Departamento Ingeniería de Mecánica

TESIS DOCTORAL

Modelo Matemático Promediado en Volumen para la Transferencia de Calor en Medios Porosos con Tres Fases

presentada por

Angélica Gabriela Vital Ocampo M. en C. en Ing. Mecánica por el cenidet

como requisito para la obtención del grado de:

Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director (es) de tesis: Dr. Octavio Cazarez Candia.

Dra. Sara Lilia Moya Acosta

Cuernavaca, Morelos, México.

Departamento de Mecánica.

TESIS DOCTORAL

Modelo Matemático Promediado en Volumen para la Transferencia de Calor en Medios Porosos con Tres Fases.

presentada por

Angélica Gabriela Vital Ocampo M. en C. en Ing. Mecánica por el cenidet

como requisito para la obtención del grado de:

Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica.

Director (es) de tesis:

Dr. Octavio Cazarez Candia. Dra. Sara Lilia Moya Acosta

Jurado:

_______________________________ ____________________________ Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Presidente Dr. Octavio Cazarez Candia – Secretario __________________________ _______________________________ Dr. Gilberto Espinosa Paredes– Vocal Dr. Gustavo Urquiza Beltrán– Vocal _____________________________ Sara Lilia Moya Acosta – Vocal

“2011, Año del Turismo en México”

Interior Internado Palmira S/N, Col. Palmira C.P. 62490, Cuernavaca, Morelos, México Tel. 01(777) 362‐7770 (con 10 líneas),  Fax 01(777) 362‐7795 

www.cenidet.edu.mx 

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO 

 

ESC\FORDOC09

ACEPTACIÓN DEL TRABAJO DE TESIS DOCTORAL

Cuernavaca, Morelos a 28 de Febrero del 2011

Dr. Jesús Arce landa Jefe del Depto. de Ing. Mecánica P r e s e n t e Los abajo firmantes, miembros del Comité Tutorial de la Tesis Doctoral de la alumna M.C. ANGELICA GABRIELA VITAL OCAMPO, manifiestan que después de haber revisado su trabajo de tesis doctoral titulado “MODELO MATEMÀTICO PROMEDIADO EN VOLUMEN PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN MEDIOS POROSOS CON TRES FASES”, realizado bajo la dirección del Dr. Octavio Cazarez Candia y co-dirección de la Dra. Sara Lilia Moya Acosta, el trabajo se ACEPTA para proceder a su impresión.

A T E N T A M E N T E

_______________________________ DR. OCTAVIO CAZAREZ CANDIA

INVESTIGADOR INSTITUTO MEXICANO DEL PETROLEO

_______________________________

DRA. SARA LILIA MOYA ACOSTA PROFESOR -INVESTIGADOR

CENIDET

_______________________________ DR. GILBERTO ESPINOSA PAREDES

PROFESOR-INVESTIGADOR UAM IZTAPALAPA

_______________________________ DR. GUSTAVO URQUIZA BELTRÁN

PROFESOR-INVESTIGADOR UAEM

_______________________________ DR. JESUS PERFECTO XAMAN

VILLASEÑOR PROFESOR -INVESTIGADOR

CENIDET

C.p.: L.I Guadalupe Garrido Rivera / Jefa de Servicios Escolares Dr. Gerardo Reyes Salgado/ Subdirector Académico

Expediente

i

Resumen En este trabajo se obtienen las ecuaciones promediadas en volumen de masa, cantidad de

movimiento y energía para un flujo multifásico de dos líquidos y un gas a través de un medio

poroso homogéneo, isotrópico y rígido. Las ecuaciones se obtuvieron aplicando el método del

promedio volumétrico sobre las ecuaciones locales en régimen transitorio para las fases,

interfases, líneas y puntos de contacto.

Al aplicar dicho método se obtienen de forma natural términos adicionales conocidos como

términos de cerrado, los cuales son definidos en función de variables dependientes y al

aplicarlos sobre el sistema de ecuaciones promediadas dan lugar a un sistema cerrado de

ecuaciones.

En la obtención de las ecuaciones se toma en cuenta lo siguiente: a) flujo simultáneo de un gas

y dos líquidos inmiscibles, b) generación de masa y calor debido a una reacción química, c)

fluxes difusivos; los fluxes netos van de las fases a las interfases, de las interfases a las líneas

de contacto y de las líneas de contacto al punto de contacto (proceso cascada), y d)

transferencia de masa. Además se supuso: a) una fase sólida no-permeable y rígida, b) fluidos

Newtonianos, y c) coordenadas cartesianas en tres dimensiones.

Se obtuvieron dos versiones de la ecuación de energía; una bajo la suposición de desequilibrio

térmico (modelo de fases separadas) y otra bajo la suposición de equilibrio térmico (modelo de

una ecuación).

Las ecuaciones promediadas en volumen para las fases se usaron para simular la recuperación

de hidrocarburos por medio de la técnica combustión in-situ. En la simulación se toma en

cuenta lo siguiente: 1) el gas es incompresible, 2) la fase gas es una mezcla de oxígeno, vapor

de agua, vapor de aceite, y gases de combustión, 3) la generación de masa debido a la reacción

ii

química del aceite, 4) la generación de masa debido a la reacción química entre el coque y el

oxígeno, 5) la transferencia de masa debido al cambio de fase del aceite y agua. La ecuación

de cantidad de movimiento se simplificó hasta llegar a la ecuación de Darcy.

Se propusieron las ecuaciones de cerrado para el cambio de fase del agua y del aceite así como

los términos de generación de calor a causa de reacciones químicas.

Las ecuaciones de masa se resolvieron numéricamente usando la técnica de diferencias finitas.

con un esquema explícito y para la ecuación de energía se usó la el esquema de Crank-

Nicolson.

Las predicciones de temperatura, presión y volumen de aceite recuperado obtenidas con el

modelo mostraron resultados aceptables al ser comparados con datos experimentales. Por otro

lado, el modelo también permite predecir perfiles de: a) saturaciones de aceite, agua y gas, y

b) fracciones masa para oxígeno, vapor de aceite y agua.

Las principales contribuciones de esta tesis son: a) la derivación de las ecuaciones de masa,

cantidad de movimiento y energía para las líneas y puntos de contacto promediadas en

volumen para flujo multifásico, y b) el uso de las ecuaciones conservación promediadas en

volumen para resolver un problema de combustión in-situ que involucra la vaporización de

aceite.

La tesis esta conformada por siete capítulos. En el capítulo uno, se muestra la importancia y

relevancia del trabajo doctoral realizado. Por otra parte se presenta la descripción general del

problema y su metodología de solución. En el capítulo dos, se presentan las consideraciones y

suposiciones generales, y las ecuaciones locales de masa para la fase, interfase, línea y punto

de contacto. En el mismo capítulo se definen los teoremas de promediado, se obtienen las

ecuaciones promediadas de masa en cada una de las regiones antes mencionadas y se muestra

la comparación de las ecuaciones promediadas obtenidas con otros trabajos. En los capítulos

iii

tres y cuatro, se proponen las ecuaciones locales de cantidad de movimiento y energía para la

fase, interfase, línea y punto de contacto, se obtienen las ecuaciones promediadas y se muestra

la comparación de las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía obtenidas con otros

trabajos. En el capítulo cinco, se obtiene la ecuación de energía una bajo la consideración de

desequilibrio térmico y otra bajo la suposición de equilibrio térmico.. En el capítulo seis, se

plantea el modelo físico para un problema de combustión in-situ, se proponen las

consideraciones y suposiciones para dicho problema, se obtiene el modelo de combustión in-

situ, se presenta la solución numérica y se realiza la comparación entre los resultados

obtenidos y lo datos experimentales. Finalmente en el capítulo siete, se presentan las

conclusiones y recomendaciones del trabajo doctoral desarrollado.

iv

Abstract

In this work are obtained the average volume mass, momentum and energy equations for the

multiphase flow of gas and two immiscible liquids in a homogeneous, isotropic, and rigid

porous media. The average equations are obtained averaging the transient and local mass,

momentum and energy equations using the volume averaging method. The average equations

are obtained for phases, interfaces, lines and common points.

Additional terms arise when the volume averaging method is applied. Such terms are known

as closure terms, which should be defined as function of dependent variables. These terms

allow obtaining a closed equations system.

The average equations are obtained taken into account: a) the simultaneous flow of one gas

and two immiscible liquids, b) the mass and heat generation due to chemical reactions, c)

diffusive fluxes; the diffusive fluxes go from phases to interfaces, from interfaces to contact

lines and from contact lines to contact point (cascade process), and d) mass transfer. Moreover

the next suppositions are made: a) non-permeable and rigid solid phase, b) Newtonian fluids,

and c) coordinated cartesian in three dimensions.

The energy equation is obtained for non-thermal equilibrium (separate equations model) and

for thermal equilibrium (one equation model).

The obtained volume averaged phase equations are used to simulate the in-situ combustion

technique in oil reservoirs. In the simulation it is considered that: 1) the gas phase is

compressible, 2) the gas phase is a mixture composed by nitrogen, oxygen, oil vapor, steam,

and combustion gases, 3) the mass generation is presented due to the chemical reaction of oil,

4) there is gas generation due to the chemical reaction between coke and oxygen, and 5) the

v

mass transfer can be presented due to the phase change of oil and water. The momentum

equation is simplified to get the Darcy Law.

The closure relationships for the water and oil phase change and mass generation due to

chemical reactions are proposed.

The mass equations are numerically solved using the finite differences technique with an

explicit scheme and the Crack-Nicholson scheme is used to solve the energy equation.

The predictions of temperature, pressure and oil recovery obtained with the model are in

agreement with experimental data. The mathematical model is also able to predict the profiles

of: a) oil, water and gas saturations, and b) oxygen, oil vapor, and water steam mass fractions.

The main contributions of this thesis are: a) the volume averaged mass, momentum and energy

equations for lines and contact points for multiphase flow, and b) the use of the volume

averaged phase conservation equations (mass, momentum and energy) to solve a combustion

in-situ problem in which the oil vaporization is considered.

This thesis is formed by seven chapters. In chapter one, the importance and relevance of the

developed work is presented. Moreover the general description of the problem and the solution

methodology are given.

In chapter two, the general considerations and suppositions, and the local mass equations for

phase, interface, lines and common points are presented. In the same chapter the averaging

theorems are defined and applied to the local mass equations obtaining the averaged mass

equations which are compared with models reported in literature. In chapters three and four,

the local momentum and energy equations for phase, interface, lines and common points are

presented, and the averaged momentum and energy equations for every region above

mentioned are obtained and compared with models reported in literature. In chapter five, the

energy equation is obtained for both no-thermal and thermal equilibrium.

vi

In chapter six, the physical model for an in-situ combustion problem is described, i.e.

considerations and suppositions for such problem are proposed. Moreover the mathematical

model for an in-situ combustion problem is obtained and its numeric solution is presented and

compared with experimental data. Finally, in chapter seven, the conclusions and

recommendations about this work are presented.

vii

RECONOCIMIENTOS Se agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por el apoyo económico brindado en la realización del presente trabajo.

viii

CONTENIDO

Lista de Figuras …………………………………………………………………………... xi

Lista de Tablas……………………………………………………………………………. xiii

Nomenclatura……………………………………………………………………………... xiv

CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO Y PROBLEMA A RESOLVER 1. INTRODUCCIÓN………………...…………………………………………………… 1 1.2. ESTADO DEL ARTE………………………………………………………………... 4 1.2.1. Trabajos teóricos…………………………………………………………………. 5 1.2.2. Trabajos teórico- experimentales………………………………………………… 11 1.2.3. Ecuaciones de salto interfacial…………………………………………………… 13 1.2.4. Aplicaciones industriales………………………………………………………… 16 1.2.5. Resumen de la revisión………………………………………………………….. 19 1.2.6. Conclusiones de la revisión………………………………………………………. 24 1.3. HIPÓTESIS…………………………………………………………………………... 24 1.4. JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………. 25 1.5. OBJETIVO…………………………………………………………………………... 31 1.6. ALCANCE…………………………………………………………………………... 32 1. 7. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA………………………………………………... 32 1.8. MÉTODOS Y PROPUESTAS DE SOLUCIÓN…………………………………….. 33 CAPÍTULO 2: ECUACIÓN DE MASA 2.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 38 2. 2 CONSIDERACIONES Y SUPOSICIONES………………………………………… 43 2.3 ECUACIÓN LOCAL….……………………………………………………………… 44 2. 3. 1 Ecuación para la fase……..…...…………………………………………………. 45 2. 3. 2 Ecuación para la interfase…………………………………………………..…… 46 2. 3. 3 Ecuación para la línea de contacto……….……………………………………… 47 2. 3. 4 Ecuación para el punto de contacto……………………………………………... 47 2. 4 MÉTODO DEL PROMEDIO VOLUMÉTRICO……………………………………. 48 2. 4. 1 Teoremas de promediado para el volumen……………………………………… 49 2. 4. 2 Teoremas de promediado para la interfase……………………………………… 53 2. 4. 3 Teoremas de promediado para la línea de contacto………………………….….. 54 2. 4. 4 Teoremas de promediado para el punto de contacto……………………….……. 562. 5 ECUACIÓN DE MASA PROMEDIADA…………………………………………… 57 2. 5. 1 Ecuación de masa promediada en volumen……………………………………... 57 2. 5. 2 Ecuación de masa promediada en el área interfacial…………………………….. 61 2. 5. 3 Ecuación de masa promediada en la línea de contacto………………………….. 66 2. 5. 4 Ecuación de masa promediada en el punto de contacto…………………………. 70 2. 6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS…………………………………………………... 72 2. 7. CONCLUSIONES…………………………………………………………………... 75

ix

CONTENIDO CAPÍTULO 3: ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 76 3.2 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN LOCAL……………………………………….. 82 3. 2. 1 Ecuación para la fase…………………………………………………………….. 82 3. 2. 2 Ecuación para la interfase…….…………………………………………………. 83 3. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto………….…………………………………… 84 3. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto……………………………………………... 84 3.3 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROMEDIADA…...…………... 85 3. 3. 1 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el volumen………………. 85 3. 3. 2 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el área interfacial………... 92 3. 3 .3 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en la línea de contacto……… 101 3. 3. 4 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el punto de contacto……... 110 3. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS…………………………………………………… 112 3. 5 CONCLUSIONES…………………………………………………………………… 119 CAPÍTULO 4: ECUACIÓN DE ENERGÍA 4.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 120 4.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA LOCAL...…..…………………………………………... 122 4. 2. 1 Ecuación para la fase…………………………………………………………….. 122 4. 2. 2 Ecuación para la interfase……………………………………………………….. 123 4. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto…………….………………………………… 123 4. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto…….………………………………………... 124 4.3 ECUACIÓN PROMEDIADA…..……………………………………………………. 125 4. 3. 1 Ecuación promediada en el volumen……………………………………………. 125 4. 3. 2 Ecuación promediada en el área interfacial……………………………………… 133 4. 3 .3 Ecuación promediada en la línea de contacto…………………………………… 145 4. 3. 4 Ecuación promediada en el punto de contacto…………………………………... 158 4. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS…………………………………………………… 160 4. 5 CONCLUSIONES…………………………………………………………………… 170 CAPÍTULO 5: ECUACIÓN DE ENERGÍA BAJO CONDICIONES DE EQUILIBRIO Y DESEQUILIBRIO TÉRMICO

5.1 ECUACIÓN CON DESEQUILIBRIO TÉRMICO…………………………………... 171 5.1.1 Cerraduras………………………………………………………………………… 174 5.1.2 Forma Cerrada del modelo de fases separadas……………….…………………... 178 5.2 ECUACIÓN CON EQUILIBRIO TÉRMICO…..…………………………………… 180 5.3 CONCLUSIONES……………………………………………………………………. 184 CAPÍTULO 6: ECUACIONES PARA COMBUSTIÓN IN-SITU 6.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 185 6.2 MODELO FÍSICO……………………………………………………………………. 187 6.3 CONSIDERACIONES……………………………………………………………..… 188 6.4 ECUACIONES DE MASA…………………………………………………...…...….. 190 6.5 ECUACIONES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.…………………………….... 196 6.6 ECUACIONES DE ENERGÍA.………………………………………………………. 197

x

CONTENIDO 6.7 SOLUCIÓN NUMÉRICA.…………………………………..……………………….. 200 6.7.1 Discretización de las ecuaciones gobernantes…………………………………….. 201 6.7.2 Procedimiento de solución del modelo numérico………………………………… 203 6.8 RESULTADOS……………………………………………………………………….. 209 6.9 CONCLUSIONES……………………………………………………………………. 220 CAPÍTULO7: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 7.1 CONCLUSIONES GENERALES……………………..…………………………… 222 7.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS POSTERIORES…………………... 223 REFERENCIAS………………………………………………………………………….

226

APÉNDICE A Vaporización de aceite…………………………………………………. 240 APÉNDICE B Publicaciones, Congresos y Conferencias……………………………... 241

xi

Lista de Figuras No. de Figura

Descripción Pág.

1.1 Flujo multifásico en medio poroso………………………………………….. 33

1.2 Regiones involucradas dentro del volumen de promediado: áreas

interfaciales ( 1 2 1 1 2 2, , , , y gsl l l g l s l g l sA A A A A A ), líneas de contacto

( 1 2 1 2 1 2, , y l l g l l s l gs l gsL L L L ), y punto de contacto ( 1 2l l gsP ). Los subíndices

indican las fases involucradas en cada región.................................................

34

1.3 Volumen de promediado. r es el vector de posición para la fase l1, x es el

vector de posición localizando el centroide del volumen de promediado, yl1

es el vector de posición en cualquier punto de la fase l1 relativo al

centroide..........................................................................................................

35

1.4 Diagrama de flujo de la metodología utilizada.……….................................. 37

6.1 Tubo de Combustión (Modificado de Cazarez-Candia, 2010)…………...… 188

6.2 Diagrama de flujo para la solución del modelo numérico………….............. 208

6.3 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura

del modelo…………………………………………………………………...

209

6.4 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura

del modelo sin el término de vaporización de aceite………………………..

210

6.5 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura

del modelo…………………………………………………………………..

211

6.6 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura

del modelo sin el término de vaporización de aceite………………………

212

6.7 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 1……….. 213

6.8 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 2……….. 213

xii

6.9 Perfiles de presión para el experimento 1……………………...…………… 214

6.10 Saturación de aceite para el experimento1……………………..…………... 215

6.11 Saturación de agua para el experimento1…………………………………... 215

6.12 Saturación de gas para el experimento 1………………………………….... 216

6.13 Volumen recuperado para el experimento 1………………………............... 217

6.14 Volumen recuperado para el experimento 2………………………............... 217

6.15 Fracción masa de oxígeno. experimento 1…………………………………. 218

6.16 Fracción masa de vapor de aceite para el experimento 1…………............... 219

6.17 Fracción masa de vapor de agua para el experimento 1…………..……….. 219

.

xiii

Lista de Tablas No. de Tabla Descripción Pág.

1.1 Trabajos teóricos…………………………………………………... 19

1.2 Trabajos teóricos experimentales………………………………….. 21

1.3 Trabajos de salto interfacial………………………………………. 22

1.4 Aplicaciones industriales………………………………………….. 23

2.1

Comparación de las ecuaciones de masa obtenidas contra otros

trabajos………………………....…………………….…………....

73

3.1

Comparación de las ecuaciones de cantidad de movimiento

obtenidas contra otros trabajos……………………..……………...

115

4.1

Comparación de las ecuaciones de energía obtenidas contra otros

trabajos……………………………..………………………………

163

6.1 Parámetros experimentales………………………………………... 187

xiv

NOMENCLATURA

Símbolo Descripción Unidades kmA Área interfacial (área de la superficie común a las

fases k y m) contenida en la región macroscópica ( )mkA= . k=l1, l2, g; m=l1, l2, g donde (k≠m).

m2

Cp Calor específico a presión constante. J/kg-K dA Elemento diferencial de área. m3 dL Elemento diferencial de longitud. m dP Elemento diferencial de un punto. dV Elemento diferencial de volumen. m3 g Vector de aceleración de la gravedad. m/s2 H Curvatura de la superficie. m-1

kj Flux difusivo de masa de la fase k. kg/m2-s kkmj Flux difusivo de masa de la fase k en la interfase km

(k≠m). kg/m-s kkmnj Flux difusivo de masa de la fase k en la línea de

contacto kmn (k≠m≠n). kg/m-s

kk Conductividad térmica de la fase k. W/m-K kkmk Conductividad térmica de superficie para la fase k. W/K kkmnk Conductividad térmica lineal de la fase k. J-m2/K

lk Longitud característica microscópica de la fase k. L Longitud característica macroscópica. Lkmn Longitud de la línea formada por las fases kmn; k=l1,

l2, g, s; m=l1, l2, g, s;n=l1, l2, g, s; (k≠m≠n).

M Número de las diferentes fases. N Número de los diferentes tipos de interfases.

kmn Vector normal unitario dirigido de la fase k a la fase m ( )mk= −n . k=l1, l2, g; m=l1, l2, g; (k≠m). --

kp Presión en la fase k. N/m2 kkmp Presión de la fase k en la interfase km. N/m kkmnp Presión de la fase k en la línea de contacto kmn. N

kmnqP Punto de contacto formado por la intersección de las líneas de contacto kmnq, (k≠m≠n≠q).

P Número de los diferentes tipos de puntos de contacto. Q Número de los diferentes tipos de líneas de contacto ro Longitud característica del volumen promedio. s(t) Superficie. t Tiempo. T Temperatura. K uα Coordenadas de superficie. Ukmn Velocidad de la línea de contacto kmn.

kv Velocidad de la fase k. m/s kkmv Velocidad de la fase k en la interfase km (k≠m). m/s

xv

NOMENCLATURA

kkmnv Velocidad de la fase k en la línea de contacto kmn

(k≠m≠n). m/s

pv Velocidad del punto de contacto. m/s

kV Volumen intrínseco de la fase k, k=l1, l2, g. m3 V Volumen de promediado. m3

kmw Componente normal de la velocidad interfacial ( km km kmw=w n ). m/s

SÍMBOLOS GRIEGOS kµ Viscosidad de la fase k. N-s/m2 kkmµ Viscosidad de la fase k en la interfase km. N-s/m kkmnµ Viscosidad de la fase k en la línea de contacto kmn. N-s

kρ Densidad de masa de la fase k por unidad de volumen. kg/m3

kkmρ Densidad de masa de la fase k en la interfase km. kg/m2 kkmnρ Densidad de masa de la fase k en la línea de contacto

kmn. kg/m

kε Fracción volumen de la fase k. m3/m3 kkmε Fracción en área por unidad de volumen en la

interfase km. m2/m3 kkmnε Fracción de línea por unidad de volumen en la línea

de contacto kmn. m/m3 kkmnqε Fracción de punto por unidad de volumen en el punto

de contacto kmnq. m-3

kmω Velocidad de desplazamiento de la interfase (componente normal km kmnω = ⋅w ). m/s

kΦ Generación de masa de la fase k (dada una reacción

química) en el volumen (Ec. 3). Generación de calor de la fase k (Ec. 186).

kg/m2-s

J/ s-m3 kkmΦ Generación de masa de la fase k en la interfase km

(Ec. 4). Generación de calor de la fase k en la superficie ( Ec.188).

kg/m-s J/s -m2

kkmnΦ Generación de masa de la fase k en la línea de

contacto kmn (Ec. 5). Generación de calor de la fase k en la línea de contacto kmn (Ec.190).

kg/m-s

J/s-m

kmnυ Vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km apuntando fuera de dicha la interfase.

kmnqλ Vector unitario tangente a la línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto Pkmnq. (k≠m≠n≠q).

ψ Variable arbitraria.

xvi

NOMENCLATURA

ψk Variable genérica por unidad de volumen. ˆkψ Desviación espacial de la fase k.

kkmΨ Variable genérica evaluada en el área interfacial.

kkmnϒ Variable genérica evaluada en la línea de contacto.

γkkmnq Variable genérica evaluada en el punto de contacto.

σ Tensión superficial. kkmp∆ Gradiente de presión interfacial promedio. N/m2 kkmnp∆ Gradiente de presión lineal promedio. N/m kkmnqp∆ Gradiente de promedios de presión puntual

promedio. N

SUBÍNDICES g Fase gas. k Fases existentes en el sistema (k=l1, l2, g). km=mk k=l1, l2, g y m=l1, l2, g,s (k≠ m) km Interfase km. kmn Línea de contacto kmn. l1 Fase líquido uno. l2 Fase líquido dos. s Fase sólida. α,β,γ Cantidades tensoriales superficiales. i, j, k Cantidades tensoriales superficiales. SUPERÍNDICES k Fase k. km Interfase km. kmn Línea kmn. kmnq Punto kmnq. OPERADORES

N

kmk m≠

∑ Sumatoria de todas las interfases k tal que la fase k se encuentra rodeada por aquellas interfases.

Q

kmnk m n≠ ≠

∑ Sumatoria de todas las líneas de contacto (ó en común) kmn tal que la interfase km se encuentra rodeada por aquellas líneas de contacto.

P

kmnqk m n q≠ ≠ ≠

∑ Sumatoria de todos los puntos de contacto (ó en común) kmnq tal que la línea de contacto kmn se encuentre rodeado por aquellos puntos de contacto.

Promedio. k

Promedio de fase intrínseco. --

xvii

NOMENCLATURA

k m

Promedio de interfase intrínseco. --

k m n

Promedio de línea intrínseco. --

k m n q

Promedio de punto intrínseco. --

~ Desviación espacial. ∇ Gradiente. ⋅∇ Divergencia.

s∇ ⋅ Divergencia de superficie.

l∇ ⋅ Divergencia de línea.

1

Capítulo 1

MARCO TEÓRICO Y PROBLEMA A RESOLVER 1. INTRODUCCIÓN

El flujo multifásico en medios porosos se presenta en muchas disciplinas, tales como la

Física, Química, Biología, Geología y en las Ingenierías como la Química, Bioquímica,

Geotérmica, Petrolera, Solar, etc. Algunos casos específicos son: 1) yacimientos petroleros

y geotérmicos, 2) lechos catalíticos, 3) almacenamiento, ventilación y secado de granos, 4)

dispersión de contaminantes químicos y nucleares en el subsuelo, 5) movimiento del

magma en la corteza y manto terrestre, 6) fabricación de materiales para la construcción de

edificaciones. Entre otros ejemplos se encuentran muchas funciones propias de los seres

vivos como: la respiración, la transpiración y la digestión. Casi cualquier material que nos

rodea es poroso (textiles, piel, madera, concreto, papel, etc.), y para la inmensa mayoría de

ellos es imposible dar una descripción geométrica correcta bebido a que son demasiado

irregulares.

En los últimos años, en la industria química, se han desarrollado investigaciones sobre

reactores de membrana, que son consideradas como elementos porosos y regularmente

pueden ser de vidrio o cerámica. En este tipo de reactores, el rendimiento está limitado por

el transporte de productos a través de la membrana y en general se obtienen bajos

rendimientos, por lo que es necesario desarrollar membranas que sean altamente selectivas,

que admitan flujos altos y que no sean tan costosas.

Por otro lado, en la industria petrolera, en la extracción de petróleo del subsuelo el cual es

un medio poroso (fase sólida), específicamente en los procesos de recuperación secundaria,

se inyecta un fluido (gas ó agua) para recuperar la condición de presión y tener una mayor

2

producción, por lo que es necesario determinar el flujo, la presión y la temperatura a la

que debe ser inyectado dicho fluido.

En la ingeniería de alimentos, para el secado de granos (cereales) y otros materiales

agrícolas, se utiliza aire caliente el cual se inyecta a las torres de almacenamiento durante

todo el proceso. En este caso, los alimentos se consideran como medios porosos (fase

sólida), por lo que se hace necesario el estudio de flujo multifásico (acompañados con

cambios de fase) para determinar las condiciones adecuadas de secado..

Durante el flujo de fluidos a través de medios porosos se presenta una diversidad de

procesos en los que intervienen, no sólo la estructura tortuosa del medio, sino las

propiedades de los fluidos y las fuerzas superficiales que aparecen como consecuencia de

la interacción medio poroso-fluido. Es por esto que la descripción del flujo y transporte de

masa y energía, ha sido abordada desde diversos puntos de vista durante décadas,

diferenciándose unas de otras en: 1) el número de parámetros y tipo de ecuaciones, 2) por

su aplicación en diferentes disciplinas y 3) al tratamiento matemático de las ecuaciones

utilizadas.

Para resolver un problema de transporte es necesario determinar la distribución espacial y

temporal de las variables de estado (velocidades, densidad de masa, presión de la fase

fluida, concentración del soluto, esfuerzos en la estructura del sólido, etc.) que han sido

seleccionadas para describir el estado del sistema material.

En principio, las ecuaciones que describen los diversos fenómenos de transporte

(ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía) son conocidas y

pueden describirse a nivel microscópico ó macroscópico. En el nivel microscópico, se

enfoca la atención de lo que pasa en un elemento diferencial dentro del dominio de la fase

considerada. El análisis de flujo multifásico en medios porosos a nivel microscópico

generalmente no es sencillo debido a: 1) la dificultad en la obtención de la descripción

3

geométrica de los materiales, 2) la irregularidad de las interfases en las que se deben

acoplar estos procesos microscópicos, y 3) problemas con longitudes de escalas. Por otro

lado, el nivel macroscópico, permite determinar las propiedades termo-hidrodinámicas las

cuales pueden ser 1) medidas, 2) continuas, y 3) diferenciables, permitiendo a los

problemas de valor a la frontera ser resueltos.

Una de las técnicas exitosamente empleadas para resolver este tipo de problemas es la

técnica del método del promedio volumétrico (Slattery, 1967; Benerjee y Chan, 1980;

Carbonell y Whitaker, 1984; Howes y Whitaker, 1985; Sha et al., 1984; Whitaker, 1966,

1967, 1969, 1986a, 1986b y 1986c; Crapiste et al., 1986; Ochoa-Tapia et al., 1993;

Espinosa-Paredes 1998; Nakayama et al. 2001; Duval et al., 2004; Quintard et al., 2006), la

cual es una técnica que puede usarse para derivar rigurosamente las ecuaciones continuas

de masa, cantidad de movimiento y energía para sistemas multifásicos. Esto significa que

las ecuaciones las cuales son válidas dentro de una fase en particular pueden ser

espacialmente suavizadas y obtener ecuaciones que sean válidas en todas partes dentro del

volumen de promediado el cual puede contener varias fases, varias interfases, líneas y

puntos de contacto.

Resolver un problema de flujo multifásico en un medio poroso utilizando la técnica del

promedio volumétrico es complejo ya que además de las ecuaciones de transporte de masa,

cantidad de movimiento y energía se requieren de condiciones de frontera (o de salto

interfacial de masa, cantidad de movimiento y energía) que sean válidas en los poros por lo

que es necesario establecer para ello, restricciones de escala que rijan la validez del

promediado en volumen. Por otro lado, cuando se promedian en volumen las ecuaciones

locales y salto interfacial, se obtienen términos adicionales conocidos como:

• Términos de cerradura (desviaciones espaciales de presión, diáda de las

desviaciones espaciales de la velocidad, diferencia del promedio de presión, etc),

4

que deben plantearse en función de variables dependientes para poder determinar

el sistema cerrado de ecuaciones de flujo multifásico en medios porosos.

• Coeficientes promedio intrínseco, los cuales describen el comportamiento de las

propiedades promedio expresadas para cada una de las fases involucradas. Dichos

coeficientes pueden obtenerse de forma experimental.

Por otra parte, el promedio volumétrico es ampliamente utilizado debido a la flexibilidad

que tiene para poder resolver un mismo problema bajo diferentes consideraciones y

suposiciones. Por ejemplo, para la ecuación de energía, permite proponer 1) modelos

matemáticos de fases separadas, el cual se debe usar cuando las variaciones de las

propiedades térmicas del medio son muy grandes tanto que no se puede considerar

equilibrio térmico local (Whitaker, 1999), y 2) modelos matemáticos de sólo una

ecuación, en los cuales se usa el concepto de equilibro térmico.

Dada la flexibilidad del método del promedio volumétrico se han realizado trabajos de

investigación para flujo multifásico en un medio poroso tomando en cuenta diferentes

consideraciones. Los trabajos más importantes se describen en la siguiente sección.

1.2 ESTADO DEL ARTE

Los modelos conceptuales para un gas o líquido, de acuerdo a la mecánica del medio

continuo, establecen su formulación en términos de ecuaciones que describen las leyes de

conservación de masa, cantidad de movimiento y energía. De la misma forma, los medios

multifásicos estructurados se modelan en términos de ecuaciones de conservación, sin

embargo su formulación resulta ser más complicada.

5

No obstante la complejidad del manejo del flujo multifásico (dos y tres fases) en medios

porosos, (Whitaker, 1969; 1986a, 1986b y 1999; Carbonell y Whitaker, 1984; Crapiste, et

al., 1986; Ochoa-Tapia et al., 1993; Sha et al., 1984), se ha utilizado el método del

promedio volumétrico estableciendo las ecuaciones de transporte promedio en volumen

instantáneas aplicando teoremas de integrales (Whitaker, 1967; Slattery, 1967), relaciones

de desviaciones espaciales (Gray , 1975) y comprobaciones del teorema de promedio

espacial (Howes y Whitaker, 1985; Benerjee y Chan, 1980, etc.), para resolver diferentes

situaciones tales como: transferencia de masa, cantidad de movimiento y energía (este

último tomando en cuenta convección-conducción) en medios porosos con o sin cambio de

fase, así como la deducción de ecuaciones de cerrado y salto interfacial.

Por lo anterior, con la finalidad de abordar la problemática desde una mejor perspectiva, la

revisión bibliográfica se ordenó en: 1) trabajos teóricos, y 2) trabajos teóricos-

experimentales, ambos relacionados a la conservación de masa, cantidad de movimiento y

energía en medios porosos para sistemas fluido-sólido y sólido-líquido-gas utilizando el

método del promedio volumétrico.

1.2.1 Trabajos teóricos

En relación a las ecuaciones de transferencia de masa, cantidad de movimiento y energía

que describen al flujo multifásico (dos o tres fases) en un medio poroso utilizando el

método del promedio volumétrico, en la literatura se encuentran los trabajos presentados

por Whitaker (1973a) y Gray (1975). En ambas investigaciones los autores obtuvieron la

ecuación de transporte de masa promediada en volumen para un medio poroso (fluido-

sólido) en estado transitorio. En sus trabajos, ellos supusieron flujo incompresible,

porosidad constante, y consideraron el término de flux difusivo expresado de acuerdo a la

ley de Fick, y reacción química. Las ecuaciones obtenidas por ambos investigadores

presentaron discrepancias en los términos convectivos y dispersivos. Sin embargo se

6

encontró finalmente que la ecuación obtenida por Gray (1975) se encuentra más apegada a

la definición del decremento de la velocidad de difusión debida a la geometría del sistema.

Ochoa-Tapia et al. (1993), utilizando la ecuación de continuidad para la concentración de

las especies (sin reacción química) en un sistema de N- componentes en estado transitorio

(Carbonell y Whitaker, 1983; Ryan et al., 1980) deducen la difusividad de bulto y de

superficie en un medio poroso para un sistema bifásico (fluido-sólido). En esta

investigación, los autores utilizan el método de promediado de superficie en conjunto con

el método del promedio volumétrico. El problema de cerradura fue desarrollado de tal

manera que las difusividades efectivas se pudieran calcular en base a modelos geométricos.

Los autores proponen el desarrollo de una solución analítica haciendo uso de la celda

unitaria de Chang para producir el modelo de Maxwell de difusión de bulto y de superficie.

Al comparar sus resultados encontraron que las difusividades de superficie efectivas eran

altamente sensibles a la topología del medio poroso en consideración.

Un trabajo similar presentaron Capriste, et al. (1986), en el cual deducen la ecuación

general de transporte, utilizando el método del promedio volumétrico, misma que fue

simplificada para resolver la difusión de bulto en estado transitorio para un medio poroso

rígido en dos fases, con reacción química irreversible y heterogénea de primer orden,

donde las variaciones de la dispersión y el coeficiente de velocidad de la seudo-reacción no

fueron consideradas. Los resultados obtenidos se compararon con los trabajos presentados

por Ryan et al. (1981) y Carbonel y Whitaker (1983). Esta comparación la realizaron por

que dichos trabajos proporcionan una base para el análisis de un gran número de procesos

de transporte en sistemas multifásicos complejos. Duval et al., (2004), considerando que el

perfil de velocidades era conocido, utilizan las ecuaciones de transporte de masa y energía

en estado transitorio y sus respectivas condiciones de salto interfacial para obtener perfiles

de temperatura y saturación de un medio poroso con tres fases (sólido-líquido-gas).

7

Algunas de las consideraciones hechas en esta investigación fueron: medio poroso rígido,

cambio de fase del líquido y gas, desequilibrio térmico local (modelo de tres temperaturas),

temperatura interfacial líquido-gas en equilibrio termodinámico y propiedades termofísicas

constantes. Los autores deducen las ecuaciones de cerrado identificando seis términos

como términos fuentes macroscópicos que actuaron como generadores de las desviaciones

espaciales de temperatura. Estos términos permitieron proponer una solución aproximada

de la ecuación de cerrado de las desviaciones espaciales de temperatura para cada una de

las fases (sólido, líquido y gas) involucradas. La solución obtenida permite manejar

diferentes problemas aplicables a los trabajos propuestos por: 1) Wang y Beckerman

(1993) (conocido como mezcla de dos fases), 2) Lipinski, (1984) (usado para el análisis de

accidentes de reactores nucleares como carcasas de lechos de enfriamiento), y 3) Décossin,

(1999) (para el modelo de una temperatura el cual permite simplificar la ecuación de

energía del fluido en la región de las dos fases, tomando en cuenta consideraciones

específicas sobre el flujo másico). Los autores decidieron utilizar la definición de Gray,

(1975) para las desviaciones espaciales de la temperatura para resolver un problema teórico

enfocado a un proceso a macro-escala puramente difusivo con cambio de fase. Las

ecuaciones obtenidas fueron simplificadas y comparadas con las ecuaciones de escala de

poro considerando dos casos: a) calentamiento volumétrico en el sólido y medio saturado y

2) temperatura en una celda estratificada y en una celda unitaria de Chang. Los resultados

teórico-numérico en ambas celdas presentaron muy buenas aproximaciones.

Vafai y Tien (1981) presentaron el análisis de los efectos de una frontera sólida, efectos

inerciales del flujo (modelo no-darciano) y la transferencia de calor en el medio poroso

para un sistema fluido-sólido en estado estable. Algunas de las suposiciones establecidas

para este trabajo fueron: flujo incompresible, porosidad constante y geometría compleja.

Dado que la geometría del medio poroso se consideró compleja, los autores reemplazaron

8

las ecuaciones microscópicas de cantidad de movimiento y energía por las

correspondientes ecuaciones macroscópicas con ayuda de una relación empírica. Dicha

relación sugirió utilizar al método del promedio volumétrico local (el promediado de las

ecuaciones fue sobre el volumen seleccionado (total) y no respecto al volumen que ocupa

la fase). Para el estudio del fluido en el medio poroso emplearon la teoría de la capa límite

de cantidad de movimiento y para el estudio de la transferencia de calor utilizaron la capa

límite térmica. Las ecuaciones obtenidas fueron aplicadas al caso de un medio poroso para

un sistema fluido-sólido, donde la fase fluida estaba formada por dos líquidos inmiscibles

(aceite ligero–agua) limitada por una frontera externa en dos dimensiones para un sistema

de coordenadas cartesianas. Los autores encontraron que los efectos de frontera en la

transferencia de calor podían ser tan importantes y más pronunciados para la capa límite

térmica con un espesor menor o del mismo orden que el de la capa límite de cantidad de

movimiento. Lo anterior debido a que los números de Prandtl y las diferencias de presión

utilizados fueron grandes. Encontraron además, que los efectos inerciales se incrementan

para una alta permeabilidad y una baja viscosidad del fluido y que los gradientes de

velocidad cerca de la pared están limitados por el incremento de la resistencia viscosa en la

frontera.

Años más tarde, Moyne (1997), utilizando el método del promedio volumétrico, deduce la

ecuación de energía promediada en volumen en estado transitorio, flujo bifásico y

propiedades termofísicas constantes para un proceso difusivo en un medio poroso. En este

trabajo, el autor consideró inicialmente el sistema en equilibrio termodinámico local, que la

transferencia de calor ocurría solo por conducción y que la geometría del medio poroso era

conocida (medio poroso espacialmente periódico). Las ecuaciones de cerradura (términos

de desviaciones espaciales) se plantearon para el caso de estado estable. El autor obtuvo

dos modelos, uno de dos ecuaciones (ó fases separadas) y otro de una ecuación. En esta

9

investigación se estudiaron dos ejemplos de aplicación: 1) para un material multicapas bi-

direccional, y 2) para partículas cilíndricas dentro de una fase continua. El autor comparó

el modelo de dos ecuaciones con cerradura en estados transitorio y estable con una

solución exacta, encontrando que los problemas de cerradura para el caso estable

proporcionaban mejores resultados de temperatura que el caso transitorio.

Por su parte, siendo una extensión del trabajo realizado por Hsu (1999) quien únicamente

trabajó con la conducción de calor, Nakayama et al. (2001), utilizando el método del

promedio volumétrico propusieron la ecuación de energía transitoria para analizar la

conducción y la convección dentro de un medio poroso saturado (sistema fluido-sólido),

tomando en cuenta el desequilibrio térmico local (modelo de fases separadas) y suponiendo

la densidad, conductividad térmica y calor específico como constantes. Las ecuaciones de

energía promediadas en volumen obtenidas por Nakayama et al. (2001) fueron combinadas

dentro de una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden con el propósito de encontrar

soluciones exactas para dos casos fundamentales en estado estable en una dimensión. El

primero fue para resolver la conducción de calor en una placa porosa con generación de

calor interna dentro del sólido y el segundo para un flujo unidireccional térmicamente

desarrollado a través de un medio semi-infinito. Los resultados obtenidos para el primer

caso mostraron que para una relación de conductividad térmica sólido-fluido de 40 y una

porosidad de 0.4, el calor generado en la fase sólida constantemente se transfería a la fase

fluida, por lo que el equilibrio térmico local considerado no era valido para el caso de

relaciones de conductividad grandes. Y para el segundo caso, el fluido se enfriaba hasta

llegar a la temperatura de equilibrio térmico liberando calor a la fase sólida.

Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004) desarrollaron las ecuaciones para transferencia

de calor con cambio de fase para un yacimiento petrolero con tres fases presentes (gas-

aceite-sólido) en estado transitorio utilizando el método del promedio volumétrico. Los

10

autores parten de la ecuación general de transporte de energía considerando a las

propiedades físicas como efectivas, términos conductivos-convectivos y efectos

compresibles para la fase gas. Como resultado, los autores obtuvieron dos modelos: 1)

modelo matemático de fases separadas (o de no equilibrio termodinámico) y 2) modelo

promedio de una ecuación (o de equilibrio termodinámico). El primer modelo se obtuvo

estableciendo aproximaciones de las ecuaciones de cerrado; el segundo modelo lo

obtuvieron siguiendo el trabajo original de Whitaker (1977 y 1991). Cabe señalar que el

desarrollo realizado por Whitaker (1991), fue aplicado a un sistema de dos fases, no

obstante Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004) las adaptaron para un sistema trifásico

(aceite-gas-sólido).

Por otro lado, Sha et al. (1984) estudiaron la transferencia de calor en un medio poroso.

Presentaron una nueva manera de formular el medio poroso anisotrópico en estado

transitorio con tres fases (fluido-fluido-sólido). Los autores para esta investigación,

partieron de las ecuaciones de continuidad, cantidad movimiento y energía, además de sus

ecuaciones de salto interfacial representativas para cada una de las ecuaciones antes

mencionadas. En este trabajo se aplicaron definiciones de volumen de porosidad, de

permeabilidades de superficie direccional, fracción de volumen, resistencia y fuente de

calor distribuida. Entre otras cosas, los autores supusieron que no existía transferencia de

masa interfacial, medio poroso impermeable y presión capilar despreciable. Las ecuaciones

resultantes de continuidad, cantidad de movimiento y energía así como las ecuaciones de

salto promediadas en volumen se aplicaron para resolver dos casos: 1) flujo estratificado

puro y 2) flujo en dos fases. Para el caso uno, se supuso que la transferencia de fuerza

inercial y presión a través de la interfase eran despreciables y por otro lado, que la

velocidad normal a la interfase estratificada era pequeña. Para el segundo caso, se

consideró: 1) que el promedio intrínseco de productos era igual a los productos de los

11

promedios intrínsecos, 2) que la configuración del flujo era tal que la interacción entre las

fases podía representarse solamente por la fuerza de arrastre y convección de calor, 3) que

los efectos de propagación de onda eran despreciables y 4) sistema coordenado cartesiano.

Los resultados encontrados mostraron que el concepto de permeabilidad de superficie

facilitaba el modelado de los campos de temperatura y velocidad en un medio anisotrópico

y en general, mejoraba la aproximación de la transferencia de cantidad de movimiento.

1.2.2 Trabajos teórico-experimentales

Whitaker (1996) utilizó el método del promedio volumétrico para derivar la ecuación de

Darcy con la corrección de Forchheimer para un medio poroso homogéneo. El autor parte

de la ecuación de Navier-Stokes transitoria para una sola fase fluida incompresible en un

medio poroso rígido. Para obtener el problema general de cerradura de las desviaciones

espaciales de presión y velocidad utilizó una celda unitaria espacialmente periódica. Con el

fin de observar por separado la contribución de la ecuación de cerrado, se dividió esta en

dos problemas: 1) el tensor de permeabilidad de la ley de Darcy, el cual depende solo de la

geometría del medio poroso bajo consideración, y 2) la corrección inercial de la ecuación

de Forchheimer, dada por los términos inerciales interfaciales. Los resultados teóricos

indicaron que la corrección de Forchheimer es cuadrática en la velocidad para pequeños

valores del número de Reynolds y el análisis del orden de magnitud sugirió que, esta

dependencia funcional no debería cambiar significativamente con el número de Reynolds.

La ecuación usada por Whitaker (1996) también fue estudiada por medio del método

espacial de homogenización (Bensoussan et al., 1978; Sánchez-Palencia, 1980; Ene y

Poliševski, 1987). Usando esa técnica Mei y Auriault (1991) y Wodie y Levy (1991)

encontraron que la primera corrección inercial de la ley de Darcy es una función cúbica de

la velocidad en vez de una dependencia cuadrática como lo dedujo Whitaker (1996), sin

embargo, la definición del tensor de corrección de Forchheimer se encontraba definida de

12

la misma forma que la presentada por Whitaker (1996). En la investigación hecha por

Whitaker (1996), se realizó la comparación de forma indirecta de la parte teórica con la

experimental, para ello, se supuso en el término de fuerzas de cuerpo que el flujo era

uniforme y que los efectos gravitaciones eran nulos, con esto, se llegó a una ecuación

simplificada similar a la expresión experimental presentada por Ergun (1952) que

posteriormente fue modificada por Macdonald et al. (1979) misma que fue comparada con

un amplio intervalo de datos experimentales encontrando que la aproximación entre ambas

partes (teórico-experimental) se encontraban dentro de ±50%.

Por su parte, Carbonell y Whitaker (1983) utilizando el método del promedio volumétrico,

desarrollaron una teoría general para el problema de dispersión de un soluto en un medio

poroso rígido e impermeable para un sistema fluido-sólido en estado transitorio. Los

autores partieron de la ecuación de difusión la cual se encontraba gobernada por los

términos convectivos. Las suposiciones establecidas en este trabajo fueron: fluido

incompresible, difusividad molecular constante, sin reacción química ni adhesión. El

esquema de cerradura fue propuesto para representar las desviaciones espaciales de

concentración como una función lineal del gradiente de la concentración promediada.

Dicho resultado se consideró como una representación única de un medio poroso

espacialmente periódico. Los resultados obtenidos fueron reducidos al modelo de Taylor-

Aris para el caso de dispersión en un tubo capilar bajo consideraciones de flujo laminar,

para ello se estableció trabajar en una dimensión, por lo que el tensor tortuosidad fue igual

a cero dado que su contribución no se consideró importante.

Nozad et al. (1985a, 1985b) aplicaron el método del promedio volumétrico para desarrollar

el proceso de transferencia de calor en estado transitorio para un sistema bifásico y

trifásico en un medio poroso isotrópico. En este caso, el autor parte de la ecuación de

conducción de calor. Para este trabajo, los autores propusieron equilibrio térmico local lo

13

cual permitió presentar dos modelos, uno de fases separadas y otro de una ecuación. Para

el problema de cerradura se consideró al proceso cuasi-estable, medio poroso

espacialmente periódico, y se utilizó una celda unitaria permitiendo así deducir al tensor de

conductividad térmica efectiva. La solución del problema de cerradura se comparó con

datos experimentales; para esta comparación, se planteó trabajar con un arreglo rectangular

en un sistema agua-aluminio y agua-aire obteniéndose resultados satisfactorios.

De igual manera usando el método del promedio volumétrico en un medio poroso donde la

contribución de la transferencia de calor era por convección, Levec y Carbonell (1985),

derivaron la ecuación de energía para determinar la temperatura promedio local sólido-

fluido de un lecho empacado. Las temperaturas promediadas, fueron utilizadas para

analizar la respuesta del lecho sometido a una perturbación introducida dentro de la fase

fluida, estableciendo que la conductividad térmica efectiva bajo condiciones de estado

estable podía ser significativamente diferente a diferencia de los procesos transitorios. Para

verificar sus predicciones teóricas los autores realizaron experimentos en lechos

empacados usando sondas espacialmente diseñadas para medir la temperatura en tres

puntos de manera simultánea: 1) dentro de la partícula sólida, 2) en la interfase entre

sólido-fluido y 3) en la región fluida. La respuesta de la temperatura en el lecho empacado

experimental mostró buenos resultados al ser comparada con las predicciones teóricas.

1.2.3 Ecuaciones de salto interfacial

En cuanto a los trabajos enfocados al estudio de las condiciones de salto interfacial se

encuentran los trabajos hechos por Valencia-López et al. (2003) y Ochoa-Tapia y Whitaker

(1995a, 1995b, 1997a, 1997b). Los autores desarrollaron las ecuaciones de salto de masa,

cantidad de movimiento y energía en la frontera entre un medio poroso y un fluido

homogéneo basándose en la forma no local de las ecuaciones de transporte promediadas en

volumen. Para estos trabajos, consideraron que afuera de la región de frontera estas

14

ecuaciones se reducían a las ecuaciones de transporte clásicas. De esta manera Valencia-

López et al. (2003) desarrollaron la ecuación de salto de masa. Para ello, se basaron en la

ecuación generalizada no-local de transporte de masa promediada en volumen en estado

transitorio válida para cada una de las regiones homogéneas y en la frontera. La ecuación

generalizada de salto de masa, tomó la forma de una ecuación de transporte de superficie

que contiene términos de exceso superficiales (mismos que desaparecen cuando se aplican

restricciones de escala que permiten obtener las ecuaciones de masa válidas para cada una

de las regiones homogéneas), convectivos, difusivos, de adsorción, un término fuente,

además de un término que representa el intercambio con los alrededores. Los resultados

obtenidos mostraron que la velocidad superficial promediada y las concentraciones

promediadas intrínsecamente eran continuas en la frontera.

De manera similar, Ochoa-Tapia y Whitaker (1995a) utilizando la ecuación de transporte

de masa para flujo incompresible y cantidad de movimiento en estado estable y sin efectos

inerciales, desarrollaron la ecuación de salto de cantidad de movimiento conocida también

como condición de salto de exceso (Larson y Higdon 1987a, 1987b; Sahraoui y Kaviany

1992). Para deducir la ecuación de salto, los autores unieron la ecuación de la ley de Darcy

con la corrección de Brinkman a la ecuación de Stokes. La ecuación resultante de salto de

cantidad de movimiento presentó términos de exceso de esfuerzo superficiales de bulto y

esfuerzos de Brinkman. En la región homogénea porosa, los términos de exceso

superficial se definieron en función del tensor de permeabilidad de la ley de Darcy y de la

velocidad promediada en volumen, mientras que para la región homogénea fluida estos

términos de exceso superficial se despreciaron. Como parte de los resultados obtenidos

encontraron que los campos de velocidades promediadas en volumen eran continuos.

Un año más tarde, Ochoa-Tapia y Whitaker (1995b), utilizaron la solución teórica obtenida

por Ochoa-Tapia y Whitaker (1995a) para compararla con los datos experimentales

15

presentados por Beavers y Joseph, (1967). Para ello, consideraron un flujo unidireccional,

el tensor de Brinkman despresiable, y gradientes de presión iguales en cualquier región

homogénea. Los términos de exceso de esfuerzos que aparecen en la condición de salto, se

presentaron de forma que llevaran a una condición de frontera de esfuerzos tangenciales

para manejar un solo coeficiente ajustable de orden uno, con esto, obtuvieron que el

término convectivo podía ser continuo en la frontera entre un medio poroso y un fluido

homogéneo.

Posteriormente, Ochoa-Tapia y Whitaker (1997b), desarrollaron la condición de salto de

energía en estado transitorio, para ello, tomaron como base los trabajos hechos por Ochoa-

Tapia y Whitaker (1995a, 1995b) y Whitaker (1996). Algunas de las consideraciones

hechas para este trabajo fueron: propiedades físicas constantes, medio poroso (sólido)

rígido e impermeable. La ecuación obtenida presenta términos de acumulación, convección

y conducción/dispersión de exceso superficial de energía térmica y un término fuente

térmico de exceso que resultó de la consideración de no-equilibrio térmico local en la

región de la frontera. En este trabajo, los autores establecieron que las condiciones de

salto de la velocidad y la temperatura promediadas en volumen eran continuas en la

frontera lo cual garantiza que la ecuación generalizada de transporte de energía sea valida

en toda la región de estudio.

Por su lado, Vafai y Thiyagaraja (1987) desarrollaron el análisis del flujo del fluido y la

transferencia de calor en la región interfacial para tres clases generales y fundamentales de

problemas en medios porosos saturados. Los tres casos incluyeron la región interfacial: a)

entre un medio poroso y un fluido homogéneo, b) entre dos medios porosos diferentes y c)

entre un medio poroso y un medio impermeable. Para ello, los autores partieron de las

ecuaciones de cantidad de movimiento y energía, considerando los términos inerciales y

condiciones de frontera pertinentes. De acuerdo a los tres casos que se resolvieron, los

16

autores establecieron que debido a la presencia de una discontinuidad de las propiedades

del material en la interfase, el flujo de fluido y los campos de temperatura necesitaban

satisfacer condiciones de suavizado en esa zona. Más específicamente, la velocidad, los

campos de temperatura, el esfuerzo de corte, y la distribución de flux de calor debían ser

continuos a través de la interfase. Como resultado los autores obtuvieron expresiones

teóricas para las distribuciones de velocidad y temperatura para cada uno de los casos. Las

soluciones teóricas mostraron ser una excelente aproximación al ser comparadas con los

resultados numéricos.

1.2.4 Aplicaciones industriales

Whitaker (1986a) presentó el proceso de transferencia de calor en estado transitorio en un

reactor catalítico empacado para un sistema fluido-sólido (Anderson y Jackson, 1967;

Merle, 1967; Slattery, 1967; Whitaker 1967). En este desarrollo, el autor consideró la

ecuación de energía con equilibrio térmico local. Las ecuaciones se derivaron y limitaron

al modelo homogéneo o al modelo de una sola ecuación. En su trabajo el autor tomó en

cuenta los efectos convectivos-conductivos y una fuente de energía térmica. Las

ecuaciones resultantes quedaron expresadas en función de propiedades efectivas. Los

resultados de este análisis proporcionan la pauta para el uso de modelos homogéneos o

heterogéneos indicando los parámetros que deben considerarse para la selección entre estos

dos modelos.

Por otro lado, Thorpe y Whitaker (1992a, 1992b), enfocados al secado de granos,

desarrollaron las ecuaciones de transferencia de masa (ecuación de continuidad de

especies) y energía para un sistema fluido-sólido en estado transitorio. La fase fluida estaba

compuesta por agua-aire mientras que la fase sólida por los granos. Consideraron medio

poroso homogéneo continuo, adsorción, efectos convectivos-conductivos, variaciones

nulas de difusividad dentro del volumen de promediado, fluido intergranular y equilibrio

17

térmico local. Basándose en el trabajo hecho por Whitaker (1977) (en el cual se desarrolló

la teoría de secado de granos para sistemas en los cuales la fase sólida era no absorbente)

los autores reemplazaron la entalpía de la fase sólida por una que incluyera un término de

calor de humedad. Las ecuaciones obtenidas se expresan en términos de cantidades de

promedio en volumen y desviaciones macroscópicas que varían con la longitud de escala

del proceso, entre otros términos.

Posteriormente, esos mismos autores determinaron bajo qué circunstancias los principios

de masa local y equilibrio térmico eran válidos. Para ello se apoyaron de los trabajos

presentados por Whitaker (1986a y 1991) con el fin de deducir los términos de

desviaciones de temperatura, densidad, etc. Los autores establecieron y derivaron órdenes

de magnitud para las desviaciones macroscópicas y desarrollaron restricciones (de

acumulación, convectivas y conductivas entre otras) las cuales cuando eran respetadas

indicaban que la masa local y el equilibrio térmico eran posibles. El análisis mostró que

era posible la existencia del equilibrio térmico en un volumen de granos airado, pero el

equilibrio de masa se lograba sólo cuando el tamaño del grano era pequeño.

Años más tarde, Jiménez-Islas (1999) utilizando ecuaciones de transporte de masa,

cantidad de movimiento y energía para flujos multifásicos obtenidas a partir del método

del promedio volumétrico, realizó un estudio sobre el fenómeno de convección natural en

un medio poroso para un sistema gas-sólido. Él analizó el efecto del número de Rayleigh,

el aspecto geométrico, las fuentes de calor y diversas condiciones de frontera sobre el

comportamiento de las líneas de corriente, perfiles de temperatura y concentración dando

énfasis a los medios porosos con generación volumétrica de calor. Estudios similares han

sido presentados por Prasad y Chui (1989) y Singh y Thorpe (1993). Uno de los casos

particulares que desarrolló el autor de forma numérica fue la convección natural que se

manifiesta en el almacenamiento de granos en silos debido a los gradientes de temperatura

18

producidos por el calor de respiración. El punto de partida de su estudio fueron las

ecuaciones de transporte de cantidad de movimiento y de energía sobre las cuales aplicó el

Método del Promedio Volumétrico y el concepto de propiedades efectivas, tal como lo han

reportado otros trabajos (Whitaker 1986a; Carbonell y Whitaker 1984; Thorpe et al, 1991a,

1991b). En su estudio, Jiménez-Islas (1999), en las ecuaciones de transporte de

movimiento y de energía implicó 1) la inclusión de fenómenos de transporte en dos fases

(fluido-sólido), 2) un medio poroso (constituido por la masa de grano) isotrópico, saturado,

rígido e impermeable, 3) generación uniforme de calor, 4) fluido intersticial newtoniano y

5) régimen laminar. Es importante mencionar que, en este estudio no se consideró el efecto

que tiene el calor de respiración sobre la humedad del grano, ya que le transfiere calor

sensible, de tal manera que parte de la humedad se evapora y se transfiere al seno del aire.

La representación matemática de este fenómeno requeriría la inclusión de la ecuación de

transporte de masa y de ecuaciones de equilibrio.

