Definición 4.1

Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),…fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si existen constantes c1, c2, … cn no todas cero, tales que

c1f1(x), c2f2(x),…cnfn(x) = 0

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Ejemplo 1 Dependencia

f1(x) = cos2x

f2(x) = sen2x

f3(x) = sec2x

f4(x) = tan2x

c1, c2, c4 = 1

c3 = -1

c1cos2x + c2 sen2x + c3 sec2x + c4 tan2x = 0

1cos2x + 1sen2x = 1

1tan2x + 1 = sec2x

•-1 sec2x + sec2x = 0 0 = 0

•sec2x = tan2x + cos2x + sen2x

Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),…fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si por lo menos una función se puede expresar como una función lineal de las funciones restantes.

Ejemplo 2 Dependencia

f1(x) = + 5

f2(x) = + 5x

f3(x) = x -1

f4(x) = x2

c1 = 1

c2 = 1

c3 = 5

c4 = 0

c2f2(x) = c1f1(x) + c3f3(x) + c4f4(x)

1( + 5x) = 1( + 5) + 5(x - 1) + 0(x2)

+ 5x = + 5 + 5x – 5

+ 5x = + 5x

Es linealmente dependiente porque f2 puede escribirse como una combinación lineal de f1, f3, f4.

Ejercicio 1 Dependencia

f1(x) = x

f2(x) = x2

f3(x) = 4x - 3x2

1f3(x) = 4f1(x) - 3f2(x)

1(4x - 3x2) = 4(x) – 3(x2 )

4x - 3x2 = 4x – 3x2 c1 = 4

c2 = 3

c3 = 1

Ejemplos Independencia

f1(x) = x

f2(x) = |x|

f1(x) = 1 + x

f2(x) = x

f3(x) = x2

Gracias…