DEPARTAMETO DE ARTES PLÁSTICAS

I.E.S. POBRA DO CARAMIÑAL - PROF. JOSÉ MAUEL BOO FEIJOO

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

PROYECCIOES SUS CLASES. SISTEMAS DE REPRESETACIÓ. AMBITO DE UTILIZACIÓ DE CADA UO DE ELLOS. GEOMETRÍA DESCRIPTICA. DEFIICIÓ: Es la ciencia o método matemático-grafico que tiene por objeto la representación sobre el plano de las figuras o cuerpos del espacio. Resolviendo los problemas de las tres dimensiones mediante el empleo de la geometría plana. Para establecer las relaciones entre las formas tridimensionales o del espacio y las de dos dimensiones es necesario realizar en principio una operación denominada PROYECCIÓN. Toda representación ha de ser reversible, es decir que partiendo de la proyección se puede reconstruir el cuerpo en el espacio. Esto se puede conseguir por diferentes métodos que se llaman sistemas de representación. PROYECCIOES: Todo objeto colocado en la trayectoria de un haz de rayos luminosos produce una silueta del mismo sobre un plano situado posteriormente. Si el cuerpo que consideramos es transparente la silueta antes mencionada, representará además del contorno, los demás accidentes particulares que servirán para identificarle plenamente. A esta silueta se le conoce con el nombre genérico de proyección sobre el plano. ELEMETOS DE UA PROYECCIÓ:

CENTRO DE PROYECCIÓN: Es el punto F desde el cual parten todas las semirrectas que pasando por los puntos del objeto inciden sobre el plano. RECTAS PROYECTANTES: Son aquellas que conteniendo al centro de proyección pasan por los puntos del objeto e inciden sobre el plano. PLANO DE PROYECCIÓN: Es aquel sobre el que inciden las rectas proyectantes dando lugar a dibujos o proyecciones del objeto.

F A a (P)

PROYECCIOES F A B

A B B A

a b b a a b P. CILÍNDRICAS: ORTOGONALES El centro de proyección es un punto impropio Cuando las rectas proyectantes son situado en el infinito y las rectas proyectantes perpendiculares al plano de proyección. són paralelas entre sí. OBLICUAS Cuando las rectas proyectantes son oblícuas al plano de proyección.

P. CONICA Todas las rectas proyectantes parten del centro de proyección que es un punto propio. También recibe el nombre de proyección central o perspectiva cónica. SISTEMAS DE REPRESETACIÓ CILINDRICO ORTOGONAL S. DIÉDRICO S. ACOTADO S. AXONOMÉTRICO CILÍNDRICO OBLICUO P. CABALLERA CÓNICO P. CÓNICA

SISTEMA DIÉDRICO Es el más generalizado. Se llama también de doble proyección o de MONGE (geómetra francés). Sistema de proyección cilíndrico ortogonal. Constituido por dos planos PV y PH perpendiculares entre si. La recta intersección entre ambos se llama línea de tierra. ( línea fina en la aplicación industrial desaparece). Divide el espacio en cuatro cuadrantes. ABATIMIENTO DE LOS PLANOS REPRESENTACIÓN EN DIEDRICO

PV PV 2º 1º Cuadrante PH LT 3º 4º

PH

EJES COORDENADOS (Formados por la LT y las rectas intersección de un plano perpendicular a los de proyección PLA�O DE PERFIL). El origen se encuentra en el punto de intersección de los tres planos. -Y Z -X O X -Z Y

SISTEMA DE PLAOS ACOTADOS: Emplea un solo plano de proyección ( horizontal) llamado PLANO DE COMPARACION

Z O Z X X Y (P) Y SISTEMA AXOOMÉTRICO:

Formado por tres planos secundarios y otro principal llamado PLANO DEL CUADRO.

Losplanos secundarios son perpendiculares entre si forman un TRIANGULO TRIRRECTÁNGULO.

Los ejes coordenados se forman en la intersección de estos tres planos entre si .El origen se encuentra en el punto de intersección de los tres planos.