19

1.2.5 Resumen de la revisión.

En las siguientes tablas, de forma resumida, se presenta la comparación del trabajo desarrollado en la presente tesis doctoral contra los

trabajos más importantes descritos anteriormente. Por ejemplo en la Tabla 1.1, se muestran los trabajos teóricos en los cuales se observa que a

diferencia del presente trabajo doctoral, en el cual se toman en cuenta las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía y flujo

multifásico de tres fases, solo en algunos de ellos son tomadas en cuenta las tres ecuaciones y en todos estos trabajos solo han considerado

flujo mono y bifásico.

Tabla 1.1.Trabajos teóricos.

20

CONTINUACIÓN (Tabla 1.1.Trabajos teóricos)

21

A pesar de que en el presente trabajo doctoral no se incluye experimentación se obtiene el sistema de ecuaciones de masa, cantidad de

movimiento y energía, que consideran el estudio de los mecanísmos de transferencia de calor por conducción y convección con flujo

multifásico a través de un medio poroso, que puede ser utilizado para resolver casos particulares similares a los presentados en la Tabla 1.2.

Tabla 1.2.Trabajos teóricos experimentales.

22

A diferencia de los trabajos mostrados en la Tabla 1.3, en los cuales se maneja flujo monofásico por lo que es necesario plantear ecuaciones de

alto interfacial, en el presente trabajo doctoral, dado que se maneja flujo multifásico, estas ecuaciones de salto interfacial fueron cambiadas

por balances de masa, cantidad de movimiento y energía para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto los cuales permiten visualizar la

interacción completa del flujo multifásico en el medio poroso.

Tabla 1.3.Trabajos de salto interfacial.

23

Existen diversas aplicaciones que se pueden resolver utilizando ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo monofásico

en un medio poroso. Sin embargo hasta el momento aplicaciones que involucren flujo multifásico tal como se propuso en el presente trabajo

doctoral no han sido reportadas hasta el momento (Ver Tabla 1.4).

Tabla 1.4 Aplicaciones industriales.

24

1.2.6 Conclusiones de la revisión

De la revisión de la literatura se obtienen las siguientes conclusiones:

El estudio del flujo (una ó dos fases) a través de medios porosos presenta un grado de

complejidad muy grande, por lo que la aparición de otra fase hace más evidente el

incremento de la complejidad sin importar la técnica de modelación empleada. Por lo

anterior, la habilidad para entender la problemática del manejo de flujo multifásico

(líquido-líquido, gas) en medios porosos se ve limitada debido a:

1. La complejidad misma del problema. Hasta donde se sabe no se ha desarrollado

trabajo teórico alguno para: a) la transferencia de masa y energía, y b) con

generación de calor debido a la reacción química en un medio poroso homogéneo

con tres fases (dos líquidos inmiscibles y un gas).

2. Las ecuaciones de salto o balances de masa, cantidad de movimiento y energía para

la interfase, línea y punto de contacto. La necesidad de generar ecuaciones de

balance que representen adecuadamente la interacción entre las fases, interfases,

líneas y puntos de contacto al estar presente el flujo multifásico en el medio poroso.

3. Las ecuaciones de cerradura. Es necesario realizar desarrollos matemáticos o

búsquedas en la literatura especializada para determinar las ecuaciones de cerrado y así

poder establecer un modelo físico objetivo.

1.3 HIPÓTESIS

De acuerdo a la revisión bibliográfica y a la fenomenología del flujo multifásico en medios

porosos homogéneos (líquido1-líquido2, gas) se desea confirmar las siguientes hipótesis:

Basados en los modelos físicos tomados en la literatura de un flujo multifásico con dos ó

tres fases (Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia 2004; Sha et al., 1984; Duval et al., 2004)

25

en medios porosos, se propone emplear la técnica del método del promedio volumétrico

para modelar la transferencia de masa y calor (convección –conducción) de flujo

multifásico para un sistema que incluye un medio poroso homogéneo con tres fases (dos

líquidos inmiscibles y un gas) tomando en cuenta las interacciones entre ellas (en el

volumen, área interfacial, línea y punto de contacto), la transferencia de masa en la

interfase, líneas y punto de contacto entre el líquido 1 con el gas y el líquido 2 con el gas

en el medio poroso, así como la generación de calor debido a una reacción química entre el

líquido 1 y el gas.

Una vez obtenido el modelo promediado en volumen, este se usará para resolver un

problema de combustión in-situ el cual será resuelto numéricamente usando la técnica de

diferencias finitas. En dicha aplicación, se propondrán balances de masa, cantidad de

movimiento y energía para cada una de las fases involucradas y se podrán predecir

temperatura, presión, saturaciones, fracciones masa y producción de aceite.

1.4 JUSTIFICACIÓN

Un medio poroso es una pared tridimensional interconectada de poros, de cuyo grado de

interconexión, tamaño y forma dependen las propiedades del material. Estas propiedades

influirán en los procesos en los cuales intervengan dichos materiales y por lo tanto, es

importante conocer aquellos parámetros relacionados con su estructura física-química

como lo son la porosidad, permeabilidad, área superficial, entre otros. Cabe señalar que en

algunos casos los poros pueden estar cerrados por un extremo y poco interconectados o

completamente aislados, por lo cual contribuyen poco o nada en los procesos de

transferencia.

Particularmente en el campo de la ingeniería, un mejor conocimiento de los procesos

termo-hidráulicos de flujo multifásico (dos ó más fases) es la base para el diseño y análisis

26

de seguridad de equipo industrial (reactores químicos, diseño de intercambiadores de calor

tipo regeneradores, diseño de procesos de separación, cámaras de combustión, etc.) bajo

condiciones fuera de control o en condiciones de accidentes.

Por otro lado, el conocimiento de las propiedades térmicas y el comportamiento de las

temperaturas del sistema medio poroso-fluido ha adquirido una atención considerable

debido a la gran cantidad de aplicaciones (Whitaker, 1986; Thorpe y Whitaker, 1992 a,

1992b; Vafai y Tien, 1981; Hsu y Cheng, 1988; entre otros).

Por otra parte, son la convección (si los fluidos están en movimiento de forma natural o

forzada) y la conducción (transferencia de calor entre la roca ó medio poroso y el fluido)

los mecanísmos de transferencia de calor que se presentan con mucha frecuencia en

aplicaciones industriales.

En la mayoría de las aplicaciones industriales, se requiere el entendimiento del

comportamiento de la temperatura así como de las propiedades de los fluidos gaseoso y

líquido. Por ejemplo, en el secado de granos, tal aplicación se emplea con propósitos

comerciales o con fines de investigación para el diseño termodinámico de procesos de

secado o ventilación, los cuales pueden tener fundamentos rigurosos en mayor o menor

grado. En el secado de granos y otros materiales agrícolas en un silo utilizando aire

caliente, implica la inclusión de fenómenos de transporte multifásico acompañados por

cambio de fase. En este sistema es necesario conocer y controlar el movimiento de

humedad desde el interior de la matriz porosa hasta su superficie y de ahí, su transporte

(con cambio de fase) hasta el seno del aire. El parámetro fundamental de diseño es la

velocidad de secado, la que depende principalmente de la temperatura, velocidad y

contenido de humedad del aire, área interfacial por unidad de volumen, espesor del lecho

de material y la naturaleza intrínseca del material poroso (fracción de huecos,

permeabilidad, estructura molecular, etc.), que determinará si el mecanismo de transporte

27

dentro del material sólido es por difusión molecular, capilaridad, convección o un

transporte mixto (Thorpe, 1995). Estos procesos usualmente involucran la transferencia de

calor y masa como los transportes difusivos y el diseño de sistemas óptimos de

conservación de granos y cereales, por lo que se requiere del entendimiento de los

métodos de transporte de masa, cantidad de movimiento y energía que ocurren en 1) el

lecho de grano, 2) en el espacio libre superior del silo y 3) en el medio ambiente sobre los

perfiles de velocidad, temperatura y concentración que se manifiestan en el silo.

Por otro lado, en los yacimientos geotérmicos, la temperatura imperturbada o temperatura

de formación es uno de los parámetros más importantes de los sistemas geotérmicos que

necesita ser estimado para definir la factibilidad de explotación de los recursos geotérmicos

para la generación de electricidad o algún otro proceso de aplicación de calor.

El conocimiento de las temperaturas de formación de los yacimientos geotérmicos puede

beneficiar a una amplia variedad de actividades geotérmicas, tales como:1) localización de

regiones de influjo o zonas con pérdidas de circulación, 2) estimación de reservas de calor

en un yacimiento geotérmico, 3) evaluación de gradientes térmicos, 4) interpretación de

registros y 5) evaluación de conductividades térmicas de la formación in-situ.

Normalmente, las temperaturas de formación son obtenidas a partir de la información

generada durante las actividades de perforación y terminación de los pozos geotérmicos.

El conocimiento preciso (desde el punto de vista de ingeniería) de las temperaturas de

formación ha sido identificado como uno de los problemas que la industria geotérmica

necesita resolver. Esta información se aplica para un buen diseño de los programas de los

fluidos de perforación y lechadas de cementación. Así también, cuando la perforación debe

detenerse o continuar (Davies et al., 1994; Takahashi et al., 1997). Además, un mejor

entendimiento de las temperatura de formación es también requerida para una predicción

más precisa del historial térmico-dinámico del pozo, durante y después de las operaciones

28

de perforación (Wooley, 1980; Marshall y Bentsen, 1982; Arnold, 1990; García et al.,

1998).

Enfocando nuestra atención ahora a la transferencia de calor, se sabe que la recuperación

térmica es uno de los procedimientos de recuperación de aceite viscoso, donde el calor

juega un papel importante dado a la fuerte dependencia que existe entre la viscosidad y la

temperatura.

Aplicar calor a los yacimientos de aceite trae consigo muchos beneficios por ejemplo: 1)

incrementa el empuje del gas en solución, 2) provoca la expansión térmica del aceite y

como consecuencia incrementa la permeabilidad relativa al aceite, 3) logra la destilación, y

en algunos casos, la desintegración térmica del aceite.

Dentro de las técnicas térmicas utilizadas se encuentran: 1) inyección cíclica de vapor,

inyección alterna o estimulación con vapor, 2) inyección de vapor continua o

desplazamiento con vapor, 3) inyección de aire (combustión in-situ) y 4) inyección de

agua. En la primera técnica, el vapor se inyecta directamente al yacimiento con objeto de

calentar el área circundante del pozo inyector productor. La condensación y enfriamiento

del vapor calienta la roca y por lo tanto el aceite contenido en ella, reduciéndole su

viscosidad y mejorando su movilidad; de ahí que la producción se incremente en forma

notable, estableciendo para ello, que a mayores profundidades se necesitan mayores

temperaturas y presiones para que el uso del vapor sea efectivo, y la segunda técnica,

involucra la inyección de vapor en un arreglo de pozos inyectores con objeto de calentar el

aceite pesado hacia otros pozos productores. Cuando el vapor invade la formación, éste se

condensa transfiriéndose calor latente a la roca y los fluidos contenidos en el yacimiento,

existiendo normalmente pérdidas de calor a las formaciones adyacentes, incrementándose

éstas a medida que la zona de vapor se expande al alejarse del pozo inyector. El agua

condensada (a partir del vapor acumulado) en el frente de vapor tiende a estar por debajo

29

de una mezcla de gases, vapor de agua y destilados de aceite, productos de proceso, dado

que es mucho más densa que estos. De ahí que el vapor tienda a fluir hacia la parte

superior de la formación, mientras que el frente se mueve alejándose del pozo inyector. En

la fase final de la operación, el procedimiento se puede mejorar aun más con la inyección

de agua fría con objeto de recobrar el calor de la región invadida y llevarlo hacia el pozo

productor como se si tratara de una invasión de agua caliente. La recuperación de aceite

que se obtiene usando éste método de inyección continua varía de un 35% a un 50% del

volumen original (Alba-Morales, 1981).

En contraste con los métodos de inyección de fluidos calientes en donde el calor se genera

en la superficie y posteriormente es inyectado al yacimiento son las técnicas de combustión

in-situ (para aceite ligero (API>17°) ó pesado 10 a 17° API). En éste método el calor se

produce dentro del mismo medio poroso. Esto se hace quemando parte del aceite,

manteniendo la combustión por medio de la acción controlada de aceite. La cantidad de

aceite quemado, y por lo tanto el calor generado se mantiene dentro de los límites deseados

mediante el control de la inyección de aire. Los gases calientes generados de la combustión

fluyen hacia los pozos productores empujando el aceite a medida que avanzan. En algunos

casos, éste tipo de técnicas se pueden llevar acabo conjuntamente con la inyección cíclica

de vapor, con el objeto de incrementar la tasa de producción de determinado campo. La

combustión in-situ posee algunas variantes: 1) combustión directa: esta variante requiere

de la perforación de los pozos productores, aunque la ignición puede ocurrir

espontáneamente en los pozos inyectores generalmente se usa un dispositivo para empezar

la combustión y 2) combustión inversa: en este proceso al igual que en el anterior, la

ignición se genera en el pozo inyector, con la diferencia de que una vez lograda la ignición

el pozo inyector se convierte en productor manteniéndose la combustión mediante la

inyección controlada de aire a través de un nuevo pozo inyector. Se ha visto que los

30

requerimientos de aire para una combustión in-situ inversa son el doble de los usados en la

combustión directa, sin embargo la combustión inversa puede recuperar alrededor del 50%

del aceite original en yacimientos donde otros método de recuperación no funcionan.

En cada uno de los ejemplos antes mencionados el medio poroso cuenta con propiedades

que difieren apreciablemente de una posición a otra dentro del medio, y estas dificultades

muchas veces orillan a describir las propiedades presentes del medio poroso de forma

local, por lo que el promediar las ecuaciones de conservación en volumen, permite conocer

estas propiedades (temperatura, presión, velocidad, porosidad, etc.) en cualquier punto

dentro del volumen seleccionado.

Uno de los métodos principales para obtener ecuaciones de conservación en términos de

variables promedio, las cuales se pueden aplicar para modelar flujo simultáneo en medios

porosos es el promediado volumétrico local de balances de masa, cantidad de movimiento

y energía. Las ecuaciones promediadas de transporte de flujo multifásico (dos y tres fases)

pueden resolver muchos problemas prácticos ya sea de manera analítica o numérica. Sin

embargo, la dificultad de usar tales formulaciones cae en seleccionar la forma adecuada de

los términos de cerrado para cada interacción introducidos por el proceso de promediado.

Algunas de las ecuaciones de cerrado para flujo multifásico en medios porosos han sido

propuestas por Ryan et al. (1980 y 1981), Carbonell y Whitaker (1983), Crapiste et al.

(1986), Quintard y Whitaker (1993), Moyne (1997), Nakayama et al. (2001), entre otros.

Como consecuencia misma de las complicaciones que se presentan en el estudio de flujo

multifásico (dos ó más fases) en medios porosos, en la literatura hay muy pocos modelos

matemáticos que sean capaces de predecir presiones y temperaturas en los medios porosos

que incluyan: 1) tres fases (dos líquidos inmiscibles y un gas) fluyendo a través de un

medio poroso (fase sólida) , 2) transferencia de masa interfacial entre líquido 1–gas y

31

líquido 2–gas y 3) generación de calor debido a una reacción química entre el líquido 1-

gas.

De la información antes mencionada se puede detectar que la descripción del flujo y

transporte en medios porosos ha sido abordada desde diversos puntos de vista durante

décadas, diferenciándose unas de otras en: 1) el número de parámetros y tipo de ecuaciones

utilizadas, 2) la aplicación en diferentes disciplinas en las cuales se han utilizado métodos

y aproximaciones adecuadas a las particularidades del problema y 3) en el tratamiento

matemático de las ecuaciones utilizadas.

Por todo lo anterior, es necesario el desarrollo de modelos matemáticos confiables que

contribuyan al conocimiento adecuado de los procesos de transferencia (masa, cantidad de

movimiento y energía) en sistemas multifásicos, que permitan llevar acabo el diseño y

optimización de operaciones unitarias involucradas, la adopción de estrategias para la

recuperación de materiales valiosos, el confinamiento seguro de desechos peligrosos, etc.,

incrementando la competencia entre el capital y los costos de operación.

Por otro lado, un buen diseño de cualquiera de estas aplicaciones a nivel industrial implica

un ahorro de energía así como de recursos económicos lo cual contribuye a las líneas de

investigación del Cenidet (Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico), en

el área de Ingeniería Mecánica en la especialidad de Sistemas Térmicos.

1.5 OBJETIVO

Realizar un desarrollo matemático para la obtención de un modelo promediado en volumen

para describir los procesos de transferencia de calor en un medio poroso homogéneo y tres

fases. Las fases involucradas son: sólido (medio poroso), dos líquidos inmiscibles y gas. Se

obtendrán dos modelos, uno bajo condiciones de desequilibrio térmico y otro bajo la

suposición de equilibrio térmico.

32

Se usará el modelo promediado volumen, válido para flujo multifásico a través de un

medio poroso, obtenido bajo la suposición de equilibrio térmico para resolver un problema

de recuperación de hidrocarburos usando la técnica de combustión in-situ.

1.6 ALCANCE

La formulación matemática consistirá de las ecuaciones de balance de masa, energía y

cantidad de movimiento del tipo promedio. Lo anterior para considerar el flujo y el medio

poroso como un medio efectivo. La ecuación de energía incluirá transporte de calor por

efectos convectivos y conductivos en 3-D, en estado transitorio y coordenadas

rectangulares. Dado que el flujo se encuentra en los intersticios o poros del medio poroso,

el modelo promedio considerará a las propiedades termo físicas como efectivas. Para

describir el movimiento de los fluidos a través del medio poroso se utilizará la ecuación de

Darcy, también promediada en volumen.

1. 7 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

El sistema físico para el cual se planteó un modelo promediado en volumen, consiste de

una fase gas (g) y dos fases líquidas inmiscibles (l1 y l2) interactuando con la fase sólida

(Figura 1.1).

Se considera que las fases g, l1 y l2 pueden estar en movimiento o en reposo. Se consideran

en movimiento para analizar el sistema con mecanísmo convectivo y sin movimiento para

estudiar el efecto puramente conductivo.

El medio poroso se supone homogéneo, isotrópico y rígido. La fase sólida se supone no-

permeable. En el sistema de estudio se considera: 1) la compresibilidad de la fase g, b)

generación de calor (debido a una reacción química) entre las fases 1l g− y 3)

transferencia de masa entre las fases 1l g− y 2l g− debido al cambio de fase.

33

Se tomarán en cuenta las diferentes regiones coexistentes dentro del volumen de

promediado, es decir, las fases, interfases, líneas y puntos de contacto (Figura 1.2). Cada

región presenta sus propias propiedades termodinámicas con la finalidad de predecir las

temperaturas y presiones del tipo promedio de la fase gaseosa y de las fases líquidas.

1.8 MÉTODOS Y PROPUESTAS DE SOLUCIÓN

Para la obtención de las ecuaciones promediadas, se parte de las ecuaciones locales de

transporte de masa, cantidad de movimiento y energía en cada una de las regiones

involucradas dentro del volumen de promediado, es decir, balances de transporte para la

fase, interfase, línea y punto de contacto (Figura 1.2). Lo anterior se hará con la finalidad

de proponer un balance de entidades conservativas adecuado (Gray y Hassanizadeh, 1998).

Posteriormente a estas ecuaciones se les aplica la técnica del promedio volumétrico para

obtener ecuaciones en términos de variables promedio en donde la característica de dicho

volumen es:

1 2, ,l l g or L (1)

Figura 1. 1 flujo multifásico en medio poroso

34

Figura 1.2. Regiones involucradas dentro del volumen de promediado: áreas interfaciales

( 1 2 1 1 2 2, , , , y gsl l l g l s l g l sA A A A A A ), líneas de contacto ( 1 2 1 2 1 2, , y l l g l l s l gs l gsL L L L ) y punto de

contacto ( 1 2l l gsP ). Los subíndices indican las fases involucradas en cada región.

donde 1 2, ,l l g son las longitudes características de las fases l1, l2 y g, respectivamente, ro

es la longitud característica del volumen de promediado y L es la longitud característica

macroscópica del sistema de estudio (Ver Figura 1.3).

Esta restricción de escalas se aplica para garantizar que las variables promediadas sean

bien comportadas y que del proceso de promediado partiendo de un sistema heterogéneo se

genere un sistema homogéneo. Este concepto es similar a la hipótesis del continuo, en

donde la muestra del material debe contener tal número de moléculas para que sus

propiedades no se vean afectadas por la variación de ellas dentro de dicha muestra.

35

Por otro lado, cuando se promedian en volumen las ecuaciones locales se obtienen

términos adicionales conocidos como términos de cerradura, estos, se desarrollaran con el

fin de expresarlos en función de variables dependientes una vez establecida la aplicación.

Lo anterior permite contar con un sistema cerrado de ecuaciones para flujo multifásico en

medios porosos.

Una vez obtenidas las ecuaciones promediadas, las cuales son válidas para flujo

multifásico a través de un medio poroso, se propusieron para resolver un problema

Figura 1.3. Volumen de promediado. r es el vector de posición para la fase 1l , x es el

vector de posición localizando el centroide del volumen de promediado, 1l

y es el vector de

posición en cualquier punto de la fase 1l relativo al centroide.

36

específico de recuperación de hidrocarburos utilizando la técnica de combustión in-situ.

Para ello se partió de las ecuaciones promediadas en volumen para la fase y se definieron

las ecuaciones de cerradura con la finalidad obtener el sistema cerrado de ecuaciones.

Posteriormente, el modelo válido para resolver el problema de combustión in-situ se

resolvió numéricamente y se compararon los resultados con datos experimentales

presentados por Cazarez-Candia et al., (2010). Lo anterior se puede observar en la Figura

1.4.

37

Figura 1.4 Diagrama de flujo de la metodología utilizada.

Ecuaciones locales de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo multifásico l1,l2 y g

Punto Línea Interfase Fase

Obtención de cerraduras para

combustión in-situ

Aplicación del Método del Promedio Volumétrico

Obtención de las ecuaciones Promedio FASE, Interfase, Línea y Punto

Ecs. de Masa y Cantidad de Movimiento

Ecuaciones Promedio para la Fase

APLICACIÓN

Ec. de Energía(bajo la suposición de equilibrio térmico.)

Sistema cerrado de ecs. para combustión in situ

Problema de combustión in-situ ( Ecs. Modificadas de masa,

cant. de Mov. y energía)

Solución Numérica para combustión In-situ y Resultados

38

Capítulo 2

ECUACIÓN DE MASA

2.1 INTRODUCCIÓN

Durante las últimas décadas se han logrado progresos significativos al desarrollar teorías

generales que describan los procesos termodinámicos e hidrodinámicos para flujos

multifásicos en medios porosos. El principal objetivo de los desarrollos, ha sido obtener

ecuaciones microscópicas y macroscópicas de transporte de masa, cantidad de movimiento

y energía que permitan la descripción de los diversos fenómenos que acontecen en el

medio poroso. Una de las aproximaciones ampliamente utilizada para obtener estos

desarrollos son los métodos de promediado, dentro de los cuales destaca el método del

promedio volumétrico. Este método permite modelar apropiadamente la microestructura

del medio poroso al tomar en cuenta las propiedades termodinámicas de las fases,

interfases, líneas y puntos de contacto dentro del medio poroso (Hassanizadeh y Gray

y1990; Gray y Hassanizadeh 1998).

En relación a las ecuaciones de transporte, y en especial, a la ecuación de masa, para un

flujo multifásico (dos o tres fases) en un medio poroso utilizando el método del promedio

volumétrico, en la literatura se encuentran los trabajos presentados por Whitaker (1973a) y

Gray (1975). En ambas investigaciones los autores obtuvieron la ecuación de transporte de

masa promediada en volumen para un medio poroso (fluido-sólido) en estado transitorio.

En sus trabajos, supusieron flujo incompresible, reacción química, porosidad constante y

consideraron el término de flux difusivo expresado de acuerdo a la ley de Fick así como la

inexistencia de cambio de fase. Las ecuaciones obtenidas por ambos autores presentaron

discrepancias en los términos convectivos y dispersivos. Sin embargo, la ecuación obtenida

39

por Gray (1975) esta más apegada a la definición del decremento de la velocidad de

difusión debida a la geometría del sistema.

Por su parte, Capriste, et al. (1986), utilizando el método del promedio volumétrico,

dedujeron la ecuación general de transporte para flujo bifásico (fluido-sólido) con reacción

química sin cambio de fase. Como aplicación, los autores la resolvieron para el caso de

difusión en volumen en donde no se consideraron las variaciones de la dispersión ni los

coeficientes de velocidad de la seudo-reacción. Por otra parte, ellos resolvieron el

problema de cerrado, considerando una pequeña región representativa espacialmente

periódica conocida como “celda unitaria” de un medio poroso. Como resultado, los autores

concluyeron que la solución del problema de cerradura para producir valores teóricos de

difusividad efectiva, no requería que la ecuación de transporte promediada en volumen se

restringiera al uso de un medio poroso espacialmente periódico.

Años más tarde, Ochoa-Tapia et al. (1993), partiendo de la ecuación de continuidad para la

concentración de las especies (sin reacción química) en un sistema de N- componentes en

estado transitorio (al igual que Carbonell y Whitaker, 1983; Ryan et al. 1981) dedujeron la

difusividad en volumen y de superficie en un medio poroso para un sistema bifásico

(fluido-sólido). Ellos utilizan el método de promediado de superficie en conjunto con el

método de promedio volumétrico. Resolvieron el problema de cerradura al considerar que

las difusividades efectivas se podían calcular con base a modelos geométricos. Para

validar la ecuación de difusión obtenida, los autores obtuvieron una solución analítica

haciendo uso de la celda unitaria de Chang para producir el modelo de Maxwell de

difusión en volumen y de superficie. Con ello, los autores encontraron que las

difusividades de superficie efectivas eran altamente sensibles a la topología del medio

poroso. Soria y De lasa, (1991), utilizaron el método del promedio volumétrico para

desarrollar de forma teórica la ecuación de transporte de masa para flujo multifásico

40

considerando un número arbitrario de fases, interfases y líneas de contacto, además de flux

difusivo, reacción química y transferencia de masa entre las fases, interfaces y líneas de

contacto. Las condiciones de salto fueron consideradas como fluxes que van de las fases

adyacentes a las interfases. La extensión de este concepto hacia las líneas de contacto hizo

posible visualizar la interacción completa del proceso como un fenómeno de cascada con

fluxes que van de las fases adyacentes a las correspondientes interfases y de las interfases

adyacentes a las correspondientes líneas de contacto. Los autores no consideraron la

formación del punto de contacto. Con la finalidad de obtener la ecuación promediada en

cada una de las regiones antes mencionadas (fases, interfases y líneas de contacto) los

autores desarrollaron y aplicaron teoremas de promedio espacial y promedio en tiempo

para las superficies. Por otro lado, los autores adoptaron la forma particular del teorema de

promediado en tiempo, la cual es consistente con la ecuación de transporte en superficies

propuesta por Moeckel (1975). Cabe señalar que los autores presentaron los balances para

cada una de las regiones involucradas dentro del volumen de promediado, sin embargo, en

el balance general para la línea de contacto, consideraron que la contribución de las

propiedades termodinámicas intrínsecas (densidad, flux difusivo, generación, velocidad de

flujo de fluido, etc.) eran irrelevantes por lo que la ecuación de balance general para la

línea de contacto llegó a ser estrictamente su ecuación de salto, tal como lo propusieron

Deemer y Slattery (1978). Como aplicación, los autores desarrollaron la ecuación de

transporte de masa promediada en volumen. En esta, los autores, aplicaron los teoremas de

promediado en volumen propuestos por Whitaker S. (1973a, b, 1990), Gray (1975, 1983),

Gray y Lee (1977) y los teoremas de superficie (válidos dentro de un volumen de

promediado) propuestos por Soria y De lasa (1991), Gray y Hassanizadeh (1989)

obteniendo así, el balance completo para el estudio del flujo multifásico.

41

Posteriormente, Gray y Hassanizadeh, (1998), quienes partiendo de la ecuación de

conservación general en su forma integral, desarrollaron de forma teórica, la ecuación de

conservación general macroscópica para masa, cantidad de movimiento y energía para las

fases, interfases, líneas y puntos de contacto para un sistema de flujo multifásico (tres

fases), sin generación de masa (a causa de una reacción química) ni flux difusivo en un

medio poroso rígido y no deformable. En cuanto a las condiciones de salto para las

interfases, líneas y punto de contacto, los autores las obtuvieron partiendo de las mismas

ecuaciones de balance de las interfases, líneas y puntos de contacto suponiendo algunos

términos despreciables (acumulación, inerciales, flux difusivo, generación de masa y calor)

lo que permitió: 1) a las interfases actuar como superficies de discontinuidad entre las

fases, b) a las líneas actuar como discontinuidades entre las interfases y c) a los puntos de

contacto actuar como discontinuidades entre las líneas, proporcionando así, las condiciones

de salto para las leyes de conservación. Como resultado, se obtuvieron ecuaciones de masa,

cantidad de movimiento y energía promediadas en volumen para las interfases, líneas y

puntos de contacto con y sin transferencia de masa interfacial.

Otros trabajos similares son los realizados por Hassanizadeh y Gray (1990), en los que los

autores utilizan las ecuaciones promediadas en volumen o macroscópicas para las fases e

interfases de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo bifásico (fluido-sólido) en

un medio poroso homogéneo en estado transitorio. Para el desarrollo de las ecuaciones, se

consideró: medio poroso deformable, fluidos compresibles, sin generación de masa ni flux

difusivo. Las ecuaciones de cerrado, se resolvieron empleando ecuaciones constitutivas.

Como resultado, se obtuvieron ecuaciones de balance de masa, cantidad de movimiento y

energía para resolver un caso en particular de presión capilar bajo condiciones de

equilibrio y no equilibrio termodinámico. Los resultados obtenidos mostraron que la

42

presión capilar era una función del área interfacial por unidad de volumen así como de la

saturación.

Partiendo de las ecuaciones generales promediadas en volumen de masa, cantidad de

movimiento y energía para un sistema de tres fases obtenidas por Hassanizadeh y Gray

(1990), Gray y Hassanizadeh (1991b), las propusieron para resolver flujo trifásico (aire-

agua-sólido) en un medio poroso no saturado en estado transitorio para las fases, interfaces

y líneas de contacto (estas últimas sin propiedades termodinámicas). En este trabajo, los

autores se enfocaron principalmente a la solución de la ecuación de cantidad de

movimiento para la fase agua para la cual se tomó en cuenta: 1) agua fluyendo lentamente

en el medio poroso y 2) mojabilidad total del agua en el sólido. Específicamente en el caso

dos, los autores concluyeron que la mojabilidad relativa de las fases agua-aire era una

variable importante desde el punto de vista termodinámico debido a que esta contribuía a la

histéresis natural de la curva de presión capilar contra saturación.

De lo comentado anteriormente se detecta que existe muy poca literatura respecto al

estudio de flujo multifásico (tres fases) a través de un medio poroso que tome en cuenta los

balances de masa, para cada unas de las regiones existentes dentro del volumen de

promediado, es decir, para las fases, interfases, líneas y punto de contacto.

Es por ello que en este trabajo se presentan las ecuaciones de balance de masa para cada

una de las regiones antes mencionadas, incluyendo al punto de contacto. En dichas

ecuaciones se toma en cuenta: a) la generación de masa (debida a reacciones químicas) y

b) la transferencia de masa (vaporización y/o condensación).

Para poder proponer cualquier sistema de ecuaciones es esencial definir o describir el

problema a resolver, así como establecer bajo que consideraciones y suposiciones estas

ecuaciones serán válidas, por esta razón en la siguiente sección se presentan detalles del

problema a resolver.

43

2. 2 CONSIDERACIONES Y SUPOSICIONES

En esta sección se presentan las consideraciones y suposiciones generales que serán

tomadas en cuenta sobre en las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía.

Para la obtención de las ecuaciones promedio, se parte de las ecuaciones locales de

transporte de masa, cantidad de movimiento y energía en cada una de las regiones

coexistentes dentro del volumen de promediado (fase, interfase, línea y punto de contacto).

Partiendo entonces con la ecuación de masa las consideraciones y suposiciones para

obtener su descripción local son:

1. Un medio poroso homogéneo, isotrópico y rígido.

2. Flujo multifásico, con 3 fases monocomponentes. Un gas compresible (g) y 2

líquidos inmiscibles (l1 y l2 ) a través de un medio poroso (fase sólida, s ).

3. Fase sólida no-permeable e indeformable.

4. Fluidos Newtonianos.

5. Generación de masa y calor debida a una reacción química entre la fase líquido 1

con el gas.

6. Fluxes difusivos. Los fluxes netos van de las fases a las interfases, de las interfases

a las líneas de contacto, de las líneas de contacto al punto de contacto (proceso

cascada).

7. Transferencia de masa interfacial sólo entre (l1 con g y l2 con g).

8. Estado transitorio.

9. Coordenadas cartesianas en tres dimensiones.

10. La ecuación de energía incluirá transporte de calor por efectos convectivos y

conductivos (en movimiento para analizar el sistema con mecanísmo convectivo y

sin movimiento para estudiar el efecto puramente conductivo).

44

2.3 ECUACIÓN LOCAL

En este trabajo, se toma en cuenta que cada fase posee propiedades termodinámicas

distintas. Cada fase esta separada por pequeñas regiones de transición las cuales son

modeladas como regiones interfaciales en dos dimensiones. Cada región interfacial posee

sus propias propiedades termodinámicas, distintas de aquellas fases que la conforman, así

como de las otras interfases (Gray y Hassanizadeh, 1998).

Dado que el sistema considera flujo multifásico a través de un medio poroso, las líneas de

contacto, pueden también existir. Estas, son regiones unidimensionales de transición donde

tres interfases coexisten cada una con sus propias propiedades termodinámicas (diferentes

a las de las interfases y a las de fases involucradas).

Por otro lado, en un sistema de cuatro fases (g, l1, l2 y s), cuatro diferentes líneas pueden

existir y estas líneas pueden formar un punto en común. Un punto en común, es un punto

singular donde las propiedades de las líneas en común experimentan discontinuidades.

Entonces, para este trabajo las fases, interfases, líneas y puntos en común (o de contacto)

existirán en un dominio mutuamente exclusivo, es decir, dentro del volumen elemental

representativo (V.E.R.) o bien volumen de promediado (Ver Fig. 1.2) por lo que al

volumen de promediado se define como:

( ) ( ) ( ) ( )k km kmn kmnq

QM N P

km kmn kmnqkk m k m n k m n q

V V t A t L t P t≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

= + + +∑ ∑ ∑ ∑ (2)

donde:

3( )kV t ⊂ es el conjunto de regiones de volumen ocupado por la fase k en un tiempo t.

2( )k mA t ⊂ es el conjunto de regiones de superficie ocupado por la interfase formada por

las fases k y m en un tiempo t.

45

( )k mnL t ⊂ es el conjunto de regiones lineales ocupado por la línea de contacto formada

por las fases k, m y n en un tiempo t.

( )k mnqP t ⊂ es el conjunto de los puntos de contacto en movimiento formado por las fases

k, m, n y q en un tiempo t.

M es el número de las diferentes fases

N es el número de los diferentes tipos de interfases

Q es el número de los diferentes tipos de líneas de contacto

P es el número de las diferentes tipos de puntos de contacto.

Cabe señalar que la inclusión de las propiedades interfaciales y lineales son esenciales, si

lo que se pretende es evitar errores grandes en la descripción del sistema de flujo

multifásico (Gray y Hassanizadeh, 1998). Basados en los estudios realizados hasta el

momento (Gray y Hassanizadeh, 1991a, 1991b; Hassanizadeh y Gray, 1993, Kalaydjian,

1987) es evidente que todas las características de un sistema multifásico (tipos de fluidos

de trabajo, número de fases involucradas, etc.) que puedan afectar la conducta

termodinámica del sistema deben de tomarse en cuenta (Gray y Hassanizadeh, 1998).

Para el desarrollo de las ecuaciones en cada una de las regiones mencionadas, en este

trabajo doctoral y específicamente para este capítulo se toman como punto de partida las

ecuaciones locales de masa.

2. 3. 1 Ecuación para la fase

La ecuación general de transporte local para cada una de las fases en el volumen de

promediado ha sido establecida por diversos autores (Truesdell y Toupin, 1960; Whitaker,

1973a, 1973b; Crapiste et al. 1986; Soria y De lasa, 1991; Du plessis, 1997; Ishii y Hibiki,

2006, etc.). Dicha ecuación para una fase k está definida por:

46

Acumulación Generación Inercial Flux difusivode masa.de masa

( ) ( ) 0kk k k kt

ρ ρ∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ =

∂v j , 1 2, ,k l l g= (3)

donde ρ es la densidad, v es la velocidad, j es el flux difusivo de masa, Φ es la

generación de masa (a causa de una reacción química, por ejemplo entre la fase g y l1) y t

es la coordenada temporal. El subíndice k denota “de la fase k”.

2. 3. 2 Ecuación para la interfase

La ecuación general de balance local para una interfase km fue establecida por Moeckel

(1975), Deemer y Slatery (1978), Soria y De lasa (1991), Du plessis (1997), Gray y

Hassanizadeh (1998), etc. La ecuación puede escribirse como:

{ }Generación de Inercial Flux difusivo de masaCurvatura media Transferencia de masa interfacial Acumulación masa y f

( ) 2 ( ) ( )kkm k k k k k

s km km km km km s km km k k km kHtρ

ρ ω ρ ρ∂

+∇ ⋅ − + ∇ ⋅ − Φ = − +∂

v j v w j

lux difusivo de masa interfacial

km

N

kmk m≠

⋅∑ n (4)

1 2 1 2, , , ,...;km l l g l g gs k ml= ≠

Para la Ec. (4), 2H es dos veces la curvatura media ( )= −∇ ⋅n , kmω es la velocidad de

desplazamiento de la interfase ( km km kmω = ⋅w n ), kmn es el vector normal unitario dirigido

de la fase k a la fase m, y N

kmk m≠

∑ es la sumatoria de todas las interfases que involucran la fase

k. El subíndice km indica “en la interfase km”. Por otra parte, se tomará en cuenta que:

km mk=w w , km mkA A= , y km mk= −n n ; para k=l1, l2, g; m=l1, l2, g; k≠m.

Además de los términos tradicionales (primero, segundo, cuarto y quinto término del lado

izquierdo) de la Ec. (4), se consideran los términos de curvatura media (el cual evalúa la

transferencia de masa debido a la curvatura en la interfase), y el de transferencia de masa y

flux difusivo interfacial, (con los cuales es posible aplicar la consideración de proceso

cascada).

47

2. 3. 3 Ecuación para la línea de contacto

La ecuación general de balance para la línea de contacto kmn fue propuesta por Slatery

(1990), Du plessis (1997), y Gray y Hassanizadeh (1998). La ecuación se puede escribir

como:

{ }Acumulación GeneraciónInercia Flux difusivo

de masa Transferencia de masa y flux difusivode masa en la l

de masa

( ) ( ) ( )k Qkmn k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn km km kmn km kmnkmn

k m nt

ρρ ρ

≠ ≠

∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − + ⋅

∂ ∑v j v U j υ

1 2 1 1 2 2

ínea de contacto" "

, , , ,..;

kmn

g gs s gskmn l l l l l l k m n= ≠ ≠

(5)

donde, kmnυ , es el vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km

apuntando hacia fuera de dicha interfase, Ukmn es la velocidad de la línea de

contacto,Q

kmnk m n≠ ≠

∑ es la sumatoria de todas la líneas de contacto kmn que involucran la interfase

km. El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”. Por otra parte, se tomarán en

cuenta que: kmn nmk=U U , kmn nmkL L= , kmn nmk=−υ υ ; para k=l1, l2, g; m=l1, l2, g; n=l1, l2, g; k≠m≠n.

2. 3. 4 Ecuación para el punto de contacto

La ecuación de balance para el punto de contacto kmnq fue propuesta por Gray y

Hassanizadeh (1998). A diferencia de los balances de masa en el volumen, interfase y línea

de contacto, ésta ecuación no presenta términos de acumulación, inerciales ni generación

de masa a causa que los puntos de contacto son los lugares geométricos de la convergencia

de las líneas de contacto. La ecuación puede escribirse como:

{ }

1 2 1 2 2 1 2

Término de transferencia de masa y flux difusivo de masa en el punto de contacto

, , , ,....

0 ( )P

k k kkmn kmn p kmn kmnq

kmnqk m n q

kmn l l g l l s l gl l gs

ρ≠ ≠ ≠

=

= − +∑ v v j λ

(6)

48

donde pv , es la velocidad del punto de contacto formado por las fases kmnq (k≠m≠n≠ q),

kmnqλ es el vector unitario tangente a la línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de

contacto kmnq (k≠m≠n≠ q), P

kmnqk m n q≠ ≠ ≠

∑ es la sumatoria de todos los puntos de contacto kmnq

que involucran las líneas de contacto kmn. El subíndice kmnq indica “en el punto de

contacto kmnq”. Por otra parte, se tomarán en cuenta que: kmnq qmnkP P= , kmnq qmnk=−λ λ . Lo

anterior permite manejar ecuaciones de balance simplificadas en las líneas y punto de

contacto.

La velocidad de las diferentes líneas en el punto de contacto son iguales por lo que las

ecuaciones, de cada una de las líneas en el punto de contacto, son totalmente equivalentes.

Lo anterior permite expresar la ecuación de masa en el punto de contacto tomando en

cuenta solo una línea de contacto.

2. 4 MÉTODO DEL PROMEDIO VOLUMÉTRICO.

El método del promedio volumétrico es una técnica que se puede usar para derivar

rigurosamente las ecuaciones continuas para sistemas multifásicos. Esto significa que las

ecuaciones que son válidas para una fase en particular pueden ser espacialmente

suavizadas y obtener de ésta manera ecuaciones que sean válidas en todas partes dentro del

volumen de promediado, es decir para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.

Gray (1983), desarrolló expresiones para el método del promedio volumétrico

dependientes del espacio y tiempo, sin embargo en este estudio se restringirá a un volumen

promedio constante, es decir, lejos de los contornos, o de medios heterogéneos, para

asegurar que el sistema sea homogéneo y continuo.

49

Entre otras cosas, las ecuaciones promedio obtenidas son independientes de la geometría

del volumen promedio (siempre y cuando éste sea independiente del tiempo). Por otro

lado, el volumen promedio cumple las restricciones de escala de longitud dada por la Ec.

(1).

Resolver un problema de flujo multifásico en un medio poroso es complejo por lo que

además de las ecuaciones de trasporte de masa, cantidad de movimiento y energía se

requieren de condiciones de frontera que sean válidas en los poros, por lo que se hace

necesario establecer restricciones de escala las cuales rijan la validez del promediado en

volumen de la derivada local.

Si se considera que el volumen promedio se compone de las fases: gas, dos líquidos

inmiscibles y un sólido, donde el volumen promedio es constante y el volumen de cada una

de las fases fluidas es dependiente del tiempo se tiene que:

1 2

( ) ( ) ( )g l l sV V t V t V t V= + + + (7)

Para obtener los balances locales (de las Ec. 3-6) promediados en volumen será necesario

establecer los teoremas promedio en: a) volumen, para las fases, b) superficie, para las

interfases, 3) la línea, para líneas de contacto, y 4) el punto de contacto.

2. 4. 1 Teoremas de promediado para el volumen

Las cantidades promedio se asocian con cantidades locales a través de un operador

promedio de una variable genérica ψ que puede ser escalar, vector o un tensor de la fase k

( , )

1( , ) ( , )k k k ytkV

t t dVV

ψ ψ= +∫x

x x y

(8)

Donde ψ es la variable local, V representa el volumen de promediado, Vk es el volumen de

la fase k, x representa el vector de posición para el centroide del volumen de promediado,

50

mientras que ky representa el vector de posición para la fase k relativo al centroide. El

diferencial dVy indica que la integral se lleva cabo respecto a la componente espacial yk. La

nomenclatura empleada por la Ec. (8) indica que las cantidades promedio volumétrico

están asociadas con el centroide del volumen de promediado (Ver Fig. 1.3)

Con la idea de simplificar la notación, se evitará usar con precisión la nomenclatura usada

en la Ec. (8) por lo que el promedio superficial queda representado como:

1k k

Vk

dVV

ψ ψ⟨ ⟩ = ∫ (9)

La Ec. (9) es conocida como promedio de fase, mientras que el promedio intrínseco se

define como:

1kk k

k Vk

dVV

ψ ψ⟨ ⟩ = ∫ (10)

Los operadores promedio en fase y promedio intrínseco están relacionados con la siguiente

expresión:

kk k kψ ε ψ= (11)

donde la definición de fracción de volumen esta dada como:

( ) kk

VtV

ε = (12)

otra cantidad promedio importante es:

( )

1km km km

A tkm

dAA

ψ ψ⟨ ⟩ = ∫ (13)

Para obtener la descripción promedio es necesario aplicar dos teoremas de integrales.

Dichos teoremas son una herramienta matemática que permiten intercambiar las variables

entre las derivadas promedio por derivadas de variables promedio. El primer teorema es la

51

ecuación de transporte general, con la cual se relaciona la derivada promedio de una

cantidad ψk con respecto al tiempo. Para un sistema de M fases y N interfaces este teorema

está dado por:

( ) ( )

1 1kkk km km k ks ks

A Akm t ks t

N

kmk m

dA dAt t V V

ψψ ψ ψ≠

∂∂= − ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ ∫w n w n (14)

Tomando en cuenta que el segundo término del lado derecho de la Ec. (14) promedia a la

propiedad de la fase k en volumen sobre la región interfacial km, se puede escribir la Ec.

(14) de la siguiente manera (Soria y De lasa, 1991):

kkk km km k ks ks

N

kmk m

t tψψ ψ ψ

≠

∂∂= − ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∑ w n w n (15)

Un segundo teorema se le conoce como el teorema de promedio espacial. Para cualquier

cantidad ψ asociada con la fase k dicho teorema está dado por:

( ) ( )

1 1k k k km k ks

A Akm t ks t

N

kmk m

dA dAV V

ψ ψ ψ ψ≠

∇ = ∇ + +∑ ∫ ∫n n (16)

( ) ( )

1 1k k k km k ks

A Akm t ks t

N

kmk m

dA dAV V

ψ ψ ψ ψ

≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅ + ⋅∑ ∫ ∫n n (17)

El segundo término del lado derecho de la Ec. (16) promedia a la propiedad de la fase k en

volumen sobre la región interfacial km, por lo cual se puede escribir de la siguiente manera

(Soria y De lasa, 1991):

k k k km k ks

N

kmk m

ψ ψ ψ ψ≠

∇ = ∇ + +∑ n n (18)

k k k km k ks

N

kmk m

ψ ψ ψ ψ≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅ + ⋅∑ n n (19)

52

Cuando ψk=1 se obtiene dos teoremas ampliamente usados concernientes a la fracción de

volumen. Aplicando esta igualdad en los teoremas (14) y (19) se reducen a:

( ) ( )

1 1kkm km ks ks

A Akm t ks t

N

kmk m

dA dAt V Vε

≠

∂= ⋅ + ⋅

∂ ∑ ∫ ∫w n w n (20)

( ) ( )

1 1k km ks

A Akm t ks t

N

kmk m

dA dAV V

ε

≠

∇ = − +∑ ∫ ∫n n (21)

donde kmw es la velocidad de desplazamiento de la interfase km , nkm es el vector normal

unitario en la interfaz apuntando de la fase k a la fase m y ψk es cualquier cantidad

asociada con la fase k . Si ψk es una constante igual a uno, de la Ec. (9) se tiene:

( )

1 ( )1 1 kk

V tk

V tdVV V

ε= = =∫ (22)

Lo que indica que el promedio de una constante es igual a la fracción de volumen de la

fase k multiplicada por esa constante.

Si se aplica la condición dada por 0k ks ks ks⋅ = ⋅ =v n w n conocida como condición de no

deslizamiento, las Ecs. (14), (16), (17), (20), (21) se simplifican y no aparecerán fases e

interfaces que tengan que ver con el sólido, por lo que dichas ecuaciones, se pueden

escribir respectivamente como sigue:

( )

1Nkk

k km kmkmk m

Akm t

dAt t V

ψψ ψ≠

∂∂= − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ w n (23)

( )

1N

k k k kmkmk m

Akm t

dAV

ψ ψ ψ≠

∇ = ∇ + ∑ ∫ n (24)

( )

1N

k k k kmkmk m

A km t

dAV

ψ ψ ψ≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫ n (25)

( )

1Nk

km kmkmk m

Akm t

dAt Vε

≠

∂= ⋅

∂ ∑ ∫ w n (26)

53

( )

1N

k kmkmk m

Akm t

dAV

ε≠

∇ = − ∑ ∫ n (27)

En las Ecs. (23)-(27), k m≠ ; 1 2 1 2, , ; , ,k l l g m l l g= = . Es importante recordar que la derivación

teórica de las ecuaciones anteriores debe satisfacer la restricción de escala de longitud

o1 2, ,l l g Lr .

2. 4. 2 Teoremas de promediado para la interfase

De acuerdo a Gray y Hassanizadeh (1998) y de Soria y De lasa (1991), el teorema de

promediado en volumen en la interfase esta definido como:

( )

1V

k kkm km

A tkm

dAΨ = Ψ∫ (28)

donde kkmΨ es cualquier propiedad de la fase k en la interfase km dentro del volumen de

promediado. La expresión dada por la Ec. (28) se conoce como promedio de interfase,

mientras que el promedio de interfase intrínseco se define como:

( )

1k km kkm km

km A tkm

dAA

⟨Ψ ⟩ = Ψ∫ (29)

Los operadores promedio de interfase y promedio de interfase intrínseco están

relacionados con la siguiente expresión.

kmk k kkm km kmεΨ = Ψ (30)

donde la definición de fracción de área por unidad de volumen esta dada como :

( ) kmkkm

At

Vε = (31)

Para un sistema de N interfases y Q líneas de contacto, el teorema de transporte de

superficie en términos de la fase k, se define como:

54

12kkkmkm k k k k

km km km km km km km km kmn kmnLkmn

Q

kmnw H dL

t t V∂ Ψ∂Ψ

= + ∇⋅ Ψ + Ψ ⋅ − Ψ ⋅∂ ∂ ∑ ∫n w n U υ (32)

El tercer término del lado derecho de la Eq. (32) promedia la curvatura media de la fase k

en la interfase km, mientras que el cuarto término promedia a la propiedad de la fase k

interfacial sobre la región de la línea de contacto kmn.

Por otro lado, el teorema de promedio espacial para una superficie se define como:

1k k kkm km km kmn

Lkmn

Q

kmndL

V∇⋅Ψ = ∇⋅ Ψ + Ψ ⋅∑ ∫ υ (33)

En los teoremas (32) y (33) aparecen vectores normales ( k mnυ ) a la línea de contacto kmn

y al mismo tiempo tangentes a la interfase km. Estos vectores, surgen debido a la existencia

de las regiones interfaciales las cuales forman las diferentes líneas de contacto en el

sistema de estudio.

Es importante mencionar que si se aplican las condiciones dadas por 0k ks ks ks⋅ = ⋅ =v n w n y

0kkm kms kms kms⋅ = ⋅ =v υ U υ conocidas como condiciones de no deslizamiento en la interfase y en

la línea de contacto las Ecs. (32)-(33) se simplificarán y no aparecerán las interfases que se

formen con el sólido.

2. 4. 3 Teoremas de promediado para la línea de contacto.

Los teoremas de promediado en volumen para línea de contacto (Ec. 5), (Gray y

Hassanizadeh 1998; Soria y De lasa 1991) se definen:

1k kkmn kmn

Lkmn

dLV

ϒ = ϒ∫ (34)

55

donde kk mnϒ es el valor de la propiedad en la línea de contacto dentro del volumen de

promediado. La expresión dada por la Ec. (34) se conoce como promedio de línea de

contacto, mientras que el promedio de línea de contacto intrínseco se define como:

1k kmn kkmn kmn

kmn Lkmn

dLL

⟨ϒ ⟩ = ϒ∫ (35)

Los operadores promedio en fase y promedio intrínseco están relacionados con la siguiente

expresión:

kmnk k kkmn kmn kmnεϒ = ϒ (36)

donde la definición de fracción de línea por unidad de volumen esta dada como:

( ) k m nkk m n

Lt

Vε = (37)

Aplicando los teoremas integrables de igual manera que las Ecs. (14) y (32) para un

sistema de Q líneas de contacto, el teorema de transporte para la línea de contacto en

términos de la fase k, se define como:

( )

1kk Nkmnkmn k

kmn p kmnqkmnq

k m n qPkmnq t

dPt t V

≠ ≠ ≠

∂ ϒ∂ϒ= − ϒ ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ v λ (38)

Por su lado, el teorema de promedio espacial para cualquier cantidad kk mnϒ asociada con la

fase k, en una línea de contacto se define:

( )

1k k kkmn kmn kmn kmnq

Pkmnq t

N

kmnqk m n q

dPV

≠ ≠ ≠

∇ϒ = ∇ ϒ + ϒ∑ ∫ λ (39)

( )

1k k kkmn kmn kmn kmnq

Pkmnq t

N

kmnqk m n q

dPV

≠ ≠ ≠

∇⋅ϒ = ∇⋅ ϒ + ϒ ⋅∑ ∫ λ (40)

56

Es importante establecer que para el balance en la línea de contacto se toma en cuenta la

condición de no deslizamiento 0kkmn kmns p kmns⋅ = ⋅ =v λ v λ en el punto de contacto lo que

permitirá manejar ecuaciones de balance simplificadas.

2. 4. 4 Teoremas de promediado para el punto de contacto.

Dado que la ecuación de balance de masa en el punto de contacto (Ec. 6) no considera

efectos de acumulación ni inerciales, los teoremas de promediado en volumen para el

punto de contacto se definen como (Gray y Hassanizadeh, 1998):

( )

1k kkmnq kmnq

P tkmnq

dPV

γ γ= ∫ (41)

donde kk mnqγ es cualquier propiedad en el punto de contacto dentro del volumen de

promediado. La expresión dada por la Ec. (41) se conoce como promedio de punto,

mientras que el promedio de punto intrínseco se define como:

( )

1k kmnq kkmnq kmnq

kmnq P tkmnq

dPP

γ γ⟨ ⟩ = ∫ (42)

Los operadores promedio de punto y promedio de punto intrínseco están relacionados con

la siguiente expresión.

kmnqk k kkmnq kmnq kmnqγ ε γ= (43)

donde la definición de fracción de punto por unidad de volumen esta dada como:

1( )kkmnq t

Vε = (44)

57

2. 5 ECUACIÓN DE MASA PROMEDIADA

2. 5. 1 Ecuación de masa promediada en volumen

En este tema, se obtendrá la ecuación de masa del tipo promedio en volumen para cada una

de las fases involucradas. Aplicando el operador promedio en volumen dado por la Ec. (9)

a la Ec. (3) para la fase k se tiene:

Para la fase k

( ) 0kk k k kt

ρ ρ∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =

∂v j (45)

Aplicando los teoremas dados por las Ecs. (23)-(27) según corresponda a cada término de

la Ec. (45) se tiene:

( )

1Nkk

k km kmkmk m

Akm t

dAt t V

ρρ ρ≠

∂∂= − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ w n (46)

( )

1N

k k k k k k kmkmk m

Akm t

dAV

ρ ρ ρ≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫v v v n (47)

( )

1N

k k k kmkmk m

A tkm

dAV

≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫j j j n 48)

Sustituyendo las Ecs. (46)-(48) en la Ec. (45) se obtiene la siguiente ecuación promediada:

{ }( )

1 ( )N

kk k k k k k km k km

kmk m

A tkm

dAt Vρ

ρ ρ≠

∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅

∂ ∑ ∫v j v w j n (49)

En la Ec. (49) el término de la integral representa la transferencia de masa interfacial por

unidad de volumen. Dicha transferencia de masa se presenta debido al desequilibrio

termodinámico entre estas. Algunos investigadores (Ishii e Hibiki, 2006; Lahey, 1992)

representan dicho término con km mk−Γ =Γ el cual se determina por medio de ecuaciones de

cerradura.

58

Es conveniente representar la Ec. (49) en términos de kε y kkmε . Entonces, para obtener la

ecuación promedio intrínseco, a la Ec. (49) se le aplican las Ecs. (11) y (30) quedando

como:

{ }( )k

N kmk k kk k kk k k k k k k km k k km km km

kmk m

tε ρ

ε ρ ε ε ε ρ≠

∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅

∂ ∑v j v w j n (50)

donde el término del lado derecho de la Ec. (50) expresado de forma intrínseca se puede

escribir como:

{ } { }

{ }( )

( )

( ) ( )

1 ( )

kk m k mk

k m k k k m k k m k k k m k k mkm

m m k m k k m

A tk m

A tk m

dAA

dAV

εε ρ ρ

ρ

− − + ⋅ = − − + ⋅

= − − + ⋅

∫

∫

v w j n v w j n

v w j n (51)

Para el planteamiento propuesto, es más conveniente tener producto de promedios de en

lugar de promedio de productos entre variables locales instantáneas (segundo término del

lado izquierdo de la Ec. (50)). Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones

espaciales de las variables locales (Gray, 1975).

Las variables locales espaciales tienen características importantes asociadas con la longitud

característica que permiten realizar simplificaciones de las ecuaciones promedio. Dichas

ecuaciones están en términos de las variables promedio y de las desviaciones espaciales

(Ochoa Tapia y Whitaker, 1995a). Una variable local cualquiera ( )kψ esta definida por la

suma de su promedio en volumen intrínseco y su desviación espacial (Gray, 1975), es

decir:

kk k kψ ψ ψ= + (52)

Cuando se presenta el producto entre dos variables locales instantáneas 1k

ψ y 2kψ se usa la

definición de la Ec. (52). Estos productos se definen como:

59

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

k k k k

k k k k k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= + + + (53)

Promediando la Ec. (53)

1 2 1 2 1 2

k kk k

k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= + (54)

Similarmente para tres variables locales instantáneas se tiene:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3

1 2 3 1 2 3

k kk k k

k

k kk

k k k k k k k k k k k k

k k

k k k k k k

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

= + +

+ + (55)

Si el promedio de fase y el promedio de fase intrínseco presentan pequeñas variaciones de

ψk , las siguientes relaciones son validas: kk k k

k k kψ ψ ψ= = (56)

kk k kψ ψ ψ= = (57)

1 2 1 2

kk k k kk k k kψ ψ ψ ψ= (58)

1 2 1 2 0kk k k

k k k kψ ψ ψ ψ= = (59)

2 1 2 1 0kk k k

k k k kψ ψ ψ ψ= = (60)

1 2 3 1 2 3

kk k k k k kk k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= (61)

1 2 3 1 2 3 0kk k k k k

k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= = (62)

2 1 3 2 1 3 0kk k k k k

k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= = (63)

En las Ecs. (53)-(63), los subíndices 1, 2 y 3 se usan para indicar las diferentes propiedades

de la fase k.

Nótese de las Ecs. (56)-(58) y (61) que el promedio de una cantidad promedio es igual a la

cantidad promedio y esto es valido cuando se satisface la restricción de escala de longitud

dada por la Ec. (1). Por otro lado, el resultado dado por las Ecs. (59), (60), (62) y (63) son

una consecuencia inmediata de promediar la Ec. (52), donde el promedio intrínseco de las

desviaciones espaciales es cero si la variable local presenta un buen comportamiento; no

ocurre lo mismo para el promedio de las desviaciones espaciales que producen términos de

dispersión cuando la variable local es uniforme (Gray, 1975).

60

Entonces, al aplicar la Ec. (54) a la Ec. (50) (segundo término del lado izquierdo) para el

caso 1k kψ ρ= y 2k kψ = v , se obtiene la ecuación de conservación de masa promediada en

volumen en términos de la fracción de volumen, de variables promedio y de las

desviaciones espaciales para la fase k.

