UPSE- MATERIA: COMUNICACIONES IISanta Elena, 5 de julio del 2011

Profesor : Ing. Milton Bravo B. MAE

LA FUNCION DENSIDAD ESPECTRALy Los mtodos de Fourier de anlisis de seales dan

algunas valiosas perspectivas sobre la transmisin de seales a travs de sistemas de comunicacionesy La Transformada de Fourier puede verse como la

representacin en trminos de una suma infinita de exponenciales complejosy F( [)=F _f(t)a= f(t). e-j[t .dt-gg

LA FUNCION DENSIDAD ESPECTRALy Una seal de energa finita puede describirse por una funcin continua de Densidad Espectral. Esta funcin se halla tomando la Transformada de Fourier . y Una seal peridica de potencia media finita puede describirse tanto por un conjunto de lneas en un grfico Espectral, como por un conjunto de funciones impulso en un grfico de Densidad Espectral. y Cada impulso del grafico de Densidad Espectral tiene un rea que corresponde a la altura de cada lnea del grfico Espectral, respectivamente.

HALLAR LA DENSIDAD ESPECTRAL (TRANSFORMADA DE FOURIER) DE LA FUNCION PUENTE UNITARIA (T (t))y La funcin puente unitaria se define por:Rect (t ) =y

1

t

f(t)=rect(t)1

t1/2

0

1/2

GRAFICO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA FUNCION COMPUERTA UNITARIA

LA FUNCION DENSIDAD ESPECTRALy Ejercicio: Halle la Transformada de Four ier de la

exponencial de dos lados f(t) = exp (- a t ), a >0y F ([)= e.e.dt + e.e.dt-gat -j[t

g

-at -j[t

GRAFICO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA EXPONENCIAL DE 2 LADOS

LA FUNCION DENSIDAD ESPECTRALy Ejemplo: Determinar los coeficientes de la serie

exponencial de Fourier (los Fn ) para la funcin puente unitario si se repite cada 4 segundos; yy Realice los grficos Espectral y de Densidad Espectral.y Nota: Los coeficientes de la serie exponencial compleja de Fourier

pueden evaluarse en trminos de la Transformada de Fourier

y Fn = (1/T). F([) [=n[o

GRAFICO DEL ESPECTRO DE LINEA Y LA DENSIDAD ESPECTRAL DE LA FUNCION COMPUERTA PERIODICA

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIAy Un tpico de particular importancia es el de la

distribucin de la energa y la potencia, tanto en el tiempo como en las frecuencias.y La representacin

Espectral de la potencia puede aplicarse tambin a la descripcin de seales aleatorias y ruido.

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy El teorema de Parseval para seales de Energa da

una relacin entre una seal temporal f(t) Transformada de Fourier F([)g g

y su

y f(t) 2dt = (1/2T ) F([) 2d[-g -g

y De aqu puede hallarse la Energa de una seal tanto

en el dominio del tiempo como en el de las frecuencias y En el sistema SI(MKS), la Energa se mide en Joules, y y La Densidad de Energa se mide en Joules/Hz

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy Para cargas diferentes de un ohmio, puede introducirse

una escala de resistencia usando la conocida ley de Ohm: V(t)=R . I(t) y Supngase por ejemplo que f(t) represente un voltaje, del teorema de Parseval, las relaciones de energa son:g

y

Ef = (1/R) f(t)-g

2dt

=(1/2T R ) F([)-g

g

2

d[

R laciones anlogas pueden escribirse en caso de que f(t) represente una corriente : (Realizar en clase para corriente)

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy Para una resistencia de un ohm, la cantidad |F( )| est en trminos de energa por unidad de frecuencia (Joules/Hertz). Por est razn se llama densidad espectral de energa (d.e.e) de la seal f(t), a menudo reducida al trmino densidad de energa.y NOTA: La cantidad |F( )| describe slo la cantidad relativa de

energa a varias frecuencias y que la energa a una frecuencia dada es cero; es el rea bajo |F( )| la que denota energa. y Entonces para calcularla debe darse un rango de frecuencias sobre el que integrar y la cantidad de energa depender del cuadrado de la magnitud de |F( )| sobre dicho rango de frecuencias

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGAy Ejercicio: Calcule la Energa de la seal exponencial

de dos lados f(t) = exp (- a t ), a>o (a travs de una resistencia de un ohm) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

MEDICION DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy El concepto de Densidad Espectral de Energa es

importante por que permite explicar atenuaciones relativas de la energa espectral a travs de sistemas lineales.

f(t)

LTI H( )

G( )=F( )H( )

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy Por tanto, la d.e.e (normalizada) de G( ) esy |G( )| = |F( )| |H( )| ,

y Y la energa(normalizada) en la seal de salida esy yg

Eg = 1/2 |F( )| |H( )|d-g

y En otras palabras, la densidad de energa de la respuesta del sistema est dada por la densidad de energa de la entrada multiplicada por el cuadrado de la magnitud de la funcin transferente del sistema.

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy Ejercicio:

Una seal de voltaje descrita por f(t)= e -5t .u(t) se aplica a la entrada de un filtro pasa-bajos ideal. La ganancia de baja frecuencia del filtro es uno, el ancho de banda 5 radianes/seg y los niveles de resistencia 50 ohmios. Calcular la energa de las seales de entrada y salida?