Según la situación de estos respecto al plano de proyección principal se derivan tres sistemas diferentes.

ISOMÉTRICO a = b = c

DIMETRICO a = b / c

TRIMETRICO a / b / c

Z Z´ X´ -X -Y Y´ O Z X Y X Y -Z

P. CABALLERA: Variante del sistema axonométrico. Uno de los planos secundarios se encuentra situado sobre el PP. SISTEMA COICO: Tiene un plano de proyección vertical “cuadro” ( Plano Principal ) Otro horizontal. ( Horizontal)

Otro paralelo al horizontal . ( Geometral) Otro paralelo al Plano Principal ( De Desvanecimiento) PH PP PD PG

SISTEMA DIEDRICO

FUDAMETOS – PUTO, RECTA Y PLAO – PARALELISMO Y PERPEDICULARIDAD – AGILOS – ABATIMIETOS – GIROS - CAMBIOS DE

PLAO – ITERSECCIOES – SUPERFICIES: GEERACIÓ Y CLASIFICACIO – REPRESETACIÓ DE SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLES Y DE

REVOLUCIO MAS USUALES. EL PUTO: La proyección ortogonal de un punto es el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano. Un punto queda definido cuando se conocen sus dos proyecciones. Cota y alejamiento: Se llama cota de un punto a la distancia del mismo al PH. Alejamiento es la distancia del punto al PV. Tanto la cota como el alejamiento pueden ser positivos, nulos o negativos. Todos los puntos situados sobre el plano horizontal tienen cota positiva, los contenidos en dicho plano cota nula y los situados por debajo cota negativa. Planos bisectores: Se denominan planos bisectores de los ángulos diedros a los planos que pasando por la LT contienen a las bisectrices de los ángulos rectilíneos correspondientes a los diedros. Los planos bisectores dividen a los diedros en dos partes iguales llamados octantes. Luego los dos bisectores junto con los planos de proyección dividen el espacio en 8 octantes.

3º 2º 4º 1º 5º 8º 6º 7º ALFABETO DEL PUTO (17 posiciones)

ALFABETO DE LA RECTA ( 53 posiciones)

Posiciones particulares de la recta respecto al plano: Paralela Perpendicular Oblicua R S T r s t (P) Proyecciones de una recta. La proyección de una recta sobre el plano será otra recta, obtenida por las proyecciones de todos los puntos de esta. Sólo son necesarios 2 puntos para la proyección de la recta Trazas de una recta. La recta puede definirse por sus trazas. Se denominan trazas de una recta a los puntos en los cuales la recta corta a los planos de proyección. La intersección con el PV se llama traza vertical (designación V) y la intersección con el PH se llama traza horizontal (designación H). Trazas con los bisectores. Es donde la recta corta a los planos bisectores. El punto de la recta en que corta el 1º bisector, será aquel punto de la recta que tenga igual cota que alejamiento y sus posiciones están situadas sobre las proyecciones de la recta, una a cada lado de la LT. El punto de intersección de la recta con el 2º bisector, también tendrá siempre igual cota que alejamiento, pero en sus proyecciones aparecerán ambas confundidas en un solo punto.

Partes vistas y ocultas de la recta. Al observador siempre se le supone situado en el 1º

diedro y solo serán vistas las figuras situadas en él.

Rectas que se cortan y rectas que se cruzan. Si dos rectas se cortan en el espacio, las

proyecciones del mismo nombre han de cortarse en dos puntos contenidos en una misma

perpendicular a la LT. Si no fuera así no se cortarían, se cruzarían.

