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CAPTULO 10

FUNCIONES IMPLCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLCITAS (reas 1, 2 y 3)

En el curso de Preclculo del 4 semestre se vieron diferentes clasificaciones de las fun-ciones, entre ellas las funciones explcitas y las funciones implcitas. Recordando: Una funcinest escrita en forma explcita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) est despe-jada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explcita:

23 11 9y x x= ( )2 3 22y x tan x=

( )26 2xy e tan x cos x= 6 9ln xy

x x=

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no est despejada, sedice que est escrita en forma implcita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funcionesescritas en forma implcita:

Funciones implcitas

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3 3 8x y xy = ( ) 44 3tan x y x y = +

2 25 7 9 22 6 0x xy x y y + + =4 2y arc sen x y=

Una funcin escrita en forma implcita puede estar as por dos razones: una, porque la va-riable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuandoaparece como parte de algn argumento al mismo tiempo que no parte de algn argumento. Por

ejemplo, en la variable dependiente y aparece como parte del argumento( )24 2y sen x y= del seno y adems como no argumento en 4y. La otra razn es simplemente porque as convinoescribirla, como en (se podra despejar la y )

2 3 5 0x y+ + =

Para obtener la derivada de una funcin implcita se emplean las mismas frmulasdydx

y las mismas reglas de derivacin estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente elcuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra for-ma, la variable dependiente y ocupar el lugar de la u en las frmulas.

Por ejemplo, para derivar debe utilizarse la frmula (6) de la potencia vista en la p-3ygina 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

NNN

N3 1

3 3d dy y ydx dx

=

n - 1

n u dudx

Funciones implcitas

143

Por lo tanto3 23d dyy y

dx dx=

Para derivar, por ejemplo, debe emplearse la frmula (7) del producto uv vista en6 3x y

la pgina 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

N N6 3 6 3 3 6d d dx y x y y x

dx dx dx= +

u + v dvdx

dudx

Para derivar debe seguirse el procedimiento visto en la pgina anterior. Por lo tanto,3y

6 2 3 53 6dx y y y xdx

= +

6 3 6 2 5 33 6d dyx y x y x ydx dx

= +

En general, para obtener la derivada de cualquier funcin implcita deben derivarsedydx

ambos miembros de la igualdad aplicando las frmulas ya estudiadas y luego despejar , lodydx

Funciones implcitas

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Para derivar funciones implcitas:

1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismasfrmulas antes vistas.

2) Despejar , para lo cual:dydx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los trminosque contengan a la derivada y del lado derecho todos los trmi-nos que no la contengan.

b) Factorizar en el lado izquierdo .dydx

c) Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que ledydx

multiplica.

cual puede detallarse en la siguiente regla:

Ejemplo 1: Obtener si dydx

7 35 9 4xy y x y = +

Solucin: Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

( ) ( )7 35 9 4d dxy y x ydx dx = +

Funciones implcitas

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7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx

= +

( ) N N7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx = +

son de la forma: uv un cdudx

N N NN N3 17 75 5 3 9 4d d d dyx y y x y y

dx dx dx dx+ = +

n-1

u + v n udvdx

dudx

dudx

[ ]6 7 25 7 5 3 9 4dy dy dyx y y ydx dx dx

+ = + 6 7 235 5 3 9 4dy dy dyxy y y

dx dx dx+ = +

Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los trminos que contengan a la derivada ydel lado derecho los que no lo contengan:

6 2 735 3 4 9 5dy dy dyxy y ydx dx dx

=

Funciones implcitas

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Paso 2b: Factorizando dydx

( )6 2 635 3 4 9 5dy xy y ydx =

Paso 2c: Despejando dydx

7

6 2

9 535 3 4

dy ydx xy y

=

Ejemplo 2: Calcular la derivada si dydx

3y x ln y sen x= +Solucin: Debe tenerse cuidado con casos como ste. Aparentemente la variable y est despejado por

aparecer del lado izquierdo como nico trmino, pero realmente no est despejada por el he-cho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una funcin implcita.

Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad

( )3d dy x ln y sen xdx dx

= +

N 3dy d dx ln y sen xdx dx dx

= +

son de la forma uv sen u

Funciones implcitas

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N NN N3 3dy d d dx ln y ln y x cos x x

dx dx dx dx= + +

u + v cos udvdx

dudx

dudx

[ ] [ ]1 3 3d ydy dxx ln y cos x

dx y

= + +

3 3

dydy dxx ln y cos xdx y

= + +

3 3dy x dy ln y cos xdx y dx

= + +

Escribiendo en el lado izquierdo los trminos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen

3 3dy x dy ln y cos xdx y dx

= +

factorizando la derivada:

1 3 3dy x ln y cos xdx y

= +

Funciones implcitas

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y finalmente despejando la derivada:

3 3

1

dy ln y cos xxdxy

+=

Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fraccin compleja, esdecir, fraccin sobre fraccin, entonces para quitar el denominador parcial y basta multipli-car numerador y denominador por y:

( )3 31

y ln y cos xdydx xy

y

+=

3 3dy y ln y y cos xdx y x

+=

Ejemplo 3: Hallar si dydx

2 33 5 4 3 0x y x y+ + =Solucin: Derivando en ambos lados:

2 33 5 4 3 0d d d d d dx y x ydx dx dx dx dx dx

+ + =

26 15 4 0dy dyx ydx dx

+ =

Escribiendo en el lado izquierdo los trminos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen:

Funciones implcitas

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215 4 6dy dyy xdx dx

=

Factorizando la derivada:

( )215 1 4 6dy y xdx = y finalmente despejando la derivada:

2

4 615 1

dy xdx y

=

Funciones implcitas

150

EJERCICIO 16

Obtener la derivada de las siguientes funciones implcitas:dydx

1) 2)8 24 5 7xy x y= 2 36 3 9 4y x x y+ = 3) 4)2 2y y x x = 6 611 11 3 12x y xy x = 5) 6)3 52 7 6 8xy x y y x + = 3 4 6 24x y x y =7) 8)3 62 7y x y= + 4 4y y x=

9) 10)x yy e e= + 723

xy xy

=

11) 12)ln y ln x y x+ = ln xy xy=13) 14)sen xy xy= ( )2 3 2 3cos x y x y = 15) 16)( )2 23 3tan x y x y = + 22 0x yy x =17) 18)x y xy = 0y ln x x ln y+ =