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INTRODUCCIÓN

Vibración es el término que se utiliza para describir las oscilaciones de un sistema mecánico y puede ser

descompuesta en componentes, cada una de las cuales tiene una magnitud y una frecuencia. La frecuencia se

define en término de ciclos por unidad de tiempo. La magnitud se define en términos de amplitud. Si la señal sigue

un patrón que se repite en el tiempo, se habla de señal periódica. En caso contrario es una señal compleja.

Las vibraciones pueden ser descritas como deterministas o como aleatorias. Las señales deterministas permiten

predecir con exactitud lo que pasará en el futuro próximo, a partir de lo que ha pasado anteriormente. Si es aleatoria,

su valor solo puede ser estimado en forma estadística.

Las vibraciones también pueden ser clasificadas como libres en el cual las vibraciones son causa de una

perturbación inicial, luego de la cual no entra energía al sistema. Se puede modelar un sistema como conservativo,

vale decir en el cual no hay disipación de energía. Las estructuras reales siempre tienen algún nivel de disipación,

a la cual se nombra amortiguación.

Ello induce respuestas transigentes en el sistema, que desaparecen en el tiempo. Y las vibraciones forzadas que

llegan a un estado estacionario (steady-state) debido a que entra tanta energía al sistema como la que sale por

efectos de la amortiguación. En general, la frecuencia a la cual la energía es entregada al sistema aparece en las

respuestas del mismo. La respuesta está dada por la relación que hay entre la excitación y las propiedades del

sistema.

1.1 GRADOS DE LIBERTAD

Las vibraciones son causadas por fuerzas perturbadoras o de excitación (puntuales, aisladas o fluctuantes), que crea en el

sistema un desplazamiento con respecto a su posición de equilibrio, los desplazamientos producidos genera un sistema de

fuerzas recuperadoras (fuerzas elásticas, como el caso de una masa unida a un resorte o bien fuerzas gravitatorias como el

caso del péndulo), que tienden a llevar al sistema a su posición de equilibrio.

Al cesar o fluctuar las fuerzas perturbadoras, las fuerzas recuperadoras aceleran al sistema hacia su posición de equilibrio, al

cual llegan con una velocidad determinada, que hace sobrepasar esa posición, de esa manera se genera un movimiento

vibratorio u oscilatorio, que puede disminuir, mantenerse o aumentar, según se presente o no fuerzas de resistencia o

amortiguamiento.

Figura 1. Cuerpo elástico continuo

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Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales, para los lineales rige el principio de superposición

y los términos matemáticos para su tratamiento están bien desarrollados, en contrario para los no lineales son menos

conocidos y difícil de aplicarse, sin embargo, algunos conocimientos del sistema no lineal es deseable puesto que todo los

sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de oscilación. Para poder describir el movimiento físico de

un sistema se necesita elegir un conjunto de variables o coordenadas, las cuales se conocen con el nombre de coordenadas

generalizadas. Por regular, se representa mediante el símbolo kg.

El movimiento de una partícula libre se describe mediante las coordenadas generalizadas q1 = xp, q2 = yp y q3 = zp. En este

caso, las tres coordenadas son necesarias para describir el movimiento del sistema. La cantidad mínima de coordenadas

independientes que se requieren para describir el movimiento de un sistema se denomina grados de libertad del sistema. Así,

una partícula libre que experimenta un movimiento general en el espacio, tiene tres grados de libertad.

En la figura 2 se muestra un péndulo en el plano. El punto pivote de este péndulo en (xt, yt, 0) y el péndulo tiene una longitud

L. En este caso, se eligen como coordenadas xp y yp. No obstante, como la longitud del péndulo es constante, estas

coordenadas no son independiente entre sí porque:

Figura 2. Movimiento de un péndulo en el plano

La ecuación es un ejemplo de una ecuación de restricción, que en este caso, es una restricción geométrica. El movimiento

del péndulo en el plano se describe por medio de xp o yp. Como entonces se puede utilizar la variable para describir el

movimiento del péndulo, la cual es una coordenada independiente que califica como coordenada generalizada. Como solo se

necesita una variable o coordenada independiente para describir el movimiento del péndulo, un péndulo de longitud constante

en el plano tiene un grado de libertad.

