demostración b de newmark 2

DIEGO SOSA CAIZA

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

MATERIA: DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

TEMA: DEMOSTRACIÓN DE LAS EXPRESIONES DEL MÉTODO β DE NEWMARK PARA LA VELOCIDAD xn+1 Y PARA EL DESPLAZAMIENTO xn+1 CON

β=18

PROFESOR: ING. ROBERTO ARELLANO, M.SC.

ALUMNO: DIEGO SOSA CAIZA

1-OCTUBRE-2012

1

DIEGO SOSA CAIZA

EnunciadoDemostrar las expresiones del método β de Newmark para la velocidad xn+1 y para el

desplazamiento xn+1, con β=18

Gráfico

Demostración de la velocidad xn+1

Para tn≤ t ≤tn+t n+1

2

x(t )= xn+∫t n

t

x(τ 1)d (τ 1)

Se sabe del gráfico que

x (τ 1)=¿ xn¿

2

xn+1

xn

tn t n+1tn+t n+1

2τ 1

τ 2

∆ tn

x

t

DIEGO SOSA CAIZA

Se remplaza la condición anterior en la ecuación de x(t )

x(t )= xn+∫t n

t

xnd(τ 1)

Se resuelve la integral

x(t )= xn+ xn∗∫t n

t

d (τ 1)

x(t )= xn+ xn∗[ τ 1 ] tnt

x(t )= xn+ xn∗(t−t n )

Para t=tn+t n+1

2 se tiene

x(t n+tn +1

2)= xn+ xn∗( t n+ tn+1

2−tn)

Simplificando

x(t n+tn +1

2)= xn+ xn∗( t n+1

2+t n2

+−t n)x

(t n+tn +1

2)= xn+ xn∗( t n+1

2−tn2 )


t n+1−t n=Δt n

Se remplaza las condiciones anteriores y se obtiene

x(t n+tn +1

2)= xn+ xn∗( Δt n2 )

Para tn+t n+1

2≤ t ≤ tn+1

3

DIEGO SOSA CAIZA

x(t )= x(t n+t n+1

2)+ ∫t n+t n+1

2

t

x(τ 2)d (τ 2)


x (τ 2)=¿ xn +1¿

Se remplaza la condición anterior en la ecuación de x(t )

x(t )= xn+ xn∗( Δt n2 )+ ∫tn+ tn+1

2

t

xn+1d(τ 2 )

Se resuelve la integral

x(t )= xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn+1∗ ∫t n+t n+1

2

t

d(τ 2)

x(t )= xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn+1∗[ τ 2 ] tn+tn+1

2

t

x(t )= xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn+1∗(t− tn+t n+1

2 )Para t=t n+1 se tiene

x(t n+1 )= xn+ xn∗( Δ tn2 )+ xn+1∗( tn+1−

tn+t n+1

2 )Simplificando

x(t n+1 )= xn+ xn∗( Δ tn2 )+ xn+1∗( tn+1−

tn+1

2−t n2 )

x(t n+1 )= xn+ xn∗( Δ tn2 )+ xn+1∗( t n+1

2−tn2 )


t n+1−t n=Δt n

4

DIEGO SOSA CAIZA

x(t n+1 )=xn+1

Se remplaza las condiciones anteriores y se simplifica

xn+1= xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn+1∗( Δt n2 )xn+1= xn+( Δt n2 )∗( xn+ xn+1 )

Demostración del desplazamiento xn+1

Para tn≤ t ≤tn+t n+1

2

x(t )=xn+∫t n

t

x(τ 1)d (τ 1)

Para obtener el desplazamiento x( t n+tn +1

2) se utiliza x(t ) en el tramo para tn≤ t ≤

tn+t n+1

2 para

cuando t=τ 1, como se ve a continuación

x(τ 1 )= xn+ xn∗( τ1−tn )

Se remplaza en la ecuación de x(t )

x(t )=xn+∫t n

t

{ xn+ xn∗( τ1−t n )}d(τ 1)

Se integra y simplifica

x(t )=xn+∫t n

t

xnd(τ 1)+ xn∗(∫t n

t

τ 1d (τ 1)−∫t n

t

t nd(τ 1))x(t )=xn+ xn∗[ τ 1 ] tn

t+ xn∗([ τ 12

2 ]tn

t

−t n∗[ τ1 ]t nt )

x(t )=xn+ xn∗(t−t n )+ xn∗( t22 −tn

2

2−t n∗(t−t n ))

5

DIEGO SOSA CAIZA

x(t )=xn+ xn∗(t−t n )+ xn∗( 12∗(t−t n )∗(t+t n )−t n∗( t−tn ))

x(t )=xn+ xn∗(t−t n )+ xn∗( t−tn )( (t+t n )2

−t n)x(t )=xn+ xn∗(t−t n )+ xn∗( t−tn )( t2−

t n2 )

x(t )=xn+ xn∗(t−t n )+xn∗1

2∗(t−t n )2

Para t=tn+t n+1

2 se tiene

x(t n+tn +1

2)=xn+ xn∗( t n+ tn+1

2−tn)+ xn∗1

2∗( t n+ tn+1

2−t n)

2

Se simplifica

x(t n+tn +1

2)=xn+ xn∗( t n2 +

t n+1

2−tn)+ xn∗1

2∗( t n2 +

t n+1

2−t n)