{ }( )

1 ( )k

Nk k k k kk k

k k k k k k k k k km k km k k kkmk m

A tkm

dAt V

ε ρε ρ ε ε ρ ε ρ

≠

∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅ −∇⋅

∂ ∑ ∫v j v w j n v

(64)

Cuando los gradientes de presión no son muy grandes, los gradientes de densidad a nivel

microscópico son muy pequeños en comparación con los gradientes de velocidad.

Entonces todos los términos que contienen variaciones espaciales de la densidad alrededor

de su valor promedio, se pueden despreciar (Cazarez-Candia, 2001).

Tomando en cuenta lo anterior se obtiene la ecuación de conservación de masa promediada

en volumen.

{ }( )

1 ( )k

Nk k k kk k

k k k k k k k k k km k kmkmk m

A tkm

dAt V

ε ρε ρ ε ε ρ

≠

∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅

∂ ∑ ∫v j v w j n (65)

En la Ec. (65) se consideran efectos de acumulación, efectos inerciales, flux difusivo de

masa, generación de masa, transferencia de masa interfacial y flux difusivo de masa

interfacial. Por otra parte, para la Ec. (65) se toma en cuenta la condición de no

deslizamiento por lo que 0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n .

Con la finalidad de expresar la Ec. (65) explícitamente para un medio poroso homogéneo,

rígido e isotrópico, se considera que k ksε φ= , donde la saturación de la fase k se define

como: kk

m

VsV= , la porosidad: mV

Vφ = y el volumen de las fases fluidas como:

61

1 2m l l gV V V V= + + , (Ver mas detalle en Espinosa-Paredes 2010) por lo que la Ec. (65) se

reescribe quedando de la siguiente manera:

{ }( )Inércia Flux difusivo de masa Generación de masaAcumulación

Transferencia de masa interfacial y flux difu

1 ( )k

Nk k k kk k

k k k k k k k k k km k kmkmk m

A tkm

ss s s dA

t Vφ ρ

φ ρ φ φ ρ≠

∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =− − + ⋅

∂ ∑ ∫v j v w j n

sivo de masainterfacial

(66)

Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (66) para cada una de estas fases al

tomar en cuenta las consideraciones hechas (líquidos inmiscibles e incompresibles, gas

compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y generación de masa entre l1

con g ) en la sección 2.2 son:

Para la fase l1:

{ }1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ( )

1 ( )l g

l l l l lll l l l l l l l l l l g l l g

A t

ss s s dA

t Vφ

ρ ρ φ φ φ ρ∂

+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =− − + ⋅∂ ∫v j v w j n

(67)

Para la fase l2:

{ }2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 ( )

1 ( )l g

l l l lll l l l l l l l l g l l g

A t

ss s dA

t Vφ

ρ ρ φ φ ρ∂

+ ∇⋅ + ∇⋅ = − − + ⋅∂ ∫v j v w j n (68)

Para la fase g:

{ } { }1 1 2 2

1 2( ) ( )

1 1( ) ( )

gg g g gg g

g g g g g g g

g g gl g gl g g gl g glA t A tgl gl

ss s s

tdA dA

V V

φ ρφ ρ φ φ

ρ ρ

∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =

∂− − + ⋅ − − + ⋅∫ ∫

v j

v w j n v w j n (69)

2. 5. 2 Ecuación de masa promediada en el área interfacial

Las fases en un sistema multifásico están separadas por las interfases. A nivel de

microescala, las regiones interfaciales son modeladas en dos dimensiones y pueden tener

propiedades termodinámicas diferentes de aquellas fases que la conforman (Gray y

62

Hassanizadeh, 1998). La ecuación de conservación para una propiedad en la interfase

cuando ésta interfase esta localizada en un volumen esta definida por la Ec. (4).

Dado que las fases se encuentran rodeadas por las interfases del sistema es conveniente

especificar entonces ecuaciones de conservación del tipo promedio en superficie para cada

una de estas interfases y esto se muestra a continuación:

Para la fase k:

{ }( ) 2 ( ) ( )kkm k k k k k k

s km km km km km km s km km k k km k kmk

N

mH

tρ

ρ ρ ρ∂

+ ∇ ⋅ − ⋅ + ∇ ⋅ − Φ = − + ⋅∂ ∑v w n j v w j n (70)

Donde 1 2, , ,k l l g s= 1 2, , ,m l l g s= , ρ es la densidad de masa, v es velocidad, j es flux difusivo

de masa, Φ es la generación de masa, H es la curvatura media medida, kmn es el vector

normal unitario dirigido de la fase k a la fase m y t es la coordenada temporal. El

superíndice k indica “de la fase k” y el subíndice km indica “en la interfase km”.

Aplicando el operador promedio en área dado por la Ec. (28) a la Ec. (70) se obtiene

{ }( ) 2 ( ) ( )k N

k k k k k kkms km km km km km km s km km k k km k km

kmk m

Ht

ρ ρ ρ ρ≠

=∂ + ∇ ⋅ − ⋅ + ∇ ⋅ + Φ − + ⋅∂

∑v w n j v w j n (71)

Aplicando teoremas de promediado en superficie dados por las Ecs. (32) y (33) según

corresponda a los términos de la Ec. (71) se tiene:

( )

12kk Qkmkm k k k k

s km km km km km km km km kmn kmnkmn

k m nL tkmn

w H dLt t V

ρρρ ρ ρ

≠ ≠

∂∂= +∇ ⋅ + ⋅ − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫n w n U υ (72)

( )

1( )Q

k k k k k ks km km km km km km kmn

kmnk m n

L tkmn

dLV

ρ ρ ρ≠ ≠

∇ ⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫v v v υ (73)

( )

1( )Q

k k ks km km km kmn

kmnk m n

L tkmn

dLV

≠ ≠

∇ ⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫j j j υ (74)

Sustituyendo las Ecs. (72)-(74) en la Ec. (71), se tiene:

63

{ }

{ }

( )

1( ) ( )V

( )

k Nkm k k k k k k k

km km km km km km km km kmn km kmnkmn

k m n

N

k k km k kmkmk m

L tkmn

w dLtρ

ρ ρ

ρ

≠ ≠

≠

∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ + − + ⋅

∂

= − + ⋅

∑ ∫

∑

v n j v U j υ

v w j n

(75)

Para la Ec. (75) se usa la condición de no deslizamiento por lo que 0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n y

0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ .

Expresando la Ec. (75) en términos de promedios intrínsecos definidas por las Ecs. (30) y

(36), se tiene:

{ } { }

( )

( )( )

kmk kkm km kmkm km k k k k k k k

km km km km km km km km km

N N kmkmnk kk k kkmn km k k km k kmkm km kmn km kmn

kmn kmk m n k m

wt

ε ρε ρ ε ε

ε ε ρρ≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ

∂

+ = − + ⋅− + ⋅∑ ∑

v n j

v w j nv U j υ (76)

De la misma forma que en el promediado en volumen para la fase, en el promediado en la

interfase, es conveniente tener productos de promedios en lugar de promedio de productos

entre variables locales. Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones espaciales de

las variables locales propuestas por (Gray, 1975) al segundo término del lado izquierdo de

la Ec. (76), esto es:

( )( ) ( )km km km kmk k k k k k k k k

km km km km km km km km km km km km km km kmw w wε ρ ε ρ ε ρ∇⋅ + = ∇⋅ + + ∇⋅ +v n v n v n (77)

Sustituyendo la Ec. (77) en la Ec. (76)se tiene que:

( ){ } { }( ) ( )

( )

kmk kkm km km kmkm km k k k k k k k

km km km km km km km km km

N Nkm kmnk k k k kkm k k km k km kmn km km kmn km kmn

km kmnk m k m n

kmk k kkm km km km km

wt

w

ε ρε ρ ε ε

ε ρ ε ρ

ε ρ

≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ

∂

= − + ⋅ − − + ⋅

− ∇⋅ +

∑ ∑

v n j

v w j n v U j υ

v n

(78)

El término promedio en la línea de contacto (segundo término del lado derecho) de la Ec.

(78) se pueden expresar de forma similar al correspondiente término de la Ec. (51)

quedando:

64

{ } { }

{ }

( )

( )

( )

1( )

( )k

k mn k mnk k k k k k kk mn k m k m kmn k m kmn k m k m k mn k m k mn

k mn k mn

k k kkm k m kmn km k mn

L t

L tk mn

L

V

dL

dL

ερ

ρ

ε ρ − + ⋅

− + ⋅

− − + ⋅ = −

= −

∫

∫

v U j υ

v U j υ

v U j υ

(79)

Al igual que la ecuación de masa promediada en volumen para la fase Ec. (65), en la

ecuación promediada en volumen para la interfase se aplican: 1) la Ec. (79) y 2) no se

toman en cuenta las variaciones espaciales de la densidad alrededor de su valor promedio.

Por lo anterior a partir de la Ec. (78), se obtiene la ecuación de conservación de masa

promediada en volumen para la fase k en la interfase:

( ){ } { }

( )( )

1( )

1 ( )

kmk kkm km km kmkm km k k k k k k k

km km km km km km km km km

N Nk k k

k k km k km km km kmn km kmnkm kmnk m k m n

L tA t kmnkmV

wt

dA dLV

ρ

ε ρε ρ ε ε

ρ≠ ≠ ≠

− + ⋅

∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ

∂

= − + ⋅ − ∫∑ ∑∫ v U j υ

v n j

v w j n (80)

Considerando que k kkm kmsε φ= , donde la porosidad de la fase k en la interfase km se define

como: k kmkm

m

AsV

= , y la porosidad: mVV

φ = , la Ec. (80) se expresa como:

( )

{ }

Flux difusivo de masa GeneraciónInerciaAcumulación de masa

Transf

( )

1 ( )

kmk kkm km km kmkm km k k k k k k k

km km km km km km km km km

N

k k km k kmkmk m

A tkm

ss w s s

t

dAV

φ ρφ ρ φ φ

ρ≠

∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ

∂

= − + ⋅∑ ∫

v n j

v w j n { }

erencia de masa interfacial y flux difusivo Transferencia de masa y flux difusivo de masa de masa interfacial en la línea de contacto

( )

1( )

Nk k kkm km kmn km kmn

kmnk m n

L tkmnV

dLρ

≠ ≠

− + ⋅− ∫∑ v U j υ

(81)

Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (81) para cada una de estas fases al

tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e

incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y

generación de masa entre l1 con g) son:

65

Para l1:

( )( ) ( )

1 1 11 2 1 1 1 2 1 21 2 1 11 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 1

1 1

l l ll l l g l s l l l ll l l g l sl l l l l l

l l l g l s l l l l l l l l l l

l g l g l s l sl l l l l ll g l g l g l g l g l s l s l s l s l s

l gl ll g l g

s s ss w

t t ts w s w

s

φ φ φρ ρ ρ ρ φ

ρ φ ρ φ

φ

∂ ∂ ∂+ + + ∇⋅ +

∂ ∂ ∂+ ∇⋅ + + ∇⋅ +

+∇⋅ +

v n

v n v n

j

{ } { }

{ }

1 2 1 11 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 21

1 1 1

1 1 1 1 1

1

1 1( ) ( )

1 ( )

l l l s l gl l l l l ll l l l l s l s l g l g

l l ll l l g l l g l l l l l l g l l l l g

l l g

l l ll s l s l sg l s l sg

l sgL

LAl g

ss s

dA dLV V

dLV

φ φ φ

ρ ρ

ρ

∇⋅ +∇⋅ − Φ

= − + ⋅ − − + ⋅

− − + ⋅

∫ ∫

∫

j j

v w j n v U j υ

v U j υ

(82)

Para l2:

( )( ) ( )

2 2 22 1 2 2 2 1 2 12 1 2 22 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 2

2 2

l l ll l l g l s l l l ll l l g l sl l l l l l

l l l g l s l l l l l l l l l l

l g l g l s l sl l l l l ll g l g l g l g l g l s l s l s l s l s

l gl ll g l g

s s ss w

t t t

s w s w

s

φ φ φρ ρ ρ ρ φ

ρ φ ρ φ

φ

∂ ∂ ∂+ + + ∇⋅ +

∂ ∂ ∂

+ ∇⋅ + + ∇⋅ +

+∇⋅ +

v n

v n v n

j { }

{ } { }

2 2 12 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2

22 1

1 ( )

1 1( ) ( )

l s l ll l l ll s l s l l l l l l l g l l g

Al g

l l l l l ll l l l l l g l l l l g l s l s l sg l s l sg

LL l sgl l g

s s dAV

dL dLV V

φ φ ρ

ρ ρ

∇⋅ +∇⋅ = − + ⋅

− − + ⋅ − − + ⋅

∫

∫ ∫

j j v w j n

v U j υ v U j υ

(83)

Para g:

( )( ) ( )

1 2

1 11 1 2 2

1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2

1 2

1 1 2 2 1

g l g l g sg l g l

g l g l g s g s

g l g l g s

g g g g g gg l g l g l g l g s g s g g g

g l g l g l g l g l

g g g g g gg l g l g l g l g l g s g s g s g s g s

g g g g g g gg l g l g l g l g s g s g ls

s s ss w

t t t

s w s w

s s s

φ ρ φ ρ φ ρφ ρ

φ ρ φ ρ

φ φ φ φ

∂ ∂ ∂+ + +∇ ⋅ +

∂ ∂ ∂

+∇ ⋅ + +∇⋅ +

+∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅ −

v n

v n v n

j j j

{ } { }

{ } { }

{ }

1

1

1 21 2

1 2

1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1

1 2 2 1

2 2

2

1 1( ) ( )

1 1( ) ( )

1 1( ) (

g l

g g g g l g g g glA Ag l g l

g g g g g gg l g l g l l g l g l l g l g l g l l g l g l l

L Lg l l g l l

g g g gg s gs g s l g s gs l g s

Lg sl

gg l

g l g ldA dAV V

dL dLV V

dLV V

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

Φ

= − + ⋅ + − + ⋅

− − + ⋅ − − + ⋅

− − + ⋅ −

∫ ∫

∫ ∫

∫

v w j n v w j n

v U j υ v U j υ

v U j υ v{ } 1

1

)g gg s g s l g s g s l

Lg sl

dL− + ⋅∫ U j υ

(84)

66

2. 5. 3 Ecuación de masa promediada en la línea de contacto

A nivel microescala, las líneas de contacto (Ec. 5) son regiones donde tres fases (y por lo

tanto tres interfases) que vienen juntas. Las líneas son modeladas en una dimensión y estas

pueden tener propiedades termodinámicas diferentes a las correspondientes de las fases y

las interfases que las conforman (Gray y Hassanizadeh, 1998). Por otro lado, si existe

transferencia de masa en la línea de contacto, deben asumirse diferentes valores de esta en

cada una de las superficies divididas (interfases) que conforman la línea de contacto. Por lo

que es necesario multi evaluar la velocidad de las líneas sobre un sólido rígido (Slattery,

1990). Por ello, se presentan a continuación los balances en las líneas de contacto tomando

en cuenta las contribuciones de cada una de las fases y de las interfases que conforman las

líneas de contacto. La Ec. (5) para la fase k se puede escribir como:

{ }( ) ( ) ( )kkmn k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn km km kmn km kmnk

k

Q

mnm n

tρ

ρ ρ≠ ≠

∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − + ⋅

∂ ∑v j v U j υ (85)

donde 1 2, ,,k l l g s= , 1 2, ,,m l l g s= , 1 2, ,,n l l g s= ( )k m n≠ ≠ , ρ es la densidad de masa, v es la

velocidad, j es el flux difusivo de masa, Φ es la generación de masa, gmnυ es el vector

normal unitario a la línea de contacto kmn y tangente a la interfase km apuntando hacia

fuera de dicha interfase. El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”.

Aplicando el operador promedio en línea [Ec. (34)] a la Ec. (85) se tiene que:

{ }( ) ( ) ( )k

k k k k k k kkmnkmn kmn kmn kmn km km kmn km kmn

kk

Q

mnm n

tρ ρ ρ

≠ ≠

∂ + ∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − + ⋅∂

∑v j v U j υ (86)

Aplicando los teoremas definidos en las Ecs. (38) y (40) según corresponda a los términos

de la Ec. (86) se tiene que:

( )

1kk Pkmnkmn k

kmn p kmnqkmnq kmnqk m n q

P t

dPt t V

ρρρ

≠ ≠ ≠

∂∂= − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ v λ (87)

67

( )

1( )P

k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq

kmnq kmnqk m n qP t

dPV

ρ ρ ρ≠ ≠ ≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫v v v λ (88)

( )

1( )P

k k kkmn kmn kmn kmnq

kmnqk m n q

P tkmnq

dPV

≠ ≠ ≠

∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫j j j λ (89)

Sustituyendo las Ecs. (87)-(89) en Ec. (86) se tiene.

{ }

( )

( ) ( )

1(

1 1

( )

k Pk mn k k k k k k

k mn k mn k mn k mn k mn k mn k mnqkmnq

k m n q

P Pk kk mn k mn q k mn p k mnq

kmnq kmnqk mnq k mn qk m n q k m n q

Qk k kk m k m k mn k m k mn

k mnk m n

P tk mnq

P t P t

dPt V

dP dPV V

ρρ ρ

ρ

ρ

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠

∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ + ⋅

∂

+ ⋅ − ⋅

= − + ⋅

∑ ∫

∑ ∑∫ ∫

∑

v j v λ

j λ v λ

v U j υ

(90)

Agrupando términos:

{ }

( ){ }( )

( ( )

1

k Qk mn k k k k k k k

k mn k mn k mn k mn k m k m k mn k m k mnk mn

k m n

Pk k kk mn k mn p k mn k mnq

kmnqk m n q

P tk mnq

t

dPV

ρρ ρ

ρ

≠ ≠

−

≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ +∇⋅ − Φ = − + ⋅

∂

− + ⋅

∑

∑ ∫

v j v U j υ

v v j λ

(91)

Dada la consideración de no deslizamiento en la Ec. (91), se debe cumplir que

0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ y 0k

k ms k mns p k mn s⋅ = ⋅ =v λ v λ .

Expresando la Ec. (91) en términos de las fracciones kkmnε y k

kmnqε [ver Ecs. (36) y (40)], se

obtiene:

{ } ( ){ }

(

( )

k mnk kk mn k mn k mnk mn k mn k k k k k k k

k mn k mn k mn k mn k mn k mn k mn

Q P k mnqk mnk k k k k k k kk mn k m k m k mn k m k mn k mnq k mn k mn p k mn k mnq

k mn kmnqk m n k m n q

tε ρ

ε ρ ε ε

ε ρ ε ρ −

≠ ≠ ≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ +∇⋅ − Φ

∂

= − + ⋅ − + ⋅∑ ∑

v j

v U j υ v v j λ

(92)

68

De acuerdo a la Ec. (79) el último término (lado derecho) de la Ec. (92) se puede expresar

como:

{ } { }

{ }( )

( )

( ) ( )

1 ( )

kkmnq kmnqk k k k k k k

kmnq kmn kmn p kmn kmnq kmn kmn p kmn kmnqkmnq

k k kkmn kmn p kmn kmnq

P tkmnq

P tkmnq

dPP

dPV

εε ρ ρ

ρ

− − + ⋅ =− − + ⋅

=− − + ⋅

∫

∫

v v j λ v v j λ

v v j λ

(93)

Al igual que en las ecuaciones de masa promediadas en volumen para la fase y la interfase,

a la Ec. (92) se le aplica: 1) la Ec. (93), 2) el teorema de producto entre dos variables

locales instantáneas definido por la Ec. (54) y 3) se desprecian todos los términos que

contienen variaciones espaciales de la densidad alrededor de su valor promedio. Con esto,

se obtiene la ecuación de conservación de masa promediada en la línea de contacto para la

fase k:

{ }

{ }

( )

( )

1( )(

1 ( )

k mnk kk mn k mn k mnk mn k mn k k k k k

k mn k mn k mn k mn k mn

Nk mnk k k k kk mn k mn k m k m k mn k m k mn

kmnk m n

Pk k kk mn k mn p k mn k mn q

kmnqk m n q

L tk mn

P tk mn q

V

t

dL

dPV

ρ

ε ρε ρ ε

ε

ρ

≠ ≠

≠ ≠ ≠

− + ⋅

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∂

− Φ =

− − + ⋅

∫∑

∑ ∫

v U j υ

v j

v v j λ

(94)

Si en la Ec. (94) se considera k kkmn kmnsε φ= , donde la saturación de la fase k en la línea de

contacto kmn se define como: k

k kmnkmn

m

LsV

= , y la porosidad: mVV

φ = , se tiene:

Inércia Flux difusivode masa Acumulación

k mnk kk mn k mn k mnk mn k mn k k k k k

k mn k mn k mn k mn k mn

ss s

tφ ρ

φ ρ φ∂

+ ∇⋅ + ∇ ⋅∂

v j

69

{ }( )Generación de masa

Transferencia de masa y flux difusivo de masa en la línea de contacto

1( )(

1 ( )

Nk mnk k k k kk mn k mn k m k m k mn k m k mn

kmnk m n

k kk mn k mn p

L tk mnV

s dL

V

ρφ

ρ

≠ ≠

− + ⋅− Φ =

− −

∫∑ v U j υ

v v{ }( )

Transferencia de masa y flux difusivo de masa en el punto de contacto

Pkk mn k mn q

kmnqk m n q

P tk mn q

dP≠ ≠ ≠

+ ⋅∑ ∫ j λ

(95)

Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (95) para cada una de estas fases al

tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e

incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y

generación de masa entre l1 con g) son:

Para l1:

1 1 1 11 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 1 1 2 1 21 11 1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

l l l ll l sl l g l gl l sll l g l gl l l s l sll l l l

l l g l gl l l s l sl

l ll gs l sg l l g l l gl gs l sgl l l l l l

l gs l sg l l g l l g l l g l gl

s s s st t t t

s ss s

t t

φ φ φ φρ ρ ρ ρ

φ φρ ρ φ ρ φ ρ

∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ + +∇⋅ +∇⋅∂ ∂

v 1 21

1 2

1 2 1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1

1 2 1 2 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2

1 2

l glll gl

l gl l sl l sl l sg l sgl l l l l l ll gl l sl l sl l sl l sg l sg l sg

l l s l l s l gs l gs l l gl l l l l l l ll l s l l s l l s l gs l gs l gs l l g l l g

l l

s s

s s s

s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ φ

+ ∇⋅ +∇⋅

+∇⋅ +∇⋅ +∇⋅

+∇⋅

v v v

v v j

{ }

1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

1 2 1 2 11 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

1 ( )

l l s l gl l gs l sgl l l l l l l ls l l s l gl l gl l gs l gs l sg l sg

l sl l l g l sgl l l l l ll sl l sl l l g l l g l sg l sg

l l ll l l l l l g l l l l g

Ll

s s s

s s s

dLV

φ φ φ φ

φ φ φ

ρ

+∇⋅ +∇⋅ +∇⋅

+∇⋅ − Φ − Φ

= − + ⋅

j j j j

j

v U j υ { }

{ } { }

1 1 1

1 1 1 1 1

2 1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 ( )

1 1( ) ( )

l l ll s l s l sg l s l sg

Ll g l sg

l l l l l ll sl l sl p l sl l sl g l l s l l s p l l s l l sg

P Pl sl g l l sg

dLV

dP dPV V

ρ

ρ ρ

+ − + ⋅

− − + ⋅ − − + ⋅

∫ ∫

∫ ∫

v U j υ

v v j λ v v j λ (96)

Para l2:

2 2 2 22 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 22 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2

2 22 12 1 2 2 12 1 22 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1

l l l ll l g l l s l s l l s gl l g l l s l s l l s gl l l l

l l g l l s l s l l s g

l ll l gl g l l g s l l gl g l l g sl l l l l

l g l l g s l l g l l g l l g

s s s st t t t

s ss

t t

φ φ φ φρ ρ ρ ρ

φ φρ ρ φ ρ

∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ + ∇⋅∂ ∂

v

70

2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 12 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

l l s l l s l s l l s l l s g l s gl l l l l l l l ll l s l l s l l s l s l l s l l s l l sg l sg l sg

l g l l g ll g s l g sl l l l l l l ll gs l gs l gs l gl l gl l gl l l g l l g

s s s

s s s

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ φ

+ ∇⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ +∇ ⋅

v v v

v v j

{ }

2 1

2 1 2 2 12 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 2 2 1 2 1

2 2 12 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2 2

2 2 2

1 ( )

1 ( )

l l g

l l s l s g l s ll l l l l ll l s l l s l s g l s g l s l l s l

l g s l g ll l l l l l ll g s l g s l g l l g l l l l l l l g l l l l g

Ll l g

l ll s l s l sg l

s s s

s s dLV

V

φ φ φ

φ φ ρ

ρ

+∇⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅ = − + ⋅

+ − +

∫

j j j

j j v U j υ

v U j{ } { }

{ }

2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

1 ( )

1 ( )

l l l ls l sg l l s l l s p l l s l l s g

L Pl s g l l s g

l l ll s l l s l p l s l l s l g

Pl s l g

dL dPV

dPV

ρ

ρ

⋅ − − + ⋅

− − + ⋅

∫ ∫

∫

υ v v j λ

v v j λ

(97)

Para g:

2 11 2 1 2

2 1 2 11 2 1 2 1 1 2 2

1 2

1 2 1 21 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1

1 1

1 1

g l lg l l g l s g l sg gg g g g g gg l l g l lg l l g l l g l s g l s g l s g l s

g sl g slg g g gg l l g l lg sl g sl g s l g sl g g g g

g l l g l l g l l g sl

g sl g s lg gg sl g s l

ss s st t t t

s ss s

t ts

φ ρφ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρφ ρ φ

ρ

∂∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ + + ∇ ⋅ +∇ ⋅∂ ∂

+∇⋅

v

v2 12 1 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

1 2 2 1

1 1 2 1 2 1 2

g l lg l l g sl g l sg g g g g gg l l g l l g l l g s l g s l g l s

g l s g l s g l s g l s g l lg g g g g g g gg l s g l s g l s g l s g l s g l s g l l g l l

g l l g l lg g g g gg l s g l s g l l g l l g l s g

s

s s s

s s s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ φ

φ φ φ

+∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅

v v

v v j

j j j

{ } { }

{ }

2 1

2 1 1

2 2 1 1

2 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1 2 1 1 2 1 1

1 2 1

2 2 2 1 2

1 1( ) ( )

1 ( )

g l s g s lg g gl s g sl g s l

g s l g l l g slg g g g g gg sl g sl g l l g l l g s l g sl

g g g g g gg l g l g l l g l g l l g s g s g s l g s g sl

L Lg l l g sl

g g ggl g l g l l g l g

s

s s s

dL dLV V

V

φ

φ φ φ

ρ ρ

ρ

+∇ ⋅

+∇ ⋅ − Φ − Φ

= − + ⋅ + − + ⋅

+ − + ⋅

∫ ∫

j

j

v U j υ v U j υ

v U j υ { }

{ } { }

{ }

2 1 2 2

2 1 2

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2 1 2

2 1

1 ( )

1 1( ) ( )

1 1( ) (

g g gl l g s g s g s l g s g s l

L Lg l l g s l

g g g g g gg l s g l s p g l s g l s l g sl g sl p g sl g sl l

P Pg l sl g sl l

g g g ggl s gl s p gl s gl sl g s l g s l

Pg l s l

dL dLV

dP dPV V

dPV V

ρ

ρ ρ

ρ ρ

+ − + ⋅

− − + ⋅ − − + ⋅

− − + ⋅ −

∫ ∫

∫ ∫

∫

v U j υ

v v j λ v v j λ

v v j λ v{ }2 2 2 1

2 1

)g gp g sl g s l l

Pg s l l

dP− + ⋅∫ v j λ

(98)

2. 5. 4 Ecuación de masa promediada en el punto de contacto

En esta sección se presentan las ecuaciones de balance en el punto de contacto para cada

una de las fases involucradas. Es importante mencionar que para estas ecuaciones se toma

71

en cuenta la contribución de las fases hacia las interfases formando líneas de contacto que

convergen en el punto de contacto. La Ec. (6) para la fase k se puede escribir como:

{ }0 ( )P

k k kkmn kmn p kmn kmnq

kmnqk m n q

ρ≠ ≠ ≠

= − + ⋅∑ v v j λ (99)

Aplicando la Ec. (34) y Ec. (43) a la Ec. (99) queda expresada en términos de kkmnqε .

{ }0 ( )P kmnqk k k k

kmnq kmn kmn p kmn kmnqkmnq

k m n q

ε ρ≠ ≠ ≠

= − + ⋅∑ v v j λ (100)

Para la Ec. (100), debido a la condición de no deslizamiento 0kk ms k mns p k mn s⋅ = ⋅ =v λ v λ .

La Ec. (100) define el balance de masa en el punto de contacto, para la fase k, donde la

transferencia de masa y el flux difusivo de masa fueron estructurados mediante la

consideración de proceso tipo cascada, partiendo de las fases hacia las interfases, de las

interfases hacia las líneas de contacto y finalmente de las líneas de contacto hacia el punto

de contacto.

Expresando la Ec. (100) de acuerdo a la Ec. (93):

{ }( )

Transferencia de masa y flux difusivo de masa en el punto de contacto

10 ( )P

k k kkmn kmn p kmn kmnq

kmnq P tkmnqk m n q

dPV

ρ≠ ≠ ≠

= − + ⋅∑ ∫ v v j λ (101)

Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (101) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles,

transferencia de masa interracial entre l1 con g l2 con g) son:

Para l1:

{ } { }1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 10 ( ) ( )l l l l l ll l s l l s p l l s l l sg l sl l sl p l sl l sl g

P Pl l sg l sl g

dP dPV V

ρ ρ= − + ⋅ + − + ⋅∫ ∫v v j λ v v j λ (102)

Para l2:

72

{ } { }2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

1 10 ( ) ( )l l l l l ll l s l l s p l l s l l g l sl l sl p l sl l sl g

P Pl l l sl g

s

sg

dP dPV V

ρ ρ= − + ⋅ + − + ⋅∫ ∫v v j λ v v j λ (103)

Fase g:

{ } { }

{ } { }

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

2 1 2 1

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

1 2 1 2

1 10 ( ) ( )

1 1( ) ( )

g g g g g ggl s gl s p gl s gl sl gsl gsl p gsl gsl l

P Pgl sl gsl l

g g g g g ggl s gl s p gl s gl l gsl gsl p gsl gsl l

P Pgl l gsl l

s

s

dP dPV V

dP dPV V

ρ ρ

ρ ρ

= − + ⋅ + − + ⋅

+ − + ⋅ + − + ⋅

∫ ∫

∫ ∫

v v j λ v v j λ

v v j λ v v j λ

(104)

2. 6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Se desarrollaron un conjunto de ecuaciones de masa promediadas en volumen para flujo

multifásico en un medio poroso. Las ecuaciones, permiten el conocimiento del transporte

de masa en las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.

Ecuaciones similares fueron obtenidas por Soria y De lasa (1991) y Gray y Hassanizadeh

(1998). Sin embargo en el trabajo hecho por Soria y De lasa (1991), específicamente en el

balance para la línea de contacto solo se tomó en cuenta el término de transferencia de

masa por lo que el balance en el punto de contacto fue despreciado. Por su parte, Gray y

Hassanizadeh (1998), desarrollaron la ecuación de conservación general de masa en su

forma integral para la fase, interfase, línea y punto de contacto. Sin embargo con la

finalidad de resolver la ecuación de masa a escala macroscópica los autores no tomaron en

cuenta el flux difusivo ni la generación de masa.

A diferencia de lo antes mencionado, en el presente trabajo, se tomaron en cuenta todos los

términos (acumulación, inerciales, flux difusivo, generación de masa y transferencia de

masa) para la ecuación de masa promediada en la fase, interfase y línea de contacto.

Además se planteó el balance de masa para el punto de contacto (ver detalles en Tabla 2.1).

De forma resumida la Tabla 2.1 muestra la comparación de las ecuaciones de masa

obtenidas contra los trabajos presentados por Soria y De lasa (1991) y Gray y

Hassanizadeh (1998).

73

Tabla 2.1 Comparación de las ecuaciones de masa obtenidas contra otros trabajos. Autor Eq.

Soria y De Lasa, (1991) Gray y Hassanizadeh, (1998) En el presente trabajo

Fase

k

{ }N

A Aε ρ ( - )+k k

k k kk k k k k

k kk k k k k

kk kk A k m k k m k m

k m

t

r

ε ρ ε ρ

ε ρ ε

ε

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅ +∇⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− = − ⋅∑

v

v j

v w j n

( )

k k kk k k k k

N k mkk m k k k m k m

k m

tε ρ ε ρ

ε ρ

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

= − ⋅∑

v

v w n

{ }( )k N kmk k k kk k k

k k k k k k k km k k km k kmkmk m

tε ρ

ε ρ ε ε ε ρ≠

∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =− − + ⋅

∂ ∑v j v w j n

Inte

rfas

e k

m

{ }

{ }

( )

( )

( )

km km kmk k k k kkm km km km km km km

km kmk k k k k kkm km km km km km km

N kmkmk k kkm km km k k km k km

km

Q kmnk k k kkmn km km kmn km kmn

kmn

wt

w

R

ε ρ ε ρ

ε ρ ε

ε ε ρ

ε ρ

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅ + +∇⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− = − − ⋅

− − − ⋅

∑

∑

n v

n v j

v w j n

v U j υ

( )

( )

km km kmk k k k kkm km km km km

N kmkkm k m km km

km

Q kmnk k kkmn km km kmn kmn

kmn

tε ρ ε ρ

ε ρ

ε ρ

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

= − − ⋅

+ − ⋅

∑

∑

v

v w n

v U υ

( ){ } { }

( )( )

1( )

1 ( )

kmk kk m k m km kmk m k m k k k k k k k

k m k m k m k m k m k m k m k m k m

N Nk k k

k k k m k k m k m k m k mn k m k mnkm kmnk m k m n

L tA t k mnk mV

wt

dA dLV

ρ

ε ρε ρ ε ε

ρ≠ ≠ ≠

− + ⋅

∂+ ∇ ⋅ + + ∇ ⋅ − Φ

∂

= − + ⋅ − ∫∑ ∑∫ v U j υ

v n j

v w j n

74

Continuación (Tabla 2.1)

Autor Eq.

Soria y De Lasa, (1991) Gray y Hassanizadeh, (1998) En el presente trabajo

Lín

ea d

e co

ntac

to k

mn

{ }0 ( )

Q kmnk k k kkmn km km kmn km kmn

kmn

ε ρ= − − ⋅∑ v U j υ ( )

( )

kmn kmn kmnk k k k kkmn kmn kmn kmn kmn

Q kmnk k kkmn km km kmn kmn

kmn

P kmnqk k kkmnq kmn kmn p kmnq

kmnq

tε ρ ε ρ

ε ρ

ε ρ

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

=− − ⋅

+ − ⋅

∑

∑

v

v U υ

v v λ

{ } { }( ) ( )

1( )

(

1 ( )

kmnk kkmn kmn kmn kmnkmn kmn k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

N Pk k k k k kkm km kmn km kmn kmn kmn p kmn kmnq

kmn kmnqk m n k m n q

L t P tkmn kmnqV

t

dL dPV

ρ

ε ρε ρ ε ε

ρ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

− + ⋅

∂+∇⋅ +∇⋅ − Φ

∂

= − − + ⋅∫∑ ∑ ∫v U j υ

v j

v v j λ

Punt

o de

con

tact

o km

nq

( ) 0P kmnqk k k

kmnq kmn kmn p kmnqkmnq

ε ρ − ⋅ =∑ v v λ

{ }0 ( )P k mnqk k k k

k mnq k mn kmn p kmn k mnqk mnq

k m n q

ε ρ≠ ≠ ≠

= − + ⋅∑ v v j λ

75

2. 7 CONCLUSIONES

Se obtuvo un conjunto de ecuaciones de masa promediadas en volumen para flujo

multifásico de gas (g) y dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio poroso

homogéneo, isotrópico y rígido.

Las ecuaciones de masa fueron promediadas en volumen para cada una de las regiones

coexistentes dentro del volumen de promediado, es decir, para las fases, interfaces, líneas y

puntos de contacto.

En la ecuación de masa para la línea de contacto se consideraron los términos de

acumulación, inerciales, flux difusivo de masa, generación de masa, y transferencia de

masa y flux difusivo interfaciales.

Los términos de transferencia de masa en la interfase, línea y punto de contacto fueron

consideradas como fluxes y se estableció que estos fluían 1) de las fases hacia las

interfaces, 2) de las interfaces hacia las líneas de contacto y 3) de las líneas de contacto

hacia el punto de contacto. Lo anterior permitió obtener, dentro del volumen de

promediado, la interacción completa del flujo multifásico en el medio poroso.

Las ecuaciones de masa promediadas, en cada una de las regiones coexistentes dentro del

volumen de promediado, fueron planteadas tomando en cuenta explícitamente la definición

de medio poroso tal como se muestra en las Ecs. (66), (81), (95) y (101).

76

Capítulo 3

ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

3.1 INTRODUCCIÓN

Los procesos de flujo multifásico a través de medios porosos son de interés para ingenieros

y científicos los cuales reconocen la importancia sobre los procesos de recuperación

mejorada de aceite, hidrología y prevención de contaminantes disueltos en agua, secado a

granel de granos, etc. Con la finalidad de describir los fenómenos que se presentan en

dichos flujos, se han desarrollado ecuaciones de transporte de masa, cantidad de

movimiento y energía.

Con el propósito de comprender la transferencia de cantidad de movimiento en medios

porosos, diversos autores (Hassanizadeh y Gray, 1979b; Marle, 1982; Whitaker,

1986b,1986c; Ni y Beckermann, 1991; Gray y Hassanizadeh, 1998; Bousquet et al., 2002;

Andrew et al., 2003; Nordbotten et al., 2007, 2008) se han enfocado a desarrollar

ecuaciones de cantidad de movimiento tomando en cuenta diferentes parámetros. Por

ejemplo, Marle (1982) desarrolló las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y

energía para flujo multifásico para un medio poroso rígido, fijo e isotrópico. Dichas

ecuaciones fueron obtenidas por convolución con una función de peso. El autor propuso las

ecuaciones de conservación para las fases, interfases y líneas de contacto. Para los balances

en la interfase, consideró que la difusividad, transferencia de masa y conducción de calor

eran despreciables, mientras que en el balance para la línea de contacto no se tomaron en

cuenta propiedades termodinámicas. Como caso particular, obtuvo una expresión de la

ecuación de Darcy para la cual consideró y/o supuso: a) flujo monofásico, b) transferencia

de masa (fluido-sólido) despreciable, c) sin reacción química, d) diferencias de temperatura

77

macroscópicas para el sólido, fluido y la interfase despreciables. El autor encontró que si

consideraba una fase adicional dentro del medio poroso incrementaría la complejidad en la

ecuación de cantidad de movimiento, en especial, en los términos de esfuerzos, ya que

además, de proponer una expresión de esfuerzos interfaciales, se debía proponer una

expresión adicional para los esfuerzos en la línea de contacto que se formaría al trabajar

con flujo bifásico fluyendo en un medio poroso.

Por otro lado, Whitaker (1986b) desarrollo la ecuación de continuidad y cantidad de

movimiento para flujo de Stokes monofásico (fluido-sólido) en un medio poroso rígido.

Para derivar las ecuaciones de conservación, el autor, utilizo el método del promedio

volumétrico y supuso flujo incompresible, términos inerciales y viscosos despreciables.

Las ecuaciones de cerradura fueron resueltas utilizando el problema de valor en la frontera

para una celda unitaria, en la cual, se manejó que el medio poroso se encontraba

uniformemente distribuido. Como resultado se obtuvo la ecuación de Darcy, de la cual, la

permeabilidad fue determinada usando una celda unitaria para un medio poroso

uniformemente distribuido. Como aplicación, el autor resuelve la ecuación de cantidad de

movimiento para un problema de tubo capilar obteniendo la expresión de la ecuación de

Hagen-Poiseuille la cual, para un grupo de tubos capilares con diámetro uniforme,

representa el promedio de fase intrínseco de la velocidad para la ley de Darcy.

En el mismo año, Whitaker (1986c) utilizando el método del promedio volumétrico,

desarrollo la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento para flujo de Stokes

bifásico en un medio poroso. Para dicho trabajo, el autor supuso: 1) líquidos inmiscibles,

2) sólido rígido e isotrópico y 3) línea de contacto estática formada por fluido-fluido-

sólido. La ecuación obtenida resultó ser similar a la obtenida en Whitaker (1986b). Sin

embargo en el trabajo de Whitaker (1986c), en la solución de problema de cerradura,

obtuvo términos adicionales (desviaciones de presiones y velocidades para las fases fluidas

78

así como el término de curvatura media) no reportados en tratamientos tradicionales de

flujo en dos fases. De la ecuación obtenida, el autor concluye que los coeficientes de

viscosidad son de orden uno y que pueden ser significantes en el movimiento del fluido

para fracciones de volumen muy bajas.

Años más tarde, Hassanizadeh y Gray (1990) desarrollaron una teoría termodinámica a

escala macroscópica que describe el comportamiento del flujo en dos fases en un medio

poroso. Para ello, los autores partieron de las ecuaciones de balance de masa, cantidad de

movimiento y energía macroscópicas para cada fase e interfase previamente propuestas en

los trabajos de Hassanizadeh y Gray (1979a,1979b, 1991) y de Gray y Hassanizadeh

(1989). Para describir el proceso termodinámico para flujo multifásico, los autores

establecieron dos conjuntos de ecuaciones de conservación macroscópicos en términos de:

1) propiedades promedio en fase y 2) propiedades promedio interfaciales. Por otro lado,

con la finalidad de tener las ecuaciones de conservación de forma promediada

intrínsecamente los autores definieron: 1) las fracciones en volumen para las fases y 2) las

fracciones en área para las interfases. Ambos conjuntos de ecuaciones, fueron acoplados.

Durante el acoplamiento, los autores realizaron, consideraciones y suposiciones específicas

tales como:1) líneas de contacto sin propiedades termodinámicas, 2) velocidades relativas

entre las fases e interfases fluidas iguales a cero (por lo que las velocidades relativas de las

fases y de las interfases con respecto al sólido fueron las utilizadas) y 3) equilibrio

termodinámico. Las ecuaciones de cerradura fueron obtenidas basándose en el método de

Colleman y Noll (1963). Los resultados obtenidos fueron: a) una forma extendida de la

Ley de Darcy para flujo multifásico y b) relaciones de la energía interna, energía libre de

Helmholtz, energía libre de Gibbs, entropía, presión, temperatura, tensión interfacial y

saturación para las fases a nivel macroscópico.

79

Gray y Hassanizadeh (1991b) desarrollaron las ecuaciones de balance de masa, cantidad de

movimiento y energía para flujo trifásico (aire-agua-sólido) en un medio poroso no

saturado en estado transitorio. Dichas ecuaciones fueron basadas en las ecuaciones de

balance microscópicas promediadas en volumen para cada fase, interfase y línea de

contacto tal como lo presentaron Gray y Hassanizadeh (1989) y Hassanizadeh y Gray

(1990). En el trabajo de Gray y Hassanizadeh (1991b) se consideró que no existía la

transferencia de masa interfacial y que la ecuación de balance para la línea de contacto

formada por las fases aire, agua y el sólido no poseía propiedades termodinámicas por si

misma y por lo tanto la ecuación de balance en la línea era rigurosamente su propia

ecuación de salto, tal como lo propusieron Deemer y Slattery (1978) y Soria y De lasa,

(1991). Para la solución de las ecuaciones macroscópicas, se definieron ecuaciones

constitutivas que permitieron cerrar el sistema de ecuaciones. El objetivo de dicho trabajo

consistió principalmente en estudiar la ecuación de balance de cantidad de movimiento

para el agua durante la condición de medio poroso no saturado. El resultado fue la

obtención de la ecuación de cantidad de movimiento bajo tres diferentes condiciones: 1)

agua fluyendo lentamente en el medio poroso 2) mojabilidad total del agua en el sólido y

3) porosidad constante. Específicamente en el caso dos, los autores concluyeron que la

mojabilidad relativa de las fases agua-aire era una variable importante desde el punto de

vista termodinámico debido a que esta contribuía a la histéresis natural de la curva de

presión capilar contra saturación.

Por otro lado, Bousquet-Melou et al. (2002) resuelve la ecuación de masa y cantidad de

movimiento (Ecuación de Navier-Stokes), para flujo (fluido-sólido) a través de una

columna de solidificación, utilizando el método de promedio volumétrico. Para el

desarrollo de las ecuaciones se tomó en cuenta flujo incompresible y estado transitorio.

Como condiciones de frontera, se planteo que existía transferencia de masa y cantidad de

80

movimiento interfacial además de no-deslizamiento entre las fases fluido-sólido. La

ecuación de cerrado para la ecuación de cantidad de movimiento macroscópica fue

propuesta estableciendo que: 1) los fenómenos inerciales serían representados por la

corrección de Forchheimer cuando las porosidades fueran pequeñas o moderadas y 2) los

gradientes de porosidad serían representados por la segunda corrección de Brinkman. Se

concluyó que las estructuras dendríticas, con moderadas heterogeneidades y cambio de

fase, influían fuertemente en la descripción de propiedades efectivas (tensor de

permeabilidad e inerciales).

Por su parte, Andrew et al. (2003) utilizaron las ecuaciones de conservación de masa de

especies químicas y cantidad de movimiento para el transporte de gas incompresible en un

medio poroso catalítico. Para derivar las ecuaciones de conservación se utilizo el método

del promedio volumétrico. En este trabajo, los autores consideraron que las variaciones de

la difusividad y el término de corrección de Brinkman (esfuerzos viscosos) podían ser

despreciables dentro del volumen de promediado. Las ecuaciones de cerradura se

determinaron con el problema del valor en la frontera. Como resultado los autores

obtuvieron, en la ecuación de cantidad de movimiento, dos nuevos términos: 1) la

velocidad finita de la fase gas en la interfase con el sólido (advección) y 2) la contribución

de la adsorción/desorción en la interfase. El primero de estos surgió debido a la

consideración de la velocidad de deslizamiento en la frontera a escala micro y el segundo

debido al acoplamiento de la cerradura en la ecuación de masa. Con esto los autores

concluyeron que el primer término tenía una forma funcional diferente que la dispersión

mecánica convencional, por lo que, se consideró importante en situaciones donde la

dispersión mecánica era despresiable mientras que para el segundo término (sobre la

ecuación de masa) podía ser muy significativo para el término de flux advectivo

tradicional.

81

Nordbotten et al. (2007) se enfocaron a promediar en volumen la ecuación microscópica de

masa y cantidad de movimiento para el caso particular en donde existía el gradiente de la

fracción volumen. Algunas suposiciones hechas en este trabajo fueron: 1) flujo

monofásico, 2) medio poroso rígido y fijo, 3) densidad constante, y 4) velocidades de flujo

pequeñas. Como resultado los autores obtuvieron una nueva correlación polinomial como

definición de promedio intrínseco y con ayuda de Elemento Finito demostraron la

restricción de considerar como constante a la fracción volumen. Se concluyo que la

correlación polinomial satisfacía a la ecuación de Darcy y que la consideración de fracción

volumen constante podía ser removida por variaciones lineales de fracción volumen.

Un año más tarde, Nordbotten et al. (2008) partiendo de la ecuación de Stokes, para flujo

bifásico (líquido-gas) en un medio poroso y utilizando el método de promedio volumétrico

obtuvieron una expresión diferente de la interpretación usual de la ecuación de Darcy.

Específicamente, la diferencia mas notable obtenida fue en el término de presión

macroscópica, el cual, contraria a derivaciones previas, no era igual a la presión promedio

de fase intrínseca ya que consideraron el promedio de fase intrínseco sólo cuando las

heterogeneidades de las propiedades del material o distribución del fluido no se conocían.

Algunas de las suposiciones tomadas por los autores fueron: 1) fluido incompresible e

inmiscible, 2) términos inerciales despreciables, 3) condición de no deslizamiento, 4)

velocidades interfaciales entre las fases fluidas iguales y 5) esfuerzos normales, definidos

como, curvatura media formada entre las interfaces. Con la finalidad de comparar la

definición obtenida de la presión macroscópica de primer orden y la presión promedio de

fase intrínseca común, se resolvieron dos casos particulares: 1) para flujo bifásico en un

tubo capilar en una dimensión y 2) la dinámica del flujo dentro de un modelo de arreglo de

poros en tres dimensiones. Los resultados obtenidos en la primera aplicación, mostraron

que la presión capilar podía llegar a ser negativa tomando en cuenta ciertos regimenes de

82

flujo, dependiendo del signo y de la magnitud de la derivada de tiempo de la saturación,

mientras que para la segunda aplicación, los autores concluyeron, que las curvas de

permeabilidad relativa, usando la definición de promedio de fase intrínseco, excedían de la

unidad, mientras que, lo contrario se presentaba al utilizar la definición de la presión

macroscópica de primer orden. Por otro lado, los autores concluyeron que en las curvas de

presión capilar contra saturación, la diferencia de la definición de presión promedio de fase

intrínseco era consistentemente positiva, mientras que la diferencia de la presión

macroscópica de primer orden variaba por arriba o por a bajo de cero.

Como se observa existe poca literatura respecto al estudio de flujo multifásico (tres fases) a

través de un medio poroso que tome en cuenta los balances de cantidad de movimiento,

para cada unas de las regiones existentes dentro del volumen de promediado, es decir, para

las fases, interfases, líneas y punto de contacto (Ver Fig. 1.3).

Por lo anterior, en esta investigación, se derivan las ecuaciones de balance de cantidad de

movimiento para cada una de las regiones antes mencionadas, tomando en cuenta las

propiedades termodinámicas en la interfase y línea de contacto.

3.2 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN LOCAL

El presente estudio tiene como punto de partida las ecuaciones locales para cantidad de

movimiento para las fases, interfases, líneas y punto de contacto. Aplicando el método del

promedio volumétrico se obtendrán las ecuaciones de cantidad de movimiento

promediadas para cada una de las regiones mencionadas.

3. 2. 1 Ecuación para la fase

La ecuación de cantidad de movimiento para la fase es la ecuación de Navier-Stokes,

misma que ha sido presentada por diversos autores (Ochoa-Tapia y Whitaker, 1995a;

83

Whitaker, 1986b y 1996; Bousquet-Melou et al., 2002; Andrew et al., 2003; Nordbotten et

al., 2007; Espinosa-Paredes et al., 2007), y se define como:

2( ) ( ) 0k kk k k k k k k kp

tρ ρ µ ρ∂

+∇⋅ + ∇ − ∇ − =∂

v v v v g , 1 2, ,k l l g= (105)

donde ρ es la densidad de masa (por unidad de volumen), v es la velocidad, p es la

presión, µ es viscosidad, g es el vector de aceleración de la gravedad y t es la coordenada

temporal. El subíndice k denota “de la fase k”.

3. 2. 2 Ecuación para la interfase

La ecuación de balance local de cantidad de movimiento para una interfase km fue

establecida por Deemer y Slatery (1978), Soria y De lasa (1991), Du plessis (1997), y Gray

y Hassanizadeh (1998). La ecuación puede ser escrita como:

( )

{ }2

( ) 2 ( )

( )

k kk m k m k k k k k k

k m k m k m k m k m k m k m k m k m

k k k k kk m k m k m k m k k k k m km k k k m

N

k mk m

H pt

p

ρρ ρ

µ ρ ρ µ

≠

∂+∇ ⋅ − ⋅ = −∇

∂

+ ∇ − + − + − ∇ ⋅∑

vv v v w n

v g v v w I v n (106)

1 2 1 2; , , , ,...k m km l l g l g gsl≠ =

donde H es curvatura media, p es la desviación espacial de la presión, I es el tensor

unitario, v es la desviación espacial de la velocidad, wkm es la velocidad desplazamiento

de la interfase, kmn es el vector normal unitario dirigido de la fase “k” a la fase “m”,

N

kmk m≠

∑ es la sumatoria de todas las interfases es las que interviene la fase k y t es la

coordenada temporal. El superíndice km indica “en la interfase km”.

84

3. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto

Una ecuación general de balance para la línea de contacto kmn fue propuesta por Slatery

(1990), Soria y De lasa (1991), Hassanizadeh y Gray (1997), Gray y Hassanizadeh (1998),

y Gray (1999). La ecuación se puede escribir como:

{ }

1 2 1 1 2 2

2

, , , ,..

( ) ( )

( )

k kkmn kmn k k k k k k k k

kmn kmn kmn km n km n km n kmn kmn

Qk k k k k kkm km km kmn k mn k m k m kmn

kmnk m n

g gs s gskmn l l l l l l

pt

p

ρρ µ ρ

ρ µ≠ ≠

=

∂+ ∇⋅ = −∇ + ∇ −

∂

+ − + − ∇ ⋅∑

vv v v g

v v U I v υ (107)

donde, kmnυ es el vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km

apuntando hacia fuera de dicha interfase, Ukmn es la velocidad de la línea de contacto,

Q

kmnk m n≠ ≠

∑ es la sumatoria de todas la líneas de contacto. El subíndice kmn indica “en la línea de

contacto kmn”.

3. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto

A diferencia de los balances de cantidad de movimiento en el volumen, interfase y línea de

contacto, la ecuación en el punto de contacto no tiene propiedades termodinámicas debido

a que los puntos de contacto son los lugares geométricos de la convergencia de las líneas

de contacto. Por lo que, su ecuación de cantidad de movimiento puede escribirse como:

{ }

1 2 1 2 2 1 2

0 ( )

, , , ,....

Pk k k k k kk mn k mn k mn p k mn q k mn k mn k mn q

kmnqk m n q

p

kmn l l g l l s l gl l gs

ρ µ≠ ≠ ≠

= − + − ∇ ⋅

=

∑ v v v I v λ (108)

donde pv , es la velocidad del punto de contacto, kmnqλ es el vector unitario tangente a la

línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto kmnq (k≠m≠n≠q). El subíndice

kmnq indica “en el punto de contacto kmnq”.

85

La velocidad de las diferentes líneas en el punto de contacto son iguales por lo que las

ecuaciones, de cada una de las líneas en el punto de contacto, son totalmente equivalentes.

Lo anterior permite expresar la ecuación de cantidad de movimiento en el punto de

contacto tomando en cuenta solo una línea de contacto.

3.3 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROMEDIADA

Siguiendo el mismo procedimiento de promediado de la ecuación masa, se realizará el

promediado de las ecuaciones locales de cantidad de movimiento [Ecs. (105)-(108)] tal

como se presenta a continuación.

3. 3. 1 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el volumen

En este tema, se obtendrán ecuaciones de cantidad de movimiento del tipo promedio en

volumen. Aplicando el operador promedio en volumen dado por la Ec. (9) a la Ec.(105) se

tiene:

2( ) 0k kk k k k k k k kp

tρ ρ µ ρ∂

+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ − =∂

v v v v g (109)

Aplicando los teoremas dados por las Ecs. (23)-(27) en la Ec.(109) resulta:

( )

1

( )

( ) ( ) ( )

1 ( )

1 1 1

Nk k

k k k k k k k k k k k kmkmk m

N N N

k km k km k k kmkm km kmk m k m k m

kmA tkm

lA t A t A tkm km km

p dAt V

p dA dA dAV V V

ρρ µ ρ ρ

µ µ

≠

≠ ≠ ≠

∂+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅ ∇ − = − − ⋅

∂

⎞⎛⎟⎜− ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

vv v v g v v w n

n v n v n

(110)

Para la Ec. (110) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento por lo que

0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n .

86

Por otra parte, una de las variables importantes a determinar es la fracción de volumen kε ,

por lo tanto, al igual que en la ecuación de masa, es conveniente representar la Ec. (110) en

términos de kε y kkmε .

Empezando por el lado izquierdo de la Ec. (110) a la cual se le aplican las definiciones de

las Ecs. (11), (54) y (55) se obtiene:

( )

( ) ( )( ) ( )

1

2 2

( )

( )

1 ( )

1

k kk k kk k kk k k

k k k k k k k kk k k k

kk k k k k kk k k

k k k k k k k k k k k

Nk k k

k k k kmk k k k k k k kkmk m

N

k kmkmk m

kmA tkm

lA tkm

pt

t

dAV

p dAV

ε ρε µ ε µ εε ρ

ε ρε ρ ε ρ ε ρ

ρε ρ ε ρ

µ

≠

≠

∂+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ − ∇

∂

∂− + + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∂

+∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − − ⋅

− ⋅ + ∇

∑ ∫

∑ ∫

vv vv v

vg v v v v

v v w nv v v v

n( ) ( )

1 1N N

k km k k kmkm kmk m k m

A t A tkm km

dA dAV V

µ≠ ≠

⎞⎛⎟⎜⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫v n v n

(111)

Para el lado derecho de la Ec. (110), específicamente para el término de presión, se aplica

la descomposición espacial propuesta por Banerjee y Chan (1980) dada por

k k kk k km kmp p p p= + ∆ + (112)

donde la diferencia de promedios de la presión está definida por

kk kkm km kp p p∆ = − (113)

En la Ec. (113), el primer término es el promedio en área de la presión y el segundo

término es el promedio intrínseco de la presión de la fase k. Las desviaciones espaciales de

la presión en la interfase km son:

k kkm k kmp p p= − (114)

Esta descomposición tiene la ventaja de distinguir la contribución de los efectos de

cantidad de movimiento interfacial involucrados.

87

Entonces, al usar la Ec. (112) en el segundo término de lado derecho de la Ec. (111) se

tiene:

( )( ) ( )

( )

11 1

1

NN Nk kkmk km k km km

kmkm kmk mk m k m

Nkkm km

kmk m

A tkmA t A tkm km

A tkm

dAp dA p p dAVV V

p dAV

≠≠ ≠

≠

⎞⎛⎞⎛⎟⎜⎟⎜⋅ = + ∆ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ ⋅

∑ ∫∑ ∑∫ ∫

∑ ∫

nn n

n

(115)

Aplicando la definición de fracción volumen, dada por la Ec. (12), al primer y segundo

término (lado derecho) de la Ec. (115) se tiene una nueva forma de redefinir la Ec. (115)

quedando como:

( ) ( )

1 1N Nk k kk km k k km k km km

km kmk m k m

A t A tkm km

p dA p p p dAV V

ε ε≠ ≠

⋅ = − ∇ − ∆ ∇ + ⋅∑ ∑∫ ∫n n (116)

Por otro lado, para los términos de viscosidad (tercer y cuarto término del lado derecho) de

la Ec. (111) se usa la definición de Gray (1975) quedando:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 1

1 1 1

NN N kkmkk k km k k km k

kmkm km k mk m k m

N N Nkk km kmk k k kmkkm km kmk m k m k m

A tA t A t kmkm km

A t A t A tkm km km

dAdA dA VV V

dA dA dAV V V

µ µ µ

µ µ

≠≠ ≠

≠ ≠ ≠

⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ = ∇ ⋅⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠

⎞ ⎞⎛+ ⋅ ⎟ ⎟⎜+ ∇ + ∇ ⋅

⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎠

∑ ∫∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫ ∑ ∫

nvv n v n

v n n v nv

(117)

Usando la definición de fracción de volumen [Ec. (12)] sobre el primer y segundo término

del lado derecho de la Ec. (117) se tiene:

( )( )( )

( ) ( )

1 1N Nk kkkm kmkk k k k kkkm km

k m k m

k

k k k

A t A tkm km

dA dAV Vµ µ µ ε

µ ε

≠ ≠

⎞ ⎞⎛ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜∇ ⋅ + ∇ = ∇ ⋅ −∇

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠

+ ∇ ⋅ −∇

∑ ∑∫ ∫n nv vv

v (118)

88

donde:

( )( ) ( ) ( )2k k k k k

k k k k k k k k k k k k k k kµ ε µ ε µ ε µ ε µ ε∇⋅ −∇ + ∇ ⋅ −∇ = − ∇ − ∇ ⋅∇ − ∇ ⋅ ∇v v v v v

(119)

Sustituyendo la Ec. (119) en la Ec. (117) se tiene la expresión promediada en volumen de

los términos de viscosidad

( )

2

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

N N k k

k k km k k km k k k k k kkm kmk m k m

N Nkk kmk k k k k k km

km kmk m k m

A t A tkm km

A t A tkm km

dA dAV V

dA dAV V

µ µ µ ε µ ε

µ ε µ µ

≠ ≠

≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ = − ∇ − ∇ ⋅∇⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠⎞⎛

⋅ ⎟⎜− ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑∫ ∫

∑ ∫ ∑ ∫

v n v n v v

v nv v n

(120)

Sustituyendo las Ecs. (116) y (120) y despreciando los términos de desviaciones espaciales

de la densidad en la Ec. (111) la ecuación de cantidad de movimiento queda como:

( )( )

2

( )

( )( )

1 ( ) 2

11 1

k kk k kk k kk k k

k k k k k k k kk k k k

N kk k kk k k km km k k k kk k k k

kmk m

NNk

k kmkm km k k kkmkm k mk m

kmA tkm

A tA t Akmkm km

pt

dA pV

dAp dA VV V

ε ρε µ ε ε ρε ρ

ρ ε µ εε ρ

µ µ

≠

≠≠

∂+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ −

∂

+∇ ⋅ = − − ⋅ + ∆ ∇ − ∇ ⋅∇

⎞⎛⋅ ⎟⎜− ⋅ + ∇ ⋅ + ∇

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

vv gv v

v v w n vv v

v nn v( )

N

kmkmk m

t

dA≠

⋅∑ ∫ n

(121)

donde

k k k

k k k k k kp p pε ε ε∇ = ∇ + ∇ (122)

Dado que la aceleración de la gravedad es constante se denotara a esta, en la Ec. (121),

como gk.