Es necesario tomar en cuenta las ecuaciones restrictivas en la determinación de la cantidad de grados de libertad de un

sistema. Por lo que se refiere a la configuración de un sistema especificado por n coordenada, las cuales están relacionadas

con m restricciones independientes, los grados de libertad N están dados por: 𝑁 = 𝑛 − 𝑚

Un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad, tres componentes de la posición de un punto base y tres ángulos que definen

su orientación. Un cuerpo elástico continuo, requerirá un número infinito de coordenadas (tres para cada punto), para definir

su movimiento, por lo tanto tiene infinitos grados de libertad, sin embargo en muchos casos puede suponerse, que partes de

dicho cuerpo son rígidos y el cuerpo puede definirse como dinámicamente equivalente a uno con número finito de grados de

libertad. Por ejemplo toda estructura continúa tiene un número infinito de grados de libertad, sin embargo, el proceso de

selección o idealización de un modelo matemático apropiado permite reducir los grados de libertad a un número discreto y en

algunos casos a uno solo.

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Para analizar las vibraciones en un sistema mecánico los objetivos primarios deben ser: comprender su naturaleza, estudiar

casos sencillos, proporcionar la base necesaria para acometer el estudio de problemas prácticos más complicados, e

introducir los conceptos y magnitudes utilizados en los modernos equipos de medidas dinámicas. Los sistemas con un grado

de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la teoría de las Vibraciones porque:

Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzar por su estudio.

Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas con 1 gdl.

Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemas con más grados de libertad.

Figura 3. Ejemplos de estructuras que pueden ser representadas como un sistema con un grado de libertad para el

análisis dinámico

1.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO Y SU REPRESENTACIÓN

El análisis armónico es un método de análisis que se sustenta en una base matemática para estudiar señales o funciones

equiparándolas a una serie de ondas básicas, que superpuestas dan lugar a la onda motivo de estudio. Su sustento básico

son las Series de Fourier y Transformada de Fourier, donde cada una de las ondas base componentes se llama armónico (de

ahí viene el nombre de esta disciplina) aunque están sujeta a ella también otros procedimientos como análisis mediante

wavelets u otro tipo de transformada (transformada discreta de coseno, transformada Zak, transformada Gabor, etc.).

En esta sección “discreto” se refiere más bien a finito, el tema es el análisis armónico en grupos finitos. Aquí solo se ocupará

solo del caso abeliano, dando un papel protagonista a ZN, el grupo aditivo de los enteros modulo N. No obstante, el caso no

abeliano tiene una rica teoría y aplicaciones insospechadas. Si se considera ZN como conjunto, son simplemente N elementos

y L2 (ZN) no es otra cosa que los vectores de CN con la norma habitual que viene inducida por el producto escalar ⟨⃗x; ⃗y⟩ =

Σ xn, yn. Intuitivamente es conveniente pensar en la parte real y la parte imaginaria de f 2 L2 (ZN) como señales que en cada

tiempo discreto tienen un valor. Por ejemplo, si f(n) = sen (n=4) + in=20

Figura 4. Análisis armónico de la función

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Esta idea intuitiva no es gratuita. El análisis armónico discreto tiene sus aplicaciones en el tratamiento de señales digitales.

La digitalización en la práctica se produce en “tiempo” y se representa en que la variable ahora pertenece al conjunto finito

ZN, pero también se produce en la propia señal, en la imagen de la función, en el sentido de que el resultado vendrá dado

por un número determinado de bytes. Para el modelo matemático es conveniente despreocuparse en primera instancia de

esta segunda digitalización y pensar que las imágenes están en R o en C.

