indicar todos los diferentes métodos de representación de la
profundidad espacial, sistemas parcialmente conocidos por los griegos y romanos, pero
codificados solamente a partir del siglo XV.
Los dos tipos fundamentales de perspectiva son la linear, que se obtiene haciendo
converger las líneas de los objetos representados hacia un punto central localizado en
el horizonte, y la de área, con la cual se logra representar la distancia real degradando
la luz y los colores.
La pared de fondo de la Capilla
Sixtina, en Roma, está completamente
ocupada por el “Juicio Universal”. La
obra fue realizada por Miguel Ángel
con la técnica del fresco y necesitó
cinco años para su realización.
La proyección.
Clases de proyección
Se llama proyección de un punto A sobre un plano β a la intersección con éste, del rayo
proyectante que pasa por A y por el centro de proyección O (FIG 1). La proyección del
punto A sobre el plano β, desde el punto O, es el punto A´. La recta O-A-A´ es el rayo
proyectante.
Hay dos clases de proyecciones: Proyección Cónica Y Proyección Cilíndrica. La primera
recibe también el nombre de proyección central: en la proyección cónica o central,
todos los rayos proyectantes pasan por un solo punto fijo llamado centro de
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proyección, punto de la FIG 1. La proyección es cilíndrica cuando el centro de
proyección es impropio, es decir, está en el infinito y, por ello, todos los rayos
proyectantes son paralelos.
En la Fig.1 el punto A´ es la proyección cilíndrica oblicua del punto A sobre el plano a,
según una dirección determinada. En la FIG.1, la proyección es cilíndrica ortogonal
sobre el plano β. Según esto, hay dos clases de proyecciones cilíndricas: oblicua y
ortogonal.
Los puntos de un mismo rayo proyectante tienen las proyecciones confundidas. Así, en
la FIG.1 tenemos una proyección cónica cuyo centro de proyección es O; los puntos A,
B, C, situados en un mismo rayo proyectante, tienen sus proyecciones A´, B´y C´
confundidas o coincidentes. Lo mismo ocurre con los puntos D y E.
En la FIG. 2 se utiliza una proyección cilíndrica oblicua y los puntos A,B y C, situados
en un mismo rayo proyectante, se proyectan confundidos en A´≡ B´≡C´.
En la FIG. 2, la proyección cónica o central de una recta AB es la recta A´B´; basta, pues,
hallar las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella para obtener su proyección.
(FIGURA 1)
(FIGURA 2)
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Igualmente, en las (FIG 2), se halla la proyección cilíndrica oblicua y la ortogonal,
respectivamente, de una recta sobre un plano. En ambos, basta unir las proyecciones de
dos puntos cualesquiera de la recta en el espa
Situación de un Punto
Para localizar la posición de un determinado punto simple, numérica o gráficamente,
debemos relacionarlo con otro cuya situación sea conocida. Este punto fijo viene a ser
como “el punto de referencia”, o más bien como “origen de mediciones” y todos los
demás puntos podrán ser localizados a partir de él por cualquier sistema de
mediciones tridimensionales. El sistema Cartesiano de coordenadas rectangulares, que
se indica en la figura (3 y 4), es el más empleado en matemáticas, particularmente en
la Geometría Analítica de los cuerpos. Por el origen O hacemos pasar tres ejes (X,Y,
Z) perpendiculares entre sí, de manera que punto como el A queda perfectamente
situado en el espacio tomando las tres distancias o coordenadas x, y, z.
Figura 3
Sistema Cartesiano
Figura 4
Proyecciones Múltiples
Figura 3 y 4: representación de puntos en un sistema tridimensional de coordenadas
Este sistema de mediciones puede también ser empleado en los dibujos de
proyecciones múltiples, tal como se indica en la figura 4. Se muestran las proyecciones
horizontal, vertical y lateral derecha de los tres ejes.
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Conceptos primarios:
Los puntos:
Que son entidades geométricas sin dimisiones, que hacen parte de los
extremos de una recta y los vértices de los poliedros.
También se considera puntos la intersección entre dos rectas o un lugar
geométrico de tres planos o superficies.
Las rectas:
Son los límites de los polígonos, que son las facetas de los poliedros
mediante sus aristas
Los planos
Que son espacios ínfimamente grandes en donde se realizan las proyecciones del
mundo tridimensional.
Conceptos secundarios
Poliedros:
Son porciones de plano limitados por rectas que se llaman lados del
polígono, que no requieren alguna forma en específica, los cuales se
puede llegar a proyectar mediante una maqueta (representación
tridimensional) mediante la construcción de los modelos.
Poliedros regulares e irregulares:
Figuras geométricas limitadas por lados iguales en donde sus ángulos
internos tienen la misma longitud, por lo tanto los irregulares pueden ser
cóncavos y convexos.
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Indicaciones generales para la lectura de un dibujo
La lectura de un dibujo de múltiples proyecciones ha quedado reducida a un proceso
de análisis completo y exacto. Los análisis de los objetos, representados como cuerpos
geométricos por sus superficies, han sido explicados, en efecto, con considerable
detalle, con objeto de convencer al estudiante poco imaginativo que él también puede
aprender a interpretar un dibujo. Con un conocimiento claro de principios y métodos
aplicados cuidadosamente a la práctica de muchos problemas, la capacidad para saber
leer los dibujos de ingeniería puede adquirirse con facilidad.
Como el conocimiento y la destreza aumentan con la práctica, se aprenderá que los
análisis más bien largos son, en cierto modo, generalmente innecesarios. Tres factores
contribuyen a esta facilidad interpretativa: 1. El recurso a emplear las formas
geométricas, como partes componentes de los objetos que nos sean familiares; 2. El
simple reconocimiento de los objetos corrientes y 3. La aplicación rápida, casi
subconsciente, de los métodos analíticos.
La anterior imagen nos muestra los dibujos de múltiples proyecciones,
correspondientes a unos cuantos cuerpos geométricos sencillos y familiares, que
además de estar solos se han combinado entre sí. Tales objetos no requieren, con
seguridad, ningún análisis ya que son apreciados a primera vista
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Dibujos Gráficos
La siguiente figura es una fotografía de un objeto sencillo. La cámara, evidentemente,
ha sido dirigida hacia un ángulo del objeto, y un poco encima del mismo, para que
aparezcan dos lados y las superficies superiores del mismo.
A primera vista dicho objeto es un bloque en forma de L, con un orificio circular en la
base de esa L. Se podría también deducir que la parte alejada o posterior aparece del
mismo tamaño y forma que la cercana y la profundidad del ala izquierda es igual a la de
la derecha; y que todos los ángulos son rectos o de esquinas cuadradas.
Estas observaciones son ciertas, pero supongamos que queremos comprobar estas
conclusiones, midiendo realmente estas dimensiones sobre la fotografía. La figura
siguiente muestra la misma fotografía medida con escalas reales por el frente y la
parte posterior del objeto.
La anchura de la parte posterior, que creíamos era la misma que la frontal,
evidentemente aparece más corta. Medidas similares de otras distancias, que
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aparentemente son iguales en ese objeto, dan el mismo resultado, se descubre que las
distancias más cortas son siempre las más alejadas de la máquina fotográfica. Esta
reducción de tamaño, en distancias que son iguales, es originada por el hecho de que
los bordes del objeto, que realmente son paralelos, no cumplen esta condición en la
fotografía. Esto está demostrado en la imagen anterior, observando las líneas de
trazos. Cuando los bordes del objeto se prolongan en líneas rectas, éstas no son
paralelas, sino que convergen, al prolongarse, en el punto A de la izquierda; mientras
que las líneas horizontales paralelas al lado frontal convergen en un punto B, situado
fuera de la página.
Poliedros- Superficies Planas
Cualquier cuerpo que está limitado, completamente, por superficies planas podemos
considerarlo como un poliedro. Estas superficies planas se llaman caras, y sus
intersecciones aristas. Existen cinco poliedros regulares, que se les llamaba “los cinco
cuerpos de Platón”, de interés general y permanente, siendo convexos y con caras
iguales que son polígonos regulares. En la figura 1, están dibujados los cinco poliedros
regulares, de nombres derivados relativos al número de caras que tengan: El
tetraedro, con cuatro caras de triángulos equiláteros: el cubo o hexaedro, con seis
cuadrados por caras: el octaedro, con ocho triángulos equiláteros; el dodecaedro, que
tiene doce caras pentagonales; y el icosaedro, con veinte caras triangulares
equiláteras.
Con excepción del cubo, los demás poliedros regulares suelen tener muy poco valor
práctico en los asuntos de ingeniería. Sin embargo son muy importantes en la rama de
la mineralogía llamada cristalografía. La mayor parte de los minerales tienen una
estructura cristalina, soliendo tener estos cristales las formas poliédricas regulares.
Los diversos minerales se pueden clasificar, según la simetría de los cristales, con
relación a un centro, a los ejes o a planos de simetría.
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
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CATEGORÍAS BÁSICAS PARA EL DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL
El pensamiento espacial es fundamental para la construcción de habilidades
matemáticas que a través de los años el niño utilizará para dar solución a problemas
matemáticos, no rutinarios. Lappan y Winter (2001, citado por Dickson) expone que el
desarrollo de este pensamiento es la representación bidimensional del espacio
tridimensional, ya que a pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor
parte de las experiencias matemáticas que se proporcionan a los niños se hacen desde
una perspectiva bidimensional; por su parte, Clements y Samara (2009) exponen dos
tipos de competencias fundamentales para la construcción del pensamiento espacial: la
orientación espacial y la visualización espacial.
Las competencias mencionadas implican la comprensión y funcionamiento de las
relaciones entre posiciones en el espacio (paso del egocentrismo al alocentrismo). En
donde se identifica el tamaño y forma de objetos; representación y ubicación en un
espacio tridimensional, a través de la manipulación activa del entorno, esto, visto
desde la orientación espacial, por su parte, la visualización espacial compromete
habilidades de procesar y producir creaciones, interpretaciones, uso y reflexión de
imágenes, dibujos y diagramas mentales en papel o en herramientas tecnológicas, con
el proceso de comunicar información sobre el pensamiento y el desarrollo de ideas
adquiridas con anterioridad.