El tercer término (lado derecho) de la Ec. (121) se define de forma similar a la regla de

Leibnitz, para un Laplaciano, entonces:

89

2 2 2

2 2 2 2

2k k k k

k k k k k k k k k k k k

k k k k

k k k k k k k k k k k k

µ ε µ ε µ ε µ ε

µ ε µ ε µ ε µ ε

− ∇ ⋅∇ = − ∇ + ∇ + ∇

= − ∇ − ∇ + ∇ + ∇

v v v v

v v v v(123)

Sustituyendo la Ec. (123) y tomando en cuenta que 0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n en la Ec. (121), se

obtiene la ecuación de cantidad de movimiento promediada en volumen para la fase k en

términos de kε y kkmε , la cual, con la finalidad de manejar la misma nomenclatura que la

ecuación de masa promediada en volumen, se expresa de la siguiente manera:

( ) ( )2 ( )

( )

k kkk k k k kk k k

k kk k k k k k k k

Nk k kk k k k k k km k

kmk m

N N

k kkm kmk m k m

kmkkm k k k km km

km kmk k kkm km km k km k km

pt

p

p

ε ρεε ρ ε ρ

µ ε ε ρ ε ρ ε

ε µ µ ε

≠

≠ ≠

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇

∂

− ∇ − = − − ⋅ + ∆ ∇

⎞⎛⎟⎜− − + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ ∑

vv v v v

v g v v w n

v n v n

(124)

donde el primer, tercer y cuarto término (del lado derecho) de la Ec. (124) se definen

también como

( )

1( ) ( )kmk

km k k k km km k k k km kmA tkm

dAV

ε ρ ρ− − ⋅ = − − ⋅∫v v w n v v w n (125)

( )

1( ) ( )k k

kmk k kkm km km km k k km

A tkm

p p dAV

ε µ µ− + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅∫v n v n (126)

( )

1NN

k kmkkmkm k mk m

Akm

kmkk km k km

tdA

Vµ ε µ≠≠

⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜ ⋅ ⎟⎜∇ ⋅ ⋅ = ∇ ⋅⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∫∑ v nv n (127)

La Ec. (124), se puede simplificar, tomando en cuenta los ordenes de magnitud definidos

para las fuerzas de presión interfacial y dispersión interfacial (Bousquet-Melou et al.,

2002) tal como se muestra a continuación:

1

11

1 1 1 1 1

11

2( )

1 ( ) og l l g

lll

l l lA tl g l

p dAV

µ ε⎞⎛⎟⎜− + ∇ ⋅ =⎟⎜

⎝ ⎠∫

vv n (128)

90

1 1

1 1

1 1 1 2 1 1 1 1

1 2

2( )

1 o ;ol

l ll l

l l l l l l lA tl l

dAV L L Lε ε

µ ε µ ε µ

⎞⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜∇ ⋅ ⋅ =⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠

∫v

v vv n (129)

donde Lε es la longitud característica para 1l

ε , Lv es la longitud característica para 1

1

llv .

Por otro lado, de acuerdo a Bousquet-Melou et al. (2002) 1l

Lε , entonces:

1

1 1 1 1 1 1 1 2

11 2

( ) ( )

1 1( )g l l g lll l l l l

A tl g A tl l

p dA dAV V

µ µ

⎞⎛⎟⎜

− + ∇ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ⎟⎜⎟⎜

⎝ ⎠

∫ ∫v n v n (130)

Tomando en cuenta la Ec. (130) sobre la Ec. (124) se tiene la ecuación de cantidad de

movimiento promediada en volumen.

( ) ( )2

( )

( )

1 ( )

1 ( )

k kkk k k k kk k k

k kk k k k k k k k

Nk k

k k k k k kkmk m

Nkkm k

kmk m

k k k km kmA tkm

kkm k k km

A tkm

pt

dAV

p p dAV

ε ρεε ρ ε ρ

µ ε ε ρ ρ

ε µ

≠

≠

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇

∂

− ∇ − = − − ⋅

+ ∆ ∇ + − + ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

vv v v v

v g v v w n

v n

(131)

Expresiones similares han sido presentadas por (Whitaker, 1986b, 1986c, 1996; Gray y

Hassanizadeh, 1998; Bousquet-Melou et al., 2002; Cazarez-Candia, 2001; Espinosa-

Paredes et al., 2002).

Con la finalidad de expresar la Ec. (131) explícitamente para un medio poroso, ya que este

último fue considerado como homogéneo, rígido e isotrópico, se considera que k ksε φ= ,

donde kk

m

VsV= , mV

Vφ = ,

1 2m l l gV V V V= + + , y m sV V V= + (Ver mas detalle en Espinosa-

Paredes 2010) por lo que la Ec. (131) se reescribe quedando de la siguiente manera:

91

( ) ( )

2

PresiónInércia DispersiónAcumulación

Fuerzas de gravedadEsfuerzos viscosos

1 (

k kkk k k k kk k k

k kk k k k k k k k

k k

k k k k k k k k

ss ps s

t

s sV

φ ρφφ ρ φ ρ

µ φ φ ρ ρ

∂+∇⋅ +∇ ⋅ + ∇

∂

− ∇ − = −

vv v v v

v g v( )

Transferencia de cantidad de movimiento, debido a la masa, en la interfase

( )Promedio de gradientede presión interfacial

)

1 (

N

kmk m

kkm k

k km kmA tkm

kkm k

A tkm

dA

p s pV

φ µ

≠

− ⋅

+ ∆ ∇ + − + ∇

∑ ∫

∫

v w n

Fuerzas de presión interfaciales

)N

kmk m

k kmdA≠

⋅∑ v n

(132)

Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (132) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles, gas

compresible y transferencia de masa entre l1 con g l2 con g) son:

Para la fase l1:

( ) ( )11

1 1 1 1 1 11 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11

1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 ( )

1 ( )

l

l gAl g

g s g

lll l l l l ll l l

l l l l l l l l l

l l ll l l l l l l l l l l l

l l ll l l l l l l

l g

l g

ss s s p

t

s s dA p sV

p s p s p dV

φ ρφ ρ φ ρ φ

µ φ φ ρ ρ φ

φ φ µ

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇

∂

− ∇ − = − − ⋅ + ∆ ∇

+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + − + ∇ ⋅

∫

vv v v v

v g v v w n

v n1

1 1

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

1 2 1

1 1( ) ( )

Al g

A Al l l s

l ll l l l l l l s l l l s

A

p dA p dAV V

µ µ+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅

∫

∫ ∫v n v n

(133)

Para la fase l2:

( ) ( )22

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 ( )

1 ( )

l

l gA

g s

lll l l l l ll l l

l l l l l l l l l

l l

l l l l l l l l ll

l l ll l l l l l l

l gg

ll g l l l g

ss s s p

t

s s dAV

p s p s p s p dV

φ ρφ ρ φ ρ φ

µ φ φ ρ ρ

φ φ φ µ

∂+∇ ⋅ +∇ ⋅ + ∇

∂

− ∇ − = − − ⋅∫

+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇ + − + ∇ ⋅

vv v v v

v g v v w n

v n2

2 2

2 1 2 2 2 1 2 2 2 22 1 2

1 1( ) ( )

Al g

A Al l l s

l ll l l l l l l s l l l s

A

p dA p dAV V

µ µ+

∫

− + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅∫ ∫v n v n

(134)

92

Para la fase g:

( )1 1

1

2 2 1 22

2 1 ( )

1 ( )

ggg g gg g g

g g g g

g g

g g g g gAgl

ggs g

Agl

g g gg g g g g g

g g g g gl gl

g gg g g gl gl gl g gl g

ss s s p

t

s s dAV

dA p s p s p sV

φ ρφ ρ φ ρ φ

µ φ φ ρ ρ

ρ φ φ φ+ +

∂ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅ + ∇⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

− ∇ − = − − ⋅∫

− − ⋅ + ∆ ∇ ∆ ∇ ∆ ∇∫

vv v v v

v g v v w n

v v w n

1 1 2 21 2

1 1 1( ) ( ) ( )A A Agl gl gs

g g ggl g g gl gl g g gl gs g g gsp dA p dA p dA

V V Vµ µ µ+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅∫ ∫ ∫v n v n v n

(135)

donde mV es el volumen de la mezcla de fluidos ( )kk

V=∑ y sV es el volumen total del

sólido fijo.

3. 3. 2 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el área interfacial

Retomando la Ec.(106) se tiene

( )

{ }

2( ) 2

( )

k kk m k m k k k k k k k k

k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m

Nk k kk m k m k k k k m k m k k k m

k mk m

H pt

p

ρρ ρ µ

ρ ρ µ

≠

∂+ ∇ ⋅ − ⋅ = −∇ + ∇

∂

− + − + − ∇ ⋅∑

vv v v w n v

g v v w I v n (136)

donde 1 2, , ,m l l g s= , H es la curvatura media, p es la desviación espacial de la presión, v

es la desviación espacial de la velocidad, kmn es el vector normal unitario dirigido de la

fase k a la fase m y t es la coordenada temporal. El subíndice km indica “en la interfase

km”.

Aplicando la definición del operador promedio interfacial (Ec. 28) a la Ec. (136) se tiene:

93

( )

{ }

2( ) 2

( )

k kk k k k k kk kk m k mk m k m k m k m k m k mk m k m k m k m k m

Nk k kk m k m k k k k m k m k k k m

k mk m

pHt

p

ρ ρ µρ

ρ ρ µ

≠

∂ ∇ ⋅ ∇ ∇+ − ⋅ = − +∂

− + − + − ∇ ⋅∑

v v v vv w n

g v v w I v n

(137)

Aplicando los teoremas de promediado en superficie dados por las Ecs. (32)-(33) a la Ec.

(137) se tiene que:

2

( ) ( )

( )

1 1( )

1 1

Q Q

kmn kmnk m n k m n

Q

kmnk m n

k kk m k m k k k k k k k kk

k m k m k m k m k m k m k m k m k mk m

k k k k k kk m k m k m k m k m kmn kmn k m kmn

L t L tkmn kmn

kk km kmnkmL tkmn

w pt

dL p dLV V

dLV V

ρρ ρ µ

ρ ρ

µ

≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠

∂⋅+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ − ∇

∂

− = − − ⋅ − ⋅

⎞⎛⋅ ⎟⎜+ ∇ ⋅ +

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑∫ ∫

∑ ∫

vv v v n v

g v v U υ υ

v υ

{ }( )

( )

Q

kmnk m n

k kkm km kmn

L tkmnN

kk k k k m k m k k k m

k mk m

dL

p

µ

ρ µ

≠ ≠

≠

∇ ⋅

− + − ∇ ⋅

∑ ∫

∑

v υ

v v w I v n

(138)

En la Ec. (138) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento por lo que

0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n , 0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ y 0k

k ms k mns p k mns⋅ = ⋅ =v λ v λ .

Aplicando los teoremas de productos entre dos y tres variables locales, definidos por las

Ecs. (54) y (55), a la Ec. (138) y posteriormente expresando esta en términos la fracción de

área por unidad de volumen, kkmε , y de fracción de longitud por unidad de volumen k

kmnε ,

la Ec. (138) queda expresada de la siguiente manera:

94

( ) ( )

2 1 (

km kmk k kkm km km km kmkm km km k k k k k k k k

km km km km km km km km

kmkm km km km km kk k k k k k kk mkm km km km km km km km km km km

km kmk kk k k k k k kk m k mk m km km k m k m k m k m km

t

pw w

V

ε ρε ρ ε ρ

ε ρ ε ρ ε

ρµ ε ε ρ

∂+∇ ⋅ +∇ ⋅

∂⎞ ⎞⎛ ⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎝⎠ ⎠

− ∇ − = − −

vv v v v

v n v n

v g v v U

{ }

( )

( )( )

( )

)

11

1 ( )

Q

kmnk m n

QQ

kmnkmn k m nk m n

Q

kmnk m n

n kmnL tkmn

kk k km kmnk m kmn kmL tL t kmnkmn

Nk k kkm km kmn k k k k m k m k k k m

k mL tkmn k m

dL

dLp dL VV

dL pV

µ

µ ρ µ

≠ ≠

≠ ≠≠ ≠

≠ ≠ ≠

⋅

⎞⎛⋅ ⎟⎜− ⋅ + ∇ ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ∇ ⋅ + − + − ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

∑ ∑∫

υ

v υυ

v υ v v w I v n

(139)

donde

1 2 1 2, , , ; , , , ;

k m k m k mk k k k k kk m k m k m k m k m k mp p p

k l l g s m l l g s k m

ε ε ε∇ = ∇ + ∇

= = ≠ (140)

para el término de presión (segundo término del lado derecho) de la Ec. (139), dado que es

una variable local, se toma en cuenta una expresión similar a la Ec. (112), misma que es

extendida para relacionar presiones en la interfase y en la línea tal como se muestra a

continuación:

kmk k k kkm km kmn kmnp p p p= + ∆ + (141)

donde la diferencia de promedios de la presión está definida por:

kmk k kkmn kmn kmp p p∆ = − (142)

Para la Ec.(142), el primer término es el promedio en línea de la presión y el segundo

término es el promedio intrínseco de la presión de la interfase km. Las desviaciones

espaciales de la presión en la línea kmn son:

k k kkmn km kmnp p p= − (143)

95

Usando la Ec. (141) en el segundo término del lado derecho de la Ec. (139), se tiene:

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

1

Q Q Q

kmn kmn kmnk m n k m n k m n

Q

kmnk m n

kmk k kkm kmn kmn km kmn kmn

L t L t L tkmn kmn kmn

kkmn kmn

L tkmn

p dL dL p p dLV V V

p dLV

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠

⎞ ⎞⎛ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ = + ∆⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎝⎠ ⎠

+ ⋅

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∫

υ υ υ

υ

(144)

Los términos promedio actúan como constantes en la integral sobre la línea de contacto,

mientras que las integrales del vector normal a la línea de contacto representan el gradiente

de la fracción de área por unidad de volumen, entonces

( ) ( )

1 1Q Q

kmn kmnk m n k m n

kmk k k k k kkm kmn km km kmn km kmn kmn

L t L tkmn kmn

p dL p p p dLV V

ε ε≠ ≠ ≠ ≠

⋅ = − ∇ − ∆ ∇ + ⋅∑ ∑∫ ∫υ υ (145)

En cuanto al término de esfuerzos viscosos (tercer y cuarto término del lado derecho) de la

Ec. (139), se utiliza la definición de desviaciones espaciales propuesta por Gray (1975)

[Ec. (52)], esto es:

( )

( ) ( )

1

1 1

Q

kmnk m n

Q Q

kmn kmnk m n k m n

k kkm km kmn

L tkmn

kmk k kkm km kmn km kmn

L t L tkmn kmn

dLV

dL dLV V

µ

µ

≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇⋅ ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎞⎛ ⎤⎢ ⎟⎜ ⎥= ∇⋅ + ⋅⎢ ⎟⎜ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎦⎠⎣

∑ ∫

∑ ∑∫ ∫

v υ

v υ v υ

(146)

( ) ( ) ( )

1 1 1Q Q Q

kmn kmn kmnk m n k m n k m n

kmk k k k k kkm km kmn km km kmn km km kmn

L t L t L tkmn kmn kmn

dL dL dLV V V

µ µ µ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫v υ v υ v υ

(147)

Recordando que los términos promedio actúan como constantes en la integral sobre la línea

de contacto y que las sumas de las integrales del vector normal a la línea de contacto

representan el gradiente de la fracción de área por unidad de volumen entonces

96

( ) ( )

1 1Q Q

kmn kmnk m n k m n

kmk k k k k kkm km kmn km km km km kmn

L t L tkmn kmn

dL dLV V

µ µ ε≠ ≠ ≠ ≠

⎡⎞⎛ ⎤⎢⎟⎜ ⎥∇⋅ ⋅ = ∇⋅ − ∇ + ⋅⎢⎟⎜ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎦⎠ ⎣

∑ ∑∫ ∫v υ v v υ (148)

( ) ( )

1 1Q Q

kmn kmnk m n k m n

kmk k k k k k kkm km kmn km km km km km kmn

L t L tkmn kmn

dL dLV V

µ µ ε µ≠ ≠ ≠ ≠

∇ ⋅ =− ∇ ⋅∇ + ∇ ⋅∑ ∑∫ ∫v υ v v υ (149)

donde:

2k m k m k mk k k k k k k k kk m k m k m k m k m k m k m k m k mµ ε µ ε µ ε+ ⋅

⎞⎛∇ ⋅ ∇ = ∇ ∇ ∇⎜ ⎟⎝ ⎠

v v v (150)

sustituyendo las Ecs. (140), (145), (148), (149) y (150) en el lado derecho de la Ec. (139) y

factorizando los términos inerciales se tiene:

( )km kmk k k

km km kmkm km km k k k kkm km km km km kmwt

ε ρε ρ

∂+∇⋅ +

∂

vv v n

( ) 2

( )

( )

1 ( )

12

Q

kmnk m n

Q

kmnk m n

km kmkm km k kk k kk k k k kk m k mkm k m kmkm km km km km km km

kmkk k k k k k kk mkm k m k m k m k m kmn kmn kmn km

L tkmn

kmkk k k kk mk m km km km kmn

L tkmn

pw

dL pV

dLV

ε µ εε ρ

ρε ρ ε

µ ε µ

≠ ≠

≠ ≠

+

+

+∇ ⋅ + ∇ − ∇

− = − − ⋅ + ∆ ∇

− ∇ ⋅∇ ∇⋅ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

vv v v n

g v v U υ

v v υ

( ) { }( )

1 ( )Q

kmnk m n

Nkk k k

kmn k k k k m k m k k k mkmn km kmk mL tkmn k m

dL ppV

ρ µµ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦⎣

+ ⋅ + − + − ∇ ⋅− + ∇∑ ∑∫ υ v v w I v nv

(151)

Tomando en cuenta el mismo procedimiento de la Ec. (123) sobre el tercer término de lado

derecho de la Ec. (151) y expresando los términos de las integrales de la Ec. (151) en

términos de fracción de área por unidad de volumen, se tiene:

97

( )( ) 2

( )Q

kmnk m n

km kmk k kkm km kmkm km km k k k k

km km km km km km

km kmkm km k kk k kk k k k kk m k mkm k m kmkm km km km km km km

kmnkmk k k k k k k k kkm km k m kmn km km km kmn kmn kmn km

kk m kmn

wt

pw

p

ε ρε ρ

ε µ εε ρ

ε ρ ε ρ ε

µ ε

≠ ≠

+

∂+∇⋅ +

∂

+∇ ⋅ + ∇ − ∇

− = − − ⋅ + ∆ ∇

+ ∇⋅

∑

vv v n

vv v v n

g v v U υ

( )

{ }

1 2

( )

Q

kmnk m n

kmnkmnk k k k k kk m kmn kmn kmn km km l l g

N kmk kkm k k k k m k m k k k m

k mk m

p

p

ε µ

ε ρ µ

≠ ≠

+

≠

⎡ ⎤⋅ + − ∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

+ − + − ∇ ⋅

∑

∑

v υ v υ

v v w I v n

(152)

donde los términos de integrales de la Ec. (152) se definen como:

( )

1( ) ( )kmnk k k k k k k

kmn km km km kmn kmn km km km kmn kmnL tkmn

dLV

ε ρ ρ− − ⋅ = − − ⋅∫v v U υ v v U υ (153)

( )

1kmnk k k k kkm kmn km kmn km km kmn

L tkmn

dLV

µ ε µ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥∇⋅ ⋅ = ∇⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫v υ v υ (154)

( ) ( )1 2

1 2

( )

1kmnk k k k k k kkmn kmn km km l l g kmn km km kmn

L tl l g

p p dLV

ε µ µ+ +− ∇ ⋅ = − ∇ ⋅∫v υ v υ (155)

Realizando para la Ec. (152) un análisis de ordenes de magnitud sobre los términos de

fuerza de presión y dispersión en la línea de contacto (tercer y cuarto término del lado

derecho de la ecuación) similar al presentado por las Ecs. (128)-(130) se obtiene

finalmente la ecuación de cantidad de movimiento promediada en el área interfacial

( )( ) 2

km kmk k kkm km kmkm km km k k k k

km km km km km km

km kmkm km k kk k kk k k k kk m k mkm k m kmkm km km km km km km

wt

pw

ε ρε ρ

ε µ εε ρ +

∂+∇ ⋅ +

∂

+∇ ⋅ + ∇ − ∇

vv v n

vv v v n

98

( ) { }1 2

( )

( )

Q

kmnk m n

Q

kmnk m n

kmnkmk k k k k k k k kkm km k m kmn km km km kmn kmn kmn km

N kmkmnk k k k k kkmn kmn km km l l g km k k k k m k m k k k m

k mk m

p

p p

ε ρ ε ρ ε

ε µ ε ρ µ

≠ ≠

≠ ≠

+

≠

− = − − ⋅ + ∆ ∇

+ − ∇ ⋅ + − + − ∇ ⋅

∑

∑ ∑

g v v U υ

v υ v v w I v n

(156)

Expresiones similares a la Ec. (156) en su forma simplificada han sido presentadas por

Gray y Hassanizadeh (1998).

Para la Ec. (132) para la Ec. (156) se considera que k kkm kmsε φ= , donde k km

kmm

AsV

= , y

mVV

φ = , quedando redefinida de la siguiente manera:

( )

( )InercialesAcumulación

Presión Dispersión

km kmk k kkm km kmkm km km k k k k

km km km km km km

kmkm km kkk k k k kk mkmkm km km km km km km

ss wt

pss w

φ ρφ ρ

φφ ρ +

∂+∇⋅ +

∂

+∇ ⋅ + ∇

vv v n

v v v n

2

Esfuerzos viscosos Fuerzas de gravedad Transferencia de cantidad de movimiento, debido a la masa, en la

( )Q

kmnk m n

km km kmnk kk k k k k k k kk m k mk m km km k m kmn km km km kmn kmns s ρµ φ φ ε ρ

≠ ≠

− ∇ − = − − ⋅∑v g v v U υ

( )1 2

línea de contacto

Promedio de gradiente de presión en la línea de

Fuerzas de presión en la línea de contactcontacto

Q

kmnk m n

kmnk k k k k kkmn km kmn kmn km km l l gp s pφ ε µ

≠ ≠

++ ∆ ∇ + − ∇ ⋅∑ v υ

{ }o

Transferencia de cantidad de movimiento interfacial

( )N kmk k

km k k k k m k m k k k mk mk m

pε ρ µ

≠

+ − + − ∇ ⋅∑ v v w I v n

(157)

Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (157) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles, gas

compresible y transferencia de masa entre l1 con g l2 con g) son:

99

Para la fase l1:

1 2 1 1 1 11 21 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1

g g s s

g g g s s s

l l l l l l

g

l l l l l ll ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l

l g l g l gl l l l l l l ll l ll l l l l l l l l l l g l g l g l g l g

s s s

t t t

s w s w

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ+ +

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂⎛ ⎛⎞+∇ ⋅ +∇ ⋅⎟⎜ ⎠ ⎝⎝

v v v

v v n v v n

1 2 1 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 21 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 1 1 1 1 1 1

1 11 1 1 1 1 1 1

l l l l

s

g s

l s l s l sl l l l l l l l ll l ll s l s l s l s l s l l l l l l l l l l l l

l g l g ll l l l l l ll ll g l g l g l g l g l g l s

s w s w

s w s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

+ +

+

⎞⎜ ⎟

⎠⎞⎛ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

v v n v v v n

v v v n 1 11 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 11 2 1 1 1 2 1 2 1 1

1 1 21 1 1 1 1

1 1 21 1 1 2

2 2

2

g s g

s

s

s l sl l ll s l s l s l s l s

l l l ll g l s l gl l l l l l l l l l l ll l l l l l ll l l g l s l l l l l g l g

l l ll l l l ll l ll s l s l l l

w

s p s p s p s s

s s

φ φ φ µ φ µ φ

µ φ φ ρ

+⎞⎛

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ∇ + ∇ + ∇ − ∇ + ∇

− ∇ −

v v v n

v v

v g 1 11 1 1 1 1 1 1

1 11 2 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2

1 2 1

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1

1 1( ) ( )

g s

L Ll l g l s g

l g l sl l l l l l ll ll l g l g l s l s

l l l l l l l ll l l l l l l l g l l g l s l s l s l sg l s g l l g l l

l l l ll l s l l l g l l g

s s

dL dL p sV V

p s p s

φ ρ φ ρ

ρ ρ φ

φ φ+ +

− −

= − − ⋅ − − ⋅ + ∆ ∇

∆ ∇ ∆ ∇

∫ ∫

g g

v v U υ v v U υ

( ) ( )

( )

1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 1

1 2

1 1

1 1

L Ll l g l l s

Ll g l

l l l l l ll g s l g l sl l s l s g l s

l l l l l ll l g l l l l l l g l l s l l l l l l s

l l l ll g l l g l g l g l l g s

p s p s p s

p dL p dLV V

p dL pV V

φ φ φ

µ µ

µ

+ +

+ +

+

∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + −

∫ ∫

∫

v υ v υ

v υ ( )

( ) ( )

{ }

{ }

1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

1 2 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

1 2 1 1 1 2

1 2

1 1

1 ( )

1 1

Ll g s

L Ll s l l s g

Al g

Al l

l ll g l g l g s

l l l l l ll s l l s l s l s l l s g l s l s l s g

ll l l l g l g l l l g

ll l l l l l

dL

p dL p dLV V

p dAV

p dAV

µ

µ µ

ρ µ

µ

+

+ +

∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ +

∫

∫ ∫

∫

∫

v υ

v υ v υ

v v w I v n

I v n { }1

1 1 1 1

1Al s

ll s l l l sp dA

Vµ− ∇ ⋅∫ I v n

(158)

Para la fase l2:

2 1 2 2 2 22 12 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2

g g s s

g g g s s g

l l l l l l

g

l l l l l ll ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l

l g l g l gl l l l l l l ll l ll l l l l l l l l l l g l g l g l g l g

s s s

t t t

s w s w

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ+ +

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂⎛ ⎛⎞+∇ ⋅ +∇ ⋅⎟⎜ ⎠ ⎝⎝

v v v

v v n v v n

2 1 2 12 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 12 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

l l l l

s

l s l s l sl l l l l l l l ll l ll s l s l s l s l s l l l l l l l l l l l ls w s wφ ρ φ ρ+ +

⎞⎜ ⎟

⎠⎞⎛ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

v v n v v v n

100

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 12 1 2 2 2 1 2 1

2

g s

g s

l g l g l s l sl l l l l l l l l ll ll g l g l g l g l g l g l s l s l s l s l s l s

l l l g l sl l l l l l l ll l l l l ll l l g l s l l l l

s w s w

s p s p s p s

φ ρ φ ρ

φ φ φ µ φ

+ +⎞ ⎞⎛ ⎛+∇ ⋅ + +∇ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎝⎠ ⎠

+ ∇ + ∇ + ∇ − ∇

v v v n v v v n

v2 1 2

2 2 2 2

22 2

2 12 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1

2

2

1 1( ) (

s

s

g g s

Ll l g

l l ll l l lll s l s

l ll g l g l sl l l l l l l l l l l ll l l l ll g l g l l l l l g l g l s l s

l l l l l ll l l l l l l l g l l g l s l s l s

s

s s s s

dLV V

µ φ

µ φ φ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ

− ∇

− ∇ − − −

= − − ⋅ −∫

v

v g g g

v v U υ v v

( )

2 2 2

2 2 2 1 2 1

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

)

1 1

Ll s g

Ll l g

l ll sg l sg l l g l l

l l l l l l l l l ll l s l l l g l l g l g s l g l sl l s l s g l s

l l l l ll l g l l l l l l g l l s l l

dL p s

p s p s p s p s p s

p dL pV V

φ

φ φ φ φ φ

µ µ

+ + + +

+ +

− ⋅ + ∆ ∇

∆ ∇ ∆ ∇ ∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇

+ − ∇ ⋅ + − ∇

∫

∫

U υ

v υ v( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 1 2 1

2 1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2

2 1 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1

2

1 1

1 1

1

Ll l s

L Ll g l l gs

L Ll sg l sl

ll l l l s

l l l l l ll g l l g l g l g l l gs l g l g l gs

l l l l l ll sg l s l s l sg l sl l s l s l sl

l l

dL

p dL p dLV V

p dL p dLV V

V

µ µ

µ µ

ρ

+ +

+ +

⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

υ

v υ v υ

v υ v υ

v{ }

{ } { }

1

2 2 2 2 2 2 2

2

1 1

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2

2 1 2

( )

1 1

Al g

A Al l l s

ll l g l g l l l g

l ll l l l l l l s l l l s

p dA

p dA p dAV V

µ

µ µ

− + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

v w I v n

I v n I v n

(159)

Para g:

1 21 2

1 1 1 2 2 2

1 1 21 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 21 1 2

gg s

s s s

s s s s s

l gl gg l g l g sg g g g g g g g gg g gl g l g l gl g l gl

g l g l g lg l g l g lg g g g g g g gg l g l g l g l g l g l g l g l g lg l g l g l

gg s g sg g g gg g g g g g s

s s s

t t t

s w s w

s w

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

φ ρ

+ +

+

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎠⎝

+∇ ⋅

v v v

v v n v v n

v v n 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 2 2

g l g ls g g g g ggl g l g l g l g l g l g l

g l g l g sg sg g g g g g g g g gg l g l g l g l g l g l g l g s g s g s g s g s g s g s

g l g lg g g g gg l g l g l g l g s

s w

s w s w

s p s p s

φ ρ

φ ρ φ ρ

φ φ

+

+ +

⎞⎛⎞⎛ +∇ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎞ ⎞⎛ ⎛+∇ ⋅ + +∇⋅ +⎜⎜ ⎟ ⎟⎝⎝ ⎠ ⎠

+ ∇ + ∇ +

v v v n

v v v n v v v n

1 22

1 1 1 2 2 2

1 22

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 2 1 2 1

1 2

2 2

2

1 1( ) ( )Lg l l

g l g lg s lg g g g g gg s g l g l g l g l g l g l

g l g lg s g slg g g g g g g g g g ggs g s g s g l g l g l g l g l g l g s g s g s

g g g g g gg l g l g l g l l g l l g s g s g s g sl g sl

p s s

s s s s

dLV V

φ µ φ µ φ

µ φ φ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ=

∇ − ∇ − ∇

− ∇ − − −

− − ⋅ − − ⋅∫

v v

v g g g

v v U υ v v U υ1

1Lg sl

dL∫

101

( )

2 2 2 2 1 2 1 2 2

2 1 2

1 2 1 1 1 2 1 2 2 2

1 2 1 2 1 1 1

1 1( ) ( )

1

L Lg l l g s l

g g g g g gg l g l g l g l l g l l g s g s g s g sl g sl

g g g g g g g ggl l g l g l s g l g l l g l g l s g l

g g g g g g ggsl gs g sl g s gl l gl gl g l

dL dLV V

p s p s p s p s

p s p s pV

ρ ρ

φ φ φ φ

φ φ µ

+ +

+

− − ⋅ − − ⋅

+ ∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇ ∆ ∇

+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + − ∇ ⋅

∫ ∫v v U υ v v U υ

v υ

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

1 2

1 1 1 1 2 1 2 2 2 1

1 2 1

2 2 2 2 1 1

2 1

2 2

2

1 1

1 1

1

Lg l l

L Lg l s gl l

L Lgl s g sl

Lg sl

l

g g g g g ggl s gl gl g l s gl l gl gl g l l

g g g g g ggl s gl gl g l s g sl g s g s g sl

g g gg sl g s g s g sl

dL

p dL p dLV V

p dL p dLV V

p dLV

µ µ

µ µ

µ

+ +

+ +

+

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

v υ v υ

v υ v υ

v υ { }

{ } { }

1 1 1

1

2 2 2

2

1 ( )

1 1( )

Ag l

A Ag l g s

gg g g g l g l g g g l

g gg g g gl g l g g g l g s g g g s

p dAV

p dA p dAV V

ρ µ

ρ µ µ

+ − + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

v v w I v n

v v w I v n I v n (160)

3. 3 .3 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en la línea de contacto

En esta sección se presenta el balance en la línea de contacto. El balance que a

continuación se presenta es similar al propuesto por (Gray y Hassanizadeh, 1998; Gray,

1999), es decir, se toma en cuenta los términos de acumulación e inerciales para las líneas

de contacto. La Ec. (107) para la fase k se puede escribir de la siguiente manera:

{ }1

1 2 1 1 2 2

2

, , , ,..

( ) ( )

( )Q

l

k kkmn kmn k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn

mn

g gs s gskmn l l l l l l

pt

p

ρρ µ ρ

ρ µ

=

∂+∇⋅ = −∇ + ∇ −

∂

+ − + − ∇ ⋅∑

vv v v g

v v U I v υ (161)

donde 1 2m= l , l , g, s , 1 2n= l , l g, s y k m n≠ ≠ , 1l mnυ es el vector normal unitario a la

línea de contacto kmn y tangente a la interfase km apuntando hacia fuera de dicha interfase.

El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”.

Aplicando el operador promedio dado por la Ec. (34) a la Ec. (161) resulta:

102

{ }1

2( ) ( )

( )Q

l

k kk k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn

mn

pt

p

ρ ρ µ ρ

ρ µ

∂ ∇⋅ ∇ ∇+ = − + −∂

+ − + − ∇ ⋅∑

v v v v g

v v U I v υ

(162)

Aplicando los teoremas de promediado dados por las Ecs. (38)-(40) según corresponda a

los términos de la Ec. (162) se tiene que:

1 2

2

( ) ( )

( )

1 1( )

1

P P

kmnq kmnqk m n q k m n q

P

kmnqk m n q

k kkmn kmn k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

k k k kkmn kmn kmn p kmnq kmn kmnq

P t P tl l gs kmnq

k kkmn kmn kmnq

P tkmnq

pt

dP p dPV V

dPV

ρρ µ ρ

ρ

µ

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ +∇ − ∇ −

∂

=− − ⋅ − ⋅

+ ∇⋅ ⋅

∑ ∑∫ ∫

∫

vv v v g

v v v λ λ

v λ

{ }

( )

1

( )

P

kmnqk m n q

Q

kmnk m n

k kkmn kmn kmnq

P tkmnq

k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn

dPV

p

µ

ρ µ

≠ ≠ ≠

≠ ≠

⎞⎛⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − + − ∇ ⋅

∑ ∑ ∫

∑

v λ

v v U I v υ

(163)

Dada la condición de no deslizamiento, en la Ec. (163), se usa : 0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ y

0kk ms k mn s p k mns⋅ = ⋅ =v λ v λ .

La Ec. (163) se puede expresar en términos de kkmnε y k

kmnqε .

Iniciando con la parte izquierda de esta, en la cual se aplican las Ecs. (54) y (55) y

posteriormente la Ec. (36) quedando expresada de la siguiente manera:

1 2

2

( ) (

1 1( )

kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmn kmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

k k k kkmn kmn kmn p kmnq kmn

P t Pl l gs kmnq

t

p

dP pV V

ε ρε ρ ε ρ

ε µ ε ε ρ

ρ

∂+∇ ⋅ + +∇ ⋅

∂

+∇ − ∇ −

= − − ⋅ −∫

vv v v v

v g

v v v λ)

P P

kmnq kmnqk m n q k m n q

kmnqt

dP≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

⋅∑ ∑ ∫ λ

103

{ }

( ) ( )

1 1

( )

P P

kmnq kmnqk m n q k m n q

Q

kmnk m n

k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmnq

P t P tkmnq kmnq

k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn

dP dPV V

p

µ µ

ρ µ

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠

⎞⎛⎟⎜+ ∇⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − + − ∇ ⋅

∑ ∑∫ ∫

∑

v λ v λ

v v U I v υ

(164)

Para el término de presión (segundo término del lado derecho) de la Ec. (164), se toma en

cuenta una expresión similar a la Ec. (141), misma que es extendida para relacionar

presiones de línea y punto de contacto tal como se muestra a continuación:

kmnk k k kkmn kmn kmnq kmnqp p p p= + ∆ + (165)

donde la diferencia de promedios de la presión está definida:

kmnk k kkmnq kmnq kmnp p p∆ = − (166)

En la Ec. (166) el primer término es el promedio en el punto de contacto de la presión y el

segundo término es el promedio intrínseco de la presión en la línea de contacto kmn. Las

desviaciones espaciales de la presión en el punto de contacto kmnq son:

k k kkmnq kmn kmnqp p p= − (167)

Usando la Ec. (165) en el término integral de presión (segundo término del lado derecho)

de la Ec. (164), y recordando que los términos promedio actúan como constantes en la

integral sobre el punto de contacto, mientras que las integrales del vector normal al punto

de contacto representan el gradiente de la fracción de línea por unidad de volumen

entonces, los términos de presión quedan:

( ) ( )

1 1P

kmnqk m n q

kmnk k k k k kkmn kmnq kmn kmn kmnq kmn kmnq kmnq

P t P tkmn kmnq

p dP p p p dPV V

ε ε≠ ≠ ≠

⋅ = − ∇ − ∆ ∇ + ⋅∑∫ ∫λ λ (168)

104

En cuanto al término de esfuerzos viscosos (tercer y cuarto término del lado derecho) de la

Ec. (164), se utiliza la definición de desviaciones espaciales propuesta por Gray (1975) y

se realiza un procedimiento similar al de las Ecs. (146)-(149).

( ) ( )

1 1P

kmnq

kmnk k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmn kmn kmnq

P t P tkmn kmnq

dP dPV V

µ µ ε⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇⋅ ⋅ = ∇⋅ − ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑∫ ∫v λ v v λ (169)

( ) ( )

1 1P

kmnq

kmnk k k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmn kmn kmn kmnq

P t P tkmnq kmnq

dP dPV V

µ µ ε µ⋅ +∇ ⋅ =− ∇ ∇ ∇ ⋅∑∫ ∫v λ v v λ (170)

En la Ec. (164), se sustituyen las Ecs. (168)-(170), se agrupan términos de integrales

semejantes, y se definen los términos integrales de acuerdo a la definición de fracción de

línea por unidad de volumen, se obtiene:

2

( )P

kmnqk m n q

kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmn kmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnqk k kkkmn kmn kmn p kmnqkmnq kmnq

t

p

p

ε ρε ρ ε ρ

ε µ ε ε ρ

ρε≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ +∇⋅

∂

+ ∇ − ∇ −

− ⋅=− + ∆∑

vv v v v

v g

v v v λ

( )

{ }( )

P P

kmnq kmnqk m n q

Q

kmnk m n

k kkmn

kmnq kmnqk k k kk k kkmnq kmn kmn kmn kmnqkmnq kmnq kmn kmnq

kmnk k k k k k kkmn km km km kmn kmn km km kmn

p

p

ε

µε µ ε

ε ρ µ

≠ ≠ ≠

≠ ≠

∇

⎡ ⎤− + ∇ ⋅+ ⋅ + ∇⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ − + − ∇ ⋅

∑ ∑

∑

v v λλ

v v U I v υ

(171)

donde los términos de integrales de la Ec. (171) se definen por

1( ) ( )kmnqk k kk k k k

kmn kmn kmn p kmnqkmnq kmn kmn kmn p kmnqkmnq

dPV

ρε ρ− ⋅ = − ⋅∫v v v λ v v v λ (172)

( ) ( )( )

1kmnqk k k k k kkkmnq kmn kmn kmnq kmn kmnkmnq kmnq kmnq

P tkmnq

p p dPV

µ µε − + ∇ − + ∇⋅ = ⋅∫v vλ λ (173)

105

( )

1P P

kmnq kmnq

kmnqkk k k kkmn kmnqkmn kmnq kmn kmn kmnq

P tkmnq

dPV

µ ε µ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∫v λ v λ (174)

Realizando para la Ec. (171), el análisis de orden de magnitud, similar al presentado por las

Ecs. (128)-(130), sobre los términos de fuerzas de presión y dispersión en el punto de

contacto (tercer y cuarto término de lado derecho), se obtiene finalmente la ecuación de

cantidad de movimiento promediada en la línea de contacto

2

( )P

kmnqk m n q

kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmn kmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnqk k kkkmn kmn kmn p kmnqkmnq kmnq

t

p

p

ε ρε ρ ε ρ

ε µ ε ε ρ

ρε≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ +∇⋅

∂

+ ∇ − ∇ −

− ⋅=− + ∆∑

vv v v v

v g

v v v λ

( )

{ }( )

P

kmnqk m n q

Q

kmnk m n

k kkmn

kmnqk k kkkmnq kmn kmnkmnq kmnq

kmnk k k k k k kkmn km km km kmn kmn km km kmn

p

p

ε

µε

ε ρ µ

≠ ≠ ≠

≠ ≠

∇

− + ∇+ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

∑

∑

v λ

v v U I v υ

(175)

Para la Ec. (175) se considera que k kkmn kmnsε φ= , donde

kk kmnkmn

m

LsV

= , y mVV

φ = , quedando

redefinida de la siguiente manera:

InercialesAcumulación

Dispersión Presión

+

kmn kmnk k kkmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k

kmn kmn kmn kmn

kmn kmn kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn

ss

t

s s p

φ ρφ ρ

φ ρ φ

∂+ ∇ ⋅

∂

+∇ ⋅ ∇ −

vv v

v v 2

Esfuerzos viscosos

kmnk k kkmn kmn kmnsµ φ∇ v

106

1 2

( )Fuerzas de gravedad

Transferencia de cantidad de movimiento, debido a la masa, en el punto de contacto

1 ( )P

kmnqk m n q

kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn p kmnq

P tl l gs

s dPV

φ ρ ρ≠ ≠ ≠

− =− − ⋅∑ ∫g v v v λ

( )( )Promedio de gradiente de

presión en el punto de contacto Fuerzas de presión en el punto de contacto

1P

kmnqk m n q

k k kk kkmnq kmn kmnkmnq kmn kmnq

P tkmnq

pp s dPV

µφ≠ ≠ ≠

− + ∇+ ∆ + ⋅∑ ∫ v λ

{ }1 2

( )

Transferencia de cantidad de movimiento en la línea de contacto

1 ( )Q

kmnk m n

k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn

P tl l gs

p dPV

ρ µ≠ ≠

+ − + − ∇ ⋅∑ ∫ v v U I v υ

(176)

Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (176) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles, gas

compresible y transferencia de masa entre l1 con g l2 con g) son:

Para l1:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 2 1g g g g g g g

l l g l l g l g l l g l l sl l sll l l l l l l l ll l g l l g l l g l g l l g l l g l l sl l sl l sl

l sg l sg l g s l g sl l l l l l ll s l s l s l s l s l s l l s l s

s s s

t t t

s s s

t t

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ φ ρ

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂

v v v

v v 1 11 1

1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1

g

l g s l g sl ll s

l l g l l g l l g l g l l g l l g ll l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l

l sl l sl l sl l sgl l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sg l sg l sg

t

s s

s s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

∂

+ ∇ ⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

v

v v v v

v v v 1 11 1

1

1 1 11 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

l sg l sgll sg

l g s l g s l g sl l s l l s l l sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s

l l g l l g l g ll l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l

s s

s s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

v

v v v v

v v v v 1 21

1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

1

1 2

l g ll

l sl l sl l sg l sgl l l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sg l sg l sg l sg

l l s l l s l g s l g sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s

ll l g l

s s

s s

s p

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

φ

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+ ∇

v v v v

v v v v

1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

l l g l g l l sl l sgl l l l l l ll g l g l l g l l sl l sl l sg l sgs p s p s pφ φ φ+ ∇ + ∇ + ∇

107

1 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 21 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1

2 2

2 2 2

l gs l l s l l g l gll l l l l l l l l ll l gl gs l gs l l s l l s l l g l l g l gl l gl l gl

l sl l l sl l l l l l l ll sl l l sl sl l sl l l s l l s l sg l sg l sg

s p s p s s

s s s

φ φ µ φ µ φ

µ φ µ φ µ φ

+ ∇ + ∇ − ∇ − ∇

− ∇ − ∇ − ∇

v v

v v v 11

1 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 21 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 2 1 2 1 1

2

l sgl

l gs l l g l gl l sll l l l l l l l l l l ll l gl gs l gs l gs l l g l l g l gl l gl l gl l sl l sl l sl

l sg l l s l gsl l l l l l ll sg l sg l l s l l s l l s l gs l gs

s s s s

s s s

µ φ φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ φ ρ

− ∇ − − −

− − −

v g g g

g g 1

1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 1( ) ( )P Pl sl g l l sg

ll gs

l l l l l ll sl l sl l sl p l sl g l l s l l s l l s p l l sg

l l l l l l l l ll l gs l l g l gl s l gl l sl g l sl l sgl l sg l gs l

dP dPV V

p s p s p s p s p

ρ ρ

φ φ φ φ+

=− − ⋅ − − ⋅

+ ∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆

∫ ∫v v v λ v v v λ

( ) ( )

( )

1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 1 2 1

1 2

1 1

1 1

P Pl l sg l sl g

Pl gsl

ll gs

l l l l l l l ll l sg l l s l l sg l l s l l s l l sg l sl g l sl l sl l sl g

l l l ll gsl l gs l gs l gsl l sgl l

s

p s p dP p dPV V

p dP pV V

φ

φ µ µ

µ µ

+ +

∇

∆ ∇ + − + ∇ ⋅ − + ∇ ⋅

+ − + ∇ ⋅ + − +

∫ ∫

∫

v λ v λ

v λ ( )

( ) ( )

{ }

1 1

1 1 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1

1 ( )

Pl sgl

P Pl l gs l gl s

l lsg l sg l sgl

l l l l l ll l gs l l g l l g l l gs l gl s l gl l gl l gl s

l l l l l ll l l l l l l l g l l g l l l l l l

dP

p dP p dPV V

pV

µ µ

ρ µ

∇ ⋅

+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

v λ

v λ v λ

v v U I v υ

{ }

{ } { }

{ }

1 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2 1

1 ( )

1 1

1

Ll l g

Ll sg

L Ll sl l gl

g

l l l l l ll s l s l s l sg l sg l s l s l sg

l l l l l ll sl l s l s l sl l gl l g l g l gl

l l ll l s l l l l l

dL

p dLV

p dL p dLV V

pV

ρ µ

µ µ

µ

+ − + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅

∫

∫

∫ ∫

v v U I v υ

I v υ I v υ

I v υ { }1 1 1

2 1 1 1 1

1 2 1

1

L Ll l s l gs

l l ll s l gs l g l g l gsdL p dL

Vµ+ − ∇ ⋅∫ ∫ I v υ

(177)

Para l2:

2 1 2 12 1 2 1 2 22 2 22 2 2 2 2 2

22 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2

22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

g gll gs

ll sg

l g l l g ll l g l l g l g s l g sl l ll l l l ll l g l l g l l g l s l sl g l l g l l g l

l sl l sl l l s l l sl l l l l ll sl l sl l sl l l s l l s l l s

ss s

t t t

s s s

t t

φ ρφ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ φ ρ

∂∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂

vv v

v v 2 22 2

2 2

2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2

g g

l sg l sgl ll s l s

l g l l g l l g ll l g l l g l l gl l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l

l sl l sl l sl l sgl l l l l ll sl l sl l sl l sl l s g l s g l

t

s s

s s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

∂

+ ∇⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

v

v v v v

v v v 2 22 2

2 2

l sg l sgl lsg l sgv

108

2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

l l s l l s l l s l g s l g s l g sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s

l l g l l g l g l l g ll l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l

l sl

s s

s s

s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

+∇⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅

v v v v

v v v v

2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2 12 2

2 1 2 1 2

l sl l sl l s g l s gl l l l l l l ll sl l sl l sl l sg l sg l sg l s g

l l s l l s l g s l g sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s

l l gl ll l g l l g l g

s

s s

s p s

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

φ

+∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+ ∇ +

v v v v

v v v v

2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2

2 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 12 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2

2 12 1 2

2 2

2

l g l l sl l sgl l l l l ll l g l l sl l sl l s g l sg

l g s l l s l l g l g ll l l l l l l l l ll l s l l gl g s l g s l l s l l g l l g l gl l g l l g l

l ll sll sl l s

p s p s p

s p s s p s s

s

φ φ φ

φ φ µ φ µ φ

µ φ

∇ + ∇ + ∇

+ ∇ + ∇ − ∇ − ∇

− ∇

v v

v 2 1 2 2 12 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2

2 12 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 12 2 2

2 1 2 1 2 1 2

2 2

2

l sl l sg l l sl l l l l l ll l s g l s g l sg l l s l l s l l s

l g s l l g l g ll l l l l l l l ll l gl gs l g s l gs l l g l l g l g l l g l l gl

l sll l l ll sl l sl l sl l s g

s s

s s s

s s

µ φ µ φ

µ φ φ ρ φ ρ

φ ρ

− ∇ − ∇

− ∇ − −

− −

v v

v g g

g 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 12 2 2 2 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

1 1( ) ( )P Pl l sg l s l g

l sg l g sl l l l ll s g l sg l g s l g s l gs

l l sl l l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l l s l l s p l l sg l sl l sl l sl p l sl g

l ll l gs l l g

s

s dP dPV V

p s

φ ρ φ ρ

φ ρ ρ ρ

φ

−

− = − − ⋅ − − ⋅

+ ∆ ∇

∫ ∫

g g

g v v v λ v v v λ

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2

1 1

P Pl l sg l

l l l l l l l ll g l s l gl l sl g l sl l s g l l sg l l sg l l s

l l l l l l l ll gsl l gs l l sg l l s l l s l l sg l sl g l sl l sl l sl g

p s p s p s p s

p s p dP p dPV V

φ φ φ φ

φ µ µ

+

+ +

+ ∆ ∇ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇

+ ∆ ∇ − + ∇ ⋅ − + ∇ ⋅∫ v λ v λ

( ) ( )

( ) ( )

1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2

1 1

1 1

sl g

P Pl sg l l gs l

P Pl l gs l

l l l l l ll sg l l sg l sg l sg l l gsl l g s l gs l gsl

l l l l l ll l gs l l g l l g l l gs l gl s l gl l gl l g l s

p dP p dPV V

p dP p dPV V

µ µ

µ µ+

+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅

− + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅

∫

∫ ∫

∫

v λ v λ

v λ v λ

{ }

{ }

{ }

1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2 1 2 2 2 1

2 1

1 ( )

1 ( )

1 1

gl s

Ll l g

Ll s g

Ll sl

l l l l l ll l l l l l l l g l l g l l l l l l g

l l l l l ll s l s l s l sg l sg l s l s l s g

l l ll sl l s l s l sl l

p dLV

p dLV

p dL pV V

ρ µ

ρ µ

µ

+ − + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ +

∫

∫

∫

∫

v v U I v υ

v v U I v υ

I v υ { }

{ } { }

2 2 2

2 1 2 2 2 1

2 1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2 1 2

1 1

Ll gl

L Ll l s l gs

l l lgl l g l g l g l

l l l l l ll l s l l l l l l s l gs l g l g l g s

dL

p dL p dLV V

µ

µ µ

− ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

I v υ

I v υ I v υ

(178)

Para g:

1 2 1 2 2 1 2 1 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1

gl l gl l gl l gl l g sl g slg g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l g sl g sl g sls s s

t t t

φ ρ φ ρ φ ρ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

v v v

109

2 2 1 1 2 2

2 2 2 1 1 1 2 2 2

2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

1

s s s s s s

g sl g sl gl s gl s gl s gl sg g g g g g g g gg sl g sl g sl gl gl gl gl gl gl

g l l g l l g l lgl l gl l gl lg g g g g g g ggl l gl l gl l gl l g l l g l l g l l g l l

gg sl g sl

s s s

t t t

s s

s

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

φ ρ

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

+ ∇⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅

v v v

v v v v

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2 2

2 2 21 1 1

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 2 2

s s s s

g sl gsl gsl g sl g sl g slg g g g g g gg sl g sl g sl g sl g sl g sl

g l s g l s g l sgl s gl s gl sg g g g g g g ggl gl gl gl g l s g l s g l s g l s

g sl g slg g g g g gg sl g sl g sl g sl g sl g sl

s

s s

s s

φ ρ

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

+∇ ⋅

+ ∇⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

v v v v

v v v v

v v 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 1

g sl g slg gg sl g sl

gl l gl l g l l g l lg g g g g g g gg l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l

gl s gl s g l s g l sg g g g g g g gg l s g l s g l s g l s g l s g l s g l s g l s

ggl l gl

s s

s s

s p

φ ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

φ

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+∇ ⋅ +∇ ⋅

+ ∇

v v

v v v v

v v v v

1 2 2 1 1 2

2 1 2 1 1 1 2 22

1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 2 1 21

2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

2

2 2

s s s

s

gl l gl l gsl gslg g g g g g ggl l gl l gsl gsl gsl gsll

gl s gl s gl lg g g g g g ggl gl gl gl l gl l gl lgl s

gl l g slg g g g g g ggl l gl l gl l gsl g sl g sl gl

s p s p s p

s p s p s

s s s

φ φ φ

φ φ µ φ

µ φ µ φ µ

+ ∇ + ∇ + ∇

+ ∇ + ∇ − ∇

− ∇ − ∇ −

v

v v 2

2 2

1 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 1

2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2

2

2 2

s s

s s s

s s s

gl sg ggl gl

g sl gl s gl lg g g g g g g g ggsl g sl g sl gl gl gl gl l gl l gl l

gl l gsl gl sg g g g g g g g ggl l gl l gl l gsl gsl gsl gl gl gl

gslg g ggsl gsl gsl

s s s

s s s

s s

φ

µ φ µ φ φ ρ

φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ

∇

− ∇ − ∇ −

− − −

− −

v

v v g

g g g

g 2

2 2 2 1 1 1 1 2

1 2

2 2 2 2 2 22 1 2 1

2 1 2 1

1 1 1 1 2

1 2

1 ( )

1 1( ) ( )

1 ( )

s s sPg l sl

P Pgl sl gsl l

Pgsl l

gl sg g g g g ggl gl gl gl s gl s gl s p g l sl

g g g g g gg l s g l s g l s g sl g sl g slp g l sl p gsl l

g g ggsl gsl gsl p gsl l

dPV

dP dPV V

dPV

φ ρ ρ

ρ ρ

ρ

= − − ⋅

− − ⋅ − − ⋅

− − ⋅ +

∫

∫ ∫

∫

g v v v λ

v v v λ v v v λ

v v v λ

( ) ( )

1 2 1 2 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 1 2 21 2 2 1

1 2 2 1

1 1s s

P Pg l sl g l sl

g g g ggl l s gl l gl l s gl l

g g g g g g g ggsl l gsl gsl l gsl gl sl gl gl sl gl

g g g g g ggl sl gl s gl s gl sl gl s gl sgl sl gl sl

p s p s

p s p s p s p s

p dP p dPV V

φ φ

φ φ φ φ

µ µ+

∆ ∇ + ∆ ∇

+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇

− + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅∫ v λ v λ

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 1 2 1 2 21 2 2 1

1 2 2 1

2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 11 2 2 1

1 2 2 1

1 1

1 1

P Pgsl l gsl l

P Pgl l s g l l s

g g g g g ggsl l g sl g sl gsl l g sl gslgsl l gsl l

g g g g g ggl l s gl l gl l gl l s gl l gl lgl l s gl l s

p dP p dPV V

p dP p dPV V

µ µ

µ µ

++ − + ∇ ⋅ − + ∇ ⋅

+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅

∫

∫ ∫

∫ ∫

v λ v λ

v λ v λ

110

{ } { }

{ } { }1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2

1 2 2

2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1

2 1

1 1( )

1 1( )

g

L Lgl l gl s

Lgl l

g g g g g g g ggl gl gl gl l gl l gl gl gl l gl s gl gl gsl

g g g g g g g g ggl gl gl gl l gl l gl gl gl l gl s gl gl gsl

p dL p dLV V

p dL pV V

ρ µ µ

ρ µ µ

+ − + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫ ∫

∫

v v U I v υ I v υ

v v U I v υ I v υ

{ }

{ }

1

1 1 1

1

2 2 2

2

1 ( )

1 ( )

Lgl s

Lgsl

Lgsl

g g g g g ggs gs gs gsl gsl gs gs gsl

g g g g g ggs gs gs gsl gsl gs gs gsl

dL

p dLV

p dLV

ρ µ

ρ µ

+ − + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

∫

∫

∫

v v U I v υ

v v U I v υ

(179)

3. 3. 4 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el punto de contacto

Poca literatura ha sido encontrada sobre la ecuación de cantidad de movimiento en el punto

de contacto (Gray y Hassanizadeh, 1998) ya que en la mayoría de los trabajos reportados

hasta el momento (Marle, 1982; Gray y Hassanizadeh, 1989; Achanta et al., 1994;

Hassanizadeh y Gray 1990; Gray y Hassanizadeh, 1998) no lo consideran. Lo anterior se

debe, a que muchos de estos trabajos no toman en cuenta los términos de acumulación e

inerciales en el balance de la línea de contacto, de los cuales, depende que exista el balance

en el punto de contacto. Por lo antes mencionado, partiendo del balance en el punto de

contacto [Ec. (108)] se expresa el balance para el punto de contacto para la fase k como:

{ }( )0P

kmnqk m n q

k k k k kk mn k mn p k mn q k mn k mn k mn qpρ µ

≠ ≠ ≠

− + − ∇= ⋅∑ v v I v λ (180)

donde k=l1, l2, g, m=l1, l2, g, n=l1, l2, g , q=l1, l2, g ( k m n q≠ ≠ ≠ ), pv es la velocidad del

punto de contacto formado por las fases kmnq, kmnqλ es el vector unitario tangente a la línea

de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto kmnq.

Aplicando las ecuaciones (41) y (43) a la ecuación (180) queda expresada en términos de

kkmnqε .

111

{ }( )0P

kmnqk m n q

kmnqk k k k kkk mn k mn p k mn q k mn k mnk mn q k mn qpρ µε

≠ ≠ ≠

− + − ∇= ⋅∑ v v I v λ (181)

Para la Ec. (181), se usa la condición de no deslizamiento por lo que

0kk ms k mn s p k mns⋅ = ⋅ =v λ v λ .