2

x(t n+tn +1

2)=xn+ xn∗( t n+1

2−tn2 )+ xn∗1

2∗( t n+1

2−t n2 )

2


t n+1−t n=Δt n


x(t n+tn +1

2)=xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗1

2∗( Δtn2 )

2

Simplificando

x(t n+tn +1

2)=xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗1

8∗( Δtn )2

Para tn+t n+1

2≤ t ≤ tn+1

6

DIEGO SOSA CAIZA

x(t )=x(t n+t n+1

2)+ ∫t n+t n+1

2

t

x(τ 2)d (τ 2)

Para obtener el desplazamiento x(t n+1 ) se utiliza x(t ) en el tramo para tn+t n+1

2≤ t ≤ t n+1 para

cuando t=τ 2, como se ve a continuación

x(τ 2)= xn+ xn∗( Δtn2 )+ xn+1∗(τ 2−t n+t n+1

2 )Se remplaza en la ecuación de x(t ) en el tramo para

tn+t n+1

2≤ t ≤ t n+1

x(t )=x(t n+t n+1

2)+ ∫t n+t n+1

2

t {xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn+1∗(τ 2−t n+ tn+1

2 )}d (τ 2)

Se integra y simplifica

x(t )=x(t n+t n+1

2)+ xn∗ ∫

tn+ tn+1

2

t

d ( τ 2)+ xn∗( Δt n2 )∗ ∫t n+tn +1

2

t

d (τ 2 )+ xn+1∗( ∫tn+ tn+1

2

t

τ 2d (τ 2 )−tn+t n+1

2∗ ∫t n+t n+1

2

t

d(τ 2))x(t )=x

(t n+t n+1

2)+ xn∗[ τ 2 ]t n+t n+1

2

t + xn∗( Δt n2 )∗[ τ 2 ]t n+t n+1

2

t + xn+1∗([ τ 22

2 ]t n+t n+1

2

t

−t n+tn+1

2∗[ τ 2 ]

t n+t n+1

2

t )x(t )=x

(t n+t n+1

2)+( xn+ xn∗( Δtn2 ))∗(t− t n+ tn+1

2 )+ xn+1

2∗(t 2−( t n+t n+1

2 )2

−(t n+t n+1)∗(t− tn+t n+1

2 ))Para t=t n+1 se tiene

x(t n+1 )=x

(tn+tn+1

2)+( xn+ xn∗( Δ tn2 ))∗(t n+1−

t n+ tn+1

2 )+ xn+1

2∗(t n+1

2−14

(t n+t n+1 )2−(t n+ tn+1)∗(t n+1−t n+t n+1

2 ))Simplificando

x(t n+1 )=x

(tn+tn+1

2)+( xn+ xn∗( Δ tn2 ))∗( tn+1

2−t n2 )+ xn+1

2∗(t n+1

2−(t n+t n+1)∗( t n4 +t n+1

4+t n+1

2−tn2 ))

7

DIEGO SOSA CAIZA

x(t n+1 )=x

(tn+tn+1

2)+( xn+ xn∗( Δ tn2 ))∗( tn+1

2−t n2 )+ xn+1

2∗¿

x(t n+1 )=x

(tn+tn+1

2)+( xn+ xn∗( Δ tn2 ))∗( tn+1

2−t n2 )+

xn+1

2∗1

4∗(4∗t n+1

2+t n2−3∗tn+1∗t n+t n+1∗t n−3∗t n+1

2 )

x(t n+1 )=x

(tn+tn+1

2)+( xn+ xn∗( Δ tn2 ))∗( tn+1

2−t n2 )+

xn+1

2∗1

4∗( t n+1

2−2∗tn+1∗t n+ tn2 )

x(t n+1 )=x

(tn+tn+1

2)+( xn+ xn∗( Δ tn2 ))∗( tn+1

2−t n2 )+ xn+1

8∗(t n+1−t n )2


t n+1−t n=Δt n

x(t n+1 )=xn+1


xn+1=x(tn+t n+1

2)+( xn+ xn∗( Δt n2 ))∗( Δtn2 )+ xn+1

8∗( Δt n )2

Simplificando

xn+1=x(tn+t n+1

2)+ xn∗( Δtn2 )+ xn∗( Δt n2

4 )+ xn+1

8∗(Δt n )2

Se demostró anteriormente que

x(t n+tn +1

2)=xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗1

2∗( Δtn2 )

2

Se remplaza este valor en xn+1

xn+1=xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗12

∗( Δ tn2 )2

+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗( Δt n24 )+ xn+1

8∗( Δt n)

2

xn+1=xn+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗( Δt n2 )+ xn∗1

8∗(Δt n )2+

xn∗1

4(Δt n )2+

xn+1

8∗(Δt n )2

8

DIEGO SOSA CAIZA

xn+1=xn+ xn∗(Δt n )+xn∗3

8∗(Δ tn )2+

xn+1

8∗(Δ tn )2

xn+1=xn+ xn∗(Δt n )+( 38∗ xn+

xn+1

8 )∗(Δt n )2

xn+1=xn+ xn∗(Δt n )+[(12−1

8 )∗xn+ 18xn+1]∗(Δt n )2

Para

β=18

Se tiene

xn+1=xn+ xn∗(Δt n )+[(12−β )∗xn+β ¿ xn+1]∗( Δt n)

2

9

demostración b de newmark 2

Documents