Un pronunciamiento hacia el acercamiento del pensamiento espacial lo hace Vargas, P
como parte de todas las formas de conocimiento, en lo microcósmico y en lo
macrocósmico. Se han de tener en cuenta tres características primordiales para
evidenciar la evolución de dicho pensamiento, como lo son: a) comprender objetos
tridimensionales partiendo de gráficos bidimensionales, y viceversa b) habilidad para
imaginar una representación tridimensional desde distintas perspectivas, y c)
habilidad para visualizar – concretamente e imaginariamente - efectos de reflexión e
inversión de objetos-imágenes.
La aptitud espacial es una de las habilidades cognoscitivas más estudiadas por las
ciencias cognitivas, en especial las habilidades que tiene un individuo para rotar
mentalmente un objeto o para desarrollar un sólido desplegado, Si bien existen varios
términos para referirse a la aptitud espacial, usaremos indistintamente “visualización
espacial” y “relación espacial”, entendida ésta como la habilidad para generar una
representación o imagen mental de un objeto, realizar movimientos con dicha imagen y
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construir otra representación luego de surtidas las transformaciones. Igualmente se
considera una aptitud espacial la denominada velocidad de clausura o la habilidad para
completar una imagen inconclusa. Así mismo Carroll (1993) distingue tres tipos de
desarrollo de pensamiento espacial relaciones espaciales (rotación mental como factor
predominante), orientación espacial (perspectiva y rotación) y visualización (conteo de
bloques y velocidad de clausura por ejemplo).
De esta forma podemos establecer las categorías de análisis que fundamentaran la
investigación propuesta:
Percepción visual
Rotación Mental
Visualización
El sistema de representación visual es la capacidad de abstracción que está
directamente relacionada con la capacidad de visualizar, podemos traer mucha
información a la vez. Visualizar nos ayuda además, a establecer relaciones entre
diferentes ideas y conceptos. Los alumnos visuales aprenden mejor cuando leen o ven
la información de alguna manera. En una conferencia, por ejemplo, preferirán leer las
fotocopias o transparencias a seguir la explicación oral, o, en su defecto, tomarán
notas para poder tener algo que leer. Hay que señalar que la representación visual, en
su evolución, siempre intenta simular la perspectiva tridimensional. Y la capacidad para
traducir entre representaciones bidimensionales y tridimensionales es fundamental
para ampliar las posibilidades del pensamiento espacial. Por ejemplo: un mapa
conceptual bien puede derivar en una red tridimensional, y un mapa mental bien podría
ser un conjunto de terminales en el espacio alrededor de un núcleo. Grupo Sócrates
(2006)
Por otro lado, Aguado R (s.f) comenta que el desarrollo de la percepción espacial cobra
una importancia indiscutible desde el momento que definimos el espacio como aquel
lugar en el que desarrollamos nuestra actividad. Es nuestro entorno propio, cercano o
lejano que viene inherente a nuestra existencia: nosotros formamos nuestro espacio e
intervenimos en el de los demás. Es un parámetro fundamental en el desarrollo motor
del niño, dentro de la vida cotidiana e imprescindible en el desarrollo de la actividad
física y deportiva.
Pero el desarrollo de este tan importante pensamiento se ha olvidado por algo llamado
“matemática moderna” así como lo menciona Arrieta (2002): “La percepción espacial es
la que presenta un mayor déficit de tratamiento en todos los niveles, aunque
actualmente y con la revisión de los planes de estudio parece otorgársele el lugar que
nunca debía haber perdido en el curriculum. En los años de implantación de la
Educación General Básica [EGB], años 60-70, prácticamente desapareció de los planes
24
de estudio debido al impulso de la llamada Matemática moderna, a su formalismo y a la
algebrización de la geometría. (p. 2)”.
Por lo consiguiente se crean sub-categorías de análisis para el análisis de las
actividades propuestas encaminadas hacia el desarrollo del pensamiento espacial por
medio de la geometría descriptiva:
Visualización
Descubrir la posición de diversos objetos en el espacio y las variaciones de tamaño y
forma que se pueden percibir como resultado de las diferentes ubicaciones de
observación como giro, acercamiento o no de las figuras. Tomado de (Pineda 2012)
Desarrollar habilidades para construir relaciones entre objetos y el espacio (Clements
2009).
Reconocimiento de figuras según su forma, lados rectos o curvos, convexidad.(Pacheco
2008)
Identificación de propiedades geométricas de cuerpos según la forma de las caras
planas y curvas, convexidad.(Pineda 2012)
Descripción, reproducción y representación de figuras y cuerpos utilizando
representaciones de algunas formas bidimensionales y tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
Mejorar la calidad del análisis perceptivo respecto de los elementos del espacio (Le
Boulch, 1991).
Reconocimiento de movimientos, simetrías, traslaciones y rotaciones en la
construcción de representación de figuras.(Pineda 2012)
Promover experiencias de organización espacial que conjuguen elementos propios de su
estructura y de orientación al espacio (Castañer, 2001).
Capacitar al niño para que pueda representar en forma simbólica lo que ha vivido y
percibido, mediante la utilización del grafismo. (Le Boulch, 1991).
Percepción espacial
Comprender y organizar el espacio generando redes o sistemas de coordenadas frente
a las construcciones mentales de forma, objeto o conjunto de objetos entre el
espacio. (Clements 2009)
Ampliar el tamaño del espacio de forma progresiva (Clements 2009)
Crea medidas y herramientas no convencionales para solucionar problemas
relacionados con las dimensiones del espacio.(Pineda 2012)
25
Coordinación de las diversas perspectivas desde las que se puede contemplar una
realidad espacial.(MEN 1998)
Desarrollo de los sistemas de referencia a la localización de objetos en el espacio.
Desarrolla nociones proyectivas, perspectiva, rectitud, distancia, profundidad,
paralelismo frente al desarrollo de pensamiento espacial. (MEN 1998)
Elabora relaciones espaciales más complejas implicando la referencia de los puntos de
vista sobre el mundo y de los otros con su propio cuerpo. (Pineda 2012)
Objetivación de los puntos de vista y juicios sobre las relaciones espaciales.
Diferenciar entre espacio propio, próximo y lejano (Castañer, 2001).
Saber actuar con localizaciones de objetos en el espacio según marcos de referencia
subjetivos (egocentrismo) y objetivos (Castañer, 2001).
Ser capaz de proyectar el propio cuerpo en el espacio circundante (Castañer).
Rotación Mental
Desarrollar las capacidades mentales de rotación (Clements 2009)
Orientar o situar objetos y sujetos con la necesidad de relacionar los objetos entre
sí, en función de una perspectiva dada. (Pineda 2012)
Saber conjugar diversos elementos de estructura espacial (alturas, planos, distancias,
ejes…) (Castañer, 2001)
26
CAPÍTULO 4.DESCRIPCIÓN DE ACTIVIDADES Y GUÍAS DE TRABAJO
Esta propuesta didáctica pretende contribuir al desarrollo de pensamiento espacial y
los niveles de competencia matemática formular y resolver problemas en estudiantes
de grado quinto a partir de la enseñanza de algunos aspectos de la geometría
descriptiva.
Para el desarrollo de estas actividades se tuvieron en cuenta varios referentes
teóricos uno de ellos Bishop (2005) asume los roles tanto del profesor como del
estudiante y su relación, además como será entendida la clase de geometría. Estos
tres elementos asumidos a la luz del modelo sistémico de la didáctica fundamental,
que en este caso resultaría de la siguiente manera:
Estas actividades están enfatizadas en tres ejes básicos para desarrollar
pensamiento espacial, a saber: visualización, percepción espacial y rotación mental. La
primera actividad va enfocada en reconocer habilidades del estudiante entorno al
pensamiento espacial por medio respecto a elementos de la geometría descriptiva:
Profundidad-Perspectiva- Proyección. En la segunda actividad se pretende reflexionar
27
frente a los conceptos abordados en la actividad anterior, en la tercera actividad se
reconocen elementos de la geometría descriptiva para así lograr que los estudiantes
se encaminen hacia las vistas y proyecciones. Seguido a esto se abordaran las
representaciones de objetos tridimensionales en planos bidimensi6onales, en la sexta
actividad se realizara una observación, construcción y representación a través de los
sólidos platónicos, para así concluir con la representación de formas tridimensionales
en diferentes planos (proyecciones múltiples).
ACTIVIDADES
ACTIVIDAD 1
Representaciones del espacio desde dos momentos de la historia
Objetivo General
Reconocer habilidades del estudiante entorno al pensamiento espacial por medio
respecto a elementos de la geometría descriptiva: Profundidad-Perspectiva-
Proyección.
Objetivos Específicos
Proporcionar herramientas que permita al estudiante adquirir capacidades al
comparar, representar y formular cuestionamientos frente a las representaciones
hechas por los egipcios y el video-juego Top Gear.
Reconocer la capacidad de imaginación de cada estudiante frente a las
representaciones tridimensionales, para así identificar las diferencias y
|comparaciones entre estas.
28
Temática
Modelar una situación de enseñanza consiste en producir un juego específico del saber
pretendido, entre diferentes subsistemas: el sistema educativo, el sistema alumno, el
medio, etc. Se trata de describir precisamente estos subsistemas por las relaciones
que mantiene en juego.
Antes de precisar el tipo de juego que será utilizado, es necesario identificar las dos
grandes finalidades de la modelización.
Respecto del conocimiento: el juego debe ser tal, que el conocimiento aparezca en la
forma elegida, como la solución o como el modo de establecer la estrategia óptima.
Respecto de la actividad del profesor: el “juego” debe permitirla representar todas
las situaciones observadas en las clases, si no los desarrollos particulares, incluso los
menos “satisfactorios” desde el momento en que lleguen a hacer aprender a los
alumnos una forma de saber previsto.
Descripción de la actividad
La sesión de clase estará orientada al reconocimiento de los elementos del campo de la
geometría descriptiva (perspectiva, profundidad y la proyección) con ánimo de generar
desarrollo del pensamiento espacial, para ello se entregará una guía (Anexo 1) por
grupos de a lo sumo cuatro estudiantes, en donde deberán observar, analizar y hacer
una tabla de diferencias y comparaciones entre dos representaciones sin tener en
cuenta lo que se representó, si no la manera en que se representó.