RECTAS PARALELAS A LA LT. ( 17 POSICIOES )

d´ f´ h c´ e´ f g´g h´ b´ a´ e d a b c j i k l i´ ll p´p j´ k´ m o´ n´n ́ o l´ ll´´ m´ RECTAS PERPEDICULARES A LOS PLAOS DE PROYECCIÓ ( 6 POSICIOES ) a´ b´1 b´ c´c b´2 b2 b´2 b2 h b1 v´ d´ b´1 b1 f h´ b h´h h´ v v´v e´ v b´2 b2 b1 b1´ b´1 b1 d b2 b2´ b´2 b2 a h b1 b´1 b1 b2 b2´ b1´v´ e f´

RECTAS PARALELAS A LOS PLAOS DE PROYECCIÓ ( 6 POSICIOES ) b1

b2b´2´ v´ b1´ a´ c

v´v b´ v

v a b c´ b2b2´ b1 b´1 v´ d´ e´ b1´ b1 f b2 b2´ h´ h´ h e f´ d

b2 b2´ h b1 b1´ RECTAS OBLICUAS A LOS PLAOS DE PROYECCIÓ QUE PASA POR TRES DIEDROS ( 4 POSICIOES )

b1´ b2b2´ h a´ b1´ v´ b2b2´ v´ b2b2´ h b1´ c´ b1´ b

h´ v h´ v h´ v v h´ b b1´ b2b2´ b1 h a b c ´ v´ b1 v´ b1 h

RECTAS OBLICUAS A LOS PLAOS DE PROYECCIÓ QUE CORTA A LA LT. ( 4 POSICIOES)

m a´ b´ c´ m´ m m´ m´ d v´v d´ m´ v´v v´v h´h v´v hh´ h´h m h´h

m a b c

RECTAS PARALELAS A LOS PLAOS BISECTORES ( 6 POSICIOES )

h a´ m´ b´ c´

b2b2´ v´ b2b2´ h´ v v´v h´h v h´ b2b2´ a b h m v´ c

v´ h b1´ bb´ b1 h a´ m m´ c h´ vv´hh´ v v b1 b1´ h´ b1 b1´ c´ a v´ h

RECTAS DE PERFIL ( 10 POSICIOES )

v´ h hv´ v´ v´ h

b1´ m´m b2b2´ m´ b1´ b2b2´ b1 a´ b´ c´ d´ e´ f´ a´ b´ c d´ vh´ v´v h´ h´v v´v h´v h v h v h´ v v h´

h´h v h´h b1 m b2b2´ b1 b1´ b2b2´ a b c d e f a b c´ d h v´ hv´ h´ v´ h

v´

Perpend. al 1ºbis. --- Perpend. al 2º bis. ---Oblicuas a los bis.------------

EL PLANO TRAZAS DE UN PLANO: Se denominan trazas de un plano a las intersecciones de éste con cada uno de los planos de proyección. Estas intersecciones serán siempre rectas.

P´

P´ (P) P P

Este plano dado corta a los que constituyen el diedro, según dos rectas concurrentes, por lo que ambas trazas han de concurrir necesariamente en un punto en la LT. Se designan las trazas del plano con letras mayúsculas P´P

MODO DE SITUAR UA RECTA E U PLAO DADO POR SUS TRAZAS: Para que una recta esté contenida en un plano, las trazas de la recta han de confundirse con las trazas del plano. v´ P´ P´ r´ h´ v R r h P P MODO DE RECOOCER SI U PUTO ESTA COTEIDO E U PLAO: Para que un punto esté situado en un plano, ha de estar contenido en una de las rectas que pertenezcan al plano. v´ P´ a´ P´ a´ A r´ R h´ v a r a h P P

DETERMINACIÓN DE UN PLANO: Un plano puede determinarse por: Tres puntos no alineados Dos rectas paralelas Un punto y una recta que no se pertenezcan Por dos rectas que se cortan

RECTAS PARTICULARES DEL PLAO:

Recta horizontal del plano Recta frontal del plano Línea de máxima pendiente Línea de máxima inclinación

P´ P´ r´ v´ r´ v h´

r h r P P v´ v´ P´ P´ r´ r´ h´ v v h´ r r P P h

h ALFABETO DEL PLAO (23 Posiciones)