Expresando la Ec. (181) estrictamente para un medio poroso se considera que

k kkmnq kmnqsε φ= , donde

kkmnqk

kmnqm

Ps

V= , y mV

Vφ = , quedando redefinida de la siguiente manera:

{ }Transferencia de cantidad de movimiento en el punto de contacto

1 ( )0P

k k k k kk mn k mn p k mn q k mn k mn k mn q

kmnq Pkmnqk m n q

p dPV

ρ µ

≠ ≠ ≠

− + − ∇= ⋅∑ ∫ v v I v λ (182)

Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (182) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (transferencia de masa

entre l1 con g l2 con g) son:

Para l1:

{ }

{ }

{ }

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

10 ( )

1 ( )

1

Pl l sg

Pl s l g

l l l l l ll l s l l s l l s p l l sg l l s l l s l l sg

l l l l l ll sl l sl l sl p l sl g l sl l sl l sl g

l l ll l gs l l g l l g l l g

p dPV

p dPV

pV

ρ µ

ρ µ

µ

= − + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅

∫

∫

v v v v λ

v v v v λ

v λ { }

{ } { }

1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 2 1 2

1

1 1

P Pl l gs l g l s

P Pl gsl l s g l

l l ls l g l s l g l l g l l gl s

l l l l l ll gsl l gs l gs l gsl l sg l l sg l sg l sgl

dP p dPV

p dP p dPV V

µ

µ µ

+ − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

v λ

v λ v λ

(183)

Para l2:

{ }

{ }

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

10 ( )

1 ( )

Pl l sg

Pl s l g

l l l l l ll l s l l s l l s p l l sg l l s l l s l l sg

l l l l l ll sl l sl l sl p l sl g l sl l sl l sl g

p dPV

p dPV

ρ µ

ρ µ

= − + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

∫

∫

v v v v λ

v v v v λ

112

{ } { }

{ } { }

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1

1 1

1 1

P Pl l gs l gl s

P Pl gsl l s g l

l l l l l ll l gs l l g l l g l l gs l g l s l g l l g l l gl s

l l l l l ll gsl l gs l gs l gsl l sg l l sg l sg l sgl

p dP p dPV V

p dP p dPV V

µ µ

µ µ

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

v λ v λ

v λ v λ(184)

Para g:

{ }

{ }

{ }

1 1 1 1 2 1 2 1 1 2

1 2

2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 1

1 1 1 1 1 1 1 2

10 ( )

1 ( )

1 ( )

Pgsl l

Pgsl l

P

g g g g g ggsl gsl gsl p gsl l gsl l gsl gsl l

g g g g g ggsl gsl gsl p gsl l gsl gsl gsl l

g g g g g ggl s gl s gl s p gl s gl s gl s gl sl

p dPV

p dPV

p dPV

ρ µ

ρ µ

ρ µ

= − + − ⋅

+ − + − ∇ ⋅

+ − + − ∇ ⋅

∫

∫

v v v v λ

v v v v λ

v v v v λ

{ }

{ } { }

1 2

2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1

1 ( )

1 1

gl sl

Pgl sl

P Pgl l s gl l s

g g g g g ggl s gl s gl s p gl sl gl s gl s gl sl

g g g g g ggl l s gl l gl l gl l s gl l s gl l gl l gl l s

p dPV

p dP p dPV V

ρ µ

µ µ

+ − + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫

∫ ∫

v v v v λ

v λ v λ

(185)

3. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Se desarrolló un conjunto de ecuaciones de cantidad de movimiento promediadas en

volumen para flujo multifásico en un medio poroso. Tales ecuaciones, describen el flujo

del fluido en las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.

Ecuaciones similares fueron obtenidas por Gray y Hassanizadeh (1989, 1998), Whitaker

(1990, 1996, 1997) y Bousquet et al. (2002). En el trabajo hecho por Gray y Hassanizadeh

(1989), utilizando el método del promedio volumétrico desarrollaron la ecuación de masa y

cantidad de movimiento para las interfases y líneas de contacto. Para ello, los autores

desarrollaron y aplicaron los teoremas de promediado en volumen y en superficie. Sin

embargo, en la ecuación de cantidad de movimiento sobre la línea de contacto, solo tomó

en cuenta el término de transferencia de cantidad de movimiento de la interfase hacia la

línea de contacto (último término de la Ec. 107), es decir, despreciaron los términos de

113

acumulación, inerciales, viscosos, de presión y fuerzas de gravedad, obteniendo así, una

predicción alejada del comportamiento real del sistema.

Años más tarde, Gray y Hassanizadeh (1998) desarrollaron ecuaciones integrales globales

para la fase, interfase, línea y punto de contacto. Con la finalidad de obtener ecuaciones de

masa y cantidad de movimiento y energía a escala macroscópica (promediada en volumen)

los autores plantearon equivalencias entre los términos microscópicos promediados y los

términos macroscópicos. Sin embargo en las ecuaciones macroscópicas obtenidas de

cantidad de movimiento, para la fase, interfase, línea y punto de contacto, el término de

esfuerzos fue definido de forma general por lo que no es posible observar de forma directa

la contribución de la presión y de los esfuerzos viscosos durante el promediado.

Bousquet et al. (2002) obtuvieron la ecuación de masa y cantidad de movimiento

promediada en volumen, para la fase. En su trabajo se tomó en cuenta la transferencia de

masa y la transferencia de cantidad de movimiento (debido a la transferencia de masa,

presión y esfuerzos viscosos). En la ecuación de cantidad de movimiento promediada en

volumen, específicamente en el término presión interfacial, los autores tomaron en cuenta

la definición de desviaciones espaciales propuesta por Gray (1975), con lo cual no es

posible visualizar la contribución de los efectos dispersivos de la presión en el término de

transferencia de cantidad de movimiento.

Trabajos similares al de Bousquet et al. (2002) fueron realizados por Whitaker (1990,

1996, 1997), sin embargo, en estos, se desprecio la transferencia de masa entre el sólido y

la fase fluida debido a que el sólido fue considerado como rígido y fijo. Como resultado,

Whitaker obtuvo ecuaciones de cantidad de movimiento más simplificadas que la obtenida

por Bousquet et al. (2002).

En el presente trabajo, al igual que se hizo para la ecuación de masa se despreciaron los

términos que contienen variaciones de densidad alrededor de su valor promedio. Por otro

114

lado, en las ecuaciones obtenidas, se conservó la consideraron de la existencia de 1) los

términos de transferencia de masa y cantidad de movimiento entre las fases, interfases,

líneas y puntos de contacto y 2) términos de acumulación, inerciales, presión, esfuerzos y

fuerzas de gravedad para la ecuación de cantidad de movimiento promediada en la fase,

interfase y línea de contacto.

Por otro lado, al igual que los trabajos hechos por Gray y Hassanizadeh (1989), Whitaker

(1990, 1996, 1997,), Gray y Hassanizadeh (1998) y Bousquet et al. (2002), se obtuvieron

términos adicionales durante el proceso de promediado (términos de dispersión de presión

y velocidades, así como términos de las diádas de las desviaciones espaciales de la

velocidad) para las fases, interfases y líneas de contacto.

De forma resumida la Tabla 3.1 muestra la comparación de las ecuaciones de cantidad de

movimiento obtenidas contra los trabajos presentados por Gray y Hassanizadeh (1989,

1998), Whitaker (1990, 1996, 1997) y Bousquet et al. (2002).

115

Tabla 3.1 Comparación de las ecuaciones de cantidad de movimiento obtenidas contra otros trabajos. Autor Ecuación

Fase k Gray y

Hassanizadeh (1998)

{ }( )k k N kmk k k k k k kk k k k

k k k k k k k k k k k k k km k k km k kmkmk m

tε ρ

ε ρ ε ρ ε ε ρ ε ρ≠

∂+ ∇⋅ +∇⋅ − ∇⋅ − =− − − ⋅

∂ ∑v

v v v v t g v w t n

Whitaker (1990, 1996,

1997) { }2

k kk k k k k k k kk k k

k k k k k k k k k k k k k k k k

N kmkkm k k k km

kmk m

p pt

ε ρε ρ ε ρ ε µε ε ρ ε µ

≠

∂+ ∇⋅ +∇⋅ + ∇⋅ − ∇ − = − + ∇ ⋅

∂ ∑v

v v v v v g v n

Bousquet et al. (2002) { }2 ( )

k k N kmk k k k k k k kk k k kk k k k k k k k k k k k k k k k km k k km k k k km

kmk m

N kmkk km k km

kmk m

p pt

ε ρε ρ ε ρ ε µ ε ε ρ ε ρ µ

µ ε

≠

≠

∂+ ∇⋅ +∇⋅ + ∇⋅ − ∇ − =− − + − ∇ ⋅

∂

⎞⎛⎟⎜+ ∇⋅ ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑

vv v v v v g v w v n

v n

En el

presente trabajo

( ) ( ) 2

( ) ( )

1 1( ) ( )

k kk k kk k k k kk k k

k k k k k k k kk k k k k k k k

N Nkkm k

km kmk m k m

kk k k km km km k k km

A t A tkm km

pt

dA p p dAV V

ε ρε µ ε ε ρε ρ ε ρ

ρ ε µ≠ ≠

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ − ∇ −

∂

= − − ⋅ + ∆ ∇ + − + ∇ ⋅∑ ∑∫ ∫

vv gv v v v

v v w n v n

116

Continuación (Tabla 3.1)

Interfase km Gray y

Hassanizadeh

(1989) { } { }( ) ( )

km kmk k kkm km km km kmkm km km k k k k k k k k k

km km km km km km km km km

Q Nkmn kmk k k k k kkmn km km km kmn km kmn km k k k km k km

kmn km

t

ε ρε ρ ε ε ρ

ε ρ ε ρ=

∂ ⎞⎛+∇⋅ −∇⋅ −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

− − − ⋅ + − − ⋅∑ ∑

vv v t g

v v U t υ v v w t n

Gray y

Hassanizadeh

(1998) { } { }( ) ( )

km kmk k kkm km km km km km kmkm km km k k k k k k k k k k k k k

km km km km km km km km km km km km km

Q Nkmn kmk k k k k kkmn km km km kmn km kmn km k k k km k km

kmn km

t

ε ρε ρ ε ρ ε ε ρ

ε ρ ε ρ=

∂ ⎞ ⎞⎛ ⎛+∇⋅ +∇⋅ −∇⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎝⎠ ⎠

− − − ⋅ + − − ⋅∑ ∑

vv v v v t g

v v U t υ v v w t n

En el

presente trabajo ( ) ( )

2 ( )Q

kmnk m n

km kmk k kkmkm km km km kmkm km km kkk k k k k k k k k

k mkmkm km km km km km km km km km km km km

km kmnkmkk k k k k k k k k k kk mk m km km km k m kmn km km km kmn kmn kmn km

kkmn km

pw wt

p

p

ε ρεε ρ ε ρ

µ ε ε ρ ε ρ ε

ε

≠ ≠

+∂

+∇ ⋅ +∇⋅ + ∇+∂

− ∇ − = − − ⋅ + ∆ ∇

+ −

∑

vv v n v v v n

v g v v U υ

( ) { }1 2

( )Q

kmnk m n

N kmkmnk k k k kn km km l l g km k k k k m k m k k k m

k mk m

pµ ε ρ µ≠ ≠

+

≠

∇ ⋅ + − + − ∇ ⋅∑ ∑v υ v v w I v n

117

Continuación (Tabla 3.1)

Línea de contacto kmn Gray y

Hassanizadeh

(1989)

{ }0 ( )Q k mnk k k k k k

k mn k m k m k m k mn k m k mnkmn

ε ρ= − − ⋅∑ v v v t υ

Gray y Hassanizadeh

(1998)

{ }( ) (k

kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn km km kmn kmn

P kmnqkmnk k k k k k k k k k kkmn kmn kmn kmnq kmn kmn kmn p kmn kmnq kmn km km k

kmmq

t

ε ρε ρ ε ρ ε

ε ρ ε ρ ε ρ= −

∂ ⎞ ⎞⎛ ⎛+∇⋅ +∇⋅ −∇⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎝⎠ ⎠

− − − ⋅ +∑

vv v v v t

g v v v t λ v v{ })Q kmnk k

m kmn km kmnkmn

− − ⋅∑ U t υ

En el

presente trabajo

2

( )P

kmnqk m n q

kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k k k k k k

kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnqkmn k k kk k k kkmn kmn kmn p kmnqkmn kmn kmn kmnq kmnq

pt

p

ε ρε ρ ε ρ ε µ ε

ρε ρ ε≠ ≠ ≠

∂+∇⋅ +∇⋅ + ∇ − ∇

∂

− ⋅− =− + ∆∑

vv v v v v

v v v λg

( ) { }( )QP

kmnq kmnk m n q k m n

k kkmn

kmnq kmnk k kk k k k k k k kkmnq kmn kmnkmnq kmnq kmn km km km kmn kmn km km kmnp p

ε

µε ε ρ µ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

∇

− + ∇+ ⋅ + − + − ∇ ⋅∑ ∑v λ v v U I v υ

118

Continuación (Tabla 3.1)

Punto de contacto kmnq Gray y Hassanizadeh

(1998) { }0 ( )kP kmnqk k k k k

kmnq kmn kmn kmn p kmn kmnqkmmq

ε ρ= − − ⋅∑ v v v t λ

En el presente trabajo { }( )0P

kmnqk m n q

kmnqk k k k kkk mn k mn p k mn q k mn k mnk mn q k mn qpρ µε

≠ ≠ ≠

− + − ∇= ⋅∑ v v I v λ

119

3. 5 CONCLUSIONES

Se obtuvo un conjunto de ecuaciones de cantidad de movimiento promediadas en volumen

para flujo multifásico de gas (g) y dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio

poroso homogéneo, isotrópico y rígido.

Las ecuaciones de cantidad de movimiento fueron promediadas en volumen para cada una

de las regiones coexistentes dentro del volumen de promediado, es decir, para cada una de

las fases, interfaces, líneas y puntos de contacto, tomando en cuenta la transferencia de

masa y cantidad de movimiento entre las fases 1l g− y 2l g− de acuerdo a la definición del

proceso tipo cascada.

Para la línea de contacto en la ecuación de cantidad de movimiento, se tomaron en cuenta

los términos de acumulación, inerciales, presión, esfuerzos viscosos, fuerzas de gravedad y

transferencia de cantidad de movimiento interfacial. Con lo anterior se obtuvieron términos

que a la fecha no habían sido reportados en la literatura especializada (ver Tabla 3.1).

Las ecuaciones promediadas en cada una de las regiones coexistentes dentro del volumen

de promediado fueron planteadas tomando en cuenta explícitamente la definición de medio

poroso tal como se muestra en las Ecs. (132), (157), (176) y (182).

120

Capítulo 4

ECUACIÓN DE ENERGÍA

4.1 INTRODUCCIÓN

La transferencia de calor y flujo de fluidos con cambio de fase en un medio poroso aparece

en un gran número de situaciones de interés práctico incluyendo procesos de secado

(Daurelle et al., 1988; Levec y Carbonell, 1985 ), sistemas geotérmicos (Woods, 1999),

diseño de intercambiadores de calor (Liter y Kaviany, 2001), análisis de seguridad

industrial (Lipinsky, 1984) y procesos de recuperación de aceite (Chu, 1964; Gottfried,

1965, 1968; Gottfried et al., 1966; Gottfried y Mustafa, 1978).

Por otro lado, la transferencia de calor en un medio poroso, para flujo monofásico y

bifásico, bajo la descripción macroscópica ha sido ampliamente estudiada por Duval et al.

(2004), Vafai y Tien (1981), Moyne (1997), Hsu (1999), Nakayama et al. (2001),

Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004), Sha et al. (1984), Nozad et al. (1985a), Levec

y Carbonell (1985), Whitaker (1967, 1986a, 1986c), Anderson y Jackson (1967), Marle

(1967), Slattery (1967), Jiménez-Islas (1999), y Donald et al. (1999), mientras que para

flujo multifásico, se encuentran muy pocos trabajos desarrollados. Por ejemplo el trabajo

presentado por Soria y De lasa (1991), en el cual presentaron balances generales de las

ecuaciones de transporte validos para cada una de las fases, interfases y líneas de contacto

considerando flux difusivo, reacción química y transferencia de masa entre las fases,

interfaces y líneas de contacto. Para el balance general para la línea de contacto,

consideraron que la contribución de términos intrínsecos (de densidad, flux difusivo,

generación, velocidad de flujo de fluido, etc.) fueran irrelevantes por lo que la ecuación de

balance general para la línea de contacto llegó a ser estrictamente su ecuación de salto, tal

121

como lo propusieron Deemer y Slattery (1978). Por lo anterior, el balance en el punto de

contacto no fue tomando en cuenta. Los autores especifican que dichas ecuaciones podían

ser aplicadas para obtener las ecuaciones de transporte de masa, cantidad de movimiento y

energía para el estudio del flujo multifásico.

Otro ejemplo, es el trabajo presentado por Gray y Hassanizadeh (1998), quienes

partiendo de la ecuación de conservación general en su forma integral, desarrollaron de

forma teórica, la ecuación de conservación general macroscópica, para flujo multifásico

(tres fases) en un medio poroso, para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.

Como resultado, se obtuvieron ecuaciones promediadas en volumen para las interfases,

líneas y puntos de contacto con y sin transferencia de masa interfacial. Sin embargo en

estas no se consideró la generación de masa ni flux difusivo.

Otro trabajo es el hecho por Hassanizadeh y Gray (1990), en el cual los autores utilizaron

las ecuaciones promediadas en volumen de masa, cantidad de movimiento y energía para

flujo bifásico (fluido-sólido) en un medio poroso homogéneo en estado transitorio. Las

ecuaciones fueron utilizadas para resolver un caso en particular de presión capilar bajo

condiciones de equilibrio y desequilibrio termodinámico.

De lo comentado anteriormente se detecta que existe muy poca literatura respecto al

estudio de flujo multifásico (tres fases) a través de un medio poroso que tome en cuenta los

balances de energía para cada unas de las regiones existentes dentro del volumen de

promediado, es decir, para las fases, interfases, líneas y punto de contacto.

Por lo anterior, en esta investigación, se presentan las ecuaciones de balance de energía

para cada una de las regiones antes mencionadas para el flujo multifásico de dos líquidos

inmiscibles y un gas (l1, l2, y g) en un medio poroso (s) homogéneo, isotrópico y rigido.

Para ello se toma en cuenta a) propiedades termodinámicas en los balances para la interfase

y línea de contacto y b) el balance en el punto de contacto.

122

Cabe señalar, que para proponer la ecuación de energía se tomarán en cuenta las

consideraciones y suposiciones hechas en la Sección 2.2 (líquidos inmiscibles e

incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g y l2 con g, y

generación de calor entre l1 con g).

4.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA LOCAL

El presente estudio tiene como punto de partida las ecuaciones locales de energía para las

fases, interfases, líneas y punto de contacto tal como se presentan a continuación.

4. 2. 1 Ecuación para la fase

La ecuación de balance de energía para una fase k compresible se puede presentar en

términos de temperatura (Espinosa-Paredes y cazarez-Candia, 2004; Bird et al., 1998). La

ecuación para una fase k esta definida por:

( ) ( )k kk k k k k k k k k

T pCp T p k Tt t

ρ β∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ ∇ + + ∇ = ∇⋅ ∇ +Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠v v (186)

1 2, ,k l l g=

donde

ln 11 1ln k k

TT Tρ ρβ ρ

⎡ ⎤∂ ∂⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ (187)

donde ρ es la densidad de masa (por unidad de volumen), Cp es la capacidad calorífica, T

es la temperatura, v es la velocidad, p es la presión, k es la conductividad térmica, Φ es la

fuente térmica homogénea por unidad de volumen y t es la coordenada temporal. El

subíndice k denota “de la fase k”.

123

4. 2. 2 Ecuación para la interfase

La ecuación de balance de energía para una interfase km se puede escribir también en

términos de temperatura tomando en cuenta la compresibilidad del fluido en la interfase.

Cabe señalar que el balance en la interfase ha sido presentado en los trabajos realizados por

Soria y De lasa (1991), Hassanizadeh y Gray (1997) y Gray y Hassanizadeh (1998), sin

embargo, la describen en términos de energía total.

Entonces, la ecuación para la fase k (donde k=l1, l2, g) en la interfase puede ser escrita

como:

( ) ( )

( )) ( )

{ }

2

2

( )( ) ( )( )

k kk k k k k k kkm kmkm km km km k m k m k m k m km km km

k k kk kk m k m km km kmk m k m

k k

k k k k m k k k k k m k k k k k m

N

k mk m

T pCp T H T pt t

H p k T

Cp T T p p k T

ρ β

ρ β

≠

⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ∇ − ⋅ + + ∇⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠

− ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +Φ

+ − − + − − − ∇ ⋅∑

v w n v

w n

v w v w n

(188)

1 2 1 2; , , , ,...k m km l l g l g gsl≠ =

donde H es curvatura media, kkp es la presión promedio intrínseco, k mw es la velocidad

de la interfase, nkm es el vector normal unitario dirigido de la fase “k” a la fase m, N

kmk m≠

∑ es la

sumatoria de todas las interfases que involucran la fase k y t es la coordenada temporal. El

subíndice km indica “en la interfase km” y kmβ esta dada por:

ln 11 1ln

k kkm kmk k

km km kmk kkm kmk k

TT Tρ ρβ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

(189)

4. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto

Una ecuación general de balance para la fase k (donde k=l1, l2, g) en la línea de contacto

kmn se puede escribir como:

124

( ) ( )

{ }( )( ) ( )( )

k kk k k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

km kmk k k k k k k k k kkm km km k mn km km km km k mn km km km km k mn

Q

k mnk m n

T pCp T p k Tt t

Cp T T p p k T

ρ β

ρ β≠ ≠

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ∇ + + ∇ = ∇⋅ ∇ +Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

+ − − + − − − ∇ ⋅∑

v v

v U v U υ

1 2 1 1 2 2, , , ,..g gs s gskmn l l l l l l= (190)

donde, kmnυ es el vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km

apuntando hacia fuera de dicha interfase, k mnU es la velocidad de la línea de

contacto,Q

kmnk m n≠ ≠

∑ es la sumatoria de todas la líneas de contacto. El subíndice kmn indica “en la

línea de contacto kmn” y kmnβ esta dada por:

ln 11 1ln

k kkmn kmnk k

kmn kmn kmnk kkmn kmnk k

TT Tρ ρβ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

(191)

Cabe señalar que una expresión de balance de energía para la línea fue propuesta por

Slattery (1990), Soria y De lasa (1991), Gray y Hassanizadeh (1998), Gray (1999) y

Hassanizadeh y Gray (1997), sin embargo esta fue expresada en términos de energía total.

4. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto

A diferencia de los balances de energía en el volumen, interfase y línea de contacto, la

ecuación en el punto de contacto no tiene propiedades termodinámicas debido a que los

puntos de contacto son los lugares geométricos de la convergencia de las líneas de

contacto. Su ecuación puede escribirse como:

{ }0 ( )( ) ( )( )kmn kmk k k k k k k k k k

kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn km kmn kmn k mnqCp T T p p k Tρ β= − − + − − − ∇ ⋅v v v v λ

1 2 1 2 2 1 2, , , ,....kmn l l g l l s l gl l gs= (192)

donde pv es la velocidad del punto de contacto, kmnqλ es el vector unitario tangente a la

línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto kmnq (k≠m≠n≠q), P

kmn qk m n q≠ ≠ ≠

∑ es la

125

sumatoria de todos los puntos de contacto. El subíndice kmnq indica “en el punto de

contacto kmnq”.

La velocidad de las diferentes líneas en el punto de contacto son iguales por lo que las

ecuaciones, de cada una de las líneas en el punto de contacto, son totalmente equivalentes.

Lo anterior permitiría expresar la ecuación de energía en el punto de contacto tomando en

cuenta solo una línea de contacto.

4.3 ECUACIÓN PROMEDIADA

Siguiendo el mismo procedimiento de promediado las ecuaciones masa y cantidad de

movimiento, se realizará el promediado de las ecuaciones locales de la ecuación de energía

tal como se presenta a continuación.

4. 3. 1 Ecuación promediada en el volumen

En este tema, se obtendrá la ecuación de energía del tipo promedio en volumen. Para ello,

primeramente se aplica el operador promedio en volumen dado por la Ec. (9) a la Ec. (186)

resultando:

( ) ( )k kk k k k k k k k k k

T pCp T p k Tt t

ρ β∂ ⎞ ∂ ⎞⎛ ⎛+ ⋅∇ + + ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ + Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

v v (193)

Aplicando el teorema dado por la Ec. (23) al primer término del lado izquierdo de la Ec.

(193)se obtiene

( )

1Nkk

k km kmkm tk m

Akm

TT T dAt t V

≠

∂∂= − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ w n (194)

Para la Ec. (194) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento por lo que

0gs gs⋅ =w n .

126

En este estudio la temperatura representativa es la correspondiente a la temperatura

intrínseca (es la que se mide) por lo cual se utiliza el teorema dado por la Ec. (11) sobre la

Ec. (194)

( )

1g

Ng gkk km km

km tk m

Akm

TT T dAt t V

ε

≠

∂∂= − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫ w n (195)

donde el término temporal (lado derecho) de la Ec. (195) se puede expresar como

( )

1k Nkkk k

k k k km kmkm tk m

Akm

TT T T dAt t t V

εε≠

∂∂ ∂= + − ⋅

∂ ∂ ∂ ∑ ∫ w n (196)

Aplicando el mismo procedimiento, al término de presión de la Ec. (193) se tiene:

( )

1k Nkkk k

k k k km kmkm tk m

Akm

pp p p dAt t t V

εε≠

∂∂ ∂= + − ⋅

∂ ∂ ∂ ∑ ∫ w n (197)

El término convectivo de la Ec. (193), se puede expresar como

k k k k k kT T T⋅∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅v v v (198)

Aplicando el teorema dado por la Ec. (24) al primer término del lado derecho de la Ec.

(198), se obtiene:

( )

1N

k k k k k k kmkm tk m

Akm

T T T dAV

≠

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∑ ∫v v v n (199)

donde la velocidad de la fase gas en la interfase formada con el sólido es 0g gs⋅ =v n .

Sustituyendo la Ec. (199) en la Ec. (198), se tiene que

( )

1N

k k k k k k km k kkm tk m

Akm

T T T dA TV

≠

⋅∇ = ∇ ⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v n v (200)

Siguiendo el mismo procedimiento, el término de presión de la Ec. (193) se puede escribir

como

127

( )

1N

g g g g k k km g gkm tk m

Akm

p p p dA pV

≠

⋅∇ = ∇ ⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v n v (201)

Para el término de conducción, se aplica el teorema dado por la Ec. (25) tal como se

muestra a continuación

( )( )

1N

k k k k k k kmkm tk m

Akm

k T k T k T dAV

≠

∇ ⋅ ∇ = ∇⋅ ∇ + ∇ ⋅∑ ∫ n (202)

Aplicando la definición dada por el teorema (24), al primer término del lado derecho de la

Ec. (202), se tiene:

( )

1N

k k k k k kmkm tk m

Akm

k T k T T dAV

≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∫ n (203)

Sustituyendo la Ec. (203) en la Ec. (202) se obtiene

( )( ) ( )

1 1N N

k k k k k km k k kmkm kmt tk m k m

A Akm km

k T k T T dA k T dAV V

≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑∫ ∫n n (204)

Aplicando la definición de fracción volumen a la Ec. (204) resulta

( )( )

( )

1

1

Nk kk k k k k k k k km

km tk m

N

k k kmkm tk m

Akm

Akm

k T k T T T dAV

k T dAV

ε ε≠

≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

n

n

(205)

donde

k k kk k k k k kT T Tε ε ε∇ = ∇ + ∇ (206)

Sustituyendo las Ecs. (196), (197), (200), (201) y (206) en la Ec. (193) se obtiene:

128

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

k Nk kk kk k k k k k k k km km

km tk m

k Nkk kk k k k k k k k k km km

km tk m

Nk kk k k k k k k k km

km tk m

Akm

Akm

Akm

TCp T T T dA

t t V

pT p p p dA

t t V

p k T T T dAV

ερ ε

εβ ε

ε ε

≠

≠

≠

⎛ ∂ ∂+ +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜ ∂ ∂⎝

⎞ ⎛ ∂ ∂⎟− ∇ ⋅ + + +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜⎟ ∂ ∂⎝⎠⎛⎛⎞ ⎜⎜⎟− ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎜⎟ ⎜⎠ ⎝⎝

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

v v w n

v v v w n

v n

( )

1N kk k

km tk m

k k kmAkm

k T dAV

ε≠

⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎜

⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + Φ∑ ∫ n

(207)

donde

gg g gεΦ = Φ (208)

En la Ec. (207) se puede observar que en los términos de las integrales aparecen

temperaturas locales. La ecuación resultante no puede estar en función de variables locales,

debido a que el objetivo es describir el sistema en términos de variables promedio. Para

intentar atacar este problema se aplica la descomposición de Gray (1975) a la temperatura

y a la velocidad , esto es

kk k kT T T= − (209)

kk k k= −v v v (210)

donde kT y kv representan las desviaciones espaciales alrededor del promedio de la

variable local. Sustituyendo la Ec. (208) en el t término conductivo de la Ec. (207) se

obtiene:

( ) ( ) ( )

1 1 1 kk

t t tk km k km km

A A Akm km km

T dA T dA T dAV V V

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫n n n (211)

Si las restricciones de escala longitud dadas por la Ec. (1) se satisfacen, entonces el

promedio de la temperatura es constante respecto a la integral

129

( )( ) ( )

11 1 kk

tt t

kmk km k kmAA A kmkm km

dAT dA T dA T VV V

⎞⎛⋅ = ⋅ + ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ ∫ nn n (212)

En forma similar para el término de flux de calor de la Ec. (207) se tiene que

( )( ) ( )

11 1 kk

tt t

kmk k km k k km kAA A kmkm km

dAk T dA k T dA k T VV V

⎞⎛∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ ∫ nn n (213)

Sustituyendo las Ecs. (212) y (213) en la Ec. (207) resulta

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1

1

11

k Nk kk kk k k k k k k k km km

km tk m

k Nkk kk k k k k k k k k km km

km tk m

Nk k kk k k k kk k k

km tk m

Akm

Akm

k kmAkm

TCp T T T dA

t t V

pT p p p dA

t t V

T T T dA Tp k VV

ερ ε

εβ ε

ε ε

≠

≠

≠

⎛ ∂ ∂+ +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜ ∂ ∂⎝

⎞ ⎛ ∂ ∂⎟− ∇ ⋅ + + +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜⎟ ∂ ∂⎝⎠

⎞∇ + ∇ + ⋅ +⎟− ∇ ⋅ = ∇ ⋅

⎟⎠

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

v v w n

v v v w n

nnv( )

( )( )

11

N

tkmk m

N Nk kk k k

tkm kmtk m k m

kmAkm

kmk k km kAA kmkm

dA

dAk T dA k T VVε

≠

≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛ ⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ + Φ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫∑

∫∑ ∑∫ nn

(214)

donde

( )

1N

ktkm

k m

kmAkm

dAV ε

≠

⎞⎛= −∇⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∑ n (215)

Aplicando la Ec. (54) al término convectivo [tercer término lado izquierdo de la Ec. (214)]

para intercambiar el promedio del producto de dos cantidades al producto de estas

cantidades promediadas, se tiene que

k kk k k k k k kT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (216)

Para obtener este resultado se usaron las restricciones de escala de longitud establecidas

por la Ec. (1) y debido a esto, los términos gv y gT son nulos. De la misma forma se

puede obtener el quinto término del lado izquierdo de la Ec. (214)

130

k kk k k k k k kT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (217)

Aplicando el teorema espacial al primer término de la Ec. (217) se obtiene:

( )

1Nk kk k k k k k k k

km tk m

kmAkm

T T dA TV

ε≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫v v v n v (218)

donde

1

( )

1Nk kk k k k k

km tk m

kmAkm

dAV

ε ε−

≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫v v v n (219)

Siguiendo el mismo procedimiento, pero ahora para los términos donde aparece la presión

en la Ec. (214):

k kk k k k k k kp p pε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (220)

( )

1Nk kk k k k k k km k k

km tk m

Akm

p p dA pV

ε≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫v v v n v (221)

Aplicando la Ec. (20) y sustituyendo las Ecs. (216), (218), (220) y (221) en la Ec. (214), se

obtiene la ecuación de transporte de energía promediada en volumen.

( )( )

( )( )

( )

( )

1

1

k kk k k k k kk k

k k k k k k k k k k k k k k

k kk k k k k k k k k k k k k k

Nk kk k k km k k km

km tkmk m

kk k km k k km

km tkmk

A

A

T pCp Cp T p

t tCp T Cp T p p

Cp T T dAV

p p dAV

ρ ε ρ ε β ε β ε

ρ ρ β β

ρ

β

≠

≠

⎞⎛ ∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ − − ⋅

∑ ∫

∫

v v

v v v v

v w n

v w n

( )( )

( )

1

1

N

m

Nkk k k k k km

km tkmk mN g

k k km g gkm tkmk m

A

A

k T k T dAV

k T dAV

ε

ε

≠

≠

⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + Φ

∑

∑ ∫

∑ ∫

n

n

(222)

131

Expresiones similares han sido presentadas por (Duval et al., 2004; Espinosa-Paredes y

Cazarez-Candia et al., 2004).

Con la finalidad de expresar la Ec. (222) explícitamente para un medio poroso homogéneo

isotrópico y rígido, se considera que k ksε φ= , donde kk

m

VsV= , mV

Vφ = y

1 2m l l gV V V V= + +

por lo que la Ec. (222) se puede escribir de la siguiente manera:

Convectivos CompresiónAcumulación

Dispersi

k kk k k k k kk k

k k k k k k k k k k k k k k

k kk k k k k k k k k k k k k k

T pCp s Cp s T s s p

t t

Cp T Cp T p p

ρ φ ρ φ β φ β φ

ρ ρ β β

⎞⎛ ∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

v v

v v v v

( )( )

( )( )

( )

( )

ón

Cambio de fase en la interface

Compresión int

1

1

Nk kk k k km k k km

km tkmk m

N kk k km k k km

km tkmk m

A

A

Cp T T dAV

p p dAV

ρ

β

≠

≠

⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∫

∑ ∫

v w n

v w n

( )( )

( )

erfacial

Conducción

Generación de

Flux interfacial

1

1

Nkk k k k k km

km tkmk m

N gk k km k g

km tkmk m

A

A

k s T k T dAV

k T dA sV

φ

φ

≠

≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + Φ

∑ ∫

∑ ∫

n

ncalor

(223)

Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (223) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e

incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y

generación de calor entre l1 con g) son:

Para g:

g gg g g g g gg g

g g g g g g g g g g g g g g

T pCp s Cp s T s s p

t tρ φ ρ φ β φ β φ

⎞⎛ ∂ ∂⎟⎜ + ⋅∇ + + ⋅∇⎟⎜ ∂ ∂

⎝ ⎠v v

132

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 1 2 2

1 2

1 1 1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

g gg g g g g g g g g g g g g g

g g gg g g gl g g gl g gl g g gl

t tg l g l

g gg gl g g gl g gl g g glg

t tg l g l

A A

A A

Cp T Cp T p p

Cp T T dA T T dAV V

p p dA p p dAV V

ρ ρ β β

ρ

β

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ + − − ⋅⎟⎜

⎝ ⎠⎞⎛

− − ⋅ + − − ⋅+ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

v v v v

v w n v w n

v w n v w n

( )( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 1 1

1 1 1

g gg g gs g g gs g g g

tgs

g g gl g gl g gst t tg sg l g l

g g gl g g gl g g gst t tg sg l g l

A

A A A

A A A

p p dA s k TV

k T dA T dA T dAV V V

k T dA k T dA k TV V V

β φ⎞⎛⎟⎜+ + − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇

⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

v w n

n n n

n n ng

g gdA s φ+ Φ

(224)

Para l1:

( )( ) ( )

11 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

1 1 2( ) ( )

l

1 1

l l l l l ll l l l l l l l l l l l l

l l ll l l l g l l l g l l l l l l l

t tl g l l

ll l l

A A

TCp s Cp s T Cp T Cp T

t

Cp T T dA s k T k T dAV V

ρ φ ρ φ ρ ρ

ρ φ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ⋅∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜+ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅⎟⎜ ⎜

⎝ ⎝⎠ ⎣∫ ∫

v v v

v w n n

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 2 1

1

1 1 1 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

1

l l g l l s l l l l l l l gt t t tl g l s l l l g

ll l l s l l

tl s

A A A A

A

T dA T dA k T dA k T dAV V V V

k T dA sV

φ

⎢⎢

⎤⎞⎥⎟+ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎥⎟⎠⎦

+ ∇ ⋅ + Φ

∫ ∫ ∫ ∫

∫

n n n n

n

(225)

Para l2:

( )( ) ( )

22 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 1( ) ( )

l

1 1

l l l l l ll l l l l l l l l l l l l

l l ll l l l g l l l g l l l l l l l

t tl g l l

ll l l

A A

TCp s Cp s T Cp T Cp T

t

Cp T T dA s k T k T dAV V

ρ φ ρ φ ρ ρ

ρ φ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ⋅∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜+ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎜

⎝ ⎝⎠ ⎣∫ ∫

v v v

v w n n

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2

2 2 2 1 2

2 2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

1

l l g l l s l l l l l l l gt t t tl g l s l l l g

l l l stl s

A A A A

A

T dA T dA k T dA k T dAV V V V

k T dAV

⎢⎢

⎤⎞⎥⎟+ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎥⎟⎠⎦

+ ∇ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

∫

n n n n

n

(226)

133

Para s:

( ) 1 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1(1 ) (1 )

1 1 1

s ss s s s sl s sl s s g

t t ts gs l s l

s s sl s s sl s s sgt t ts gsl s l

ss

s sA A A

A A A

TCp k T k T dA T dA T dA

t V V V

k T dA k T dA k T dAV V V

ρ φ φ⎡ ⎤⎞⎛⎞⎛ ∂ ⎢ ⎥⎟⎜⎟⎜ − = − ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

n n n

n n n

(227)

4. 3. 2 Ecuación promediada en el área interfacial

A diferencia de la ecuación de energía, para la interfase, presentada por Soria y De lasa

(1991) y Gray y Hassanizadeh (1998) en el presente trabajo doctoral se propone ésta en

términos de temperatura y se considera la compresibilidad de la fase k .Esto es

( ) ( )

( ) ( )

{ }

2

2

( )( ) ( )( )

k kk k k k k k kkm kmkm km km km k m k m k m k m km km km

k k k kk m k m k m k m km km km

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k mk mk m

T pCp T H T pt t

H p k T

Cp T T p p k T

ρ β

ρ β

≠

⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ⋅∇ − ⋅ + + ⋅∇⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠

⎞− ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +Φ⎟

⎠

+ − − + − − − ∇ ⋅∑

v w n v

w n

v w v w n

(228)

donde 1 2, , ,k l l g s= , 1 2, , ,m l l g s= ( )k m≠ , H es la curvatura media, gmn es el vector

normal unitario dirigido de la fase k a la fase m y t es la coordenada temporal. El

superíndice k indica “de la fase k” y el subíndice km indica “en la interfase km”.

Aplicando la definición del operador promedio interfacial (Ec. 28) a la Ec. (228) se obtiene

( ) ( )

( ) ( )

{ }

2

2

( )( ) ( )( )

k kk k kk k k kkm kmkm km kmk m k m k m k mkm km km km

k kk kkm kmk m k m k m k m km

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k mk mk m

T pCp H TT pt t

k TH p

Cp T T p p k T

ρ β

ρ β≠

⎞⎛ ⎛∂ ∂+ − + +⋅⋅∇ ⋅∇⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠⎞

− = ∇ ⋅ ∇ +⋅ Φ⎟⎠

+ − − + − − − ∇ ⋅∑

w nv v

w n

v w v w n

(229)

Aplicando los teoremas de promediado en superficie dados por las Ecs. (32) y (33) a los

términos temporales e inerciales de la Ec. (229) se tiene que:

134

( )( )

12 ( )Q

kmnk m n

kkkm k k k kkm

km km km km km km km km km kmn kmnL tkmn

TTT w H T T dL

t t V≠ ≠

∂∂= +∇ ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅

∂ ∂ ∑ ∫n w n v U υ

(230)

Usando la definición dada por la Ec. (30) en la Ec. (230), queda de la siguiente manera:

( )1

( )

2

1Q

kmn kmnkmn

k m n

kmg k kkmgl kmk k k kkmkm km km km km km km km km

kkm

L tkmn

T TT T w H T

t t t

T dLV

εε

≠ ≠

∂ ∂ ∂= + +∇ ⋅ − ⋅

∂ ∂ ∂

− ⋅∑ ∫

n w n

U υ

(231)

Aplicando el mismo procedimiento, el término temporal de presión queda como

( )

( )

2

1Q

kmnk m n

kmkk kkmkmk k k kkm kmkm km km km km km km km km

kkm kmn kmn

L tkmn

ppp p w H p

t t t

p dLV

εε

≠ ≠

∂∂ ∂= + +∇ ⋅ − ⋅

∂ ∂ ∂

− ⋅∑ ∫

n w n

U υ

(232)

El término convectivo se puede expresar como

k k k k k kkm km km km km kmT T T⋅∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅v v v (233)

Aplicando el teorema dado por la Ec. (24) al primer término del lado derecho de la Ec.

(233), se tiene:

( )

1Q

kmnk m n

k k k k k kkm km km km km km kmn

L tkmn

T T T dLV

≠ ≠

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∑ ∫v v v υ (234)

Sustituyendo la Ec. (234) en la Ec. (233) se obtiene:

( )

1Q

kmnk m n

k k k k k k k kkm km km km km km kmn km km

L tkmn

T T T dL TV

≠ ≠

⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v υ v (235)

Siguiendo el mismo procedimiento el término de presión se puede escribir como:

( )

1Q

kmnk m n

k k k k k k k kkm km km km km km kmn km km

L tkmn

p p p dL pV

≠ ≠

⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v υ v (236)

135

Para el término conductivo de la Ec. (229), con la finalidad de intercambiar el operador

integral por el diferencial, se le aplica el teorema dado por la Ec. (33) resultando

( )( ) ( )

1 1Q Q

km km km km km kmn km km kmnkmn kmnt tk m n k m n

k k k k k k k

L Lkmn kmn

k T k T T dL k T dLV V

≠ ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑∫ ∫υ υ

(237)

Aplicando la relación dada por la Ec. (30) a la Ec. (237) se obtiene

( )( )

( )

1

1

Qkm km

km km km km km km km km kmnkmn tk m n

Q

km km kmnkmn tk m n

k k k k k k k k

Lkmn

k k

Lkmn

k T k T T T dLV

k T dLV

ε ε≠ ≠

≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

υ

υ

(238)

Para el término de generación de calor se aplica el teorema dado por la Ec. (30), entonces

kmk k kkm km kmεΦ = Φ (239)

De forma similar para el término de transferencia de energía por cambio de fase, presión y

conducción se tiene que

{ }

{ }

{ }

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 ( )( ) ( )( )

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k m

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k m

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k mAkm

k mk m

kmkkm

k mk m

k mk m

Cp T T p p k T

Cp T T p p k T

Cp T T p p k T dAV

ρ β

ε ρ β

ρ β

≠

≠

≠

− − + − − − ∇ ⋅

= − − + − − − ∇ ⋅

= − − + − − − ∇ ⋅

∑

∑

∑ ∫

v w v w n

v w v w n

v w v w n

(240)

Sustituyendo las Ecs. (231), (232), (235), (236), (238)-(240) en la Ec. (229), se obtiene:

136

( )( )

1

1

kmk kkm kmkmk k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km km

kmk kQ kmkmk k k k kmkm km km km km

kmnk m n

k k k k k kkm km km km km km km

kmn kmnL tkmn

km

TCp T T w T T

t t

pT dL p

V t t

p w p p pV

ερ ε

εβ ε≠ ≠

⎛ ∂ ∂⎜ + +∇ ⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅⎜ ∂ ∂⎝

⎞ ⎛ ∂ ∂⎟ ⎜+ − ⋅ + +⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠

+∇ ⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

∑ ∫

n v v

v U υ

n v v ( )

( )

( )

( )

1

1

( )( ) (

Qkkm

kmnk m n

Qkm km

km km km km km km kmnkmn tk m n

Q kmk kkm km kmn km km

kmn tk m n

k

k k k k m k k k k

kmn kmnL tkmn

k k k k k k

Lkmn

k k

Lkmn

kkm

dL

k T T T dLV

k T dLV

Cp T T

ε ε

ε

ε ρ β

≠ ≠

≠ ≠

≠ ≠

⎞⎟− ⋅ ⎟⎟⎠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + Φ

− − +

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

v U υ

υ

υ

v w v{ })( )N k

k m k k k k k m

km

k mk m

p p k T≠

− − − ∇ ⋅∑ w n (241)

La Ec. (241) toma en cuenta que el sólido es rígido, fijo e impermeable, por lo que las

interacciones interfaciales con el sólido se despecian.

En el resultado dado por la Ec. (241), se observan términos integrales con temperaturas

locales (término de conducción). Dicha ecuación no debe estar en términos de variables

locales, debido a que el objetivo es describir el sistema en términos de variables promedio,

entonces se usa la definición propuesta por Gray (1975). Las integrales de los términos

conductivos de la Ec. (241) se modifican quedando como

( ) ( ) ( )

1 1 1 kmk k kkm km kmkmn kmn kmn

L t L t L tkmn kmn kmn

T dL T dL T dLV V V

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫υ υ υ (242)

Si las condiciones de escala de longitud dada por la Ec. (1) se satisfacen, entonces el

promedio de la temperatura es constante con respecto a la integral; con lo cual

( )( ) ( )

11 1 kmk k kkm km km kmnkmn kmn

L tL t L t kmnkmn kmn

dLT dL T dL T VV V

⎞⎛⎟⋅ = ⋅ + ⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫ υυ υ (243)

137

Similarmente para los términos de flux interfacial, por lo que al sustituir la Ec. (243) en la

Ec. (241) se tiene que

( )( )

1

1

kmk kkm kmkmk k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km km

kmk kQ kmkmk k k k kkmkm km km km km km km

kmnk m n

k k k k kkm km km km km

kmn kmn kmL tkmn

TCp T T w T T

t t

pT dL p p w

V t t

p p pV

ερ ε

εβ ε≠ ≠

⎛ ∂ ∂⎜ + +∇⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅⎜ ∂ ∂⎝

⎞ ⎛ ∂ ∂⎟ ⎜+ − ⋅ + + +∇⋅⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠

+∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

∑ ∫

n v v

v U υ n

v v ( )

( )

( )

( )( )

11

1

Qkkm

kmnk m n

Q Qkmk kkm km km km km km km

kmn kmnk m n k m n

Q

km km kmn kkmn tk m n

kmn kmnL tkmn

k k k k k kmnkmnL tL t kmnkmn

k k

Lkmn

dL

dLk T T T dL T VV

k T dL kV

ε ε

≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠

⎞⎟− ⋅ ⎟⎟⎠

⎡ ⎤⎞⎛ ⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⎟= ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅ + ⎜⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ +

∑ ∫

∫∑ ∑∫

∑ ∫

v U υ

υυ

υ

{ }

( )

1

( )( ) ( )( )

Qkm kmk k km km km km

kmnk m n

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k m

k kmnL tkmn

kmkkm

k mk m

dLT V

Cp T T p p k T

ε

ε ρ β

≠ ≠

≠

⎞⎛⎟∇ ⎜ + Φ

⎜ ⎟⎝ ⎠

− − + − − − ∇ ⋅

∫∑

∑

υ

v w v w n

(244)

Extendiendo la definición dada por la Ec. (26) y (27) para el caso del balance interfacial se

tiene que

( )

1

kmn

Qkkm kmn

kmn tLdL

Vε∇ = −∑ ∫ υ (245)

( )

1

kmn

k Qkm

kmn kmnkmn tL

dLt Vε∂

= ⋅∂ ∑ ∫ U υ (246)

Por lo que al tomar en cuenta la definición de la Ec. (245) en la Ec. (244), se simplifica

quedando:

138

( )( )

1

1

kmk kkm kmkmk k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km km

kmk kQ kmkmk k k k kkmkm km km km km km km

kmnk m n

k k k k kkm km km km km

kmn kmn kmL tkmn

TCp T T w T T

t t

pT dL p p w

V t t

p p pV

ερ ε

εβ ε≠ ≠

⎛ ∂ ∂⎜ + +∇⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅⎜ ∂ ∂⎝

⎞ ⎛ ∂ ∂⎟ ⎜+ − ⋅ + + +∇⋅⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠

+∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

∑ ∫

n v v

v U υ n

v v ( )

( )

( )

( )

1 1

( )( ) ( )(

Qkkm

kmnk m n

Q Q kmk k kkm km km km km km kmn km km

kmn kmn tk m n k m n

k

k k k k m k k k k k m k k

kmn kmnL tkmn

k k k k kkmn

LL t kmnkmn

kkm

dL

k T T dL k T dLV V

Cp T T p p

ε ε

ε ρ β

≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠

⎞⎟− ⋅ ⎟⎟⎠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ − − + − −

∑ ∫

∑ ∑∫ ∫

v U υ

υ υ

v w v w{ })N k

k k k m

km

k mk m

k T≠

− ∇ ⋅∑ n

(247)

Para el planteamiento propuesto, es más conveniente tener producto entre promedios de las

variables que el promedio de productos entre variables locales [segundo y tercer término

del lado izquierdo de la Ec. (247)]. Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones

espaciales de las variables locales, entonces:

km

km kmk k k kkm km km km km km km km kmT w T w T wε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅n n n (248)

km kmk k k k k k kkm km km km km km kmT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (249)

Lo mismo se puede hacer con el cuarto término, del lado izquierdo de la Ec. (247)

km kmk k k k k k kkm km km km km km kmT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (250)

Aplicando el teorema espacial al primer término de la Ec. (250) se tiene que

( )

1Qkm km

kmnk m n

k k k k k k k kkm km km km km km kmn km km

L tkmn

T T dL TV

ε≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫v v v υ v (251)

139

Siguiendo el mismo procedimiento, para los términos donde aparece la presión [séptimo al

noveno término lado izquierdo de la Ec. (247)] se tiene que

km kmk k k kkm km km km km km km km km kmp w p w p wε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅n n n (252)

km kmk k k k k k kkm km km km km km kmp p pε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (253)

( )

1Q

kmnk m n

km kmk k k k k k k kkm km km km km km kmn km km

L tkmn

p p dL pV

ε≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫v v v υ v (254)

Sustituyendo las Ecs. (246), (248), (249), (251)-(254) en la Ec. (247) se tiene la ecuación

de la fase k en la interfase.