Seguido a esto los estudiantes en su grupo de trabajo deberán realizar una tercera
representación, en donde este cuadro de diferencias y comparaciones, se transforme
en un solo cuadro de comparaciones, teniendo como base alguna de las dos
representaciones. Al concluir esta representación pasara un representante de cada
grupo a exponer su tercera representación, y así identificar que errores, dificultades,
y capacidades tienen frente a esta situación.
29
Situación Fundamental
El ser humano ha sufrido la necesidad de representar el espacio que rodea los egipcios
por ejemplo, describían el espacio pero al observar sus representaciones no llegaban a
una perfección como se ve actualmente. Los últimos desarrollos visuales han
favorecido al desarrollo del campo de la “geometría descriptiva” (Representación del
espacio tridimensional en un espacio bidimensional)
Categorías de análisis
Las categorías de análisis de nuestro trabajo está dividida en tres partes:
Percepción Visual
Rotación Mental
Visualización
Para cada actividad se desarrollan algunas de las tres categorías de análisis, en esta
actividad se puede analizar la percepción visual y la visualización.
Recursos y material didáctica
Guía # 1
Hojas blancas (Respuesta)
Marcadores
Regla
Tiempo
2 Sesiones.
1 sesión: miércoles 3 de septiembre de 2014
2 sesiones: miércoles 10 de septiembre de 2014
Bibliografía
Clements, D., & Sarama, J. (2009). Learning and Teaching Early Math. The Learning
Trajectories Approach. New York: Taylor & Francis.
30
Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el
desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.
Pacheco, M. & Inés, M (2008), “La geometría en el jardín de infantes: En búsqueda de
su sentido”.
CASTAÑER, MARTA; CAMERINO, OLEGUER (2001): La educación física en la
enseñanza primaria. Barcelona. INDE publicaciones 4ª edición.
LE BOULCH, JEAN (1991): La educación psicomotriz en la escuela primaria. Barcelona.
Paidós 2ª reimpresión.
31
GUIA 1 COLEGIO POMBOLANDIA.
“EDUCACIÓN EN VALORES PARA LA CONVIVENCIA Y LA PRODUCTIVIDAD”
ACTIVIDAD#1
NOMBRE________________________________FECHA_____CURSO: QUINTO
Responde las siguientes preguntas de acuerdo a los videos “La cultura Sumeria y arte
en la prehistoria”
1) ¿Cuál fue la primera civilización?
2) Mencione 5 logros de esta civilización
3) ¿Cómo se realizaban las representaciones del espacio?
4) ¿Para qué se realizaban estas representaciones del espacio?
5) Encuentre tres diferencias entre las representaciones rupestres y
representaciones actuales
¿Qué diferencias se destacan en
las representaciones hechas por
los egipcios y los efectos visuales
contemporáneos?
Pensando en las diferentes épocas
en las que se representaron estas
dos imágenes: ¿cuáles
características comunes podrías
mencionar?
Observando las dos representaciones
¿Qué modificaciones podrías hacer, de tal forma, que las diferencias mencionadas
anteriormente, se transformen en características comunes?, Realiza un dibujo
evidenciando tu respuesta
32
ACTIVIDAD 2
Reflexión en las construcciones del espacio
Objetivo general
Reflexionar frente a los conceptos y concepciones que se presentaron en la actividad
“Comparaciones y diferencias a través de la historia”
Objetivos Específicos
Promover la imaginación mediante las representaciones múltiples de un dado.
Analizar la percepción de cada estudiante a través de las diferentes
representaciones que se da en cada plano.
Temática:
Reflexionar frente a lo que se desarrolló en la sesión anterior, nos lleva analizar
alguna de las preguntas que se construyeron en esta:¿Existirá algún método para el
desarrollo de las representaciones hecha por los egipcios y el juego top Gear, en lo
que concierne al paso de 3 dimensiones a 2 dimensiones y viceversa?. La Geometría
Descriptiva se ha desarrollado distintos, métodos de representación tridimensional
que son los procedimientos que permiten determinar la imagen o representación
precisa de cualquier figura u objeto. Estos han evolucionado paulatinamente.
Otra de las preguntas que se les formuló a los estudiantes es ¿Para que realmente se
maneje representaciones en el espacio? Frente a esto la MINIEDUC (2013) menciona
“Para desarrollar los conceptos y las ideas geométricas, es necesario que la y el
estudiante explore su entorno, las distintas formas que tienen los objetos y esta
interacción le permitirá relacionar y elaborar ideas geométricas en forma intuitiva;
posteriormente, con la enseñanza de la geometría formal le permitirá avanzar en el
33
desarrollo del conocimiento del espacio, de tal manera que en un momento dado pueda
prescindir de él y manejar mentalmente imágenes de las figuras 3D y 2D”
Descripción de la actividad:
Esta actividad se desarrollara en dos sesiones.
La primera sesión dará inicio con la entrega de una guía (ver anexo 2) a cada
estudiante, la cual consta de 4 preguntas que estarán dirigidas hacia la siguiente
pregunta ¿Qué realmente queremos analizar en la actividad de la sesión anterior?
En la segunda sesión de clase se llevara a cabo un debate por medio de una exposición
individual de dos de los puntos de la guía, donde se originara preguntas y respuestas
tanto para los estudiantes como para el docente.
Recursos y material didáctica
Guía # 2
Hojas blancas (Respuesta)
Marcadores
Regla
Tiempo
2 Sesiones.
1 sesión: miércoles 17 de septiembre de 2014
2 sesiones: miércoles 24 de septiembre de 2014
34
Bibliografía
Clements, D., & Sarama, J. (2009). Learning and Teaching Early Math. The Learning
Trajectories Approach. New York: Taylor & Francis.
Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el
desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.
Pacheco, M. & Inés, M (2008), “La geometría en el jardín de infantes: En búsqueda de
su sentido”.
CASTAÑER, MARTA; CAMERINO, OLEGUER (2001): La educación física en la
enseñanza primaria. Barcelona. INDE publicaciones 4ª edición.
LE BOULCH, JEAN (1991): La educación psicomotriz en la escuela primaria. Barcelona.
Paidós 2ª reimpresión.
http://www.convivenciaescolar.cl/usuarios/convivencia_escolar/File/2013/RURAL_ag
osto2013/MATEMATICAS/Conociendolasformasde3Dy2DGuiadocente.pdf
35
GUIA 2 COLEGIO POMBOLANDIA.
“EDUCACIÓN EN VALORES PARA LA CONVIVENCIA Y LA PRODUCTIVIDAD”
ACTIVIDAD#1
NOMBRE________________________________FECHA_____CURSO: QUINTO
1.
2. Construye cada dado desde dos perspectivas diferentes, sabiendo que la casilla
subrayada en negro es el
centro del dado
3. Mencione 5 diferencias entre
las plantillas de los dados y la
construcción realizada.
4. ¿existirá alguna relación
entre esta actividad y la
actividad anterior “Egipcios y
top Gear”?
5. Partiendo de la siguiente imagen conteste las siguientes preguntas:
Describe lo que se muestra en los dos recuadros.
Qué relación existe entre la imagen del recuadro azul y el recuadro rojo
Realiza en una hoja blanca una representación similar a una de las
representaciones de la imagen.
36
ACTIVIDAD 3
Elementos de la geometría descriptiva encaminado hacia las vistas y proyecciones.
Objetivo General
Exponer las nociones básicas de la geometría descriptiva (punto, recta, plano,
paralela), para abordar y encaminar hacia la construcción de proyecciones y vistas
sobre el plano.
Objetivos Específicos
Proporcionar herramientas necesarias para lograr en el estudiante la descripción de
un modelo 3D a una proyección 2D.
Lograr diferentes tipos de proyección en el estudiante, por medio de la construcción
de paralelas en un plano 2D hacia planos de proyección no normales a un eje principal
(Axonometría).
Temática
A través de la historia el hombre siempre ha sentido la necesidad de representar el
espacio en el que ha vivido, por ejemplo una casa, una guitarra, un vaso, una persona,
etc. Y así se llegó a pensar acerca de la geometría descriptiva, Díaz (2012) menciona
“Este interés por representar la realidad lo llevó al estudio de la geometría
descriptiva, este tipo de representación es sin duda mucho más amigable, ya que un
dibujo lo entiende cualquiera, sin embargo, no es fácil representar en un plano, lo que
existe en la realidad o para ser más preciso, lo que existe en tres dimensiones” este
concepto fue desarrollado en 1799 por Gaspard Monge exponiendo en dos dimensiones
objetos en tres dimensiones.
La geometría descriptiva enfoca su estudio hacia las relaciones y el análisis del
espacio tridimensional, para ello necesitan de algunos elementos los cuales son el
punto, la línea, el plano y el volumen.
37
El punto: Es el símbolo geométrico más sencillo y señala
una posición en el espacio sus características son las
siguientes:
No tiene dimensiones.
En el espacio tiene alejamiento y tiene cota.
Puede pertenecer al plano horizontal su cota vale
cero.
Cuando pertenece al plano vertical su alejamiento
vale cero.
La Línea: Este elemento geométrico se obtiene de hacer
una sucesión de puntos, tiene largo, pero carece de ancho y de profundidad, también
se obtiene de unir dos puntos. Hay líneas curvas, rectas, horizontales, etc.
Sirve para unir, asociar, soportar,
rodear o cortar otros elementos
visuales, así como para definir las
aristas o para dar forma a los planos.
Unir, Asociar, Cortar, etc.
Línea recta: es uno de los elementos en particular
más importantes, ya que la podemos encontrar en
todas las representaciones de superficies y
objetos tridimensionales, por definición una recta
es la distancia más corta entre dos puntos dados.
Hay tres clases principales de rectas: horizontal o superior, frontal y lateral.
38
Recta en el espacio y recta sobre el plano horizontal
El Plano: Se obtiene haciendo una
sucesión de rectas paralelas entre sí,
y la forma de identificarla sobre
otros elementos, es el contorno de la
línea que lo envuelve, sólo es posible verla cuando está perpendicular a la vista del
observador. Tiene largo y ancho, pero no profundidad.
El plano se puede representar de las siguientes formas:
1) Por tres puntos no alineados.
2) Por una recta y un punto.
3) Por dos rectas paralelas.
4) Por dos rectas que se cortan.