PLANOS PROYECTANTES : VERTICAL HORIZOTAL

P´ Q´

P Q

PLAOS PARALELOS A LOS DE PROYECCIÓ ( 6 POSICIOES )

P´ T Q´ Q T´ P PLAOS PARALELOS A LOS BISECTORES ( 6 POSICIOES ) U´ mm´ U m´ TT´ Q Q´ X X´ PP´ U U´ m PLAOS PARALELOS A LA LT. ( 4 POSICOES ) P´ Q´ T Q P T´ U U´

PLAOS QUE PASA POR LA LT. ( 2 POSICOES )

m´ m m´ P P´ Q Q´ m

PLAOS PARALELOS A LOS BISECTORES ( 3 POSICIOES ) . P´ QQ´ T´ 1º 2º 1ºY2º T

TRAZAS DE UA RECTA DE PERFIL DEFIIDA POR DOS PUTOS.

PP´ v´ V a´ A b´ B v h´ H

a b h

EJERCICIOS - Hallar las proyecciones de una recta que conteniendo al punto A ocupe las siguientes posiciones: a´

1) Paralela a la LT 2) Paralela al 1º bis. 3) Paralela al 2º bis. 4) Perpendicular a la LT 5) Perpendicular a V a 6) Perpendicular a H Hallar en todos los casos las trazas con los planos de proyección y con los bisectores.

- Determinar las trazas de un plano que conteniendo a la recta R sea:

1) Paralelo a la LT r´ 2) Perpendicular al 1º bis. 3) Perpendicular al 2º bis. 4) Proyectante V 5) Proyectante H r

- Determinar las trazas de un plano que contenga a las rectas R y S . Representar una horizontal y una frontal que contengan al punto de intersección de ambas rectas. r´ i´ s´

i r s

INTERSECCIÓN DE PLANOS

INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CUALESQUIERA La intersección de las trazas homónimas de los planos nos determinan los puntos h v´ trazas de la recta intersección.

P´ i´ Q´ P i Q ITERSECCIÓ DE U PLAO OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO HORIZOT. P´ v´ i´ Q´ v i P

ITERSECCIÓ DE U PLAO OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO PROYECTATE H. v´

P´ Q´ i´ h´ v i Q h

P

ITERSECCIÓ DE U PLAO OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO PROYECTATE V. Q´ P´ v´ i´ v h´ i Q P h ITERSECCIÓ DE PLAOS PROYECTATES H. Y V. i´ v´ P´ i´ Q´ P´ Q´ h´ v P Q P i Q i h

ITERSECCIÓ DE U PLAO OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO PARALELO A LT. Q´ P´ v´ i´ h´ v Q i h

P

ITERSECCIÓ DE PLAOS PARALELOS A LT. (1º METODO) P´ Q´ P1 R i´ Q1 i P´ Q´ (2º METODO) T´ P´ Q´ i´

i P´ T Q

ITERSECCIÓ DE U PLAO OBLICUO CUALQUIERA CO OTRO FROTAL P´ i´ i Q

P ITERSECCIÓ DE U PLAO CUALQUIERA CO EL 2º BIS.

P´ b2b2´ v´ i´ v

i P ITERSECCIÓ DE U PLAO QUE PASA POR LA LT CO OTRO PERPEDICULAR AL 2º BISECTOR. P´P T´ i´ t´ T1 s´ d´ a´ A1 o´o Q´ Q s d t a T i 1) Plano T paralelo aLT que pasa por A 3) Intersección de T con P recta T 2) Intersección de T con Q recta S 4) Intersección de rectas S con T punto D 5) Intersección de PQ pasa por O y por D

ITERSECCIÓ DE U PLAO OBLICUO CUALQUIERA CO EL 1º BISECTOR.

P´

i´ b´ s´ b i s

P

ITERSAECCIÓ DE PLAOS CUADO LAS TRAZAS SE ECUETRA FUERA DE LOS LIMITES DEL DIBUJO: Se eligen otros planos auxiliares paralelos a los de proyección o a los dados. ITERSECCIÓ DE PLAOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTA FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO. P´ Q´

i´ v´ T´ v´ v h´ v

i P Q h

ITERSECCIÓ DE PLAOS CUYAS TRAZAS HORIZOTALES SE CORTA FUERA DE LPOS LÍMITES DEL DIBUJO.