( )

( ) ( )( ) ( )

kmkkm km kmk k k k k kkmkkm km km km km kmkmkm

kmkkm kmkmkkm kmkm

kmkm km k k kkm km km km km

km kmk kkm km km

km kmk k k k kkm km km km km km km

kk k kkm km kmkm km km

TCp Cp CpT wt

pT p wt

Cp T w Cpp

ρ ρ ρεε

β βε εε

β ρ ρε

⎞⎛ ∂ + +⎟ ∇ ⋅⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎞⎛ ∂+ +∇⋅ ⎟ ∇ ⋅⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠

+ + ∇ ⋅ +∇ ⋅

n

v n

nv

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( )

1

1

kmk

kmk kkm km km km

Q kmk k kkmk k km km kmkm km kmkmn

k m n

kmk k kkm km kmkm kmn

k k k k k k kkm km km km km km km km km

k k kmn kmnkm kmL tkmn

kmn kmnL tkmn

T Cp T p w p

T T dLp Cp V

p p dLV

ρ β β

β ρ

β

≠ ≠

∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

⎞⎛− − ⋅ ⎟⎜− ∇ ⋅ +

⎜ ⎟⎝ ⎠

− − ⋅+

∑ ∫

∫

v v n v

v U υv

v U υ

{ }( )( )

1 1

( )( ) ( )( )

Q

k m n

Q Q kmk k kkm km km km km km kmn km km

kmn kmn tk m n k m n

N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k m

k k k k kkmn

LL t kmnkmn

kmkkm

k mk m

k T T dL k T dLV V

Cp T T p p k T

ε ε

ε ρ β

≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠

≠

⎞⎛⎟⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

− − + − − − ∇ ⋅

∑

∑ ∑∫ ∫

∑

υ υ

v w v w n

(255)

Para la Ec (255) se considera que k kkm kmsε φ= , donde k km

kmm

AsV

= , y mVV

φ = por lo tanto

140

( )

( )Convectivos

Acumulación

Convectivos

kmkkm kmk k k k kkmkkm km km km km kmkm

kmkkm km kmk k k kmkkm km kmkm km

km kmkkm km

k kkm km

TCp Cp s T wst

pCp s T st

ρ ρ φφ

ρ βφ φ

⎞⎛ ∂ +⎟ ∇ ⋅⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎛ ∂+ +∇⋅ ⎜∂⎝

n

v ( )

( ) ( ) ( )Compresión

DispersiónCompresión

kkm km

km kmkm km k k k kkkm km km km kmkm

km kmkkm km km

k k kk kkm km km km kmkm km

s p w

Cp T w Cp Ts p

C

β φ

β ρ ρφ

⎞+⎟ ∇ ⋅⎜ ⎟

⎠

+ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅∇ ⋅

−

n

n vv

( ) ( ) ( )

( )( )Dispersión

( )

Transferenci

1

kmk kkm km km km km

Q kmk k kkmk k km km kmkm km kmnk m n

k k k k k k kkm km km km km km km km km

kmn kmnL tkmn

p T p w p p

T T dLCp V

ρ β β β

ρ≠ ≠

∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

⎞⎛− − ⋅ ⎟⎜+

⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫

v n v v

v U υ

( )( )a de energía por cambio de fase en la línea de contacto

( )

Compresión en la línea de contacto

1Q kmk k kkm km kmkm kmn

k m n

kmn kmnL tkmn

p p dLVβ

≠ ≠

⎞⎛− − ⋅ ⎟⎜+

⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ v U υ

( )( ) Gene

Flux en la línea de contactoConducción

1 1Q Q kmk k k kkm km km km km km kmn km km

kmn kmn tk m n k m n

k k k kkmn

LL t kmnkmn

k s T T dL k T dL sV V

φ φ≠ ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑∫ ∫υ υ

{ }

ración de calor

( )

Transferencia de energía por cambio de fase, presión y conducción en la interfase

1 ( )( ) ( )( )N k k

k k k k m k k k k k m k k k k k mk m A tk m km

Cp T T p p k T dAV

ρ β≠

+ − − + − − − ∇ ⋅∑ ∫ v w v w n

(256)

Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (256) para cada una de estas fases

al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e

incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y

generación de calor entre l1 con g) son:

Para g:

( )

1 2

1 21 2

1 1 1 2 2 2

11 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

gl gl gsg g ggl gl gsgl gl gsg g g g g g g g g

gl gl gl gl gl gl gs gs gs

glgl gl gl gl glg g g g g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl glg l

T T TCp s Cp s Cp s

t t t

Cp s T w Cp s T

ρ φ ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜+ +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂

⎝ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎠⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟

⎝ ⎠n v

141

( )( )

22 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

1

1

1 1 1 1

glgl gl gl gl glg g g g g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl gl

gsgs gs gs gs gsg g g g g g g g ggS gS gs gs gs gs gs gs gs gs

glgglg g

gl gl gl gl

g l

g s

Cp s T w Cp s T

Cp s T w Cp s T

ps s

t

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

β φ β φ

⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

n v

n v

( )

( )

11 1 1

1 1 1 1 1 11

222 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

glgl gl glg g g ggl gl gl gl gl gl

glg glgl gl glglg g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl gl

gsggsgsg g g

gs gs gs gs gs gs g s

g l

g l

p w s p

ps s p w s p

t

ps s p w

t

β φ

β φ β φ β φ

β φ β φ

⎞⎛ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛ ∂ ⎞⎛⎟⎜+ + ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

n v

n v

n( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

gs gs gsg g ggs gs gs gs

gl gl glg g g g g g g g g g ggl gl gl gl l g gl gl gl gl gl gl gl gl

gl gl glg g g g g g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl gl gl gl

s p

Cp T w Cp T Cp T

Cp T w Cp T Cp T

β φ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

+ ⋅∇

+ ∇⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

v

n v v

n v ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1 1 1 1 1 1 1 1 11

2 2 2 2 2 2 2 2 22

ggl

gs gs gsg g g g g g g g g g ggs gs gs gs gs gs gs gs gs gs gs gs gs

g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl

g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl

g l

g l

Cp T w Cp T Cp T

p w p p

p w p p

ρ ρ ρ

β β β

β β β

+ ∇⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+

v

n v v

n v v

n v v

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

1 1

1 1 1 1 11 2 1 2

1 2

2 2

2 2 2 2 22 1 2 1

2 1

( )

( )

1

1

g g g g ggs gs gs g s gs gs gs gs gs gs

gl glg g g g ggl gl gl gl gl

gl glg g g g ggl gl gl gl gl

ggs

gl l gl lL tgl l

gl l gl lL tgl l

p w p p

Cp T T dLV

Cp T T dLV

Cp

β β β

ρ

ρ

ρ

−

∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

⎞⎛⎟⎜

+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

+

∫

∫

n v v

v U υ

v U υ

( )( )

( )( )

( )( )

1 1

1

2 2

2

1

1 1 1 11 2 1 2

1 2

( )

( )

( )

1

1

1

gs gsg g g ggs gs gs gs

gs gsg g g g ggs gs gs gs gs

glg g ggl gl gl gl

g sl g slL tg sl

g sl g slL tg sl

gl l gl lL tgl l

T T dLV

Cp T T dLV

p p dLV

ρ

β

−

−

⎞⎛⎟⎜

− − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

∫

v U υ

v U υ

v U υ

142

( )( )

( )( )

( )( )

( )

1 1

1

2

2 2 2 2 2 1 1 2

2 1

2 2

2

1

1 1 1 1

( )

( )

( )

1

1

1

gsg g ggs gs gs gs

glg g ggl gl gl gl

gsg g ggs gs gs gs

glg g ggl gl gl gl

g sl g slL tg sl

gl l gl lL tgl l

g sl g slL tg sl

p p dLV

p p dLV

p p dLV

k s T k

β

β

β

φ

−

−

−

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅

∫

∫

∫

v U υ

v U υ

v U υ

( )

( )

1 1 2 1 1

1 2 1

2

2 2 2 2 2 2 1 2 2

2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1

g g ggl gl l gl gl s

t tg l l g l s

glg g g g g ggl gl gl gl gl gl l gl gl s

t tg l l g l s

gsg g g ggs gs gs gs

L L

L L

T dL T dLV V

k s T k T dL T dLV V

k s T kV

φ

φ

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎠⎢ ⎝ ⎦⎣

+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

υ υ

υ υ

1 2

1 2

1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1

1 2 1 2 1

2 2 2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 1

1 1

g ggs gsl gs gsl

t tgsl gsl

g g g g g ggl gl gl l gl gl gl s gl gl gl l

t t tg l l gl s g l l

g ggl gl gl s gs

tgl s

L L

L L L

L

T dL T dLV

k T dL k T dL k T dLV V V

k T dL kV V

⎞⎡ ⎛ ⎤⎟⎢ ⎜ ⎥⋅ + ⋅⎟⎢ ⎜ ⎥⎝ ⎦⎣ ⎠

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

υ υ

υ υ υ

υ

{ }

{ }{ }

1 2

1 2

1 1 1

1

2 2 2

2

( ) ( )

1

1 ( )( ) ( )( )

1 ( )( ) ( )( )

1

g g g ggs gsl gs gs gsl

t tg sl g s l

g g

g g g g l g g g g g l g g g g g lAg l

g g

g g g g l g g g g g l g g g g g lAg l

g g g sAg s

L LT dL k T dL

V

Cp T T p p k T dAV

Cp T T p p k T dAV

k TV

ρ β

ρ β

∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ − − + − − − ∇ ⋅

+ − − + − − − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅

∫ ∫

∫

∫

∫

υ υ

v w v w n

v w v w n

n 1

1 1

glg ggl gls φ+ Φ

(257)

Para l1:

1 2 1 11 1 1

1 2 1 11 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1

l l l g l sl l ll l l g l sl l l g l sl l l l l l l l l

l l l l l l l g l g l g l s l s l s

T T TCp s Cp s Cp s

t t tρ φ ρ φ ρ φ

⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂

⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠

143

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

l g l g l g l g l g l gl l l l l l l l ll g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g

Cp s T w Cp s T

Cp s T w Cp s T

Cp

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

+ ∇ ⋅ + ⋅∇

+ ∇ ⋅ + ⋅∇

+

n v

n v

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

l s l s l s l s l s l sl l l l l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s

l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l g l l l l l l l l l l l l l l l l

s T w Cp s T

Cp T w Cp T Cp T

ρ φ ρ φ

ρ ρ ρ

∇ ⋅ + ⋅∇

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

n v

n v v( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2

1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

l

l g l g l gl l l l l l l l l l ll g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g

l s l s l sl l l l l l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s

Cp T w Cp T Cp T

Cp T w Cp T Cp T

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

n v v

n v v( )

( )( )

( )( )

( )

1

1

1 2 1 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1

1 21 1 1

1 2 1 2 1 2 1

( )

( )

1

1

ll s

l l l ll l l l ll l l l l l l l g l l l l l l g

l s l sl l l l ll s l s l s l sg l s l s l sg

l ll l ll l l l l l l l

L tl l g

L tl sg

Cp T T dLV

Cp T T dLV

k s T k

ρ

ρ

φ

−

−

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅

∫

∫

v U υ

v U υ

( )

1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1

1 2 1

1 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

l l ll l l l g l l l l s

g t s tl l l l

l gl l l l l ll g l g l g l g l g l gl l g l gs

t tl g l l g s

l ll s l s

L L

L L

T dL T dLV V

k s T k T dL T dLV V

k s

φ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎠⎢ ⎝ ⎦⎣⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

υ υ

υ υ

( )11 1 1 1

1 1 1 1 2 1 1

1 2 1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1

1 2 1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

l

l sl l l ll s l s l s l sl l s l sg

t tl s l l s g

l l l l l ll l l l l l g l l l l l l s l g l g l gl

t t tl l g l s l g l

L L

L L L

T k T dL T dLV V

k T dL k T dL k TV V V

φ⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

υ υ

υ υ υ

{ }{ }

2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 2 1

1 11 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 2

1

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 ( )( )

1

l l l l l ll g l g l gs l s l s l sl l s l s l sg

t t tl g s l l l s gs

l g ll ll g l g l l l l g l l l l l g

Al g

l l l lAl

L L L

dL

k T dL k T dL k T dLV V V

s Cp T T k T dAV

k T dAV

φ ρ

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ Φ + − − − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ +

∫ ∫ ∫

∫

υ υ υ

v w n

n { }1 1 1

2 1

1l l l s

Al l s

k T dAV

− ∇ ⋅∫ ∫ n

(258)

144

Para l2:

( )

2 1 2 22 2 2

2 1 2 22 1 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 12 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

l l l g l sl l ll l l g l sl l l g l sl l l l l l l l l

l l l l l l l g l g l g l s l s l s

l l l l l ll l l l ll l l l l l l l l l l l l l

T T TCp s Cp s Cp s

t t t

Cp s T w Cp

ρ φ ρ φ ρ φ

ρ φ

⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂

⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠

+ ∇ ⋅ +n ( )( )

( )

2 1 2 1 2 12 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

l l l l l ll l l ll l l l l l l l

l gl g l g l g l g l gl l l l l l l l ll g l g l g l g l g l g l g l g l g l g

l s l s l sl l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s

l g

s T

Cp s T w Cp s T

Cp s T w Cp

ρ φ

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ

⋅∇

⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ∇ ⋅ +

v

n v

n ( )( ) ( ) ( )( )

2 2 22 2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 22 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22

l s l s l sl l ll s l s l s

l l l l l ll l l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

l g l gl l l l ll g l g l g l g l g l gl g

s T

Cp T w Cp T Cp T

Cp T w Cp

φ

ρ ρ ρ

ρ ρ

⋅∇

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇

v

n v v

n ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 12 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1

l gl l l l l ll g l g l g l g l g l g

l s l s l sl l l l l l l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s

l ll l l l ll l l l l l l l g l l l l

T Cp T

Cp T w Cp T Cp T

Cp T TV

ρ

ρ ρ ρ

ρ −

⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ −

v v

n v v

v U ( )

( )( )

( )

2 1

2 1

2 1

2 22 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2

2

2 12 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1( ) ( )

( )

( )

1

1 1

l l

l l g

l s l sl l l l ll s l s l s l s l s

l ll l l l l ll l l l l l l l l l l l g l l l

t tl l g l l s

L tl l g

l sg l sgL tl sg

L L

dL

Cp T T dLV

k s T k T dL TV V

ρ

φ

⎞⎛⎟⎜

⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜

+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅

∫

∫

∫ ∫

υ

v U υ

υ υ

( )

( )

2 1

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2 2

2 1 2

22 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2

2 1

( ) ( )

( )

1 1

1 1

l s

l gl l l l l ll g l g l g l g l g l gl l g l gs

t tl g l l g s

l sl l l l ll s l s l s l s l s l sl l s

tl s l

L L

L

dL

k s T k T dL T dLV V

k s T k T dL TV V

φ

φ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

⎠⎢ ⎝ ⎦⎣⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅ +

∫ ∫

∫

υ υ

υ 2

2

2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1 2 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

1 1

ll sg

tl s g

l l l l l ll l l l l l g l l l l l l s l g l g l gl

t t tl l g l l s l g l

l l l ll g l g l gs l s l s

tl g s l

L

L L L

L L

dL

k T dL k T dL k T dLV V V

k T dL k TV V

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇

∫

∫ ∫ ∫

∫

υ

υ υ υ

υ 2 2

2 1 2 2 2

2 1 2( ) ( )

1 l ll sl l s l s l sg

t ts l l s gLdL k T dL

V⋅ + ∇ ⋅∫ ∫υ υ

145

{ }{ } { }

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 1 2 2 2

2 1 2

1 ( )( )

1 1

l

l l l l g l l l l l gAl g

l l l l l l l sA Al l l s

Cp T T k T dAV

k T dA k T dAV V

ρ+ − − − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

v w n

n n (259)

Para s:

( )

1 2

1 21 2

1 1 2 2

1

1 1 1 1 1 2 1 1

1 2 1( ) ( )

(1 ) (1 ) (1 )

1 1(1 )

sl sl sgs s ssl sl sgsl sl sgs s s s s s

sl sl sl sl sg sg

sls s s s ssl sl sl sl sl l sl sl g

t ts l l s l gL L

T T TCp Cp Cp

t t t

k T k T dL T dLV V

ρ φ ρ φ ρ φ

φ

⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜− + − + −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂

⎝ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎠

⎛ ⎞⎟= ∇ ⋅ − ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎟⎠⎝

∫ ∫υ υ

( )

( )

2

2 2 2 2 2 1 2 2

2 1 2

1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

1 1(1 )

1 1(1 )

sls s s s ssl sl sl sl sl l sl sl g

t ts l l s l g

sgs s s s ssg sg sg sg sgl sg sgl

t ts g l s g l

L L

L L

k T k T dL T dLV V

k T k T dL T dLV V

φ

φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎜⎢ ⎥⎜

⎥⎢ ⎦⎣⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ − ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎟⎜+∇ ⋅ − ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

υ υ

υ υ

1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1

1 2 1 2 1

2 2 2 1 2

2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

1

s s s s s ssl sl sl l sl sl sl g sl sl sl l

t t ts l l s l g s l l

s s s s s ssl sl sl g sg sg sgl sg sg sgl

t t ts l g s g l s g l

s

L L L

L L L

k T dL k T dL k T dLV V V

k T dL k T dL k T dLV V V

kV

⎥⎥

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

υ υ υ

υ υ υ

{ } { } { }1 2

1 2

1 1s sl s s sl s s s g

A A Asl sl sg

T dA k T dA k T dAV V

∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅∫ ∫ ∫n n n

(260)

4. 3 .3 Ecuación promediada en la línea de contacto

En esta sección se presentan los balances en la línea de contacto para cada una de las fases

que se encuentran fluyendo dentro del medio poroso. La Ec. (190) para la fase k se puede

escribir de la siguiente manera:

146

( ) ( )

{ }( )( ) ( )( )

k kk k k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km kmn

Q

kmnk m n

T pCp T p k Tt t

Cp T T p p k T

ρ β

ρ β≠ ≠

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ +Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

+ − − + − − − ∇ ⋅∑

v v

v U v U υ

(261)

donde k= l1, l2, g, s, m= l1, l2, g, s, n= l1, l2 g, s y k≠m≠n, gmnυ es el vector normal

unitario a la línea de contacto kmn y tangente a la interfase km apuntando hacia fuera de

dicha interfase. El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”.

Aplicando el operador promedio dado por la Ec. (34) a la Ec. (261) resulta:

( ) ( )

{ }( )( ) ( )( )

k kk k k kk k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn

km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km kmn

Q

kmnk m n

T pCp k TT pt t

Cp T T p p k T

ρ β

ρ β≠ ≠

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ + + = ∇ ⋅ ∇ +⋅∇ ⋅∇ Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

+ − − + − − − ∇ ⋅∑

v v

v U v U υ

(262)

Aplicando al término temporal de la Ec. (262) el teorema definido por la Ec. (38) y

aplicando posteriormente la Ec. (36) resulta

( )

1P

kmnqk m n q

kmnkk kkmnkmnk k kkmn kmnkmn kmn kmn p kmnq

P tkmnq

TTT T dP

t t t Vε

ε≠ ≠ ≠

∂∂ ∂= + − ⋅

∂ ∂ ∂ ∑ ∫ v λ (263)

Aplicando el mismo procedimiento, el término de presión, se obtiene

( )

1P

kmnqk m n q

kmnkk kkmnkmnk k kkmn kmnkmn kmn kmn p kmnq

P tkmnq

ppp p dP

t t t Vε

ε≠ ≠ ≠

∂∂ ∂= + − ⋅

∂ ∂ ∂ ∑ ∫ v λ (264)

El término convectivo, se puede expresar como:

k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmnT T T⋅∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅v v v (265)

Aplicando el teorema dado por la Ec. (24) al primer término del lado derecho de la Ec.

(265) se obtiene:

147

( )

1Pk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnqk m n q

kmnqP tkmnq

T T T dPV

≠ ≠ ≠

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∑ ∫v v v λ (266)

Sustituyendo la Ec. (266) en la Ec. (265) se tiene que

( )

1Pk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnqk m n q

kmnqP tkmnq

T T T dP TV

≠ ≠ ≠

⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v λ v (267)

Siguiendo el mismo procedimiento, el término de presión se puede escribir como

( )

1Pk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnqk m n q

kmnqP tkmnq

p p p dP pV

≠ ≠ ≠

⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v λ v

(268)

Para el término conductivo de la Ec. (262), con la finalidad de intercambiar el operador

integral por el diferencial se le aplica el teorema dado por la Ec. (33) quedando entonces

como:

( )( )

( )

1

1

P

kmn kmn kmn kmn kmn kmnqkmnq t

k m n qP

kmn kmn kmnqkmnq t

k m n q

k k k k k

Pkmnq

k k

Pkmnq

k T k T T dPV

k T dPV

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

λ

λ

(269)

Aplicando la relación dada por la Ec. (36)en la Ec. (269) se tiene que

( )( )

( )

1

1

Pkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq

kmnq tk m n q

Pk kkmn kmn kmnq

kmnq tk m n q

Pkmnq

Pkmnq

k T k T T T dPV

k T dPV

ε ε≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

λ

λ

(270)

En los términos integrales aparece la temperatura local que no es conveniente ya que la

idea es obtener variables del tipo promedio. Por ello, la temperatura local puede ser

redefinida usando la definición propuesta por Gray (1975), es decir

148

( ) ( ) ( )

1 1 1kmnk k kkmn kmnq kmn kmnq kmn kmnq

t t tP P Pkmnq kmnq kmnq

T dP T dP T dPV V V

⎞⎛⎟⎜⋅ = ⋅ +⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫λ λ λ (271)

Extendiendo la definición dada por las Ecs. (245) y (246) para el caso de la línea de

contacto se obtiene

( )

1

kmnq

Pkkmn kmn

kmnq tPdP

Vε−∇ = ∑ ∫ λ (272)

( )

1

kmnq

Pkkmn

p kmnkmnq tP

dPt V

ε∂= ⋅

∂ ∑ ∫ v λ (273)

Al sustituir la Ec. (272) en la (271) y el resultado en la Ec. (270) se tiene que

( )( )

( ) ( )

1

1 1

Pkmnk k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmnq

kmnq tkmnqk m n qP P

k kkmn kmn kmnq kmnq

kmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q

kkmn

P

kmnk kkmn kmn

P P

k T k T T dPV

k T dP k T dPV V

ε≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∑∫ ∫

λ

λ λ (274)

Para el término de generación de calor se aplica el teorema dado por la Ec. (36), entonces

kmnk k kkmn kmn kmnεΦ = Φ (275)

De forma similar para el término de transferencia de energía por cambio de fase, presión y

conducción se tiene

{ }{ }

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 ( )( )

km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km kmn

km kmk k k k k k k k k k kkmn km km km kmn km km km km kmn km km km km kmn

kmk k k k kkm km km kmn km km

kmn

Cp T T p p k T

Cp T T p p k T

Cp T TV

ρ β

ε ρ β

ρ

− − + − − − ∇ ⋅

= − − + − − − ∇ ⋅

= − − +

v U v U υ

v U v U υ

v U{ }( )( )kmk k k k k

km km kmn km km km km kmn

Lkmn

p p k T dAβ − − − ∇ ⋅∫ v U υ

(276)

149

Al igual que se hizo con los términos anteriores se sigue el mismo procedimiento para el

resto de los términos de la Ec. (262) por lo que al sustituir las Ecs. (263), (264), (267),

(268), (274)-(276) y aplicar definición dada por la Ec. (273) en la Ec. (262), se obtiene

( )

( )( )

1

1

kmnk kkmn kmnkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmnkP kkmnkmn kmnk k k k k k kkmn kmn p kmnq kmn kmn kmn kmn kmn

kmnq tkmnqk m n q

k kkmn kmn

P

TCp T T T

t t

pT dP p p

V t t

pV

ερ ε

εβ ε≠ ≠ ≠

⎛ ∂ ∂+ +∇⋅ − ∇ ⋅⎜⎜ ∂ ∂⎝

⎞ ⎛ ∂ ∂⎟+ − ⋅ + + +∇ ⋅⎜⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠

− ∇ ⋅ +

∑ ∫

v v

v v λ v

v ( ) ( )( )

( ) ( )

1 1

P kmnk k k k kkmn kmn p kmnq kmn kmn kmn

kmnq tkmnqk m n q

P P kmnk k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmnq kmn kmn

kmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q

kmn

P

P P

p dP k T

k T dP k T dPV V

ε

ε

ε

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

⎞⎟− ⋅ = ∇ ⋅ ∇⎟⎟⎠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+

∑ ∫

∑ ∑∫ ∫

v v λ

λ λ

{ }( )( ) ( )( )kmnP km kmk k k k k k k k k k k

km km km kmn km km km km kmn km km km km kmnkmnq

k m n q

Cp T T p p k Tρ β≠ ≠ ≠

− − + − − − ∇ ⋅∑ v U v U υ

(277)

Para la Ec. (277) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento, por lo que

0kkmn kmns⋅ =v λ y 0p kmns⋅ =v λ .

Tomando el término inercial de la Ec. (277) para intercambiar el promedio del producto de

dos cantidades al producto de esas cantidades promediadas, se tiene que

kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (278)

Similarmente el cuarto término (lado izquierdo) de la Ec. (277) se puede escribir como

kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (279)

Aplicando el teorema espacial a la divergencia de la velocidad del primer término del lado

derecho de la Ec. (279) se obtiene

( )

1Pkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq kmn kmn

kmnqk m n q P tkmnq

T T dP TV

ε λ≠ ≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫v v v v

(280)

150

Siguiendo el mismo procedimiento para los términos de la presión se tiene que

kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnp p pε∇⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (281)

( )

1Pkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq kmn kmn

kmnqk m n q P tkmnq

p p dP pV

ε λ≠ ≠ ≠

⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫v v v v

(282)

Sustituyendo las Ecs. (273), (278), (280)-(282) en la Ec. (277), se tiene la ecuación de

energía promediada para la fase k en la línea de contacto.

( )( )

( ) ( )

kmnkkmn kmn kmn kmnk k k kkmnkkmn kmn kmn kmnkmn

kmnk kmn kmnk kkmn k k kkkmn kmn kmn kmn kmnkmn

kmn kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn

kkmn k

k k kkmn kmn kmn

k kkmn kmn

TCp Cp Tt

p pt

Cp T Cp T

ρ ρ εε

β β εε

ρ ρβ

⎞⎛ ∂ + ∇ ⋅⎟⎜∂⎝ ⎠

⎞⎛ ∂+ + ∇ ⋅⎟⎜∂⎝ ⎠

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅+ ∇ ⋅

v

v

v vv( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

1

1

k k k k kmn kmn kmn kmn kmn

Pkmnkkmn k kk k kmn p kmnqkmn kmnkmn kmn kmnq tkmnqk m n q

Pkmnk k kk kmn p kmnqkmn kmnkmn kmnq tkmnqk m n q

kmnk k kkmn kmn kmn

P

P

p p

dPT TCp V

dPp pV

k T k

β

ρ

β

ε

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

− ∇ ⋅⎞⎛

− ⋅− ⎟⎜+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛− ⋅− ⎟⎜+

⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

v

v v λ

v v λ

{ }

( )

( )

1

1

( )( ) ( )( )

Pk kkmn kmn kmnq

kmnq tkmnqk m n qP kmnk k k k

kmn kmn kmnq kmn kmnkmnq tkmnqk m n q

km kmk k k k k k k k k k kkmn km km km kmn km km km km kmn km km km km

P

P

T dPV

k T dPV

Cp T T p p k T

ε

ε ρ β

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + Φ

+ − − + − − − ∇ ⋅

∑ ∫

∑ ∫

λ

λ

v U v UkmnP

kmnkmnq

k m n q≠ ≠ ≠

∑ υ

(283)

Para la Ec. (283) se considera que k kkmn kmnsε φ= , donde

kk kmnkmn

m

LsV

= , y mVV

φ = , quedando

redefinida de la siguiente manera:

( )Convectivos

Acumulaciόn

kmnkkmn kmn kmn kmnk k k kkmn kkkmn kmn kmn kmn kmnkmnk kkmn kmn

TCp Cp s Tst

ρ ρ φφ⎞⎛ ∂ + ∇ ⋅⎟⎜

∂⎝ ⎠v

151

( )

( ) ( )Compresiόn

Dispersiόn

kmnk kmn kmnk kkmn k k kkkmn kmn kmn kmn kmnkmn

kmn kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn

kkmn

k kkmn kmn

p s pst

Cp T Cp T

β β φφ

ρ ρ

β

⎞⎛ ∂+ + ∇⋅⎟⎜∂⎝ ⎠

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇

v

v v

( ) ( )

( )( )( )

Dispersiόn

Transferencia de energía por cambio de fase en el punto de co

1

k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn

Pkmnkkmn k kk k kmn p kmnqkmn kmnkmn kmn kmnq tkmnqk m n q

P

p p

dPT TCp V

β

ρ≠ ≠ ≠

⋅ − ∇ ⋅

⎞⎛− ⋅− ⎟⎜+

⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫

v v

v v λ

( )( )( )

ntacto

Compresiόn en el punto de contacto

1

1

Pkmnk k kk kmn p kmnqkmn kmnkmn kmnq tkmnqk m n q

kmnk k k kkmn kmn kmn kmn

k

P

P

dPp pV

k s T TV

β

φ

≠ ≠ ≠

⎞⎛− ⋅− ⎟⎜+

⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∇ ⋅ ∇ +

∑ ∫ v v λ

( ) ( )

Flux de calor en el punto de contactoConducciόn

Gener

1P Pk k

kmnq kmn kmn kmnqkmnq kmnqt tmnq kmnqk m n q k m n q

kmnk kkmn kmn

PdP k T dP

V

s φ

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ Φ

∑ ∑∫ ∫λ λ

{( )aciόn de calor

Transferencia de energía por cambio de fase, presión y conducción en la lίnea de contacto

1( )( )

(

Qkmk k k k k

km km km kmn km kmkmn tkmnk m n

kkm km kmn

LCp T T

Vρ

β

≠ ≠

+ − −

+ −

∑ ∫ v U

v U }Transferencia de energía por cambio de fase, presión y conducción en la lίnea de contacto

)( )kmk k k kkmnkm km km km dLp p k T ⋅− − ∇ υ

(284)

Dado que la fase k=l1, l2, g, s, la forma extendida de la Ec. (284) para cada una de estas

fases al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles

e incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y

generación de calor entre l1 con g) son:

Para g:

( )1 2

1 2 1 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 1

2 1 2 1 2 12 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

gl lggl l gl l gl l gl lgl lg g g g g g g g

gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l

gl lggl l gl l gl lgl lg g g g g g g

gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp s

t

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

v( )2 1

2 1

gl lggl lT⋅

152

( )

( )

1

1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

gl sggl s gl s gl s gl sgl sg g g g g g g g

gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s

gl sggl s gl s gl s gl sgl sg g g g g g g g

gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s

g ggsl gsl

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp s T

t

Cp

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

ρ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

+

v

v

( )

( )

1

1 1 1 11

1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 2 1 2

gslggsl gsl gsl gslgslg g g g g g

gsl gsl gsl gsl gsl gsl

gslggsl gsl gsl gslgslg g g g g g g g

gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl

gl lggl lg

gl l gl l

Ts Cp s T

t

TCp s Cp s T

t

ps

φ ρ φ

ρ φ ρ φ

β φ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠∂

+

v

v

( )

( ) ( )

2 1

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1

2 1 2 1 1 11

2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1

gl lggl l gl l gl lg g g g

gl l gl l gl l gl l gl l gl l

gl sggl l gl l gl s gl sgl sg g g g g g g

gl l gl l gl l gl l gl s gl s gl s gl s gl s gl s

ps p s

t t

ps p s s p

t

β φ β φ

β φ β φ β φ

⎞ ⎞⎛ ⎛ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜+ ∇ ⋅ +⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂

⎝ ⎝⎠ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ ∇ ⋅ + + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

+

v

v v

( )

( )

2 1

2 22 1

2 2 2 2 2 2 1 1

2

1 1 22

1 1 1 1 2 2 2 2 2

gl s gslg ggl s gl sgl s gslg g g g g

gl s gl s gl s gl s gl s gl s gsl gsl

gslggsl gsl gslgslg g g g g g

gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl

p ps s p s

t t

ps p s s p

t

β φ β φ β φ

β φ β φ β φ

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜+ ∇ ⋅ +⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂

⎝ ⎝⎠ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ ∇ ⋅ + + ∇⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

v v( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

2 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1

gslg

gl l gl l gl lg g g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l

gl l gslg g g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l gsl gsl gsl gsl

g

Cp T Cp T Cp

T Cp T Cp T

Cp

ρ ρ ρ

ρ ρ

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅

−

v v

v v v

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2

gsl gsl gslg g g g g g g g g gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl

gl s gl sg g g g g g g g g ggsl gsl gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s

gl sg g g ggl s gl s gl s gl s

T Cp T Cp

T Cp T Cp T

Cp T

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

∇ ⋅ + ∇ ⋅ −

∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅

v v

v v v

v ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1

1 1 1 2 2 2

gl sg g g g g ggl s gl s gl s gl s gl l gl l gl l

g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gsl gsl gsl

g g g ggsl gsl gsl gsl gsl gsl

Cp T pp p p pp p

ρ ββ β β ββ β

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅

v vv v v v

v v ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 2 1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1 1 2 2 2

1 2( )

1

g g g ggsl gsl gsl gl s gl s gl s

g g g g g ggl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s

gl s gl s gg g g g g g ggl s gl s gl s p gl s gl s gl sl gl s gl s

tg l slP

p pp p p

Cp T T dP CpV

β ββ β β

ρ ρ

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ +⎟⎜

⎝ ⎠∫

v vv v v

v v λ

( )( )

2

2 1

2 2 2 2 1 1 1

2 1( )

1

l s

gl s gslg g g g ggl s p gl s gl s gl sl gsl gsl

tg l slPT T dP Cp

Vρ

⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ v v λ

153

( )( )

( )( ) ( )

( )

1 2

1 1 1 1 2 2 2

1 2

2

2 2 2 2 1 1 1

2 1 1 2

1

1 1 1 2

( )

( ) ( )

1

1 1

gsl gslg g g g ggsl p gsl gsl gsl l gsl gsl

tgsl l

gslg g g ggsl p gsl gsl gsl l gl s gl s p

t tg sl l g l sl

gl sg ggl s gl s gl sl gl

P

P P

T T dP CpV

T T dPV V

p p dP

ρ

β

β

⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ +⎟⎜

⎝ ⎠⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜− − ⋅ + −⎟⎜ ⎜

⎝ ⎝⎠⎞⎟− ⋅ +⎟⎟⎠

∫

∫ ∫

v v λ

v v λ v v

λ ( )( )

( )( ) ( )

( )

1

2 2 2 2 2 1

2 1

1

1 1 1 1 1 2 2 2

1 2 2 1

2

2 2 2 1 1 2 1

( )

( ) ( )

1

1 1

gl sg g gs gl s p gl s gl s gl sl

tg l sl

gslg g g ggsl gsl p gsl gsl g sl l gsl gsl p

t tg sl l g sl l

gslg g ggsl gsl gsl l gl l gl

P

P P

p p dPV

p p dPV V

p p dP s k

β β

φ

⎞⎛⎟⎜ − − ⋅⎟⎜

⎝ ⎠⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜+ − − ⋅ + −⎟⎜ ⎜

⎝ ⎝⎠⎞⎟− = ∇ ⋅⎟⎟⎠

∫

∫ ∫

v v λ

v v λ v v

λ ( )

( ) ( )

1 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1

1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1

1 2

2 1 2

( )

( )

1

1

1

gl lg g g gl gl l gl l gl l gl l s

tg l l s

gl s gl lg g g g g g g ggl s gl s gl s gl s gl s gl sl gl l gl l gl l

tg l s l

ggl l gl

P

P

T k T dPV

s k T k T dP s k TV

k TV

φ φ

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎞⎛⎢ ⎟⎜+ ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎟⎜

⎝ ⎠⎣

+∇ ⋅

∫

∫

λ

λ

( )

( )

2

1 2 1 2 2 2

2 1

1

2 2 2 1 1 1 1

2 1

1 1 1 2

1 2

( )

( )

( )

1

1

gl sg g g gl gl l s gl s gl s gl s

tg l l s

gslg g g g ggl s gl s gl sl gsl gsl gsl

tg l s l

g ggsl gsl gsl l

tg sl l

P

P

P

dP s k T

k T dP s k TV

k T dPV

φ

φ

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎞⎛⎢ ⎟⎜+∇ ⋅ ⋅⎢ ⎟⎜

⎝ ⎠⎣

∫

∫

∫

λ

λ

λ ( )2

2 2 2

2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

2 1 1 2 1 2

2 1 2 1

2 1

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

1

gslg g ggsl gsl gsl

g g g g g ggsl gsl gsl l gl l gl l gl l s gl s gl s gl sl

t t tg sl l g l l s g l ls

g ggl l gl l gl

tg l sl

P P P

P

s k T

k T dP k T dP k T dPV V V

k TV

φ⎤⎥ + ∇ ⋅ ∇⎥⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎝⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∫ ∫ ∫

∫

λ λ λ

λ2 1 2 2 2 1 1 1 1 2

2 1 1 2

2 1 1

2 2 2 1 2 1 2 1 1 1

2 1

1

1 1 1 1 2 1 1

( ) ( )

( )

1 1

1

1( )(

g g g gl s gl s gl s gl sl gsl gsl gsl l

t tg l sl g sl l

gl l gslg g g g g ggsl gsl gsl l gl l gl l gsl gsl

tg sl lglg g g g g

g l g l g l g l l g l g l

P P

P

dP k T dP k T dPV V

k T dPV

Cp T TV

ε ε

ρ

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + Φ + Φ

+ − −

∫ ∫

∫

λ λ

λ

v U{ 1

1 1 1 2 1 1

1 2

) ( )( )glg g g

g l g l g l l g l g lLgl l

p pβ+ − −∫ v U

154

} {} {

1 1 1 2 1 1

1

2

1 2 2 2 2 1 2 2

2 1

2

2 2 2 1 2 2

1( )( ) ( )

1( ) ( )( )

( )( )

g sg g g g g g g gg l g l g l l g s g s g s gsl g s g s g s g s g slLgsl

g lgs g g g g gg g g gg slg s g s g s g s g l g l g l g l l g l g l

Lgl lg lg g g

g l g l g l l g l g l

k T dL Cp T TV

dLp p k T Cp T TV

p p

ρ β

ρ

β

− ∇ ⋅ + − − + −

⋅ +− − ∇ − −

−+ − −

∫

∫

υ v U v U

υ v U

v U } {

} { }

{ }

22 2 2 1

2

2 1 1 12

1

2 2 2

2

1 ( )

1( ) ( )( )

1

g g g g gg s g s g s g slg l g l g l l

Lgslg s g s g gg g g g g g g

g sl g l g l g l sg s g s g s g s g sl g s g s g s g sLgl s

g gg l g l g l s

Lgl s

Cpk T dLV

dL k T dLT T p p k TV

k T dLV

ρ

β

−∇ ⋅ +

⋅ + − ∇ ⋅− + − − − ∇

+ − ∇ ⋅

∫

∫

∫

v Uυ

υ υv U

υ

(285)

Para l1:

( )1 2

11 2 1 2 1 2 1 21 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 21

1 2 1 21 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

l l gll l g l l g l l g l l gl l gl l l l l l l l

l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g

l glll gl l gll gll l l l l

l gl l gl l gl l gl l gl l gl

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp s

t

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

( )

( )

1 2 1 21 1 1

1 2 1 2

1 21

1 2 1 2 1 2 1 21 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

11

1 11 1 1

1 1 1

l gl l gll l ll gl l gl

l l sll l s l l s l l s l l sl l sl l l l l l l l

l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s

l gsll gs l gsl l l

l gs l gs l gs

T

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp

t

φ

ρ φ ρ φ

ρ φ

∇ ⋅

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

v

( )

( )

1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 1

11

1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 21

1 2 1 21 1 1

1 2 1 2 1 2

l gs l gs l gsl l l l ll gs l gs l gs l gs l gs

l sgll sg l sg l sg l sgl sgl l l l l l l l

l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg

l slll sl l sll l l

l sl l sl l sl

s T

TCp s Cp s T

t

TCp s

t

ρ φ

ρ φ ρ φ

ρ φ

∇ ⋅

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎛ ∂

+∂

v

v

( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

l sl l sl l sll l l l ll sl l sl l sl l sl l sl

l l g l l g l gll l l l l l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l gl l gl l gl l gl

l

Cp s T

Cp T Cp T Cp T

Cp

ρ φ

ρ ρ ρ

⎞⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜

⎝ ⎠+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅

−

v

v v v

( ( ) ( )( )

1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 21 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

l gl l sg l sgl l l l l l l l l l l lgl l gl l gl l gl l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg

l sl l sll l l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sl l sl l sl l sl

T Cp T Cp T

Cp T Cp T

ρ ρ ρ

ρ ρ

∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅

v v v

v v( ) ( )( ) ( ) (

1 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

l l sl l l ll l s l l s l l s l l s

l l s l gs l gsl l l l l l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs

Cp T

Cp T Cp T Cp T

ρ

ρ ρ ρ

+ ∇ ⋅

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅

v

v v v

155

( )( )

( )( )

1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

( )

( )

1

1

l l s l l s l sll l l l l l ll l s l l s l l s p l l s l l s l l sg l sl l sl

tl l s g

l sll l l l ll sl p l sl l sl l sl g l l g l l g l l

tl s l g

P

P

Cp T T dP CpV

T T dP s k TV

ρ ρ

φ

⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇⎟⎜

⎝ ⎠

∫

∫

v v λ

v v λ ( )

( )

( )

1 21

2

1 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 21 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( )

( )

1

1

l l glg

l gll l l l ll l g l l g l l gs l gl l gl l gl

tl l g s

l l sl l l l ll gl l gl l gl s l l s l l s l l s

tl g l s

P

P

k T dP s k TV

k T dP s k TV

φ

φ

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

λ

λ

( ) ( )

1 1

1 2 1 2 1 2

1 2

1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

1 2

1 1

1 1

1

( )

( )

1

1

1

l ll l s l l s l l sg

tl l s g

l gs l sgl l l l l l l ll gs l gs l gs l gs l gs l gsl l sg l sg l sg

tl g sl

l ll sg l sg

l s g

P

P

P

k T dPV

s k T k T dP s k TV

k TV

φ φ

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+ ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+ ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+∇ ⋅

∫

∫

λ

λ

( )1 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

l sll l l lgl sgl l sl l sl gsl l sl l sl l sl g

t tl l sl g

l l l ll l g l l g l l gs l gs l gs l

t tl l g s l g sl

P

P P

dP s k T k T dPV

k T dP k TV V

φ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎞⎛⎢ ⎥⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎠⎣ ⎦ ⎝⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

λ λ

λ λ 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

1 2 1 2 1 2

1 21 1

1 2 1 2 1

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1 1

l lgsl l l s l l s l l sg

tl l s g

l l l l l ll gl l gl l gl s l sl l sl l sl g l sg l sg l sgl

t t tl g l s l sl g l s g ll l gl l

l l g l l g l

P

P P P

dP k T dPV

k T dP k T dP k T dPV V V

s sφ

+ ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ Φ +

∫

∫ ∫ ∫

λ

λ λ λ

{ } { }

{ } { }

11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1

1 2 1 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1

1 1

1 ( )(

l sgl l l l l lsg l sg l g l g l gl l l l l l l s

L Ll gl l l s

l l l ll s l s l sl l g l g l gs

L Ll sl l gl

l l l ll l l l l l l l g l l l l

k T dL k T dLV V

k T dL k T dLV V

Cp T TV

φ

ρ

Φ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − −

∫ ∫

∫ ∫

υ υ

υ υ

v U{ }{ }

1 21 1 1

2 1 2 1 2 1 2

1 2

11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

)

1 ( )( )

l ll l ll l l l l l g

Ll l gl sl l l l l l l

l s l s l s l sg l s l s l s l s l sgLl sg

k T dL

Cp T T k T dLV

ρ

− ∇ ⋅

+ − − − ∇ ⋅

∫

∫

υ

v U υ

(286)

Para l2:

( )2 1

22 1 2 1 2 1 2 12 12 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 12

2 1 2 12 12 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

l l gll l g l l g l l g l l gl l gl l l l l l l l

l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g

l glll gl l gll gll l l l l

l gl l gl l gl l gl l gl l gl

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp s

t

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

( )

( )

2 1 2 12 2 2

2 1 2 1

2 12

2 1 2 1 2 1 2 12 12 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

22

2 22 2 22 2 2

l gl l gll l ll gl l gl

l l sll l s l l s l l s l l sl l sl l l l l l l l

l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s

l gsll gs l gsl l l

l gs l gs l gs

T

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp

t

φ

ρ φ ρ φ

ρ φ

∇ ⋅

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

v

( )2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2

l gs l gs l gsl l l l ll gs l gs l gs l gs l gss Tρ φ ∇ ⋅v

156

( )2

22 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 12

2 1 2 1 22 12 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

l sgll sg l sg l sg l sgl sgl l l l l l l l

l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg

l slll sl l sl ll sll l l l l l l

l sl l sl l sl l sl l sl l sl l sl

TCp s Cp s T

t

TCp s Cp s

t

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

v( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 12

2 1

2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 12 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

sl l slll sl

l l g l l g l gll l l l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l gl l gl

l gll l l l l l ll gl l gl l gl l gl l gl l gl l sl

T

Cp T Cp T Cp

T Cp T Cp

ρ ρ ρ

ρ

∇ ⋅

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ +

∇ ⋅ − − ∇ ⋅ +

v v

v v ( )( ) ( )

( ) ( )

2 12 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

2 12 2 2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

l sll l ll sl l sl l sl

l sl l sg l sgl l l l l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sg l sg l sg l sg l sg l sg

l l sl l l l l ll sg l sg l l s l l s l l s l l s l

T

Cp T Cp T Cp

T Cp T Cp

ρ

ρ ρ ρ

ρ

∇ ⋅

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ −

∇ ⋅ + ∇ ⋅ −

v

v v

v v ( )( ) ( )

( )( )

2 12 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1

2 12 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1( )

1

l l sl l l ll s l l s l l s l l s

l gs l gs l l sl l l l l l l l l ll gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs l l s l l s

l l sl l ll l s p l l s l l s l l sg

tl l s gP

T

Cp T Cp T Cp

T T dPV

ρ

ρ ρ ρ

∇ ⋅

+ ∇ ⋅ − − ∇⋅ +⎞⎛

⎜ − − ⋅⎜⎝

∫

v

v v

v v λ

( )( ) ( )

2 12 2

2 1 2 1

2 1 2 12 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

( )

( )

1

1

l sll ll sl l sl

l sl l l gl l l l l ll sl p l sl l sl l sl g l l g l l g l l g

tl sl g

l l ll l g l l g l l gs l l s l l

tl l g s

P

P

Cp

T T dP s k TV

k T dP s kV

ρ

φ

φ

⎟ +⎟⎠⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇⎟⎜

⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

v v λ

λ ( )

( )

( )

2 12 2

2 1

2 12 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

22 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1

( )

( )

1

1

l l sl ls l l s

l gll l l l ll l s l l s l l sg l gl l gl l gl

tl l sg

l gsl l l l ll gl l gl l gl s l gs l gs l gs

tl g l s

P

P

T

k T dP s k TV

k T dP s k TV

φ

φ

∇

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+

∫

∫

λ

λ

( )

( )

22 2 2 2 2

2 2 2 1 2 2 2

2 1

2 12 2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2 2

2 1 2 1

( )

( )

1

1

1

l sgl l l l ll gs l gs l gsl l sg l sg l sg

tl g sl

l sll l l l ll sg l sg l sgl l sl l sl l gl

tl s g l

l ll sl l sl

P

P

P

k T dP s k TV

k T dP s k TV

k TV

φ

φ

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+∇ ⋅

∫

∫

λ

λ

2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

l ll sl g l l g l l g l l gs

t tl sl g l l g s

l l l ll gl l gl l gl s l l s l l s l l sg

t tl g l s l l s g

P

P P

dP k T dPV

k T dP k T dPV V

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

λ λ

λ λ

157

2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1 2 1

2 12 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 ( )( ) ( )(

l l l l l ll gs l gs l gsl l sl l sl l sl g l sg l sg l sgl

t t tl g sl l sl g l s gll ll l l l l l

l l l l l l l l g l l l l l l l l l l g

P P Pk T dP k T dP k T dP

V V V

Cp T TV

ρ β

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ − − + −

∫ ∫ ∫λ λ λ

v U v U{} {

} { }

2 12 22 1 2 1

2 1

22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

( )

( )

)

1 ( )( ) ( )

1( )

l ll ll l l l

tl l gl sl l l l l l l l

l l l l l l g l s l s l s l sg l s l s l s l s l sgtl sg

l sl l l l l ll s l s l s l s l sg l l l l l l s

L

L

p p

k T dL Cp T TV

p p k T dL k TV

ρ β

−

− ∇ ⋅ + − − + −

− − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫υ v U v U

υ υ

{ } { } { }2 1

2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2

( )

( ) ( ) ( )

1 1 1tl l s

l l l l l ll s l s l sl l g l g l gl l g l g l gs

t t tl s l l gl l gs

L

L L L

dL

k T dL k T dL k T dLV V V

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫ ∫υ υ υ

(287)

Para s:

2 1 2 1 2

2 1 2 1 22 1 2 1 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1

1 1

1 1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

(1 )

sl l sl g sl ls s s

sl l sl g sl lsl l sl g sl ls s s s s ssl l sl l sl g sl g sl l sl l

sl gs

sl g ssl gs s s ssl g sl g sgl sgl

T T TCp Cp Cp

t t t

TCp Cp

t

ρ φ ρ φ ρ φ

ρ φ ρ

⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− + − + −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂

⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ − +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

( ) ( )

1 2

1 21 2

2 2

1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

1 2

1 1

( )

(1 ) (1 )

1(1 ) (1 )

1

sgl sgls s

gl sglsgl sgls ssgl sgl

sl l sl gs s s s s ssl l sl l sl l sl l sl l g sl g sl g

tsl l g

ssl g sl g

P

T TCp

t t

k T k T dP k TV

k TV

φ ρ φ

φ φ

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜− + −⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂

⎝ ⎝⎠ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= − ∇⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + − ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜

⎝ ⎠⎣ ⎦

+∇ ⋅

∫ λ

( )

( )

2 1

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1

2

2 2 2 2 2 1

2 1

( ) ( )

( )

1(1 )

1(1 )

sl ls s s s s

sl gl sl l sl l sl l sl l sl l gt tsl gl s l l g

sl gs s s ssl g sl g sl g sl g sl gl

ts l gl

P P

P

dP k T k T dPV

k T k T dPV

φ

φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ + − ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜

⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎟⎜+ − ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎟⎜

⎝ ⎠⎣

∫ ∫

∫

λ λ

λ ( )

( )

1

1 1

2

1 1 1 2 2 2 2 2 2 1

1 2 2 1

1 2 1 2 1 2

1 2

( ) ( )

( )

(1 )

1 1(1 )

1

sgls ssgl sgl

sgls s s s s ssgl sgl sgl l sgl sgl sgl sgl sgl l

t ts gl l s gl l

s ssl l sl l sl l

tsl l g

P P

P

k T

k T dP k T k T dPV V

k TV

φ

φ

⎥ + − ∇ ⋅ ∇⎥⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜+∇ ⋅ ⋅ + − ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜

⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∫ ∫

∫

λ λ

λ1 1 1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1

2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1

2 1 1 2 2 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

1

s s s sg sl g sl g sl gl sl l sl l sl l g

t tsl g l s l l g

s s s s s ssl g sl g sl gl sgl sgl sgl l sgl sgl sgl l

t t tsl g l s g l l s g l l

P P

P P P

dP k T dP k T dPV V

k T dP k T dP k T dPV V V

kV

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

λ λ

λ λ λ

{ } { } { }

{ } { } { }

1 2 2 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 2 1 1 1 2 2 2

11 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

s ss s s ssg sg sg l sl s l sl l s g s g s gl

t t ts g l sl l sgl

s s s s s ss l s l s l l sl sl sl g sl s l sl g

t t ts l gsl l sl g

L L L

L L L

T dL k T dL k T dLV V

k T dL k T dL k T dLV V V

∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

υ υ υ

υ υ υ

(288)

Al igual que la Ec. (284), las Ecs. (285)-(288) además de los términos de acumulación,

convectivos, y conductivos presentan términos de: 1) transferencia de energía de las

interfases a la línea de contacto y de la línea de contacto al punto de contacto entre g con l1

158

y l2 , 2) generación de calor de g con l1, y 3) términos de flux de calor de la línea al punto

de contacto.

Es importante mencionar que las Ecs. (285)-(288) hasta el momento no habían sido

reportados en la literatura especializada.

4. 3. 4 Ecuación promediada en el punto de contacto

Como se ha mencionado anteriormente los balances en el punto de contacto han sido poco

estudiados (Gray y Hassanizadeh, 1998). En esta sección se presenta el balance en el punto

de contacto para la ecuación de energía para cada una de las fases involucradas en el

sistema.

Partiendo del balance en el punto de contacto [Ec. (192)] se expresa el balance para el

punto de contacto para la fase k como:

{ }0 ( )( ) ( )( )kmn kmk k k k k k k k k k

kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn km kmn kmn k mnqCp T T p p k Tρ β= − − + − − − ∇ ⋅v v v v λ

(289)

donde ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ; , , , ; , , , ; , , , ;k g l l s m g l l s n g l l s q g l l s k m n= = = = ≠ ≠ , pv es la velocidad

del punto de contacto formado por las fases kmnq, gmnqλ es el vector unitario tangente a la

línea de contacto “kmn” dirigido hacia el punto de contacto kmnq.

Aplicando las Ecs (41) y (43) a la Ec. (289) se tiene la ecuación promediada en el punto de

contacto

{}

0 ( )( )( )( )kmkmnk k k kk k k k k

kmnq kmn kmn p kmn kmkmn kmn kmn p kmn kmn

k mnqk kk mnqkmn kmn

p pCp T T

k T

ε βρ= + − −− −

⋅− ∇

v vv v

λ (290)

Para la Ec. (290) se considera que k kkmnq kmnqsε φ= , donde

kkmnqk

kmnqm

Ps

V= , y mV

Vφ = , quedando

redefinida de la siguiente manera:

159

{( )

Transferencia de energía por cambio de fase y presión en el punto de contacto

10 ( )( ) ( )( )kmn kmk k k k k k k k

kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn kmkmnq

kkmn k

P t

Cp T T p pV

k T

ρ β= − − + − −

− ∇

∫ v v v v

}Transferencia de energía por conducción en el punto de contacto

kk mnqmn dP⋅ λ

(291)

Dado que la fase k=l1, l2, g, s, la forma extendida de la Ec. (291) para cada una de estas

fases al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles

e incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y

generación de calor entre l1 con g) son:

Para g:

{ }1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

1 2

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

( )

10 ( )( ) ( )( )

1 ( )( ) ( )(

gsl g slg g g g g g g g g ggsl g sl g sl p g sl gsl g sl g sl p g sl g sl g sl g sl g sl l

tg sl lgl s g l sg g g g g g g g

g l s g l s g l s p g l s g l s g l s g l s p g l s g l s

PCp T T p p k T dP

V

Cp T T p pV

ρ β

ρ β

= − − + − − − ∇ ⋅

+ − − + − −

∫ v v v v λ

v v v v{ }{ }

1 1 1 2

1 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 1

2

2 2 2 2 2

( )

( )

)

1 ( )( ) ( )( )

1 ( )(

g gg l s g l s g l sl

tg l slg sl g slg g g g g g g g g g

g sl g sl g sl p g sl g sl g sl g sl p g sl g sl g sl g sl g sl ltg sl l

gl sg g g g gg l s g l s g l s p g l s g l s

P

P

k T dP

Cp T T p p k T dPV

Cp T TV

ρ β

ρ

− ∇ ⋅

+ − − + − − − ∇ ⋅

+ − −

∫

∫

λ

v v v v λ

v v{ }{ } { }

2

2 2 2 2 2 2 2 1

2 1

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2

( )

( ) ( )

) ( )( )

1 1

g l sg g g g gg l s g l s p g l s g l s g l s g l s g l sl

tg l sl

g g g gg l l g l l g l l s g l l g l l g l l s

t tgl l s gl l s

P

P P

p p k T dP

k T dP k T dPV V

β+ − − − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫

∫ ∫

v v λ

λ λ

(292)

Para l1:

{ }{ }

1 21 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 21 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( )

( )

10 ( )( )

1 ( )( )

1

l l sl l l l l l ll l s l l s l l s p l l s l l s l l s l l s l l sg

P tl l sgl sll l l l l l l

l sl l sl l sl p l sl l sl l sl l sl l sl gP tl sl g

Cp T T k T dPV

Cp T T k T dPV

kV

ρ

ρ

= − − − ∇ ⋅

+ − − − ∇ ⋅

+ −

∫

∫

v v λ

v v λ

{ } { }

{ } { }

1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1 2

1 2 1 2

1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

l l l ll sg l sg l sg l l gs l gs l gsl

P t P tl sg l l gsl

l l l ll l g l l g l l gs l gl l gl l gl s

P t P tl l gs l gl s

T dP k T dPV

k T dP k T dPV V

∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

λ λ

λ λ

(293)

Para l2

{ }2 12 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1( )

10 ( )( )l l sl l l l l l l

l l s l l s l l s p l l s l l s l l s l l s l l sgP tl l sg

Cp T T k T dPV

ρ= − − − ∇ ⋅∫ v v λ

160

{ }{ } { }

2 12 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2 2 2 2

2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1

2

2 1 2 1

( )

( ) ( )

1 ( )( )

1 1

1

l sll l l l l l ll sl l sl l sl p l sl l sl l sl l sl l sl g

P tl sl g

l l l ll sg l sg l sg l l gs l gs l gsl

P t P tl sgl l gsl

l ll l g l l g

Cp T T k T dPV

k T dP k T dPV V

k TV

ρ+ − − − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇

∫

∫ ∫

v v λ

λ λ

{ } { }2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1( ) ( )

1 l ll l gs l gl l gl l gl s

P t P tl l gs l gl s

dP k T dPV

⋅ + − ∇ ⋅∫ ∫λ λ

(294)

Para s:

{ } { }

{ } { }

{ }

2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2

1 1 1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 10

1 1

1

s s s ssl g sl g sl gl s gl s gl s gl l

P t P tsl gl sgl l

s s s ssl l sl l sl l g sl l sl l sl l g

P t P tsl l g sl l g

s ss gl s gl sgl l

P tsgl l

k T dP k T dPV V

k T dP k T dPV V

k T dPV

= − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅

+ − ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫

λ λ

λ λ

λ { }1 1 1 2

1 2( )

1 s ssl g sl g sl g l

P tsl gl

k T dPV

+ − ∇ ⋅∫ λ

(295)

4. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Se desarrolló un conjunto de ecuaciones de energía promediadas en volumen para flujo

multifásico en un medio poroso. Tales ecuaciones, describen la transferencia de calor en

las fases, interfases, líneas y puntos de contacto [Ver Ecs. (224)-(227), (257)-(260), (285)-

(288) y (292)-(295)].

La ecuación obtenida para la fase k [Ec. (222)] fue propuesta para las fases g, l1, l2 y s con

la finalidad de obtener un modelo de fases separadas o bien un modelo de desequilibrio

termodinámico.

Ecuaciones similares para la fase fueron obtenidas por Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia

(2004), Duval et al.(2004), Ochoa-Tapia y Whitaker (1997a, 1997b ), Quintar et al. (1997),

Moyne (1997) y Whitaker (1986a). Por otro lado, los trabajos antes mencionados trabajan

con flujo monofásico y bifásico dentro de un medio poroso y en la mayoría de estos, con

excepción del trabajo de Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004), no toman en cuenta

la compresión del gas, la disipación viscosa ni la generación de calor. Por otro lado, el

161

trabajo realizado por Moyne (1997) considera que la transferencia de calor es únicamente

por conducción lo que hace que el balance para la fase sea aun más sencillo.

Otros trabajos que involucran la ecuación de energía para la fase son los trabajos hechos

por Hassanizadeh y Gray (1979b, 1980, 1997), Slattery (1990), Soria y De Lasa (1991),

Achanta et al. (1994), Gray y Hassanizadeh (1998) y Gray (1999). Sin embargo, en éstos,

la ecuación de energía fue expresada en términos de energía total. En dichos trabajos

(Hassanizadeh y Gray 1979b, 1980) consideraron que la transferencia de energía por

cambio de fase, esfuerzos y conducción eran despreciables. Por otro lado, los balances de

energía para la interfase y línea de contacto en términos de energía total se encuentran en

los trabajos hechos por Slattery (1990), Gray y Hassanizadeh (1998), Hassanizadeh y Gray

(1997), Gray (1999) y Achanta et al. (1994). En estos trabajos, los balances en la línea de

contacto, con excepción del presentado por Gray y Hassanizadeh(1998), las propiedades

termodinámicas en línea de contacto fueron consideradas irrelevantes.

Respecto al balance en el punto de contacto, solo fue presentado en el trabajo de Gray y

Hassanizadeh (1998), quienes también propusieron los balances para la fase, interfase y

línea de contacto. Dichos balances también fueron expresados en términos de energía total.

A diferencia de los trabajos antes mencionados, en esta investigación se partió de la

ecuación de energía para el flujo multifásico de l1, l2 y g dentro de un medio poroso

homogéneo, isotrópico y rígido. Se propusieron y desarrollaron balances para la fase,

interfase, línea y punto de contacto en términos de temperatura tomándose en cuenta: 1) la

compresibilidad del gas, 2) la generación de calor, 3) la transferencia de energía por

cambio de fase, presión y conducción, 4) el término de la curvatura media interfacial (para

el caso del balance en la interfase), 5) el balance en la línea de contacto con propiedades

termodinámicas (densidad, temperatura, presión) y 6) la transferencia de calor por

convección y conducción.

162

Por otro lado, al igual que los trabajos hechos por Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia

(2004), Duval et al.(2004), Ochoa-Tapia y Whitaker (1997a, 1997b ), Quintar et al. (1997),

Moyne (1997), Whitaker (1986a), Hassanizadeh y Gray (1979b, 1980, 1997), Soria y De

Lasa (1991), Achanta et al. (1994), Gray y Hassanizadeh (1998) y Gray (1999), se

obtuvieron términos adicionales durante el proceso de promediado (términos de dispersión

de temperatura, presión y velocidad) para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto

(Ver Ecs. (222), (255), (283) y (290)) conocidos como términos de cerradura.

De forma resumida la Tabla 4.1 muestra la comparación de las ecuaciones de energía

obtenidas contra los trabajos previamente mencionados.

163

Tabla 4.1 Comparación de las ecuaciones de energía obtenidas contra otros trabajos. Autor Ecuación

Fase k Ochoa-Tapia y Whitaker (1997a, 1997b), Quintar et al. (1997)

( ) ( ) ( ) ( )1 2

( ) ( )

1 1

km

k k kk k k k k k k k k k k k m km k k kmk kk

t tl l

kk

k k kA A

TCp Cp T Cp T k T T dA k T dA

t V Vε ρ ρ ε ρ ε

⎡ ⎤⎞⎛∂⎢ ⎥+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫v v n n

Moyne (1997), Whitaker (1986a)

( )( ) ( )

1 1

km km

kk k k m km k k kmk

t t

kk

k k kA A

TCp k T T dA k T dA

t V Vε ρ ε

⎡ ⎤⎞⎛∂⎢ ⎥= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫n n

Duval et al. (2004) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

1

1 1

km

km

k k kk k k k k k k k k k k k km k k kmk kk

t

N Nk kk k k k km k k k k k km

km kmt tkm

kk

k k kA

A A

TCp Cp T Cp T Cp T T dA

t V

k T T dA k T k T dAV V

ε ρ ρ ε ρ ρ

ε ε

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + − − ⋅

∂

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ −∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∑ ∑∫ ∫

v v v w n

n n

Espinosa-Paredes y

Cazarez-Candia (2004)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1

1km km

k kk k k kk k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k

k kk k k k k k k k k km k k km k k km k k kmk

t t

kk k k

A A

T pCp Cp T p Cp T Cp T

t t

p p Cp T T dA p p dAV V

k T

ε ρ ε ρ β ε β ε ρ ρ

β β ρ β

ε

∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇ + ∇⋅ − ∇ ⋅

∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + − − ⋅ + − − ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠

= ∇⋅ ∇ +

∫ ∫

v v v v

v v v w n v w n

( ) ( )

1

km km

N N kk km k k km k k

km kmt tA AT dA k T dA

V Vε

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑∫ ∫n n

164

Continuación (Tabla 4.1) Fase k

Hassanizadeh y Gray

(1979, 1980) ( ) ( )

( )( )( )

1 12 22 2

1 22

( )

1

km

k k k k k k k k k k k k k k kk kk k k k k k k k k k k k k k k

k kkk k km k k k k km

tA

E Et

E dAV

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

∂ ⎡ ⎤+ +∇ ⋅ + −∇ ⋅ +∇ ⋅ − ⋅ − Φ⎣ ⎦∂

= − − + − ⋅ − ⋅∫

v v v t v q g v

v w v t v q n

Hassanizadeh y Gray (1997)

( ) ( ) ( )( )( )

( )

2 21 12 2

212

( )

212

1

1

km

k kk k k k k kk kk k k k k k k k k k k k

N k kk k k k k kk k k k k k k k k k km k k k k kmk

km t k k

km kkmk k k kkm km km kms kmkmk k

km km

A

E Et

E dAV

EV

ε ρ ε ρ ε ε

ε ρ ε ρ ε ρε ρ

ε ρε ρ

∂ ⎡ ⎤+ +∇⋅ + −∇⋅ ⋅ −∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∂⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜− ⋅ − Φ = − − + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

+ − +

∑ ∫

v v v t v q

g v v w v t v q n

v U v( )kms

mk k kkm km km kms

tLdA

⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜ + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ t v q υ

Gray (1999) ( ) ( ) ( )( )( )

1:km

k k Nk k k k k k kk k k kk k k k k k k k k k k k km k k k km

km tA

D EE E dA

Dt Vε ρ

ε ε ε ρ ε ρ ρ−∇⋅ −∇ − − Φ = − − − ⋅ − ⋅∑ ∫q v t I v w t v q n

Gray y Hassanizadeh

(1998); Achanta et al.

(1994)

( ) ( )( )( )

1:km

k k Nk k k k k kk k kk k k k k k k k k k km k k k km

km tA

D EE dA

Dt Vε ρ

ε ε ε ρ ρ−∇⋅ − ∇ − Φ = − − − ⋅ − ⋅∑ ∫q t v v w t v q n

donde E es la energía total (energía interna mas energía cinética) y t es el tensor de esfuerzos.

165

Continuación (Tabla 4.1)

Fase k

En el presente trabajo

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1

k kk k k k k k k kk k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k

Nk k kk k k k k k k k k km k k km k k km k k km

km kmt tkm kmk m kA A

T pCp Cp T p Cp T Cp T

t t

p p Cp T T dA p p dAV V

ρ ε ρ ε β ε β ε ρ ρ

β β ρ β≠ ≠

⎞⎛ ∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇ + ∇⋅ − ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎞⎛⎟⎜+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + − − ⋅ + − − ⋅⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ ∫

v v v v

v v v w n v w n

( )( ) ( )

1 1

N

m

N N gkk k k k k km k k km g g

km kmt tkm kmk m k mA A

k T k T dA k T dAV V

ε ε≠ ≠

⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

∑ ∑∫ ∫n n

166

Continuación (Tabla 4.1)

Interfase km Gray (1999) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

:

1 1

km kmn

kmk k km km km km km km kmkm km k k k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km

Nk k k k kk km

k k km k k k km km km kmn km km km kmnkm t tA L

D EE

DtE dA E dL

V V

ε ρε ε ε ρ ε ρ

ρ ρ

−∇ ⋅ −∇ − − Φ

= − + ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − ⋅∑ ∫ ∫

q v t I

v w t v q n v U t v q υ

Gray y Hassanizadeh

(1998) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )

1:

1km

kmn

Nkmkm km km km km kmk k k k k k k k k k kkm km km km km km km km km km k k km k k k km

km tQ

k k k k kkmkm km kmn km km km kmn

kmn t

A

L

DE E dADt V

E dLV

ε ρ ε ε ε ρ ρ

ρ

−∇⋅ −∇ − Φ = − − + ⋅ + ⋅

− − + ⋅ + ⋅

∑ ∫

∑ ∫

q v t v w t v q n

v U t v q υ

Achanta et al.