5) Por tres rectas que se cortan.
El plano es determinado por su forma y dimensión, podemos encontrar plano
horizontal, frontal, de canto, vertical, de perfil, o cualquiera.
El volumen: se obtiene de la sucesión de varios planos paralelos, tiene largo, ancho y
profundidad y contiene los tres elementos anteriormente mencionados (puntos, líneas,
y planos). También se pueden obtener volúmenes de girar alguna forma, ejemplo: el
cono se obtiene del giro de cualquier triangulo plano.
39
Descripción de la actividad:
Esta actividad se desarrollara en dos sesiones.
La primera sesión dará inicio con la propuesta de definir geometría descriptiva,
durante toda la clase se presentara conceptos y concepciones de la geometría
descriptiva para lograr el desarrollo del pensamiento espacial. Se trabajar
definiciones como puntos, planos, planos verticales, ejes x, y z, graficas e
interpretaciones en estos planos, etc.
En la segunda sesión de clase se llevara a cabo la realización de algunos modelos con
los cuales se verán conceptos como profundidad y perspectiva.
Recursos y material didáctica
Guías # 3
Hojas blancas (Respuesta)
Marcadores
Regla
Tiempo
2 Sesiones.
1 sesión: miércoles 1 de octubre de 2014
40
2 sesiones: miércoles 8 de octubre de 2014
Bibliografía
Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el
desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.
Pacheco, M. & Inés, M (2008), “La geometría en el jardín de infantes: En búsqueda de
su sentido”.
CASTAÑER, MARTA; CAMERINO, OLEGUER (2001): La educación física en la
enseñanza primaria. Barcelona. INDE publicaciones 4ª edición.
LE BOULCH, JEAN (1991): La educación psicomotriz en la escuela primaria. Barcelona.
Paidós 2ª reimpresión.
41
GUIA 3 COLEGIO POMBOLANDIA.
“EDUCACIÓN EN VALORES PARA LA CONVIVENCIA Y LA PRODUCTIVIDAD”
ACTIVIDAD #3
NOMBRE________________________________FECHA_____CURSO: QUINTO
Inicio a la geometría descriptiva
1. Analiza los dibujos y complétalos en una cuadricula de 13 x 13
45
ACTIVIDAD 4
Objetos tridimensionales en planos bidimensionales.
Objetivo General
Conceptualizar sobre los sistemas de representación y actividades que permiten
visualizar el espacio tridimensional, de acuerdo al desarrollo de las tareas de
interpretación de objetos tridimensionales.
Objetivos Específicos
Promover la imaginación mediante la descomposición de un cubo
Analizar la percepción de cada estudiante a través de las diferentes
representaciones que se da en cada plano.
Temática:
En didáctica de las matemáticas, está demostrado que, en todos los campos de las
matemáticas escolares, el aprendizaje y la enseñanza resultan más fáciles y profundas
cuando evitan la abstracción innecesaria y se apoyan en representaciones o
modelizaciones graficas o físicas que los estudiantes pueden observar, construir,
manipular o transformar, presentar conceptos a los estudiantes mediante figuras o
construcciones que los representen o describan, y ahora mejor con la ayuda de
software educativo.
Hoyos (2012) menciona “El estudio de la geometría intuitiva en los currículos de las
matemáticas escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de
la matemática moderna. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico,
actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido
espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría”.
46
Descripción de la actividad:
Esta actividad se desarrollara en una sesión.
La sesión dará inicio con la entrega de una guía (ver anexo 2) a cada estudiante, la cual
consta de 5 problemas los cuales fueron tomados del documento “Representación de
objetos tridimensionales utilizando multicubos Software: Multicubos, geoespacio,
explorando el espacio 3D” Hoyos (2012).
Esta actividad es de gran importancia en el desarrollo de pensamiento espacial ya que
es la exploración activa del espacio tridimensional en la realidad externa y en la
imaginación, y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio.
Al respecto Lappan y Winter, afirman:
“A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las
experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son bidimensionales.
Nos valemos de libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños,
libros que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales. A no dudar,
tal uso de dibujos de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de
comprensión. Es empero, necesario que los niños aprendan a habérselas con las
representaciones bidimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la
información seguirá estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras
en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones
bidimensionales del mundo real”, Linda Dickson y otros, El aprendizaje de las
matemáticas, Editorial Labor S.A., Madrid, 1991, pág. 48
47
Recursos y material didáctica
Guía # 2
Hojas blancas (Respuesta)
Marcadores
Regla
Tiempo
2 Sesiones.
1 sesión: miércoles 17 de septiembre de 2014
2 sesiones: miércoles 24 de septiembre de 2014
Bibliografía
Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el
desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.
Pacheco, M. & Inés, M (2008), “La geometría en el jardín de infantes: En búsqueda de
su sentido”.
48
GUIA 4 COLEGIO POMBOLANDIA.
“EDUCACIÓN EN VALORES PARA LA CONVIVENCIA Y LA PRODUCTIVIDAD”
ACTIVIDAD #4
NOMBRE________________________________FECHA_____CURSO: QUINTO
PENSAMIENTO ESPACIAL
1. El objeto representado en la figura 7 está
formado por cubos. Supongamos que pintamos
toda su superficie exterior de azul y después lo
desmontamos totalmente. ¿Cuántos cubitos
tendrían exactamente tres caras azules? ¿Y
cuántos tendrían exactamente dos caras azules?
¿Y una cara azul? ¿Y ninguna cara azul? (Bishop,
1983, p. 187).
2. Escribe cuál de estos desarrollos corresponden a un cubo
3. Si el dado tuviera los siguientes colores en cada número:
49
Uno- Verde, Dos –Amarillo, Tres-Azul, Cuatro- Rojo, Cinco- negro, Seis-plateado.
¿De qué color es la base de este dado?
Si el dado cambia de posición y el
número dos estuviese donde está el
uno, ¿Qué color estará en la región
1¿De qué color es la región dos y tres
al hacer este giro?
4. Cuál de las siguientes imágenes continúa con la
secuencia
50
5. Juntando dos piezas de puzle se pueden construir nuevos sólidos, como se
muestra en el ejemplo. Para cada uno de los siguientes sólidos formados por las
dos piezas, la figura muestra cómo se construye pintando una de las piezas que
lo compone.
51
ACTIVIDAD 5
Observación, construcción y representación a través de los sólidos platónicos.
Objetivo General
Profundizar en la capacidad de visualización haciendo uso de los sólidos de platónicos.
Objetivos específicos:
Realizar en un plano (hoja) las proyecciones múltiples de los cuerpos de Platón.
Desarrollar en los estudiantes la capacidad de visualización, partiendo de las
perspectivas hechas a los sólidos Platónicos.
Temática
Para el desarrollo de esta actividad tendremos en cuenta algunos aspectos y
definiciones necesarias, para ello comenzaremos con una definición básica del
poliedro.
Un poliedro es una región del espacio limita por polígonos, los poliedros están
compuestos de:
Caras, polígonos que conforman y delimitan el sólido.
Vértices, puntos donde se unen las aristas.
Arista, intersección de dos caras.
Esta definición es presentada con el ánimo de dar una pequeña introducción a lo que se
trabajara en esta actividad lo cual serán “Los sólidos platónicos”.
Para el desarrollo de esta actividad es fundamental considerar la percepción de lo
tridimensional como elemento básico para desarrollar la representación bidimensional,
52
por lo que el proceso de enseñanza debe estar fundado en acciones materiales. A
través de este proceso se logra formar la acción mental de transferencia de lo
tridimensional a lo bidimensional y vicse – versa.
Históricamente cada uno de los sólidos platónicos han estado relacionados con la
naturaleza, vinculándose a los elementos que rigen el universo y los planetas que lo
conforman, estas relaciones fueron establecidas por platón, las cuales dieron origen a
cuatro poliedros:
Tetraedro (pirámide de 4 caras triangulares), el hexaedro (cubo de 6 caras
cuadradas), el octaedro (sólido de 8 caras triangulares) y el icosaedro (poliedro de 20
caras triangulares). Los tres primeros fueron al parecer descubiertos por los
babilónicos1 y el cuarto fue añadido por los egipcios según Morilla, (2004). Platón logro
relacionar la belleza de estos cuatro poliedros con uno faltante, el dodecaedro, que
simbolizaría el universo (solido de 12 caras pentagonales). Sin lugar a duda Platón
encontró una conexión entre la geometría y el universo. Por otro lado debido a la
unificación del conocimiento en la que creían los antiguos griegos estos poliedros
fueron relacionados con la emociones, el pensamiento la espiritualidad y la vida.
Tetraedro: sólido de 4 caras iguales en donde cada cara es un triángulo equilátero
Hexaedro o cubo: sólido conformado por 6 cuadrados iguales.
53
Octaedro: sólido de 8 caras correspondiente a triángulos equiláteros iguales
Dodecaedro: es un poliedro de 12 caras de forma pentagonal.
Icosaedro: 20 triángulos equiláteros iguales delimitan el poliedro llamado icosaedro
Descripción de la actividad
La sesión de clase está fragmentada en dos momentos, en el primer momento de clase,
después de organizar los grupos de trabajo, los estudiantes deberán recortar y pegar
54
las plantillas de los sólidos platónicos. Luego, se asignará a cada estudiante uno de los
cuerpos de platón para que lo proyecte en una hoja.
En la segunda parte de la actividad, cada grupo expondrá las proyecciones realizadas,
el docente guiará los puntos de vista plasmados por cada grupo.
Recursos y material didáctica
Guías # 3
Hojas blancas (Respuesta)
Marcadores
Regla
Tiempo
2 Sesiones.
1 sesión: miércoles 1 de octubre de 2014
2 sesiones: miércoles 8 de octubre de 2014
Bibliografía
Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el
desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.
Pacheco, M. & Inés, M (2008), “La geometría en el jardín de infantes: En búsqueda de
su sentido”.
CASTAÑER, MARTA; CAMERINO, OLEGUER (2001): La educación física en la
enseñanza primaria. Barcelona. INDE publicaciones 4ª edición.
LE BOULCH, JEAN (1991): La educación psicomotriz en la escuela primaria. Barcelona.
Paidós 2ª reimpresión.
55
GUIA 5 COLEGIO POMBOLANDIA.
