derivadas segunda parte
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DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Existen dos formas como puede presentarse una función:
Forma Explícita:
Forma Implícita:
FORMA EXPLÍCITA
Cuando una función se escribe de la forma , esto es, la variable
dependiente (y) del primer miembro está dada explícitamente por una
expresión en el segundo miembro que incluye la variable independiente (x), se
dice que la función está dad en forma explícita.
Ejemplos
a) √
b)
c)
d)
e)
FORMA IMPLÍCITA
En algunos casos los problemas prácticos llevan a ecuaciones de la forma
, en las cuales la función (y) no se escribe explícitamente en
términos de la variable independiente (x).
Ejemplos
a)
b)
c)
d)
e)
TÉCNICA DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Para calcular
, se procede de la siguiente manera:
1. Se derivan ambos miembros de la ecuación respecto a (x) sin olvidar que (y)
es una función de (x).
2. Se utiliza la regla de la cadena cuando se derivan los términos que contienen
a (y), es decir, que cada vez que se deriva (y) se agrega el término
.
3. Despejamos algebraicamente
en la ecuación derivada.
Ejemplo 1: derivar implícitamente la función
El primer paso es llevar la ecuación a la forma
Se pasa el 12 a restar y se empieza a derivar implícitamente
Se aplica la derivada de una suma
Derivar el primer término
Derivar el segundo término
Derivar el tercer término
La derivada de cero es igual a cero en el lado derecho
Organizar dejando los términos que tienen
en el lado
izquierdo y pasar los demás términos al lado derecho
Despejar
y simplificar si es necesario
Resultado final
Ejemplo 2: derivar implícitamente la función
El primer paso es llevar la ecuación a la forma
Se pasa la x a restar y se empieza a derivar implícitamente
Se aplica la derivada de una suma.
[
] El primer término xy se deriva aplicando la
regla del producto.
[
] Organizar
[
]
Derivar el segundo término y organizar
[
]
Derivar el tercer término
Derivar el cero en el lado derecho y organizar
Organizar dejando los términos que tienen
en el lado
izquierdo y pasar los demás términos al lado derecho
Factorizar
Despejar
, resultado final
Ejemplo 3: derivar implícitamente la función
El primer paso es llevar la ecuación a la forma
El 28 y se pasan al otro lado de la ecuación
Se aplica la derivada de una suma
Derivar el primer término
[
] El segundo término se deriva
aplicando la regla del producto.
[
]
Derivar el tercer término y organizar
[
]
Derivar el cuarto término
Derivar el cero en el lado derecho y organizar
Organizar dejando los términos que tienen
en
el lado izquierdo y pasar los demás términos al lado derecho
Factorizar
Despejar
, resultado final
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Si una función es derivable, se puede formar una nueva función
llamada primera derivada de . Si la función es a su vez derivable se
puede formar una nueva función y se le llama segunda derivada de .
Se podría continuar de la misma forma, si es posible, para formar la función
llamada tercera derivada de .
No es muy común utilizar las primas (´) para simbolizar derivadas más allá de
la tercera, en esos casos se utiliza , donde k es un entero positivo que
indica el número de veces que se derivó.
La derivada de orden superior se define:
Para , se llama derivada de orden superior de la función .
Ejemplos
a) es la tercera derivada de .
b) es la cuarta derivada de .
c) es la segunda derivada de .
d) es la quinta derivada de .
Ejemplo1: calcular si
Indica que se debe derivar dos veces
Función inicial
Calcular la primera derivada de .
Derivar . Resultado final
Ejemplo 2: Calcular si
Indica que se debe derivar tres veces
Función inicial
(
) (
)
(
)
Primera derivada
Simplificar primera derivada
(
) (
)
(
) (
)
Segunda derivada
Simplificar segunda derivada
(
) (
)
(
) (
)
Tercera derivada
Simplificar tercera derivada. Resultado final
Ejemplo 3: Calcular si
Indica que se debe derivar (y) dos veces
Función inicial
( )
Aplicar la regla del cociente para derivadas
Simplificar el numerador
Desarrollar denominador. Primera derivada
( )
Aplicar regla del cociente para derivadas
Multiplicar polinomios
Simplificar términos semejantes
Factorizar numerador y denominador
Simplificar
Resultado final
Ejemplo 4: Calcular si √
Indica que se debe derivar (y) dos veces
√ Función inicial
Cambiar de radical a exponente
Aplicar la regla de la cadena
Organizar términos
Primera derivada
((
)
)
Aplicar la regla de
producto para derivadas
(
)
Organizar términos
Realizar operaciones
Factorización. Factor común
Simplificar términos semejantes
Resultado final. Segunda derivada