(1994) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )

1:

1km

kms

Nkmkm km km km km kmk k k k k k k k k k kkm km km km km km km km km km k k km k k k km

km t

k k k k kkmkm km kms km km km kms

t

A

L

DE E dADt V

E dLV

ε ρ ε ε ε ρ ρ

ρ

−∇⋅ −∇ − Φ = − − + ⋅ + ⋅

− − + ⋅ + ⋅

∑ ∫

∫

q v t v w t v q n

v U t v q υ

Hassanizadeh

y Gray (1997)

( ) ( ) ( )( )( )

2 21 12 2

212

1

k

km kmkm km km km km kmk k k k k k k k k k k kkm kmkm km km km km km km km km km km km

k kkm km km km km kk k k k k k kkm km km km km km km k k k km k k k k kmk

k kA

E Et

E dAV

ε ρ ε ρ ε ε

ε ρ ε ρ ε ρε ρ

∂ ⎡ ⎤+ +∇ ⋅ + −∇⋅ ⋅ −∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∂⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜− ⋅ − Φ = − − + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

v v v t v q

g v v w v t v q n

( )

( )

212

( )

1

m

kms

N

km t

km kmkmk k k k k k kkm km km kms km km km km kmskmk k

t km kmL

E dAV

ε ρε ρ

⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜+ − + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∫

∫ v U v t v q υ

167

Continuación (Tabla 4.1)

Interfase km

En el presente trabajo

( ) ( )( ) ( ) ( )

km kmk kkm km km km kmk k k k k kkm kmk kkm km km km km km kmkmkm km

kmkm km k k kkm km km km km km

km km k k kk kkm km kmkm km km

km km kk k kk kkm km kmkm km kmkm km km km

T pCp Cp Cp TT wt t

Cp T w Cppp w

ρ ρ ρ βεεε ε

β β ρ ρεε

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ + +∇⋅⎟ ∇ ⋅ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

+ + + ∇⋅ +∇ ⋅∇ ⋅

vn

nvn ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1

kmk

kmk kkm km km km km

Q km kmk k k k k kkmk k km km km km km kmkm km kmkmn kmn

k m n

k kkm km

k k k k k k kkm km km km km km km km km

kmn kmn kmn kmnL t L tkmn kmn

T

Cp T p w p p

T T dL p p dLCp V V

ρ β β β

ρ β≠ ≠

∇ ⋅

− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇⋅ − ∇⋅

⎞⎛− − ⋅ − − ⋅⎟⎜+ +

⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ ∫

v

v n v v

v U υ v U υ

{ }( )( )

( )

1 1

1 ( )( ) ( )( )

Q

k m n

Q Q kmk k kkm km km km km km kmn km km

kmn kmn tk m n k m n

k k

k k k k m k k k k k m k k k k k m

k k k k kkmn

LL t kmnkmn

k m A tk m km

k T T dL k T dLV V

Cp T T p p k T dAV

ε ε

ρ β

≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠

≠

⎞⎛⎟⎜

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

− − + − − − ∇ ⋅

∑

∑ ∑∫ ∫

∫

υ υ

v w v w nN

∑

168

Continuación (Tabla 4.1)

Línea de contacto kmn Gray (1999)

( ) ( )( )( )

( )

:

1

kmn

kmnk k kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn k k k k k k k k k kkmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

k k k k kkmkm km kmn km km km kmn

tL

D EE

DtE dL

V

ε ρε ε ε ρ ε ρ

ρ

−∇ ⋅ −∇ − − Φ

= − − + ⋅ − ⋅∫

q v t I

v U t v q υ

Hassanizadeh y Gray (1997)

( ) ( ) ( )( )

( )

2 21 12 2

1

kmn kmnkmn kmn kmn kmn kmnk k k k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmn kmn kmn kmn kmn kmnk k k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

kmkmk k kkm km km kms

k

E Et

EV

ε ρ ε ρ ε

ε ε ρ ε ρ

ε ρε

∂ ⎡ ⎤+ +∇⋅ + −∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∂−∇ ⋅ − ⋅ − Φ

= − −

v v v t v

q g v

v U 212

( )kms

kmk k k kkm km km km kmskmk k

t m kmLdA

ρ

⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜ + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ v t v q υ

Gray y Hassanizadeh

(1998) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

:

1 1

kmn kmnq

kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmnk k k k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn

Q Pk k k k k k k k k kkm kmnkm km kmn km km km kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmnq

kmn kmnqt tL P

DEDt

E dL E dPV V

ε ρ ε ε ε ρ

ρ ρ

−∇⋅ −∇ − Φ

= − − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅∑ ∑∫ ∫

q v t

v U t v q υ v v t v q λ

169

Continuación (Tabla 4.1)

Línea de contacto kmn

En el presente trabajo

( ) (( ) ( )

kmn kmnk kkmn kmn kmn kmn kmn kmnk k k k k kkmn kmn k k kk kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn

kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn k

k k kkmn kmn kmn

k kkmn kmn

T pCp Cp T pt t

Cp T Cp T

ρ ρ β βε εε ε

ρ ρ β

⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ + +∇⋅ ∇ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅

v v

v v v( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

1 1

k k k k kmn kmn kmn kmn kmn

P Pkmn kmnk kkmn k k k kk k kkmn p kmnq kmn p kmnqkmn kmn kmn kmnkmn kmn kmnkmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q

kmnk k kkmn kmn kmn

P P

p p

dP dPT T p pCp V V

k T k

β

ρ β

ε

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

− ∇ ⋅⎞ ⎞⎛ ⎛

− ⋅ − ⋅− −⎟⎜ ⎜+ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎝⎠ ⎠

= ∇ ⋅ ∇ +∇⋅

∑ ∑∫ ∫

v

v v λ v v λ

{ }( ) ( )

1 1

1 ( )( ) ( )( )

P P kmnk k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmnq kmn kmn

kmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q

km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km km

P PT dP k T dP

V V

Cp T T p p k TV

ε

ρ β

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ − − + − − − ∇ ⋅

∑ ∑∫ ∫λ λ

v U v U υ( )

Q

nkmn

k m n L tkmn

dL≠ ≠

∑ ∫

Punto de contacto kmnq

Gray y Hassanizade

h (1998)

( )( )( )212

( )

10kmnq

kmnk k k k k kkmnkmn km kmn kmn kmn kmn kmn kmnq

tPE dP

Vρ= − − + − ⋅ − ⋅∫ v U v t v q λ

En el presente trabajo

{ }( )

10 ( )( ) ( )( )kmn kmnk k k k k k k k k k

kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn kmn

P tkmnq

Cp T T p p k T dPV

ρ β= − − + − − − ∇ ⋅∫ v v v v λ

170

4. 5 CONCLUSIONES

Se obtuvo un conjunto de ecuaciones de energía del tipo promedio para flujo multifásico

de gas (g) y dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio poroso homogéneo,

isotrópico y rígido.

Las ecuaciones de energía fueron promediadas en volumen para las fases, interfaces, líneas

y puntos de contacto, tomando en cuenta la transferencia de energía por cambio de fase,

presión y conducción de acuerdo al proceso tipo cascada.

La inclusión de las propiedades termodinámicas y de transporte (densidad, presión,

viscosidad y conductividad térmica) dentro del balance de energía en la línea de contacto

permitió completar las teorías para flujo multifásico, obteniéndose términos que a la fecha

no habían sido reportados en la literatura especializada (Ver Tabla 4.1).

Al igual que las ecuaciones de masa y cantidad de movimiento promediadas en cada una

de las regiones coexistentes dentro del volumen de promediado, las ecuaciones de energía

fueron propuestas tomando la definición explícita del medio poroso (Ver Ecs. (222), (255),

(283) y (290)).

171

Capítulo 5 ECUACIÓN DE ENERGÍA BAJO CONDICIONES DE

EQUILIBRIO Y DESEQUILIBRIO TÉRMICO

5.1 ECUACIÓN CON DESEQUILIBRIO TÉRMICO.

Los procesos de transporte de masa y energía en sistemas multifásico a través de medios

porosos se presenta en numerosas aplicaciones prácticas de la ingeniería, tal como,

reactores químicos, columnas de absorción, reactores de lecho fluidizado de tres fases,

explotación de campos petroleros, hidrología y prevención de contaminantes dispersos en

el agua, etc.

Enfocándonos en la recuperación de hidrocarburos, en específico en la técnica de

recuperación por combustión in-situ donde la temperatura en una zona (elemento de

volumen) del yacimiento aumenta, los primeros líquidos en ser vaporizados son el agua y

los hidrocarburos ligeros. Los vapores son llevados a la corriente de gas y condensados en

las regiones frías, delante de la zona de combustión. Por otro lado, el aceite en el elemento

de volumen puede sufrir un proceso llamado craking térmico del cual se forma una

fracción volátil y un residuo pesado (coque). La fracción volátil es llevada por la corriente

de gas, mientras que el residuo pesado constituye el combustible necesario para mantener

el frente de combustión.

Como se puede observar, la técnica de combustión in-situ implica fenómenos tales como

cambio de fase, reacción química y transferencia de calor, entre otros, por lo que los

modelos matemáticos que representen tales fenómenos requieren de la deducción de las

ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía.

172

Con la finalidad de partir de ecuaciones de energía promediadas en volumen para la fase y

enfocarlas al problema de combustión in-situ se tomarán en cuenta las siguientes

consideraciones a) sistema multifásico de gas (g), aceite (o), agua (w), coque (c) y sólido

(s), b) términos de dispersión despreciables, c) gas incompresible, por lo que los términos

de compresibilidad de fase e interfase no se toman en cuenta.

Entonces, al aplicar las consideraciones antes mencionadas sobre la ecuaciones de energía

promediadas para cada una de las fases [Ec. (222)], se simplifican quedando de la siguiente

manera:

Para el gas:

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 1

1 1 1

gw

go gw

go gc gs

g gg g g gg g g g

g g g g g g g g g gw gwt

gg g g g go go g g g g g gw

t t

gg g go g g gc g g gs g g

t t t

A

A A

A A A

Cp TCp T Cp T dA

t V

Cp T dA k T k T dAV V

k T dA k T dA k T dAV V V

ε ρε ρ ρ

ρ ε

ε

∂+ ∇ ⋅ + − ⋅

∂

⎡ ⎤− ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

v v w n

v w n n

n n n

(296)

Para el aceite:

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 1

1

og

ow og oc

os

o oo o o oo o o o

o o o o o o o o o og ogt

oo o o o o ow o o og o o oc

t t t

oo o os o o

t

A

A A A

A

Cp TCp T Cp T dA

t V

k T k T dA k T dA k T dAV V V

k T dAV

ε ρε ρ ρ

ε

ε

∂+ ∇ ⋅ + − ⋅

∂

⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦

+ ∇ ⋅ + Φ

∫

∫ ∫ ∫

∫

v v w n

n n n

n

(297)

Para el agua:

( )( )

1

wg

w ww w w ww w w w

w w w w w w w w w wg wgtA

Cp TCp T Cp T dA

t Vε ρ

ε ρ ρ∂

+ ∇ ⋅ + − ⋅∂ ∫v v w n

173

( )( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

1wg wo wc

ws

ww w w w w wg w w wo w w wc

t t t

w w wst

A A A

A

k T k T dA k T dA k T dAV V V

k T dAV

ε⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦

+ ∇ ⋅

∫ ∫ ∫

∫

n n n

n

(298)

Para el coque:

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1cw cg

co cs

c ccc c c c

c c c c c cw c c cgt t

cc c co c c cs c c

t t

A A

A A

Cp Tk T k T dA k T dA

t V V

k T dA k T dAV V

ε ρε

ε

∂ ⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦∂

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ

∫ ∫

∫ ∫

n n

n n

(299)

Para el sólido:

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1sw sg

so sc

s sss s s s

s s s s s sw s s sgt t

s s so s s sct t

A A

A A

Cp Tk T k T dA k T dA

t V V

k T dA k T dAV V

ε ρε

∂ ⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦∂

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

n n

n n

(300)

Por otro lado, las condiciones de frontera utilizadas para proponer el modelo de fases

separadas para combustión in-situ son:

s kT T= en skA , , ,,k g co w= (301)

k m satT T T= = en kmA , ,,k go w= , ,,m go w= k m≠ (302)

k s k k sk s sk T k T⋅ ∇ = ⋅ ∇n n en ksA , ,,k g co w= (303)

k c k k ck c ck T k T⋅ ∇ = ⋅ ∇n n en kcA , ,,k g so w= (304)

( ) ( )gw g g g g gw g g wg w w w w wg w wCp T k T Cp T k Tρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − + ∇ = ⋅ − + ∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦n v w n v w en wgA (305)

( ) ( )go g g g g go g g og o o o o og o oCp T k T Cp T k Tρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − + ∇ = ⋅ − + ∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦n v w n v w en ogA (306)

174

5.1.1 Cerraduras

Ya definida la aplicación y obtenidas las ecuaciones específicas se debe definir y trabajar

con los términos de cerrado así como las ecuaciones constitutivas necesarias. Los términos

de cerradura y las ecuaciones constitutivas para la combustión in-situ implican cambio de

fase, conducción y flux interfacial, los cuales deben ser definidos en términos de variables

dependientes tal como se muestra a continuación.

Flux interfacial

El término de flux interfacial de la Ec. (296), representa el flux de calor en la interfaz entre

la fase gas y la fase sólida y en este caso dada la aplicación, también entre la fase gas y el

coque. Dichos términos se pueden expresar como (Whitaker , 1990):

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 g g sgg g gs g g gs g g gs gs g g s

t t tg s g s g sA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en gsA (307)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 g g cgg g gc g g gc g g gc gc g g c

t t tg c g c g cA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en gcA (308)

donde hg es el coeficiente de transferencia de calor de la fase gas. Los parámetros ggsε y

ggcε representan la fracción de área por unidad de volumen entre las fases g-s y g-c.

De la misma forma que en la fase gaseosa, las integrales del término de flux de calor

interfacial entre las fases o-s, o-c, w-s, w- c, s-o c-o, s-w,c-w, c-g y s-g se pueden expresar

respectivamente como:

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 o o soo o os o o os o o os os o o s

t t tos os osA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Aos (309)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 w w sww w ws w w ws w w ws ws w w s

t t tws ws wsA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Aws (310)

175

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 o o coo o oc o o oc o o oc oc o o c

t t toc oc ocA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Aoc (311)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 w w cww w wc w w wc w w wc wc w w c

t t twc wc wcA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Awc (312)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 c c occ c co c c co c c co co o c o

t t tco co coA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Aco (313)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 c c wcc c cw c c cw c c cw cw w c w

t t tcw cw cwA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Acw (314)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 gc ccc c cg c c cg c c cg cg g c g

t t tc g c g c gA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Acg (315)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 s s oss s so s s so s s so so o s o

t t tso so soA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Aso (316)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 s s wss s sw s s sw s s sw sw w s w

t t tsw sw swA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en Asw (317)

( )( ) ( ) ( )

1 1 1 gs sss s sg s s sg s s sg sg g s g

t t ts g s g s gA A Ak T dA k T dA k T dA h T T

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n

en sgA (318)

Respecto a los términos de las integrales de flux interfacial entre las fases fluidas, estos se

expresan como

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 gg

g g go g g go g g go go got t tg o g o g oA A A

k T dA k T dA k T dA qV V V

ε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n

en Ago (319)

176

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 gg

g g gw g g gw g g gw gw gwt t tgw gw gwA A A

k T dA k T dA k T dA qV V V

ε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n

en Agw (320)

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 o oo o ow o o ow o o ow ow ow

t t tow ow owA A Ak T dA k T dA k T dA q

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n

en Aow (321)

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 o oo o og o o og o o og og og

t t tog og ogA A Ak T dA k T dA k T dA q

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n

en Aog (322)

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 w ww w wg w w wg w w wg wg wg

t t twg wg wgA A Ak T dA k T dA k T dA q

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n

en Awg (323)

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 w ww w wo w w wo w w wo wo wo

t t two wo woA A Ak T dA k T dA k T dA q

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n

en Awo (324)

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 c cc c cs c c cs c c cs cs cs

t t tc s c s c sA A Ak T dA k T dA k T dA q

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n

en Acs (325)

"

( ) ( ) ( )

1 1 1 s ss s sc s s sc s s sc sc sc

t t tsc sc scA A Ak T dA k T dA k T dA q

V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n

en Asc (326)

donde "goq "

gwq "owq "

ogq "woq "

wgq "csq "

scq son los flujos de calor de las diferentes interfases.

Conducción de calor

Las cerraduras para los términos conductivos se proponen para un sistema de tres fases (o,

w, g, c) en el medio poroso (s). Para ello, se tomaron en cuenta los trabajos presentados

177

Quintard y Whitaker (1993) y Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004) en los cuales se

consideraron dos (fluido- sólido) y tres fases (gas-aceite-sólido).

El término conductivo de la Ec. (296) para la fase gas se puede escribir como

( ) ( )g gg g g g gk T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇⎢ ⎥⎣ ⎦

Κ (327)

De la misma forma los términos conductivos para las fases o, w, c y s se pueden expresar

como

( ) ( )o oo o o o ok T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇

⎣ ⎦Κ (328)

( ) ( )w ww w w w wk T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇

⎣ ⎦Κ (329)

( ) ( )c cc c c c ck T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇

⎣ ⎦Κ (330)

( ) ( )s ss s s s sk T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇

⎣ ⎦Κ (331)

donde gΚ , oΚ , wΚ , cΚ , y sΚ son los tensores de conductividad térmica para las fases g,

o, w, c, y s.

Transferencia de masa interfacial

Durante la evaporación de o y w las correspondientes componentes normales de las

velocidades interfaciales wog y wwg son mayores que las componentes de las velocidades

locales vo y vw, evaluadas en la interfaz, entonces ( )o o og ogρ − ⋅v w n y

( )w w w g wgρ − ⋅v w n son cantidades negativas por lo que

go gw og wgm + m = m m − − (332)

Siguiendo la definición de Lahey y Drew (1989) se puede proponer al término de cambio

de fase para el gas como

( )( )

1g g g g go go g go go

tg oACp T dA Cp m T

Vρ

⎞⎛⎟⎜ − ⋅ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ v w n (333)

178

( )( )

1g g g g gw gw g gw gw

tg wACp T dA Cp m T

Vρ

⎞⎛⎟⎜ − ⋅ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ v w n (334)

donde la temperatura interfacial del lado de la fase gas, se puede escribir explícitamente

como

( )

1go g go

tg oAT T dA

V

⎞⎛⎟⎜= ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ n (335)

( )

1gw g gw

tg wAT T dA

V

⎞⎛⎟⎜= ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ n (336)

De forma similar se definen el resto de los términos de cambio de fase

( )( )

1ogo o o o og og o og

togACp T dA Cp m T

Vρ

⋅⎞⎛⎟⎜ − ⋅ = −

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ v w n (337)

( )( )

1wgw w w w wg wg w wg

twgACp T dA Cp m T

Vρ

⋅⎞⎛⎟⎜ − ⋅ = −

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ v w n (338)

donde la temperatura interfacial del lado de las fases aceite y agua se pueden escribir

explícitamente como:

( )

1og o og

togAT T dA

V

⎞⎛⎟⎜= ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ n (339)

( )

1wg w wg

twgAT T dA

V

⎞⎛⎟⎜= ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ n (340)

5.1.2 Forma Cerrada del modelo de fases separadas

El modelo de fases separadas permite describir los procesos de transferencia de calor en

condiciones de desequilibrio térmico ya que las temperaturas de las fases pueden ser

diferentes entre sí. En procesos de cambio de fase los efectos de desequilibrio térmico

pueden ser de gran importancia.

179

Para obtener el modelo de fases separadas, es decir, un sistema cerrado de ecuaciones, se

sustituyen las ecuaciones de cerradura de la Sección 5.1.1 en las Ecs. (296)-(300).

Sustutuyendo las Ecs. (307), (308), (319), (320), (327), (333)-(336) en la Ec. (296) se

obtiene la ecuación de energía para la fase gas

( ) ( ) ( )" "

g g gg g gg g g g

g g g g g g go go g gw gw

g g g gc sg g g gg g go go gw gw gc g g c gs g g s g g

Cp TCp T Cp m T Cp m T

tT q q h T T h T T

ε ρρ ε

ε ε ε ε ε

∂+ ∇ ⋅ = +

∂+∇ ⋅ ⋅∇ + + − − − − + Φ

v

Κ

(341)

De forma similar para la ecuación de energía de la fase aceite [Ec. (297)] se sustituyen las

Ecs. (309), (311), (321), (322), (328), (337) y (339) quedando su expresión de la siguiente

manera

( )( ) ( )" "

o ooo o o o o

o o o o o og og o o

o c o s oo o o oow ow og og oc o o c os o o s o o

oo o o o

oCp T

Cp T Cp m T Tt

q q h T T h T T

ε ρε ρ

ε ε ε ε ε

⎞⎛ ∂⎟⎜ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⋅∇

⎜ ⎟∂⎝ ⎠+ − − − − − + Φ

v Κ

(342)

Mientras que al sustituir las Ecs. (310), (312), (323), (324), (329), (338) y (340) en la Ec.

(298) se tiene la ecuación de energía para la fase agua

( )( ) ( )" "

w www w w w w

w w w w w wg wg w w

w c w sw w w wwo wo wg wg wc w w c ws w w s

ww w w w

wCp T

Cp T Cp m T Tt

q q h T T h T T

ε ρε ρ

ε ε ε ε

⎞⎛ ∂⎟⎜ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⋅∇

⎜ ⎟∂⎝ ⎠− − − − − −

v Κ

(343)

La ecuación de energía para el coque Ec. (299) en la cual se sustituyen las Ecs. (313)-

(315), (325) y (330) queda como

( ) ( ) ( )( ) "

c cc c o c wc c

c c co o c o cw w c w

gc cc ccg g c g cs cs c c

cc c c cCp T

T h T T h T Tt

h T T q

ε ρε ε

ε ε ε

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −∂ ⎟⎜

⎝ ⎠− − − + Φ

Κ (344)

180

En la ecuación de energía para la fase sólida [Ec. (300)] se sustituyen las Ecs. (316)-(318),

(326) y (331) resultando

( ) ( ) ( )( ) "

s ss s o s ws s

s s so o s o sw w s w

gss ssg g s g sc sc

ss s s sCp T

T h T T h T Tt

h T T q

ε ρε ε

ε ε

⎞⎛ ∂⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −

⎜ ⎟∂⎝ ⎠− − +

Κ (345)

5.2 ECUACIÓN CON EQUILIBRIO TÉRMICO.

Para desarrollar el modelo de una ecuación de los procesos de transferencia de calor, se

sigue el trabajo original de Whitaker, (1977) el cual consiste en aplicar la siguiente

descomposición de las temperaturas promedio intrínseco:

ˆgg gT T T= + (346)

ˆoo oT T T= + (347)

ˆww wT T T= + (348)

ˆcc cT T T= + (349)

ˆss sT T T= + (350)

donde T representa la temperatura promedio espacial, y k̂T es la desviación espacial

macroscópica de la temperatura, la cual está definida por:

1 g o w c sg g o o w w c c s s

V

T T dV T T T T TV

ε ε ε ε ε= = + + + +∫ (351)

El procedimiento para obtener el modelo de una ecuación consiste en sustituir las

expresiones dadas por las Ecs. (346)-(350) en las Ecs. (341)-(345) y después se suman

cada una de ellas. Entonces, primero se hace la sustitución obteniendo

181

Para g:

( ) ( ) ( )" "ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ

g gg g gg g g

g g g g g go go g gw gw

g g g gg g g go go gw gw gc g g c gs g g s

g gg g g gg g g g

g g g g g g g

Cp TCp T Cp m T Cp m T

t

T T q q h T T h T T

Cp TCp T

t

ε ρε ρ

ε ε ε ε

ε ρε ε ρ

⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅ = +⎟⎜ ∂

⎝ ⎠⎡ ⎤+∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ + + − − − −⎣ ⎦

⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ Φ − − ∇ ⋅⎟⎜ ∂

⎝ ⎠

v

Κ Κ

v

(352)

Para o:

( ) ( ) ( )" "ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ

o oo o o

o o o o og og o

oo o o oo o ow ow og og oc o o c os o o s o o

o oo o oo

o o o o

o o oo

o o oo

Cp TCp T Cp m T T

t

T q q h T T h T T

Cp TCp T

t

ε ρε ρ

ε ε ε ε ε

ε ρρ ε

⎞⎛ ∂⎟⎜ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⋅∇⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟∂⎝ ⎠

+∇ ⋅ ⋅∇ + − − − − − + Φ⎞⎛ ∂⎟⎜− − ∇ ⋅

⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v Κ

Κ

v

(353)

Para w:

( ) ( ) ( )" "ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ

w ww w w

w w w w w w wg wg

w w w ww w w wo wo wg wg wc w w c ws w w s

w ww w ww

w w w w

ww w w w

ww w w w

w

Cp TCp T Cp m T

t

T T q q h T T h T T

Cp T TCp T

t

ε ρρ ε

ε ε ε ε

ε ρε ρ

⎞⎛ ∂⎟⎜ + ⋅∇ = −

⎜ ⎟∂⎝ ⎠+∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ − − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

⎞⎛ ∂⎟⎜− − ∇ ⋅

⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v

Κ Κ

v

(354)

Para c:

( ) ( ) ( )

( ) "

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ

c c c

c cc c c co o c o cw w c w

c c

c ccg g c g c c c cs s

c

c c c c

cc c c c

Cp TT T h T T h T T

t

Cp Th T T q

t

ε ρε ε

ε ρε ε ε

⎞⎛ ∂⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎞⎛ ∂ ⎟⎜− − − − ⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝

Φ

⎠

+

Κ Κ

(355)

Para s:

( ) ( ) ( )

( ) "

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ

s s s

s ss s s so o s o sw w s w

s s

s ssg g s g sc sc

s s s s

ss s s s

Cp TT T h T T h T T

t

Cp Th T T q

t

ε ρε ε

ε ρε ε

⎞⎛ ∂⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎞⎛ ∂ ⎟⎜− − + − ⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

Κ Κ (356)

182

Como segundo paso, se suman las Ecs. (352)-(356) y se obtiene

( ) ( ) ˆ

g g g o o og g g g o o o o

w w ww w w w ef g g

Cp TCp T Cp T

tCp T T T

ρε ρ ε ρ

ε ρ

∂ ⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡+∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦ ⎣

v v

v Κ Κ

( ) ( ) ( ) ( )ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

g gg g g g

o o w w c c s s

s so o w wo o o o w w w w

c c cg g g o o o

g g g g g o o o o o

w w

ss s s s

c c c c

Cp TT T T T

t

Cp TCp T Cp Tt t t

Cp TCp T Cp T

t

Cp

ε ρ

ε ρε ρ ε ρ

ε ρε ρ ε ρ

ε

⎞⎛ ∂ ⎟⎜⎤+ ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ + Φ −⎦ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠

⎞⎛⎞ ⎞⎛ ⎛ ∂∂ ∂ ⎟⎜− − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎞⎛ ∂⎟⎜− − ∇ ⋅ − ∇ ⋅

⎜ ⎟∂⎝ ⎠−∇ ⋅

Κ Κ Κ Κ

v v

ˆw w ww w wTρ v

(357)

donde

ef g o w c s= + + + +Κ Κ Κ Κ Κ Κ (358)

g o cg g o o c cε ε εΦ = Φ + Φ + Φ (359)

g o w c sg g o o w w c c s sρ ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ= + + + + (360)

g g o o w wg g g

c c s so o o w w w

c c c s s s

Cp Cp Cp CpCp Cp

ρ ε ρ ε ρ ε ρε ρ ε ρ

= + +

+ + (361)

Equilibrio local

En la Ec. (357) se puede observar que los términos de desviaciones espaciales

macroscópicos de la temperatura, T̂ ,son los responsables de los efectos de desequilibrio

térmico. Entonces, para que estos términos sean despreciables se debe cumplir con las

siguientes condiciones:

ˆg gg g g gCp T Cp T

t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(362)

ˆo oo o o oCp T Cp T

t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛

⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (363)

183

ˆw ww w w wCp T Cp T

t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛

⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (364)

ˆc cc c c cCp T Cp T

t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛

⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (365)

ˆs ss s s sCp T Cp T

t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛

⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (366)

ˆg g efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (367)

ˆo o efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (368)

ˆw w efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (369)

ˆc c efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (370)

ˆs s efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (371)

( ) ( )ˆg g g g g gg g g g g g g g gCp T Cp Tε ρ ε ρ∇ ⋅ ∇ ⋅v v (372)

( ) ( )ˆo o o o o oo o o o o o o o oCp T Cp Tε ρ ε ρ∇ ⋅ ∇ ⋅v v (373)

( ) ( )ˆw w w w w ww w w w w w w w wCp T Cp Tε ρ ε ρ∇ ⋅ ∇ ⋅v v (374)

Whitaker (1991) presenta un desarrollo basado en los órdenes de magnitud de los términos

que aparecen en las ecuaciones anteriores, con el objetivo de encontrar las restricciones de

escala que satisfacen estas desigualdades. El desarrollo mostrado por Whitaker (1991) fue

aplicado a un sistema de dos fases, no obstante en la presente investigación se adoptan y

extienden estas ideas para tres fases fluidas y dos fases sólidas (g, o, w, c, s).

Aplicando las desigualdades dadas por las Ecs. (362)–(374) se obtiene finalmente el

modelo de una ecuación o de equilibrio térmico.

184

( )

g g g o o o wg g g g o o o o w w

w ww w ef

Cp TCp T Cp T Cp

tT T

ρε ρ ε ρ ε

ρ

∂ ⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤= ∇ ⋅ ⋅∇ + Φ⎣ ⎦

v v

v Κ(375)

Con la finalidad de expresar la Ec. (375) explícitamente para un medio poroso homogéneo,

isotrópico y rígido, se considera k ksε φ= , donde kk

m

VsV= , mV

Vφ = y

1 2m l l gV V V V= + + ,

por lo que la Ec. (375) se reescribe quedando de la siguiente manera:

( )

g g g o o o wg g g g o o o o w w

w ww w ef

Cp Ts Cp T s Cp T s Cp

tT T

ρφ ρ φ ρ φ

ρ

∂ ⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤= ∇ ⋅ ⋅∇ + Φ⎣ ⎦

v v

v Κ

(376)

Las Ecs. (359)-(361) se redefinen quedando de la siguiente manera:

g o cg g o co cs s sφ φ φΦ = Φ + Φ + Φ (377)

(1 )g o w c s

g g o o w w c c ss s s sρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ= + + + + − (378)

(1 )

g g o o w wg g g

c c s so o o w w w

c c c s s

Cp s Cp s Cp s Cps Cp Cp

ρ φ ρ φ ρ φ ρφ ρ φ ρ

= + +

+ + − (379)

5.3 CONCLUSIONES

Se presentó el desarrollo de un modelo matemático para describir el proceso de

transferencia de calor en un yacimiento petrolero para una fase gas, dos líquidos

inmiscibles (aceite y agua), coque y el sólido. Dicho desarrollo se basó en el modelo del

promedio volumétrico. Se obtuvieron dos modelos:

1) Modelo de fases separadas o de desequilibrio térmico, definido por las Ecs.(314)-

(345) para el gas, aceite, agua, coque y la fase sólida.

2) Modelo promedio de una ecuación o de equilibrio térmico dado por la Ec. (376).

185

Capítulo 6

ECUACIONES PARA COMBUSTIÓN IN-SITU

6.1 INTRODUCCIÓN

En la literatura especializada existen trabajos que representan modelos matemáticos para la

simulación de combustión in-situ. Por ejemplo, Chu (1964) desarrolló un modelo

matemático (Ecs. de masa y energía) en una dimensión para el proceso de combustión in-

situ. El consideró: flujo multifásico (gas, aceite y agua), cambio de fase del agua y del

aceite sin reacción química. Él concluyó que: 1) el fenómeno de cambio de fase no inducía

apreciables cambios sobre la temperatura del frente de combustión y que su efecto

principal era crear una sección de vapor y aumentar la longitud de la zona calentada

adelante del frente de combustión y 2) el pico de temperatura y el perfil de temperatura

sobre el borde de la onda de calor se estabilizaba después de un cierto período. Por su

parte, Gottfried (1965) presentó un modelo matemático generalizado (Ecs. de masa y

energía) el cual describe la recuperación del aceite en sistemas lineales. Ël consideró: 1)

pérdidas de calor externa por convección, 2) flujo multifásico (gas, aceite y agua), 3)

transferencia de calor por conducción y convección, 4) reacción química entre el oxígeno y

el aceite y 5) cambio de fase de agua. El análisis fue aplicado a un experimento de tubo de

combustión. Como resultado, se obtuvo una aproximación razonable entre lo teórico y lo

experimental de todas las características térmicas e hidrodinámicas (por ejemplo:

propagación de la zona de combustión, bancos de aceite y agua, etc.).

Años más tarde, reexaminando el modelo original de Gottfried (1965), Gottfried y Mustafa

(1978) extendieron el modelo a una geometría radial y propusieron una ecuación adicional

que considera la formación y la combustión de coque. Con dichas modificaciones, los

186

autores obtuvieron como resultado buenas predicciones de las características térmicas e

hidrodinámicas. Y concluyeron, a pesar de haber considerado un modelo con un sistema

radial, que las predicciones obtenidas eran muy parecidas a las obtenidas del trabajo

presentado por Gottfried (1965).

Otros trabajos realizados sobre combustión in-situ son los presentados por Rodriguez

(2004), Malico y Pereira (2001), Mamora (1993), y Lawrence et al. (1963). Sin embargo,

en ninguno de ellos se ha utilizado el método de promedio volumétrico sobre las

ecuaciones de transporte de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo multifásico

para resolver un problema de combustión in-situ, lo cual sería de gran utilidad ya que, el

método de promedio volumétrico permite obtener de forma natural los términos de cambio

de fase sobre todas y cada una de las regiones coexistentes dentro del volumen de

promediado, cosa que no ocurre en las ecuaciones encontradas en la literatura de la

industria petrolera (Aziz y Settary, 1979; Peaceman, 1977).

Por lo anterior, y con la finalidad de plantear y resolver una aplicación de las ecuaciones

promedio en volumen se seleccionó la técnica de combustión in-situ ya que es una de las

aplicaciones más compatibles con el modelo desarrollado en esta tesis.

Dicha aplicación implica flujo multifásico (aceite, agua y gas) a través del medio poroso y

fenómenos tales como: cambio de fase, generación de masa (debido a reacción química) y

transferencia de calor.

Cabe señalar que además de las consideraciones de la Sección 2.2 (flujo multifásico de dos

fases fluidas l1 y l2 y un gas, líquidos inmiscibles e incompresibles, transferencia de masa

entre l1 con g y l2 con g, generación de calor entre l1 con g, etc.), en el modelo se toma en

cuenta la formación de coque (c) por lo que es necesario proponer los balances de masa y

energía para el coque tal como se muestra en la sección 6.4.

187

6.2 MODELO FÍSICO

El modelo físico y los datos experimentales (ver Tabla 1) para validar el modelo

matemático desarrollado fueron tomados del trabajo reportado por Cazarez-Candia et al.

(2010). En dicho trabajo se realizaron dos experimentos los cuales se llevaron a cabo en un

tubo de combustión de acero inoxidable con diámetro externo de 0.079375 m., espesor de

0.015875 m y longitud de 0.9906 m, el cual contiene 0.94996 m de una mezcla uniforme

de arena, agua y aceite (ver Fig 6.1). El tubo es cubierto con una banda de aislamiento. El

aceite usado tiene una energía de activación de 1.56x107 J/kg-mol y una viscosidad de 27

API. La parte superior del tubo se llena con arena limpia y en esta misma zona se coloca la

resistencia eléctrica. La corriente eléctrica es gradualmente introducida hasta alcanzar una

temperatura dentro del tubo alrededor de 241ºC y posteriormente se inicia la inyección de

aire. La presión en el tubo de combustión se mantiene fija. Después de la ignición el frente

de combustión se mueve de la parte superior del tubo a la inferior de este.

Los gases de combustión y la producción de líquidos son recolectados al final del tubo. El

experimento termina cuando la arena empacada se quema hasta el extremo inferior del

tubo de combustión.

Tabla 6.1. Parámetros experimentales PARAMETROS EXPERIMENTO 1 EXPERIMENTO 2 Volumen inicial de aceite 418 ml 493 ml Volumen inicial de agua 296 ml 354 ml Saturación de agua (sw) 0.23 0.275 Saturación de aceite (so) 0.325 0.383 Porosidad (φ) 0.41 0.41 Temperarura de ignición 427° C 462 °C Presión de producción 4.13 x 105 Pa 4.20 x 105 Pa Inyeccción de aire 3.166x10-5 m3/s 3.166x10-5 m3/s

188

Figura 6.1 Tubo de Combustión (Modificado de Cazarez-Candia et al., 2010).

6.3 CONSIDERACIONES

Una vez establecida la aplicación, en esta sección se establecen las consideraciones que

gobiernan la deducción y/o selección de las ecuaciones de cerradura (términos de

transferencia de masa), las cuales, son parte fundamental del sistema de ecuaciones

obtenido en capítulos previos [Ecs. (67)-(69), (133)-(135) y (376)] ya que de estas depende

la buena aproximación del fenómeno de estudio. Las consideraciones son:

1. Se resolverá como aplicación un problema de combustión in-situ, en el cual l1=

aceite (o), l2 = agua (w), g= gas, c = coque, y medio poroso = sólido (s).

2. Fases mono-componentes ( kj =0 en Akm y kkmj =0 en Lkmn , k=o, w, g, c; m=o, w, g,

c; k≠m),

189

3. Reacción química del aceite para formar coque y reacción química entre coque y el

aire.

4. El coque depositado (adherido al sólido) no afecta a la porosidad

5. Gas incompresible

6. El gas estará compuesto por una mezcla de oxígeno, vapor de agua, vapor de aceite

y gases de combustión.

7. Cambio de fase del agua y del aceite

8. Para la ecuación de cantidad de movimiento obtenida para cada fase, Ecs. (133)-

(135), se considerará que los términos de acumulación, inerciales, dispersión,

fuerzas de presión interfacial, promedios de gradientes de presión interfacial,

transferencia de cantidad de movimiento debido al cambio de fase, efectos de

capilaridad y segregación gravitacional son despreciables, por lo que ésta se reduce

a la expresión de la definición de la velocidad de Darcy (válida para medios

porosos) (Whitaker 1990, 1986a, 1986b).

9. Para la ecuación de energía se parte del modelo de una ecuación y se toma a) la

definición de entalpía debido al cambio de fase, apareciendo entonces el calor

latente de vaporización ( wλ ), calor latente asociado con la formación de coque ( oλ )

y calor de combustión ( cλ ), b) debido al proceso de combustión in-situ, se

considera, el término de generación de energía debida a una resistencia eléctrica

(además de las debidas a reacciones químicas, mismo que aparece en la ecuación de

masa), y c) la pérdida de calor del sistema a los alrededores por convección.

10. Estudio en 1D.

190

6.4 ECUACIONES DE MASA.

Se usan las ecuaciones promediadas de masa para la fase [Ecs.(67)-(69)], y debido a la

aplicación de combustión in-situ se plantea la ecuación promediada de masa para el coque,

posteriormente se definen las ecuaciones de cerradura en términos de variables

dependientes.

Ecuaciones de masa promediadas en volumen para las fases

Aplicando las consideraciones anteriores, a las ecuaciones de masa promediadas en

volumen para las fases, se tiene:

a) Ecuación de masa promediada para el aceite:

( )

1 ( )o o o

oo o o o oo o og og o o

A tog

s sdA s

t x Vφ ρ φ ρ

ρ φ∂ ∂

+ =− − ⋅ + Φ∂ ∂ ∫

vv w n (380)

b) Ecuación de masa promediada para el agua

( )

1 ( )w w w

w w w w ww w wg wg

A twg

s sdA

t x Vφ ρ φ ρ

ρ∂ ∂

+ =− − ⋅∂ ∂ ∫

vv w n (381)

c) Ecuación de masa promediada para el gas:

( ) ( )

1 1( ) ( )g g g

gg g g g gg g go go g g gw gw g g

A t A tgo gw

s sdA dA s

t x V Vφ ρ φ ρ

ρ ρ φ∂ ∂

+ =− − ⋅ − − ⋅ + Φ∂ ∂ ∫ ∫

vv w n v w n

(382)

d) Ecuación de masa promediada para el coque

ccc c

c c

ss

tφ ρ

φ∂

= Φ∂

(383)

Las Ecs. (380)-(383) fueron redefinidas de acuerdo a la nomenclatura comúnmente

empleada para la industria petrolera, para ello, se consideró que ks es la saturación de la

fase k, ( )k mV V= y φ es porosidad ( )mV V= .

191

Con la finalidad de usar la ecuación de cantidad de movimiento válida para un medio

poroso, usamos la definición de la velocidad de Darcy ( )kk k ks φ=u v , entonces las Ecs.

(380)-(383) quedan de la siguiente de manera

a) Ecuación de masa promediada para el aceite:

( )

1 ( )o o o oo o og og o

A tog

s dAt x Vφρ ρ ρ ϕ∂ ∂

+ =− − ⋅ +∂ ∂ ∫

u v w n (384)

b) Ecuación de masa promediada para el agua

( )

1 ( )w w w ww w wg wg

A twg

s dAt x Vφρ ρ ρ∂ ∂

+ =− − ⋅∂ ∂ ∫

u v w n (385)

c) Ecuación de masa promediada para el gas

( ) ( )

1 1( ) ( )g g g gg g go go g g gw gw g

A t A tgo gw

sdA dA

t x V Vφρ ρ

ρ ρ ϕ∂ ∂

+ =− − ⋅ − − ⋅ +∂ ∂ ∫ ∫

uv w n v w n (386)

d) Ecuación de masa promediada para el coque

cc

Ft

ϕ∂=

∂ (387)

donde ( )k k ksϕ φ= Φ es la generación de masa de la fase k, ( )c cF sρ φ= es la concentración

de coque acumulado el cual es similar al propuesto por Gottfried y Mustafa, (1978).

Los términos del lado derecho de las Ecs. (384)-(387) y gϕ , oϕ , cϕ son conocidos como

términos de transferencia de masa interfacial (términos de cerradura) y ecuaciones

constitutivas, respectivamente, los cuales serán expresados en términos de variables

dependientes.

Cabe mencionar que para los términos de transferencia de masa interfacial w-g y g-w y

ecuaciones constitutivas ( gϕ , oϕ , cϕ ) existen expresiones reportadas en la literatura,

192

mientras que para la transferencia de masa interfacial o-g y g-o, conocido como fenómeno

de vaporización del aceite, se presenta su deducción en el apéndice A.

Transferencia de masa interfacial

De acuerdo a Duval et al., (2004) e Ishii e Hibiki (2006) los términos de transferencia de

masa interfacial se pueden definir como

( )

1 ( )g g g o go goA tg o

dA mV

ρ− − ⋅ =∫ v w n (388)

( )

1 ( )o g

o o og og ogA t

dA mV

ρ− − ⋅ =∫ v w n (389)

( )

1 ( )w g

w w w g w g wgA t

dA mV

ρ− − ⋅ =∫ v w n (390)

( )

1 ( )g g g w g w gwA tg w

dA mV

ρ− − ⋅ =∫ v w n (391)

Las ecuaciones (388) y (389) definen los términos de transferencia de masa interfacial o-g

y g-o. Para este caso, Chu (1963) presentó ecuaciones de transferencia interfacial en

términos de concentraciones molares.

Con la finalidad de manejar expresiones de transferencia de masa interfacial en términos

de presiones (parcial y de vapor), tal como las expresiones reportadas por Gottfried (1965)

para la transferencia de masa interfacial w-g y g-w, la transferencia de masa interfacial o-g

y g-o presentada por Chu (1963) se manipuló de tal forma que permitiera tener una

expresión muy similar a la presentada por Gottfried (1965). Entonces ésta se redefine

como:

( )go o e lo gom =kM k p p− (392)

193

donde go ogm m= − es el término de evaporación del aceite, k está dada por la Ec. (A.5), Mo

está dada en lb/lbmol, plo es la presión de vapor del aceite (psia), pgo es la presión parcial

del aceite en la fase gas (psia) y ek es la constante de equilibrio de vaporización.

Cabe señalar que esta forma de la Ec. (392), expresada en términos de presión parcial de

vapor y presión de vapor, ha sido reportada en Cazarez-Candia et al. (2011) (ver detalles

de la deducción en el Apéndice A).

Las ecuaciones (390) y (391), definen los términos de transferencia de masa interfacial

entre w-g y g –w y están relacionadas con la presión de vapor del agua y la presión parcial

del vapor de agua en la fase gas tal como lo propuso Gottfried (1965), esto es :

( )gw wg lw gwm m = h a p p= − − (393)

donde gw wgm m= − es el término de evaporación del agua, h es el coeficiente de

vaporización (o condensación) (lb de vapor/hr-ft2-psia), a es el área interfacial g-w por

unidad de volumen (ft-1), plw es la presión de vapor del agua (psia) y pgw es la presión

parcial del agua en la fase gas (psia). De acuerdo a Gottfried (1965), cuando plw excede a

pgw la vaporización ocurrirá y gwm será positiva, en caso contrario, wgm será negativa y la

condensación ocurrirá.

Generación de masa

El término de generación de masa se debe a la reacción química entre las fases o y g. En el

caso de la combustión in-situ, las siguientes dos reacciones ocurren en la vecindad de la

zona de combustión:

Calor + Oil Coque + Hidrocarburos ligeros (de aceite) (394)

Coque + Oxígeno CO, CO2, H2O (395)

Ambas ecuaciones pueden ser expresadas de acuerdo al trabajo presentado por Gottfried y

Mustafa (1978) tal como se muestra a continuación.

194

Término de reacción química, para la formación de coque e hidrocarburos ligeros a

partir del aceite

La expresión utilizada para representar la Ec. (394) se considera solo función de la

temperatura por lo que la velocidad de reacción puede expresarse con un orden de reacción

de Arrhenius de cero y se puede expresar de la siguiente manera:

-E/R(T+460)Z elS = (396)

donde Sl es la velocidad de deposición de coque (lb de aceite consumido/hr-ft3), Z es el

coeficiente de la velocidad de Arrhenius para la formación de coque (lb de aceite/hr-ft3), E

es la energía de activación de Arrhenius para la formación de coque (Btu/lb mol), R es la

constante del gas ideal (Btu/lb mol-°R) y T es la temperatura del sistema (°F).

Término de reacción química para la formación del gas (CO, CO2, H2O) a partir del

Coque y Oxígeno.

En la velocidad de reacción para la Ec. (395) se asume que la velocidad de combustión es

dependiente de la concentración de oxígeno, de la concentración del combustible y de la

temperatura dentro de la zona de combustión.

-Ec/R(T+460)Zc ( )F ea g gSc f Sφ ρ= (397)

donde Sc es el término de velocidad de reacción por combustión (lb de coque

consumido/hr-ft3), Zc es el coeficiente de la velocidad de reacción de Arrhenius para la

combustión (ft3/lb O2-hr), fa es la fracción masa del O2 en la fase gas, rg es la densidad del

gas (lb/ft3), sg es la saturación del gas, F es la concentración de coque acumulado (lb de

coque acumulado/ ft3), Ec es la energía de activación de Arrhenius para la combustión

(Btu/lb mol), R es la constante del gas ideal (Btu/lb mol-°R) y T es la temperatura del

sistema (°F).

Los términos de generación de masa gϕ , oϕ , cϕ de las Ecs. (384), (386) y (387) se pueden

expresar de la siguiente manera

195

o lSϕ = − (398)

(1 c) + cg lM S Sϕ = − (399)

c cc lM S Sϕ = − (400)

donde Mc son las lb de coque formado/lb de aceite consumido.

Sustituyendo las Ecs. (392), (393), (398)-(400) en las Ecs. (384)-(387), se obtiene el

sistema cerrado de ecuaciones referente a la ecuación de masa promediada en volumen:

a) Ecuación de masa promediada para el aceite

o o o oog l

s u m St xφρ ρ∂ ∂

+ = − −∂ ∂

(401)

b) Ecuación de masa promediada para el agua:

w w w wwg

s u mt xφρ ρ∂ ∂

+ = −∂ ∂

(402)

c) Ecuación de masa promediada para el gas

(1- ) cg g g ggo gwl

s uMc S S m m

t xφρ ρ∂ ∂

+ = + + +∂ ∂

(403)

d) Ecuación de masa promediada para el coque

cc lF Mc S St

∂= −

∂ (404)

Recordando que la fase gas es considerada una mezcla de oxígeno, vapor de agua, y vapor

aceite y otros gases, es necesario proponer los balances de masa de cada uno de ellos

pesados por su fracción correspondiente. Esto es:

( ) ( )a g g a g gf s f u Ma Sct xφ ρ ρ∂ ∂

− = −∂ ∂

(405)

( ) ( )s g g s g g g wf s f u Ms Sc mt xφ ρ ρ∂ ∂

− = +∂ ∂

(406)

( ) ( )o g g o g g golf s f u MsoS mt xφ ρ ρ∂ ∂

− = +∂ ∂

(407)

196

donde af es la fracción masa del oxígeno en la fase gas, sf es la fracción masa del vapor

de agua en la fase gas, of es la fracción masa del vapor de aceite en la fase gas, Ma es la

relación entre la masa de oxígeno consumido y la masa de coque consumido, Ms es la

relación entre la masa de vapor de agua producido y la masa de coque consumido, Mso es

la relación entre la masa del vapor de aceite producido y la masa de aceite consumido y

Mc es la relación entre la masa de coque formado y la masa de aceite consumido.

6.5 ECUACIONES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

Las ecuaciones promediadas de cantidad de movimiento se pueden simplificar hasta llegar

a la definición de la velocidad de Darcy válida para medios porosos. Para ello, se toman en

cuenta las consideraciones hechas en la sección 6.3 (punto 8). Por otra parte, se emplearon

los trabajos de Bousquet-Melou et al. (2002) y Whitaker (1986b), (1986c), los cuales

originalmente fueron desarrollados para un sistema líquido-sólido y aire-agua-sólido,

siendo estos extendidos a un sistema aceite-agua-gas-coque-sólido. Entonces, las

ecuaciones para las fases, g,o w quedan como

vgg

gk pxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(408)

v oo

o

k pxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(409)

v ww

w

k pxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(410)

A las Ecs. (408)-(410) primeramente se le aplica Ec. (11) y posteriormente se toma en

cuenta k ksε φ= , donde kk

m

VsV= , mV

Vφ = y

1 2m l l gV V V V= + + , obteniendose:

gg

gk puxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(411)

197

oo

o

k puxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(412)

ww

w

k puxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(413)

donde ( )v kk k ku s φ= es la velocidad de Darcy de la fase k. gk , ok , wk son las

permeabilidades efectivas de la fase gas, aceite y agua y gµ , oµ , wµ son las viscosidades

de la fase gas, aceite y agua, y p es la presión del sistema.

6.6 ECUACIONES DE ENERGÍA.

El punto de partida es la Ec. (376) (Capítulo 5) la cual se puede escribir como:

( )

g g o o w w c cg g o o w w c c

s sg g g o o o ws s

g g g g o o o o w w

w ww w ef

Cp T Cp T Cp T Cp Tt t t t

Cp Ts Cp T s Cp T s Cp

tT T

ρ ρ ρ ρ

ρφ ρ φ ρ φ

ρ

⎞⎛ ⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂ ∂⎟⎜ + + +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎞⎛ ∂+∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎡ ⎤= ∇ ⋅ ⋅∇ + Φ⎣ ⎦

v v

v Κ

(414)

Dado que el medio poroso es isotrópico, el término de tensor de conductividad térmica

efectiva se define como la suma de escalares tal como se muestra a continuación:

(1 )ef g g o o w w c c s s

g g o o w w c c s

k k k k k ks k s k s k s k kε ε ε ε εφ φ φ φ φ

= + + + += + + + + − (415)

En la Ec. (414) se toma en cuenta: 1) la definición de la entalpía para la fase k, esto es

k fh CpTλ= + donde ( ) , , f o w cλ = es el calor de vaporización, y , , , , k o w g c s= , y 2)

las pérdidas de calor por convección, quedando de la siguiente manera:

198

(1 )

c c cg g g o o o w w w

gg g g gs s o o o w w w c c c

o wo o o o w w w w o

s Cp Ts Cp T s Cp T s Cp Tt t t t

s Cp TCp T s s st t t t x

s Cp T s Cp T sx x

φ ρφ ρ φ ρ φ ρ

φ ρφ ρ φρ λ φρ λ φρ λ

φ ρ φ ρ φρ

∂ ⎞⎛∂ ⎞⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞⎛ ⎛+ + + ⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂∂ − ⎞⎛ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛+ + + +⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂

v

v v

2

2( )

o wo o o w w w w

a ef

sx x

Th a T T k

x

λ φρ λ∂+

∂ ∂∂

′ ′+ − =∂

v v

(416)

donde wλ es el calor latente de vaporización, oλ es el calor latente asociado con la

formación de coque, cλ es el calor de combustión, h′es el coeficiente externo de pérdida de

calor, a′ es el área externa de pérdida de calor por unidad de volumen, aT es la

temperatura ambiente (inicial). Para la Ec. (416) se considera que la porosidad de la roca,

densidad, capacidad calorífica y los calores latentes antes mencionados son constantes. La

Ec. (416) se modifica quedando:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (1 )

(1 )

g gg g o o o og o o w w

c cw w w w sc c s

g g g o o o w w w c c c s s

g g g o o o

us s uCp T Cp T Cp Tt x t x

ss u Cp T Cp Tt x t t

Ts Cp s Cp s Cp s Cp Cp

tu Cp u Cp

ρφρ φρ ρλ λ

φρφρ ρ φ ρλ

φρ φρ φρ φρ φ ρ

ρ ρ

∂∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛+ + + + + +⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ⎞⎛∂ ∂ ∂ −⎞ ⎞⎛ ⎛+ + + +⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠

∂⎡ ⎤+ + + + + −⎣ ⎦ ∂

+ +2

2( )w w w a ef

T Tu Cp h a T T k

x xρ

∂ ∂′ ′⎡ ⎤+ + − =⎣ ⎦ ∂ ∂

(417)

donde ( )v kk k ku s φ= es la velocidad de Darcy de la fase k ( , ,k o w g= ).

Recordando que el gas está compuesto por una mezcla de gases (oxígeno, vapor de agua y

aceite y otros gases), los tres primeros términos, así como los términos sexto y séptimo, se

modifican quedando de la siguiente manera:

199

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

(1 )(1 )

g g g g o o o og o o w w

g g s og g s ow w w wg

g g s g g s g g o g g ow w o o

s u s uCp T Cp T Cp Tt x t x

u f fs f fs u Cp Tt x t x

s f u f s f u fCp T Cp T

t x t x

φρ ρ φρ ρλ λ

ρφρφρ ρ

φρ ρ φρ ρλ λ

∂ ∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛+ + + + + +⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∂ − −∂ − − ⎞⎛∂ ∂ ⎞⎛ + = + ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ + + + + +⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

+( ) ( )w w w w o o o ow o

s u s uCp T Cp Tt x t xφρ ρ φρ ρ∂ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠

(418)

](1 )g g g w w w g g w s g g o o g g g o s

w w w

s Cp s Cp s Cp f s Cp f s Cp f fs Cp

φρ φρ φρ φρ φρφρ

⎡ ⎤ ⎡+ = + + − −⎣ ⎦ ⎣+

(419)

(1 )g g g w w w g g w s g g o o g g g o s w w wu Cp u Cp u Cp f u Cp f u Cp f f u Cpρ ρ ρ ρ ρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (420)

Sustituyendo las Ecs. (418)-(420) en la Ec. (417) se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(1 )(1 )

(1 )

g g s og g s o g g sg w w

g g s g g o g g o w w w wo o w

c co o o oo c c s

u f fs f f s fCp T Cp T

t x tu f s f u f s uCp T Cp T

x t x t xss uCp T Cp T Cp T

t x t

ρφρ φρλ

ρ φρ ρ φρ ρλ

φρφρ ρ φ ρλ

∂ − −∂ − − ∂⎞⎛ ⎛+ + +⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂⎝⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛+ + + + + +⎜ ⎟⎟ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝⎠ ⎠∂ ⎞⎛∂ ∂ ∂ −⎞⎛+ + + + +⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

{}

]2

2

(1 ) (1 )

(1 )

( )

s

s s g g w s g g o o g g g o s w w w

o o o c g g w s g g o o g g g o s

w w w o o o a ef

tCp s Cp f s Cp f s Cp f f s Cp

Ts Cp FCp u Cp f u Cp f u Cp f f

tT T

u Cp u Cp h a T T kx x

φ ρ φ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

⎞⎛⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎡+ − + + + − − +⎣∂

⎡+ + + + + − −⎤⎦ ⎣∂∂ ∂

′ ′+ + + − =∂ ∂

(421)

Sustituyendo las Ecs (401)-(407) en la Ec (421) y en el resultado sustituyendo las Ecs.

(411)-(413), se tiene la ecuación de energía para el proceso de combustión in-situ

2

2

T T TT

x x tα β γ δ∂ ∂ ∂

+ − + =∂ ∂ ∂

(422)

efkα θ= (423)

[ {}

(1 ) (1 )s s g g w s g g o o g g g o s w w w

o o o c

Cp s Cp f s Cp f s Cp f f s Cps Cp FCp

θ φ ρ φ ρ ρ ρ ρρ

= − + + + − − ++ + ⎤⎦

(424)

( )1 (1 )g g w w w o o ow s o o g o s

g w o

k k Cp k CpCp f Cp f Cp f fρ ρ ρβ

θ µ µ µ⎡ ⎤

= + + − − + +⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

(425)

200

( ) ( ) ( ){}

1w g g c c g o g g o lCp Cp Ms Cp Cp Sc Cp Cp Mc Cp Cp Mso Cp Cp S

h aγ

θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ ′+

(426)

( ) ( )1c w w gw o go o c alMs Sc m m Mso Mc S h a Tδ λ λ λ λ λ λ

θ′ ′⎡ ⎤= − − − − + +⎣ ⎦ (427)

donde α es la difusividad térmica y ( )c cF s φρ= es conocida como la concentración de

coque acumulado (Gottfried y Mustafa, 1978).

El sistema de ecuaciones diferenciales parciales resultante queda expresado en términos de

9 variables dependientes (so, sw,sg, F, fa, fs, fo, p y T) y ocho ecuaciones (Ecs. (401)-(407) y

(422)) por lo que:

1o w gs s s+ + = (428)

permitiendo así resolver numéricamente el modelo para combustión in-situ, como se

muestra a continuación.

6.7 SOLUCIÓN NUMÉRICA.

Se aplica la técnica de diferencias finitas para resolver las ecuaciones de masa [Ecs. (401)-

(407)] y de energía [Ec. (422)]. Para resolver las ecuaciones de masa se utilizó un esquema

explícito hacia atrás. Las derivadas de tiempo y espacio se aproximan usando las siguientes

ecuaciones:

t t ti i

t t

+∆Ψ −Ψ∂Ψ=

∂ ∆ (429)

2 21

t tt t

i i

x x

∆ ∆+ +

−Ψ −Ψ∂Ψ=

∂ ∆ (430)

Mientras que para la ecuación de energía se usó la aproximación de Crank-Nicolson dada

por:

201

t t ti i

t t

+∆Ψ −Ψ∂Ψ=

∂ ∆ (431)

1 1

2

t t t t t ti i i i

x x

+∆ +∆− −Ψ +Ψ −Ψ −Ψ∂Ψ

=∂ ∆

(432)

21 1 1 1

2 22 2

2

t t t t t t t t ti i i i i i

x x

+∆ +∆ +∆+ + − −Ψ +Ψ +Ψ +Ψ − Ψ − Ψ∂ Ψ

=∂ ∆

(433)

donde Ψ es cualquier variable dependiente (temperatura, presión, saturaciones, fracciones

masa, etc.), x∆ es el tamaño de paso espacial, t∆ es el tamaño de paso de tiempo, los

subíndices 1i − , i , y 1i + representan los nodos atrazado, central y adelantado,

respectivamente. Los superíndices t y t t+ ∆ representan el tiempo actual y el tiempo

siguiente.