“EDUCACIÓN EN VALORES PARA LA CONVIVENCIA Y LA PRODUCTIVIDAD”
ACTIVIDAD #5
NOMBRE________________________________FECHA_____CURSO: QUINTO
Tetraedro
60
ACTIVIDAD 6
Proyecciones múltiples: Representación de formas tridimensionales en diferentes
planos
Objetivo General
Representar figuras tridimensionales en un plano bidimensional por medio del sistema
diédrico
Objetivos Específicos
Representar una esquina del colegio pombolandia utilizando los conocimientos
adquiridos durante las sesiones de clase
Analizar la percepción de cada estudiante a través de las diferentes
representaciones que se da en cada plano.
Temática:
El sistema diédrico se fundamenta en la proyección cilíndrica ortogonal, es decir,
aquélla en que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano del cuadro (Fig.
5.1).
61
La proyección sobre el plano horizontal se denomina planta; la que se realiza sobre el
plano vertical, alzado, y la que se proyecta sobre el plano lateral, vista de perfil.
Representación del plano. Rectas notables del plano
Recordemos que un plano puede definirse mediante tres puntos no alineados, mediante
una recta y un punto exterior a ella, a través de dos rectas que se cortan, o mediante
dos rectas paralelas. En el sistema diédrico, el plano se representa por sus trazas, es
decir, por las intersecciones de dicho plano con los planos de proyección. Rectas
notables del plano Las rectas que contiene un plano son infinitas; pero se pueden
definir cuatro tipos de rectas que facilitarán el trabajo cuando se realizan
operaciones con este elemento geométrico (intersecciones, abatimientos, etc.). Dichas
rectas son: • Recta horizontal del plano (Fig. 5.2):
Es un tipo de recta que pertenece al plano dado y es paralela al plano horizontal de
proyección. La proyección horizontal de la recta, r 1, es paralela a la traza horizontal
del plano, ha, y la proyección vertical, r 2 , es paralela a la línea de tierra. • Recta
frontal del plano (Fig. 5.4): es una recta que pertenece al plano y es paralela al plano
vertical de proyección. La proyección horizontal de la recta, r 1, es paralela a la línea
de tierra, y la proyección vertical, r 2 , es paralela a la traza vertical del plano, va. •
Recta de máxima pendiente (Fig. 5.5): es una recta que pertenece al plano y forma el
ángulo máximo posible, φ, respecto al plano horizontal. La proyección horizontal de la
62
recta, r 1 , es perpendicular a la traza ha del plano. • Recta de máxima inclinación (Fig.
5.6): es un tipo de recta que pertenece al plano y forma el máximo ángulo posible, φ,
respecto al plano vertical. La proyección vertical de la recta, r 2, es perpendicular a la
traza vertical de plano va.
63
Descripción de la actividad:
Esta actividad se desarrollara en una sesión.
La sesión de clase se dará inicio con la socialización de los conceptos vistos en las
sesiones anteriores, para la construcción de planos tridimensionales, sus vistas y
proyecciones.
Los estudiantes deberán tomar una foto de una esquina del colegio, ya sea un salón, los
baños, bibliotecas, cafetería, etc. Al obtener las fotos deben dibujar esa esquina del
colegio por medio de los recursos obtenidos durante todas las sesiones de clase.
Recursos y material didáctica
Guía # 6
Hojas blancas (Respuesta)
Marcadores
Regla
Tiempo
2 Sesiones.
1 sesión: miércoles 17 de septiembre de 2014
2 sesiones: miércoles 24 de septiembre de 2014
Bibliografía
Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el
desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.
CASTAÑER, MARTA; CAMERINO, OLEGUER (2001): La educación física en la
enseñanza primaria. Barcelona. INDE publicaciones 4ª edición.
LE BOULCH, JEAN (1991): La educación psicomotriz en la escuela primaria. Barcelona.
Paidós 2ª reimpresión.
64
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS DE LAS ACTIVIDADES
Los desarrollos alcanzados por cada estudiante se exponen en relación a las sub-
categorías planteadas en el marco analítico, resumidas en la siguiente tabla.
Actividades Categorías De análisis Sub-categorías de análisis
1 Percepción espacial
Visualización
9.
1, 2, 5, 6
2 Visualización
Percepción espacial
Rotación Mental
1, 2, 5, 7, 8
1, 3, 4.
2
3 Rotación Mental
Visualización
1, 2, 3
1, 2, 4, 5, 6
4 Percepción espacial
Visualización
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1, 2, 4, 5, 6
5 Percepción espacial
Rotación Mental
Visualización
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 2, 3
1, 2, 3, 4, 5, 6,
6 Percepción espacial
Rotación Mental
Visualización
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9
1, 2, 3
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11
Como forma de evidenciar los resultados, se eligió las guías más representativas del
trabajo de los estudiantes que alcanzaron un desarrollo correspondiente a las sub-
categorías de análisis. Estas se refieren mediante letras mayúsculas acompañadas de
un numeral (A#). A continuación de las tablas de resultados, se realizan los
pronunciamientos a que hubo lugar desde las sub-categorías de análisis, para el
trabajo contenido en las guías referidas en cada tabla. Cierra el análisis por actividad,
con un pronunciamiento general respecto de las guías comentadas. Una vez finalizados
estos análisis, se exponen los avances colectivos en términos de porcentajes, esto, con
ánimo de percibir las habilidades alcanzadas, por actividad, para una muestra de 18
estudiantes.
65
Actividad 1
Estudiantes (18 Total)
Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (A1, A2, A3) No
5 13
Percepción espacial
9. Diferenciar entre espacio propio,
próximo y lejano (Castañer, 2001).
4 14
Visualización
1. Descubrir la posición de diversos
objetos en el espacio y las
variaciones de tamaño y forma que se
pueden percibir como resultado de
las diferentes ubicaciones de
observación como giro, acercamiento
o no de las figuras. Tomado de
(Pineda 2012)
5 13 2. Desarrollar habilidades para
construir relaciones entre objetos y
el espacio (Clements 2009).
2 16
5. Descripción, reproducción y
representación de figuras y cuerpos
utilizando representaciones de
algunas formas bidimensionales y
tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
2 16
6. Mejorar la calidad del análisis
perceptivo respecto de los
elementos del espacio (Le Boulch,
1991).
66
Para el análisis de
la actividad número
1, se evidenciaron
algunas categorías
de análisis, como se
muestra en el
cuadro anterior.
En la respuesta del
primer punto el
estudiante
identifica que la
representación
rupestre se
encuentra en plano
bidimensional y la
representación del
juego top Gear se
encuentra en un
plano
tridimensional, una
justificación a su
respuesta se puede
observar en el ítem
4 del punto 1 en
donde menciona
“Que uno es antiguo
y el otro nuevo” En el estudiante se evidencian habilidades para el desarrollo de
relaciones entre objetos y el espacio.
67
En el punto número 4 también
podemos observar que el
estudiante hace referencia a la
importancia que tiene la
representación del espacio, “Para
recordar y llevar un orden algo
como el calendario e informarse
y diferentes cosas”
En las tres muestras de las actividades en
donde se puede evidenciar que los
estudiantes cumplen con algunos requisitos
de las categorías de análisis, podemos
observar la representación rupestre
presentada inicialmente en un plano
bidimensional, transformada en un plano
tridimensional.
Descripción, reproducción y
representación de figuras y cuerpos
utilizando representaciones de algunas
formas bidimensionales y tridimensionales
en el plano. (Pacheco 2010)
68
En el análisis de la actividad #1 tendremos en cuenta las categorías de análisis que
presentamos anteriormente y las evidencias tanto como en las guías como en los videos
grabados durante las sesiones de clase.
En la siguiente grafica (1) se muestran los porcentajes de los estudiantes que lograron
algunas de las categorías de análisis. En el primer y tercer ítem se encuentran 5
estudiantes los cuales corresponden al 27, 7 % teniendo en cuenta que el total de los
estudiantes son 18. En la segunda categoría de análisis perteneciente a la
visualización, se encuentran 4 estudiantes los cuales corresponden 22, 2 %, en el
cuarto y quinto ítem se encuentran 2 estudiantes los cuales corresponden al 11,11 %.
Pero en la gráfica (1) se muestra de forma generalizada los 5 ítems, de tal manera que
se muestran 5 veces la cantidad de los estudiantes.
Podemos evidenciar que son pocos los estudiantes que reconocen y diferencian el
espacio bidimensional al tridimensional, al respecto Bernardo (2012) nos menciona que
“La Geometría de Espacio es un rico mundo matemático que nos rodea y sin embargo
pareciera estar casi ausente de la enseñanza. El principal obstáculo para la enseñanza
de la geometría del espacio es el problema de la representación de los objetos de tres
dimensiones”.
Actividad 1
P. E (1)
V (1)
V (2)
V (3)
V (4)
No
69
Actividad 2
Estudiantes (18 Total)
Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (B1, B2, B3) No
4 14
Percepción Espacial
Comprender y organizar el espacio
generando redes o sistemas de
coordenadas frente a las
construcciones mentales de forma,
objeto o conjunto de objetos entre
el espacio. (Clements 2009)
5 13
Crea medidas y herramientas no
convencionales para solucionar
problemas relacionados con las
dimensiones del espacio.(Pineda
2012)
6 12
Coordinación de las diversas
perspectivas desde las que se puede
contemplar una realidad
espacial.(MEN 1998)
4 14 Rotación Mental
Orientar o situar objetos y sujetos
con la necesidad de relacionar los
objetos entre sí, en función de una
perspectiva dada. (Pineda 2012)
4 14
Visualización
Descubrir la posición de diversos
objetos en el espacio y las
variaciones de tamaño y forma que se
pueden percibir como resultado de
las diferentes ubicaciones de
observación como giro, acercamiento
o no de las figuras. Tomado de
(Pineda 2012)
6 12
Desarrollar habilidades para
construir relaciones entre objetos y
el espacio (Clements 2009).
70
6 12
Descripción, reproducción y
representación de figuras y cuerpos
utilizando representaciones de
algunas formas bidimensionales y
tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
2 18
Visualización
Reconocimiento de movimientos,
simetrías, traslaciones y rotaciones
en la construcción de representación
de figuras.(Pineda 2012)
4 14
Promover experiencias de
organización espacial que conjuguen
elementos propios de su estructura y
de orientación al espacio (Castañer,
2001).