Un ejemplo más visual son las imágenes digitales, las cuales están compuestas de pixeles. Cada uno de ellos tiene

habitualmente tres valores (canales) correspondientes a los niveles que contiene de rojo, verde y azul (en ciertas situaciones

hay un cuarto correspondiente a la transparencia). Estos son los tres colores básicos en el sentido de que la fisiología de

nuestra visión hace que percibamos el resto de estos colores como combinación de ellos. Entonces cada imagen digital de N

M pixeles se puede entender como tres funciones fR, fG y fB de ZN _ ZM en R que dan los niveles de estos colores.

Figura 5. Análisis armónico aplicado a una imagen

1.2.1 USO DE FASORES PARA LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

El movimiento armónico se puede representar de una manera más práctica por medio de un vector de magnitud A que gira

a una velocidad angular constante. La proyección de la punta del vector sobre el eje vertical está dada por y = A Sin (t) y su

proyección sobre el eje horizontal por x = A Cos (t).

Representación por medio de números complejos del movimiento armónico

Es más práctico representar el movimiento armónico por medio de números complejos. Cualquier vector X en el plano xy se

puede representar como un número complejo: X = a + ib. Si A indica el módulo o valor absoluto del vector X, y θ representa

el argumento o ángulo entre el vector y el eje x, entonces X también puede expresarse como: *X = A Cos θ + i A Sin θ con:

𝐴 = √𝑎2 + 𝑏2

Utilizando expansiones en series se puede demostrar que:

𝑋 = 𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝐴𝑒𝑖𝜃 (1)

Álgebra compleja

A veces los números complejos se representan sin utilizar alguna notación vectorial como: z = a + ib

Donde a y b simbolizan las partes real e imaginaria de z. La suma, resta, multiplicación y división de números complejos se

realizan siguiendo las reglas usuales del álgebra. Sean:

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𝑧1 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 = 𝐴1𝑒𝑖𝜃1

𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 = 𝐴2𝑒𝑖𝜃2

Donde:

𝐴𝑗 = √𝑎2𝑗 + 𝑏2𝑗 𝜃𝑗 = arctan𝑏𝑗

𝑎𝑗 𝑗 = 1,2

La suma y diferencia de z1 y z2 se pueden encontrar como:

La multiplicación y división de z1 y z2 se pueden encontrar como:

Operaciones con funciones armónicas

Utilizando la representación de número complejo, el vector rotatorio X se escribe como: 𝑋 = 𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡

Donde w indica la frecuencia circular (rad/s) de rotación del vector X en sentido contrario de las manecillas del reloj. La

diferenciación del movimiento armónico con respecto al tiempo resulta en:

Por lo tanto, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración se expresan como:

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1.3 SERIE DE FOURIER

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por

partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar

funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho

más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático

francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que

estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811.

Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la

ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen

análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso

de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada,

se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

(2)

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

1.3.1 MÉTODO ANALÍTICO

Si x(t) es una función periódica con periodo τ , su representación como serie de Fourier está dada por:

(3)

Donde w = 2π/τ es la frecuencia fundamental y a0, a1, a2,…, b1, b2,. . . son coeficientes constantes. Los coeficientes an, bn

se determinan para ser:

(4)

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Así, cualquier función periódica puede representarse como una suma de funciones armónicas. La serie de Fourier también

puede representarse por medio de la suma de sólo términos seno o coseno. Por ejemplo, la serie de sólo términos coseno

se expresa como:

Donde:

1.3.2 MÉTODO NUMÉRICO

La serie de Fourier también puede expresarse en función de números complejos. La ec. 3 se puede escribir como:

(5)

Donde b0 = 0. Si definimos los coeficientes de la serie de Fourier compleja cn y c−n como:

(6)

Entonces la ec. 1.4 se expresa como:

(7)

Los coeficientes de Fourier cn se determinan aplicando las ec. 1.3, como:

(8)

8

1.3.3 APLICACIÓN DEL ANÁLISIS ARMÓNICO APLICACIÓN AL TRATAMIENTO DE SEÑALES: COMPRESIÓN DE AUDIO MP3

El oído humano reconoce los sonidos mediante la vibración de una membrana, el tímpano, que es movida por los gradientes

de presión que producen en el aire las ondas sonoras. Estas vibraciones son recogidas por terminaciones nerviosas y

enviadas en forma de pequeños impulsos eléctricos hacia nuestro cerebro; éste mismo es, en esencia, el funcionamiento

también de un micrófono o un altavoz (cuando queremos reproducir un sonido en vez de captarlo).