6.7.1 Discretización de las ecuaciones gobernantes

Sustituyendo las Ecs. (411)-(413) en las Ecs. (401)-(407) y posteriormente efectuando la

discretización mediante las Ecs. (429) y (430) se obtiene la forma discretizada de las

ecuaciones de masa para o, w, g, y c tal como se muestra a continuación:

2 22 2 2 21 1 1 2 2

2 21

1 o o o oo o o o go

o o

t tt t t tt tt t t t t tt tt t t t t t i i i ii ii i i i it t it t

i i

lk q k q

s s S mt x

ρ ρφ ρ ρ

µ µ

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + + ∆ ∆+ ++∆ +∆ − − −∆ ∆

+ +

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − − = − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(434)

2 22 2 2 2 1 1 1 2

2 2

1

1 w w w ww w w w gw

w w

t tt t t tt tt t t t ttt t t t t t i i i ii ii i i i t t it t

i i

k q k qs s m

t xρ ρφ ρ ρ

µ µ

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + + ∆++∆ +∆ − − −

∆ ∆+ +

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − − = −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(435)

202

( )2 22 2 2 2

11 1 2

2 21

2 2 2

1 1

g

g g g gg g g g

g

go gw

t tt t t tt tt t t t ttt t t t t t i ii i i iit ti i i i t t

iit t tt t t

i i i

l

c

k q k qs s Mc S

t x

S m m

ρ ρφ ρ ρ

µ µ

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + + ∆++∆ +∆ −− −

∆ ∆+ +

−∆ ∆ ∆+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − − = −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + +

(436)

2 2l c

t tt t t t ti i

i i

F FMc S S

t

∆ ∆+∆ + +⎡ ⎤−⎣ ⎦ = −∆

(437)

Mientras que para las fracciones masa, fa , fs y fo se tiene:

2 22 2 2 21 11 1

2 21

2

1 a g g a g ga g g a g g

g g

t tt t t tt tt t t tt t t ti it t t t t t t t t i ii i i i

i i t ti i i i t t

i itt

i

f k q f k qf s f s

t x

Ma Sc

ρ ρφ ρ ρ

µ µ

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + ++∆ +∆−+∆ +∆ +∆ −− −

∆ ∆+ +

−∆

+

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

(438)

2 22 2 2 21 11 1

2 21

2 2

1 s g g s g gs g g s g g

g g

gw

t tt t t tt tt t t tt t t ti it t t t t t t t t i ii i i i

i i t ti i i i t t

i it tt t

i i

f k q f k qf s f s

t x

Ms Sc m

ρ ρφ ρ ρ

µ µ

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + ++∆ +∆−+∆ +∆ +∆ −− −

∆ ∆+ +

−∆ ∆+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= − +

(439)

02 22 2 2 2

1 11 1

2 21

2 2

1 o g g g go g g o g g

g g

go

t tt t t tt tt t t tt t t tt t t t t t t t t i ii ii i i ii i t ti i i i t t

i it tt t

i il

f k q f k qf s f s

t x

Mso S m

ρ ρφ ρ ρ

µ µ

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + ++∆ +∆+∆ +∆ +∆ − −− −

∆ ∆+ +

−∆ ∆+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= − +

(440)

donde ( )2

2

tt

tt

pq x

∆+

∆+

∂= ∂ es el gradiente de presión.

Por otro lado, al aplicar las Ecs. (431)-(433) en la Ec. (422) se obtiene la forma

discretizada de la ecuación de energía tal y como se muestra a continuación:

203

2

1 1 1 1 1 1

1 2 22 2

02

t t t t t t t t t t t t t t t t t ti i i i i i i i i i i i

t t ti i

T T T T T T T T T T T Tt x x

T T

α β

γ δ

+∆ +∆ +∆ +∆ +∆ +∆+ + − − − −

+∆

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + + − − − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆ ∆ ∆⎡ ⎤+ − − =⎣ ⎦

(441)

donde:

efkα θ= (442)

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2

(1 ) (1 )t t t t tt tt t t t tt t

s s g g w s o o g o si i i i iii

t t t t tt t t t t

w i w w o i o o i ci i

Cp s Cp f Cp f Cp f f

s Cp s Cp F Cp

θ φ ρ φ ρ

ρ ρ

∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆+ + + + ++ +

∆ ∆ ∆ ∆ ∆+ + + + +

⎧ ⎞⎡ ⎛⎪= − + + + − −⎨ ⎟⎜⎢⎪⎣ ⎝ ⎠⎩

⎤⎫+ + + ⎥⎬

⎥⎭ ⎦ (443)

2 22 2 2 2

2

2 2 2 22

2 2

1 (1 )

t tt t t t t tt t t tg gi iw s o o g o si i i itt

g it t t tt t t t ttw w w o o oi i i i

it tt t

w oi i

kCp f Cp f Cp f f

k Cp k Cpq

ρβ

θ µ

ρ ρ

µ µ

∆ ∆+ + ∆ ∆ ∆ ∆

+ + + +

∆+

∆ ∆ ∆ ∆+ + + + ∆

+

∆ ∆+ +

⎡ ⎞⎛⎢= + + − − ⎟⎜⎢ ⎝ ⎠⎢⎣⎤⎥+ + ⎥⎥⎦

(444)

( ) ( ) ( )2

2

1 tt

w g g c i c g o g

tt

g o il

Cp Cp Ms Cp Cp Sc Cp Cp Mc Cp Cp Mso

Cp Cp S h a

γθ

∆+

∆+

⎧⎡ ⎤ ⎡= − + − + − + −⎨⎣ ⎦ ⎣

⎩⎫

′ ′⎤+ − + ⎬⎦⎭

(445)

( ) ( )2 22 21 t tt tt tt t

c w i w gw o go o c i ai ilMs Sc m m Mso Mc S h a Tδ λ λ λ λ λ λ

θ

∆ ∆∆ ∆+ ++ +⎡ ⎤′ ′= − − − − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (446)

6.7.2 Procedimiento de solución del modelo numérico

Para resolver en forma numérica el sistema de ecuaciones obtenido en el punto anterior, se

utilizó la subrutina que combina el método de Newton-Raphson y el de Bisección para

determinar las raíces que definen el valor de la temperatura. Con este método hibrido se

elimina la pobre convergencia que muestra en algunos casos el método de Newton-

Raphson al utilizarse solo.

204

Con la finalidad de estudiar la convergencia del sistema de ecuaciones obtenido (Ecs. 434-

441) se analizó el efecto del mallado. Para ello se corrieron dos casos para el mismo

problema con: 1) =0.01 h.t∆ , =0.1 h.x∆ , 2) =0.005 h.t∆ y =0.05 h.x∆ . Ambos casos

corrieron de forma satisfactoria, indicando que un decremento en el tamaño de malla debe

ser acompañado por un decremento en el paso de tiempo. Una comparación de las

soluciones indica que los resultados obtenidos con 0.1t x∆ ∆ = son suficientemente

aceptables desde el punto de vista de ingeniería (Gottfried, 1965).

Condiciones iniciales: En el tiempo t=0, es necesario establecer las condiciones iniciales

en todas las celdas tal y como se muestra a continuación:

( ,0)T x TR= (447)

( ,0)w wrs x s= (448)

( ,0)g

grs x s= (449)

( ,0)a arf x f= (450)

( ,0)s srf x f= (451)

donde TR es la temperatura inicial (°F), swr es la saturación inicial de agua, sgr es la

saturación inicial del gas, far es la fracción masa inicial del oxígeno en la fase gas y fsr es la

fracción masa inicial del vapor en la fase gas.

Condiciones de frontera: El modelo está sujeto a las siguientes condiciones de entrada.

0

0

( , )x

T x tk qx =

∂=

∂ (452)

0x L

Tx =

∂=

∂ (453)

( , )o

p L t p= (454)

(0, ) 0o

s t = (455)

205

(0, )a aif t f= (456)

(0, )s sif t f= (457)

donde qo es el flujo de calor en la entrada del tubo (Btu/ft2-hr), po es la presión a la salida

del sistema (psia), fai es la fracción masa del oxígeno en la fase gas a la entrada del

sistema, fsi es la fracción masa del vapor de agua en la fase gas a la entrada del sistema, y k

es la conductividad térmica de la matriz.

Parámetros de entrada

La densidad del aceite ( oρ ), agua ( wρ ), y gas ( gρ ), la viscosidad del aceite ( oµ ), agua

( wµ ), y gas ( gµ ), y las permeabilidades efectivas del aceite (ko), agua (kw) y gas (kg) son

obtenidas de correlaciones encontradas en la literatura.

Y otros parámetros de entrada, necesarios para la simulación, son: calores específicos a

presión constante del aceite ( oCp ), agua ( wCp ), gas ( gCp ) y coque ( cCp ), las energías de

activación de formación de coque (E) y de combustión (Ec), los coeficientes de Arrhenius

para la formación de coque (Z) y para la combustión (Zc), permeabilidad absoluta (KK), el

coeficiente de evaporación o condensación multiplicado por el área interfacial por unidad

de volumen (HA), el coeficiente de pérdidas de calor externas multiplicado por la área de

pérdidas de calor externas por unidad de volumen (HA1), la conductividad térmica del

sistema (K), la relación entre la masa de oxígeno consumido y la masa de coque

consumido ( aM ), la relación entre la masa de vapor de agua producido y la masa de coque

consumido ( sM ),la relación entre la masa del vapor de aceite producido y la masa de

aceite consumido ( voM ) y la relación entre la masa de coque formado y la masa de aceite

consumido ( cM ), calor de combustión, (λc), calor de vaporización (λw) y calor asociado

con la formación de coque (λo).

206

Relaciones de cerrado

Estas relaciones de cerrado son determinadas con las ecuaciones descritas en la sección

(6.4) y se refieren principalmente a cambios de fase del agua y del aceite así como a los

términos de generación de masa, mismos que son debidos a las reacciones que se presentan

durante el fenómeno de combustión in-situ, es decir, reacción química del aceite

(generación de coque) y la reacción de combustión entre el coque y el oxígeno (generación

de gas).

Procedimiento de solución:

Paso 1: Se ingresan los valores de entrada: longitud de la mezcla en el tubo de combustión,

velocidad de inyección del gas, tiempo de simulación, temperaturas y presión.

Paso 2: Se asigna la condición inicial en t = 0, Ecs. (447)-(451)

Paso 3: Se asignan las condiciones de frontera, Ecs. (452)-(457)

Paso 4: Se calculan las propiedades de los fluidos.

Paso 5: Se calculan las relaciones de cerrado (cambios de fase del agua y del aceite,

reacción química del aceite y reacción de combustión entre el coque y el oxígeno).

Paso 6: Se evalúa cada coeficiente de la ecuación de energía (α, β, γ, δ, θ).

Paso 7: Se resuelve la ecuación discretizada de energía usando el método de Newton-

Raphson- Bisección.

Paso 8: Se calculan nuevamente las propiedades de los fluidos.

Paso 9: Se recalculan las relaciones de cerrado (cambio de fase del aceite y del agua así

como las reacciones química).

Paso10: Se calculan las fracciones masa para el oxígeno, vapor de agua y vapor de aceite.

Paso 11: Se recalcula el gradiente de presión.

Paso 12: Se recalculan las saturaciones de aceite, agua y gas y la concentración de coque.

207

Paso 13: Calculo del error para el gradiente de presión, se comparan la distribución de

presión del paso 11 con la supuesta en el paso 3. Los pasos 5-13 se repiten hasta que se

alcanza una convergencia establecida.

Paso 14: Calculo del error de las distribuciones de la temperatura, saturación y las

fracciones masa, se comparan las distribuciones de los pasos 10 y 12 con las supuestas en

los pasos 2 y 3.

Paso 15: Los pasos 2-14 se repiten hasta que todas las distribuciones alcanzan una

convergencia establecida.

Paso 16: Se calculan las acumulaciones de gas, agua y aceite producido.

Paso 17: Después de que todas las celdas son evaluadas, las variables calculadas en el

nuevo tiempo tt ∆+ se asignan a las variables en el tiempo t y el proceso se repite desde el

paso 4 hasta que se complete el tiempo total de simulación.

Los pasos descritos anteriormente se esquematizan en la Figura 6.2 a través de un

diagrama de flujo

208

Figura 6.2 Diagrama de flujo para la solución del modelo numérico.

1

2t t t

t ψ ψψ+∆+

=

SI

SI

Cálculo del error de la temperatura, fracciones

masa (o, w y g) y acumulación de coque, si:

Error T ≤ Error 1 Error sk ≤ Error 1 Error fk ≤ Error 1 Error F ≤ Error 1

k= o, w, g

Cálculo del error de la presión

Error p≤ Error 1 NO

Datos de Entrada para la simulación

Cálculo de condiciones iniciales y de frontera

TIME=0 TIME 0

20

40

60

80

100

120

Se resuelv e e lperfil de T, Ec

-564 TIEMPO

i=2 hasta i=N-1

Cálculo de propiedades

Cálculo de coeficientes α, β, γ, δ, θ

Cálculo de propiedades

Cálculo de las relaciones de cerrado

Cálculo de fracciones masa

Cálculo gradiente de presión

Ciclo de espacio ¿Se hicieron los cálculos en todos los nodos?

Cálculo de las relaciones de cerrado

Se resuelve el perfil de T, Ec. (440)

2t t t

t ψ ψψ+∆+

=

NO

NO

1

SI

1i iψ ψ +=

SI

NO

Cálculo de las acumulaciones de gas, agua y aceite producido

Termina

Ciclo de tiempo ¿Concluyó el tiempo de

simulación especificado?

t t tψ ψ +∆=

209

6.8 RESULTADOS

En la Figura 6.3 se muestra la comparación de los perfiles de temperatura entre los datos

experimentales (experimento 1) tomados del trabajo de Cazarez-Candia et al. (2010) y los

resultados obtenidos con el presente modelo. Los perfiles predichos con el modelo detrás

del frente y en la zona de combustión muestran ligeras diferencias respecto a los

experimentales considerándose aceptables puesto que la variación entre estas no es mayor

de 30°C (zona de combustión). Esto posiblemente es debido a:1) la parte inferior del tubo

no se encuentra aislada por lo que en esta área se pierde calor y 2) los fluidos recuperados

(aceite, agua y gases de combustión) llevan consigo calor por lo que el sistema lo pierde

(Cazarez-Candia et al. 2010). El error máximo promedio entre los perfiles de temperatura

predichos y experimentales fue del 11%.

Figura 6.3 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura del

modelo.

Con la finalidad de observar el efecto que muestra el término de la vaporización de aceite

sobre el fenómeno de combustión, en la Figura 6.4 se presenta la comparación entre los

210

perfiles de temperatura obtenidos del experimento 1 y las predicciones de temperatura

obtenidas con el modelo sin el término de vaporización del aceite.

A diferencia de la Figura 6.3, en la Figura 6.4 se obtuvo un error promedio máximo del

22%. Por otro lado, se observa que detrás del frente de combustión los perfiles de

temperatura predichos presentan una menor diferencia hasta 260°C respecto a los

experimentales, mientras que por delante del frente las velocidades de combustión y los

perfiles de temperatura tienden a quedar por detrás de los experimentales.

Figura 6.4 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura del

modelo sin el término de vaporización de aceite.

De la misma forma en que se compararon las predicciones de los perfiles de temperatura

obtenidas con el modelo y los datos del experimento1 se muestran las comparaciones

obtenidas con el experimento 2. En la Figura 6.5, se observa que las velocidades del frente

y los perfiles de temperatura, detrás y en la zona de combustión, presentan buenas

predicciones sin embargo, en el frente de combustión las diferencias entre estos son

211

ligeramente mayores debido a lo antes mencionado (ver explicación de la Fig. 6.3). A

pesar de lo anterior, el error máximo entre los perfiles de temperatura predichos y

experimentales no son mayores al 10% .

Figura 6.5 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura del

modelo.

En la Figura 6.6 se muestra el efecto que tiene el término de vaporización de aceite en la

predicción de temperaturas durante el experimento en un tubo de combustión. En la Figura

6.6 las velocidades y los perfiles de temperatura predichos presentan buenas tendencias sin

embargo, tienden a quedarse por detrás de los obtenidos por el experimento 2. Para estas

predicciones, se obtuvo un error promedio máximo del 20% respecto a los datos

experimentales.

212

Figura 6.6 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura del

modelo sin el término de vaporización de aceite.

Con la finalidad de enfatizar el efecto del término de la vaporización de aceite en los

perfiles de temperatura se seleccionaron y compararon tres perfiles, uno experimental y

dos del modelo desarrollado (uno incluye el término de vaporización de aceite y el otro

no), para los tiempos de 3.03 h. y 3.20 h. Además se modificó el parámetro que relaciona

las libras masa de vapor de aceite respecto a las libras masa aceite (= MSO). Los valores

utilizados para MSO son de 0.10, 0.20 y 0.30. Se seleccionaron dichos valores con la

finalidad de analizar si las fracciones ligeras del aceite así como las fracciones pesadas se

evaporan durante el proceso de combustión.

En las Figuras 6.7 y 6.8 se muestra que conforme MSO (lbm vapor de aceite/lbm aceite)

disminuye, los perfiles de temperatura predichos, los cuales incluyen la vaporización de

aceite, tienden acercarse cada vez mas a los perfiles experimentales.

213

Figura 6.7 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 1

Figura 6.8 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 2

Como se observa en las Figuras 6.7 y 6.8 es evidente que MSO =0.10 contribuye

notablemente a una mejor predicción en los perfiles de temperaturas y además permite

214

constatar que las fracciones ligeras son las que comúnmente se evaporan en experimentos

realizados en tubos de combustión.

Los datos de temperatura obtenidos con el modelo se compararon con los datos

experimentales obteniéndose predicciones aceptables por lo que uno podría esperar que el

resto de los parámetros muestren buenas predicciones. En términos generales esto ocurre.

Otra de las variables que adicionalmente se pueden obtener del modelo matemático

desarrollado son los perfiles de presión a lo largo del tubo de combustión para diferentes

tiempos de simulación tal y como se muestra en la Figura 6.9. En esta, se observa

específicamente que entre los tiempos de 0.6 h. y 9.85 h. a 0.01 m de la longitud del tubo

se tiene una caída de presión de 20 psia, dicha variación se debe a que al tiempo de 0.6 h.,

de transcurrir el experimento, el aceite empieza a ser recuperado mientras que al tiempo de

9.85 h., en su mayoría éste ha sido recuperado.

Figura 6.9 Perfiles de presión para el experimento 1

Como el frente de combustión se mueve a lo largo del tubo se van formando bancos de

aceite y agua los cuales presentan perfiles parecidos a los mostrados en las Figuras 6.10 y

6.11.

215

Figura 6.10 Saturación de aceite para el experimento1

La Figura 6.11, se muestra la saturación del agua válida para el experimento 1. La cantidad

de agua dentro del tubo se debe al agua original y al agua producida por el frente de

combustión. El agua es desplazada a lo largo del tubo formando bancos. Este banco viaja

detrás de los bancos de aceite causando que el aceite producido se emulsifique con el agua.

Figura 6.11 Saturación de agua para el experimento 1.

216

Por otro lado, existe solo aire detrás del frente de combustión el cual viaja a lo largo del

tubo. Entonces la fase gas, en esa zona, esta formada solo por aire y la saturación de gas

toma el valor de 1. Cuando el aire toca el coque ocurre la combustión y la saturación de

gas cae hasta valores cercanos a 0.2 tal como se observa en la Figura 6.12

Figura 6.12 Saturación de gas para el experimento 1.

En las Figuras 6.13 y 6.14 se muestran las comparaciones de los perfiles de volumen de

aceite recuperado entre los datos experimentales (experimento 1 y 2) tomados del trabajo

de Cazarez-Candia et al. (2010) y los resultados obtenidos con el presente modelo. En las

ambas figuras se observa que al tiempo de 10 y 7.5 h. el volumen de aceite recuperado de

los experimentos 1 y 2, respectivamente fueron del 82 % y 73 %, respectivamente,

mientras que los predichos con el modelo en los mismos tiempos de simulación fueron del

88% y 68% .Cabe señalar que las tendencias de dichos perfiles se observan diferentes ya

que como se mencionó antes, la recuperación de fluidos experimentalmente se lleva acabo

cada 15 min y esto el modelo no lo considera.

217

Figura 6.13 Volumen recuperado para el experimento 1

Figura 6.14 Volumen recuperado para el experimento 2.

Otras de las predicciones que el modelo es capaz de realizar son los perfiles de fracciones

masa de oxígeno, vapor de agua y vapor de aceite tal como se muestra en las Figuras 6.15-

6.17.

218

En la Figura 6.15 se presenta la fracción masa de oxígeno dentro del tubo para varios

tiempos. La concentración de oxígeno inicialmente cae abruptamente en la zona de

combustión. Sin embargo esta no desaparece lo cual indica que el oxígeno no es

enteramente consumido por la reacción de combustión.

Figura 6.15 Fracción masa de oxígeno para el experimento 1.

Por otro lado, en las Figuras 6.16 y 6.17 se presentan las fracciones masa de vapor de

aceite y agua como función del tiempo. La variación de las fracciones masa se muestra

conforme transcurre la combustión. El avance de estas después de 10 h. tiende a reducirse

significativamente ya que la mayor parte de aceite ha sido recuperado y el experimento ha

terminado.

219

Figura 6.16 Fracción masa de vapor de aceite para el experimento 1.

Figura 6.17 Fracción masa de vapor de agua para el experimento 1.

220

6.9 CONCLUSIONES

En el presente capítulo se resolvió un problema de combustión in-situ, partiendo de las

ecuaciones promediadas en volumen de masa, cantidad de movimiento y energía,

desarrolladas en los capítulos 2, 3 y 5, y que son válidas para flujo multifásico a través de

un medio poroso.

Para ello, fue necesario plantear las ecuaciones promedio en volumen de masa y energía

para el coque (c) y las ecuaciones promedio en volumen de masa, cantidad de movimiento

(ecuación de Darcy) y energía para el agua (w), gas (g) y aceite (o) en términos de

variables más comunes de la industria petrolera, es decir, en términos de saturación y

porosidad ( ks y φ ).

Las ecuaciones de cerradura para el cambio de fase del agua y la generación de masa

(formación y combustión de coque), fueron tomadas del trabajo presentado por Gottfried y

Mustafa (1978). Respecto a la ecuación de cambio de fase del aceite, se modificó la

presentada por Chu (1964), expresándola en términos de presiones parciales del vapor de

aceite en la fase gas y presión de vapor del aceite tal y como se mostra en el Apéndice A.

Las predicciones de temperatura obtenidas y volumen de aceite recuperado con el modelo

muestran resultados aceptables al ser comparados con los datos experimentales. En las

predicciones de temperatura se obtuvieron errores promedios del 11% para el experimento

1 mientras que para el experimento 2 se obtuvieron errores promedios no mayores al 10%.

Para la cantidad de aceite recuperado se obtuvieron predicciones aceptables al ser

comparadas con los datos experimentales. Sin embargo las tendencias de dichos perfiles se

observan diferentes debido a que la recuperación de fluidos experimentalmente se lleva

acabo cada 15 min. y esto el modelo no lo considera.

Por otro lado, el modelo es capaz de predecir perfiles de presión, saturaciones de aceite,

agua y gas, y fracciones masa de oxígeno, vapor de aceite y agua.

221

El parámetro MSO (lbm vapor de aceite/lbm aceite), el cual esta directamente relacionado

con el término de vaporización de aceite, contribuye notablemente a una mejor predicción

en los perfiles de temperaturas y con valor de MSO=0.10 permite constatar que las

fracciones ligeras son las que comúnmente se evaporan en experimentos realizados en

tubos de combustión.

222

Capítulo 7

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

7.1 CONCLUSIONES GENERALES

Se obtuvieron conjuntos de ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía

promediadas en volumen para todas y cada una de las siguientes regiones: a) fases, b)

interfaces, c) líneas de contacto y d) puntos de contacto; para flujo multifásico de gas (g) y

dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio poroso homogéneo, isotrópico y rígido.

Con la finalidad de tomar en cuenta la definición explícita de medio poroso, las ecuaciones

promedio, se plantearon en términos de saturación y porosidad ( ks y φ ).

Respecto a la ecuación de energía, se obtuvieron dos versiones 1) uno bajo condiciones de

desequilibrio térmico, definido por las Ecs.(341)-(345),y 2) otro bajo condiciones de

equilibrio térmico, definido por la Ec. (376).

Como parte de la aplicación de las ecuaciones obtenidas se planteó un modelo matemático

para resolver un problema de combustión in-situ. Dicho modelo permite predecir perfiles

de temperatura, presión, saturaciones, y fracciones masa de oxígeno, vapor de aceite y

agua así como el volumen de aceite recuperado.

Con el fin de obtener un sistema cerrado de ecuaciones en términos de variables

dependientes, se modificó la ecuación de cerradura que define el cambio de fase del aceite,

expresándola en términos de presiones parciales del vapor de aceite en la fase gas y presión

de vapor del aceite.

Las predicciones de temperatura y de volumen de aceite recuperado obtenidas con el

modelo se compararon con datos experimentales reportados por Cazarez-Candia (2010)

223

(dos experimentos llevados a cabo en un tubo de combustión). En las predicciones de

temperatura se obtuvieron errores promedios del 11% para el experimento 1 mientras que

para el experimento 2 se obtuvieron errores promedios no mayores al 10% y para el

volumen de aceite recuperado se obtuvieron errores del 6% y del 5% en ambos

experimentos.

Al realizar un análisis paramétrico sobre MSO (lbm vapor de aceite/lbm aceite), el cual

está directamente relacionado con el término de vaporización de aceite, se observó que

contribuye notablemente a una mejor predicción de los perfiles de temperatura y además

permitió constatar que las fracciones ligeras son las que comúnmente se evaporan en

experimentos realizados en tubos de combustión.

La comparación de las predicciones con datos experimentales permite suponer que el

código desarrollado se pueda usar para simular experimentos de tubos de combustión.

7.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS POSTERIORES

Algunas de las recomendaciones que se sugieren para trabajos posteriores son:

Dado que las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía promediadas en

volumen para flujo multifásico a través de un medio poroso para la fase, interfase, línea y

punto de contacto fueron obtenidas partiendo de la forma local de cada una de estas

ecuaciones y aplicando el método del promedio volumétrico en el cual se tomó en cuenta

la restricción de escala dada por la Ec. (1), se recomienda plantearlas en forma no local, es

decir, sin cumplir dicha restricción de escala. Lo anterior permitirá contar con un conjunto

de ecuaciones modificadas, donde su forma no local es válida tanto en una región no

homogénea como en una región homogénea en donde se reducen a las de ecuaciones de

transporte clásicas promediadas en volumen.

Dado que la técnica de combustión in-situ es compleja, debido a la gran diversidad de

fenómenos que ocurren durante su aplicación, se recomienda que en el modelo de

224

combustión in-situ desarrollado (en el capítulo 6) sea enriquecido incluyendose: 1) el resto

de los gases se combustión (CO, CO2, N2) así como su interacción, 2) el resto de las

reacciones químicas (reacciones de combustión del aceite y el vapor de aceite, y de

disolución de carbonato), y 3) que el medio poroso sea considerado no homogéneo.

Por otro lado, dado que el modelo obtenido para resolver el problema de combustión in-

situ fue propuesto y resuelto bajo la consideración de equilibrio térmico, se recomienda

resolverlo también bajo la consideración de desequilibrio térmico. Con lo anterior se

obtendría un modelo matemático que describa de manera más rigurosa el fenómeno de

combustión.

Por otra parte, en la literatura especializada solo se reportan datos como, tipo de aceite,

saturaciones de aceite agua y gas, porosidad, temperatura de ignición, temperatura inicial

(ambiente), longitud del tubo, flujo de aire inyectado al tubo de combustión, y presión. Sin

embargo se requieren de parámetros adicionales como: 1) energías de activación y

coeficientes de Arrhenius para la formación de coque, y la combustión del mismo, 2)

capacidades caloríficas del aceite, agua, gas oxígeno, roca, y coque, 3) permeabilidad

absoluta del medio poroso, 4) conductividad de la roca con el fluido, 5) calores latentes de

formación de coque, combustión, y vaporización, 6) lb de oxígeno consumido/lb de coque

quemado, 7) lb de coque formado/lb de aceite consumido, y 8) lb de vapor de aceite/ lb de

coque consumido.

Inicialmente éstos parámetros se tomaron de la literatura (Gottfried,1965; Gottfried y

Mustafa, 1978, y Cazarez-Candia et al., 2010). Sin embargo, para mejorar las predicciones

es recomendable contar con una base de datos experimentales de los parámetros antes

mencionados.

Adicionalmente se recomienda realizar análisis paramétricos que permitan conocer la

contribución e impacto de cada uno de ellos sobre el fenómeno de combustión in-situ. Para

225

ello se debe tomar en cuenta que los valores asignados, para dichos parámetros, caigan

dentro del rango de valores reales según el fenómeno de estudio.

Finalmente para la solución numérica del modelo de combustión in-situ se recomienda

probar con otras técnicas de discretización u otros métodos numéricos (elemento finito,

volumen finito) que den solución al sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Lo

anterior es con la finalidad de que se obtengan mejores resultados y se emplee menor

tiempo de cómputo.

226

REFERENCIAS

Achanta A., Cushman J. H. y Okos M. R., 1994, “On multicomponent multiphase

thermomechanics with interfaces”, International Engineering Science, Vol. 32, No. 11, pp:

1717-1738.

Alva Morales Gerardo Habacuc, 1981, “Importancia de la geología en la recuperación

térmica de aceites viscosos”, Instituto Politécnico Nacional, México, Escuela Superior de

Ingeniería y Arquetectura, Tesis.

Anderson T. B. y Jackson R., 1967, “A fluid mechanical description of fluidized beds”,

Ind. Engineering Chemical Fundaments, Vol. 6, pp: 527-539.

Andrew S. A, Dennis E. R. y Whitaker S., 2003, “New equations for binary gas

transport in porous media, Part 1: equations development”, Advances in Water Resources,

Vol. 26, pp: 695-715.

Arnold F. C., 1990, “Temperature variation in a circulating wellbore fluid”, Journal of

Energy Resources Technology, Vol. 112, pp: 79-83.

Aziz K. y Settari A., 1979, “Petroleum Reservoir Simulation”, London: Applied

Science Publishers LTD, pp: 6-17.

Banerjee S. y Chan M.C., 1980, “Separated flow models-I. Analysis of the averaged and

local instantaneous formulations”, International Journal of Multiphase Flow, Vol. 6, No.

1-2, pp:1-24.

Beavers G. S. y Joseph D. D., 1967, “Boundary conditions in a naturally permeable

wall”, Journal of Fluids Mechanics, Vol. 30, pp: 197-207.

Bensoussan A., Lions J. L. y Papanieolaou G., 1978, “Asymptotic analysis for

periodic structures”, Amsterdam: North-Holland.

Bird R. B., Stewart W. E. y Lightfoot E. N., 1998, “Fenómenos de transporte”, Editorial

Reverte S. A. de C. V., México.

227

Bousquet-Melou P. Goyeau B., Quintard M., Fichot F. y Gobin D., 2002,

“Average momentum equation for interdentritic flow in a solidifying columnar

mushy zone”, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, pp: 3651-

3665.

Cázarez Candia Octavio, 2001, “Modelado de la expansión de burbujas presentes en la

fase líquido en tuberías horizontales”, Centro nacional de investigación y desarrollo

tecnológico, Cenidet, pp: 1-186.

Cazarez-Candia, O., Cruz-Hernández, J., Islas-Juárez, R. y Márquez, R. E., 2010.

“Theoretical and experimental study of combustion tubes”, Petroleum Science and

Technology, Vol. 28, pp: 1186-1196.

Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G. y Montoya -Hernández D. J., 2011, “Volume

Averaged Mass Equations for Multiphase Flow in Porous Media for In-Situ Combustion”,

Petroleum Science and Technology, ID: LPET479754. ACEPTADO

Carbonell R.G. y Whitaker S. A., 1983, “Dispersion in pulsed systems-II: theoretical

developments for passive dispersion in porous media”, Chemical Engineering Science,

Vol. 38, No. 11, pp: 1795-1802.

Carbonell R. G. y Whitaker S. A., 1984, “Heat and mass transport in porous media. In

fundamental of transport phenomena in porous media”, (Edited by Bear J. And

Carapcioglu M.V), Martinus Nijhoff Brussels

Chu C., 1964, “The vaporization-condensation phenomenon in a linear heat wave”,

Society of Petroleum Engineers Journal, Vol. 680, pp: 85-95.

Colleman B. D. y Noll W., 1963, “The thermodynamics of elastic materials with heat

conduction and viscosity”, Arch. Ration Mechanical Analytical, Vol. 13, pp: 168-178.

228

Crapiste G.H., Rotstein E. y Whitaker S.A., E., 1986, “A general closure schema for the

method of volumen averaging”, Chemical Engineering Science, Vol. 41, No. 2, pp:227-

235

Daurelle J. V., Topin F. y Occelli R., 1988, “Modeling of coupled heat and mass trnsfer

with phase change in a porous medium: application to superheated steam drying”,

Numerical heat transfer A (33), pp: 39-63.

Davies S. N., Gunningham M. M., Bittleston S. H., Guillot F. y Swanson B. W., 1994,

“Field studies of circulating temperatures under cementing conditions”, Society of

Petroleum Engineering Drilling and Completion, March, 12-16.

Décossin E., 1999, “Numerical Investigations on Particulate Debris Beb Coolability:

Critical Analysis of the Silfide Experimental Project”, in: Ninth International topical

meeting on nuclear reactor thermal hydraulics (NURETH-9) October, San Francisco, CA.

Deemer A. R y Slattery J. C., 1978, “Balance equations and structural models for phase

interfaces”, International Journal of Multiphase Flow, Vol. 4, No. 2, pp:171-192.

Donald A. Nield y Adrian Bejan, 1999, “Convection in porous media”, Second Edition,

Springer- Verlag New York, Inc., pp: 34-50.

Du Plessis J. P., 1997, “Fluid transport in porous media”, Ed. Computational Mechanics

Publications, Vol. 13.

Duval F., Fichot F. y Quintard M., 2004, “A Local thermal non-equilibrium model for

two-phase flow with phase change in porous media”, International Journal of Heat and

Mass Transfer , Vol. 47, pp: 613-639.

Ene H. I. y Poliševsky D., 1987, “Thermal flow in porous media”, D. Reidel publishing

company, Dordrecht, the Netherlards.

Ergun S., 1952, “Fluid flow through packet columns”, Chemical Engineering Progr.

Vol. 48, pp. 88-94.

229

Espinosa-Paredes G., 2010, “Instantaneous equations for multiphase flow in porous

media without length-scale restrictions using a non-local averaging volume”, Nuclear and

Engineering and Science. Vol. 240, pp:1160-1185.

Espinosa Paredes G., 1998, “Ondas cinemáticas en un reactor BWR”, Universidad

Autónoma Metropolitana unidad Iztapalapa división de ciencias básicas e ingeniería, Tesis

doctoral.

Espinosa-Paredes G. y Cazarez-Candia O., 2004, “Modelo fenomenológico para la

determinación de temperaturas en un yacimiento petrolero: Desarrollo matemático”,

Programa de yacimientos naturalmente fracturados, Instituto Mexicano del Petróleo

Espinosa-Paredes G., Cazarez-Candia O., Garcia A. y Martinez Mendez J., 2002, “Void

fraction propagation in a bubbly two phase flow with expansion effects”, Annals of

Nuclear Energy, Vol. 29, No. 11, pp:1261-1298.

Espinosa-Paredes G., Salazar Mendoza R. y Cazarez-Candia O., 2007, “Averaging

model for cuttings transport in horizontal wellbores”, Journal of Petroleum and

Engineering, Vol. 55, pp: 301-316.

García A., Santoyo E., Espinosa G., Hernández I. y Gutierrez H., 1998, “Estimation of

temperatures in geothermal wells during drilling and shut-in in the presence of lost

circulation”, Journal of transport in porous media, Vol. 33, No. 13, pp: 103-127.

Gray W.G., 1975, “A derivation of the equations for multiphase transport”, Chemical

Engineering Science, Vol. 30 pp: 229-233.

Gray W.G., 1983, “Local volume averaging of multiphase systems using a non-

constant averaging volume”, International Journal of Multiphase Flow, Vol. 6, pp: 24-40.

Gray W. G., 1999, “Thermodynamics and constitutive theory for multiphase porous-

media flow considering internal geometric constrains”, Advances in Water Resources, Vol.

22, No. 5, pp: 521-547.

230

Gray W. G. y Hassanizadeh S. M., 1989, “Averaging theorems and averages equations

for transport of interface properties in multiphase systems”, International Journal of

Multiphase Flow, Vol. 15, pp: 81-95.

Gray W. G. y Hassanizadeh S. M., 1991a, “Paradoxes and realities in unsaturated flow

theory”, Water Resources Resources, Vol. 27, pp: 1847-1854.

Gray W. G. y Hassanizadeh S. M., 1991b, “Unsaturated flow theory including

interfacial phenomena”, Water Resources Resources, Vol. 27, No. 8, pp: 1855-1863.

Gray W. G. y Hassanizadeh S. M., 1998, “Macroscale continuum mechanics for

multiphase porous-media flow including phases, interfaces, common lines and common

points”, Advances in Water Resources, Vol. 21, pp: 261-281.

Gray W. G. y Lee P.C. Y., 1977, “On the theorems for the local volume averaging of

multiphase systems”, International Journal of Multiphase Flow, Vol. 3, pp: 333-340.

Gottfried B. S., 1965, “A mathematical model of thermal oil recovery in linear

systems”, paper presented at Society of Petroleum Engineers Journal production Research

Symposium held in Tulsa, Okia, May Vol. 3-4, pp:196-210.

Gottfried B. S., 1968, “Combustion of crude oil in a porous medium”, Society of

Petroleum Engineers Journal, Vol. 12, pp: 5-13

Gottfried B. S., Guilinger W. H. y Snyder R. W., 1966, “Numerical solutions of the

equations for one-dimensional multi-phase flow in porous media”, Society of Petroleum

Engineers Journal, No. 1226, pp: 62-72

Gottfried B. S. y Mustafa K., 1978, “Computer simulation of thermal oil recovery

processes”, Society of Petroleum Engineers Journal, No. 7824, pp: 1-44

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1979a, “General conservation equations for

multiphase systems:1 Averaging procedure", Advances in Water Resources, Vol. 2,

pp:131-144.

231

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1979b, “General conservation equations for

multiphase systems: 2 Mass, momenta, energy and entropy equations”, Advances in Water

Resources, Vol. 2, pp: 191-208.

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1980, “General conservation equations for

multiphase systems: 3 Constitutive theory for porous media flow”, Advances in Water

Resources, Vol. 3, pp: 25-40.

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1990, “Mechanics and thermodynamics of

multiphase flow in porous media including interphase boundaries”, Advances in Water

Resources, Vol. 13, No. 4, pp: 169-186.

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1991, “Unsaturated flow theory including interfacial

phenomena”, Advances in Water Resources, Vol. 27, pp: 1855-1863.

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1993, “Toward an improved description of the

physics of two-phase flow”, Advances in Water Resources, Vol. 16, pp: 53-67.

Hassanizadeh S. M. y Gray W. G., 1997, “Recent advances in theories of two-phase

flow in porous media”. In Fluid Transport in Porous Media, ed. P. du Plessis. Advances in

Fluid Mechanics Series, Computational Mechanics Publications, Southampton, pp: 105-

160.

Howes Frederick A. y Whitaker S. A., 1985, “The spatial averaging theorem revised”,

Chemical Engineering Science, Vol. 40, pp: 1387-1392.

Hsu C. T. y Cheng P., 1988, “Closure schemes of the macroscopic energy equation for

convective heat transfer in porous media”, International Comm. Heat Mass Transfer, Vol.

15, pp: 689-703

Hsu C. T., 1999, “A Closure model for transient heat conduction in porous media”,

International Comm. Heat Mass Transfer, Vol. 121, pp: 733-739.

232

Ishii M. e Hibiki T., 2006, “Thermo-Fluid dynamics of two-phase flow”, Springer

Science.

Jiménez I. H., 1999, “Modelo matemático de los procesos de transferencia de

momentum, calor y masa en medios porosos”, Universidad Autónoma Metropolitana

unidad Iztapalapa división de ciencias básicas e ingeniería, Tesis doctoral, pp: 5-66.

Kalaydjian F. A. 1987, “Macroscopic description of multiphase flow involving

spacetime evolution of fluid/fluid interface”, Transport in Porous Media, Vol. 2, No. 6, pp:

537-552

Lahey R. T. Jr., 1992, “Boiling Heat Transfer, Modern developments and advances”,

Elsevier science publishers, pp: 31-42.

Larson R. E. y Higdon J. J. L., 1987a, “Macroscopic flow near the surface of two-

dimensional porous media - I. Axial flow”, Journal Fluid Mechanic, Vol. 166, pp: 449-472.

Larson R. E. y Higdon J. J. L., 1987b, “Macroscopic flow near the surface of two-

dimensional porous media - II. Transverse flow”, Journal Fluid Mechanic, Vol. 178, pp:

119-136.

Lawrence A. W., Ronald L. R., Denzel W. R., Robert R. C. y Nicholas H: H., 1963,

“Some Effects of Pressure on Forward and Reverse Combustion”, Society of Petroleum

Engineers Journal, Vol. 457, pp: 127-127.

Levec J. y Carbonell R. G., 1985, “Longitudinal and lateral thermal dispersion in

packed beds. Part I. Theory”, AIChE J., Vol. 31, No. 4, pp: 581-590.

Lipinsky R. J., 1984, “A coolability model for post-accident nuclear reactors debris”,

Nuclear Technology, Vol. 65, pp: 53-66.

Liter S. G. y Kaviany M., 2001, “Pool-boiling CHF enhancement by modulated porous-

layer coating: theory and experiment”, International Journal Heat Mass Transfer, Vol. 44,

pp. 4287, 4311.

233

Macdonald I. F., El Sayed, M. S., Mow K. y Dullien F.A. L., 1979, “Flow through

porous media: The Ergun Equation revisited”, Ind. Engineering Chemical Fundaments,

Vol. 18, pp: 199-208.

Malico I. y Pereira J. C. F., 2001, “Numerical study on the influence of radiative

properties in porous media combustion”, Journal of Heat Transfer, Vol. 123, pp: 951-957.

Mamora D. D., 1993, “Kinetics of in situ combustion”, Stanford University, pp: 1-8.

Marle, C. M., 1967, “Ecoulements monophasiques en milieu poreux”. Revue de L’

Institut Francais du Pétrole XXII, Vol. 10, pp: 1471-1509.

Marle, C.M., 1982, “On macroscopic equations governing multiphase flow with

diffusion and chemical reactions in porous media”, International Journal Engineering

Science, Vol. 20, pp. 643- 662.

Marshall D. W. y Bentsen R. G., 1982, “A computer model to determinate the

temperature distributions in a wellbore”, Journal of Canadian Petroleum, January, 63-65.

Mei C. y Auriault J. L., 1991, “The effect of weak inertia on flow through a porous

medium”, Journal Fluid Mechanics, Vol. 222, pp: 647-663.

Moeckel G. P., 1975, “Thermodimics of an interface”, Arch. Ratio Mechanical

Analytical, Vol. 57, pp: 255-280.

Moyne C., 1997, “Two equation model for a diffusive process in porous media using

the volume averaging method with an unsteady-state closure”, Advances in Water

Resources, Vol. 20, pp: 63-76.

Nakayama A., Kuwahara F., Sugiyama M. y Xu G., 2001, “A two energy equations

model for conduction and convection in porous media”, International Journal of Heat and

Mass Transfer, Vol. 44 pp: 4375-4379.

234

Ni J. y Beckermann C., 1991, “A volume-averaged two phase model for transport

phenomena during solidification”, Metallurgical Transaction B, Vol. 22B, June, pp: 349-

361

Nozard I., Carbonell R. G. y Whitaker S. A., 1985a, “Heat conduction in multiphase

systems I: Theory and experiment for two phase systems”, Chemical Engineering Science,

Vol. 40, No. 5, pp: 843-855.

Nozard I., Carbonell R. G y Whitaker S. A., 1985b, “Heat conduction in multiphase

systems II: Experimental method and results for three phase systems”, Chemical

Engineering Science, Vol. 40, No. 5, pp: 857-863.

Nordbotten J. M., Celia M. A., Dahle H. K. y Hassanizadeh S. M., 2007, “Interpretation

of macroscale variables in Darcy´s law”, Advances in Water Resources, Vol. 43, pp: 1-9.

Nordbotten J. M., Celia M. A., Dahle H. K. y Hassanizadeh S. M., 2008, “On the

definition of macroscale pressure for multiphase flow in porous media”, Advances in

Water Resources, Vol. 44, pp: 1-8.

Ochoa-Tapia J. A., Del Rio P. J. A. y Whitaker S. A.,1993, “Bulk and surface diffusion

in porous media: An application of the surface – averaging theorem”, Chemical

Engineering Science Vol. 48, pp: 2061-2082.

Ochoa-Tapia J. A. y Whitaker S. A., 1995a, “Momentum transfer at the boundary

between aporous medium and homogeneous fluid-I: The theorical development”, Journal

of Heat and Mass Transfer, Vol. 38, No. 14, pp:2635- 2646

Ochoa-Tapia J.A. y Whitaker S. A., 1995b, “Momentum transfer at the boundary

between a porous medium and homogeneous fluid-II: Comparison with experiment”,

Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 38, No. 14, pp:2647- 2655.

235

Ochoa-Tapia J. A. y Whitaker S. A., 1997a, “Heat transfer at the boundary between a

porous medium and homogeneous fluid”, International Journal Heat Mass Transfer, Vol.

40, No. 11, pp: 2691-2707.

Ochoa-Tapia J. A. y Whitaker S. A., 1997b, “Heat transfer at the boundary between a

porous medium and homogeneous fluid: The One-Equation Model”, Journal of Porous

Media, Vol. 1, No. 1, pp: 30-45.

Peaceman, D. W., 1977, “Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation”, New

York, Amsterdam-Oxford: Elsevier Scientific Publishing Company, pp: 24-32.

Prasad V. y Chui A., 1989, “Natural convection in a cylindrical porous enclosure with

internal heat generation”, ASME J. of Heat Transfer, Vol. 111, pp: 916-925.

Quintard M., Bletzacker L., Chenu D. y Whitaker S. A., 2006, “Nonlinear, multiphase,

mass transport in porous media”, Chemical Engineering Science, Vol. 61, pp: 2643-2669.

Quintard M., Kaviany M. y Whitaker S. A., 1997, “Two medium treatment of heat

transfer in porous media: Numerical results for effective properties”, Advances in Water

Resources, Vol. 20, Nos. 2-3, pp: 77-94.

Quintard M. y Whitaker S.A., 1993, “Transport in ordered and disordered porous

media: Volume averaged equations, closure, problems and comparison with experiment”,

Chemical Engineering Science, Vol.48, pp: 2537-2564.

Rodriguez, J. R., 2004, “Experimental and Analytical Study to Model Temperature

Profiles and Stoichiometry in Oxygen-Enriched In-situ Combustion”, Ph. D. Thesis, Texas

A&M University, UMI Number: 3132120, pp. 1-164.

Ryan D., Carbonel R. G. y Whitaker S. A., 1980, “Effective diffusivities for catalyst

pellets under reactive conditions”, Chemical Engineering Science, Vol. 35, pp: 10-16

Ryan D., Carbonel R. G. y Whitaker S. A., 1981, “A Theory of diffusion and reaction in

porous media”, AICHE symposium Series, Vol. 77, No. 202, pp: 46-62.

236

Sahraoui M. y Kaviany M, 1992, “Slip and no-slip velocity boundary conditions at

interface at porous, plain media”, International Journal Heat and Mass Transfer, Vol. 35,

pp: 927-943.

Sanchez.-Palensia E., 1980, “Non-homogeneous media and vibration theory”, Vol. 129,

Lecture Notes in Physics, Springer Yerlag, Berlin.

Sha W. T., Chao B. T. y Soo S. L., 1984, “Porous media formulation for multiphase

flow with heat transfer”, Nuclear Engineering and desing, Vol. 82, pp: 93-106.

Singh A. K. y Thorpe G. R., 1993, “A solution procedure for three- dimensional free

convective flow in peaked bulks of grain”, Journal Stored Prod. Res., Vol. 29, No. 3, pp:

221-235

Slattery J.C., 1967, “Flow of viscoelastic fluids through porous media”, AICHE., Vol.

13, pp:1066-2071.

Slattery J. C., 1990, “Interfacial transport phenomena”, Springer-Verlag, N.Y.

Slattery J. C., 1999, “Advanced transport phenomena”, Cambridge university press,

N.Y., pp: 433-434.

Soria A. y De lasa H. I., 1991, “Averaged transport equations for multiphase systems

with interfacial effects”, Chemical Engineering Science, Vol. 46, No. 8, pp: 2093-21111.

Takahashi W., Osato K., Takasugi S. y White S. P., 1997, “Estimation of the formation

temperature from inlet and outlet mud temperatures while drilling”. In: Proceedings twenty

second Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford University, Stanford

California.

Thorpe G. R., 1995, “ Ingeniería Química en Tecnología de Post-cosecha”. Notas de

curso impartido en el XV Seminario de Ingeniería Química. Instituto Tecnológico de

Celaya.

237

Thorpe G. R., Ochoa-Tapia J. A. y Whitaker S. A., 1991a, “The diffusion of moisture in

food grains I. The development of a mass transport equation”, Journal Sores Prod. Res.,

Vol. 27, No. 1, pp: 1-9.

Thorpe G. R., Ochoa-Tapia J. A. y Whitaker S. A., 1991b, “The diffusion of moisture in

food grains II. Estimation of the effective diffusivity”, Journal Sores Prod. Res., Vol. 27,

No. 1, pp: 11-30.

Thorpe G. R. y Whitaker S. A., 1992a, “Local mass and thermal equilibria in ventilated

grain bulks. Part I: The development of heat and mass convection equations”, Journal

Prod. Res., Vol. 28, No. 1, pp: 15-27.

Thorpe G. R. y Whitaker S. A., 1992b, “Local mass and thermal equilibria in ventilated

grain bulks. Part II: The development of constrains”, International Journal Engineering

Science, Vol. 1, pp: 29-54.

Truesdell C. y Touping R., 1960, “The classical field theories, in encyclopedia of

Physics”, Vol. 3, No. 2, pp: 226-793. Springer, Berling, Göttigen, Heidelberg.

Vafai K. y Tien C. L., 1981, “Boundary and inertia effects on flow and heat transfer in

porous media”, International Journal of Heat and Mass Transfer , Vol. 24, pp:195-203.

Vafai K. y Thiyagaraja, 1987, “Analysis of flow and heat transfer at the interface region

of a porous media”, International Journal of Heat and Mass Transfer , Vol. 30, pp:1391-

1405

Valencia-López J. J., Espinosa-Paredes G. y Ochoa-Tapia J. A., 2003, “Mass transfer

jump condition at the boundary between a porous medium and homogeneous fluid”,

Journal of Porous Media, Vol. 6, No. 1, pp: 33-49.

Verma V.B., Reynolds A.C., y Thomas G.W., 1978, “A Theoretical Investigation of

Forward Combustion in a One-Dimensional System”, SPE 7526, SPE-AIME 53rd Annual

Fall Technical Conference and Exhibition, Houston, Oct. 1-3,

238

Wang C. Y. y Beckerman, C., 1993, “A Two-Phase Mixture Model Liquid-Gas Flow

and Heat Transfer in Capillary Porous Media. I. Formulation”, International Journal of

Heat and Mass Transfer, Vol. 36, No. 11, pp. 2747-2758.

Whitaker S. A., 1966, “The equations of motion in porous media”, Chemical

Engineering science , Vol. 21, pp: 291-300

Whitaker S. A., 1967, “Diffusion and dispersion in porous media”, AICHE., Vol. 13,

pp:420-427.

Whitaker S. A., 1969, “Advances in theory and fluid motion in porous media”, Ind.

Engig. Chem., Vol. 61, No. 12, pp: 14-28.

Whitaker S. A., 1973a, “The transport equation for multiphase systems”, Chemical

Engineering Science, Issue, January, Vol. 28, pp: 139.

Whitaker S.A., 1973b, “Mathematical modeling of two phase flow”, Chemical

Engineering Science, Vol. 28, pp: 139-147.

Whitaker S. A., 1977, “Simultaneous heat, mass and momentum transport in porous

media:a theory of drying”, In Advances in Heat Transfer (Edited by Hartnett, J.P y and

Invine, T. G. ), Vol. 13, Academic Press, New York.

Whitaker S. A., 1986a, “Local thermal equilibrium: An application to packed bed

catalytic reactor desing”, Chemical Engineering Science, Vol. 41, No. 8, pp: 2029-2039.

Whitaker S. A., 1986b, “Flow in porous media –I. A theoretical derivation of Darcy´s

law”, Transport porous media, Vol. 1, pp: 3-25.

Whitaker S. A., 1986c, “Flow in porous media –II. The governing equations for

immiscible, two-phase flow”, Transport porous media, Vol. 1, pp:105-125.

Whitaker S. A., 1991, “Improved constraints for the principle of local thermal

equilibrium”, Industrial. Engineering Resources, Vol. 30, pp: 983-997.

239

Whitaker S. A, 1996, “The Forchheimer Equation: A theretical development”,

Transport in Porous Media, Vol. 25, pp: 27-61.

Whitaker S. A., 1997, “Volume averaging of transport equations, In Fluid Transport in

Porous Media”, ed. P. du Plessis. Advances in Fluid Mechanics Series, Computational

Mechanics Publications, Southampton, pp: 1-60.

Whitaker S. A, 1999, “The method of volume averaging”, Kluwer Ed. Academic

Publishers, Vol. 13.

Wodie J. C. y Levy T., 1991, “Correction non linéaire de la loi de Darcy”, C. R. Acad.

Sci. París Série II, Vol. 312, pp. 157-161.

Woods A. W., 1999, “Liquid and vapor flow in superheated rock”, Ann. Rev. Fluid

Mechanics, Vol. 31, pp: 171-199.

Wooley G. R., 1980, “Computing downhole temperatures in circulation, injection, and

productions wells”, Journal of Petroleum Technology, September, pp: 1509-1522.

240

APÉNDICE A Vaporización de aceite

FASES: El término de evaporación se puede escribir como (Chu, 1964)

( )mo e lo gok k C Cχ = − (A.1)

donde loC y goC están dados por:

lolo

pCTR

= (A.2)

gogo

pC

TR= (A.3)

entonces,

( )moe lo go

k k p pTR

χ = − (A.4)

considerando que,

mokkRT

= (A.5)

entonces,

( )e lo gok k p pχ = − (A.6)

Multiplicando la Ec. (A.6) por Mo, tenemos:

( )go o o e lo gom = M =kM k p pχ − (A.7)

donde gom es el término de evaporación como función de la presión. Para calcular k, es

necesario calcular kmo, la cual fue dada por Chu (1964) como:

2253 6.33mok T= + (A. 8)

y ke se define como:

89306.74aT

ek e−

= (A.9)

241

APÉNDICE B

Publicaciones, Congresos y Conferencias

Como productos adicionales de la presente investigación se presentaron conferencias, se

asistió a congresos y se publicaron artículos científicos.

PUBLICACIONES:

Artículos en Revistas:

1. Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G. and Montoya -Hernández D. J., 2011, Volume

Averaged Mass Equations for Multiphase Flow in Porous Media for In-Situ Combustion,

Petroleum Science and Technology, ID: LPET479754 (NO. DE SEGUIMIENTO DEL

ART.) ACEPTADO

2. Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G., Moya-Acosta S. L and Montoya -Hernández D.

J., 2011, Interfacial Mass Equations for In-Situ Combustion, Petroleum Science and

Technology, Vol. 29, Issue 5, January, pp. 484-498.

OTRAS COLABORACIONES

1. Cazarez-Candia O., Montoya-Hernández D. J. and Vital-Ocampo A. G., 2009,

Mathematical model for Bubbly Water Heavy oil-Gas flow in vertical pipes, (PET/08(040),

Petroleum Science and Technology, Vol. 27, pp. 1715-1726.

2. Cazarez-Candia O.; Montoya-Hernández D. Vital-Ocampo A.G., Bannwart A. C., 2010,

Modeling of three phase heavy oil-water-gas bubbly flow in upward vertical pipes,

International J. Multiphase Flow, Vol. 36 , No. 6, pp.439-448.

242

Artículos en Extenso:

1. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O, 2010, Average Model for In-Situ Combustion I:

Transport Equations, V Congreso Internacional de Métodos Numéricos, 2-5 de Febrero,

Guanajuato, Gto. pp.124.

2. Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G., 2010, Average Model For In-Situ Combustion

II: Numerical Solution, V Congreso Internacional de Métodos Numéricos, 2-5 de Febrero,

Guanajuato, Gto. pp. 131.

3. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O, 2010, Volume Average Transport Equations for

In-situ combustion, XVI Congreso de la División de Dinámica de Fluidos realizado del 25-

29 de Octubre , Boca del Río, Veracruz.

Capítulo en libros:

1. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O. Average model for in-situ combustion : transport

equations and numerical solution. Mathematical and numerical applications for porous

media physics modeling, Multiphysics modeling. Ed. CRC Press, Taylor & Francis Group.

Enviado.

PARTICIPACIÓN EN CONGRESOS:

1. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O., Moya-Acosta S. L. y Montoya-Hernández D. J.,

2008, Ecuaciones de masa promediadas en volumen para flujo multifásico a través de un

medio poroso homogéneo, XIV Congreso de la división de Fluidos y Plasmas realizado del

20-24 de Octubre en el Edo. de Zacatecas, Zacatecas.

2. Vital-Ocampo A. G., 2009, Ecuaciones de transporte promediadas en volumen para flujo

multifásico a través de un medio poroso homogéneo, Simposium multidisciplinario

académico celebrado del 23 al 27 de Marzo, Instituto Tecnológico de Zacatepec Mor.

3. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O. y Montoya-Hernández D., 2009, Ecuaciones de

cantidad de movimiento promediadas en volumen para flujo multifásico a través de un

243

medio poroso homogéneo, XV Congreso de la División de Dinámica de Fluidos realizado

del 26-30 de Octubre en el Edo. Acapulco, Guerrero.

4. Vital-Ocampo A. G. y Cazarez-Candia O., 2010, Volume Average Transport Equations

for In-situ combustion, XVI Congreso de la División de Dinámica de Fluidos realizado del

25-29 de Octubre, Boca del Río, Veracruz.

CONFERENCIAS

1. Vital-Ocampo A. G., 2007, Ecuaciones promediadas en volumen para la transferencia de

masa y energía en medios porosos, 1ra Semana académica celebrado en Abril, Instituto

Tecnológico de Zacatepec Mor.

2. Vital-Ocampo A. G., 2009, Deducción de las ecuaciones promedio en volumen para

medios porosos y su aplicación para combustión in-situ, Quinto ciclo de conferencias de la

sección estudiantil IMIQ-ITZ realizado del 20 al 23 de Octubre, Instituto Tecnológico de

Zacatepec Mor.