La manera de representar
de los niños puede
evidenciar una mejor visión
de objetos mentales que la
reproducción por medio de
la perspectiva adquirida
por imitación.
(Freudenthal, 1983).
Por esto, los dibujos
“defectuosos” de los niños
no pueden utilizarse para
atestiguar un objeto
mental “defectuoso”.
Cuando un niño dibuja, por
ejemplo, un cilindro con
dos círculos y un
rectángulo nos da cuenta
que comprende que este
cuerpo posee dos bases
circulares. Esta
71
conceptualización de las propiedades del cilindro no se podría apreciar con claridad en
el dibujo en perspectiva.
En la actividad número 2 se le entrega a los estudiantes algunas plantillas de dados
con el centro, la idea central de esta actividad es promover experiencias de
organización espacial que conjuguen elementos propios de su estructura y de
orientación al espacio (Castañer, 2001).
Como podemos observar el
estudiante número 1 utiliza colores
para las diferentes caras del cubo,
esto nos hace pensar que usa
metodologías adecuadas para una
mejor perspectiva y proyección de la
imagen.
Por otra parte en el desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, se vincula la
experiencia con representaciones gráficas cuando se habla de su posición (SED,
72
p.65).En torno a esta actividad, se realizan observaciones de diferentes objetos
tridimensionales que están incluidos en una composición geométrica específica, lo que
le implicaría al sujeto según Bishop, citado por Gutiérrez (1991) crear imágenes
pictóricas a partir de una imagen visual, proceso conocido como Vp (procesamiento
visual), de éste manera y a modo de ejemplo, algunos objetos reales que hacen alusión
al paralelepípedo puede ser una caja.
Actividad 2
P. E (1)
P. E (2)
P. E (3)
R.M (1)
V (1)
V (2)
V (3)
V (4)
No
73
Actividad 3
Estudiantes (18 Total)
Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (C1, C2, C3) No
6
12
Rotación Mental
Desarrollar las capacidades mentales
de rotación (Clements 2009)
8
8
Orientar o situar objetos y sujetos
con la necesidad de relacionar los
objetos entre sí, en función de una
perspectiva dada. (Pineda 2012)
5 13 Saber conjugar diversos elementos
de estructura espacial (alturas,
planos, distancias, ejes…) (Castañer,
2001).
10
8
Visualización
Descubrir la posición de diversos
objetos en el espacio y las
variaciones de tamaño y forma que se
pueden percibir como resultado de
las diferentes ubicaciones de
observación como giro, acercamiento
o no de las figuras. Tomado de
(Pineda 2012)
8 10 Desarrollar habilidades para
construir relaciones entre objetos y
el espacio (Clements 2009).
9 9 Identificación de propiedades
geométricas de cuerpos según la
forma de las caras planas y curvas,
convexidad.(Pineda 2012)
8
10
Descripción, reproducción y
representación de figuras y cuerpos
utilizando representaciones de
algunas formas bidimensionales y
tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
74
8 10 Mejorar la calidad del análisis
perceptivo respecto de los
elementos del espacio (Le Boulch,
1991).
Muchas son las
investigaciones que estudian
las estrategias, los
conocimientos, las
habilidades, las dificultades,
puestas en juego al resolver
diferentes actividades de
perspectivas de cuerpos
tridimensionales. Describimos
brevemente las tareas
presentadas en algunos
trabajos centrados en este
tópico.
Gutiérrez (1996a, p. 36), en
el análisis de un experimento
de enseñanza de las
representaciones planas de
módulos multicubos, distingue
tres tipos de actividades:
· A partir de una
representación plana del
módulerspectiva en el
ordenador con la posibilidad
de girarlo libremente), tiene
que dibujar diferentes tipos
de sus representaciones
planas.
· El estudiante tiene que relacionar dos tipos de representaciones planas del módulo,
sin construirlo físicamente
75
Como podemos observar en los anexos de la
actividad numero 3, los estudiantes
manejan planos con diferentes dimensiones
y logran reproducir las diferentes
perespectivas de una fijura sobre ese
plano tridimensional.
Godino, Batanero y Font (2004) En el
capítulo alusivo a la geometría se establece
que el aprendizaje del espacio es
significativo en el medio en que el
estudiante está inmerso, debido a que la
realidad que está al alrededor comprende
objetos con formas y dimensiones
diferenciadas y al desarrollar los
contenidos relacionados con el
conocimiento, orientación y la
representación espacial el educando debe
ir progresando en función de sus vivencias
y nivel de competencias cognitivas.
76
Este proceso de construcción del espacio
está condicionado e influenciado tanto
por las características individuales como
por la influencia del entorno físico,
cultural, social e histórico. Por tanto, el
estudio de la geometría en la escuela
debe favorecer estas interacciones. Se
trata de actuar y argumentar sobre el
espacio ayudándose con modelos y
figuras, con palabras del lenguaje
ordinario (MEN, 1998, p. 57)
Goetz y Lecompte (citados por Vílchez,
2007) afirman que la investigación
educativa tiene como finalidad prioritaria
apoyar los procesos de reflexión y crítica
para tratar de mejorar la enseñanza y el
aprendizaje. En ese sentido el proyecto
de investigación centra la atención en una
investigación de tipo aplicada, porque su
finalidad radica en realizar una
intervención a un problema práctico de la
educación matemática, específicamente,
en el ámbito de la didáctica de las
matemáticas, y de esta manera contribuir
al mejoramiento de los procesos
pedagógicos en la educación básica.
79
Actividad 4
Estudiantes (18 Total)
Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (D1, D2, D3) No
8
10
Percepción Espacial
Comprender y organizar el espacio
generando redes o sistemas de
coordenadas frente a las
construcciones mentales de forma,
objeto o conjunto de objetos entre
el espacio. (Clements 2009)
9
9
Ampliar el tamaño del espacio de
forma progresiva (Clements 2009)
8
10
Crea medidas y herramientas no
convencionales para solucionar
problemas relacionados con las
dimensiones del espacio.(Pineda
2012)
9
9 Coordinación de las diversas
perspectivas desde las que se puede
contemplar una realidad
espacial.(MEN 1998)
10 8 Desarrollo de los sistemas de
referencia. Localización de objetos
en el espacio.
12
6
Elabora relaciones espaciales más
complejas implicando la referencia
de los puntos de vista sobre el mundo
y de los otros con su propio cuerpo.
(Pineda 2012)
11
7
Visualización
Descubrir la posición de diversos
objetos en el espacio y las
variaciones de tamaño y forma que se
pueden percibir como resultado de
las diferentes ubicaciones de
observación como giro, acercamiento
o no de las figuras. Tomado de
(Pineda 2012)
9 9 Desarrollar habilidades para
construir relaciones entre objetos y
el espacio (Clements 2009).
80
10 8
Visualización
Reconocimiento de figuras según su
forma, lados rectos o curvos,
convexidad.(Pacheco 2008)
9
9
Identificación de propiedades
geométricas de cuerpos según la
forma de las caras planas y curvas,
convexidad.(Pineda 2012)
9
9
Descripción, reproducción y
representación de figuras y cuerpos
utilizando representaciones de
algunas formas bidimensionales y
tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
11
7
Mejorar la calidad del análisis
perceptivo respecto de los
elementos del espacio (Le Boulch,
1991).
81
Para resolver esta tarea el alumno
tiene que conocer un determinado
lenguaje gráfico para interpretar las
representaciones planas del objeto,
que en este caso son proyecciones
ortogonales, llamadas vistas.
El conocimiento de las propiedades
de dichas representaciones (por
ejemplo que conservan la forma,
tamaño y posición relativa de los
cuerpos proyectados y en
consecuencia las caras del cubo son
cuadrados cuando se miran
frontalmente) permite coordinarlas
e integrarlas para construir el
objeto tridimensional. Esta
coordinación de las vistas constituye
una de las mayores dificultades para
los estudiantes (Battista y
Clements, 1996; Gutiérrez, 1996a).
Observamos que el estímulo inicial
de esta tarea son las
representaciones planas
(proyecciones ortogonales) y el tipo
de respuesta es de construcción. Variando el estímulo inicial (poniendo un objeto físico
u otro tipo de representación plana), o bien el tipo de respuesta que se pide se pueden
obtener interesantes variaciones de la tarea.
82
En la resolución de esta tarea
de rotación se tiene que leer
una representación plana
(perspectiva paralela) de un
cuerpo tridimensional y se
ponen en juego los siguientes
conocimientos principales: eje
de rotación, rotación de un
cuerpo alrededor de un eje, la
estructura del cubo y las
propiedades derivadas de la
rotación como isometría.
Variando la estructura del
cuerpo y su tipo de
representación (estímulo
inicial), combinando varios ejes
de rotación y cambiando el tipo
de respuesta (por ejemplo, de
dibujo) se pueden formular
diferentes tareas de rotación.
Observamos que en muchas
tareas de rotación de un objeto
se puede variar el enunciado
solicitando un cambio de
posición con respecto al objeto
(y viceversa). En Gorgorió (1998) se pueden encontrar interesantes ejemplos de
tareas de rotación y un análisis de las posibles estrategias utilizadas para resolverlas.
En este trabajo se mencionan también algunos errores manifestados por los alumnos
en la resolución de las tareas, entre los cuales está la confusión entre la rotación de
180 grados y la simetría.
83
Actividad 5
Estudiantes (18 Total)
Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (E1, E2, E3) No
8
10
Percepción Espacial
Comprender y organizar el espacio
generando redes o sistemas de
coordenadas frente a las
construcciones mentales de forma,
objeto o conjunto de objetos entre
el espacio. (Clements 2009)
10
8
Ampliar el tamaño del espacio de
forma progresiva (Clements 2009)
8
10
Crea medidas y herramientas no
convencionales para solucionar
problemas relacionados con las
dimensiones del espacio.(Pineda
2012)
Actividad 4
R.M (1)
R.M (2)
R.M (3)
V (1)
V (2)
V (3)
V (4)
V (5)
No
84
9
9 Coordinación de las diversas
perspectivas desde las que se puede
contemplar una realidad
espacial.(MEN 1998)
10 8 Desarrollo de los sistemas de
referencia. Localización de objetos
en el espacio.
