DEPARTAMENTO DE COORDINACION DE JEFES DE ENSEÑANZA

COORDINACION SECTORIAL DE EDUCACION SECUNDARIA

MATEMATICAS

, , ,

¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántas rectas las forman?

3 5 7 9

La octava figura de la serie es: ¿Cuántas rectas la forman?

17

¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántas círculos las forman?

, , , ,

1 4 7 10 13

La novena figura de la serie es: ¿Cuántos círculos la forman?

25

Una progresión aritmética es:

Secuencia de números relacionados de tal manera que cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia común.

2 , 7, 12 , 17 , 22 , 27, 32

+ 5 + 5 + 5

+ 5 + 5 + 5

DIFERENCIA COMUN ES 5

OBSERVA :

2 , 7, 12, 17, 22 , 27, …a1

1°

a1 + d

2°

a1+ 2d

3°

a1+ 3d

4°

a1+ 4d

5°

a1+ 5d

6°

a1+ (n-1)d

n°

Término inicial Término n-ésimo

¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?

an = a1 + (n – 1) d

EJERCICIO DE APLICACION

Hallar el 23° término de la progresión aritmética 9 , 4 , -1 …

a23 = 9 + (23-1) (-5) a23 = 9 – 110

23° término es - 101

d = 4 – 9d = -5

Determinamos la diferencia común

Consecuente menos antecedente AntecedenteConsecuente

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

Hallar el 38° término de la progresión aritmética 2/3 , 3/2 , 7/3 …

a38 = 2/3 + (38 – 1) (5/6 a38 = 2/3 + 185/6

38° término es 189/6 o 63/2

d = 3/2 – 2/3d = 5/6

Determinamos la diferencia común

Consecuente menos antecedente AntecedenteConsecuente

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

EJERCICIO DE APLICACION

EJERCICIO DE APLICACION

a6 = 3 + (6 – 1) d

8 = 3 + 5d

5d = 8 - 3

Diferencia común es 1

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

Hallar la diferencia común de la progresión aritmética 3, …, 8 donde 8 es el 6° término.

an = a1 + (n – 1) d

Buscando el valor de “d”

an - a1

d = n - 1

*

EJERCICIO DE APLICACION

30 = 4 + (n – 1) ( 2 ) 30 = 4 + 2n - 2 28 = 2n n = 14

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4, 6, …30 ?

an = a1 + (n – 1) d

Buscando el valor de “n”

an - a1 + dn =

d

Buscamos diferencia común d = 6 – 4 d = 2 *

EJERCICIO DE APLICACION

20 = a1 + (15 – 1) ( 2/7 ) 20 = a1 + 4

a1 = 16

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) dan = a1 + (n – 1) d

Buscando el valor de “a”

a1 = an – nd - d

*

El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la diferencia común 2/7. Hallar el primer término.

Una máquina costó $ 5 800.00 se deprecia 15% en el primer año, 13.5 en el segundo, 12% en el tercero, y así sucesivamente. ¿ Cuál es el valor de la máquina después de 9 años?

Diferencia común

13.5 % - 15.0%- 1.5 %

an = a1 + (n – 1) d

a9 = 15 + (9 – 1) ( - 1.5 ) a9 = 15 - 12

Se deprecia en el 9° año 3%

Suma depreciaciones

( a1 + an ) n S =

2

S = ( 15 + 3 ) 9 2

S = 81 %

Valor de la máquina $ 1 102.00*

OBSERVA :

2 , 6 , 18 , 54 , 162

¿ CUAL ES SU RAZON ?

2X3 6X3 18X3 54X3

ES UNA PROGRESION GEOMETRICA

2 , 6 , 18 , 54 , …1°

a1

2°

a r

3°

a r2

4°

a r3

n°

an r n-1

Término inicial Término n-ésimo

¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?

an = ar n-1

a10 = 50 (1/5)10-1

a10 = 50 (1/5)9

10° término es 2 / 57

d = 10 / 50d = 1/5

Determinamos la razón

Consecuente entre antecedente AntecedenteConsecuente

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a r n - 1

EJERCICIO DE APLICACION

Encontrar el décimo término en la progresión geométrica 50,10, 2, …

a7 = a (1/2)7-1

1/64 = a (1/2)6

a = (1/64) : 1/64

a = 1

an = a r n - 1

EJERCICIO DE APLICACION

La razón de una progresión geométrica es ½ y el 7° término es 1/64. Hallar el primer término.

Sustituimos valores conocidos

an = a r n - 1

EJERCICIO DE APLICACION

Sustituimos valores conocidos

Hallar la razón de la progresión geométrica 2, … 64, de 6 términos.

a6 = 2 r 6-1

64 = 2 r 5

r5 = 64/2

r = 5

32

a6 = a (1/2)6-1

1/16 = a (1/2)5

a = (1/16) : 1/32

a = 2

an = a r n - 1

EJERCICIO DE APLICACION

Sustituimos valores conocidos

El sexto término de una progresión geométrica es 1/16 y la razón ½. Hallar el primer término.

a6 = 8 (3/2)6-1

a6 = 8 (3/2)5

6° término es 243/4

an = a r n - 1

EJERCICIO DE APLICACION

Sustituimos valores conocidos

Encontrar el sexto término de la sucesión geométrica que tiene como primeros dos términos a 8 y 12.

Buscamos la razón

12 : 8 = 3/2

an = a r n - 1

EJERCICIO DE APLICACION

Sustituimos valores conocidos

Dada una sucesión geométrica en la que a4 = 135 y a7 = 3645, encontrar la razón y el 10° término .

an = a r n - 1

Sustituimos valores conocidos

a4 = a r 4-1

135 = a r 3

a = 135 / r 3

a7 = a r 7-1

3645 = a r 6

3645 = a r 6

3645 = 135 r - 3 r 6

r 3 = 3645 / 135 r 3 = 27 r = 3

a = 135 / 27 a = 5 *

a10 = 5 (3)9

10° termino es 98 415

Manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la cuarta 8; por la quinta, 16 … ¿ cuántas semillas de trigo se entregarán en la décima octava casilla ?

an = a r n - 1

Buscamos la razón

2 : 1 = 2

a18 = 1 ( 2 )18-1

a18 = 1 ( 2 )17

18° término es 131 072

¿ Cuánta semillas de trigo ha recibido en total ?

anr – a S = r - 1

S = 131 072 (2) – 1 2 – 1

S = 262 143