P´ Q´ i´ h´ h´ h´

Q P h T h i ITERSECCIÓ DE PLAOS CUYAS TRAZAS HORIZOTALES Y VERTICALES SE CORTA FUERA DE LPOS LÍMITES DEL DIBUJO. P´ Q´ r´s´ T´ t´ u´ P s r Q t u H

INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO GENERALIDADES: La intersección de una recta con un plano, es siempre un punto que pertenece a ambos. Para obtener este punto se toma un plano cualquiera que contenga a la recta dada. (P) (Q) R I ITERSECCIÓ DE UA RECTA CO U PLANO (Plano auxiliar proyectante más cómodo) P´ Q´ r´ r Q P VISIBILIDAD DE UA RECTA AL CORTAR A U PLAO 1º METODO: (Plano Q paralelo a P y más proximo al observador) Q´ P´ T´ b´ a´ P b a Q T

VISIBILIDAD DE UA RECTA AL CORTAR A U PLAO 2º MÉTODO: La región vista de una recta es aquella que se corresponde en la otra proyección con la región ocupada por el mayor ángulo que forma la traza del nombre contrario del plano con la LT. Q´ P´ r´ i´ i´ R

r´ I h´ v i h r i r P Q v´ ITERSECCIÓ DE UA RECTA DADA (R) CO U PLAO QUE PASA POR LA LT.

1 Plano proyectante Q que contenga a R 2 Plano T frontal que pasa por A i´ 3 (X) T con P recta S Q´ t´ 4 (X) T con Q recta T 5 Int. ST--B a´ b´ s´ (T) (P) r´ P´ P oo´ t b s T t´ a i r Q´ a´ A s´ I r´ Q R B a Q s T r T

PUTO DE ITERSECCIÓ DE TRES PLAOS. Q´ T´ P´ (X) TP (X) TQ i´ i Q P T PARALELISMO Dos rectas paralelas se proyectan paralelamente, puesto que los planos proyectantes que las contienen son necesariamente paralelos entre sí. R S T (P) r s t RECTAS PARALELAS (SISTEMA DIÉDRICO) Las rectas R y S paralelas en el espacio, tienen ambas proyecciones homónimas paralelas entre sí. v´ v´ s´ r´ h´ v h´ v s r h h

PARALELISMO DE DOS RECTAS DE PERFIL v´ v´ R S h´ v h´v h h

TRAZAR POR UN PUNTO DADO UNA RECTA PARALELA A OTRA DADA a´ r´ s´ r a s

PLANOS PARALELOS Al ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de intersección son necesariamente paralelas entre si. En el sistema diédrico cuando dos planos son paralelos sus traza homónimas son paralelas entre sí. P´ Q´ P Q

TRAZAR POR U PUTO U PLAO PARALELO A OTRO DADO P´ Q´ a´ r´ a P Q r

PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO P´ s´ a´ r´ s r a P PERPEDICULARIDAD

La perpendicularidad al contrario del paralelismo no se reproduce en sus proyecciones salvo

en un determinado caso: cuando los elementos dados son rectas con planos o planos con

rectas. La perpendicularidad entre rectas o entre planos no se manifiesta directamente en las

proyecciones de estos elementos, salvo posiciones muy particulares. TEOREMA DE LAS TRES PERPEDICULARES: Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio y una de ellas R es paralela al plano (P) de proyección, las proyecciones r y s de ambas rectas sobre el plano son perpendiculares entre sí. S M R s r m

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Toda recta perpendicular a un plano se muestra en sus proyecciones diédricas perpendicularmente a las respectivas trazas del plano considerado. P´ r´ (Q) R I Q r r P i