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIAy Ejercicio y Se aplica una seal f(t)= e .u(t) a la entrada de un filtro-at

pasa-bajos con una funcin transferente de frecuencias de magnitud H([) =b /[ + b2 2

y Determine

las relaciones necesarias entre las constantes a y b para que exactamente el 50% de la energa de la seal de entrada se transfiera a la salida, sobre la base de un ohm.

Problemasy El ancho de banda de un filtro pasa-bajos ideal es 4

rad/s y la ganancia a baja frecuencia es uno. Calcule la energa de salida sobre la base de un ohm, si la entrada f(t) es: y a) f(t)= (t); y b) f(t)= exp (-4t). (t).

Problemasy La seal pulso f(t) de la figura se aplica a la entrada de

un filtro pasa-bajos ideal con frecuencia de corte variable, fc. Halle la energa aproximada, sobre la base de un ohm, en la seal de salida paray a) fc = 0.1 y

Hz b) fc = 10 Hz

f(t)

1

fig

t 0 1

Conclusionesy La Densidad Espectral de Energa de una seal

representa su energa por unidad de frecuencia (Joules/Hertz) y muestra las contribuciones relativas de energa de los distintos componentes de frecuencia.y El rea bajo la Densidad Espectral de Energa da la

energa dentro de una banda o rango de frecuencias dada.

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIAFuncin que dice como est distribuida la potencia de la seal sobre el espectro. La potencia media en el tiempo de una seal (de nuevo se supone una resistencia de 1 ohmio), viene dada por:T/2

P= lm 1 f(t) dt2 T

g T -T/2

En una seal peridica, cada periodo tiene una replica de la funcin, y la operacin de llevar al limite P puede omitirse siempre que T se tome como periodo.

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIAy Por analoga con las seales de energa analizadas en

las laminas anteriores, sera util y conveniente definir alguna nueva funcin de la frecuencia que diera alguna indicacin de las contribuciones relativas de potencia a diversas frecuencias.y Esta se definir como funcin densidad espectral de

potencia Sf ([)

y Est funcin tiene unidades de potencia (Watt)/Hz

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIAy Matemticamente se tiene y P = 1 - Sf ([) d[2T(

S([) =Tlmgf

F ([) T T

2

La funcin densidad espectral de potencia S([) describe la distribucin de la potencia en funcin de la frecuencia, que es una medida importante en los sistemas prcticos

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIAy Para una seal peridica f(t) de potencia que est

representada por la serie de Fourieryfg (t)= 7 F n n=-g

e

jn[ot

Del teorema de Parseval se tiene g 2 2 f (t) = 7 F n n=-g Esta ecuacin da la potencia a travs de un resistor de un ohm a cada frecuencia armnica para una f(t) dada y , al sumar todos los trminos, la potencia media total.

ESPECTRO DE POTENCIA ACUMULATIVO G([) fy El espectro de potencia acumulativo es siempre una

funcin no decreciente de [ por que la potencia no puede ser una cantidad negativa[/[o

y G ([) = 7 Fn u([ - n[o )fn=-

2

S ([) = 2T 7 Fn H ([ - n[o )fn=-

g

2

g

g

La Densidad espectral de potencia (Sf) de una funcin peridica es una serie de funciones impulso cuyos pesos (reas) corresponden al cuadrado de la magnitud de los respectivos coeficientes de Fourier

ESPECTROS DE POTENCIA DE FUNCIONES PERIODICAS Y APERIODICAS

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE LA SEAL PERIODICAy Ejemplo: Hallar la densidad espectral de potencia de la

seal peridica y f (t) = A cos ([ t + U )o

SISTEMA LINEAL INVARIANTE CON EL TIEMPOy El concepto de densidad espectral de energa o

potencia es importante por que permite explicar atenuaciones relativas de la energa a travs de sistemas linealesF ([) T LTI H ([) ENTONCES LA DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE LA SEAL DE SALIDA ES: Sg ([) = Sf ([) H([)2

GT ([) =F([)H([) T

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIAy Ejercicio: Obtenga una relacin entre la densidad

espectral de potencia de la entrada Sf ([), y la salida Sg ([), de un derivador ideal. .y Repuesta: Sg ([) = [ Sf ([) Repuesta:2

RESUMENy La cantidad F([) describe el monto relativo de energa2

de una seal dada f(t) en funcin de la frecuencia y se llama Densidad espectral de energa de f(t)

y De igual forma, la funcin que describe la contribucin

relativa de potencia de una seal f(t) contra la frecuencia, se llama Densidad espectral de potencia, Sf

([).

y La Sf ([) aperidica es una funcin continua de la frecuencia

RESUMENy La S f([) de una seal peridica, se aproxima a una serie de funciones impulso localizadas en las frecuencias armnicas de la seal cuando el tiempo de observacin se hace largo. y El valor cuadrtico medio de una onda puede hallarse del rea bajo su funcin Densidad espectral de Potencia. y La razn de la seal cuadrtica media entre el ruido cuadrtico medio, se llama razn de seal a ruido.