Cuando tenemos el sonido en forma de impulsos eléctricos podemos someterlo a diversos tratamientos, tales como su

transformación en una secuencia de números. Para ello el procedimiento más utilizado es la “Pulse Code Modulation” (PCM

o modulación por pulsos), que consiste en medir el voltaje de la señal en determinado intervalo de tiempo y asignar un valor

numérico a ese voltaje.

En el caso del compact disc, por ejemplo, hablamos de un muestreo de 44.100 veces por segundo y de una escala con 16

bits digitales de valores (el oído humano no reconocería gradientes de presión menores a esos valores ni valores por encima

o debajo de la escala).

Todo ello genera una cantidad de información capaz de ocupar unos 10 megabytes de almacenamiento por cada minuto

muestreado, que puede resultarnos excesivo, y que la compresión estándar (archivos .rar, .zip,…) no disminuye

satisfactoriamente (para información de este tipo se consigue en torno a un 10% de compresión). Se recurre por ello a

sistemas de compresión que no aspiran a recuperar toda la información fidedignamente y desechan parte de ella que no es

apreciada por el oído humano.

El MP3 (MPeg Layer-3) es uno de estos sistemas que se desarrolla en 1992 y consigue espectaculares resultados

consiguiendo un ratio de compresión en torno a 1-10. El MP3 divide el rango de frecuencias en 32 bandas reconocibles por

separado para el oído humano; y cada una de ellas se transforma matemáticamente mediante diversos métodos (Fourier,

Wavelets,…) obteniendo un equivalente a 576 bandas de frecuencia de las que se eliminan las no audibles.

El resultado obtenido es comprimido aún más mediante el método Huffman que asigna códigos más cortos a ondas más

sencillas (así por ejemplo no asigna los mismos recursos para comprimir un silencio que una onda complicada) obteniendo

así el resultado final para este formato de archivo que está actualmente revolucionando la industria de la música; aunque ya

se está empezando a hablar de nuevos estándares (AAC, OGG,… ), cada uno con sus peculiaridades pero todos ellos

basados en transformadas matemáticas para analizar las ondas.

1.3.4 ANÁLISIS ESPECTRAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA Espectro de frecuencia

Las funciones armónicas 𝑎𝑛 cos 𝑛ωt o 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛ωt en la ec. 1.1 se llaman armónicos de orden n de la función periódica

x(t). El armónico de orden n tiene un periodo τ/n. Estos armónicos se trazan como líneas verticales en un diagrama de amplitud

(𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑛 𝑜 𝑑𝑛 𝑦 𝜙𝑛) contra la frecuencia (nω), llamada espectro de frecuencia o diagrama espectral.

Representación en el dominio del tiempo y la frecuencia

La expansión de la serie de Fourier permite describir función periódica utilizando tanto una representación en el dominio del

tiempo como una representación en el dominio de la frecuencia. Las amplitudes 𝑑𝑛 y los ángulos de fase 𝜙𝑛 correspondientes

a la frecuencia𝜔𝑛 pueden utilizarse en lugar de las amplitudes 𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑛 para la representación en el dominio de la frecuencia.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] http://www.unasam.edu.pe/cursodinamica/Curso/www/lecciones/tem05/lec05_1.html

[2] Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecánicas, Pearson México, 2012, 5th ed. [3] González F., “Análisis De Vibraciones En Barcos De La Armada De Chile”, Proyecto de Ingeniería Mecánica, Departamento de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Concepción. 2001. [4] F u n d a m e n t o s de las v i b r a c i o n e s m e c a n i c a s César Guerra, Miguel Carrola y Jose de J. Villalobos F I M E U A N L. 2 0 0 5