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO POR UN PUNTO

P´ a´ r´ a r

P

RECTAS PERPENDICULARES ENTRE SÍ. Toda recta F o S contenida en un plano perpendicular a la resta R dada, lo es a la recta dada, pase o no por su punto intersección. r´ P´ R s´ t´ (P) S T s t P r

PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SÍ. Para que un plano Q sea perpendicular a otro dado P basta que contenga a una recta R que sea perpendicular a P. P´ Q´ r´ i´ Q i r P DISTACIAS La distancia verdadera entre dos puntos dados por sus proyecciones en el sistema diédrico, no se manifiesta directamente sobre los planos de proyección, salvo que el segmento de unión de ambos puntos, se muestre paralelo a uno de estos planos. DISTACIA ETRE DOS PUTOS B r´ R h h A Bº a b r h b b´ D h a´ a´ a a h D b b

DISTACIA DE U PUTO A U PLAO. Es la porción de perpendicular al plano, comprendida entre el punto dado y su intersección B con el plano dado. R P´ Q´ A b´ a´ D r´ B

(P) P a b Q r

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Se traza por el punto un plano perpendicular a la recta dada, hallando su intersección. La distancia será el segmento comprendido entre el punto dado y la intersección de la recta con el plano. s´ R i´ r´ Q´ P´ m´ M I

(P) s m i P r Q

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Se determina por el segmento perpendicular común a ambas rectas, el cual se obtiene trazando el plano (P) perpendicular a ambas rectas. r´ s´ ´ R S b´ a´ A B

(P) r a b s P´

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS R r´ Q´ A

(Q) a´ B b´

(P) b Q P r a

MIIMA DISTACIA ETRE DOS RECTAS QUE SE CRUZA Rectas R y S. Es necesario trazar la recta que les sea perpendicular común

1) Tomar un punto A de una recta S y trazar por ella una paralela T a la otra dada R 2) Ambas rectas S y T forman un plano (P) paralelo a la recta R 3) Distancia de R a (P). Por un punto B de la recta R se traza una perpendicular a (P) y se

halla su intersección C. 4) La distancia B C es la mínima distancia entre R y S que se debe situar en su verdadera

posición , trazando por C una paralela a T hasta que corte a S en E. 5) Por E se traza una perpendicular a D (paralela a M) hasta cortar a R punto F. 6) Distancia E F.

B F R U C (P) S E T A Q´ P´ u´ r´ b´ c´ a´ t´ s´ e´ f´ r a t b s c

f u e Q

P

ABATIMIETOS Se llama abatir un plano a hacer coincidir a este con otro plano particular y fijo. El abatimiento de un plano se efectúa girando el mismo alrededor de una de sus trazas. Esta traza recibe el nombre de charnela. El plano fijo sobre el cual se abate es uno de los de proyección, por lo cual todos sus elementos, puntos, segmentos, ángulos, polígonos, etc. contenidos sobre el plano móvil, se sitúan tras el abatimiento sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna, obteniendo su verdadera magnitud. Siempre se abate un plano sobre otro y recíprocamente. Solo se pueden abatir planos. Todos los puntos del plano, describen arcos de circunferencia cuyo centro se encuentra en la charnela . Estando contenidas estas circunferencias en planos sucesivamente perpendiculares a la traza que hace de charnela.

P´ (P) P´ Pº1 Pº1 Pº Pº P P

ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE P´ Pº´ P´ P´º1 P´º P Pº´1 P

ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE CONTENIENDO UNA FIGURA Aº a´ Bº b´ Cº c´

b a c

ABATIMIENTO DE UN PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO CUALQUIERA (Q) Aº1 A Aº (P) Aº1 Aº2 Q´ a´ Aº Aº2 a