13
5
Elabora relaciones espaciales más
complejas implicando la referencia
de los puntos de vista sobre el mundo
y de los otros con su propio cuerpo.
(Pineda 2012)
8
10
Objetivación de los puntos de vista y
juicios sobre las relaciones
espaciales.
9
9
Visualización
Descubrir la posición de diversos
objetos en el espacio y las
variaciones de tamaño y forma que se
pueden percibir como resultado de
las diferentes ubicaciones de
observación como giro, acercamiento
o no de las figuras. Tomado de
(Pineda 2012)
10
8
Desarrollar habilidades para
construir relaciones entre objetos y
el espacio (Clements 2009).
9
9
Reconocimiento de figuras según su
forma, lados rectos o curvos,
convexidad.(Pacheco 2008)
9
9
Identificación de propiedades
geométricas de cuerpos según la
forma de las caras planas y curvas,
convexidad.(Pineda 2012)
Descripción, reproducción y
representación de figuras y cuerpos
utilizando representaciones de
85
11 7 algunas formas bidimensionales y
tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
8
8
Mejorar la calidad del análisis
perceptivo respecto de los
elementos del espacio (Le Boulch,
1991).
12 6
Rotación Mental
Desarrollar las capacidades mentales
de rotación (Clements 2009)
13 5 Orientar o situar objetos y sujetos
con la necesidad de relacionar los
objetos entre sí, en función de una
perspectiva dada. (Pineda 2012)
12 6 Saber conjugar diversos elementos
de estructura espacial (alturas,
planos, distancias, ejes…) (Castañer,
2001).
86
Observación, construcción y
representación a través de los sólidos
platónicos está divida en dos sesiones.
El primer ejercicio que realizaron los
estudiantes fue observar los poliedros
construidos por el docente y las plantillas
de los poliedros, con el propósito de
mencionar cuales plantillas correspondían
a los poliedros, solamente el 25 % de los
18 niños y niñas lograron identificar 3
poliedros, dando argumentos
convincentes.
Seguido a esto los estudiantes
recortaron las 5 plantillas de los sólidos
platónicos, como se aprecia en la figura
10 de los 18 estudiantes logran realizar
este ejercicio, logrando cumplir muchas
subcategorías de análisis frente a la
percepción visual y la visualización.
Pacheco (2010) nos menciona que una
clave fundamental para el desarrollo de
pensamiento espacial es la descripción,
reproducción y representación de figuras
y cuerpos utilizando representaciones de
algunas formas bidimensionales y tridimensionales en el plano.
Las fortalezas que se obtienen de tipo cognitivo y didáctico mediante el origami
genera beneficios múltiples frente a la construcción del pensamiento espacial,
incorporando la geometría durante todo el proceso de construcción de los modelos, ya
no solo se presentan figuras aisladas sino contextualizadas en las construcciones que
se hacen.
87
En torno a esta actividad, se realizan
observaciones de diferentes objetos
tridimensionales que están incluidos en
una composición geométrica específica,
en este caso los 5 solidos platónicos
según Bishop, citado por Gutiérrez
(1991) crear imágenes pictóricas a partir
de una imagen visual, proceso conocido
como Vp (procesamiento visual), de éste
manera y a modo de ejemplo, algunos
objetos reales que hacen alusión al
paralelepípedo puede ser una caja.
Con respecto a esto Monsalve y Jaramillo (2003) nos mencionan que el uso del doblado
de papel como herramienta alterna para la solución de problemas, despierta el interés
y el entusiasmo de los estudiantes cuando estos se enfrentan a solucionar ciertos
ejercicios propuestos en los libros clásicos de la enseñanza del cálculo.
Ramon (2008) nos menciona que difícilmente otro campo de las matemáticas abarca un
espectro tan amplio de dimensiones. Por ello la enseñanza de la geometría debe
reflejar una preocupación por elaborar y desarrollar actividades en distintas
dimensiones. Probablemente cualquier situación geométrica por elemental que sea,
permite una amplia gama de posibilidades de exploración, formulación de conjeturas y
experimentación de situaciones con idea de explicar, probar o demostrar hechos.
La segunda sesión de la actividad se realizan un análisis más detallado frente a la
representación de los objetos tridimensionales, los estudiantes realizaron las
representaciones tridimensionales en el plano bidimensional, desde dos perspectivas
diferentes, primero desde su puesto para luego representar las figuras de otro
estudiante desde el puesto de cada uno.
La manera de representar de los niños puede evidenciar una mejor visión de objetos
mentales que la reproducción por medio de la perspectiva adquirida por imitación.
(Freudenthal, 1983). Por esto, los dibujos “defectuosos” de los niños no pueden
utilizarse para atestiguar un objeto mental “defectuoso”. Cuando un niño dibuja, por
ejemplo, un cilindro con dos círculos y un rectángulo nos da cuenta que comprende que
este cuerpo posee dos bases circulares. Esta conceptualización de las propiedades del
cilindro no se podría apreciar con claridad en el dibujo en perspectiva.
88
Lo anterior implica que para la presente investigación se requiere de los sistemas
geométricos, que se componen de unos elementos, operaciones y transformaciones con
las que se combinan y unas relaciones anexas entre ellos, que en relación con los
estándares básicos de competencias hace referencia a:
Representar objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.
Identificar y describir figuras y cuerpos generados por cortes rectos y
transversales de objetos tridimensionales.
Clasificar polígonos en relación con sus propiedades.
Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones rígidas y
homotecias sobre figuras
Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de
semejanza y congruencia usando representaciones visuales.
Resolver y formular problemas usando modelos geométricos.
Identificar características de localización de objetos en sistemas de
representación cartesiana y geográfica. (MEN, 2006, p.84)
En la figura se puede observar la representación tridimensional de los sólidos
platónicos, este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado
tanto por las características individuales como por la influencia del entorno físico,
cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe
favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio
ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario (MEN, 1998, p.
57).
89
Este proceso de formación del pensamiento espacial a través de los sistemas
geométricos depende de las capacidades individuales y las oportunidades que la
sociedad ofrece al estudiante. El objetivo es que el estudiante trate de actuar y
argumentar sobre los objetos del espacio apoyándose en modelos y figuras,
representaciones concretas de los objetos geométricos que le permitan construir los
conceptos de una manera formal y significativa para él. (RELME, 2005).
Como se puede observar en las figuras, los estudiantes representan los sólidos
platónicos desde diferentes puntos de vista, 13 estudiantes de los 18 estudiantes
logran realizar estas representaciones, analizando y reflexionando frente a ellas.
Mediante el trabajo con las representaciones las personas asignan significados y
comprenden las estructuras matemáticas, de ahí su interés didáctico (Radford, 1998),
esta razón ha llevado a que “las representaciones se consideren parte esencial del
aparato conceptual necesario para analizar los procesos de aprendizaje y comprensión
de las matemáticas” (Rico, 2009, p.4)
90
En ese sentido, según D’Amore (2005) la construcción del conocimiento en
matemáticas significa precisamente la unión de tres acciones sobre los conceptos; es
decir, “la expresión misma de la capacidad de representar los conceptos, de tratar las
representaciones obtenidas al interior de un registro establecido y de convertir las
representaciones de un registro en otro”. (p.33).
Las categorías y subcategorías de análisis que se tuvieran en cuenta para el desarrollo
de la actividad número 5, se represente a través de la siguiente tabla, podemos
observar que la cantidad de los estudiantes que no logran cumplir con los objetivos de
la sesión son aproximadamente la mitad de los estudiantes, pero la parte que
pertenece a la otro mitad desarrollan conceptos y habilidades importantes frente a
las tres categorías de análisis, percepción espacial, visualización y rotación mental.
Es importante por las implicancias que tiene para la enseñanza la diferenciación entre
el espacio físico y el espacio geométrico y, una forma adecuada de establecer esa
diferenciación, es a partir de los elementos constitutivos de cada uno. Los elementos
del espacio físico son perceptibles y manipulables. El espacio físico es el espacio
sensible, el que se vive, se percibe, el que permite desplazamientos, en él se realizan
acciones físicas sobre los objetos. En cambio los elementos del espacio geométrico son
representaciones intelectuales. En él se construyen representaciones de las formas:
uni, bi y tridimensionales. Los distintos espacios geométricos son espacios abstractos.
Garcia (2008)
Actividad 5
P.E
P.E (2)
P.E (3)
P.E (4)
P.E (5)
P.E (6)
P-E (7)
V (1)
V (2)
V (3)
91
Actividad 6
Estudiantes (18 Total)
Categoría de análisis
Sub- Categorías de análisis
Si (F1, F2, F3)
N
O
8
10
Comprender y organizar el espacio
generando redes o sistemas de
coordenadas frente a las
construcciones mentales de
forma, objeto o conjunto de
objetos entre el espacio.
(Clements 2009)
10
8
Ampliar el tamaño del espacio de
forma progresiva (Clements
2009)
8
10
Crea medidas y herramientas no
convencionales para solucionar
problemas relacionados con las
dimensiones del espacio.(Pineda
2012)
9
9 Coordinación de las diversas
perspectivas desde las que se
puede contemplar una realidad
espacial.(MEN 1998)
10 8 Desarrollo de los sistemas de
referencia. Localización de
objetos en el espacio.
13
5
Elabora relaciones espaciales más
complejas implicando la
referencia de los puntos de vista
sobre el mundo y de los otros con
su propio cuerpo. (Pineda 2012)
92
8
10
Percepción Espacial
Objetivación de los puntos de
vista y juicios sobre las relaciones
espaciales.
9
9
Diferenciar entre espacio propio,
próximo y lejano (Castañer, 2001).
10
8
Saber actuar con localizaciones
de objetos en el espacio según
marcos de referencia subjetivos
(egocentrismo) y objetivos
(Castañer, 2001).
9
9
Ser capaz de proyectar el propio
cuerpo en el espacio circundante
(Castañer).
9
9
Descubrir la posición de diversos
objetos en el espacio y las
variaciones de tamaño y forma
que se pueden percibir como
resultado de las diferentes
ubicaciones de observación como
giro, acercamiento o no de las
figuras. Tomado de (Pineda 2012)
11
7
Desarrollar habilidades para
construir relaciones entre
objetos y el espacio (Clements
2009).