a´ Aº1 Q´ a a´ r´ Aº2 Aº a Aº2 Q r Q Aº1

ABATIMIENTO DE UN PUNTO Y LAS TRAZAS DEL PLANO QUE LE CONTIENE

P´ r´ R P´ a´ A v´ r a v´ a´ r´ v v Aº Rº a Vº P´º V´º r P R´º P´º A´º

ABATIMIENTO DE LAS TRAZAS DE UN PLANO P´ v´ P´ v´ v v P Vº Vº P´º P P´º

ABATIMIENTO DE UNA RECTA SITUADA EN UN PLANO P´ v´ v´ P´ SOBRE EL PH r´ R r´ h´ v v r P r

h´ h h Hº Hº Rº P P´º P´º V´º Rº V´º

SOBRE EL PV. Pº P´ v´ Rº Hº r´ h´ v

r P´ h P a´

ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA b´ c´ c a b Cº P Bº Aº P´º GIROS GEERALIDADES: Método que sirve para situar un punto, recta o plano en posición más cómoda respecto a los planos de proyección. Se diferencia de los cambios de plano en que en este procedimiento los planos de proyección permanecen fijos, siendo la figura en el espacio la que se desplaza, girando alrededor de una recta tomada como eje de giro. Este puede adoptar diferentes posiciones respecto a los planos de proyección, pero el caso más sencillo y más cómodo es cuando se sitúa perpendicular a uno de ellos

PARA DEFIIR U PLAO TEEMOS QUE COOCER: Que es lo que gira Alrededor de que gira Cuantos grados gira Los giros se efectúan siempre sobre una recta, salvo en el caso de giro sobre un punto, cuando se trata de una figura plana que se mueve al girar en un mismo plano.

GIRO DE UN PUNTO Cuando un punto gira alrededor de un eje describe una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje tomado. E e´ a´ a´1 e r r1 E a´1 e´ A1 a e a´ A a 1 a1 e a

GIRO DE UA RECTA 1) RECTA CORTADA POR EL EJE (sólo se gira un punto)

r´ r´1 a´ a´1

2) LA RECTA O CORTA EL EJE (se giran dos puntos)

a´ a´1 e´ r´ r´1 e´ b´ b´1 e r1 a a1 b r r e a a1 r1 b1 3) TRAZADO U RADIO PERPEDICULAR A LA RECTA r ´ e´

a´ a´1 r´1 b´ b´1 b r a e b1 r1 a1

GIRO DE UN PLANO

1) GIRANDO TRES PUNTOS DEL MISMO 2) DE DOS RECTAS EN EL CONTENIDAS 3) DE UNA RECTA Y UN PUNTO 4) DE FORMA MÁS SIMPLE GIRANDO LA TRAZA HORIZONTAL Y UNA

HORIZONTAL DEL PLANO, CUANDO EL EJE ES VERTICAL O LA TRAZA VERTICAL Y UNA FRONTAL SI EL EJE ES DE PUNTA RESPECTO AL PLANO VERTICAL.

P´1 e´ P´ r´1 r´ v´ v e P1 r1 r P EJERCICIOS: 1) MEDIANTE UN GIRO CONVERTIR UN PLANO EN PROYECTANTE. 2) MEDIANTE UN GIRO CONVERTIR UN PLANO PROYECTANTE EN PARALELO A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN P´ P´1 e´ a´ P´ P´1 e´ e a P P1 P e

3) SITUAR UNA RECTA DADA PARALELA A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN.

e´ r´ a´ r´1 a´1 b´ b´1 b e b1 a1 r1 a r 4) SITUAR UN PUNTO EN UN PLANO DADO e´ P´ a´1 a´ a´2 a a1 e P a2

CAMBIOS DE PLANO GENERALIDADES:

Se emplea para lograr que una figura quede situada respecto a los planos de

proyección en posición conveniente que nos permita una solución más fácil. Consiste en, sin variar la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro, elegido entre los que son perpendiculares al plano que se conserva. Así se obtiene un nuevo sistema de planos ortogonales. Dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, primero uno, luego el otro, pudiendo repetir esto tantas veces se desee, si bien en casi todos los casos, solo con dos cambios, uno para cada plano de proyección basta. NOTACIONES: Al efectuar el cambio de plano se coloca en la primera línea de tierra una llave con las letras V y H correspondientes al PV y PH respectivamente, en la nueva LT otra llave con las letras V1 H si se ha cambiado el plano vertical ó V1H1 si es el horizontal. La nueva LT además se indicará con dos trazos uno a cada lado sobre el PH.