8
8
Reconocimiento de figuras según
su forma, lados rectos o curvos,
convexidad.(Pacheco 2008)
12 6 Identificación de propiedades
geométricas de cuerpos según la
forma de las caras planas y
93
Visualización
curvas, convexidad.(Pineda 2012)
13 5 Descripción, reproducción y
representación de figuras y
cuerpos utilizando
representaciones de algunas
formas bidimensionales y
tridimensionales en el plano.
(Pacheco 2010)
12 6 Mejorar la calidad del análisis
perceptivo respecto de los
elementos del espacio (Le Boulch,
1991).
8
10
Reconocimiento de movimientos,
simetrías, traslaciones y
rotaciones en la construcción de
representación de figuras.(Pineda
2012)
10
8
Promover experiencias de
organización espacial que
conjuguen elementos propios de
su estructura y de orientación al
espacio (Castañer, 2001).
9
9
Capacitar al niño para que pueda
representar en forma simbólica lo
que ha vivido y percibido,
mediante la utilización del
grafismo. (Le Boulch, 1991).
10
8
Desarrollar las capacidades
mentales de rotación (Clements
94
Rotación Mental
2009)
8
10
Orientar o situar objetos y
sujetos con la necesidad de
relacionar los objetos entre sí, en
función de una perspectiva dada.
(Pineda 2012)
9
9
Saber conjugar diversos
elementos de estructura espacial
(alturas, planos, distancias, ejes…)
(Castañer, 2001).
La actividad 6, es la última actividad que se aplicó al grado 501 del colegio
pombolandia, para llevar a cabo esta actividad se dividió en dos sesiones.
95
En la primera sesión, el docente da una clase magistral de los conceptos básicos de la
geometría descriptiva, como lo son puntos, rectas, segmentos, diferentes planos con
diferentes puntos de vista, y las diferentes proyecciones que se pueden realizar y los
modelos con los cuales se debe dibujar en cada plano, los estudiantes muy
emotivamente participaron en clase, llegando a muchos conceptos y concepciones que
no se habían logrado en ninguna de las sesiones anteriores.
Se entiende por
representación el conjunto
de herramientas (acciones,
signos o gráficos) que hacen
presentes los conceptos y
procedimientos matemáticos
y con los que los sujetos
abordan e interactúan con el
conocimiento matemático
(Espinosa, 2005); por lo
tanto, se reconoce que no
existe una sola forma de
representar un objeto
matemático, sino, que por el
contrario éste puede
hacerse presente de diversas formas que no son aisladas, sino que se articulan
en sistemas estructurados y facilitan el proceso de aprendizaje. (Rico, 2000).
Como se puede observar en la figura los
estudiantes realizan la representación del punto
de fuga, algunos planos desde diferentes
perspectivas, la construcción de cuadriláteros
regulares en los diferentes lados del plano, y
realizan modelos desde diferentes puntos de
vista, logrando muchos subcategorías de análisis
referente a la percepción espacial, visualización
y rotación mental.
Cada estudiante debía escoger cualquier objeto
con el ánimo de ser representado
tridimensionalmente en un plano bidimensional
desde todas sus perspectivas posibles.
96
En esta actividad podemos observar que el
número de estudiantes que logran los objetivos
propuestos por el docente y las categorías de
análisis con las que se evalúan, es mucho más
alto que las actividades anteriores, en esta
actividad podemos ver que aproximadamente el
70 % de los estudiantes desarrollan habilidades
para la representación tridimensional en un
plano bidimensional.
Las últimas investigaciones en el tema nos
muestran que la enseñanza sistemática de la
geometría desarrolla en el sujeto habilidades:
visuales, verbales (o de comunicación), de dibujo
y construcción, lógicas (o de pensamiento), de
aplicación o transferencia (Bressan, 2000).
Seguido a esto los estudiantes tenían que dibujar dos esquinas del colegio por elección
de cada estudiante, Godino, Batanero y Font (2004) En el capítulo alusivo a la
geometría se establece que el aprendizaje del espacio es significativo en el medio en
que el estudiante está inmerso, debido a que la realidad que está al alrededor
comprende objetos con formas y dimensiones diferenciadas y al desarrollar los
contenidos relacionados con el conocimiento, orientación y la representación espacial
el educando debe ir progresando en función de sus vivencias y nivel de competencias
cognitivas.
97
Podemos observar en los estudiantes que existe confusión entre el espacio físico y el
espacio geométrico6, esto hace que se piense que se aprende geometría por el sólo
hecho de estar viviendo en un medio que contiene “elementos” que se asemejan a las
formas geométricas de estudio. Entonces según esto bastaría que un niño manipule un
objeto con forma de cubo para que lo distinga por sus propiedades de otro con forma
esférica. Es como si los objetos por si mismos “enseñaran” cuando en realidad es el
sujeto el que distingue las formas a partir del análisis de propiedades de las mismas.
Como podemos observar en la figura 1 los estudiantes en la segunda sesión de clase
debían realizar un modelo de una iglesia siguiente las instrucciones del docente,
utilizando un escala específica para cada segmento que se realizara en el plano, esta
actividad muestra las capacidades que posee el estudiante a la hora de desarrollar
modelos tridimensionales, el pensamiento espacial es una opción acertada para el
fortalecimiento de las competencias matemáticas, ya que el manejo de información
espacial para resolver problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios
es peculiar a esas personas que tienen desarrollada su inteligencia espacial. Se estima
98
que la mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico,
la arquitectura, las ingenierías, la aviación y muchas disciplinas científicas como
química, física, matemáticas requieren personas que tengan un alto desarrollo de
inteligencia espacial.
Mammana y Villani (1998) expresan que el conocimiento geométrico es un componente
matemático que debe ocupar un lugar privilegiado en los currículos escolares por su
aporte a la formación del individuo. No sólo se considera como una herramienta
necesaria para describir el espacio circundante, comprenderlo e interactuar con él,
sino que, como disciplina científica descansa sobre importantes procesos de
formalización que son ejemplo de rigor, abstracción y generalidad.
Es por ello que los autores del estudio OCDE/ PISA indican que se debe ser
consciente de cómo se ven las cosas y por qué se ven así; los estudiantes tienen que
aprender a desenvolverse a través del espacio, de las formas y de las construcciones.
Igualmente hay que entender cómo los objetos tridimensionales pueden representarse
en dos dimensiones, cómo se interpretan las sombras, cuáles son sus perspectivas y
sus funciones.
99
Como podemos observar en la grafica que corresponde a la actividad 6, se puede
observar que el 65 % de los estudiantes lograron desarrollara estas representacion
tridimensionales en un plano bidimensional, reconociendo elementos como el punto, el
segmento, la recta y los diferentes planos que se pueden realizar partiendo desde
diferentes puntos de vista. Como lo afirma Guzmán (2007), lo importante es que el
niño realice una manipulación de los objetos matemáticos, desarrolle su creatividad,
reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo, adquiera
confianza en sí mismo, se divierta con su propia actividad mental, haga transferencias
a otros problemas de la ciencia y de su vida cotidiana y por último, prepararlo para los
nuevos retos de la ciencia y la tecnología
Actividad 6
P.E
P.E (2)
P.E (3)
P.E (4)
P.E (5)
P.E (6)
P-E (7)
V (1)
V (2)
V (3)
100
CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES
En este apartado se establece las principales conclusiones obtenidas respecto de los
objetivos específicos de la investigación, los cuales permiten determinar el alcance de
los propósitos y el objetivo general de la misma. De igual manera, se determina las
principales contribuciones de tipo teórico y didáctico y se perfilan sugerencias de
continuidad para el estudio.
En relación con el análisis de los referentes bibliográficos, se logró una aproximación a
los antecedentes de la investigación, esto permitió ampliar el horizonte de estudio y
delimitar el área de investigación. Consideramos que su importancia está en la
posibilidad que ofrece, al planificar una actividad, de establecer y enriquecer
relaciones varias: relaciones entre el docente y los alumnos, entre los estudiantes y
entre el concepto geométrico y los alumnos. En este sentido se puede concluir que:
A nivel regional se evidencia la escasa investigación en geometría descriptiva
frente al desarrollo del pensamiento espacial en estudiantes de distintos
grados escolares. En este sentido la presente investigación muestra de manera
reflexiva y critica los problemas del contexto escolar en torno al desarrollo del
pensamiento espacial por medio de la geometría descriptiva.
Existen diferencias entre el currículo de matemáticas o los estándares básicos
con lo que se proyectó en el aula de clases del colegio pombolandia ubicado en la
localidad de Tunjuelito, el tratamiento frente al pensamiento geométrico en el
aula es escaso, ya que se le da mayor importancia al pensamiento numérico.
Incorporar la propuesta, tal vez por diferir ella de las formas de trabajo de los
estudiantes fue algo difícil trabajar con los estudiantes, pero fue evidente que
a medida de que los estudiantes avanzaban en sus clases, su interés y su
desempeño aumentaba, esto favoreció, ya que se avanzó significativamente con
aproxidamante el 70% de los estudiantes.
En el proceso de formación del pensamiento espacial a través de los sistemas
geométricos, notamos que existe una dependencia entre las capacidades
individuales y las oportunidades que la sociedad ofrece al estudiante.
Actuar y argumentar sobre los objetos del espacio apoyándose en modelos y
figuras, como los sólidos platónicos que se trabajaron en algunas actividades,
permitieron construir los conceptos de una menara formal y significativa.
101
La imaginación espacial se enriquece y se potencia con experiencias espaciales
reales, por eso la geometría descriptiva fue un medio apropiado para el
desarrollo de nuestro objetivo principal el cual es el desarrollo de pensamiento
espacial.
Los estudiantes desarrollaron por si mismos situaciones presentadas por el
docente en las diferentes actividades propuestas, logrando un desarrollo
destacable frente a la intuición espacial.
Representaciones tridimensionales en planos bidimensionales fue un tema que
se trabajó constantemente con los estudiantes de grado 5 del colegio
pombolandia. Para el desarrollo de estas, se evidenciaron 3 categorías de
análisis (Visualización, percepción visual y orientación espacial) las cuales
fueron importantes para que la mayoría de los estudiantes desarrollaran y
lograran los objetivos propuestos.
102
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