CAMBIO DEL P.V. p1 p´ P PV1 PV

PH p CAMBIO DEL P.H. V V1 p´ H1 p H p´1 V V H H p p1 p

CAMBIO DE DOS PLANOS DE PROYECCIÓN V1 p H p p´1 V H p PROYECCIONES DE UNA RECTA EN LOS CAMBIOS DE PLANO

V

H1 v´ r´

v h V H r h´1 h

MEDIANTE DOS CAMBIOS DE PLANO HACER QUE UNA RECTA CUALQUIERA SE CONVIERTA EN PERPENDICULAR A UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. V1 H1 r´1 v´1 v´ v1 r´ v h´ V H r r1 V H1 h h1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. R D A a´1 D V1 H1 r´1v´1 v´ v1 a´ r´ v h´ V H a1 a V r1 r H1 h h1

MINIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN OBTENIDA MEDIANTE DOS CAMBIOS DE PLANO. V1 s´1 H1 v´ v´ v´1 D r´1 s´ r´ v1 v h´ h´ v V H r s v1 V H1 r1 s1 h h1 h

h1

TRAZAS DE UN PLANO EN LOS CAMBIOS 1º METODO 2º METODO P´1 P´ P´1 v´ V1 P´ V1 H H v´1 r´ v´ v V v V H H r P P

PROBLEMAS DE CAMBIOS CONVERTIR UN PLANO EN PROYECTANTE VERTICAL MEDIANTE UN CAMBIO DE PLANO. V1 H P´1 P´ v´ v´1 v V H P MEDIANTE UN CAMBIO DE PLANO VERTICAL HACER QUE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL PASE A SER FRONTAL

P´ V H P

V1 H

TRANSFORMAR MEDIANTE UN CAMBIO UN PLANO CUALQUIERA EN PARALELO A LT P´ V H1 a´ V H P1 a1 a P

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS MEDIANTE CAMBIOS DE PLANO.

D P´ Q´ P´1 Q´1 V1 H a´ a´1 V a H Q P DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO MEDIANTE CAMBIOS

P´ (Plano proyectante) p´ a´ V H p a1 D p1 a P V P1 H1

AGULOS

GENERALIDADES:

Salvo en el caso de que un ángulo esté contenido en un plano paralelo al de proyección, este no resulta proyectado en su verdadera magnitud. Por lo cual es necesario para hallar el valor real de un ángulo, realizar un cambio de posición hasta situarlo paralelo o contenido en uno de los planos de proyección. Esto se consigue generalmente por medio de los ABATIMIENTOS, si bien se puede conseguir también en determinados casos por medio de CAMBIOS DE PLANO o GIROS. ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS QUE SE CORTAN Y DETERMINACIÓN DE SU BISECTRIZ. R S (P) P´ v´ v´ r´ s´ h´ v v h´

r

h s R1 P V´1 S1 P´1 h V´1

ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS QUE SE CRUZAN R S (P) v´ s´ v´ v´ v´

r´ t´ a´ h´ v h´ v v h´ h´ v r a s Abatimiento h h h ANGULO DE DOS PLANOS T´ 1) Intersección de P con Q 2) Plano perpendicular a I h 3) Intersección T con P y T con Q P´ ´ Q´

a´ a P Q

ANGULO DE UNA RECTA CON UN PLANO Es el formado por la recta R con su proyección ortogonal “r” sobre el plano. Para ello se toma un punto A sobre la recta , trazando por el una perpendicular al plano y determinando su intersección B. Unido este punto con el de intersección I de la recta dada con el plano, obtenemos la proyección ortogonal “r” . En ángulo formado por R y su proyección es el buscado. A R B I P´

Q´ T´ a´ r´ i´ b´ b i r a P T Q